14.Kinematics of a Particle

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1 17 장 1/8 Chapte17 강체의평면동역학 힘과가속도 lana Knetcs of a Rgd Bod : oce and Acceleaton

2 17.1 관성모멘트 oent of neta 17 장 /8 질점동역학에서, 관성은운동의변화에저항하는성질이고질량은관성의척도라고배웠다. 강체동역학에선병진관성의척도인질량뿐만아니라회전관성의척도인관 성모멘트 라는개념이필요하다 운동방정식 ---- 질점동역학혹은강체의병진동역학 a 힘 질량 가속도 평면운동하는강체의회전동역학 힘의모멘트 α 관성모멘트 각가속도 관성모멘트는물체의미소질량의특정축 z 에대한 차모멘트의적분이다. 즉, d

3 17 장 3/8 z 여기서모멘트팔 은 z 축에서미소질량 d 까지의수직거리이다. d g17-1 주의! 1. 관성모멘트를언급할때는반드시축을언급해야한다. 즉다른축에대한관성모멘트의값은달라진다.. 관성모멘트는양 ostve 이다. d ρ dv ρ : 밀도, dv : 미소질량이차지하는부피 V ρ dv,, ρ ρ,, z, dv dddz

4 밀도가균일하면 17 장 4/8 ρ dv 로서 3 중적분으로표시된다. 물체가대칭성을가지면 3 중적분을단순화할수있다. 1 셸 shell 요소 dv πzd ρ dv πρ 3 zd 셀요소의경우모멘트팔이 이므로 원판 dsk 요소 dv π dz 주의! -z 평면에서 임을 유의하라. g17-

5 17 장 5/8 원판의경우축 z 로부터떨어진거리가전요소에걸쳐서동일하지않으므로직접 관성모멘트를계산할수가없다. 즉 dz d, d ρη πη dηdz πρdz 0 원판요소의관성모멘트 η dη π ρ 4 dz 3 η dη 1 d 원판의질량 ρπ dz 결국 πρ 4 dz

6 예제 17-1 Thn od 가느다란봉 z l z l d 17 장 6/8 d l / 1 [ 3] l / l d d d l / l / l l l 3 1 Z l l Z d 0 d 1 l 3

7 평행축정리 aallel-as Theoe 17 장 7/8 z 물체의질량중심 를지나는축 에대한관성모멘트 와이축으로부터 z d 만큼떨어진평행축 에대한관성모멘트 사이의관계는다음과같다. d d d d 주의! 질량중심의정의에서 d d d d [ d d d d d d d ] d d d d d d 0 0 d d d 0 즉, 물체의미소질량의질량중심에대한 1 차모멘트의적분은 0 이다.

8 17 장 8/8 회전반경 Radus of aton 축 k, k k 주의 : 회전반경의물리적의미 특정축에대한물체 질량 의관성모멘트와같은관성모멘트를갖게되는, 그 물체와같은질량을가진질점이그축으로부터떨어져있는거리.

9 17 장 9/8 예제 17- l z 축 z축 z 1 l 1 k z l 1 1 l z d l l l 3 z k z k z

10 예제 장 10/8 원판요소를사용하면 d 6 n 4 n d 1 d d 9 8 n d 1 10 d, d ρ π d ρ π πρ [ 0 d d ] 원기둥의관성모멘트포물면 aabolod 을 회전하여얻은물체의관성모멘트

11 17. 평면동역학에서의운동방정식 lana Knetc Equatons of oton 17 장 11/8 강체의평면운동을보장하기위하여강체에작용한힘은운동평면에대해대칭적이어야한다. 즉힘의모멘트의총합은운동평면에수직한축방향의성분만가져야한다. 우선물체내의한점 를원점으로하는병진기준계 z를구성한다. 주의! 저자는기준계 z를관성기준계라했지만, 강체내의임의의점인점 의속도가일정하지않으므로특정순간에만기준계 z의원점과점 가일치한다는뜻이되어너무부자연스럽고, 개념의설명에서이기준계가방향만지시할뿐관성기준계일필요는없으므로우리는이기준계를병진기준계라고하자. g17-8

12 병진운동방정식 Equaton of Tanslatonal oton 17 장 1/8 강체는특수한질점계이므로질점계동역학의여러원리가강체동역학에서도그대 로적용된다. 즉 a a, a 강체에작용한모든외력의총합 강체의질량 강체의질량중심의가속도 회전운동방정식 Equaton of Rotatonal oton : 에작용하는 외력의 총합 f : 에작용하는 내력의 총합 a f

13 g17-8b, c -a a a f 에작용한힘의점 에대한모멘트 α a a ω 이므로 ] [ α a a ω 0 ]} [ ] [ { j k j j j k a a α ] [- a a α 17 장 13/8

14 17장 14/8 이식은강체내의일부분인질량 에대한방정식이므로강체전체에대한방정 식을얻기위하여강체의전영역에걸쳐합 적분 하면점 의운동 a 와강체의각 가속도 α 가 에무관하므로적분기호밖으로묶어낼수있다. 즉 d a d a d α 외력의모멘트합 내력의모멘트합뉴턴의운동제 3 법칙으로부터 0 d, a a α { j a } 질량중심의정의로부터 d 점 는강체내의임의의점이므로질량중심 를택한다면 0 α 에서 까지의거리가 0 이므로 외력의질량중심에대한모멘트의총합 물체의질량중심에대한관성모멘트 z a a 물체의각가속도 점 에작용한다고본관성력 a 의점 에대한모멘트

15 17 장 15/8 n a 1 ρ ρ ρ 병진기준계주관성기준계 : : z OXYZ 는 와무관하므로밖으로나올수있다. Y O X ρ 외력 n : 질점의갯수 α k 질량중심에작용한다고본외력의총합 합력 의점 에대한모멘트

16 j k a [ a a 0 a a ] k 0 17 장 16/8 k, k α k 이므로 a a α a α 주의 : 식의의미 α a z z 17-6 외력의점 에대한모멘트의총합 질량중심에작용한다고본외력의총합의 점에대한모멘트 외력의질량중심에대한모멘트의총합 z

17 17 장 17/8 결국강체의평면운동에관한세개의스칼라방정식을얻게된다. a a α 또는 a a α 주의 강체운동학에서강체내의한점의운동과강체의회전을알면강체내의모든점의운동을알수있다는점을확인하였다. 이제위의세운동방정식은강체에작용한힘과힘의효과인모멘트로부터강체내 a 와 a α 의한점인질량중심의운동 과강체의회전 을구하게함으로 써강체의평면운동의원인 힘 과결과 운동의변화 사이의관계를제공한다.

18 17.3 운동방정식 : 병진의경우 Equatons of oton: Tanslaton 17 장 18/8 Σ 직선병진 a a 0 또는 A a d g17-9b 곡선병진 n t a a 0 또는 t n B a z e a h a t n a z g17-9c

예제 17-4 oble 17-43 The bccle and de have a ass of 80 kg wth cente of ass located at. f the coeffcent of knetc fcton at the ea te s µb 0.

19 예제 17-4 oble The bccle and de have a ass of 80 kg wth cente of ass located at. f the coeffcent of knetc fcton at the ea te s µb 0.8, detene the noal eactons at the tes A and B, and the deceleaton of the de, when the ea wheel locks fo bakng. What s the noal eacton at the ea wheel when the bccle s tavelng at constant veloct and the bakes ae not appled? Neglect the ass of the wheels. 17 장 19/8 1 감속운동의경우 0 a a 0.8N N N A A B 80 a N B N N 1. 0 B B

20 17 장 0/8 B 0 a N A 대신에 사용할수있다. 를 주의 a.6/s, N A 559N, N B 6N a 가더큰값을가지면어떻게될까? 등속운동의경우 : : : 0 N N A A 0 N B N B N A 330 N, N B 454N

21 17.4 운동방정식 : 고정축에대한회전 Equatons of oton: Rotaton about a ed As 17 장 1/8 물체의고정축에대한회전운동에선물체의모든점이고정축을중심으로원 운동을하게된다. 원운동을나타내는데는접선 - 법선좌표계가편리하므로 운동방정식을다음과같이정리할수있다. g17-14 점 O 는고정점, 즉 v O a O 0.

22 17 장 /8 식 17-9 에서 O a t α α α α α O 이식은식 17-6 에서고정점 O 의가속도가영이라는데서유도될수있다. 사실이식은점 O 의가속도가영이면성립하므로점 O 가고정점일필요는없다. 주의! 회전운동을위하여 α 와 O O α 중어느것을사용해도좋으나전자를사용하면점, 후자를사용하면점 O 에작용하는힘이모멘트방정식에나타나지않는다.

예제 17-5poble 17-71 17 장 3/8 The vaable-eluctance oto s often used fo applances, pups, and blowes. B applng a cuent though the stato S, an electoagnetc feld s ceated that pulls n the neaest oto poles.

23 예제 17-5poble 장 3/8 The vaable-eluctance oto s often used fo applances, pups, and blowes. B applng a cuent though the stato S, an electoagnetc feld s ceated that pulls n the neaest oto poles. The esult of ths s to ceate a toque of 4 N about the beang at A. f the oto s ade fo on and has a 3-kg clndcal coe of 50- daete and eght etended slende ods, each havng a ass of 1kg and 100- length, detene ts angula veloct n 5 seconds statng fo est. A A α A kg [ ] α 에서 α ad/s 각가속도 각속도 α 가일정하므로 ω ω α t ad/s Statng fo est

24 17.5 운동방정식 : 일반적인평면운동 Equatons of oton: eneal lane oton 17 장 4/8 일반적인평면운동에해당하는운동방정식은식 과같다. 즉 a a α 혹은 a α Z 마찰구름문제 ctonal ollng pobles 는특히주의를요하는문제이 므로자세한해석과정을소개하기로한다.

17장 5/8 자유물체도로부터운동방정식 17-17 을이용하면다음을얻는다.

25 17장 5/8 자유물체도로부터운동방정식 을이용하면다음을얻는다. a N g 0 α 이세식은 4 개의미지수 을포함하 므로하나의식이더필요하다., N, a,α 1. 구름 ollng 의경우 구름의구속방정식 θ α a g17-1. 미끄럼 sldng 의경우 α a, µ k N

26 3. 구름인지미끄럼인지모를경우 17 장 6/8 구름을가정 α 의조건 a 를네번째방정식으로사용하여마찰력 를구한후구름마찰 N 을만족하면구름이확실 S µ S > µ k S µ S N N 이면구름이아니라미끄럼이확실하므로 을네번째방정식으로사용하여해석 주의 : 마찰력의방향 1. 미끄럼의경우마찰력의방향은물체의지면에대한상대운동에의해결정이경우엔마찰력의크기가확정되는반면방향을틀리게가정하면운동방정식을만족하지않으므로주의가요구된다.. 구름의경우마찰력이미지수 실수 이므로방향은계산결과에의해결정

예제 17-6eaple17-101 17 장 7/8 The tuck caes the spool whch has a weght of 00lb and a adus of gaton of k ft.

27 예제 17-6eaple 장 7/8 The tuck caes the spool whch has a weght of 00lb and a adus of gaton of k ft. Detene the angula acceleaton of the spool f t s not ted down on the tuck and the tuck begns to acceleate at 5 ft/s. The coeffcents of statc and knetc fcton between the spool and the tuck bed ae µ 0.15 and espectvel. s µ k 자유물체도 00 lb α 3ft N a 운동방정식 N 00 a 0, N a ft/s 3 k α α 3 g

28 구름인지미끄럼인지모르므로 17 장 8/8 구름을가정 접촉점 A 에서미끄럼이발생하지않으므로 접촉접의수평 가속도성분 a a A tangental A 5ft/s t 차의가속도 a A a α A / ω ω A / 접선성분 a 5 a [ α k 3 j A t a 3α ]...4 1~4 를풀어 를구하면 lb lb < N 0.15 a a S µ S 구름이확실하므로와을미리구하면 α α ft/s, 1.15 ad/s

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