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정민 장
6 years ago
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1 제 10 장회전운동 10.1 각위치, 각속력, 각가속도 10. 각가속도가일정한강체 10.3 회전운동과병짂운동의물리량관계 10.4 회전운동에너지 10.5 토크와벡터곱 10.6 평형상태의강체 10.7 알짜토크를받는강체 10.8 회전운동에서의에너지고찰 10.9 비고립계의각운동량 고립계의각운동량 강체의굴림운동 10.1 선회하는우주선 제 10 장회전운동 1

2 10.1 각위치, 각속력, 각가속도 (Angular Poston, Speed and Acceleraton) 바퀴처럼부피를갖는물체가핚축을중심으로회전핛때는, 물체를하나의입자로취급하여그운동을분석핛수없다. 회전하는물체를다룰때그물체가강체라고가정하면분석이아주단순화된다. 강체 (rgd body) 는벾형이없는물체를말핚다. 오른쪽그림에서 s r s r 단위 : 라디안 (radan) (rad) 180 (deg) 제 10 장회전운동

3 기준선으로부터각 θ 맊큼이동하면강체에속핚모든다른입자들도같은각도 θ 맊큼회전핚다. 각입자와마찬가지로전체강체에각 θ 를부여핛수있으므로, 회전하는강체의각위치 (angular poston) 를정의핛수있다. 이때각벾위는 평균각속력 : (average angular speed) f avg f t t t f 순갂각속력 : (nstantaneous angular speed) lm t0 t d dt 단위는모두 rad/s 또는 s -1 이다. 라디안은차원이없다 제 10 장회전운동 3

4 평균각가속도 (average angular acceleraton) 순갂각가속도 (nstantaneous angular acceleraton) avg f t t t f lm t0 d t dt 강체가고정축에대하여회전핛때, 물체위의모든입자는주어짂시갂갂격동안에같은각맊큼회전하고같은각속력과같은각가속도를가짐. 각 를이용하면회전운동기술이수월!! 보다일반적인회전운동에서각속도와각가속도는벡터량임. 동일핚강체가회전축이바뀌면회전운동의형태도바뀌기때문. 방향 : 오른손규칙 ( 네손가락을회전방향으로감아쥘때, 엄지가가리키는방향 ) 제 10 장회전운동 4

5 제 10 장회전운동 분석모형 : 각가속도가일정한강체 (Analyss Model: The Rgd Object Under Constant Angular Acceleraton) 고정축을중심으로회전하는강체의운동은각가속도가일정핚경우가맋다. 각가속도가일정핚강체의회전운동은등가속도선운동의경우와유사하다. t f 1 t t f ) ( f f t f f ) ( 1 각가속도 α 가일정핚경우

6 예제 10.1 회전바퀴 바퀴가 3.50rad/s 의일정핚각가속도로회전하고있다. (A) 맊일 t =0 에서바퀴의각속력이.00rad/s 라면,.00 초동안이바퀴가회전핚각벾위를구하라. 풀이 f t 1 t t=.00s 일때 (. 00rad/s )(. 00초) 11. 0rad (11.0rad)(180 1 ( 3. 50rad/s / rad ) 630 )(. 00초 ) (B) 이시갂갂격동안에바퀴는몇바퀴회전하였는가? 1rev rev 360 (C) t =.00s 에서바퀴의각속력을구하라. f t.00rad/s 9.00rad/s (3.50rad/s )(.00초) 제 10 장회전운동 6

7 10.3 회전운동과병짂운동의물리량관계 고정축에대해서회전핛때강체의모든입자들이회전축을중심으로원운동을핚다. v ds dt d r dt 속도에대핚식을미분하면 v r a t dv dt r d dt a r t a c v r r a a t a r r r r 제 10 장회전운동 7

8 10.4 회전운동에너지 (Rotatonal Knetc Energy) 강체를작은입자들의집합으로생각하고, 이강체가고정된 z 축을중심으로각속력 ω 로회전핚다고가정하자. 질량을 m 인입자가회전축으로부터 r 떨어짂점에서접선속력 v 로운동하는경우 전체운동에너지는 K 1 m v K R K K R m v m 1 1 m v 1 1 I r K R 1 I 회전운동에너지 제 10 장회전운동 8

9 I m r 관성모멘트 ( 불연속입자계 ) 회전운동에너지는새로운형태의에너지는아니다. 강체를이루는입자들의각각의운동에너지의합으로부터유도하였으므로일반적인운동에너지이다. 물체를구성하는매질의밀도 와부피 V 는질량 m 과 =m/v dm=dv 이므로 관성모멘트 ( 연속적강체 ) 제 10 장회전운동 9

10 제 10 장회전운동 10

11 예제 10. 산소분자 이원자산소분자 O 를살펴보자. 이산소분자가 xy 평면에서그분자의길이에수직이고중심을지나는 z 축을중심으로회전하고있다. 산소원자핚개의질량은 kg 이고상온에서두산소원자갂의평균거리는 d= m 이다. (A) z 축에대핚분자의관성모멘트를구하라. 풀이 (B) 분자의전형적인각속력은 rad/s 이다. 산소분자가 z 축에대해이런각속력으로회전핚다면, 회전운동에너지는얼마인가? 풀이 회전운동에너지를구핚다

12 예제 10.3 회전하는네개의물체 네개의작은구가 xy 평면에서질량을무시핛수있는두막대의끝에묶여있다. 구의반지름은막대기의크기에비해아주작다고가정핚다. (A) 계가 y 축을중심으로 ω 의각속력으로회전핛때, 이축에대핚관성모멘트와회전운동에너지를구하라. 풀이 K R I y mr Ma Ma Ma 1 1 I y ( Ma ) Ma (B) 그림과같이이계가 O 를관통하는축 (z 축 ) 을중심으로 xy 평면에서회전핚다고가정하자. 이축에대핚관성모멘트와회전운동에너지를구하라. 풀이 z 축에대한관성모멘트 회전운동에너지 제 10 장회전운동 1

13 예제 10.4 균일핚강체막대 그림과같이길이가 L 이고, 질량이 M 인균일핚강체막대가있다. 막대에수직이고질량중심을지나는축 ( y 축 ) 에대핚관성모멘트를구하라. 풀이 dm 을 dx 의함수로나타내면, 적분식에대입하여, 제 10 장회전운동 13

14 예제 10.5 속이찬균질한원통 반지름은 R, 질량이 M, 길이가 L 인속이찬균일핚원통이있다. 중심축 ( 그림에서 z 축 ) 에대핚관성모멘트를구하라 풀이 dm 을 dr 의함수로나타내면, 적분식에대입하면, 제 10 장회전운동 14

15 10.5 토크와벡터곱 (Torque and the Vector Product) 토크 τ 는어떤축에대해힘이물체를회전시키려는경향이고, 회전운동을일으키는원인이다. 위치벡터와 Φ 의각으로힘이작용핛때토크의크기는다음으로정의된다. 단위는 N m 이다. 그렇지만 Joule 은아님 제 10 장회전운동 15

따라서 d = r sn 어떤하나의강체에두개이상의힘이작용하면각각의힘은 O 에있는고정점에대해회전을일으킨다.

16 토크가정의되기위해서는기준축이주어져야핚다. 그후에그축으로부터의거리 r 이정해짂다. 그림에서모멘트팔 d 는회전축으로부터힘의방향선에수직하게그은거리이다. 따라서 d = r sn 어떤하나의강체에두개이상의힘이작용하면각각의힘은 O 에있는고정점에대해회전을일으킨다. 힘에의한회전이반시계방향일때, 토크를양 (+) 으로한다. 시계방향일때는음 (-) 으로한다. 토크는힘의크기와작용점에의해결정된다. 토크는두벡터의벡터곱또는크로스곱으로표현될수있다 : 제 10 장회전운동 16

17 두벡터의벡터곱은제 3 의벡터를맊든다. 그제 3 의벡터의크기는 이고방향은오른손법칙으로정해짂다 제 10 장회전운동 17

18 벡터곱에서교환법칙은성립하지않는다. A 와 B 가평행하면 ( 0 or 180 ), A B 0 이므로, A A 0가된다. A 와 B 가수직하면, A B AB 벡터곱에서분배법칙 : t 에대핚도함수 : 제 10 장회전운동 18

19 제 10 장회전운동 19 단위벡터의벡터곱 : 직각좌표계에서의벡터곱 : kˆ B A B A ĵ B A A B î A B B A B B B A A A kˆ ĵ î C x y y x z x x z y z z y z y x z y x ) ( ) ( ) ( C x y C z C

예제 10.6 원통에작용하는알짜토크 그림과같이큰원통에서가운데부분이튀어나온 단원통이있다. 원통은그림에서보이듯이중심 z축에대해자유롭게회전하고있다. 반지름 R 1 인원통에감긴밧줄에는원통의오른쪽방향으로 T 1 의힘이작용하고, 반지름 R 의원통에감긴밧줄에는원통의아래쪽방향으로힘 T 가작용핚다. (A) 회전축에대해원통에작용하는알짜토크를구하라.

20 예제 10.6 원통에작용하는알짜토크 그림과같이큰원통에서가운데부분이튀어나온 단원통이있다. 원통은그림에서보이듯이중심 z축에대해자유롭게회전하고있다. 반지름 R 1 인원통에감긴밧줄에는원통의오른쪽방향으로 T 1 의힘이작용하고, 반지름 R 의원통에감긴밧줄에는원통의아래쪽방향으로힘 T 가작용핚다. (A) 회전축에대해원통에작용하는알짜토크를구하라. 풀이 두힘이원통을각각시계방향과반시계방향으로회전시키려하므로토크의방향도반대방향이다. 시계방향을 (+) 방향으로정하면 (B)T 1 =5.0 N, R 1 =1.0 m, T =15 N, R =0.50 m 라고하자. 회전축에대한알짜토크를구하라. 그리고정지상태에서시작했다면어느방향으로원통이회전하는가? 풀이 주어짂값들을대입하면, 토크의결과가 + 이므로반시계방향으로회전 제 10 장회전운동 0

21 예제 10.7 벡터곱 xy 평면에놓인두벡터 A= ˆ +3ˆj 와 B= ˆ +ˆj 가있다. AB 를계산하고, AB= BA 임을보여라 풀이 두벡터의크로스곱을쓰면 곱셉을계산하면 항을정리하면 곱하는순서를바꾸어서계산하면 두결과의방향은반대. 즉, : 벡터곱은교환법칙이성립하지않는다. AB= BA 제 10 장회전운동 1

22 10.6 분석모형 : 평형상태의강체 (Rgd Object n Equlbrum) ( 제외 ) 토크가균형을이루고있는강체를평형상태의강체라한다. 알짜외력은영이어야한다 : 알짜외부토크는임의의축에대해서도영이어야한다 : 성분식 : 제 10 장회전운동

23 예제 10.8 수평막대위에서있기 풀이 힘의벡터합은 0: 핚점에대핚토크의합도 0: 수치값을대입하여 T 에대해풀면, 제 10 장회전운동 3

24 식 (1) 과 () 를정리하여나누면, 에대해풀고수치를대입하면, R 에대해풀고수치를대입하면, 제 10 장회전운동 4

25 예제 10.9 벽에기대놓은사다리 매끈핚수직벽에길이 L 인균일핚사다리를기대세웠다. 그림과같이사다리의질량이 m 이고, 사다리와지면사이의정지마찰계수가 s = 0.40 이 라고핛때, 사다리가미끄러지지않을최소각도 mn 을구하라. 풀이 사다리에평형제 1 조건을적용 : 사다리가미끄러지기시작핛때정지마찰력이최대가되므로, 제 10 장회전운동 5

26 O 를지나는축에대핚토크를사용하여사다리에평형제 조건을적용 : tan mn 에대해푼다음앞에서구핚 P 값을대입 : 최소각도는 제 10 장회전운동 6

27 10.7 알짜토크를받는강체 (The Rgd Object Under a Net Torque) 강체에작용하는알짜토크가영이아니면각가속도의원인이된다. 따라서알짜토크를받는강체에대해서는회전운동에서의뉴턴의제 법칙 를사용하여야핚다 제 10 장회전운동 7

28 예제 줄이감긴바퀴의각가속도 반지름 R, 질량 M, 관성모멘트 I 인바퀴가그림처럼마찰이없는수평축에설치되어있다. 바퀴에감긴가벼운줄에질량 m 인물체가달려있다. 바퀴를놓으면, 물체는아래방향으로가속하고줄은바퀴에서풀리며, 바퀴는각가속도를갖고회전핚다. 바퀴의각가속도, 물체의병짂가속도, 줄에걸린장력을구하라. 풀이 회전운동에관핚뉴턴의제 법칙 : 각가속도 : 제 10 장회전운동 8

29 뉴턴의제 법칙 : a R 이므로 이로부터장력과가속도는 각가속도 a 는 제 10 장회전운동 9

30 10.8 회전운동에서의에너지고찰 Energy Consderatons n Rotatonal Moton) 회전운동의에너지의관점에서접근해보자. 힘 F 가작용하여회전축 O 에대해작은거리 ds=rdθ 맊큼회전시킬때핚일은 dw Fds ( F sn) rd F snr 이므로 dw d I I d dt I d d d dt I d d 이므로 d dw I d 회전운동에관한일 - 운동에너지정리 제 10 장회전운동 30

31 고정축에대해회전하는물체의일률 : d/dt = 이므로 비교 ) 선운동에서의일률 : P = Fv 제 10 장회전운동 31

32 예제 회전하는막대다시보기 길이가 L 이고질량이 M 인균일핚막대의핚쪽끝이통과하는마찰이없는핀을중심으로회전하고있다. 정지상태에있던이막대를수평위치에서놓는다. (A) 막대가가장낮은위치에도달했을때각속력을구하라. 풀이 에너지보존법칙에따라 K f U f K U 1 I 0 0 Mg( 1 L ) MgL MgL 3g I ML L 1 3 (B) 연직위치에있는경우, 질량중심의접선속력과막대의가장낮은점의접선속력을구하라. L 1 v r 3gL CM 가장낮은점의접선속력은질량중심의 배. 즉, v v CM 3gL 제 10 장회전운동 3

L=mvr sn 입자계의각운동량 (Angular Momentum of a System of Partcles) Ltot L1

33 10.9 분석모형 : 비고립계 ( 각운동량 )(Non-solated system[angular Momentum]) 입자의순갂각운동량단위 : kg m /s L 의방향 : r 과 p 로이루어짂평면에수직한방향으로오른손규칙 L 의크기 : L=mvr sn 입자계의각운동량 (Angular Momentum of a System of Partcles) Ltot L1 L dl dt tot L dl dt d tot L τext dt n L τ F ext d tot p dt 제 10 장회전운동 33

34 토크는 각운동량을시갂에대해미분하면, v // p 첫항은 0 이되므로 ( ) 따라서, 알짜외부토크가있을때맊입자의각운동량이벾하므로 제 10 장회전운동 34

35 각운동량의다른표현 입자계전체의각운동량을구하기위해서는각입자의각운동량을모두더해준다. 괄호속의양은관성모멘트이므로, 퀴즈 10.7 질량과반지름이같은속이찬구와속이빈구가있다. 두구가같은각속도로회전핛때, 각운동량이더큰것은? 제 10 장회전운동 35

36 제 10 장회전운동 36

예제 10.1 끈으로연결된두물체 질량이 m 1 인구와질량이 m 인상자가도르래를통해가벼운끈으로연결되어있다. 도르래의반지름은 R 이고테의질량은 M 이며, 도르래살의무게는무시핛수있다. 상자가마찰이없는수평면에서미끄러짂다고핛때, 각운동량과토크의개념을이용하여두물체의선가속도를구하라.

37 예제 10.1 끈으로연결된두물체 질량이 m 1 인구와질량이 m 인상자가도르래를통해가벼운끈으로연결되어있다. 도르래의반지름은 R 이고테의질량은 M 이며, 도르래살의무게는무시핛수있다. 상자가마찰이없는수평면에서미끄러짂다고핛때, 각운동량과토크의개념을이용하여두물체의선가속도를구하라. 풀이 도르래회전축에대해각운동량을계산하면 (1) L m vr 1 ( m 1 m dl ext dt d m1gr [( m1 dt m vrmvr M ) vr m M )vr ] ( ) m 1gR ( m1 m M ) R a 에따라서 m 1 m1g m M dv dt 제 10 장회전운동 37

각운동량보존 (conservaton of angular momentum) L tot

38 10.10 분석모형 : 고립계 ( 각운동량 )(Isolated system[angular Momentum]) ext d tot L dt 0 계에작용하는알짜외부토크가영일때, 즉계가고립되어있으면계의전체각운동량은크기와방향모두일정하다. 각운동량보존 (conservaton of angular momentum) L tot 상수 또는 L L f 고립계에서 E E f P P L L f f ( 에너지전달이없는경우 ) ( 알짜외력이 0 인경우 ) ( 알짜외부토크가 0 인경우 ) 제 10 장회전운동 38

퍽은회전속력이 v 일때반지름 R 을그리면서원운동을핚다 (A) 테이블밑으로늘어짂줄을당겨서퍽의회전반지름이 r 로줄어들때, 퍽의나중속력 v

39 예제 마찰없는수평면위에서회전하는퍽 마찰없는수평테이블위에질량이 m 인퍽이줄에연결되어있고그줄의다른끝은테이블중심에있는구멍을통해아래로늘어져있다. 퍽은회전속력이 v 일때반지름 R 을그리면서원운동을핚다 (A) 테이블밑으로늘어짂줄을당겨서퍽의회전반지름이 r 로줄어들때, 퍽의나중속력 v f 에대핚식을구하라. 풀이 처음각운동량과나중각운동량이같으므로 (B) 이과정에서퍽의운동에너지는보존되지않음을증명하라. : r 이감소함에따라 v 가증가 풀이 처음운동에너지에대핚나중운동에너지의비는 1 : 운동에너지는보존되지않음 제 10 장회전운동 39

40 예제 중성자벿의탄생 어떤벿이그중심을지나는축에대해 30 일의주기로회전핚다. 주기는벿의적도상의핚점이회전축에대해완전히 1 회전하는데걸리는시갂이다. 벿이초싞성폭발을핚후, 반지름이 km 인중심핵이반지름이 3.0 km 인중성자벿로응축된다. 중성자벿의회전주기를구하라. 풀이 각운동량보존식 처음과나중의주기를써서다시쓰면, 관성모멘트를대입하면, 나중주기는 수치를대입하여계산하면, 제 10 장회전운동 40

41 10.11 강체의굴림운동 (Rollng Moton of a Rgd Object) 회전운동과병짂운동을동시에하는경우 미끄러지지않고수평면위에서굴러가고있는반지름 R 인원형물체를고려하면 v CM a CM ds dt dv dt CM R d R dt d R R dt 제 10 장회전운동 41

42 속력 v CM =R 로구르는원통물체를따라움직이고있다고가정하면, 물체의질량중심은마치정지해있는것같으며, 물체의각요소는질량중심을축으로 의각속도로회전운동핚다. 따라서구르는원형물체는질량중심의순수병짂운동과질량중심을회전축으로핚순수회전운동이결합된운동으로해석된다. 그러므로구르는원형물체의전체운동에너지는병짂운동에너지 + 회전운동에너지, 즉, K 1 1 I CM MR 제 10 장회전운동 4

43 굴림운동의전체운동에너지에대한다른해석 그림에서물체는매순갂 P 점을중심으로회전운동하는것으로생각핛수있으므로 K 1 I P 평행축정리질량중심을지나는회전축과평행이며거리 d 맊큼떨어짂새로운축에대하여회전하는질량 M 인물체의관성모멘트는 I p I CM Md I p 질량중심축회전축 제 10 장회전운동 43

44 앞의평행축정리에서본바와같이 (d R) I P I CM MR 이므로 K I p I MR CM 또는, R v CM 이므로 K 1 1 ICM Mv CM 또는, K 1 I R CM M v CM 전체운동에너지 = 회전운동에너지 + 병짂운동에너지 제 10 장회전운동 44

15 경사면을굴러내려가는구 속이찬구가그림에서처럼경사면을따라굴러내려갂다. 경사면맨아래에서질량중심의병짂속력과병짂가속도의크기를구하라.

45 굴러내려가는물체의속력 I 운동에너지는 K M R K f U f K U 1 CM v CM 경사면의바닥을중력위치에너지의기준점으로잡으면, gh 1 1/ I R CM M vcm 0 0 Mgh v CM 1 ( ICM / MR ) : 구르지않고미끄러지는경우 gh 보다느리다! 예제 경사면을굴러내려가는구 속이찬구가그림에서처럼경사면을따라굴러내려갂다. 경사면맨아래에서질량중심의병짂속력과병짂가속도의크기를구하라. ( 속이찬구의관성모멘트는 /5MR ) v CM gh 1( / 5MR 10 gh 7 1/ / MR gh ) 1/ 기하학적으로 h = x sn θ 또핚등가속도운동에서, gsn 제 10 장회전운동 45

Microsoft PowerPoint - 1학기 11주.ppt [호환 모드]

Microsoft PowerPoint - 1학기 11주.ppt [호환 모드] 장. 각운동량 ngular Moentu. 벡터곱과토크. 분석모형 : 비고립계 각운동량.3 회전하는강체의각운동량.4 분석모형 : 고립계 각운동량.5 자이로스코프와팽이의운동 . 벡터곱과토크 The Vector Prouct an Torque 앞에서배운토크를다시생각해보자. 토크의크기는 rf sn F 토크의방향은오른나사법칙을따르므로, 토크를벡터연산으로표현하면 τ r