03_Stress_and_Strain_MP

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1 Stress and strain: Basic concepts 강의명 : 금속유동해석특론 (AMB2039) 정영웅창원대학교신소재공학부 YJEONG@CHANGWON.AC.KR 연구실 : # 전화 : HOMEPAGE:

2 Outline 본강의에서는금속의기계적성질을표현하는데가장중요한요소인응력과변형률에대해서살펴본다. 응력과변형률이텐서 (tensor) 로표현되는방법에대해알아보고텐서의기본적인성질에대해알아보자.

3 들어가기에앞서 본강의에서는여러분들이낯설게느낄많은 수학적표현법 이존재한다. 매우어렵게 ( 혹은낯설게 ) 느껴질수있으나, 포기하지말고의문이있으면언제든지질문하기바랍니다. 낯선영어단어가많이나올수도있습니다. 그때마다질문하시면됩니다. 강의중간중간여러분들의이해정도를파악하기위해서질문을할수도있습니다.

4 오늘의강의목표 기계적물성과그와관련된물리량 응력 변형률 Shear, normal components of stress (strain) state. ( 수직 / 전단응력요소와수직 / 전단변형률요소 ) Tensor 이해 Coordinate transformation rules Coordinate transformation matrix Understand Einstein (summation) convention Euler angles Practice coordinate transformation to vector, 2 nd rank tensor using Excel, Fortran, Python

5 Recap: mechanical property Q) What is material property? Q) What principle is applied when obtaining a mechanical property? stimulus and response. When load is applied, the shape of metal will change. ( 힘이가해지면모양이변화 )

6 Mechanical stimulus/response σ Force Deformation Stress Strain Stress Size-dependent Size-independent Strain ε Stress Strain Constitutive model; Constitutive equation 구성방정식 관계 : material property

7 notations 변형률은주로 Greek letter ε, 혹은 ε (epsilon 엡실론 ) 으로나타낸다. ε 을진변형률, ε 을공칭변형률로구분하는경우도있다. 우 본강의에서따로설명되지않은한 ε 을구분하지않고변형률로간주하겠다. * 간혹 e 기호를사용하기도 응력의경우 σ (sigma, 시그마 ) 로표현하겠다. 마찬가지로공칭과진응력이존재한다. 때에따라필요하다면 σ %&'( 와 σ )*+% 등의첨자 (superscript) 를사용하여구분하겠다. 탄성계수들 E 와 G 를각각 ( 압축 / 인장시의 ) 탄성계수와전단탄성계수로구분하여사용하겠다 ν 를푸아송비 (Poisson ratio) σ / : yield stress (strength) 는 Y 첨자를사용하여나타내겠다. ε / ( 혹은 ε / ): yield point 에해당하는변형률 σ, τ : 수직 ( 압축, 인장 ) 응력성분 (normal stress component) 그리고전단응력성분 (shear stress component) 를구분할때사용 ε(ε), γ: 수직 ( 압축, 인장 ) 변형률성분 (normal strain component) 그리고전단변형률성분 (shear strain component) 를구분할때사용

8 Mechanical stimulus/response + property Stimulus = property x response ( 선형적인거동을보일경우 ) 기계적자극과기계적반응, 그리고그둘의관계 ( 간단한예 : 금속의탄성 ) σ = Eε (σ: 응력 E: elastic constants (modulus), ε: 변형률 ) 기계적자극과전기적반응, 그리고그둘의관계 (piezo electricity) ε = de (ε: strain, d: piezoelectricity constants; E: electric field) 자극과반응이선형으로비례할때, 그사이의비례상수는물질의고유한특성에기인한다. 즉, 해당비례상수는물성이다. 비선형관계도존재하나, 다루지않겠다.

9 구조물에작용하는하중의종류 (from Callister textbook) 인장 (tension) 압축 (compression) 전단력에의한전단변형 토크에의한비틀림변형 Images from Callister, Int. MSE

10 수직응력과전단응력 응력구성성분 (stress component) 수직응력성분 (normal stress component) 은관심있는물질면의 법선 방향으로작용하는인장 ( 혹은압축 ) 응력구성요소. 전단응력성분 (shear stress component) 은관심있는물질면과평행한방향으로작용하는응력구성요소 변형률구성성분 (strain component) 수직변형성분 (normal strain component) 은관심있는물질 길이 가본래의그길이방향으로얼만큼인장되거나, 수축되는변형의종류 ( 요소 ) 를일컫는다. 전단변형성분 (shear strain component) 은관심있는물질 길이 가본래의그길이방향과 수직 방향으로변화하였는지알려준다.

11 수직, 전단성분과 sign 수직과전단성분은그작용방향에따라 + 혹은 값을가질수있다. y x ε xy >0 ε xx >0 ε xy <0 ε xx <0 위에쓰인 ε xy notation 들은텐서와관련되어있다. 차후에더욱자세히다룰예정이다.

12 응력과변형률의실험측정법 응력과변형률을측정하는방법에대해간단히얘기해보자. Q. 일축인장법에대해배웠는가? Q. 일축인장에서는어떤기계적성질들을취득할수있는가?

13 Tension tests (Uniaxial) tension test: the most common mechanical stress-strain test performed in tension (인장) 시편(specimen)은 주로 파괴(fracture)가 발생할 때가지 당겨진다. Dogbone 모양의 시편 Load-cell: 시편에 가해진 force를 측정 Extensometer: 시편의 길이 (elongation) 변화를 측정 Tensile tester Extensometer Load-cell Images from Callister, Int. MSE

14 기하학적요소감소 ( 공칭응력 / 변형률 ) 시편에걸린하중의기하학적요소를 * 줄이는 * 가장간편한방법으로 engineering stress ( 공칭응력 ) 을사용할수있다. 시편이보여주는모양의변화에서기하학적요소를 * 줄이는 * 가장간편한방법은 engineering strain ( 공칭변형률 ) 을사용할수있다. σ %&'( = F A < F: 시편에가해진하중 ( 힘, 주로 N) A < : 하중이가해지기전의시편단면적 ( 주로 m F 단위 ) ε = l ( l < l < = Δl l < l < : 시편에하중이가해지기전의길이 l ( : 순간순간변한길이변형률은단위가없다. ( 길이단위가상쇄되어없어진다 ) 다만공칭변형률에 100 을곱해 % 로나타내기도한다. * 공칭응력과공칭변형률은시편의기하학적요소를완벽히 제거 하지못하고, 일정부분줄이는효과가있다.

15 기하학적요소제거 ( 진응력 / 진변형률 ) 시편에걸린하중의기하학적요소를 * 제거 * 하는방법으로 true stress ( 진응력 ) 을사용할수있다. 시편이보여주는모양의변화에서기하학적요소를 * 제거 * 하는방법으로 true strain ( 진변형률 ) 을사용할수있다. σ )*+% = F A F: 시편에가해진하중 ( 힘, 주로 N) A: 하중이가해지는시점에서의시편단면적 ( 주로 m F 단위 ) dε = dl l l: 시편에하중가해지는시점에서의길이 dl: 순간순간변한길이변화량 (infinitesimal) dε: 순간순간변한변형률량 (infinitesimal) 위진변형률은순간순간변형률의 변화량. 모양 ( 길이 ) 변화동안모두더하면 ( 적분 ) 모양변화후 ( 혹은하중이걸린후 ) 의변화량을얻을수있다. H I H I H I ε = dε = K H dl = dln(l) = ln l J H J H H J K ln l < = ln H I H J = ln H JOPH H J = ln 1 + ε STUV

16 진변형률과공칭변형률비교 ( 인장 ) 앞서, 공칭변형률은기하학적요소를 감소 시키는데그치는반면, 진변형률은기학학적요소를 제거 할수있다고하였다. 다음의예제로그둘을비교하여보자. 공칭변형률 : ε = PH H J 진변형률 : ε = ln (1 + ε) Step 0 초기시편길이가 10 mm 12mm 10mm ε = = mm ε = ln 1 + ε = Step 1 15mm 10mm ε = = mm ε = ln 1 + ε = 봉상의길이가 12 mm 가되었다. Step 2 15mm 12mm ε = = mm ε = ln 1 + ε = 봉상의길이가 15 mm 가되었다. 고찰 1. 진변형률의경우공칭변형률보다작다 (?). 2. 진변형률의경우단계별로얻어진변형률값의합이전체변형률과같다

17 압축과인장 (tension and compression) 압축과인장모두작용면에수직방향으로힘이작용 ; 그둘의구분은 sign 으로 : 인장은힘과변형률 positive value 압축은힘과변형률이 negative value 대게인장실험이압축실험에비해용이하다. Disk compression test is a popular method used to measure anisotropy of sheet metals Xu Le, POSTECH, Doctoral Thesis 2011

18 진변형률과공칭변형률비교 ( 압축 ) 공칭변형률 : ε = PH H J 진변형률 : ε = ln (1 + ε) 초기시편길이가 10 mm 봉상의길이가 8 mm 가되었다. Step 0 Step 1 Step 2 8mm 10mm ε = = mm ε = ln 1 + ε = mm 10mm ε = = mm ε = ln 1 + ε = mm 8mm ε = = mm ε = ln 1 + ε = 봉상의길이가 5 mm 가되었다. 고찰 1. 진변형률의경우공칭변형률보다작다 (?). 2. 진변형률의경우단계별로얻어진변형률값의합이전체변형률과같다.

19 Compare engineering strain/true strain

20 Example Step 0 초기시편길이가 10 mm Q1. 공칭변형률이 -1 이되려면해당시편을얼만큼의길이로압축하여야하나? Q2. 진변형률이 -1 이되려면해당시편을얼만큼의길이로압축하여야하나?

21 전단 ( 비틀림 ) 시험 김효정, 포항공대석사학위논문 (2010)

22 전단 ( 비틀림 ) 시험 τ = F F: 시편에가해진하중 ( 힘, 주로 N) A < : 하중이가해지기전의시편단면적 ( 주로 m F 단위 ) A < * 전단력의경우가해지는하중의방향이작용하는면에 누워 있다. - 인장이나압축력의경우작용하는면과 수직 방향으로작용 ( 전단변형률이작을때 ) 전단변형률 (γ) 는전단변형에의해기울어진각도 θ 로정의된다 전단변형률은 회전 성분을가지기쉽다. 회전성분이제외된순수한전단변형은 비틀림 변형으로얻어질수있다. 이때작용전단응력은작용토크 (torque) 의함수이다.

23 Stress and strain: Stress tensor 강의명 : 강의명 : 금속유동해석특론 (AMB2039) 정영웅창원대학교신소재공학부 YJEONG@CHANGWON.AC.KR 연구실 : # 전화 : HOMEPAGE:

24 Internal stress of materials in force equilibrium (a) 양끝에 F 라는 힘이 작용하는 막대기가 힘의 평형 상태에 놓여있다 (force equilibrium) (b) 막대 내부에 작용하는 힘 (internal forces)을 살펴보기 위해 가상으로 자른 면 (힘의 방향과 수직 방향)에도 힘이 작용할까? (c) (b)와 마찬가지, 하지만 비스듬하게 자른 가상 의 면에는? (d) 힘과 같은 방향으로 자를 경우? * 가상의 면에서의 힘이 이해가 어려울 경우, 해당 면에 놓은 원자를 생각해보자. 양끝을 당겼을때 당긴면과 떨어진 곳의 격자간의 거리가 어떻게 될까? Fundamentals of metal forming, R. H. Wagoner, Jean-Loup Chenot

25 Recap: Tensile stress acting on a plane Remember that we deal with materials in force equilibrium; meaning that internal force in any arbitrary internal plane should equilibrium notice the pair of bold line arrows and broken line arrows in below to maintain the force equilibrium. Stress defined by the plane and the force

26 Recap: Compressive stress acting on a plane Stress defined by the plane and the force Louis Cauchy Only two types of stress: 1) Normal ( 인장 + 혹은압축-) 2) Shear Sufficient to define any stress state

27 응력상태의기하학적고려 이때까지작용한응력들은특별한케이스들로국한되어있다 응력이작용한면과수직 ( 압축, 인장 ) 응력이작용한면과평행 ( 전단 ) 사실일반적인응력상태는위의압축, 인장, 전단이혼재한상태이다. 이러한혼재한상태는사실압축, 인장, 전단의성분들로 분류 하여나타낼수있다. 따라서인장 ( 압축 =- 인장 ), 전단성분들은응력상태를나타낼수있는구성요소 (component) 라할수있다. 응력은항상특정 면 에작용한다는점을주지하여, 연속된봉상의주황의가상의단면에작용하는응력의상태를살펴보자. 해당면은실제로외부의응력 σ 가작용하고있다. 하지만해당응력은관심면과 수직 하거나 평행 하지도않다. 해당면에 수직 하고 평행 한성분을찾아야응력상태를명확히정의할수있다. σ d, τ d : 해당면에대해수직하고평행한성분

28 stress state ( 응력상태 ) Stress state consisting of nine separate components Out of nine three are called normal components while the remaining six are shear components) Vector is consisting of three components in 3D space. Example in 2D 2 차원평면동서남북좌표계에서영희가동쪽으로 10m/s, 북쪽으로 5m/s 로이동중이라면? Example in 3D 우주에서유영하고있는우주인의속도는어떻게나타내나? ( 기준좌표계가필요 ) 해당좌표계의 basis axes (basis vectors) 들과평행한성분들로 분해 하여표현. While the stress state is represented by nine components (which is reduced to six truly independent ones under force equilibrium)

29 응력과응력상태를이루는구성요소 Stress state and stress (tensor) components Stress is defined as the force (load) applied to a certain area The most confusing part when you learned stress in materials mechanics lecture was that the force does not necessarily lie normal to the plane try to accept this. As we previously examined, we only use ideal cases to apply for general stress states. These ideal cases are: A. The case the force direction lies on the area to which it is applied (i.e., shear) ( 힘이작용한면적과평행한경우 ( 전단 ) B. Another case the force direction is parallel to the normal of the area (that s normal which can be tensile or compressive. 힘이작용한면적과수직인경우 ( 압축, 인장 ) In most cases, a stress state is a result of mixing A and B cases. To represent such a stress state, you can just put values on each individual components. 대부분의경우, 응력상태는 A. 와 B. 의경우가혼재해있다. 이를표현하기위해서는위의 성분 들의각물리량을값으로나타내면되겠다.

30 Directions in stress Two types of directions are involved for stress state: 1. The direction of force 2. The direction of the area (plane); which is usually represented by the normal of the plane These directions can be also represented by values if you refer to them in a certain coordinate system; The magnitude of force can be also quantified (meaning can be represented by values ) 2 차원좌표계 (x-y coordinates), 관심면 (plane of interest), 그리고힘 (Force)

31 Recap. We deal with materials in force equilibrium. Our topic is constrained to the case under force-equilibrium Stress state is represented by certain idealized components where only two types of stress are possible: Normal: tensile(+) or compression(-) Shear: forward shear (+) and backward shear (-) (also referred to as shear sense ) Stress state requires two directions; the directions can be mathematically represented by values if they are referred to a coordinate system. Like three different components are the least number of independent components for a vector, there should be the least possible number of components to fully represent any stress state: But, unlike vectors, we have two separate types of stresses (normal, shear) and also the directions for an independent component is two (i.e., the direction of force and the associated plane). How many, at least, different types of components are required to fully describe the stress state then? We ll learn in over the next slides.

32 Invention of Cauchy stress tensor Cauchy found that only nine different types of stress components are required to fully describe the stress state; The stress state is represented by stress tensor. Before learning more about stress tensor, let s review the stress; What is stress? You might have some fundamental concept about stress: force/area

33 Stress at a material point σ = F A 특정한크기를가진면에작용하는힘을이용하여적당한크기를가진면에 균일 하게작용하는응력을표현 ; Within the area (denoted as A), the force is homogeneous. 비균질한재료의경우, 응력이재료의각점마다다른값을가지며 분포 되어있다. 이를표현하기위해서, 각 점 마다의응력상태를표현할수있어야한다. 이를수학적으로표현하자면 F σ = lim g < A 앞으로는가상의 면 이한물질점 (material point) 에귀속되어있다고가정한다. 그리고무한소큐브를이용한응력상태를표현하는방법 ( 응력텐서 ) 를알아보자.

34 Coordinate system and basis vectors 앞으로좌표계를설명할때좌표계의근간이되는방향들을 normal vector ( 즉크기가 1 인벡터 ) 로표현. Cartesian coordinate system 은 orthonormal coordinate system 서로수직한세 normal vector 로표현이가능하다. e j e F 그세 normal vector 들을 basis vector 로칭하겠다. 그리고각각 e K, e F, e j 로나타내겠다. e K

35 Cauchy stress tensor e j e F 응력텐서는무한소큐브의 3 면에작용하는성분들은총 두 가지방향에의존한다 : 1) 작용하는면의수직방향 (normal) 2) 작용하는힘의방향 (normal or shear) e K 3 차원직교좌표계 (Cartesian coordinate) 에서총 9 개의조합이가능하다. 즉 9 개의성분으로표현가능. 하지만힘의평형상태에서는몇몇의 shear 성분들이서로같은값을가져야한다 ( 추후에다루자 ). 그에따라총 6 개의 독립 적인성분 (component) 들만남게된다. The infinitesimal cube represents the smallest possible material point. 즉주어진좌표계에서 6 개의독립적인성분 (component) 들만안다면해당물질무한소 (material infinitesimal point) 의응력상태 (stress state) 를완벽히나타낼수있다. 왜 6 면중 3 면만으로?? centro-symmetry

36 Cauchy stress tensor e j e F 응력텐서는무한소큐브의 3 면에작용하는성분들은총 두 가지방향에의존한다 : 1) 작용하는면의수직방향 (normal) 2) 작용하는힘의방향 (normal or shear) e K 3 차원직교좌표계 (Cartesian coordinate) 에서총 9 개의조합이가능하다. 즉 9 개의성분으로표현가능. 하지만힘의평형상태에서는몇몇의 shear 성분들이서로같은값을가져야한다 ( 추후에다루자 ). 그에따라총 6 개의 독립 적인성분 (component) 들만남게된다. The infinitesimal cube represents the smallest possible material point. 즉주어진좌표계에서 6 개의독립적인성분 (component) 들만안다면해당물질무한소 (material infinitesimal point) 의응력상태 (stress state) 를완벽히나타낼수있다. 왜 6 면중 3 면만으로?? centro-symmetry

37 2D stress tensor representation using matrix 주어진 (x-y) 좌표계 ( 혹은 (e1-e2) 좌표계 ) 가명확히주어졌다면 행렬 의방식을빌려표현할수있다. σ lm σ = σ ll σ ml σ σ = σ KK σ KF mm σ FK σ σ = σ KK τ KF FF τ FK σ FF 이표기법을앞으로사용하자 τ (tau) 기호가전단력을 normal stress component 와구분하기위해종종사용된다. The subscript to individual component refers to the associated basis vectors Warning: tensor is not matrix. We just borrow the form of matrix to write down the tensor components. There are cases where you cannot write down the tensor components to matrix; Tensors can be in multidimension like 6, or 9.

38 3D stress tensor represented by matrix 2D 응력텐서의확장 σ = σ KK σ KF σ Kj σ FK σ FF σ Fj 파란색 : normal of the plane σ jk σ jf σ jj 빨간색 : direction of the force The subscript number refers to the basis axis, with which the associated direction is parallel. Components in the same row ( 열, 수평축 ): components belonging to the same plane Components in the same column ( 기둥 ): components whose associated force points to the same direction

39 Coordinate transformation: vector in 2D space 시편 Force ( 힘 ) Coordinate transformation is also referred to as axes transformation e F Force vector, F 또한주어진좌표계 (coordinate system) 이있다면행렬의형태로표현가능 F = F K F F e K 혹은주어진좌표계의 basis vector 를사용하여서표현가능 F = F K e K + F F e F F K, F F 는주어진좌표계 (e K, e F basis vector 로이루어진 ) 에서표현된 Force vector F 의성분 (component)

40 Coordinate transformation: vector in 2D space 시편 Force ( 힘 ) F = Fo K Fo F 혹은주어진좌표계의 basis vector 를사용하여서표현가능 F = Fo K e K + Fo F e F

41 Coordinate transformation: vector in 2D space 시편 Force ( 힘 ) e F e K Vector 를나타내는좌표계의변한일뿐, Force vector 자체의물리량은변환없다. 즉시편에작용하는힘은변화없다. F = F K e K + F F e F = F = Fo K e K + Fo F e F

42 좌표계변환 : vector in 2D space 시편 Force ( 힘 ) e F 두좌표계간의 관계 를안다면 F K, F F 를 Fo K, Fo F 로 변환 할수있다. e F e K 이때의 변환 을 transformation, 즉 form ( 형태 ) 의 trans ( 바뀜 ) e K Transformation 은각 basis vector 간의관계로설명이가능 e K 과 e K 그리고 e K 과 e F e F 과 e K 그리고 e F 과 e F F = F K e K + F F e F = Fo K e K + Fo F e F Vector 를나타내는좌표계의변한일뿐, Force vector 자체의물리량은변환없다. 즉시편에작용하는힘은변화없다. 관계를각 basis vector ( 좌표계의축 ) 간 angle 로표현한다면?

43 2 차원좌표계간의관계 e F 2 차원좌표계의각축간의각도를표현하려면? 한좌표계에서다른좌표계로 변환 을시켜주는 direction cosine 들의모임을 행렬 로표현 e K Old co. sys. New co. sys. e K e F e K a KK a FK e F a KF a FF a Vr Old Co. Sys 의 j 번째 basis vector 와 new Co. Sys 의 i 번째 basis vector 사이의 direction cosine

44 3 차원좌표계간의관계 3 차원좌표계의각축간의각도를표현하려면? 한좌표계에서다른좌표계로 변환 을시켜주는 direction cosine 들의모임을 행렬 로표현 Old co. sys. e K e F e j 위그림에서는 x K, x F, x j 로이루어진좌표계 1 과 x`k, x`f, x`j 로이루어진또다른좌표계 2 가나타나있다. 좌표계 2 의 x`f basis vector 와좌표계 1 의각 basis vector 들과의관계를 a FK, a FF, a Fj 의 direction cosine 으로표현했다. New co. sys. e K e F e j a KK a KF a Kj a FK a FF a Fj a jk a jf a jj a Vr Old Co. Sys 의 j 번째 basis vector 와 new Co. Sys 의 i 번째 basis vector 사이의 direction cosine Direction cosine: 주어진방향벡터 a 와방향벡터 b 사이의각이 θ 라면, cos(θ) 로정의된다.

45 2 차원벡터의좌표변환표기 #1 Old coordinate system e F New coordinate system 2 차원 coordinate system 간에관계는한방향으로 ( 시계반대반향 ccw 기준 ) 의 각 회전 angular rotation 으로나타낼수있다. e F F = 10N e K 0N F =? N? N θ e K 따라서 θ 로 Old Coordinate 를 CCW 회전하면 New Coordinate 가된다. 10N 의힘이작용 Old co. sys. New co. sys. e K e F e K a KK a FK e F a KF a FF a KK = cos θ = cos θ a FK = cos 90 θ = sin θ a KF = cos 90 + θ = sin θ a FF = cos θ

46 2 차원벡터의좌표변환표기 #2 2 차원 coordinate system 간에관계는한방향으로 ( 시계반대반향 ccw 기준 ) 의 각 회전 angular rotation 으로나타낼수있다. Fo K = cos θ KK F K + cos θ KF F F = a KK F K + a KF F F Fo F = cos θ FK F K + cos θ FF F F = a FK F K + a FF F F e F r K,F θ e K 따라서 θ 로 Old Coordinate 를 CCW 회전하면 New Coordinate 가된다. Fo K = a KK F K + a KF F F = { a Kr F r r r K,F Fo F = a FK F K + a FF F F = { a Fr F r r Old co. sys. New co. sys. e K e F e K a KK a FK e F a KF a FF a KK = cos θ a FK = cos 90 θ = sin θ a KF = cos 90 + θ = sin θ a FF = cos θ

47 2 차원벡터의좌표변환표기 #3 Fo K = cos θ KK F K + cos θ KF F F = a KK F K + a KF F F Fo F = cos θ FK F K + cos θ FF F F = a FK F K + a FF F F r K,F Fo K = a KK F K + a KF F F = { a Kr F r r r K,F Fo F = a FK F K + a FF F F = { a Fr F r r 3 차원으로확장 r K,j Fo K = a KK F K + a KF F F + a Kj F j = { a Kr F r r r K,j Fo F = a FK F K + a FF F F + a Fj F j = { a Fr F r r r K,j Fo j = a jk F K + a jf F F + a jj F j = { a jr F r r 쉬워보이지만, 직접연습해보면생각보다어려울수있습니다. 따라서, 혼자서연습해보는게필요해요.

48 2 차원벡터의좌표변환표기 #4 Fo K = a KK F K + a KF F F + a Kj F j = { a Kr F r Fo F = a FK F K + a FF F F + a Fj F j = { a Fr F r Fo j = a jk F K + a jf F F + a jj F j = { a jr F r j r j r j r 앞을더욱축약하자면 한 coordinate system (e V, i=1,2,3) 에서표기된벡터 vector F 를또다른 coordinate system (e V, i=1,2,3) 으로변환 (transformation) 하는작업을두 coordinate system 을 이어 주는 transformation matrix [a Vr ] 를사용하여다음과같이축약하여이용할수있다. j Fo V = { a Vr F r r (i = 1,2,3) a KK a KF a Kj a FK a FF a Fj a jk a jf a jj Transformation matrix. 엄밀하게얘기하면 tensor 가아니지만, transformation tensor 라고도자주불림 위를더욱더축약하자면 Fo V = a Vr F r (i, j = 1,2,3) 각좌우변에서반복되는 index 에대한 summation 이생략되었다. 반대로, 축약된방식으로표현된 tensor operation 을보고생략된 summation 기호를파악해내어야한다.

49 2 차원벡터의좌표변환표기 #5 2 차원 coordinate system 간에관계는한방향으로 ( 시계반대반향 ccw 기준 ) 의 각 회전 angular rotation 으로나타낼수있다. New co. sys. e F e K e F θ e K e F a KK a KF a FK a FF e K Old co. sys. 따라서 θ 로 Old Coordinate 를 CCW 회전하면 New Coordinate 가된다. a KK = cos θ a FK = cos 90 θ = sin θ a KF = cos 90 + θ = sin θ a FF = cos θ a KK a KF a FK a FF = cos θ sin θ sin θ cos θ a KK e F a KF a FK a FF = θ e K cos θ sin θ sin θ cos θ 따라서 θ 로 Old Coordinate 를 CCW 회전하면 New Coordinate 가된다.

50 좌표전환 : 2nd order 텐서 Vector 의경우각 component 에 basis vector 가 하나 씩관련됨 2nd Order tensor 의경우 2 개의 basis vector 가관련됨 ( 힘의방향과면의방향 ) j j Einstein summation convention 아인슈타인축약표기법 σ ( = { { a ( a H σ H H = a ( a H σ H R = a KK a KF a Kj a FK a FF a Fj a jk a jf a jj 좌표전환 matrix 의 transpose? 행렬의 R 의 transpose operation 은 R : transformation 행렬 R 의 transpose; R Vr = RrV R : transformation 행렬 R 의 transpose; R Vr = R ƒk

51 좌표계변환의의미 물리학에서좌표계는단순히관찰자의편의에의해설정된다. 하지만어떠한관찰자가보더라도물리적의미와법칙은영향을받지않는다. 즉물리량은임의로설정된좌표계와상관없이일정하고, 물리법칙은관찰자의좌표계에무관하다. 텐서의형태로표현되는물리량 ( 혹은물성 ) 들도좌표계전환에의해서바뀌는것은아니다. 다만, 물리량을표현하는텐서의표기법 ( 약속 ) 에의해텐서의성분값들이바뀌는것일뿐이다. 앞서우리는텐서라는표기법에따라주어진좌표계에서또다른좌표계로바뀌어참조될때텐서의성분값들이어떻게변하는지살펴보았다. 텐서의 rank 에따라서좌표계전환법이어떻게바뀌는지알아보았다.

52 Inner dot product Tensor 표기를 index 에함께표기하지않고 bold-face symbol 로표기하기도함 예 ) σ Vr 대신 σ 로, F V 대신 F 로표기. Inner dot product 는텐서와텐서간의여러 operation 중에하나로, 참여하는텐서간의 안쪽 index 가되풀이되어더해지는 (summed) 작업. 앞서보았던벡터의좌표변환 (coordinate transformation) 을 bold-face로바꿔 center dot을사용하여표기 Fo = R F 로표기 Fo V = R Vr F r (index 표기법 ) 2nd order tensor 의좌표변환은 σ = R σ R σ Vr = R Vˆσˆ R r = R Vˆσˆ R r = R VˆR r σˆ = R r R Vˆσˆ

53 Double Inner dot product Work done to an infinitesimal material point: j j W = σ ( ε ( = { { σ ( ε ( = σ KK ε KK + σ KF ε KF + σ Kj ε Kj + σ FK ε FK + σ FF ε FF + σ Fj ε Fj + σ jk ε jk + σ jf ε jf + σ jj ε jj W = σ: ε ( Colon 기호로 double inner dot operation 을표기

54 2 nd order tensor 의 symmetry Centro symmetry 원점에대한대칭 Normal stress 의 centro symmetry e j Shear stress 의 centro symmetry e F e K Force ( 혹은 momentum) equilibrium -> Diagonal symmetry σ = σ 즉 σ Vr = σ rv σ = σ KK σ KF σ Kj σ FK σ FF σ Fj = σ jk σ jf σ jj σ KK σ KF σ Kj σ KF σ FF σ 따라서, 총 6개의독립적인 Fj σ Kj σ Fj σ component가존재 jj

55 물리량표기법 물리량은대게 Greek alphabet 을기호로사용하여, 기준이되는좌표계에의성분 (component) 값을표현하는 index 를대개 subscript ( 간혹 superscript) 로덧붙여나타낸다. type No. of Indices (=No. of transformation needed) 예시 Scalar 를표현하는기호에는인덱스가없다 좌표계에무관 예 : 질량 (m) 밀도 (ρ), 온도 (T) vector 에는인덱스를하나붙인다 예 : 속도 (v ( ), 힘 (f ( ). 이때각 index 는 1,2,3 즉세개의구성성분 (component) 가존재. 2 nd rank tensor 에는두개의인덱스를붙인다 예 : 응력 (σ ( ) 각각의 index i 와 j 는 1,2,3 세개의구성성분을가진다. 따라서총 9 개의구성성분 (3x3) 이존재한다. 3 rd rank tensor 는세개의인덱스총 3x3x3 27 개의구성성분필요 4 th rank tensor 는네개의인덱스, 총 3x3x3x3, 81 개의구성성분필요 : 응력탄성계수 (elastic modulus) 텐서 벡터는주로 [1x3] 혹은 [3x1] 의행렬형태를빌려쓴다 Scalar 는 0 th rank tensor, vector 는 1 st rank tensor Scalar 0 mass, density Vector 1 velocity, force 2 nd rank tensor 2 stress, strain 3 rd rank tensor 3 Piezoelectric moduli 4 th rank tensor 4 Elastic moduli 참고 : Moduli 는 modulus 의복수형

56 Transformation rule for tensor Follow this link:

57 Euler angles z c z s y c x s x c y s References:

58 Euler angle 을이용한 3 차원좌표변환 두삼차원좌표계간의관계를표현하는방법 여러방법중 Euler angle 를사용하는방법이 MSE 에서자주쓰인다. 1. 한 3 차원좌표에 e j 축 (z-axis) 을바라보며시계반대방향으로 φ K 만큼회전 2. 다음으로 1. 로인해회전된좌표계의 e K 축을바라보며시계반대방향으로 Φ 만큼회전 3. 다음으로 1-2. 로인해회전된좌표계를다시 e j 축을바라보며시계반대방향으로 φ 2 만큼회전 R = cos φ K sin φ K 0 sin φ K cos φ K 위의일련의세회전을설명하는 하나의 좌표변환 matrix 를다음을통해만들수있다. R Vr = R Vˆ Rˆ R r R = R R R R v = [R R R v ] Recap: Einstein summation convention

59 Let s practice #1 Follow this link You ll find two links one to open Google sheet another to download the sheet.

60 Let s practice #2 At the bottom of the spread sheet you ll find three separate matrices, which denote the three sequential rotation matrices. R = cos φ K sin φ K 0 sin φ K cos φ K Of course, these are functions of phi1, Phi, phi2 values available at the top.

61 Let s practice #3 Follow this link: Tensor transformation rule is implemented into a Fortran code

62 Let s practice #3 (FORTRAN) 변수선언. E.g., R(3,3) is real 실수, 그리고 (3,3) shape 3x3 array 입력 th 라는변수에 user 가각도를입력하면 radian 값으로변환한다. Transformation matrix th 라는변수를사용하여 3 축을잡고 ccw 회전시키는 transformation matrix 를만들어변수 r 에저장 Velocity_old 변수설정 Old coordinate system 에참조된알고있는 1 차텐서 velocity_old 변수를설정 [30,0,0] array 로저장 ; *1 차텐서는벡터다. 위 tensor 를변환하여새로운 array 에저장아래의 formula 를실행하여 1 차랭크텐서변환 v V d = R Vr v r v 와 v` 을화면에출력

63 Let s take a close look at the loop 1. In the above, each doenddo pair DO ENDDO allows you to form a loop: where integer i increases from 1 to 3, for each of which j increases 1 to For instance, while i=1, you repeat DO j=1,3 ENDDO That means do perform j v K &% = { R K v Hž 3. If you repeat Step 2 for i=2 and i=3 as well, you actually perform: j v ( &% = { { R ( v Hž ( Remember that the above summation can be written short: j v ( &% = R ( v Hž

64 If you extend that idea for 2 nd order tensor? Let s take an inverse approach for the 2 nd order tensor transformation. We learned that the 2 nd rank tensor transformation is done following the below rule: d = R ( σ H R H σ ( The above can be implemented to a FORTRAN code such that You might have been able to find certain rules that are applicable when you implement the tensor transformation. Also, you might have found that the Einstein convention is very useful particularly when your translate the formula to FORTRAN code (how intuitive!). FORTRAN actually means FORMULA TRANSLATION

65 Q. Extend that idea for 4th order tensor Within elastic region, metal follows Hooke s law which writes as below: σ ( = E ( H ε H (For advanced students) Can you write a short FORTRAN DO-ENDDO loop for the above operations? (For very advanced students) If possible, modify the source code available in the website and compile the code and run the code. You ll be able to find about the elastic modulus in other textbooks. Hint: you can reduce the above equation following Voigt s notation.

66 Let s practice #3 (Python) 변수선언. E.g., velocity_old 와 velocity_new 는사이즈 3x1 의 array R: 3x3 array; velocity_old 변수의첫번째 (0) element 에 30 입력 입력 th 각도입력한후 Radian 값으로변환 Transformation matrix th 라는변수를사용하여 3 축을잡고 ccw 회전시키는 transformation matrix 를만들어변수 r 에저장 위 tensor 를변환하여새로운 array 에저장 아래의 formula 를실행하여 1 차랭크텐서변환 v V d = R Vr v r v 와 v` 을화면에출력

67 Tensor and coordinate transformation Tensor is a method to represent physical quantity (and also some material properties). Physical quantities and material properties should remain the same (invariable) even if you apply any arbitrary coordinate transformation. But when you change the coordinate system, the values pertaining to individual components change; That does not mean that the tensor changes; Remember that when the coordinate system changes, the basis vector (direction) changes. The changes in value and direction together make the tensor invariable to the coordinate transformation. Yet the values of component that are changing w.r.t. coordinate system are required. One should learn how to apply the coordinate transformation to tensor.

68 Example: pure shear Pure shear is a term referring to a stress (or strain) state where only shear components are non-zero Q: I found the left stress state is simple shear. Anything wrong with me? e j e F e K Let s check by using the spread sheet. 1. Put this value Put phi1=45 To obtain e«f e«k 3. Check the new tensor component values referred to the new coordinate system e«f e«k 4. I wasn t wrong. With the new coordinate, it is indeed pure shear!

69 Example Elastic modulus (E) is a 4 th rank tensor and correlates the stress (σ) and strain (ε) in the elastic regime through σ = E: ε. Note that the colon symbol in the above denotes the double inner dot operation such that σ ( = E ( H ε H Q1. Express σ Fj in the function of E and ε by explicitly denoting the indices of the associated tensors; Do not contract the expression by using Einstein s summation convention; Do not use the summation symbol. Q2. How many separate equations are hidden?

70 Where coordinate system transformation is required? Stretch bending test. The failure criterion is usually written in terms of strain (or stress) state referred to the coordinate that is attached to the plane of the sheet metal. Here, as you can see, the region of specimen that eventually fractures, flows over the roller, during which it bends and rotates. Therefore, you would want to transform the stress state that was once referred to the global coordinate to the local coordinate system that rotates together with the material. JH Kim et al, IJP 27, 2011

71 Where coordinate system transformation is required? Critical Resolved Shear Stress Atom position when maximum repulsive force occurs slip Max repulsive force For dislocation to slip, this max. force should be overcome. Max repulsive force is closely related with the CRSS σ σ σ Condition for dislocation motion (= condition for plastic yielding): If RSS reaches a certain (critical) value, the dislocation will start moving Ease of dislocation motion depends on crystallographic orientation with respect to the external loading direction τ = σ cos λ cos φ τ R = 0 λ = 90 τ R = σ/2 λ = 45 ϕ = 45 τ R = 0 ϕ= 90 cosλ cosφ: Schmid s (orientation) factor Dislocation slip condition ( atomic yield condition) τ τ ±

72 Example: yield of single crystal a) Will the single crystal yield? b) If not, what stress is needed? τ = σ cos λ cos ϕ We learned this equation that correlates the external loading (σ) and the orientation of slip system (λ, ϕ). Condition 1. External load of 45 MPa Condition 2. Slip system characterized by λ = 35, φ = 60 f = 60 σ = 45 MPa l = 35 Condition for dislocation to slip? Condition 1. τ ± = 20.7 MPa τ τ ± Condition 2. τ = σ cos λ cos ϕ = 45 cos 35 cos 60 [MPa] [MPa] Adapted from Fig. 9.7, Callister & Rethwisch 9e. Check. τ τ ± σ = 45 MPa 45 MPa is not sufficient enough to cause this slip system (λ = 35, φ = 60 ) to slip (yield)

73 Transformation for CRSS f = 60 σ = 45 MPa l = 35 φ K = 25, Φ = 60, φ F = 19 z s z c y c 2 x», y», z» : sample axes x ¾, y ¾, z ¾ : crystal axes x s x c y s σ = 45 MPa This gives the transformation matrix like: If you transform You ll get

74 Stress and strain: Strain tensor 강의명 : 강의명 : 금속유동해석특론 (AMB2039) 정영웅창원대학교신소재공학부 YJEONG@CHANGWON.AC.KR 연구실 : # 전화 : HOMEPAGE:

75 Strain tensor Strain 물리량은 shape change 를정량적으로표현할때 geometrical effect 를 * 줄여 * ( 혹은제거하여 ) 나타낸다. Strain 물리량도 stress 와마찬가지로 2nd order tensor 로나타낸다. 앞으로 1 차원의 strain 부터 3 차원까지점점차원을높이면서 strain tensor 의정의를살펴보자. 응력의경우 Cauchy stress 가역학에서 prevail. 하지만 strain 의경우몇몇구분되는방법들이존재한다. Strain theories are divided into two groups Finite strain theory (not discussed in the current lecture) Small strain theory (infinitesimal strain theory; small deformation theory; small displacementgradient theory and so forth..)

76 Strain tensor 응력텐서를설명할때, 3 차원공간상에 3 개의수직면에작용할수있는응력성분을제시하여설명하였다. 변형률텐서도이와유사하게, 3 차원공간상에 3 개의수직한 선 을가지고설명할수있다. 변형률텐서를배우며가장주의해야할점은전단변형성분이 회전 으로이어질수있으며, 이는 변형률 에서제외되어야한다는점이다.

77 1 차원 strain 1 차원의좌표계로설명이가능한 길이 단위의무한소로설명하자. 시간 = t < o e K x < x < + Δx P at Q at t < t < x K + Δx + Δu x K Δu: 1D displacement Δx: Initial length 시간 = t K o e K P at t K Q at t K o e K 1 차원좌표계 (e K :basis vector) An extendable string divided into three different locations 일차원변형률 PÁ PÂ 아주짧은시간내에서생긴변화라면, Δu 와 Δx 모두매우작은값 주어진전체물질의아주작은점마다각기다른 strain 을가질수도있다. ( 비균질한변형률발생 )

78 2 차원 strain#2 (small strain) 2 차원의좌표계로설명이가능한 길이 단위의무한소로설명하자. 시간 = t < 시간 = t K e F (x <, y < ) (x < + Δx, y < + Δy) P at t < Q at t < (x K, y K ) (x K + Δx + Δu Â, y K + Δy + Δu Ä ) Q at t K 시간 Δt 이흐르는동안 PQ 물질무한소의각점에게는 u V 와 Δu V 변위 (displacement) vector 가생겨났다. o e K 2 차원좌표계 (e K, e F basis vectors) P at t K Δx V = (Δx, Δy) at t = t K u V Δu V d Vr = lim Δx V = (Δx, Δy) at t = t < Δu V : infinitesimal displacement vector 2 차원에서의 tensor d 의정의 tensor d 는 변형률 PÂ < Δu V Δx r = u V x r 텐서가아니다

79 2 차원 strain#3 (small strain) Δu V d Vr = lim = u V PÂ < Δx r x r d KK = u K x K, d KF = u K x F, d FK = u F x K, d FF = u F x F, d Vr = u V x r (i, j = 1,2) Small strain theory 에따르면앞서정의된 d Vr 텐서의각성분값은 1 보다무척작아야한다. tensor d 의물리적의미? 한무한소물질점에서의길이벡터의변화를설명해준다. 해당무한소물질점에서어떤변위 (displacement; u) 에의해길이변화가발생했다면그변위전과후의무한소길이벡터의성분을다음과같이 이어 준다. Δx«V = d Vr Δx r 여기서 Δx V 는변위전무한소물질점에귀속한길이 Δx«V 는변위후무한소물질점에귀속한길이 앞서 tensor d 은 strain tensor 가아니라고하였다. 그렇다면 tensor d 는 strain 과관계가없을까?

80 2 차원 strain#4 (small strain) 앞서 tensor d 가 strain tensor 가아니라고하였다. 그렇다면 tensor d 는 strain 을나타낼수없는가? 시간 = t < Δx«길이변화없이 회전 만발생시키는 displacement ( 변위 ) Δu V 발생 시간 = t K Δx 가정 : Tensor d 이 strain tensor 라면, 변형이발생하지않았을때모든 component 가 0 이어야마땅하다. e F θ Small strain theory 는주어진물질무한소의길이보다 훨씬 작은 displacement 발생시에만적용가능함에유의 Tensor d 성분이 0 이아님에도불구하고변형률이 0 인경우가있다. 그런경우는바로 Rigid Body Rotation (RBR) 즉물질전체가한축을기준으로회전하는경우 Tensor d 성분중에일부가 0 이되지않지만변형률은 0 인경우가있다. o e K Δu K Δu F 위에서 tan θ = PÁ Ç PÂOPÁ I 하지만 Δx Δu K 따라서 tan θ = Δu F Δx K

81 2 차원 strain#5 (small strain) 앞서 tensor d 가 strain tensor 가아니라고하였다. 그렇다면 tensor d 는 strain 을나타낼수없는가? Tensor d 성분이 0 이아님에도불구하고변형률이 0 인경우가있다. 그런경우는바로 rigid body rotation 즉물질전체가한축을기준으로회전하는경우 Tensor d 성분중에일부가 0 이되지않지만변형률은 0 인경우가있다. 따라서해당변위 (RBR) 에서 d FK 값 θ 로근사될수있으며, 이값은작지만 0 은아니므로 길이변화가없는변위에서도 d 의성분이 0 이아님을보인다. e F o e K Δu K Δu F 그런데 small strain theory 에서는 θ 값이아주작다. 그럴때는 tan θ θ ( 선형 ) θ Small strain theory 는주어진물질무한소의길이보다 훨씬 작은 displacement 발생시에만적용가능함에유의 위에서 tan θ = PÁ Ç PÂOPÁ I 하지만 Δx Δu K 따라서 선형 tan θ = Δu F Δx 따라서텐서 d 는변형률을설명하기에적절하지않다.

82 2 차원 strain#6 (small strain) 적절한변형률텐서는 RBR 을제외한정도를얻어야한다. Rigid body rotation Rigid body rotation+stretching e F d KF > 0 o e K d FK > 0 d KF < 0 d FK < 0 Δu F tan θ = Δu F θ Δx K + Δu K Δx K ε FK θ θ Δx F Rigid body rotation Δx K Δu K tan θ = Δu K θ Δx F + Δu F Δx F ε KF θ ( 음수 )

83 2 차원 strain#7 (small strain) 적절한변형률텐서를구하기위해서는 RBR 을제외하여야한다. d FK = u F x K CCW: counter-clock-wise CW: clock-wise e F o 2면 1면 e K d KF = u K x F > 0 d FK = u F x K > 0 -e K 방향 d KF = u K < 0 d KF < 0 x F θ KF < 0 ε FK = u F x K < 0 -e F 방향 d FK > 0 θ FK > 0 θ KF <0 일때 CCW θ FK >0 일때 CCW θ θ FK θ KF 2 전체 CCW 회전평균 θ FK θ KF 2 d FK d KF 2 w ( = d ( d ( 2 w = d dï 2

84 2 차원 strain#8 (small strain) θ KF < 0 d KF < 0 θ KF >0 일때 CW 임을확인 따라서 d tensor 에서 ccw 회전을제외한다면, 즉 d w 을한다면 ccw 의 RBR 을제외한순수변형률을나타낼수있다. d FK > 0 θ FK > 0 따라서 strain tensor ε 는아래와같이정의된다. ε = d w θ FK θ KF 2 전체 CCW 회전평균 ε ( = d ( d ( d ( 2 = d ( 2 + d ( 2 θ FK θ KF 2 w ( = d ( d ( 2 d FK d KF 2 w = Small strain theory d dï 2 ε = ε ( = 1 2 d + dï 2 u ( x + u x ( 비슷하게 strain rate tensor 는 ε ( = 1 2 u ( x + u x ( u = velocity

85 3 차원 strain#9 (small strain) 2차원변형률의정의의 3차원으로의확장 앞서다루었던 ε tensor는 deformation tensor (small strain theory) 라고도불림 w tensor는 spin tensor ε tensor는 small strain theory에서의 strain tensor. 3 차원공간상에존재하는서로직교상태의세개의선에각각 동일방향 (normal) 혹은 수직방향 (shear + rotation?) 을바탕으로 3 차원변형률을이해해야한다.

86 Displacement and strain Goal: Displacement 와 strain 의관계를이해하고더나아가 displacement 에서 strain 을 추출 해낼수있는방법을이해한다. Blank sheet Cup 변형 Translation Rotation Extension (Contraction) and shear 1. 공통좌표계에서표기 2. Translation 제거 3. Rotation 제거 e«f o e«k e F o e K Displacement gradient tensor Strain = The symmetric part of displacement gradient tensor

87 Displacement and strain Displacement: 특정한점이차지하던 position 을또다른 position 으로옮겨준다. P u: displacement vector P` u vector maps a single point P to P` Deformation occurs only when u field is not uniform, which means that u varies when changing the locations. u(x K, x F ): displacement vector field maps various points to various points. In case u field is uniform, which means that u is the same for all points, the material only translates in the space (no deformation). e F Warning: there are cases that u field is not uniform, but no deformation occurs (We ll get back to this later). o e K

88 Displacement and strain In case u(x K, x F ) is not uniform (case 1) Δx u(x K + Δx K, x F + Δx F ) Δu e F u(x K, x F ) Δu Displacement vector 가공간상에서다른좌표로따라바뀐차이 o e K 좌표에대한함수, 즉 Δu = Δu(x) 파란화살표로옮겨진점의물질은기준이되는점에비해파란색으로표현된만큼차이나는 displacement 를가진다. e F o e K Δu = Δu K e K + Δu F e F 주어진좌표계의성분들로 decompose Δx = Δx K e K + Δx F e F u 가공간에따라어떻게얼마나달라지는지나타내는수학적방법 (gradient) Pu(x) Δx 하자. = ε(x) 로표기

89 Displacement and strain In case u(x K, x F, x j ) is not uniform (case 1; pure stretching) In case u(x K, x F, x j ) is not uniform (case 2; pure rotation) Non-uniform displacement field does not always mean that the material is deformed. Non-uniform displacement field may contain a contribution from rotation. Therefore, if you want to extract only the deformation, you have to exclude rotational contribution from the displacement field.

90 Example e j e F l 0 mm t 0 mm e K 위의금속판재에냉간압연을하여두께, 너비, 길이가각각 t 1, w 1, l 1 으로바뀌었다. 부피변형률 ln V 1 V 0 값을 ε 11, ε 22, ε 33 요소로표현하여라. ß I ß J = H I I ) I H J J ) J (1) (1) 의양변에자연로그를사용하면 ln V K V < = ln l K l < + ln w K w < + ln t K t < = ε FF + ε KK + ε jj 따라서부피변화가없다면, 즉 ln 1 = 0, 따라서 ε KK + ε FF + ε jj = 0

91 Example 전단변형률은부피변화와무관하다. Let s check

92 Recap Measurement of force and displacement from tension tests Physical quantity to remove the effect of geometry: engineering stress/engineering strain Two types of stress (strain): Normal (tension +, or compression -) Shear (forward +, backward -) There are three independent planes in 3D; On each plane 1 normal + 2 shears. Thus nine independent components comprise the stress (strain) state. Coordinate transformation (axes transformation) Coordinate transformation does not change the physical quantity (stress, strain) Coordinate transformation changes the values of components and the directions of planes associated with the stress (or strain). Practice coordinate transformation using the Excel, Fortran code, Python code.

93 References and acknowledgements References An introduction to Continuum Mechanics M. E. Gurtin Metal Forming W.F. Hosford, R. M. Caddell ( 번역판 : 금속소성가공 - 허무영 ) Fundamentals of metal forming (R. H. Wagoner, J-L Chenot) (very good on-line reference) Acknowledgements Some images presented in this lecture materials were collected from Wikipedia.