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태곤 이
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1 Vol. 29, No. 3, (2016) DOI: ISSN (Print), ISSN (Online) Paper 충격량 - 운동량이론을접목시킨발포폴리프로필렌의구성방정식 김병길 * 조재웅 ** 정광영 ** 김남훈 ** 오범석 ** 한영원 *** 전성식 ** A Constitutive Equation with Impulse-Momentum Theory for the Expanded Polypropylene Byeong Kil Kim*, Jae Ung Cho**, Kwang Young Jeong**, Nam Hoon Kim**, Bum S. Oh**, Youngwon Hahn***, Seong S. Cheon** ABSTRACT: In this paper, impulse-momentum theory was coupled to a constitutive equation both for implementing quasi-static and impact characteristics of EPP (Expanded polypropylene). Also, parameters which have physical meanings were expressed as functions of relative density. Simultaneous nonlinear Newton-Raphson method was applied to find the proper values for parameters in the constitutive equation along with quasi-static test data. Results from the impulse-momentum theory coupled constitutive equation showed good agreement with experimental data and the potential to be applied to different material type polymeric foam. 초록 : 본연구에서는 EPP(Expanded polypropylene) 준정적및충격하중에대한구성방정식을표현하는데있어서, 충격량-운동량이론을연계하였다. 또한, 구성방정식을이루는물리적으로의미있는변수들에대해, 상대밀도의함수로표현하였다. 이를위해, 연립비선형뉴튼-랩손방법을사용하여, 준정적시험결과에맞는구성방정식의변수값을선정하였다. 또한, 충격량-운동량이론이구성방정식과연계되어, 충격시응력-변형률선도를변형률속도에따라구하였고, 충격시험결과와비교하였다. 향후에는다른재질의발포고분자에도본구성방정식이적용될수있을것으로사료된다. Key Words: 구성방정식 (Constitutive equation), 발포폴리프로필렌 (Expanded Polypropylene), 충격량 - 운동량 (Impulse momentum), 계장화충격시험 (Instrumented impact test), 준정적시험 (Quasi-static test) 1. 서론 최근에너지절감과강화된자동차법규에따라차량의경량화와안전화가자동차설계에중요한목표가되고있으며이에따라차량용부품은철강재료에서플라스틱이나다공질재료등으로대체되어가고있다. 발포폴리프로필렌 (Expanded Polypropylene: EPP) 과같은다공질재료는밀도가낮아서상당히가볍고, 충돌시에너지흡수, 흡음및 진동방지등의목적으로자동차, 전자제품등여러분야에사용되고있다. 자동차를예로들면이러한다공질재료는충돌에너지를흡수하도록크래시박스에사용되며충격으로부터승객을보호하도록사이드패널에사용되고있다 [1]. 현재다공성재료는크게금속형과고분자계로나눌수있으며, 고분자계다공성재료는주로반응사출성형 (RIM, Reaction Injection Moulding) 으로제조되고있다 [2]. 최근에는발포기술의발전과함께 EPP에대한사용이증대되면 Received 2 March 2016, received in revised form 20 June 2016, accepted 27 June 2016 * Department of Mechanical Engineering, Kongju National University ** Division of Mechanical & Automotive Engineering, Kongju National University ** Division of Mechanical & Automotive Engineering, Kongju National University, Corresponding author ( sscheon@kongju.ac.kr) *** Dassault Systemes SIMULIA

92 Byeong Kil Kim, Jae Ung Cho, Kwang Young Jeong, Nam Hoon Kim, Bum S. Oh, Youngwon Hahn, Seong S. Cheon 서자동차범퍼를구성하는부품은강철재료대신플라스틱또는비철재료로대체되어가고있는추세이다 [3]. EPP는기본적으로발포체이기때문에발포체가갖는특성외에도독특한특성을보이고있다.

2 92 Byeong Kil Kim, Jae Ung Cho, Kwang Young Jeong, Nam Hoon Kim, Bum S. Oh, Youngwon Hahn, Seong S. Cheon 서자동차범퍼를구성하는부품은강철재료대신플라스틱또는비철재료로대체되어가고있는추세이다 [3]. EPP는기본적으로발포체이기때문에발포체가갖는특성외에도독특한특성을보이고있다. 먼저구조적인특성으로는표면의셀 (Cell) 이작고내부로갈수록셀이커지기때문에표면은매우부드럽지만내부에서는강한기계적물성을가진다고알려져있다 [4]. Kim 등 [5] 은 EPP 및 EPS의구성방정식결정을위한체계적인 DB를구축하는것을목표로하였다. 이를위해각발포고분자에대하여 4가지의다른밀도를갖는원통형시편으로 s -1 와 0.1 s -1 의준정적압축시험과 100 s -1 의충격압축시험을통해기본입력데이터로활용될수있도록하였다. Bouuix 등 [6] 은소재의고속변형특성을연구하기위하여홉킨스바시험기및중고속인장시험기를개발하여자동차용강판의변형률속도효과를시험적으로구하여충돌해석의기본입력데이터로활용될수있도록하였으며, Jeong 등 [7] 은폴리우레탄 (Polyurethane) 폼 (Foam) 에대한변형률속도에따른응력-변형률관계를설명하기위해구성방정식을제안하였다. 이를통하여충돌시시편의변형거동을시간에따라예측가능하였고, 시험치와비교한과도속도, 응력-변형률선도및에너지흡수선도가우수하게일치함을증명하였다. 이와같이 EPP에대한실험적규명은광범위하게이루어지고, 구성방정식에대한내용이기술되어왔으나, impulsemomentum과함께연계된결과는보고된바없다. 따라서본논문에서는구성방정식의변수중물리적특성을갖는변수들의밀도함수를정의하고, Kim 등 [5] 이실험한 4가지의다른밀도를갖는 EPP 시편의준정적및충격시험 DB 를바탕으로 Jeong 등 [7] 이제시한폴리우레탄에대한구성방정식을 EPP 폼에대하여다시정의하여충격량-운동량이론을접목시킨새로운구성방정식을제안하기위한 DB 구축을목표로하였다. 2. 구성방정식 2.1 EPP 의밀도별시편 Fig. 1 은시험에사용된시편을나타내었다. Kim 등 [5] 은 4 종류의다른밀도를갖는원기둥형 EPP 시편을준비하여 Fig. 1. Foam specimen of EPP ID Diameter (mm) Table 1. EPP specimens Length (mm) Density (kg/m 3 ) Standard deviation (kg/m 3 ) EPP_ EPP_ EPP_ EPP_ 실험을하였다. 실험은실험데이터중 EPP만선정한이유는플래토구간의응력이 EPS보다 EPP가약 10% 높은것을보였다. 이는 EPS보다 EPP가에너지흡수율이좋다는것을알수있다 [8]. Table 1은 4종류의 EPP 시편의제원과밀도별표준편차를나타내었다. 시편가공에는시중에서판매되는일반 EPP판재 30배, 40배와강화 EPP판재 7배, 15배가사용하였으며시험편의치수는최대 2% 이내의오차내에서가공되었다. 각각의시편에대해 10개를선별하여치수와밀도를측정하였다. 본연구에서사용된시험편은 10개가운데측정된평균밀도와유사한시험편을각각 3개씩선별하여같은시험에대해 3번의시험이수행될수있도록하였다. 다만 EPP_4의경우재료의높은밀도로인하여시편의밀도표준편차가상대적으로가장고르지못하게제조된것을볼수있었다 [5]. 2.2 구성방정식다음의식은 Jeong 등 [7] 이제시한발포폴리우레탄의구성방정식이다. ( E/σ σ σ p 1 e ( ) p )ε ( 1 ε ( ) ) m ε σ d n + 1 ε 1 ( a+ bε)ln --- ε = + ε 0 위의식 (1) 에서는총 7개의변수들이있으며, 먼저첫번째항은준정적항으로, 5개의변수 σ p, σ d, E, m, n은준정적응력-변형률선도에의해결정된다. 다음으로, 두번째항은동적충격항으로, 나머지두개의변수 a와 b의값은충격시험데이타를이용하여찾게된다. 변수값들은소재및밀도에따라달라지는것으로판단된다. 2.3 변수값결정식 (1) 의변수를결정하기위해 Kim 등 [9] 은각밀도별 EPP 시편에대해 s -1 및 0.1 s -1 의두변형률속도기준으로압축시험 (Quasi-static test) 을진행하고, 연립비선형뉴튼- 랩손방법 (Simultaneous nonlinear Newton-Rapson method) 을이용하여식 (1) 의준정적항의변수 5개를구하였다. 준정적항에서첫번째텀은탄성구간 (Elastic) 과플래토구간 (Plateau) 을의미하며두번째텀은고밀도화구간 (1)

3 A Constitutive Equation with Impulse-Momentum Theory for the Expanded Polypropylene 93 Table 2. Values for quasi-static parameters ID EPP_1 EPP_2 EPP_3 EPP_4 σ p σ d E m n Table 3. Values for dynamic impact parameters ID EPP_1 EPP_2 EPP_3 EPP_4 a Fig. 2. The impact of parameter σ p b (Densification) 을의미한다. 식 (1) 의준정적항을통하여 EPP 폼의준정적특성을파악할수있으며, 동적충격항을적용하면충격특성을결정할수있다. 따라서각항의변수들을구하기위해선준정적압축시험을수행하여준정적항의변수들을계산한뒤, 충격시험을진행하여동적충격항의변수들을구하여야한다. 식 (1) 에서준정적항의다섯개변수들은 s -1 의일정한변형률속도로진행된실험결과의데이터로부터, 연립비선형뉴톤랩손법에의해결정되었다. 나머지동적충격항에두개의변수 a 및 b를결정하는데있어서또다른변형속도의데이터가필요하여 0.1 s -1 의일정한변형률속도로진행하였으며, EPP 폼의동적특성을파악하기위해서낙하식충격시험기 (Instron Dynatup 9250 HV) 를사용하여 94 s -1 의빠른속도로충격시험을진행하였다. 마찬가지로연립비선형뉴톤랩손법을통하여결정되었다. Fig. 3. The impact of parameter σ d 2.4 주요변수의밀도함수화 Jeong 등 [7] 이제시한식 (1) 의 7가지변수중물리적성질을가지고있는 3가지의변수들이있다. σ p 는 Stress of plateau region, σ d 는 Stress of densification region, 마지막으로 E는탄성구간의 Elastic modulus를의미한다. 이 3가지변수들은밀도의영향을받으며, 밀도가변화하면변수또한변화한다. Figs. 2-4는각각의변수값들의변화가커브에미치는영향을나타내고있으며, 커브의변화는각변수들의물리적성질과관련된다. Fig. 5는각시편의밀도변화에따른변수값의변화를밀도비율의 2차함수로정의하여커브로나타낸것이다. 밀도비율 ρ r 은식 (2) 를활용하여구할수있다. 식 (2) 에서 ρ bulk 는순수한 EPP소재의밀도이며, ρ f 는실제 EPP시편의밀도를의미한다. Table 4에각변수들의밀도함수를정리하였다. 이함수들을통하여복잡한행렬식으로변수들을구하기이전에밀도만으로근접한값을구할수있다. Fig. 4. The impact of parameter E Table 4. Parameters defined by relative density ID EPP_1 EPP_2 EPP_3 EPP_4 σ p σ d E a 2 σ p = 22.94ρ r ρ r σ d = 63.97ρ 2 r 2.36ρ r E = 63.97ρ r ρ r a = 3.21ρ r ρ r

4 94 Byeong Kil Kim, Jae Ung Cho, Kwang Young Jeong, Nam Hoon Kim, Bum S. Oh, Youngwon Hahn, Seong S. Cheon ρ r ρ f = ρ bulk 추가적으로식 (1) 동적충격항의변수인 a 또한밀도에따라변화하는특성을지니고있으므로, Fig. 3의 (d) 그래 (2) 프와같이밀도의함수로서표현하였다. 2.5 충격량-운동량이론 Kim 등 [5] 은 4가지의다른밀도를갖는원통형시험편으로한 EPP의준정적및충격시험을실시하여, Jeong 등 [7] 이제시한폴리우레탄에대한구성방정식에적용하였다. 하지만, 변형률속도의변화가없는준정적시험의조건만고려되었으므로, 좀더정확한결과값을얻기위해서는충격시험의변형률속도변화를고려할필요가있다. 이를위하여충격량-운동량이론을접목시켜새로운 DB를구축하였다. 다음식 (3-1) 부터식 (3-3) 은충격량-운동량이론이며, 속도변화를구하기위하여풀이한과정이다. 식 (4) 를활용하여다음단계의속도를구할수있으며그결과값을다시초기속도로설정하여계산하면그다음속도를구할수있다. 이러한방식으로반복적인연산을수행한다면변위에따른속도변화를정확히구할수있다. Fig. 6는식 (4) 의반복연산결과값을나타낸것이다. F = ma = m dv dt Fdt σ i 1 = σadt = + AΔt = mv i 1 v i + 1 v i + mv i mv i + σ i+ 1 AΔt = mv i+ 1 v i L = ε i mdv (3-1) (3-2) (3-3) (4) (5) 식 (4) 를이용하여얻은속도는식 (5) 를활용하여변형률속도로계산한다. 식 (1) 과 (4) 는연성 (couple) 되어있으며, 따라서매순간마다식 (1) 을풀어서응력을구하고, 구해진응력을식 (4) 에넣고다음단계의충격체속도를구한다음, 식 (5) 를이용하여변형률속도를구한다음, 다시식 (1) 에대입하여다음단계의응력을구하는계산이필요하다. 일련의본과정이 Fig. 7에요약되어있다. Fig. 5. The curve of parameters w.r.t. relative density: (a) σ p, (b) σ d, (c) E, (d) a Fig. 6. Velocity-Displacement curve in the impact test

5 A Constitutive Equation with Impulse-Momentum Theory for the Expanded Polypropylene 결과분석 3.1 준정적시험결과비교 Fig. 8은식 (1) 의첫번째항에대한 EPP 폼의각각의밀도별그래프이다. 분석결과값과실험결과값 ( ε 0 = s 1 ) 이우수하게일치하는것을볼수있었지만, EPP_3과 4는 Yield stress 구간에서오차가발생하였다. 이는상대적으로 EPP_3 및 4의밀도가높기때문에탄성구간의영률및틀래토응력이높아발생하는것으로예상할수있다. 3.2 충격시험결과비교충격시험의결과데이터는충격시험특성상 Noise가발생하였다. Fig. 9는 Noise로인한오차를줄이기위하여 MATLAB을활용하여 curve fitting을수행한그래프이다. Fig. 7. Flowchart of solving coupled equation Fig. 9. Impact experimental curve vs curve fitting Fig. 8. Stress-strain relation: (a) EPP_1, (b) EPP_2, (c) EPP_3 and (d) EPP_4 ( ε 0 = s -1 )

6 96 Byeong Kil Kim, Jae Ung Cho, Kwang Young Jeong, Nam Hoon Kim, Bum S. Oh, Youngwon Hahn, Seong S. Cheon Fig. 10. Stress-strain relation: (a) EPP_1, (b) EPP_2, (c) EPP_3 and (d) EPP_4 ( ε 0 = 94 s -1 ) Fig. 10은식 (1) 을적용하였을경우 ( ε 0 = 94 s 1 ) 충격시험결과값의 curve fitting 값과분석결과값을비교하여 EPP 폼의밀도별로나타내었다. 분석결과충돌결과를반영할수있는식 (1) 의두번째항이적용되면충격시험결과와도우수하게일치함을확인하였다. 또한, 충격시험데이터와더욱우수하게일치하는값을얻기위하여충격량-운동량이론을두번째항에적용하였다. Error = Σ ( σ EXP σ Ana ) 2 식 (6) 을활용하여변형률속도를일정하게하여계산한결과값과, 충격량-운동량이론을적용하여변위에따라변형률속도를다르게하여계산한결과값의실제실험결과와의오차를구하였으며, 그결과를비교하였다. 비교한결과, 변형률속도변화를고려하여계산한결과값의오차가그렇지않은경우보다평균적으로 8.4% 의오차감소율을보였다. 즉, 변형률속도변화를고려하여구성방정식에적용하면더욱우수한결과를보이는것으로사료된다. 4. 결론 본연구에서는 Kim 등 [5] 이제시한 4가지의다른밀도를갖는원통형 EPP 시험편의준정적및충격시험 DB를바탕 (6) 으로 Jeong 등 [7] 이제시한폴리우레탄에대한구성방정식을 EPP 폼에대하여다시정의하여충격량-운동량이론을접목시켜새로운구성방정식을제안하기위한 DB 구축을목표로하였다. 1) 준정적항의변수들은기준변형률속도 ( ε 0 = s 1 ) 에의해결정되었다. 2) 변형률속도에의해결정되는동적충격항의변수들은기존변형률속도와다른변형률속도( ε 0 = 0.1 s 1 ) 와 ( ε 0 = 94 s 1 ) 의해결정되었다. 3) 7개의변수중물리적특성을지니는 3가지의변수 σ p (Stress of plateau region), σ d (Stress of densification region), E(Elastic modulus) 는밀도의함수로서정의되었다. 4) 충격실험데이터연산과정에서충격량-운동량이론을접목시켜변위에따른변형률속도를구성방정식에적용한결과, 변형률속도를일정하게계산한결과값보다오차가평균적으로 8.4% 낮아졌다. 결론적으로, 폴리우레탄에적용하기위하여제안한구성방정식도재질이다른고분자에적용될수있다는점을보였으며, 변형률속도변화를고려하여구성방정식에적용하면더욱우수한결과를보이는것으로나타났다. 향후고밀도시편의 Yield stress 구간에서발생하는오차를줄이기위한추가적인연구가필요하며, 다른재질의발포고분자에도본연구에서제안된방법으로구성방정식을정의할수있을것으로기대된다.

7 A Constitutive Equation with Impulse-Momentum Theory for the Expanded Polypropylene 97 후 기 이논문은 2015 년도정부 ( 교육부 ) 의재원으로한국연구재단의지원을받아수행된기초연구사업임 (No.2015R1 D1A1A ). REFERENCES 1. Willinger, M., Industrial Development of Composite Materials: Toward a Functional Appraisal, Composites Science and Technology, Vol. 34, 1989, pp Moutos Franklin T., Freed Lisa E., and Guilak Farshid, A Biomimetic Three-dimensional Woven Composite Scaffold for Functional Tissue Engineering of Cartilage, Journal of Nature Materials, Vol. 6, 2007, pp Kim, M.H., Cho, S.S., and Ha, S.K., Design and Structural Analysis of Aluminum Bumper for Automobiles, Transactions of KSAE, Vol. 7, No. 3, 1999, pp Choi, C.H., Expanded Polypropylene and Packaging Materials, Journal of the Monthly Packaging world, No. 214, 1996, pp Kim, H.K., Kim, B.J., Jeong, K.Y., and Cheon, S.S., Experimental Study for the Impact Characteristics of Expanded EPP/EPS Foams, Journal of the Korean Society for Composite Materials, Vol. 26, No. 6, 2013, pp Bouuix, R., Voit, P., and Lataillade, J., Polypropylene Foam Behaviour Under Dynamic Loading : Strain Rate, Density and Microstructure Effects, International Journal of Impact Engineering, Vol. 36, Issue. 2, 2009, pp Jeong, K.Y., Cheon, S.S., and Munshi, M.B., A Constitutive Model for Polyurethane Foam with Strain Rate Sensitivity, Journal of Mechanical Science and Technology, Vol. 26, No. 7, 2012, pp Kim, B.J., Kim, H.K., and Cheon, S.S., A Study on the Absorbed Energy of Polymer Material of Vehicles between Mass and Strain Rate Effect Velocity Value Based on Constant Energy, Proceeding of the Korean Society for Composite Materials, Korea, May 2013, pp Kim, H.K., and Cheon, S.S., A Constitutive Equation Including Strain Rate Effect for the Expanded Polypropylene, Proceeding of the Korean Society for Composite Materials, Korea, Vol. 27, No. 4, 2014, pp

THE JOURNAL OF KOREAN INSTITUTE OF ELECTROMAGNETIC ENGINEERING AND SCIENCE. vol. 29, no. 10, Oct ,,. 0.5 %.., cm mm FR4 (ε r =4.4)

THE JOURNAL OF KOREAN INSTITUTE OF ELECTROMAGNETIC ENGINEERING AND SCIENCE. 2018 Oct.; 29(10), 799 804. http://dx.doi.org/10.5515/kjkiees.2018.29.10.799 ISSN 1226-3133 (Print) ISSN 2288-226X (Online) Method