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소현 수
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1 한국소성가공학회 2011 년도춘계학술대회논문집 pp. 374~378 사면체 MINI- 요소를이용한사각컵딥드로잉공정의유한요소해석 심상현 1 이민철 2 정완진 3 전만수 # Finite element analyses of square-cup deep drawing process using tetrahedral MINI-elements S. H. Sim, M. C. Lee, W. J. Chung, M. S. Joun Abstract In this paper, finite element prediction of a cold sheet metal forming process is investigated using solid elements. A three-dimensional rigid-plastic finite element method with conventional linear tetrahedral MINI-elements [1, 2] is employed. This technique has traditionally been used for bulk metal forming simulations. Both single- and double-layer finite element mesh systems are stud, with particular attention to their effect on the deformed shape of the material and thickness variation. The procedure is applied to the well-known problem of the NUMISHEET93 international benchmark. The resulting predictions are compared with eperimental observations found in the literature, and good agreement is noted. Key Words : Sheet Metal Forming ( 판재성형 ), Tetrahedral MINI-Element ( 사면체 MINI- 요소 ), Rigid-Plastic Finite Element Method( 강소성유한요소법 ) 1. 서론 산업계의다양한요구에부응하기위해신소재적용과개발비용과기간절감으로인해서판재성형해석은금속판재부품의성공적인개발을위해서점차필수불가결한요소로되어가고있다. 가장최근의판재성형해석프로그램들은재료의탄소성물성을고려할수있으며금형의복잡한형상, 장치의형상, 다양한성형조건의변화그리고연속되는공정들에대해서도충분한정확성을가지고대응하고있다 [3]. 현재하이드로포밍과열간판재성형공정을포함하는혁신적인판재성형혹은판단조공정의시뮬레이션연구가계속시도되고있는중이다. 스프링백분석은공정설계기술자에게금형과 1. 경상대학교기계공학과대학원 2. 경상대학교연구교수 3. 서울산업대학교제품설계금형공학과 # 경상대학교기계항공공학부 / 항공기부품기술연구소 msjoun@gnu.ac.kr 장치를향상시키고제품의오차를줄이는데매우가치있는정보를제공한다 [4]. 그러나수치의단순화와계산의효율성을높여주는쉘요소들은두께방향으로소성변형이적용될때뚜렷한제한을받는다. 설상가상으로, 작은모서리반경을가진두꺼운판재성형이나판단조공정을시뮬레이션할때기존의쉘요소들은매우취약하다 [5, 6]. 이러한이유로, 쉘요소들은두께방향에서소성변형의정밀한예측값을얻기위한판재성형혹은판단조공정시뮬레이션에적합하지않다. 현재단조기술에의하여급격한두께변화를목적으로고안된판재성형공정들은자동차산업이나전자산업에서구조강도와경량화를동시에만족시키기위한목적으로적용되고있다. 판단조공정은판재성형공정의특별한형태로

2 170 고려될수있다. 오늘날까지, 이분야에서공정설계는사실상경험적으로이루어지고있으므로, 매우정확하게공정을모델링하기위해서는적합한기법이요구된다. 주목할점은성형된판재금속중에서구조적인부분들중휘어진모서리부위에서특히약하다는점이다. 그러므로모서리부위에서소성변형에대한자세한정보는공정설계기술자에게중요한관심의대상이될수밖에없다. 전술한바와같이, 기존의판재성형시뮬레이션기술들은이관심사들을만족시키기에분명히부적합하다. 입방체요소들은이문제를개선하는데사용되어질수있다 ( 다시말해, 더정확하게두께방향이나모서리부근에서의소성변형을설명하기위해사용될수있다 ). 지금까지입방체요소나입방체 - 쉘요소들은두께방향에서소성변형을설명하기위하여사용되었다. Xu 등 [7] 과 Parente 등 [8] 은두께방향으로다중수치적분을실시하고, 평면에서의선택적축소수치적분을사용하는입방체 - 쉘요소모델을개발하였다. 그러나입방체 - 셀요소들은점진적으로두께변화가발생하는판재성형공정에만사용된다. 최근에, 많은연구자들은 3 차원판재성형이나판단조공정을모델링하기위하여사면체나육면체요소를연구하였다. Menezes 등 [9] 은사각컵딥드로잉공정을해석하는데 8 개의절점으로이루어진육면체요소들을사용하였다. Lee 등 [10] 은 3 차원의두꺼운판재성형공정의해석에선형적인사면체요소를적용하였고, 그기술의가능성을입증하였다. 입방체요소들은사용될때, 본질적으로요소망생성의문제를야기시키며이 점은응용소프트웨어의개발을방해해왔다. 요소수에대한구속이부과될때, 판재의기하하적인특성때문에, 고형상비를지닌불량한요소망의사용을피할수없다. 마찬가지로, 다겹쌓기요소망은입방체요소가사용되어질때두께방향으로요소망밀도를조절하기위해서, 요소망의질과계산의효율성의희생을감수하고서라도, 사용되어야한다. 본논문에서는판재혹은판단조시뮬레이션에서의다겹쌓기요소망에서요소망의층수가해답에어떠한영향을끼치는지조사하였다. 2. 문제정의 일반적으로판재혹은판단조에서는소재반대면에서작용하는응력은정반대의상태이며 ( 한면에는압축, 다른면에서는인장 ) 특히굽힘변형이지배적으로일어나는영역에서두드러진다. 이것은두께방향에서상태변수들의변화가비교적크다는것을의미한다. 입방체요소들이판재나판단조공정의유한요소시뮬레이션에사용될때, 두께방향으로의적절한수의요소층을가진요소망을사용하거나, 아니면소재의굽힘변형을반영하는특별한유한요소를개발하는것을필수적이다. 입방체 - 쉘요소를포함하는특별한입방체요소들은이러한문제들을해결하는데유용할수있다는것은알려져있는사실이다. 만약기존의입방체요소들이판재나판단조공정을시뮬레이션하는데사용되기에앞서, 유한요소법에서두께방향의적분점의수의영향이우선적으로상세하게조사되어야한다. 선형입방체요소들이사용될때, 두께방향으로의수치적분점의숫자들은다겹쌓기요소망에서층의수에의해조절되어질수있다. 그러나, 직접적으로계산시간에영향을끼치는자유도의증가때문에층의수에대한명백한제한이따른다. 그리고다겹쌓기요소망에서의층수가증가함에비례하여형상의비도증가한다. 그러므로, 유한요소의요소망층의적절한숫자를고려하는것이필요하다. 본논문에서, 판재성형공정은단층과 2 층요소망으로시뮬레이터되어졌고예측값들은유한요소법에서 z blank binder Fig. 1 Definition of the square-cup deep drawing process y 375

DY C B 논문의기법을이용하여예측한결과를상용소프트웨어인 MTLFRM, LS-DYNA3D, PAM-STAMP

2 Definition of the measuring A Initial blank

1은해석대상의판재성형공정을나타낸다 [7]. 그것은 NUMISHEET93 국제벤치마크와관련된사각컵딥드로인공정이다.

예측값들에대한 4 면체요소층수의영향 해석모델은다음과같이구성된다. 이모델에서바인더하중을근사적으로표시하기위해서, 0.

4 는시험예제를시뮬레이션하는데사용되어진유한요소시스템을보여준다. 이공정은대칭성때문에 1/4 공정만해석영역으로간주될수있다.

3 DY C B 논문의기법을이용하여예측한결과를상용소프트웨어인 MTLFRM, LS-DYNA3D, PAM-STAMP 를이용하여예측한결과와문헌에서찾은실험결과와비교하는목적으로사용된다. z O DX Fig. 2 Definition of the measuring A Initial blank 층수에대한영향을양적으로결정하기위해서비교되어졌다. 사면체 MINI-요소들이분석을위해채택되어졌다. Fig. 1은해석대상의판재성형공정을나타낸다 [7]. 그것은 NUMISHEET93 국제벤치마크와관련된사각컵딥드로인공정이다. 소재는 mm 짜리정사각형판재이다. 사용된강의유 등응력식은 566(0.007 ) MPa이고항복강도는 MPa이다 kn의바인더하중이작용되며그하중은하형에고정된바인더에작용하는동등한마찰력으로부과한다. 펀치속도는강소성가정하에서해에영향을주지않으므로 1로두었다. Fig. 2는판재의변형형상을측정하기위한거리 DX, DD, DY를정의하고있다. 이수치는본 3. 예측값들에대한 4 면체요소층수의영향 해석모델은다음과같이구성된다. 이모델에서바인더하중을근사적으로표시하기위해서, 0.02 의마찰상수와 0.2 mm 의작은오차에의해증가된재료의초기두께만큼고정된바인더와하형사이의거리와함께일정전단마찰법칙이채택되어졌다. 이장치에서정확한모델을얻기위해, Fig. 3 에서보는바와같이도형의오차에대한요구를고려하여바인더, 펀치와금형은 20, 736, 872 의삼각형조각으로각각표현되었다. Fig. 4 는시험예제를시뮬레이션하는데사용되어진유한요소시스템을보여준다. 이공정은대칭성때문에 1/4 공정만해석영역으로간주될수있다. 단층유한요소망에서사면체요소와절점의수는각각 과 4791 이다. 2 겹요소망은단층요소망을반영하여구성되었다. 공정시뮬레이션은강소성유한요소법으로같은조건하에두개의다른요소망으로수행되었으며 AFDEX 3D 가사용되어졌다. 시뮬레이션하는동안에요소망재구성을실시하지않으므로써상태변수와도형치수의수치적순화를방지하였다. binder (a) Single-layer workpiece Fig. 3 Three-demensional view of the test process (b) Double-layer Fig. 4 Finite element mesh system for the material

Thickness strain 0.2 0.15 Eperiment Solid-shell (Xu et al.) Tetrahedral, Single-layer Tetrahedral, Double-layer 0.1 0.05 0-0.

6 Final deformed shape and effective strain (double-layer) 해를얻는데필요한해석스텝의수는 1000 정도가되도록하였다. Fig. 5 와 Fig.

이수치는접촉처리기법이나소재가금형으로침투하는것과금형이소재로침투하는것과관련된수치적불확실성이적절히통제되었음을의미한다 ( 이러한수치적불확실성은판재성형시뮬레이션에서입방체요소의근본적인좋지않은특성중하나이다 ). -0.

Fig. 7 은 OA 라인을따라소재의예측된두께와그에상응하는실험값을비교한다 [13]. 이비교는또한예측값이실험값과일치함을확인시켜주는데이는판재와판단조공정을예측하는제안된기술의활용가능성을보여준다.

강소성유한요소법에의하여판재성형공정이시뮬레이션될때, 탄성구역에서의인장력은두께를실제보다작게예측되도록하는원인이된다는점에주목할필요가있다.

4 Thickness strain Eperiment Solid-shell (Xu et al.) Tetrahedral, Single-layer Tetrahedral, Double-layer Fig. 5 Final deformed shape and effective strain (single-layer) Fig. 6 Final deformed shape and effective strain (double-layer) 해를얻는데필요한해석스텝의수는 1000 정도가되도록하였다. Fig. 5 와 Fig. 6 은각각단층과 2 층의유한요소망으로예측된최종변형형상과유효변형률을나타낸다. 이결과를얻는데발생한수치적부피손실은 0.4% 이하였다. 이수치는접촉처리기법이나소재가금형으로침투하는것과금형이소재로침투하는것과관련된수치적불확실성이적절히통제되었음을의미한다 ( 이러한수치적불확실성은판재성형시뮬레이션에서입방체요소의근본적인좋지않은특성중하나이다 ) Distance from center(mm) Fig. 7 Thickness variation along the OA line 변형형상에대한예측결과는실험결과와다른예측결과들과유사하다는것으로결론지을수있다. Fig. 7 은 OA 라인을따라소재의예측된두께와그에상응하는실험값을비교한다 [13]. 이비교는또한예측값이실험값과일치함을확인시켜주는데이는판재와판단조공정을예측하는제안된기술의활용가능성을보여준다. Xu 등과의예측값을비교해보면, 본연구의예측값이가장자리부근에서더낫고, 중앙에서본연구의예측값이나쁘게나타났다. 물론, 중앙부위는매우긴스트로크동안에탄성구역에노출되기때문에중앙부근에서실제보다작게측정된예측두께는재료의강소성가정으로부터기인한다. 강소성유한요소법에의하여판재성형공정이시뮬레이션될때, 탄성구역에서의인장력은두께를실제보다작게예측되도록하는원인이된다는점에주목할필요가있다. Table 1 Comparison of the predictions with the eperimental resuls and predictions of Xu et al. DX, DY(mm) DD(mm) Eperiment results Tetrahedral, Single-layer Tetrahedral, Double-layer Solid-shell (Xu et al.) MTLFRM (shell) LS-DYNA3D (shell) PAM-STAMP (shell)

5 4. 결론 이논문에서판재성형공정이체적소성가공공정의시뮬레이션과유사한방법으로해석되어졌다. 3 차원강소성유한요소법은기존의선형사면체 MINI- 요소로사용되어졌다. 다겹쌓기사면체요소망은판재성형에서중요한굽힘변형을나타내기위해고려되었다. 단층과 2 층요소망은재료의변형모양에서요소망의층이어떠한영향을끼치는지에대해특별한관심을가지고연구되었다. 그절차는 NUMISHEET93 국제벤치마크 (international benchmark) 의문제에적용되었다. 예측값은실험값과문헌에서찾은다른예측값과비교되었고유사한결과를얻었다. 시험예제에서재료의전반적인변형모양에다층요소망의층수는거의영향을끼치지않았지만그상황에따라코너근처에서소성변형에무시하지못할영향을끼치는것으로추정된다. 그비교결과는판재와판단조공정의시뮬레이션을위하여기존의체적소성가공공정시뮬레이션기술의적용가능성을보여준다. 적용가능성은두꺼운판재성형혹은판단조공정뿐만아니라열간판재성형공정도포함한다. 판재성형에서의입방체요소로의접근은가까운미래안에판재성형분야에서주류를이룰것이라사료되며이연구는이러한배경에서특별히의미가찾을수있다. 후기 이논문은 2010 년도정부 ( 교육과학기술부 ) 의재원으로한국학술진흥재단의지원을받아수행된연구임 (No ). 참고문헌 [1] D. N. Arnold, 1984, A Stable Finite Element for Stokes Equations, Calcolo, Vol. 21, pp. 337~344. [2] M. C. Lee, S. H. Chung, S. M. Jang, M. S. Joun, 2009, Three-Dimensional Simulation of Forging Using Tetrahedral and Heahedral Elements, Finite Elem. Anal. Des., Vol. 45, pp. 745~754. [3] M. L. Wenner, 2005, Overview-Simulation of Sheet Metal Forming, Proc. of NUMISHEET 2005, AIP Conference Proceedings, Vol. 778, pp. 3~7. [4] K. Ro l l, T. Lemke, Wi e g a n d. K, , Possibility and Strategies for Simulations and Compensation for Springback, Proc. of NUMISHEET 2005, AIP Conference Proceedings, Vol. 778, pp. 295~302. [5] J. W. Cho, D. Y. Yang, W. J. Chung, 2002, A Simplified Approach for Incorporating Thickness Stress in the Analysis of Sheet Metal Forming using Shell Elements, Int. J. Numer. Methods Eng., Vol. 53, pp. 2311~2327. [6] R. P. R. Cardoso, J. W. Yoon, 2005, One Point Quadrature Shell Element with Through-Thickness Stretch, Comput. Meth. Appl. Mech. Eng., Vol. 191, pp. 5177~5206. [7] H. J. Xu, Y. Q. Liu, Z.B. Zhang, T. Du, 2010, Solid-Shell Finite Element Method for Progressive Die Forming Simulation, Proc. of Metal Forming 2010, pp. 721~724. [8] M. P. L. Parente, R. A. Fontes Valente, R. M. Natal Jorge, R. P. R. Cardoso, R. J. Alves de Sousa, 2006, Sheet Metal Forming Simulation Using EAS Solid- Shell Elements, Finite Elem. Anal. Des., Vol. 42, pp. 1137~1149. [9] L. F. Menezes, C. Teodosiu, 2000, Three- Dimensional Numerical Simulation of The Deep- Drawing Process Using Solid Finite Elements, J. Mater. Process. Technol., Vol. 97, pp. 100~106. [10] 이민철, 정완진, 엄재근, 김장섭, 김기수, 전만수, 2010, 사면체요소를이용한냉간판단조공정의강소성유한요소해석, 한국소성가공학회 춘계학술대회, pp. 244~247. [11] AFDEX, [12] M. C. Lee, M. S. Joun, J. K. Lee, 2007, Adaptive Tetrahedral Element Generation and Refinement to Improve the Quality of Bulk Metal Forming Simulation. Finite Elem. Anal. Des., 43, pp [13] J. Dankert, Eperimental Investigation of a Square-Cup Deep-Drawing Process, J. Mater. Process. Technol.,Vol. 50, pp. 375~

소성해석

소성해석 3 강유한요소법 3 강목차 3. 미분방정식의근사해법-Ritz법 3. 미분방정식의근사해법 가중오차법 3.3 유한요소법개념 3.4 편미분방정식의유한요소법 . CAD 전처리프로그램 (Preprocessor) DXF, STL 파일 입력데이타 유한요소솔버 (Finite Element Solver) 자연법칙지배방정식유한요소방정식파생변수의계산 질량보존법칙 연속방정식 뉴톤의운동법칙평형방정식대수방정식