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은우 호
6 years ago
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1 Chapter 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors ( 에너지대역과반도체에서의전하캐리어 )

2 3.1.1 고체에서의결합력 이온결합 (ionic bonding) 알칼리의할로겐화합물 (ex. NaCl) Na와 Cl사이의전자교환이이루어지면최외각궤도는 8개의전자로완전히 채워짐. Na(z 11) Cl(z Na Na 17) Cl 6 1 1s s p 3s 5 Ne 3s 3p 0 Ne 3s, Cl Ne :stable structure Ne 3s 3s 1 3p 6 Ar 불활성원자 (ex. Ne, Ar) 들과같은전자구조가되기때문에전류흐름에기여하는약하게속박된전자들은더이상존재하지않음. 전기적으로좋은절연체 (insulator) Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

3 3.1.1 고체에서의결합력 Na + Cl - 적인력을미침. 이쿨롱힘은격자를서로잡아당겨반발력과평형을이루게됨. 각 Na+ 이온은 6개의인접 Cl- 에정전기 Fig. 3-1 고체에서화학결합의다른형태 (a) NaCl 에서의이온결합의한예 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

4 3.1.1 고체에서의결합력 금속결합 (metallic bonding) 알칼리금속 (ex. Na) 최외각궤도는보통 3개이하의전자로부분적으로채워짐 ( 바깥쪽궤도에단하나의전자가있다 ) 전자는약하게속박되어있어쉽게떨어져이온을형성 ( 융점이광범위 ) 알칼리금속은전도도가클뿐아니라화학적활성도가큼금속원자들은전자의바다를공유하고있으며, 이전자들은전계의영향하에서결정주위를자유롭게움직일수있다. Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

5 3.1.1 고체에서의결합력 공유결합 (covalent bonding) 다이아몬드격자의반도체 (Si, Ge, C) 각원자는 4개의원자에의해둘러쌓여져있고 4개의최외각전자를서로공유 ( 공유된전자들사이의양자역학적상호작용으로일어난다 ) 0 K에서전도에기여할수있는자유전자없음전자는열적또는광학적으로여기 (excitation) 되어공유결합을벗어나전기전도에기여 HP (electron-hole pair) 생성 cf. 화합물반도체 (GaAs) 의경우이온결합과공유결합이혼합 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

6 3.1.1 고체에서의결합력 Si 결합력은공유된전자 들사이의양자역학적 상호작용으로부터생성 결합당두개의전자 Fig. 3-1 고체에서화학결합의다른형태 (b) <100> 방향에따라본 Si 결정의공유결합 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

7 3.1. 에너지대역 두원자가겹치는경우, 두개의원자핵이일정한거리를두고존재하는경우에대한 Schrödinger equation을풀어야함. 즉, 두개의각기다른시스템이아니라하나의새로운시스템 반결합궤도 원자궤도 결합궤도 독립된원자들의각각의포텐셜에너지 ( 점선 ) 두핵사이의쿨롱퍼텐셜에너지 ( 실선 ) 반결합에너지준위 결합에너지준위 Fig. 3- 원자궤도의선형결합 (LCAO): 두개의원자가서로합쳐질때 LCAO 는두개의 다른 정규 양식을갖는다. ( 고에너지반결합궤도, 저에너지결합궤도 ) Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

8 Anti bonding 및 bonding state 3.1. 에너지대역 원자간의거리가가까워질수록각각의 state가두개의 state로분리원자사이의거리가가까워짐에따라전자의파동함수는중첩됨파울리의배타원리 (Pauli exclusion principle) 에따라어떠한두전자도같은 quantum state 를갖지못하므로원자들의 discrete energy level은새로운 energy level로분리최외각전자만궤도를공유하므로이러한구분은최외각전자에대해서만이루어짐. cf. 코어전자는특정한원자핵에단단히속박 lectrons in the solid 독립된원자의 discrete energy level은고체내에서 energy band로변화고체내에서이웃하는원자들의전자의파동함수 (wave function) 는중첩되기때문에이들이퍼져서에너지대역 (band) 을형성하며, 전자는특정원자에국한되어배치되어있을필요없음. Si 원자의간격이감소됨에따라각원자의에너지준위는분할되어대역으로되며, 이것은외각 (n=3) 에서부터시작 ; Si 원자의전자구조 1s s p 6 3s 3p Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

9 3.1. 에너지대역 3s와 3p에대응하는대역이점차그폭이벌어짐에따라그들은합쳐져에너지준위의혼합으로이루어지는단일대역형성 Si 원자들이더욱접근하면 n=, n=1의전자들이상호작용을시작하고에너지밴드로분리평형상태원자간거리에서 energy band는 energy gap( g ) 를갖는두개의 band로분리 Upper band: 전도대 (conduction band) Lower band: 가전자대 (valence band) Forbidden gap 이 energy gap 은어떠한 energy state 도포함하지않음 0 K에서가전자대의모든 state는전자로채워져있고, 전도대의경우비어있음 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

10 전자들의상대적에너지 3.1. 에너지대역 원자간의상대적거리 ( 왼쪽으로갈수록상대적거리작아짐 ) 4N 상태 0 전자 6N 상태 N 전자 ±½ ±½ ±½ ±½ ±½ 대역간극 = g 4N 상태 4N 전자 N 상태 N 전자 6N 상태 N 전자 N 상태 N 전자 ±½ ±½ ±½ ±½ 외각 8N 상태 4N 전자 ±½ ±½ ±½ ±½ 중각 ±½ 내각 Fig. 3-3 원자간거리의함수로나타낸실리콘의에너지준위. Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

11 3.1. 에너지대역 중심부준위 (n=1,) 들은전자들로가득차있음. 결정의실제원자간격에서 3s 부각에서의 N 전자와 3p 부각에서의 N 전자들은 sp 3 이종화를겪고낮은 4N 상태 ( 가전자대 ) 에서모두끝남. 반면높은위치에놓여있는 4N 상태 ( 전도대 ) 들은비어있게되고어떤대역간극만큼분리됨. 완전한결정에서는금지대역이전자의에너지상태를하나도포함하지않음 0 K 에서는전자들이점유하고있는지점은가장낮은에너지상태에있음 -> 0 K 에서는가전자대역에있는모든에너지상태가다차있으나전도대역은완전히전자가비어있음 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

12 3.1.3 금속, 반도체및절연체 자유전자가있어서 전기를잘통할수있는물질 예 ) 금, 은, 구리등 금속 절연체 반도체 자유전자가없어서 전기를잘통할수없는물질 예 ) 나무, 플라스틱, 유리등 도체와부도체의중간적성격 전기가통할수도안통할수도있는물질 예 ) 실리콘, 게르마늄등 반도체를이용하여다양한전자소자를만들수있다!!! Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

13 3.1.3 금속, 반도체및절연체 빈에너지상태 겹침 빈에너지상태 g g 부분적으로충만 충만 충만 충만 절연체반도체금속 Fig K에서의전형적인대역구조 차이점 g1 > g 전기전도에기여할수있는전자수가열적및광학적에너지에의해반도체내에서크게증가 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

14 3.1.3 금속, 반도체및절연체 Metal Band들은중첩되거나부분적으로채워짐 Band내에전자와빈 energy state 모두존재 전계인가시전자는자유로이이동가능 Insulator & Semiconductor 0 K 에서의구조 전자들이인가전계에서가속되기위해서는새로운에너지상태로옮겨갈수있어야함전자가점유할수있는빈상태가존재하여야함을의미가전자대는 0 K에서전자들로완전히채워져있고, 전도대는비워져있음전자가이동하여들어갈수있는빈상태가하나도없기때문에가전자대내에서는전하의전송이있을수없음전도대에는전자가하나도없어서전하의전송이있을수없음. Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

15 3.1.4 직접형과간접형반도체 Direct band structure (ex. GaAs) 전도대의최소와가전자대의최대가같은 k값 (k=0) 에위치전자는 k값의변화없이전도대로부터가전자대로최소에너지천이가가능전도대내의전자가가전자대에있는비어있는상태로떨어질때에너지차 g에해당하는광자방출 Indirect band structure (ex. Si) 전도대최소와가전자대의최대는다른 k 값에위치단일전자가완전히주기적인격자를통하여운동하며, 전자의파동함수는전파상수 k를가지고 x방향으로움직이는평면파형태인것으로가정전자에대한 space-dependent wave function Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

16 3.1.4 직접형과간접형반도체 k wave vector j k x x U k x, x e 격자의주기성에따라파동함수를변조 x 허용된에너지값을전파상수 k에대하여그려서나타낼수있다. Fig. 3-5 반도체에서의직접및간접적전자전이 (a) 광자방출을동반하는직접적전이 (b) 결정결함준위를경유하는간접적전이 (a) Direct (b) Indirect Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

대역간극에너지 (ev) 3.1.5 합금조성비에따른에너지대역의변화 GaAs AlAs Al x Ga 1-x As Fig.

17 대역간극에너지 (ev) 합금조성비에따른에너지대역의변화 GaAs AlAs Al x Ga 1-x As Fig. 3-6 AlGaAs 에서조성비 에따른직접및간접전도 대역의변화 알루미늄조성비, x Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

18 3..1 전자와정공 HP (lectron-hole Pair) generation 반도체의온도가 0 K로올라감에따라가전자대에있는일부전자는충분한열적에너지 (thermal energy) 를받아전도대로여기하여전자와정공생성 전자 ( 전기전도에기여 ) c v g 정공 ( 가전자대의빈상태, 전기전도에기여 ) Fig. 3-7 반도체에서의전자 - 정공쌍 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

19 전도대에서의전류 3..1 전자와정공 전도대로여기된전자는채워지지않은많은수의에너지상태로둘러싸임. x) Si 원자밀도 : 5 10 atoms/cm 3 상온에서도핑되지않은 Si 의 HP 수 : HP/cm 3 전도대의소수의전자들은이용할수있는많은빈상태 (empty state) 를자유 롭게돌아다닐수있음 전도대내로여기된소수의전자들이전기전도에기여 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

20 가전자대에서의전류 3..1 전자와정공 충만된밴드 (filled band) 에서이용할수있는모든에너지상태는전자에의 해채워져있음 주어진속도로움직이는모든전자에대해크기는같고반대방향으로움직 이는전자가있음 전계를인가한다면속도 υ j 로움직이는모든전자 j 에대해속도 υ j 로움직이 는 j' 이있기때문에 net current 는 0 임. J q 0 filled band N i i Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

21 3..1 전자와정공 k는전자운동량에비례하기때문에두전자는반대방향의속도를가지고있다. Fig. 3-8 모든에너지상태가충만된가전자대역. Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

22 3..1 전자와정공 만약 j 번째전자를제거하여정공을하나만든다면가전자대에서의실제전 류는모든속도에대한합에서제거된전자의기여부분을뺀것으로주어짐. J N q q q j th electron missing i i j j 정공의전류기여는속도 v j 를가지는양으로대전된입자 ( 없어진전자 ) 에의한전류와같음가전자대의비어있는상태는 positive charge와 positive mass를가지는 charge carrier로취급반도체에서 charge carrier는전도대에있는전자와가전자대에있는정공 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

3..1 전자와정공 전계에의해기울어진포텐셜 ( 에너지 ) 로인해 A 위치에있는전자는 B 점 으로이동함으로써운동에너지 ( 포텐 lectron energy 셜에너지의소모로 ) 얻게된다. k B lectron K.. B lectron k A k 서로마주고보있는전자와정공의파동벡터와이들전하캐리어는서로반대방향으로이동한다.

23 3..1 전자와정공 전계에의해기울어진포텐셜 ( 에너지 ) 로인해 A 위치에있는전자는 B 점 으로이동함으로써운동에너지 ( 포텐 lectron energy 셜에너지의소모로 ) 얻게된다. k B lectron K.. B lectron k A k 서로마주고보있는전자와정공의파동벡터와이들전하캐리어는서로반대방향으로이동한다. 전도대하단 ( 가전자대상단 ) 으로전자 ( 정공 ) 의운동에너지가 0. 즉, 포텐셜에너지만존재 전계에의해포텐셜 ( 에너지 ) 가기울어짐 Hole Hole energy V 정공의에너지는내려가는반면전자의에너지는올라간다. Fig. 3-9 전계내에놓여있는반도체에대한에너지대역도를단순화한에너지대위치에관 하여 (, k) 대역구조를중첩. 정공에너지는내려가는반면, 전자에너지는올라간다. Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

24 3.. 유효질량 결정에서전자들은완전히자유롭지않으며, 격자의주기적인 potential 과상호작용을한다. 그결과자유공간 (free space) 에서와같은운동은할수없음. 전기역학 (electrodynamics) 의식을 charge carrier에적용하는데있어입자질량의값을변경된값 ( 유효질량, effective mass) 으로사용해야함 ex) T=300 K 1. Si 의경우 : m l* =0.98m 0, m t* =0.19m 0, m lh* =0.16m 0, m hh* =0.5m 0. Ge 의경우 : m l* =1.64m 0, m t* =0.08m 0, m lh* =0.044m 0, m hh* =0.8m 0 3. GaAs 의경우 : m e* =0.067m 0, m lh* =0.08m 0, m hh* =0.45m 0 유효질량의평균값측정 : Cyclotron resonance 효과이용 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

25 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors 3.. 유효질량자유전자의 (,k) 관계 Wave-particle duality 로부터 m d d m m p m K m p 1 1. k k k 위의식에서전자의유효질량은 * dk d m GaAs 에서 Γ 대역과같이 k=0 에중심을둔대역에있어, 최소점근처에서의 (, k) 관계는주로포물선형이며다음과같다 C m * k

26 유효질량의평균값측정 Cyclotron resonance 효과이용 3.. 유효질량 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

27 유효질량의평균값측정 3.. 유효질량 Cyclotron resonance 효과이용 Cyclotron nergy i, n ( n i, n, s 1i, s i ( n ) c sg BB 1 ) c sg B B c ( e / me ) B s spin g Landeg factor e B Bohr magneton( ) m c Cyclotron frequency m ffective mass e B Magnetic field 0 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

28 유효질량의평균값측정 Cyclotron resonance 효과이용 3.. 유효질량 In x Ga 1-x As/In y Al 1-y As C. S. R. Q. W. TRANSMITTANC (arb. units) = 70.5 m = 96.5 m = m = 0.4 m In x Ga 1-x As/ In y Al 1-y As coupled steprectangular quantum well ~10% MAGNTIC FILD (T) Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

29 유효질량의평균값측정 Cyclotron resonance 효과이용 3.. 유효질량 FIR PHOTON NRGY (mev) In x Ga 1-x As/In y Al 1-y As C. S. R. Q. W. m 1 * = ( ± ) m 0 m * = (0.054 ± ) m 0 In x Ga 1-x As/ In y Al 1- yas coupled step and rectangular quantum well MAGNTIC FILD (T) Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

Fig. 3-10 반도체의실제대역구조 Si GaAs (a) [111] 과 [100] 면을따라서본 Si 와 GaAs 에서의전도대와가전자대 상층계곡 대역근처에서의형상은포물선전도대역인반면, 고에너지부근에서는상당한바로비포물선성질을띰. ++++ +++++ g Δ=0.

30 Fig 반도체의실제대역구조 Si GaAs (a) [111] 과 [100] 면을따라서본 Si 와 GaAs 에서의전도대와가전자대 상층계곡 대역근처에서의형상은포물선전도대역인반면, 고에너지부근에서는상당한바로비포물선성질을띰 g Δ=0.3 g 하층계곡 에너지들은결정에서높은대칭성을지닌 [111] 과 [100] 방향을따라그려짐. K=0 인점을 Γ 로나타냄. [100] 방향을따라갈때, X 근처의계곡에도달하게됨. [111] 방향으로따라가다보면 Γ 계곡에도달함 Si 은간접대역간극을가지고 GaAs 는직접대역간극을가짐 파동벡터 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

Fig. 3-10 반도체의실제대역구조 전도대역 (a) X 방향을따라서본 6 개의전도대역최소점 근처의 Si 에대한타원형등에너지면 실리콘은장축을따라서하나의종축유효질량 m l 을갖음

31 Fig 반도체의실제대역구조 전도대역 (a) X 방향을따라서본 6 개의전도대역최소점 근처의 Si 에대한타원형등에너지면 실리콘은장축을따라서하나의종축유효질량 m l 을갖음 단축을따라서두개의횡축유효질량 m t 를갖는 6 개의등가 X 방양을따라전도대역최소점에가까운 6 개의옆궐련형상을가짐 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

32 3..3 진성반도체재료 진성반도체 (intrinsic semiconductor) 불순물 (impurities) 이나결정결함 (lattice defects) 이없는완전한반도체결정 0 K에서가전자대는전자로채워져있고, 전도대는비워져있기때문에 charge carriers는없음 반도체는완전한절연체로작용 Thermal generation process 온도가증가함에따라열적여기에의해 electron- hole pairs(hp) 생성진성반도체에서는이들 HP가유일한 charge carrier Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

3..3 진성반도체재료 HP generation by covalent bonding model 에대한고찰 가전자중하나가공유결합에서떨어져나가격자내에서자유롭게움직임 Conduction electron 및 broken bond (hole) 생성 결합을깨기위해필요한에너지는 g

33 3..3 진성반도체재료 HP generation by covalent bonding model 에대한고찰 가전자중하나가공유결합에서떨어져나가격자내에서자유롭게움직임 Conduction electron 및 broken bond (hole) 생성 결합을깨기위해필요한에너지는 g 전자와정공이쌍으로만들어지기때문에전도대전자농도는가전자대정 공농도와같음 n cf p n i. T1 T n i 1 ni n: 전도대전자농도, p: 가전자대정공농도 n i : 진성캐리어농도 (intrinsic carrier concentration) Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

34 3..3 진성반도체재료 n=p=n i e - e - Si HP 의생성은결정격자에서공유결합이부서지는것을생각하면정성적인방법으로눈앞에떠오르게할수있음 h + h + e - : 전자 h + : 정공 Fig Si 결정의공유결합모형에서의전자 - 정공쌍 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

35 재결합 (recombination) 3..3 진성반도체재료 일정온도평형상태에서일정한 HP 농도를유지하기위해서는생성되는비 율과같은비율로감소또는재결합이있어야함. r i n ri g i g i : generation rate[hp/cm 3 -sec], r i : recombination rate 재결합은전도대에있는전자가가전자대에있는비어있는상태로천이하면 서일어남 임의온도에서전자와정공의재결합률 r i 은전자및정공의평형상태농도 에비례 0 0 r Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors r p α r : 재결합 mechanism 에의존하는비례상수 n 0, p 0 : 평형상태전자및정공농도 n i g i

36 3..4 외인성재료 도핑 (doping) 진성반도체에불순물 (Si의경우 As, Sb(V족 ) 또는 B, Al, Ga(III족 )) 을첨가함으로써전도도를변화적절한도핑에의해평형상태전자및정공농도가진성캐리어농도와다른값을가짐 n 0 p 0 n i 격자내에공유결합에참여하는전자수보다많은 ( 적은 ) 전자를갖게될경우이러한과잉캐리어 (excess carrier) 는결합에참여하지않기때문에그구성원자들과비교적약한결합을하게되고, 쉽게이탈. 이러한자유전자들은치환형불순물원자에고정된 positive (or negative) charge를남김. 즉, 첨가불순물을이온화시킴. 결정전체는중성을유지하며, 정공 ( 전자 ) 은존재하지않음 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

37 n-type semiconductor Donor impurity 3..4 외인성재료 Intrinsic Si 에전도대의전자수를증가시키기위해 5 가불순물 (ex. As, P, Bi, Sb) 원자를첨가 Covalent bonding model 에서의고찰 불순물들은정상적인 IV 족원소들의격자위치를점유 : 치환형불순물 (substitutional impurity) As 의 5 개의가전자중 4 개는 Si 와공유결합에이용되고, 나머지 1 개의전자는단지약한정전기력에의해 As 에약하게구속 실온에서원자의열적진동 (thermal vibration) 은이러한전자가자유롭게되는데충분 한에너지를공급하므로전도전자 뒤에남은불순물은양이온이되며, 이이온들은공유결합에의해이웃원자들과강하게결합 하고있기때문에전계인가시에도이동하지않음 실온에서거의모든불순물원자들이이온화하므로불순물원자들은각각 1 개의전도 전자를기여 다수캐리어 (majority carrier): 전자 / 소수캐리어 (minority carrier): 정공 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

38 3..4 외인성재료 c c d d 전도대아래가까운곳에위치 v v 0 K 에서는전자로충만되어있고, 이들전자를전도대로천이시키기위해극히적은열적에너지소모 T=0 K T 50 K Fig. 3-1 반도체에서불순물의에너지대역모형과화학결합모형 : (a) 도너준위로부터전도대역으로의전자공여 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

39 P-type semiconductor Acceptor impurity 3..4 외인성재료 Intrinsin Si에가전자대의정공수를증가시키기위해 3가불순물 (ex. B, Al, In, Ga) 원자를첨가 Covalent bonding model 에서의고찰 B의 3개의가전자는공유결합에이용되고나머지하나의결합은미완결로존재미완결결합은결합에참여하고있는전자들의위치교환에의해다른원자로이동미완결결합은이웃원자로부터하나의전자를받아들여결정내정공이생성되며, B원자는음이온이됨실온에서거의모든불순물원자들이이온화하므로하나의불순물원자마다 1개의정공생성다수캐리어 : 정공 / 소수캐리어 : 전자 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

40 3..4 외인성재료 c c a a v v T=0 K T 50 K Fig. 3-1 반도체에서불순물의에너지대역모형과화학결합모형 : (b) 억셉터준위에의한가전자대역의전자의수용과그로인한정공의생성 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

41 3..4 외인성재료 Si As e - h + B Fig. 3-1 반도체에서불순물의에너지대역모형과화학결합모형 : (c) Si 결정의공유결합모형에서의도너와억셉터원자 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

42 3..5 양자우물에서의전자와정공 Al 0.3 Ga 0.7 As GaAs Al 0.3 Ga 0.7 As Fig 에너지간극이큰 AlGaAs 에둘러싸인얇은 GaAs 층에서의에너지대역불연속성. 이경우에는 GaAs 영역은매우얇아서가전자대및전도대에서양자준위들이형성된다. Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

43 3..5 양자우물에서의전자와정공 매우얇은 GaAs층이그보다넓은에너지간극을갖는두층의 AlGaAs 로둘러싸인다층구조에서의전도대역및가전자대역의공간적변화를나타냄 구속된전자나정공은전위우물에서의입자와같이행동함 좁은간극을갖는물질에서의전도대역전자들은정상적인연속준위를갖는것이아니고, 이산양자준위에구속됨 가전자대역의에너지준위들도양자우물에서의이산준위들로구속됨 GaAs 전도대에있는전자들은정상적인전도대쥐위에있지 1 과같은 전위우물에서의입자 준위에있게됨 양자우물의정공들은 h 와같은이산준위를차지하게됨 반도체레이저나하이일렉트론모빌리티트렌지스터에응용 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

44 3..5 양자우물성장기계 분자선에피택시 (molecular beam epitaxy; MB) Chap. 1. Crystal Properties and Growth of Semiconductors

45 3.3 캐리어농도 반도체의전기적성질을이해하고, 전자소자의동작을분석하기위하여전하캐리어의수를알아야함다수캐리어의농도는보통도핑을많이한물질에서는각불순물원자에대하여하나의다수캐리어가이루어짐소수캐리어의농도는중요하지않음캐리어농도의식을얻기위해취할수있는에너지상태범위에서의캐리어분포상태를조사해야함캐리어분포상태는통계적방법이필요함 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

46 3.3.1 페르미준위 Fermi-Dirac 분포함수 (distribution function) 고체내의전자분포는스핀이 ½ 이므로 Fermi-Dirac 통계를따름 전자들의구별불가능성, 파동성및파울리의베타원리를고려해야함 열적평형상태에서허용된에너지준위범위에서의전자분포 f ( ) ( ) 1 e 1 F kt k: Boltzmann 상수 f(): Fermi-Dirac 분포함수 페르미준위는반도체의동작을분석하는데중요한양을나타냄 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

47 3.3.1 페르미준위 Fermi Level( F ) 전자가발견될확률이 ½ 인에너지준위 f ( F ) ( ) kt 1 1 e 1 [1 1] 1 F F Fermi-Dirac 분포함수는모든온도 에대해 F 를중심으로대칭적 f() Fig 페르미 - 디랙분포함수 T=0 K F 보다 Δ만큼큰에너지준위에대해전자가있을확률은 F 보다 Δ만큼작은에너지준위에전자가없을확률과같음 ½ F T >T 1 T 1 T Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

48 3.3.1 페르미준위 At T=0 K f()=1, for < F : 전자가존재할확률 1(filled) f()=0, for > F : 전자가존재할확률 0(empty) F 까지허용할수있는모든에너지상태 (energystate) 는전자로채워져있고 F 위의모든상태는비어있음 At T=T 1 f() ½ Fig 페르미 - 디랙분포함수 F T=0 K T >T 1 T 1 T T 가 0 K 보다큰경우 Fermi level 이상의에너지상태에대해전자들이점유할확률존재 F 위에있는상태들에대해전자가채워져있을확률은 f() 이고, F 아래에있는 states 가비어있을확률은 [1-f()] At T=T 온도가증가할수록 F 보다큰에너지상태에전자가있을확률이커짐 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

49 반도체에서의 f() 페르미준위 Intrinsic material F 는밴드갭의가운데에위치 n-type material n0 p 0 n0 p 0 f() 또는 F 는진성반도체의경우보다위쪽에위치 n 0 : 평형상태에서전도대내의전자농도 p 0 : 평형상태에서가전자대내의정공농도 특정온도에서 f() 는그형태유지 진성반도체에서보다전도대에서전자의농도가높다는것은가전자대에서정공의농도가이에상응하여작아진다는것을의미 (f() 의대칭성때문 ) F 가전도대가까이로움직임에따라전도대에있는각에너지레벨에대한 f() 는증가 C - F 는 n 의척도 p-type material n0 p 0 F 는가전자대가까이에존재 Doping 을많이하면 F - V 는감소 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

Fig. 3-15 반도체에인가된페르미분포함수 (a) 진성반도체 ; (b) n 형반도체 ; (c) p 형반도체 f( C ) C F f( C ) C F a. 진성반도체물질에대해서는가전자대역의정공농도와전도대역의전자농도가같다 b.

50 Fig 반도체에인가된페르미분포함수 (a) 진성반도체 ; (b) n 형반도체 ; (c) p 형반도체 f( C ) C F f( C ) C F a. 진성반도체물질에대해서는가전자대역의정공농도와전도대역의전자농도가같다 b. N형반도체물질에서는가전자 V V 대역의정공농도에비하여전도 대역의전자농도는크다 f() (a) Intrinsic ½ 0 [1-f( C )] f() (b) n-type ½ 0 N형물질에서분포함수 f() 는에너지눈금에서그의진성반도체경우의위치보다위쪽에있음 C c. P형반도체물질의경우페르미준위는가전자대역가까이있어 F V v 보다아래쪽 [1-f()] 의꼬리부분이 c 보다위쪽 f() 의꼬 f() (c) p-type ½ 리부분보다도크게되어있음 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

51 페르미준위 (Fermi level) 페르미준위 절대온도 0 K에서입자로채워진가장윗준위또는최외각전자가가지고있는에너지높이페르미-디락분포함수식에서의 f 는흔히페르미레벨 ( 에너지 ) 이라부르지만정확하게는 chemical potential에해당 페르미-디락분포함수의 f 는다른모든변수가고정된상태에서입자개수의변화에대한에너지의변화치를의미하나의 state가온도의변화와무관하게전자가점유할확률이 ½ 이되는에너지값으로정의하는것이타당 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

52 3.3. 평형상태에서의전자와정공농도 페르미분포함수는가전자대역과전도대역에서취할수있는에너지상태의밀도가알려지면반도체에서의전자와정공농도를계산하는데사용할수있다. Thermal equilibrium 시스템이에너지를외부로부터받는만큼내놓아시스템의온도가주위의온도와같으며, 시간이지나도그상태가변하지않는다는것을의미 평형상태에서전도대의전자농도 (n 0 ) n f ( ) N ( ) d 0 C f() : 전자의점유확률 N() : 상태밀도 (density of state, DOS) 함수 N()d : 에너지영역 d 에있는에너지상태의밀도 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

53 3.3. 평형상태에서의전자와정공농도 3 차원에서의상태밀도함수 * m N ( ) d h 3 1 d ( 부록 IV 참고 ) N() 는 ½ 에비례하므로전도대에서상태밀도는전자에너지에따라증가 f() 는큰에너지에대해매우작으므로 N()f() 곱은 C 위로갈수록급격히감소하고, 아주작은전자만전도대훨씬위의에너지상태를점유가전자대에서빈상태 ( 정공 ) 를발견할확률 [1- f()] 는 V 가아래로갈수록급격히감소하고대부분의정공은가전자대윗부분에있는상태를점유 유효상태밀도 (effective density of state) 전도대에분포되어있는모든에너지상태가전도대끝 ( C ) 에등가적으로모아놓았을때의에너지상태밀도 전도대전자농도 n f ( 0 C C Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors N )

54 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors 3.3. 평형상태에서의전자와정공농도 ) ( 0 C C f N n kt kt C F C F C e e f 1 1 ) ( kt C F C e N n 0 F 가전도대가까이로움직임에따라전자농도는증가! 3 * where h kt m N n C 전도대유효상태밀도전도대에있는전자의농도 F 가전도대아래수 kt 이상떨어져있다고가정하면가전자대에있는정공의농도 ) ( 1 0 V C f N p kt kt V V F F V e e f ) ( 1 kt V V F e N p 0 F 가가전자대가까이로움직임에따라정공농도는증가! 3 * where h kt m N p V 가전자대유효상태밀도

Fig. 3-16 반도체에인가된페르미분포함수 (a) 진성 ; (b) n형및 (c) p형반도체의열적평형에서의에너지대역도, 상태밀도, Fermi-Dirac 분포및캐리어농도 전자 C C F V (a) Intrinsic V 정공 C C F V

55 Fig 반도체에인가된페르미분포함수 (a) 진성 ; (b) n형및 (c) p형반도체의열적평형에서의에너지대역도, 상태밀도, Fermi-Dirac 분포및캐리어농도 전자 C C F V (a) Intrinsic V 정공 C C F V V (b) n-type N () f () C C F V V N ()[1-f ()] (c) p-type N () 캐리어농도 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors f ()

56 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors 3.3. 평형상태에서의전자와정공농도 F 가 intrinsic level i 에존재하면 n 0, p 0 모두 n i 이지만 F 가전도대쪽으로이동하면 n 0 증가, p 0 감소 quilibrium electron-hole product i 진성반도체의 Fermi energy level 진성전자 (n i ), 정공농도 (p i ) 전도대유효상태밀도 ( N c ), 가전도대유효상태상태밀도 (N v ) kt C i i C e N n kt i C i C e n N kt i i F e n n 0 kt V i V i e N p kt i V V i e n N kt i F i e n p 0

57 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors 3.3. 평형상태에서의전자와정공농도진성반도체에서 n i = p i 이므로 kt V C kt V kt C i i kt V C kt V C kt V kt C g V i i C g V C V i i C e N N e N e N p n e N N e N N e N e N p n 0 0 kt V C i i g e N N p n 0 0 i n p n 일반적으로전자와정공의유효질량에는다소차이가있어 N C 와 N V 는약간다르므로진성반도체에서의 F 는밴드갭의중앙에서조금떨어진 intrinsic level i 에위치 * * ln n p V C i m m kt

58 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors 캐리어농도의온도의존성 kt p n i g e m m h kt T n * * ) ( kt i g g g e T K T n b T T ) ( and ) ( Intrinsic semiconductor 상태밀도함수의 T 3/ 의존성으로인한변동과 g 의온도의존성을무시하면 lnn i 에대한 10 3 /T 로표시한그래프는거의선형적 Si, Ge 에서 g 는온도에따라단조감소

Fig. 3-17 온도역수의함수로서의 Ge, Si, GaAs 의진성캐리어농도. 실온에대한값들은참고로표시하였음.

59 Fig 온도역수의함수로서의 Ge, Si, GaAs 의진성캐리어농도. 실온에대한값들은참고로표시하였음. 임의의온도에서 n i 값은일정 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

60 3.3.3 캐리어농도의온도의존성 xtrinsic semiconductor 1. Low temperature region 매우낮은온도 ( 큰 1/T) 에서는무시할정도의작은진성 HP 존재 Donor 전자들은핵에강하게구속 (n-type 의경우 ) 되어있으며, 온도가올라가면이들전자의일부가이온화. Ionization region 약 100 K 에서모든 donor 원자들은이온화되며, 전도대전자농도 n 0 는거의 extrinsic 농도 N d 가됨 3. xtrinsic region 모든취할수있는 extrinsic 전자가전도대로천이되면 n i ( 온도에따라증가 ) 가 N d 와비슷하게될때까지 n 0 는일정 4. Intrinsic region 고온에서는열에너지에의한 HP 생성이증가하여 n i 가 N d 보다크게되어 intrinsic carrier 가 dominant Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

61 3.3.3 캐리어농도의온도의존성 전자소자에서열적 HP보다도핑에의해캐리어농도를조절하는것이바람직. 따라서 extrinsic region이소자의동작한계온도를훨씬넘어서도록도핑 Intrinsic xtrinsic Fig 도너 /cm 3 으로도핑된 Si 에서의캐리어농도대온도역수의관계 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

62 3.3.4 보상과공간전하중성 Donor 와 acceptor 모두포함하는경우 (N d >N a ) Donor가우세하므로 n-type 반도체가되고, F 가 i 위에위치 Acceptor level은가전자대전자로채워지고그결과가전자대에정공이생성이정공은전도대에있는전자와재결합 (recombination) 하여없어지며, 이러한과정을보상 (compensation) 이라함 전도대의전자농도는 N d 대신 N d -N a d F c Acceptor 와 donor 를갖는반도체를 보상되었다고함. i a v Fig n 형반도체에서의보상효과 (N d >N a ) Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

63 3.3.4 보상과공간전하중성 물질이전기적으로중성을유지한다면 positive charges (holes and ionized donor atoms) 의합은 negative charges (electrons and ionized acceptor atoms) 의합과균형을이루어야함 p0 N d n0 N a 전도대의실질적인전자농도는 n0 p0 N d N a n-type 으로도핑되어있고 (n 0 p 0 ), 모든불순물이이온화되었다면 n 0 N d N a Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

64 3.4 전계와자계에서의캐리어표동 고체에서의캐리어농도는전계나자계가존재할때전류흐름을계산하는데필요함전류가흐를때캐리어들의충돌과산란과정은온도에따르며이온도는격자원자의열적운동과캐리어들의속도에영향을줌반도체의 가지전류전도기구표동 (drift) 전계인가에따른전자와정공의이동발생 확산 (diffusion) 캐리어농도불균일에기인 Graded doping, 적절한소스로부터의캐리어주입등에의해위치에따른농도변화가능 캐리어의격자및불순물산란 (scattering) 전류의흐름계산시 n, p와함께고려고체내에서이동도 (mobility, 캐리어가흐를수있는용이성 ) 에영향온도에의존하며격자원자의열적운동과캐리어속도에영향 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

65 Random scattering 전도도와이동도 고체에서의전하캐리어는열적평형상태에서도무질서한열운동 (random thermal motion) 을함각전자의열운동은격자진동, 불순물, 다른전자, 결함들과무질서한산란을함산란은무질서하기때문에어떤주기동안전체전자의순수한이동은없음 x v x 전계 μ n x Fig. 3-0 (a) 고체에서전자의임의의열적운동 ; (b) 가해진전계에대한방향성있는표동속도. (a) (b) Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

66 Thermal velocity 전도도와이동도 전계가 x 방향으로인가될때 F nq x dp dt x field t=0 시간에 N 0 전자를고려하고, 시간 t에충돌하지않고남은전자의개수를 N(t) 로정의할때특정시간 t에서 N(t) 의감소율은충돌하지않고남아있는수에비례 dn( t) 1 N( t) N( t) N0e dt t 시간 dt 에서충돌로인한운동량 px 에서의변화 dpx 는 t t t : 평균자유시간 t 1 : 비례상수 dp x p x dt t dp dt x collisions p t x Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

67 3.4.1 전도도와이동도 정상상태에대해가속과감속효과의합은 zero 이므로 p t x nq x 0 각전자당평균운동량 <p x > 및평균속도 <υ x > 는 x p x p n p m x qt x * n qt m * n x x 전계인가시평균전자의 net drift 로서 drift 속도는열적 운동속도 υ th 로인한 random 속도보다훨씬작다. Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

68 전도도 (conductivity) J x 전도도와이동도 실질적표동 (net drift) 으로인한전류밀도 (J x ) 는단위시간당단위면적을가 로지르는전자의수 (n<υ x >) 에전자의전하량 (-q) 를곱한것 qn where 이동도 (mobility) nq n, where x nq m nq m n * n * n t t x : x conductivi ty : ohm' s cm 1 law qt x : mobility cm V * m n x 물질에서전자 ( 정공 ) 가 drift 하기쉬운정도 sec Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

69 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors 전도도와이동도 qp J or qp J qn J or qn J p p x p px n n x n nx p n q J J J p n q J p n p n x x p n x 전자 (J nx ) 와정공 (J px ) 의전류밀도전자와정공모두 drift current 에기여하는경우

70 3.4. 표동과저항 옆의봉의저항 (R) L L 1 R wt wt lectric field Current Hole motion lectron motion 여기서 ρ : resistivity(ω-cm) x=l J I A V L 1 A V A L lectron motion Fig. 3-1 반도체봉에서의전자와정공의표동 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

71 3.4.3 이동도에대한온도와도핑의영향 이동도에미치는온도영향 고온영역 : lattice scattering(phonon scattering) 결정내의캐리어는격자의열진동 (vibration) 에의해산란온도가증가함에따라격자의열적운동은증가하기때문에산란빈도수증가저온영역 : impurity scattering 차가운격자의원자일수록덜진동하므로격자산란은덜중요저온에서캐리어의열적운동이느려져 charged ion과의상호작용이커짐 Ionized impurity scattering이이동도감소에주된기구온도저하에따라이동도감소 ( 느리게움직이는캐리어는보다큰운동량을가지고있는캐리어보다대전된이온과의상호작용이강해져더산란이쉽게되기때문 ) 불순물에의한영향이동도는전체이온화된불순물농도 (N d+ +N a- ) 에따라변화캐리어농도증가 이동도감소 ( impurity scattering 증가때문 ) Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

72 μ(cm /V-s) (log scale) 이동도에대한온도와도핑의영향 산란확률은평균자유시간에따라서반비례하므로, 둘이상의산란기구에의한이동도는역수적으로더함 Impurity scattering Lattice scattering T(K) (log scale) Fig. 3- 격자및불순물산란에따른이동도의근사적온도의존성 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

73 Mobility (cm -3 /Vs) Silicon Germanium 불순물의농도가증가함에 따라 impurity scattering 의 효과는고온에서도나타남 Gallium Arsenide Fig K에서의 Ge, Si, GaAs의도핑농도 (N a +N d ) 에따른이동도의변화 Impurity concentration (cm -3 ) Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

74 For low electric field (υ d >> υ th ) 강전계효과 Drift velocity 는전계에비례하고, 이동도는일정 d Drift current 는전계에비례하고, 전도도는전계에따라변화하지않음 J Ohm 의법칙은성립 For high electric field (υ d << υ th ) 전계에의한캐리어의 drift속도는 mean thermal velocity ( 10 7 cm/s) 에서포화 scattering limited velocity 그이상의전계 (>10 3 V/cm) 에대해서속도는더이상증가하지않고전달된에너지는캐리어의속도증가보다격자에전달 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

75 3.4.4 강전계효과 Fig. 3-4 Si 에대한강전계에서의전자표동속도의포화 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

76 3.4.5 홀효과 p-type bar 에서정공이표동하 는방향에수직으로자계가인 가되면정공의경로가편향 자기장이정공의분포를 y방향으로 shift시키면서 y 가생성되는데, 이를 Hall effect라함. 이전기장에의해서정공은안정적흐름을유지 Fig. 3-5 The Hall ffect Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

77 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors 홀효과전계와자계로인해하나의정공에미치는전체힘은 0, 0 z y y x z x y y J J B B B q F B q F 0 y z x y F B 정공의정상적인흐름 ( 정상전류 ) 이유지되기위해서는가형성되어야함물리적으로정상전류가 x 방향으로흐를때전자는자계에의해 bar 의뒤쪽으로이동하고양이온은앞쪽에존재. 따라서전계 y 가뒷면으로향하는전자의운동을방해하는방향으로발생. (Hall effect) voltage Hall : w V y H

78 한편, 여기서 홀계수로부터 p 0 를계산하면 홀효과 x y Bz RH J xbz J x qp0 qp0 R H J 1 qp 0 1 qr 우변은실험을통해서측정할수있는값이므로정공농도는계산가능 측정된저항으로부터비저항을계산하면 : Rwt L Hall p 0 V L coefficien CD H I wt x t v J xb q y z x I q x wtbz I xbz V H w qtvh 비저항과홀계수로부터이동도를계산하면 p qp 0 q 1 H 1 qr H R n-type 인경우 q, 홀전압, 홀계수는 negative Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

79 3.5 평형에서의페르미준위와일정성 평형상태페르미준위에대한수식적고찰 ( 전자가그사이에서움직일수있을정도로 가깝게붙어있는두물질을고려함 ) F Material 1 Density of states N 1 () Fermi Distribution f 1 () Material N () f () x Fig. 3-6 평형에서밀착되어있는두물질. 전자의실질적인이동은없으므로평형페르미준위는전체적으로일정해야한다. 평형페르미준위 F 에서단절이나경사도가없다. Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

80 3.5 평형에서의페르미준위와일정성 이물질들은서로다른반도체들이거나, n 형과 p 형영역이거나금속과반도체, 또는단순히서로붙어있는두개의불균일도핑반도체임. 각물질은전자들이차지할수있는에너지준위의분배를설명하는페르미-디랙분포함수나또는다를분포함수로설명될수있음. 열적평형상태에서는전류도없고전하이동과에너지이동의실질적인값도없음. 각에너지 에대하여물질 1 에서물질 로전자의어떠한이동도, 정확하게물질 에서물질 1 로가는전자의반대이동으로균형이이루어져야함. 물질 1 의에너지 의상태밀도를 N 1 () 라하고, 물질 에서는 N () 라하면, 에너지 에서 1에서 로가는전자이동도는물질 1 의 에서채워진상태의수와물질 의 에서빈상태의수를곱한수에비례함. Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

81 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors 3.5 평형에서의페르미준위와일정성 0 1 dx d F F F ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( f N f N f N f N = ), ( ) ( kt kt F F e e f f f N f N N f N f N f N N f N 평형페르미준위는연속이며, 두물질사이에서일정해야한다. 1 에서 로가는비율 에서 1 로가는비율 평행상태에서 1 에서 로가는비율과 에서 1 로가는비율이같다

82 Homework #3 고체전자공학제 6 판 Chapter 3. 연습문제 문제 3, 문제 7, 문제 1, 문제 15, 문제 Chap. 3. nergy Bands and Charge Carriers in Semiconductors

슬라이드 1

슬라이드 1 Chapter 3. Energy Bands and Charge Carriers in Semiconductors ( 에너지대역과반도체에서의전하캐리어 ) 3.1.1 고체에서의결합력 이온결합 (ionic bonding) 알칼리의할로겐화합물 (ex. NaCl) Na와 Cl사이의전자교환이이루어지면최외각궤도는 8개의전자로완전히 채워짐. Na(z 11) Cl(z Na Na