< 연구논문 > 한국동력기계공학회지제 권제 호 pp.4~47 008 년 4 월 FEM을이용한구체무단변속기의응력해석 Stress Analysis f the S-CVT using Finite Element Methd 김정윤 J. Y. Kim Key Wrds:Frictin Drive( 마찰전동장치 ), FEM( 유한요소법 ), Hertzian Thery(Hertzian 접촉이론 ), Spherical CVT( 구체무단변속기 ) Abstract:This article deals with the stress analysis f the frictin drive, which transmits the pwer via the rlling resistance n the cntract area between the tw rtating bdies. On the cntact area, frictin drives are nrmally invlved with shear stress due t the transmitted frce, as well as nrmal stress. Thus the stress analysis including the shear stress is necessary fr the design f the frictin drive. Hertzian results can be used t estimate the nrmal stress distributin and elastic deflectin f the cntact area, althugh the shear stress distributin is nt well defined. In rder t investigate the shear stress distributin and its effects in a frictin drive, we have perfrmed the stress analysis f the spherical cntinuusly variable transmissin(cvt) using finite element methd. The spherical CVT is ne f frictin drives, which is used in small pwer applicatins. The numerical results shw that the nrmal stress distributin is nt affected by the transmitted shear frce, and the maximal shear stress is increased in small amunt alng with the shear frce. : 각속도 [rad/s] : 각도 [rad] : 수직하중 [N], r : 반경 [m] E : 탄성계수 [ ] p : 수직응력 [ ] v : 포아송비 기호설명. 서론 마찰을이용하여동력을전달하는마찰전동장치 (frictin drive) 는백래쉬 (backlash) 가없고소형화가가능하여정밀이송장치와정밀공작기계설계에적용되어왔다. )~5) 더불어마찰로인한작은동력전달용량과마모, 열문제로인하여차량용변속장치로사용하기는어려우나트랙션오일을사용할경우트랙션드라이브 (tractin drive) 로의적용이가능하고그구조 접수일 : 007 년 0 월 일, 채택확정 : 008 년 월 0 일김정윤 ( 책임저자 ) : 대구가톨릭대학교기계자동차공학부 E-mail : kjungyun@cu.ac.kr, Tel : 05-850-74 적특징을이용하여다양한형태의무단변속기구로응용될수있어마찰전동장치에대한다수의연구결과가지속적으로발표되고있다. 6)~8) 이러한구름마찰을이용하여동력을전달하는마찰전동장치는동력전달요소간의접촉부에서발생할수있는슬립을방지하고전달동력을증가시키기위하여최대정지마찰력을크게설계하는것이일반적이다. 때문에수직항력과마찰계수의곱으로표시되는최대정지마찰력을크게하기위하여큰마찰계수를가진재료나큰압축강도를가진재료를선택하여제작된다. 따라서동력전달이이루어지는요소간의접촉부에서발생하는탄성변형과응력에대한연구는매우중요하다. 일반적으로정지하고있으며접촉부에수직하중이작용하는두물체의변형과압력분포에관한연구는 Hertzian 해석결과를이용할수있다. 하지만 Hertzian 이론은정지한두물체의압력분포와탄성변형량에대한해석결과를나타내므로마찰전동장치와같이접촉부에동력전달방향으로힘이작용하는경우에대해서는전단력에대한영향을고려한해석이필요하다. 더불어미끄러짐이발생하는전단력이작용할때마찰전동장치는동력전달이실패하게되어접촉부가미끄러짐에의한항복이나파괴가발생할 - 4 -
FEM 을이용한구체무단변속기의응력해석 수있다. 이에본연구에서는유한요소법 (finite element methd) 을이용하여접촉부에서나타나는응력분포에대하여살펴보고자한다. 본연구에서는대상마찰전동장치로서구체무단변속기를선정하였다. Fig. 에서표시한구체와디스크로이루어진구체무단변속기는금속과금속의건마찰로발생하는구름저항력을이용하여동력을전달하는소용량의동력전달장치이다 7). 연구대상마찰전동장치는구체의 차원회전축변화를통하여무단변속을구현하며별도의클러치 / 브레이크기구없이전 / 후진, 중립상태의구현이가능한특징을가지고있다. spin axis sphere θ angle Fig. Structure f the S-CVT Fig. Spherical CVT 본논문에서는먼저연구대상인구체무단변속기의구조와동력전달메카니즘에대해소개하였다. 절에서는일반적인 Hertzian 이론에대해살펴보고그결과를구체무단변속기에적용하여접촉부의탄성변형량과압력분포에대하여살펴보았다. 그리고유한요소법을통하여구체무단변속기의동력이전달되는상태중동력전달방향하중 ( 전단력 ) 이작용하지않는경우와최대정지마찰력이상의하중이작용하여미끄러짐이발생하는경우에대한해석결과를제시하고이를분석하였다. 동력의전달은구체와일정한반경으로접촉하고있는각디스크의회전을통하여이루어진다. 입력축에서전달된토크는입력디스크와구체의접촉점에서발생하는접선방향힘 ( 전단력 ) 으로전달되고, 이는다시출력디스크를통해출력축의토크로전달된다. 입력디스크와출력디스크에서동력을전달하기위하여필요한수직항력은압축코일스프링을사용하여일정한크기로인가하며, 핵심요소인구체와디스크의재질과가공정도는일반볼베어링의그것과같다. Fig. 은 S-CVT의작동원리를나타낸것이다. 동력발생요소에서구동력이전달되면구체와반경 ri 로접촉되어있는입력디스크의회전으로구체가회전하게된다. 이회전은구체의회전 (spin) 운동을유발하고, 이를이용하여반경 ro 로접촉되어있는출력디스크의회전이이루어져출력축으로동력이전달되게된다. 이때, 구체의중심과편심되어있는베리에이터의회전중심위치를변화시키면 ( 의변화 ) 구체의회전축이변화하여입력디스크와출력디스크의 UE VIEW r i r i r i. 구체무단변속기 r i angle r sphere i r i angle sphere sphere 구체무단변속기는 Fig. 와같이입력축과연결되어있는입력디스크와출력축과연결되어있는출력디스크, 그리고입력축의동력을출력축으로전달하는동력전달요소인구체와구체의회전방향을변화시키는변속조작부인베리에이터 () 로구성되어있다. ISOMETIC VIEW OOSITE OTATIONAL DIECTION NO OUTUT OTATION SAME OTATIONAL DIECTION Fig. Operating principle f the S-CVT - 4 -
김정윤 접촉점에서구체의회전축까지의거리 ( i, ) 가변하게되어입, 출력축의속도비와토크비가무단으로변화하게된다. Fig. 에서나타난구체무단변속기의작동원리를통하여속도비관계식을유도하면식 () 과같다. r ω ω cs θ, r ω ω sin θ i i ri ω r ω tan θ i 여기서 는베리에이터의각도변화량, 는구체의회전각속도, 는입출력축의각속도, 는입출력측의접촉반경을나타낸다. 입 / 출력디스크와구체의각접촉점에서전달되는동력의실제크기는구체와디스크간의접촉점에서작용하는전단력으로결정되며, 내구도와수명예측을위해서는접촉부에작용하는전단응력의크기에대한고찰이필요함을알수있다. () Fig. 4와같이접촉하는두물체를, 로하고각각의주곡률반경을 x, y, x, y, 탄성계수와프와송비를 E, E, v, v 라고하면, 등가곡률반경 () 과등가탄성계수 (E) 는다음과같다. x x + x y v E E + + x v E, y y + y () () (4) 수직하중 가작용하는두물체의접촉부는장축의길이가 a, 단축의길이가 b인타원형상을지닌다. 수직하중 () 와접촉부의형상 (a, b), 탄성변형량 (d x, d y ) 의관계를수식으로나타내면식 (5),(6) 과같다.. Hertzian 접촉해석 a.09 E + y y y y, b.09 E + x x x x (5) 일반적으로접촉하고있는두물체의탄성변형량과압력분포에대한분석은 Hertzian 접촉해석결과를이용한다. 본연구에서는그상세한내용과유도과정은생략하고기본가정과해석결과를간단히나타내었다. Hertzian 접촉이론에서사용하는기본가정은다음과같다. 재질은균질등방성탄성체이며, 양물체모두탄성역에있다 ( 소성변형없음 ). 접촉면에는수직하중만작용한다. 접촉면의조도는무시한다. 4 접촉타원의크기는물체의곡률반경에비해매우작다. 5 접촉하는두물체는정지하여평형상태에있다.. 접촉부의변형및수직압력분포 plane plane y Z x Bdy d.64 x x + E x x x, d y.64 y + E y y y 또한접촉부에발생하는압력분포는식 (7) 과같이표시된다. 여기서최대압력인 p 는접촉부국부좌표계의원점에서발생한다. p( x, y ) p x a y b 0 ( ( ) ( ) ). 구체무단변속기의변형및압력분포 구체무단변속기에서접촉하는두물체는구체와디스크이므로 Hertzian 해석식 ()~(6) 을적용하면접촉부는원형의변형과응력분포가나타난다. 이때접촉부의반경 (c) 과수직변형량 (δ) 은식 (8) 과같이계산되며, 접촉부에작용하는평균압력 p mean 은수직하중을접촉부면적으로나눈값이므로식 (9) 와같다. (6) (7) Y X y x plane c. E 09, δ. 64 E (8) plane Bdy p mean π c. π E (9) Fig. 4 Schematic view f cntact curvature - 4 -
FEM 을이용한구체무단변속기의응력해석 식 (8) 과 (9) 를이용하여구체무단변속기의구체반경을 0mm, 재질을베어링강 (steel) 으로하였을때접촉부반경은 0.7mm, 수직변형량은 0.07mm, 이며평균면압은 4.6Ma 로나타난다. 구체와디스크의접촉부에서슬립이발생하지않고전달할수있는최대전단응력은수직응력에마찰계수를곱한값보다클수없다. 따라서보통강철과강철사이의마찰계수가약 0. 근처임을고려할때, 전단응력의평균값은약 4.4Ma 이하로예측할수있다. Table Simulatin cnditins N. f ndes 40 N. f elements 760 Material steel Bundary sphere x, y displacement0 Cnditin disc x, y, z displacement0 4. 수직항력만을인가한경우 4. 유한요소해석 앞서살펴본 Hertzian 해석결과는접촉하고있는두개의물체에수직하중이작용할때접촉면에나타나는탄성변형량과응력상태에대한이론적해석해를제시하고있다. 하지만동력을전달하는마찰전동장치의경우접촉부에수직하중과더불어접선방향으로동력전달을위한전단력이작용하므로이에대한고려가필요하다. 이를위하여 Fig. 5와같이유한요소모델링을수행하였다. 유한요소모델링에서접촉부에전단력이작용할때디스크의평면모델링은접촉부의미끄러짐이발생하여하중분포를살펴볼수가없었다. 이에디스크의접촉부중앙반경 0.5mm의원형부에 0.05mm의가상의곡률을디스크의깊이방향으로인가하여해석을수행하였다. 해석은먼저수직하중만작용한경우에대하여구체무단변속기의접촉부에작용하는수직응력과전단응력을살펴보고, 이를 Hertzian 결과와비교하였으며, 이를바탕으로최대정지마찰력을초과한전단력이작용할때의각응력값을계산하였다. 본연구에서사용한 FEM 해석소프트웨어는 ANSYS이고모델링에사용한요소와절점의개수, 재질, 경계조건등은 Table 과같다. Cnstrained displacement line Z X Sphere Bttm plate Fig. 6 Frce cnditin f case 먼저, Fig. 6과같이구체의상단점에서 0N의수직항력만을인가하는경우에대해유한요소해석을수행하였다. Fig. 7의 (a) 는이에대한해석결과로접촉부에작용하는수직응력을나타낸것으로타원형의분포를나타내고있다. 접촉부타원의장축반경은약 0.5mm, 최대수직응력은약 40.Ma으로계산되었다. (a) nrmal stress (b) shear stress Fig. 7 FEM result f case Fig. 5 FEM mdeling 또한, 수직하중에의한구체의최대탄성변형량은약 0.05mm로계산되었으며타원형상으로균일하게분포됨을알수있다. Fig.7의 (b) 는접촉부에서발생하는 X방향의전단응력을표시한것으로, 최대전단응력은약.6Ma 으로나타났다. 전단응력의분포는그림에서알수있듯이 X축을중심으로고르게분포되어있음을알수있다. - 44 -
김정윤 해석결과에서접촉부의응력분포가원형이아닌타원으로나타난것은앞에서설명한바와같이유한요소해석을위하여디스크의접촉부모델링에가상의곡률을이용하였기때문이다. 하지만타원의장축반경이 0.5mm이고단축반경이 0.mm로계산되어그반경비가 9% 로원에가까운값을나타내고있으므로 Hertzian 이론해인 0.7mm 반경의원형응력분포와근사하다고판단할수있다. Table Hertzian analysis result Hertzian 이론해 유한요소해석결과 Fig. 9 Dislcatin f cntact center 접촉부반경 0.7 mm 0.5 mm 수직변형량 0.07 mm 0.05 mm 접촉부압력 4.6 Ma 40. Ma 4. 수직항력과전단력을인가한경우 이번에는 Fig. 8과같이구체의상단점에 0N의 수직항력을인가하고구체와디스크사이에최대정지 마찰계수 0.을가정하고접촉면에 N의접선방향힘 을인가하여미끄러짐이발생할경우에대한해석을 수행하였다. Fig. 0의 (a) 는이때의수직응력을나타낸것으로수직항력만인가한경우에비하여전체적인분포가타원형상에서원형으로변화한것을알수있다. 이는접촉점에인가한전단력때문으로판단된다. 최대수직응력의값은수직항력만인가한경우와거의변화가없는것으로계산되었다. 또한수직응력의분포중심이 -X방향으로이동한것을알수있다. 이는마찰력에의해구체에 Y축방향으로모멘트가작용하기때문에이에대한반력으로수직응력의작용점이이동한것으로분석된다. Z X Sphere (a) nrmal stress (b) shear stress Fig. 0 FEM result f case Cnstrained displacement line Frictin reactin Fx Bttm plate Fig. 8 Frce cnditin f case Fig. 9는 FEM 해석결과중접촉부에미끄러짐이발생하여초기상태에비하여접촉부의지역좌표계 (lcal crdinate) 의원점이이동한결과를나타낸다. 그림에서알수있듯이구체는 X, Y축을기준으로회전이이루어졌으며, 이중 X축을중심으로한회전은수치해석상의오차로판단된다. 미끄러짐은 -X방향으로약 0.mm 발생하였다. Fig. 0의 (b) 는접촉부에서발생하는 X방향의전단응력을표시한것으로, 최대전단응력은약.Ma 로나타났다. 전단응력의분포는그림에서알수있듯이 X축을중심으로고르게분포되어있음을알수있다. 따라서전단응력의분포양상은수직항력만인가한경우와거의유사한결과를나타내고, 최대전단응력의크기만변화하였음을알수있다. 4. 동력전달로인한전단력의영향앞서수행한 Hertzian 이론식의결과와유한요소해석을수행한결과를비교하여정리하면 Table 과같다. - 45 -
FEM 을이용한구체무단변속기의응력해석 Table Cmparisn f analysis result 수직응력의최대값 (Ma) 수직변형량의최대값 (mm) 전단응력의최대값 (Ma) 접촉부중심의미끄러짐 (mm) Hertzian 해석결과 전단력 0 N 전단력 N 4.6 40. 7.5 0.07 0.05 0.05 -.6. 0 0-0. 또한구체와디스크에작용하는전단력의증가에따른접촉부의응력분포를고찰하기위하여전단력을최대정지마찰력인 N에서미끄러짐을발생시키는 N 까지 0.N 씩증가시켜위 4.절의해석과같은방법으로 FEM 해석을반복하여수행하였다. 각해석에서나타난접촉중심의 Y축의회전으로인한 -X방향변위와수직응력과전단응력의최대값을그래프로표시하면 Fig. 과같다. Center dislcatin [mm] 0.0 0.5 0.0 0.5 0.0 0.05 0.00 center dislcatin nrmal stress shear stress(x0 - ) 5.0..4.6.8.0 Shear frce [N] Fig. Effect f shear frce Fig. 에서수직응력의크기는동력전달로인한전단력의작용에대해그영향이작음을알수있다. 또한수치해석결과접촉면의최대전단응력의최대다수직응력에대한비가 4% 에서 6% 로증가함을알수있었다. 이는마찰전동장치의동력전달접촉부에슬립이발생할때최대수직응력대비최대전단응력의크기가커짐을알수있다. 5. 결론 ) 마찰전동장치의동력전달부에작용하는수직응력과전단응력의크기와분포를분석하기위해구체무단 40 5 0 5 0 Stress [Ma] 변속기를대상으로 Hertzian 해석과유한요소해석을수행하였다. ) ANSYS를이용한유한요소해석결과구체무단변속기와같이구체와디스크가접촉하는경우수직항력만인가하였을때와는달리접촉부에동력전달로인한전단력이작용할경우전단응력의분포는접선방향을중심으로고르게분포됨을알수있었다. ) 유한요소해석결과로계산된최대수직응력과전단응력은 Hertzian 해석결과에비하여작은값을나타내고있다. 이는 Hertzian 이론식에서고려되지않은전단응력이유한요소해석결과나타나기때문으로판단된다. 4) 수직응력의크기는동력전달로인한전단력의작용에대해그영향이작음을알수있다. 따라서, 마찰전동장치의설계에서수직응력은 Hertzian 해석식을이용하여계산할수있으나, 기계요소의항복강도 (yield strength) 를파악하기위해서는접촉부의전단응력을고려하여야함을알수있다. 5) 유한요소해석결과를바탕으로마찰전동장치의동력전달에서접선방향의전단력이최대정지마찰력이상작용하여슬립이발생하는경우에는최대수직응력대비최대전단응력의크기가커지므로 Hertzian 해석결과에서나타나지않는전단응력의영향이나타남을알수있다. 후기본연구는 005학년도대구가톨릭대학교연구비지원에의한것임을밝힙니다. 참고문헌. N. Mrnuki and Y. Furukawa, 988, On the Design f recise Feed Mechanism by Frictin Drive, Jurnal f the Japan Sciety fr recisin Engineering, Vl., pp. 8.. K. Kat, 990, Fundamentals and Applicatins f Frictin Drive, Jurnal f the Japan Sciety fr recisin Engineering, Vl. 9, pp. 60 606.. H. S. Lee and M. Tmizuk를 a, 996, bust Mtin Cntrller Design fr High-Accuracy sitining Systems, Transactins n Industrial Electrnics, Vl. 4, N., pp. 48 55. 4. W. S. Chang and K. Y. Tumi, 998, Mdeling f an Omni-Directinal High recisin Frictin Drive - 46 -
김정윤 sitining Stage, rc. f Inter. Cnf. n btics and Autmatin, pp. 75 80. 5. M. K. Kursawa, M. Takahashi, and T. Higuchi, 998, Elastic Cntact Cnditins t Optimize Frictin Drive f Surface Acustic Wave Mtr, Transactins n Ultrasnics, Ferrelectrics, and Frequency Cntrl, Vl. 45, N. 5, pp. 9 7. 6. U.S. Department f Energy, 98, Advanced Autmtive Transmissin Develpment Status and esearch Needs, DOE/CS/5086-. 7. J. Kim, F.C. ark, Y.I. ark, and M. Shizu, 00, "Design and Analysis f a Spherical CVT," ASME, Vl. 4. 8. J. Kim and K.H. Chi, 00, Spin Lss Analysis f Frictin Drives: Spherical and Semi-Spherical CVT," Intl. Jurnal f Autmtive Technlgy, Vl. 4, N. 4-47 -