Chapter 6: Empirical and practical relations for forced-convection heat transfer 서론앞서살펴보았던대류문제는해석적인방법을통해서풀릴수있는문제로서 ( 연속방정식과운동량방정식을동시에풀었음을참조 ), 대류에있어서열전달의원리와이해를돕기위한간단한문제에한정되었다. 하지만, 실제로는, 해석적인방법을통해서실용적인열전달현상에적용하는것은한계가있기때문에, 실험을통해도출된공식이나도표를이용하여대류에있어서의열전달을계산하는방법이이용된다 ( 실험을통해서도출된식, 즉특정환경에서의실험데이터를통해서회귀분석등의통계적방법을이용하여도출된식을일반적으로실험식이라고한다 ). 파이프와관유동에대한실험적관계앞선 5 장의대류의원리에서는다룬관내의층류유동은완전히발달한층류유동을해석적으로접근하여식을도출하였다. 하지만, 이는완전히발달하지않은층류유동이나유체의성질이온도에따라변하는유동, 그리고난류유동에는적용하기어렵기때문에이런상당히복잡하지만중요한공학적문제는실험식을적용해서문제에접근할수있다. 앞으로나오는식들은모두좌변에 Nusselt 수가있음을유의하자. 즉, 관계식은 Nusselt 수에대한식이다. 대류열전달문제에있어서중점은대류열전달계수를측정하는것이므로 ( 대류열전달계수를알아야 대류열전달을구할수있고, 대류열전달계수는열전도계수와달리물체의고유한성질이아니라주변환경에 따라변화하므로측정이매우어렵고, 측정값의오차도크다 ), 관에서 Nusselt 수의정의를이용하여 (Nu d = hd o ) 이를바탕으로대류열전달계수를측정한다. 식에서알수있듯이관의지름과전도계수는 k 측정하기가쉬우므로, Nusselt 수만구한다면대류열전달계수를계산하는것이가능하다. 관내를흐르는완전히발달된난류유동에서열전달 1) 매끈한관내를흐르는완전히발달된난류유동에서열전달 1 Dittus 와 Boelter 에의한식 Nu d = 0.023 Re d 0.8 Pr n 0.4 유체가가열되는경우 n = { 0.3 유체가냉각되는경우 Re d = u md ν
주어진실험식은프란틀수 (Pr) 가 0.6 에서 100 사이의범위이고벽과유체사이에적당한온도차조건을갖는 유체가매끈한관내를흐르는완전히발달된난류유동에대하여유효하다. 이때유체의성질은평균유체 체적온도에서구한값이된다. 2 Gnielinski 는매끈한관내의난류유동에대해보다더좋은결과를보여주는식을제안하였다. Nu = 0.0214(Re 0.8 100)Pr 0.4 사용범위는 0.5<Pr<1.5, 10 4 <Re<5 10 6 Nu = 0.012(Re 0.87 280)Pr 0.4 사용범위는 1.5<Pr<500, 3000<Re<10 6 3 유동에서큰온도차가존재하면, 관벽과중심부분의유동사이에유체의성질이상당히변할수있다. 그림에서보여지는등온유동에해당하는속도분포의변화는기체의점성은온도에따라증가하고, 반면에액체의점성은온도에따라감소한다는사실로부터얻어진다 ( 그림에서기체의가열혹은액체의냉각으로인한점성의증가가층류를발달시킨다고볼수있고 ( 층류는점성의영향아래에있을때발생하는유동의형태임 ) 기체의냉각혹은액체의가열로인한점성의감소는난류와비슷한유체흐름패턴을야기한다. 즉, 이경우점성의영향이약해진다 ). Figure 1. Deviations from the velocity profiles according to heating and cooling of liquids and gases (Holman 10th edition, 2011) 유체의성질변화를고려하여 Sider 와 Tate 는다음관계식을추천하였다. Nu d = 0.027 Re 0.8 d Pr 1/3 ( μ 0.14 ) μ w μ w 는벽온도의값이고, 나머지성질은체적온도조건에서구한다
2) 관내의완전히발달된난류유동에대해복잡하지만정확한식 (Petukhov) Petukhov 는매끈한관내의완전히발달된난류유동에대해복잡하지만정확한식을개발하였다. Nu d = (f/8) Re d Pr n 1.07 + 12.7(f/8) 1/2 (Pr 2/3 1) (μ b ) μ w 여기서, n 값은다음과같이결정된다. T w > T b n = 0.11 T w < T b n = 0.25 Constant heat flux or gases n = 0 μ b 와 μ w 를제외하고는모든성질은 T f = T w + T b 2 에서계산한다 마찰계수는다음의그림 ( 교재그림 6.4) 를이용하여구하거나 ( 유체역학참고 ), 매끈한관에대해서는 다음식을사용할수있다. f = (1.82 log 10 Re d 1.64) 2 Figure 2. Friction factors in pipe flows (Holman 10th edition, 2011)
위의식은다음과같은조건에서사용할수있다. 0.5 < Pr < 200 정확도 6% 0.5 < Pr < 2000 정확도 10% 10 4 < Re d < 5 10 6 0.8 < μ b μ w < 40 3) 거친관에의적용위의식은매끈한관에대해적용는식이다 (Petukho 의식은경우에따라거친관에도적용가능 ). 일반적으로거친관에적용되는상관관계는드물고, 이런경우는유체마찰과열전달간의 Reynolds 유사를사용하는것이적절하기때문에, Stanton 수를이용하여나타낸다. St b Pr f 2/3 = f 8 이때 St 수에대한유체의물성은체적온도에서, Pr 수와마찰계수에대한유체물성은막온도에구한다. 마찰계수 f 는다음과같이정의된다. Δp = f L d ρ u m 2 2g c 여기서 u m 은평균속도이다 거친관에적용되는마찰계수경험식은다음과같다. 1.325 f = [ln(ε/3.7d) + 5.74/Re 0.9 d ] 2 이때식을사용할수있는조건은다음과같다. 10 6 < ε/d < 10 3 5000 < Re d < 10 8
2. 난류유동이발달하지않은입구영역에서의열전달 Nu d = 0.036 Re d 0.8 Pr 1 3 ( d L ) 0.055 for 10 < L d < 400 여기서 d 는관의지름, L 은관의길이이다. 3. 관내를흐르는완전히층류유동에서열전달 1 일정한벽온도에서관내의완전히발달된층류운동에대한열전달 (Hausen) Nu d = 3.66 + 0.0668(d/L)Re dpr 1 + 0.04[(d/L)Re d Pr] 2/3 이관계를통해구한대류열전달계수는관의총길이에대한평균값이된다. 관의길이가충분히길다면, Nusselt 수는 3.66 에접근함을알수있다. 2 관내의층류열전달에관한좀더간단한식 (Sieder 와 Tate) Nu d = 1.86(Re d Pr) 1 3 ( d 1/3 L ) ( μ 0.14 ) μ w μ w 는벽온도의값이고, 나머지성질은체적온도조건에서구한다. 식을보면알겠지만, 이식은관이매우긴 경우 (L ) 열전달계수가 0 이되어사용할수없다. 이식의유효성은 Kundsen 과 Katz 에의해다음의조건에유효한것이보여졌다. Re d Pr d L > 10 층류유동의상관관계식에서나타나는 Reynolds 수와 Prandtl 수의곱을 Peclet 수로부른다. Pe = duρc p k = Re d Pr
Peclet 수는체적열전달을열전도계수로나눈무차원수로서물리적으로는체적열전달과전도열전달의 비율이라할수있다. 4. 완전히발달된속도분포를갖는경우의원형관의층류입구영역 완전히발달된속도분포를갖는경우에원형관의층류입구영역에대한국소및평균 Nusselt 수를계산하여 Graetz 수의역수로다음의그림에나타내었다 ( 교재그림 6.5). Graetz 수 = Gz = RePr d x Figure 3. Local and average Nu for circular tube thermal entrance regions in fully developed laminar flow (Holman 10th edition, 2011)
5. 난류유동에서의입구의영향관에서난류에대한입구의영향은층류보다더복잡하다. 다음의그림 ( 교재그림 6.6) 에결과가요약하여나타나있다. 세로축은입구로부터아주먼곳또는완전히발달된열적조건에서의 Nusselt 수에대한국소 Nusselt 수의비이다. 일반적으로, Pr 수가커짐에따라입구길이는더짧아지면, 층류보다난류에서열적입구길이가훨씬짧은것을알수있다. Figure 4. Turbulent thermal entry Nu for circular tubes with constant heat flux (Holman 10th edition, 2011) 수력학적지름 수력학적지름은관이완전한원형이아닐때, 혹은덕트가완전한사각형이아닐때사용한다. 완전히원형이아닌경우의수력학적지름은다음과같다. D H = 4A P A 는유체가흐르는단면적, P 는접수주변길이 ( 유체가맞닿는곳은둘레 )
완전히사각형이아닌경우의수력학적지름은기하학적평균과같다. D h = 2ab a + b 교재의표 6.1(291 페이지 ) 은여러가지단면을갖는덕트에서완전히발달된층류유동에대해유체마찰과 열전달을보여준다. 이표에서 Nusselts 수와 Reynolds 수는수력학적지름을사용했으며, 다음과같은 기호가사용되었다. Nu : H 특정유동단면에서유동방향으로열유속이일정하고벽면온도가일정할때의평균 Nusselt 수 Nu : T 벽면온도가일정할때의평균 Nusselt 수 fre DH /4: 수력학적지름을사용한 Re 수와마찰계수의곱 예제 1. 안지름 5 cm, 길이 75 m 의거친관이질량유속 80 kg/s 의물을운반한다. 물의체적평균온도는 21.1 C 이며, 관의표면은 54.5 C 의균일한온도로유지되고있다 ( 단, 관의거칠기는 0.05 mm 이다 ). 1) 대류열전달계수와물을운반하기위해필요한동력을구하여라 ( 단, 중력가속도보정계수는 1 로가정한다 ) (solution) 유체의물성을구하기위한온도는, T f = T w + T b 2 = 37.8 이때의물의관련물성을찾으면, k = 0.63 W m K, ρ = 993 kg m 3, c p = 4.174 k J kg K, μ = 6.82 10 4 kg m s, Pr = 4.53
유체의흐름형태를구하면, m = ρu m A u m = m ρa = 4m ρπd 2 Re = ρu md μ = 4m μπd = 4 80 6.82 10 4 π 0.05 = 2987072 따라서, 완전히발달한난류이다. 거친관이므로, Petukhov 의식을이용하면 f = 1.325 [ln(ε/3.7d) + 5.74/Re 0.9 d ] = 1.325 2 [ln((0.05 10 3 )/(3.7 0.05)) + 5.74/2987072 0.9 ] 2 = 0.0196 Nu d = μ b = 9.8 10 4 kg m s, μ w = 5.13 10 4 kg m s, T w > T b n = 0.11 (f/8) Re d Pr 1.07 + 12.7 ( f 1 ( μ n b ) = 8 ) 2 2 μ w (Pr 3 1) h = Nu dk d = ( 0.0196 8 1.07 + 12.7 ( 0.0196 8 16462 0.63 0.05 ) 2987072 4.53 1 2 2 ) (4.53 3 1) = 207.4 kw m 2 ( 9.8 5.13 ) 0.11 = 16462 동력을구하기위해서압력강하와유체속도를구하면, u m = m ρa = 4 80 ρπd 2 = 4 80 = 40.8 m/s 993 π 0.052 Δp = f L d ρ u m 2 2g c = 0.0196 75 0.05 993 40.82 2 P = p V V = m ρ = 80 993 = 0.08 m3 /s = 24298916 Pa = 24.3MPa P = p V = 24298916 0.08 = 1943913 W = 1.94 MW 2) 관의길이가 1m 인지점에서열전달계수를구하여라. (solution) 10 < L d = 1 = 20 < 400 0.05
따라서 1m 에서는완전히발달하지않은입구영역이라할수있으므로, 다음의식을적용할수있다. Nu d = 0.036 Re d 0.8 Pr 1 3 ( d L ) 0.055 h = Nu dk d = 0.036 2987072 0.8 4.53 1 3 ( 0.05 1 ) 0.055 = 7649 = 7649 0.63 0.05 = 96.4 kw m 2 2. 물이 3kg/s 로 5cm 의내부지름을갖는구리관을지나면서 5 에서 15 로가열된다. 관의벽온도가 90 로유지될때관의길이를구하여라 ( 단, 체적평균온도는유체의평균온도로서구하며, 식은 Dittus 와 Boelter 의식을이용하여라 ) (solution) 유체가 5 에서 15 로가열되므로체적평균온도는 10 이다. 이때의물의물성은표 A.9 에의해 c p = 4.195 kj kg, μ = 1.31 10 3 kg m s, ρ = 999.2 kg m 3, k = 0.585 W m, Pr = 9.40 열전달은유체의온도변화에의해서다음과같이구할수있다. 또한, q = cm T = 4195 3 (15 5) = 125850 W u m = m ρa = 3 999.2 (0.025 2 = 1.53 m/s π) Re d = ρu md μ = 999.2 1.53 0.05 1.13 10 3 = 58350 유체가가열되는경우이므로, Dittus 와 Boelter 식에의해 Nu d = 0.023 Re d 0.8 Pr 0.4 = 0.023 58350 0.8 9.40 0.4 = 366.28 h = Nu dk d = 366.28 0.585 0.05 = 4285.47 W/m2 q = h(πdl)(90 10) 125850 = 4285.47 π 0.05 L 80 L = 125850 = 2.34 m 4285.47 π 0.05 80