기술교재 실무자를위한관망해석매뉴얼 [Ⅰ 편 : 수리학의기초 ] 양승경 한국수자원공사경남관리처 - 목차 - Ⅰ. 개요 Ⅱ. 유체의특성 Ⅲ. 관수로의흐름 Ⅳ. 펌프와수리학 Ⅴ. 관로내수격현상 Ⅵ. 분배수로수리학 Ⅶ. 관로내부분개수로흐름및한계유속문제
실무자를위한관망해석매뉴얼 [Ⅰ 편 : 수리학의기초 ] 한국수자원공사수자원교육원 요약 관망해석을위한기초적인이론인유체의특성을알아보고, 관수로내에발생되는지배방정식및기본법칙을소개하였다.. 관망시스템내에구성되는기본시설인펌프와의관계와펌ㅍ의기본특성을정리하였다.. 관로내발생되는문제점중수격현상에대한기본지식을정리하였으며, 분배수로수리학및부분개수로흐름및한계유속문제를다루었다. Ⅰ. 개요 관로시스템은 1열의단순관로로부터아주복잡한배수관망까지다양하게이루어져있다. 일반적인상수도관로체계에관한정의는취수원에서정수장까지를도수관로 ( 導水管路 ), 정수장에서배수지까지를송수관로 ( 送水管路 ), 배수지로부터수용가에이르는급수관의접속점까지를배수관로 ( 配水管路 ) 및접속점에서수요자에까지공급하는관로를급수관로 ( 給水管路 ) 라고한다. < 그림1-1> 수돗물의공급체계취수원도수관로정수장송수관로배수지배수관로급수관접속점급수관로수용가관로시스템에는여러종류의펌프가관로끝이나중간에설치되어있어수압을상승시키는역할을수행하며, 또한저수지, 정수지, 조절지및배수지등의탱크설비가설치되어수량을저류, 조절하는기능을하고있다. 물운송체계의기본적인기능을수행하기위하여위치에따라조절밸브, 역지밸브 (check valve), 측관 (by-pass), 이토 ( 배수 ) 밸브등의설치가필요하게된다. 또한관내물의흐름의급작스런변경에의한관및설비의손상을막기위하여조압수조 (air chamber), 서지탱크 (surge tank), 서지저감밸브 (surge relief valve), 공기-진공밸브 (air-vacuum valve) 등의서지조절장치들을상황에맞는장소에설치한다. 관로의기본적인기능은 1충분한수량과적절한수량을, 2수질적으로안전하게, 3연속적으로공급하는것이다. 이들기본기능을통상각각 1수리적신뢰성, 2수질적안정성, 3응급성이라한다. 이들관로시스템이어떻게거동하는가? 어떠한원리들이포함되어있으며, 어떻게이들시스템을성공적으로해석하고이해할것인가? 어떻게효율적으로설계하고유지관리및개선할것인가? 이러한것들이수도관로를담당하고있는대부분의엔지니어들이직면하고있는문제들이다. 관로시스템이목적하는기능을원활하게수행하게하는데필요한지식을개발하고적용하는것이이들엔지니어들의가장중요한업무이다. 이러한업무를성공적으로수행하기위하여가장먼저필요한지식은유체역학 ( 流體力學, fluid mechanics) 및관수로수리학 ( 管水路水理學, closed conduit hydraulics) 의기본적인사항을이해해야한다. 물흐름의문제를풀기해서는수도시스템에대한경험이필요한데, 이러한것들은많은시간과노력이소요된다. 통상적으로관로의흐름을해석하기위해서는에너지와연속방정식및수두손실 ( 水頭損失, head loss) 과관련된사항들을동시에고려하여야한다. 관수로흐름을해석하기위해서는기본적인방정식의이해뿐만아니라, 펌프와밸브및배수지등의관로시스템전체에대한거동을이해할필요가있다. 요즘에는관망의구성이점점복잡해짐에따라, 특별한수치해석기법과이들을컴퓨터에적용할수있는지식과경험이불가결하게되었다. 최근에는컴퓨터를이용한관망해석기법과응용성및편리성이급속하게발전하여사용자들이쉽게이용할수있도록제공되고있다. 이지침서에서는수도를담당하고있는실무자들이수리학과관망의기본기능을쉽게이해할수있 - 2 -
게하고, 관망해석을수행하는데필요한지식과경험 을제공하고자한다. 먼저, 수리학의기초에서유체 의특성, 관수로의흐름, 펌프및관로내수격현상에 대하여간략하게언급하고, 관망해석의기초와해석 법에서는해석에필요한기본적인지배방정식과컴 퓨터를이용한해석을위한모델의구축및관망해 석의사례를설명하고자한다. Ⅱ. 유체 ( 流體, Fluids) 의특성 물의기본성질 - 물의밀도 ( 密度 ) 와단위중량 ( 單位重量 ) 밀도 (density) 란단위체적당의질량으로서비질량 ( 比質量, specific mass) 이라고도한다. 어떤물체의 무게를 W, 그질량을 m, 중력가속도를 g 라하면 W = mg 가되며그체적을 V 라할때밀도 ρ 는다음과 같다. ρ = m V (1-1) 밀도 ρ( 그리스어로 rho) 의차원은질량 - 길이 - 시간 계로서 g/ cm3또는kg / m3으로표시된다. 물의밀도는 4 에서최대이며온도의증가나감소에따라그값 이감소되며압력이증가할때는그값이커진다. 단위중량 (specific weight) 이란단위체적당유체의 무게로서비중량 ( 比重量 ) 이라고도한다. 즉, 단위중량 γ(gamma) 는다음과같이표시할수있다. γ = W V = mg V (1-2) 그러므로 γ = ρg 가된다. 단위중량 γ 의차원은힘 - 길이 - 시간계로서 g 중 / cm3또는kg중 / m3으로표시된다. 다음표는온도에따른물의밀도와단위중량의 변화를표시한것이다. < 표 1-1> 온도에따른물의밀도와단위중량 ρg 이므로 ρ = γ/g 로표시한것이다. 즉단위중량에 중력가속도 (g, m/sec 2 ) 를나눈값이다. 비중 (specific weight, S) 은 4 에서의물의체적과 동일한체적을가진다른물체의무게비를말한다. 즉, 비중은물의밀도또는단위중량에대한어떤물 체의밀도혹은단위중량의비로표시할수있다. 비중 다른물체의단위중량 물의단위중량 표준대기압 (1atm = 1013milibar), 4 에서물의 비중은 1 이다. 예제 ) 체적이 0.1 m3인어떤유체의비중이 13.6 일 때, 이유체의단위중량, 총무게, 밀도를 구하라. S = γ γ w 에서, γ = S γ w = 13.6 1000kg/ m3 = 13,600kg/ m3 γ = W V 에서, W = γv = 13,600kg/ m3 0.1 m3 = 1,360kg γ = ρg 에서, - 물의점성 ( 粘性, viscosity) 유체의특성중에서또하나중요한사항이물의 점성 ( 동점성또는절대점성으로표시 ) 이다. 물의점 성이란유체의흐름을방해하는저항으로서, 흐르는 유체와벽면사이전단응력의관계로서표시된다. 점 성계수를 μ( 그리스어로 mu) 라고하고전단응력을 τ (tau), 유속 v 일때벽면으로부터 y 만큼떨어진거리 의전단응력은다음과같이표시된다. 온도 ( ) -10 0 4 10 15 20 30 50 80 100 밀도 (g/ cm3 ) 0.9979 0.9999 1.0000 0.9997 0.9991 0.9982 0.9957 0.9881 0.9718 0.9583 ( kg중 sec 2 /m 4 ) 101.76 101.96 101.97 101.94 101.88 101.79 101.53 101.76 99.10 97.72 단위중량 (kg 중 / m3 ) 997.9 999.9 1000.0 999.7 999.1 998.2 995.7 988.2 971.8 958.3 밀도의단위중에서단위kg중 sec 2 /m 4 은 γ = - 3 -
< 그림 1-2> 물의전단응력 y 판의면적 A 판에작용하는힘 F y dy dv u=0.68y - y 2 τ = μ dv dy (1-3) 위식에의하면, 유체의전단응력은점성계수 (μ) 와거리 dy 에서의속도변화량 dv 즉, dv/dy 에비례 함을알수있는데, dv/dy 를속도경사 (velocity gradient) 라한다. 온도 ( ) 0 5 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80 90 100 < 표 1-2> 물의점성계수 점성계수, μ (10-4 kg.sec/ m2 ) 1.816 1.547 1.332 1.161 1.021 0.907 0.814 0.666 0.558 0.475 0.412 0.361 0.321 0.288 동점성계수,ν (10-6 m2 /sec) 1.785 1.519 1.306 1.139 1.003 0.893 0.800 0.658 0.553 0.474 0.413 0.364 0.326 0.294 실무에서의응용을위하여점성계수 μ 대신, 다음 식과같이표시되는동점성계수 ( 動粘性係數, kinematic viscosity) ν(nu) 를사용하는경우가많다. ν = μ ρ (1-4) 여기에서 ρ 는앞에서언급한물의밀도이다. 일반적 으로유체의점성은온도에따라변화하는데온도에 따른점성계수와동점성계수는 < 표 1-2> 와같다. 예제 ) 점성유체 (μ=0.9 Ns/m 2 ) 의속도분포가아래 그림과같다. 바닥면과바닥으로부터 0.34m 인지점 의전단응력을구하라. τ = μ du dy 이므로 0 u 해 ) { du dy = 0.68-2y du dy y = 0 = 0.68 ( s - 1 ) du dy y = 0.34 = 0 τ y = 0 = 0.9 Ns / m 2 0.68 ( s - 1 ) = 0.612 Pa τ y = 0.34 = 0 즉, 표면에서는 0.612Pa 의전단응력이발생하며, 0.34m 으로부터는전단응력이발생하지않게된다. 여기에서 Pa 는압력의단위 Pascal 로서 1kPa 는 0.01kg/ cm2 (0.1m 수두 ) 이다. - 압력 ( 壓力 ) 물의흐름은물을이동하게하는힘의크기에달 려있다. 압력 ( 壓力, Pressure) 은단위면적당받는힘 의크기로정의된다. 즉, P = F A (1-5) 여기에서 P 는압력 ( kg중 / cm2 ), F 는힘 ( kg중, ton 중 ) 이 며, A 는면적 ( cm2, m2 ) 이다. 이하의단위에서수리학을포함한대부분의공학 및상수도분야에서중력을고려한공학단위계 ( 힘 - 길이 - 시간의기본단위 ) 를사용하고있으므로, 별도 의언급이없는한 kg중 을 kg 으로표시한다. 압력의크기는특정압력을기준으로하여측정되 며흔히사용되는기준압력은절대압력 (absolute zero pressure) 과대기압 (atmospheric pressure) 이다. 절대압력은완전진공을기준으로측정한것이며, 대 기압을기준으로측정한것을계기압력 ( 計器壓力, - 4 -
gauge pressure) 이라한다. 절대압력 = 대기압력 + 계기압력 물 (Water) 7.5m P gage = 0.0kg/cm 2 P abs = 1.03kg/cm 2 P gage = 0.75kg/cm 2 P abs = 1.78kg/cm 2 표준대기압은평균해면 ( 海面 ) 에서대기가지구 표면을누르는평균압력을말하는데, 그크기는다음 과같다. 1 기압 ( 氣壓 )=760mmHg=1.033 kg / cm2 =10.33m( 수두 ) =1.013 바 (bar)=1,013 밀리바 (milibar) 대기압보다낮은압력을통상부압 (under- pressure) 또는진공 (vacuum) 이라한다. 정상류의흐 름에서압력 (pressure) 이라고하면통상계기압력을 말하므로이점에서의절대압력은계기압력에 1 바 (bar(1kg/ cm2 )) 를더해주면된다. 그러나, 부정류에서 는하강서지 (downsurge) 에의해압력이대기압이하 로떨어질수있으며, 절대압력이 0 인상태 ( 통상, -1kg/ cm2또는 -10m) 에이르면증기압이발생하여물 에녹아있던공기가용출되어수주가분리되는현상 (column separation) 이발생하게되어시설물에피해 를주게되므로, 부정류에서는절대압력을고려할필 요가있게된다. < 그림 1-3> 압력의분포 1 증기압 ( 蒸氣壓, vapor pressure) 증기압이란특정온도에서물이연속적으로증발 ( 끓음 ) 할때수면에작용하는압력을말한다. 대기압상태인 1기압 (1 바 (bar) 절대압력 ) 에서는물이 100 에서끓는 ( 증발 ) 다. 증기압은표고와온도에따라달라지나, 통상적으로수도공급조건에서는표고와온도차를무시할수있으며, 일반적인조건하에서의절대온도 0 또는 -1 bar (-10m) 의계기압력 ( 통상의압력계에의한압력 ) 하에서물은증발한다고가정한다. 2 수압 ( 水壓 ) 물의압력은물의깊이와밀도에직접적인상관이있는데, 즉수면으로부터의깊이가 h인수중의한점 A에서의압력 P A 는물의단위중량 γ에깊이 h를곱한값이다. P A = γ h ( kg/cm 2 ) h = P (1-6) γ (m) < 그림1-4> 정지된유체의압력 h A A A < 그림1-4> 과같이정지하고있는수중에서는수평방향으로의압력의변화는전혀없다. 즉용기의크기나모양에상관없이물의높이 ( 수위 ) 만같다면 A점에서의압력은동일하다. 압력 (Pressure) 계기압력 진공또는부압계기압력 대기 (Atmosphere) 대기압력 절대압력 예제 ) 위의 < 그림1-4> 에서 h가 20m일때바닥 A 점에서의압력은얼마인가? 절대압력 절대압력 '0' 위에서설명한바와같이수중에서압력은어느 지점에서나압력 ( kg / cm2 ) 과물의깊이 (h) 가직접적으 로연관되기때문에 kg / cm2 등으로표시되는압력 - 5 -
과 m' 로나타낼수있는수두로함께표현할수있 다. 예제 ) 1 kg / cm2의수압을수두 (m) 로표현하라. Ⅲ. 관수로의흐름 유체흐름의종류 - 정의 물의흐름은시간과위치그리고방향에따라변 하며연속하여운동하는물의상태를흐름 (flow) 또 는수류 ( 水流, flow of water) 라한다. 물의흐름을 설명하기위하여유선이나유관이라는가상의선이 나관이사용되는데그정의는다음과같다. 유적선 ( 流跡線, path line) : 유체의입자가 흐르는자취 ( 경로 ) 유선 ( 流線, stream line): 어느순간에모든점에 있어서속도벡터가접선이되는가상의곡선. - 정상류와부정류유속, 압력, 밀도등의흐름특성이한지점에서시간에따라변하지않고일정하게유동할때정상류 ( 定常流, steady flow) 또는정류 ( 定流 ) 라하며어느한가지특성이라도변하면비정상류또는부정류 ( 不定流, unsteady flow) 라한다. 실무에있어서평상시의하천및관수로의흐름은정상류로취급하며, 홍수시하천및수격작용 ( 水擊作用, water hammer) 시관수로의흐름은부정류로취급한다. - 등류와부등류흐름특성이어느단면에서나같은흐름을등류 ( 等流, uniform flow) 라하고단면에따라흐름특성이변하는흐름을부등류 ( 不等流, nonuniform flow) 라한다. 아래그림과같이관내를흐르는물이정상류라면 A-B간및 C-D간은각각등류이나 B-C간은부등류이다. A B C D 속도벡터 유선 V 1 V 1 V 2 V 2 정상류에서는유선과유적선이일치하지만부 정류의경우에는일치되지 않는다. 아래그림 은부정류의유선과유적선을나타낸것이다. P 1 P 2 P 3 t 1 시각의유선 t2시각의유선 유관 ( 流管, stream tube) : 흐름속에가상한한 폐곡선을통과하는유선으로둘러싸인공간. - 층류와난류흐름특성중에서물분자가흐트러지지않고정연하게흐를때, 이흐름을층류 ( 層流, laminar flow), 그렇지않은흐름을난류 ( 亂流, turbulent flow) 라한다. 이와같은흐름의상태는 Reynolds에의해서연구된것으로, 층류상태로흐르는수류의유속을어떤한계치이상으로크게하면유선은흐트러지고, 유속을다시작게하면층류가된다. 이와같이층류에서난류또는난류에서층류로변화하는조건은유속뿐만아니라흐름의규모, 점성등에따라서달라지게된다. Reynolds 는많은실험에의하여다음과같은수 류조건을발견하였다. 즉, 지름 D 의원형관속의평 - 6 -
균유속을 V, 동점성계수를 ν 라고할때이들을양으 로만든무차원수의값에따라층류도되고난류도 된다는것을발견하였다. 즉, R e = VD ν (1-7) 이와같은무차원수는 Reynolds 에의해제안된것으 로서, 이것을레이놀즈수 (Reynolds number) 라고한 다. 해서는 여러실험의결과를종합하면관내의흐름에대 Re < 2,000 일때는층류 2,000 < Re < 4,000 일때는과도상태또는천이영 역 ( 遷移領域 ) Re > 4,000 일때는난류 특히, Re = 2,000 을한계레이놀즈수 (critical Reynolds number) 라한다. 개수로에서의 Reynolds 수는관로의지름 D 대 신에동수반경 R 을사용하는데다음식과같다. R e = VR ν (1-8) 여기에서 R 은동수반경으로서단면적으로윤변으로 나눈값이다. 곳을흐르더라도꽉차서흐르지않으면그흐름의형태는개수로흐름이된다. < 그림1-5> 개수로흐름 - 관수로 ( 管水路 ) 흐름 (Pipe flow) 관수로흐름은관로또는밀폐된수로에유체가가득차서압력차로인해흐르는흐름을말하며, 개수로가높은지역에서낮은지역으로 ( 고수위 저수위 ) 흐르는반면, 관수로흐름은압력및중력등의에너지차에의해서 ( 고에너지 저에너지 ) 로흐른다. < 그림1-6> 관수로흐름관수로흐름펌프 H B R = 면적윤변 = B H B + 2H 개수로의흐름에서는대략 Re = 500 ~ 12,500 에 서흐름의상태가천이하는것으로알려져있다. 예제 ) 직경 150mm 인원형관에물이흐르고있 다. 유속이 V = 1.0m/sec 일때 Reynolds 수를구하 고이흐름이층류인지난류인지를판단하라. 단, 수온은 20, 동점성계수 ν = 0.01cm 2 /sec 이다. 해 ) > 2,000이므로 난류이다. - 개수로 ( 開水路 ) 흐름 (Open channel flow) 개수로흐름은하천또는강에서자유표면 ( 自由表 面 ) 을가지고중력 ( 重力 ) 에의해흐르는흐름을말한 다. 만일관이나터널과같은관의형태로되어있는 관수로흐름의기본법칙 - 보존법칙 ( 保存法則, Conservation Law) 질량, 운동량및에너지보존법칙은물흐름의문제를푸는데있어서기본적인개념이다. 질량, 에너지및운동량보존개념으로부터간략하게유도한방정식을각각연속방정식, 베르누이 (Bernoulli) 방정식및운동량 (Momentum) 방정식이라한다. 1 질량보존법칙 ( 質量保存法則, Law of mass conservation) " 질량은창조되지도않고소멸되지도않는다 " 는질량보존의법칙에의해, 정상류에서모든단면을지나는질량유량 ( 質量流量, flow rate) 은항상일정하다는것이다. 이러한법칙을이용한것이연속방정식 ( 連續方程式, continuity equation) 이다. 정상류흐름에서한단면에서다른단면을지나는질량유량은같다는것으로, 이는유체흐름의연속성을나타내준다. - 7 -
< 그림 1-7> 물흐름의연속성 시간유입량유출량체류유량면적 ( m3 /hr) ( m3 /hr) (ΔQ) (A) 수위변화 (m) 시간별 누적 V 1 1 A 1 V 2 2 A 2 A 1 V 1 = A 2 V 2 = Q (1-9) 여기에서 A 는관의단면적 ( m2 ), V 는평균유속 (m/sec) 및 Q 는유량 ( m3 /sec) 이다. 정수지, 배수지와같은저류조에서연속방정식을 적용하면유입되는수량에서유출수량을빼면단위 시간별저류되는유량이된다. 즉, [ 시간별저류되는유량 ] = [ 유입량 ] - [ 유출량 ] dv dt 또는 = Q in - Q out (1-10) dv dt = I( t) - Q(t) 여기에서, dv/dt : 시간별저류량의변화 Q in, I(t) : 시간별유입량 Q out, Q(t) : 시간별유출량 예제 ) 시간별유입및유출량이아래와같은배수 지의수위변화를계산하라. 단배수지는 7m 7m 의 직사각형이며, 0 시의수위는 1.0m 이다. 시간 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 유입량 ( m3 / 시간 ) 유출량 ( m3 / 시간 ) 해 ) 590 580 570 580 600 512 522 501 538 513 509 511 510 509 520 590 620 600 556 550 dv = I( t) - Q( t) dt dv = I( t)dt- Q(t)dt 여기에서 V 는저류량임으로 dv = A dh 가된다. A : 배수지단면적, dh : 배수지수위변화 또는 h t = h t-1 + 1/A(I t - Q t) 0 1.0 1.0 1 590 509 81 49 1.7 2.7 2 580 511 69 49 1.4 4.1 3 570 510 60 49 1.2 5.3 4 580 509 71 49 1.4 6.7 5 600 520 80 49 1.6 8.4 6 512 590-78 49-1.6 6.8 7 522 620-98 49-2.0 4.8 8 501 600-99 49-2.0 2.8 9 538 556-18 49-0.4 2.4 10 513 550-37 49-0.8 1.6 2 에너지보존법칙 (Law of energy conservation) 모든흐르는물체는에너지차에의해흐르게되 는데, 에너지방정식은 유체에대한에너지보존법 칙을적용한것이다. 수리 ( 水理, hydraulics) 문제에서 통상다루게되는에너지는운동, 위치및압력에너 지로서, 다음은각각의에너지방정식이다. 운동에너지 = 1 2 mv2 위치에너지 = mgz (1-11) 압력에너지 = Pm ρ 여기에서 m : 질량, V : 평균유속, g : 중력가속도, z : 표고, P : 압력, ρ : 밀도 관로내유체의흐름에서모든지점에서의에너지 는일정하다는것이에너지보존법칙이며, 다음과같 이표시된다. P γ + V 2 + z = H = 일정 (1-12) 위식을 Bernoulli의에너지방정식이라하며식 (1-11) 의에너지방정식에서질량 m을소거하고단 위중량 γ로나타내어에너지를수두 (m) 의형태로나 타낸것이다. 위식에서 P/γ를압력수두 ( 壓力水頭, pressure head), V 2 /를속도수두 ( 速度水頭, velocity head), z를위치수두 ( 位置水頭, potential head) 라하 며 H를전수두 ( 全水頭, total heal) 라하는데, 단위는 모두미터 (m) 이다. 예제 ) 다음그림과같이직경 400mm( 단면1) 에서 200mm( 단면2) 로점축소되는원형관이수평으로연 결된경우, 각단면의유속과단면2에서의압력을계 산하라. 단단면1에서의압력 P 1 = 0.5kg/ cm2, 유량 Q = 0.2m3 /sec이다. - 8 -
단면 1 단면 2 즉, 에너지선 (EL) = V 2 + P γ + z 수두손실, h L 속도수두, V 2 / EL 하면 풀이 ) 단면 1 과 2 에대하여베르누이정리를적용 압력수두, P/r HGL P 1 γ + V2 1 + z 1 = P 2 γ + V2 2 + z 2 기준선 Flow 위치수두, Z z 1 = z 2, P 1 γ 5m + 1.59 2 2 9.81 = 5m, V 1 = Q A = 4Q πd 2 1 V 1 = 4 0.2m 3 / sec 3.14 0.4 2 m 2 = 1.59m/sec, V 2 = 6.37m/sec 이를베르누이정리에대입하면, = P 2 γ + 6.37 2 2 9.81 즉, P 2 = 0.306kg/ cm2 = 3.06m 위의예제와같이수축지점에서는속도수두가높 아지고압력이낮아져동수두가급격하게떨어지나, 다시확대구간에서는압력이회복되어동수두가재 상승하는현상이발생하게된다. 동수경사선 ( 動水傾斜線, Hydraulic Grade Line, HGL) 은에너지선에서속도수두를뺀것으로서위치 수두와압력수두를합한값을연결한선을말하는데, 이선은관내에 tube 를수직으로설치하고위에는 대기압을받도록개방하였을때물이상승하는높이 와같으며, 통상위치수두 (z) 와압력수두 (P/γ) 를합한 수두를피에조메터수두 (Piezometric head) 라고도부 른다. 즉, 동수경사선 (HGL) = P γ + z 두지점에서의유체에대한에너지관계는통상다 음과같이표시된다. P 1 γ + V2 1 + z 1 = P 2 γ + V 2 2 + z 2 + h L 1-2 (1-13) 여기에서 h L 1-2 은관로내지점 1 과지점 2 사이의 < 그림1-8> 두지점에서의수두관계 V 2 1 /2 EL HGL P 1/γ h L1-2 V 2 2 /2 P 2/γ 2 1 z z 기준선에너지선 (Energy Line, EL) 은각지점의에너지를그래프로표현한것으로서, 위치수두, 압력수두와속도수두를합한수두를전수두 ( 全水頭, total head) 라고하고, 이점을연결한선이곧에너지선이다. 마찰손실등모든손실을합한것이다. 이선들은유체의흐름에대한정보를제공할뿐만아니라, 관로의문제를이해하고해결하는데상당히유용하게이용할수있다. < 그림1-9> 에서와같은관로시작점에서의유속은 0(zero) 이며, 수표면 ( 水表面 ) 에서의압력도 0( 즉, 대기압 ) 이므로시작점에서의에너지선 (EL) 은저수지의표면이된다. 상류유입측관로끝에서의에너지선 (EL) 은저수지표면보다약간내려가있는데, 그것은관로의유입손실때문이며, 하류의유출측에서의에너지선이약간높게있는것은관유출손실과펌프의압력이수표면과정확하게일치하지않고높기때문이다. 터빈과펌프사이의관로가수축된곳에서는유속이빨라지기때문에속도수두 (v 2 /) 가높아지므로, 압력수두 (P/γ) 가낮아져동수경사선 (HGL) 이급격하 - 9 -
게떨어졌다가다시상승하게되는현상이나타내게된다. < 그림1-9> 관로내의에너지선 (EL) 과동수경사선 (HGL) 깊이인 10m 와동일하고, 속도는없기때문에속도수 두 V 2 1 는 0 이된다. 또한 2 지점에서는수압이대 기압과같기때문에압력수두 < 그림 1-10> 오리피스 P 2 γ 는 0 이다. EL HGL T Turbine v 2 / P/g z HGL EL v 2 / P Pump EL HGL 10m 1 2 Q 기준선 따라서, 3 운동량보존법칙 ( 運動量保存法則, Law of momentum conservation) 운동량은 Newton 의법칙으로부터질량과속도변 화의곱 (F = ma) 으로정의된다. 운동량방정식을이 용하여연속방정식과베르누이방정식으로는해석이 불가능한문제를쉽게풀수도있으며, 많은경우에 너지방정식과함께사용되기도한다. 운동량방정식 은다음과같이정의된다. F = ρq( V 2 - V 1 ) (1-14) 여기에서 F : 작용하는힘의합, ρ = m V 에서, - 베르누이정리의응용 m = ρv = ρq 1 토리첼리 (Torricelli) 의정리 ( 오리피스공식 ) 아래 < 그림 1-10> 과물탱크의측벽에작은구멍을 뚫어서물을유출시키는경우를생각해보자. 이와같 이물을유출시키는구멍을오리피스 (orifice) 라부른다. 아래와같은탱크에서깊이 10m 에위치한직경 500mm 관에서의유출량을 Bernoulli 의방정식 P 1 γ + V 2 1 + z 1 = P 2 γ + V 2 2 + z 을이용하여구 2 해보자. Bernoulli의방정식 10( h)m + 0 + 0 = 0 + V 2 2 + 0 V 2 2 = 10( h)m V 2 = h = 2 9.8 10 = 14m/sec Q = AV = π 0.5 2 14 = 2.75 m 3 / sec 4 즉, 오리피스에서 V = h 의관계가있는데, 이식을오리피스공식이라부른다. 이식은 Bernoulli 의정리를응용하여구한것이 지만 1643 년 Torricelli 가실험결과를통해 Bernoulli 의정리보다먼저발표하여토리첼리의정리라부른 다. 오리피스공식에서의유속 V 는이상유체에대한 이론유속이며실제유속을구하기위해서는이론유 속을보정하는유속계수를곱해주어야한다. 2 피토 (pitot) 관 피토관 (pitot tube) 은베르누이의정리를응용하여 유속을측정하는계기이다. 아래그림과같이유속 V 로흐르는물속에전면또는측면에뚫린직각으 로구부러진관을설치하면 (b) 의경우는유속의영 향으로관내의물을밀어올려 h 만큼관내의수면이 상승하게된다. P/γ < 그림 1-11> Pitot 관원리 a b h= V 2 / 에서토출관중심 2 지점을기준선으로하면위치수 V 1 2 두는같으며, 1 지점에서의압력수두 P 1 γ 은물의 - 10 -
점 1 과점 2 에베르누이정리를적용하면, V 2 1 + z 1 + P 1 γ = V 2 2 + z 2 + P 2 γ 에서위치 z1 = z2 이며, 피토관내의유속은 0 이기 때문에속도수두는 0 이된다. 따라서, V 2 1 + P 1 γ V 2 1 V 1 = = P 2 γ = P 2 γ - P 1 γ h = h 여기에서피토관에서의압력은압력수두와속도 수두의합으로서이압력을정체압력또는총압력 ( 總 壓力, stagnation pressure or total pressure) 이라한다. 일반적으로개수로의유속측정은 pitot 관위의 수면상승고를측정하고, 관수로에서의유속측정은 pitot 관과 piezometer 의수면차를측정한다. < 그림 1-12> 의단면 1 과 2 의단면적, 평균유속및 압력을각각 A 1, V 1, P 1 및 점에베르누이정리를적용하면, V 2 1 + z 1 + P 1 γ z1 = z2 이므로, V 2 1 - V 2 2 연속방정식으로부터 V 2 = A 1 A 2 입하면, A 2, V 2, P 2 라고하고두 = V 2 2 + z 2 + P 2 γ V 2 1 { ( A 1 A 2 ) 2-1 } = ( P 1 - P 2 γ ) V 1 = A 2 A 2 1-A 2 2 = P 2 γ - P 1 γ V 1 이므로, 이를대 P 1 - P 2 γ 다른액체의단위중량을 γ o, 비중을 s o 라할때, 압 력을 U 자관으로측정할때압력차를수두 h 로표시 하면, P 1 - P 2 = h(γ o - γ) 이므로 예제 ) 유속계수가 0.98 피토관에서총압력 ( 그림 1-11 의 b 점 ) 이 5.67m 이고, 압력수두 ( 그림 1-11 의 a 점 ) 가 4.72m 일때, 이관에서의유속은얼마인가? V 1 = A 2 A 2 1-A 2 2 Q = A 1 V 1 = h( s o - 1) A 1 A 2 h( s A 2 1-A 2 o - 1) 2 해 ) 속도수두 h = 5.67m - 4.72m = 0.95m 피토관의속도는 3 벤트리미터 (Ventury meter) 아래그림과같이관로도중에단면축소부를연 결하면축소부분의유속이빨라지고압력은저하하 게된다. 수축되지않은정상관로부분과수축부의 압력차 h 를측정하여유량을구하는계기를 Ventury meter 라한다. < 그림 1-12> Ventury meter 의원리 여기에서 s o : 다른액체 ( 수은 ) 의비중, s : 물의비중예제 ) 아래그림과같은 Ventury meter에서지점1 의관경 D 1 = 200mm, 지점2의관경 D 2 = 80mm이고, 수은시차압력계의읽음이 h = 9cm일때, 관내를흐르는유량을구하라. 단, 수은의비중은 13.55이다. V 1 V 2 2 1 2 V h L h 수은 P g 단면 1 단면 2 해 ) A 1 = 324 cm2, A 2 = 50.24 cm2, Ventury meter 의 유량공식을활용하면, - 11 -
324 50.24 Q = 2 980 9(13.55-1) 314 2-50.24 2 = 25,048cm 3 / sec = 0.025m 3 / sec 수두손실 ( 水頭損失, head loss) 관수로의흐름에서생길수있는수두손실은일반 적으로두가지형태로서, 그첫번째는전체관로 길이에따라관체의마찰에의해생기는손실이며, 두번째는밸브, 곡관등에의해흐름이방해되어생 기는미소손실 ( 微少損失, minor loss) 이다. - 관마찰에의한수두손실 흐르는물과관벽체와의마찰에의해유발되는손 실은관로내에서발생하는손실의대부분을차지하 는데, 이수두손실을계산하기위하여일반적으로사 용되는수식은다음과같다. Darcy-Weisbach h f = f L D V 2 (1-15) Hazen-Williams V = 0.35464CD 0.63 I 0.54 (1-16) Manning V = 1 n R 2/3 I 1/2 (1-17) 여기에서 f, C, n 은마찰계수 ( 摩擦係數 ) 또는조도계 수라하며, I 는동수경사 ( 動水傾斜 ), D 는관내경 ( 管內 徑 ), L 은관길이, R 은동수반경 ( 動水半徑 ) 으로통수 단면적을물이차있는변의길이 ( 윤변 ) 로나눈값이 며관수로에서의동수반경은 D/4 이다. 이들 3 식의비교를위하여손실수두와유량의항 으로바꾸어보면다음식과같다. Darcy-Weisbach h f = 0.083 f L Q 2 D 5 (1-18) 흐름에서일반적인난류흐름 (trubulent flow) 에서는 다음식과같이표시된다. 1 f = 1.14-2 log ( e D ) 여기에서 e : 절대조도, D : 관내경이다. 이를이용하여식 (1-18) 과 (1-19) 를결합하여한개 의식으로표시하면다음과같다. h f H.W h f D.W = 10.666 LQ 1.85 D 4.87 C 1.85 0.083 flq 2 D 5 = 128.5 ( 1.14-2 log e D ) 2 D 0.13 C 1.85 Q 0.15 이식을보면, 유량 (Q) 이같다면 Darcy-Weisbach 식이수두손실이크며, 손실이같다면 Darcy- Weisbach 식이유출량이크게나타나게됨을알수 있다. 통상 Darcy 공식이라고일컬어지는 Darcy- Weisbach 공식은유체와가스 (gas), 층류와난류 (laminar and turbulent flow) 및거칠거나매끈한 관등에다양하게사용할수있다. 이식의주요단 점은마찰계수 f 가미지수의하나로작용하며반복해 법에의해계산해야한다는것이다. 그러나, 이공식 에대한기술자들의사용이증대되고있는데, 그이유 는적용의폭이넓기때문이다. Hazen-Williams 식은송배수관로시스템에서유체 에대한마찰손실의조사분석을통해개발된경험공 식이다. 이것은적당히매끈한관 ( 주철관같은 ) 에는 잘맞으나거친관, 관경이작은관또는층류에대 해서는정확성이떨어진다. 실무에서많이사용하고 있는각변수를나타내는식은다음과같다. Hazen-Williams (1-19) V = 0.35464CD 0.63 I 0.54 Manning h f = 10.3 L( nq) 2 D 5.33 (1-20) 위의식들에의하면계수들중에서관경 (D) 의민 감도가가장높음을알수있으며, 이는관망해석모 델의수행과정에서관경을잘못입력하였거나, 공칭 관경과실제관경의차이가발생할경우에많은오 차를유발할수있음을의미한다. 일반적으로관수로의흐름해석에서많이이용되 고있는 Hazen-Williams 식과 Darcy-Weisbach 식의 수두손실특성을비교해보기로하자. Darcy-Weisbach 식에서의마찰계수 f 는관수로의 Q = 0.27853CD 2.63 I 0.54 D = 1.6258C - 0.38 Q 0.38 I - 0.205 I = h L L = 10.666C - 1.85 D - 4.87 Q 1.85 (1-21) Manning 공식은잘알려진개수로흐름공식을 관수로흐름에적용한것이다. 이공식은단지거친 관로의흐름에대해서만사용해야한다. 이것은매끈 한관이나층류에대해서는정확한결과치를주지 못한다. - 12 -
Hazen-Williams와 Manning식모두 Darcy 식과똑같은형태로조정할수있다. 결과의 f 표현은이들식을확실하게적용하고자하는곳에서의상황을이끌어내기위하여 Darcy의 f값과비교하여표현하면다음과같다. Hazen-Williams 른조도값 (roughness value) 에대하여편리하게사용하고, 선택에도움을주고자 < 표1-3> 에조도값을여러문헌에서발췌수록하였다. < 그림1-13> Moody 도표 f = 133.65C - 1.85 D - 0.167 V - 0.148 = 133.65C - 1.85 R - 0.167 e V 0.0185 ν - 0.167 여기에서 Re = Reynolds 수, ν = 동점성계수 (1-22) Manning f = 124.5( n D - 1/6 ) 2 (1-23) Darcy-Weisbach 공식을이용한계산에있어서의 주요목표는마찰계수 f 를찾는것이다. f 값은두 가지매개변수에관계되는데, 그것은 Reynolds 수와 상대조도 ( 相對粗度, relative roughness) 이다. Reynolds 수는 f 에점성의효과로서평가된다. 상대 조도는관직경에대응하는관체의거칠기로평가되 며 e/d 로표현된다. 여기에서 e 는관체의거칠기를 잰값이다. < 표 1-3> 상업용관에대한조도값 관재료 e (mm) C (Hazenwilliams) n (Manning) 리베트강 (Riveted steel) 0.914-9.144 110 0.013-0.017 콘크리트 0.305-3.048 120-140 주철 (Cast iron) 0.011-0.014 - 새로운 (new) 0.254 130 0.013 - 오래된 (old) - 100 아연 (Galvanized iron) 0.015-0.035 0.152-0.016 - 미소손실 ( 微少損失 ) 미소손실 (minor losses) 은관내손실의두번째형태이며통상적인관마찰결과에의해발생되기보다는과도한난류에기인한다. 이들손실은관로중한정적인길이에서발생하지만, 통상원인이되는밸브, 부속물등이설치된지점에집중된다고가정한다. 이러한정의는 < 그림1-14> 에나타내었다. 아스팔트도장철 (Asphalted iron) 용접된강 (Welded steel) 석면시멘트 (Asbestos cement) 구리 (Copper), 알루미늄관 0.122-0.013 0.046 120 0.012-140 0.011 Smooth 150 0.010 동수경사선 (HGL) < 그림 1-14> 미소손실개략도 밸브에의한미소손실 PVC, 플라스틱 Smooth 150 0.009 Reynolds 수와상대조도를조합한 Moody 도표 < 그림 1-13> 을이용하여 f 값을결정한다. 관재료에따 - 13 -
모든종류의미소손실에대한방정식은일반적으로다음과같은형태로표현된다. V 2 h m = K L (1-24) 여기에서 K L 은손실을유발하는장치에의해결정되는미소손실계수, V는관경이작은관로의유속이다. 대부분의수리학과유체역학책에여러형태의장치에대한미소손실계수에대한자료가있다. 여기에서는일반적인경우에선택할수있는 K L 값을 < 표 1-4> 와 < 표1-5> 에나타내었다. < 표1-4> 적은관의유속에서단면확대와축소에대한미소손실계수관경 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 변화율축소 K L 0.5 0.48 0.45 0.42 0.38 0.34 0.29 0.22 0.12 0.04 0.0 우리나라의상수도설계에서주로사용하고있는 곡관에대한수도손실은다음식 (1-25) 과 < 표 1-6> 및 < 표 1-7> 에의해결정하고있다. 1 곡관에의한손실 (h b) h b = f b1 f b2 v 2 (1-25) 여기에서, f b1, f b2 : Anderson-Straub 공식에의한손 실계수 f b1 = 0.131+ 0.1632 ( D r ) 7/2 f b2 = ( θ 90 ) 0.5 D : 관경 (m) r : 곡률반경 (m) θ : 굴절각 ( ) < 표 1-7> 강관곡관의관경별손실계수 (f b1, f b2) 확대 K L 1.0 0.98 0.92 0.83 0.70 0.57 0.40 0.26 0.12 0.04 0.0 < 표 1-5> 대표적인미소손실 미소손실장치 관로유입내부돌출날카로운모서리약간곡선둥근곡선관로유출 ( 모든형태 ) 곡관 (Bends) 90 곡관 45 곡관부속물 (Fittings) 90 표준엘보 (elbow) 45 표준엘보 f 는관로에대한마찰계수 K L 0.78 0.50 0.23 0.04 1.00 58f 15f 30f 16f < 표 1-6> 주철관곡관의관경별손실계수 (f b1, f b2) 관로의단면급확대, 급축소와같이에너지선 (Energy Line, EL) 과동수경사선 (Hydraulic Grade Line, HGL) 의변화가심한부분에서는앞에서언급한미소손실계수에의한손실의산정과함께변화되기전과후의두지점에대한속도수두의변화로손실수두를표현하기도하는데, 단면급확대부분에대한에너지변화는아래의그림과같으며, 이와같은단면에서의미소손실은다음과같은식으로표현된다. h m = ( V 1 - V 2 ) 2 여기에서 V 1 : 단면확대전의평균속도 V 2 : 단면확대후의평균속도 (1-26) - 14 -
< 그림 1-15> 단면급확대손실 - 밸브에의한유량조절특성 2 V1 H.G.L 관로중간 E.L 관벽면 V 1 V 2 2 V2 단면급확대손실과유사한유출손실은손실계수 를 1 ( 표 1-5 참조 ) 로하는데그것은 < 식 1-26> 에서유 출후 ( 저수지, 배수지등으로유출 ) 의속도를무시할 수있으므로 h m = V2 1 이되기때문이다. 저수지 나배수지등으로유출될때의관로및유출지점의 에너지관계를나타내면아래그림과같다. 1) 밸브의유량계수 (Flow Coefficient) 밸브에서의압력강하는유량또는유속의제곱에 비례한다. 밸브에서의수도손실과다른미소손실과 유일하게다른점은손실계수가밸브개도에따라달 라진다는것이다. 특정밸브 ( 주로소구경밸브 ) 에서는 실제로개도에따라 Reynolds 수에의해계수가변 화하는경우도있다. 그러나, 이상황에서는단지밸 브를통한수두손실을정확하게아는것이매우중 요하다. 유량과압력강하와의관계는유량계수 (flow coefficient) 에의해표시할수있다. 여러엔지니어링 그룹에서몇가지다른계수를사용하고있는데, 가장 많이사용하고있는것은다음과같다 ; K l = ΔH V 2 = ΔHA 2 Q 2 (a) C v = Q 1 ΔP (b) < 그림 1-16> 단면유출손실 D d1 = V ( ΔH) 0.5 2 V E.L H.G.L (c) D d1 = D d = V (c) 0.5 ( ΔH) V (d) ( ΔH+V 2 0.5 ) y D df = V ( H u ) 0.5 ( 대기압으로유출하는밸브 ) (a) (b) (e) 밸브에의한수두손실에관한여러가지자료들이있으나, 많이사용되고있는버터플라이밸브에대한 Weisbach 의실험에의한값은 < 표1-8> 과같다. < 표1-8> 버터플라이밸브에의한손실수두계수개 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 60 70 90 도 a/a 0.91 0.83 0.74 0.66 0.58 0.50 0.43 0.36 0.29 0.23 0.13 0.06 0.0 K L 0.24 0.45 0.77 1.34 2.16 3.54 5.70 9.30 15.1 24.9 77.4 368 개도 ( ) ; 완전개방 : 0, 완전닫음 : 90 A : 관단면적, a : 밸브개방된면적 여기에서 γ는단위중량, ΔH와 ΔP는각각밸브지점에서의평균유속 V또는유량 Q에의해발생하는총수두와압력의강하 ( 유속수두의변화도포함 ) 그리고 Hu는밸브상류지점에서의압력수두이다. 대기압으로유출하는밸브에대해서는 Hu = ΔH가되는데그것은 Hd = 0이기때문이다. 식 (b) 를제외한모든식은무차원이므로어떤단위를사용하여도된다. SI 단위에서 g = 9.81m/s 2, ΔH는미터 (m), V는 m/s이고 Q는m3 /s이다. 식 (b) 는무차원이아니며, Q의단위는m3 /h, ΔP는kg / cm2이다. 이식은수도분야에서대단히많이사용하는공식이다. 유량계수와밸브의거동에영향을끼치는다른하나의중요한인자는상류와하류의관로길이이다. 만일엘보, tee 또는다른미소손실이밸브와근접하 - 15 -
여설치되어있으면접근유속의종단과난류가유 량계수, 토크, 케비테이션그리고밸브의안정성을 변화시킬수있다. 하류의난류는압력의회복에영 향을끼칠수있다. 몇가지의계수를사용하고있기때문에, 한개의 정의로부터다른것으로변경하기위하여다음과같 은변환이필요하다. K l = 1 C 2-1 = 1 d C 2 d1 C d1 = ( 1 K l ) 0.5 C d = ( 1 ( K l + 1) ) 0.5 C d1 = [ C 2 0.5 d (1-C 2 d) ] 밸브의유량계수는밸브의형식에따라다르며 같은형식이라도미소손실에따라설계에서달라진 다. 따라서밸브제작업체로부터필요한사양에대한 정보를획득하는것이필요하다. 일반적인정보와다 음의예제에사용하기위하여몇가지대표적인자료 를각각관로중간에설치된것과자유수면으로유 출하는밸브에대하여다음그림에나타내었다. 관로에설치된밸브에대한유출계수 (f) 치되어있을지라도밸브개도에따른유량의비율특성이달라지게된다. 이것을다음예제에서설명한다. 예제 ) 버터플라이밸브에의해서두저수지사이에공급되는밸브개도에따른유량을다음사항에대하여구하라. (a) 관로길이가짧은 fl/d = 3인경우, (b) 관로길이가길이마찰손실이많은 fl/d =250 인경우. 경우 A. 저수지와수위치가 9.14m라고하였을때저수지와의사이에대하여에너지방정식을수립한다. 미소손실은무시하는것으로가정한다. 그러므로 9.14 = (3 +K l) V 2 /이며 K l 은밸브에대한값이다. 버터플라이밸브를완전개방하였을때, Cd = 0.80( 그림 4.3) 이며 K l = 0.563( 식 f) 이며 V = 7.09 m/s이다. 밸브의개도에따라유속은다음과같이줄어든다. 개도 (%) Cd K l V % of Vmax 90 0.64 1.44 6.35 89.6 70 0.47 3.53 5.24 73.9 50 0.3 10.11 3.70 52.1 30 0.15 43.44 1.96 27.7 15 0.06 276.78 0.80 11.3 0. 9 0. 8 0. 7 0. 6 0. 5 0. 4 0. 3 0. 2 0. 1 0 0 10 15 20 30 40 50 60 70 80 90 100 밸브개도 (% ) Cd Butte rfly G lo b e 2) 밸브와계통의손실제어밸브를선택할때, 밸브를관로시스템의일부분으로그거동을해석할필요가있으며단독의장치로서생각하지않아야한다. 예를들면, 밸브제작업체에서는종종밸브개도에따라최대유량의비율로서표시되는곡선으로유량계수자료를변환한다. 이러한정보는오류를유발할수있는데그것은밸브의제어정도는그것이설치된시스템에따라달라지기때문이다. 다른수도시스템에같은밸브가설 경우 B. 높은마찰손실 (fl/d =250 및밸브를제외 한미소손실무시 ) 로에너지방정식은 ΔH = (250 +K l) V 2 / 이다. 이경우높은 ΔH 를사용함으로서 완전개방시좀더합리적인유속을얻는다. ΔH = 61m 라고하면, 유속 V = 2.19 m/s 이다. 개도 (%) Cd K l V % of Vmax 90 0.64 1.44 2.181 99.8 70 0.47 3.53 2.172 99.4 50 0.30 10.11 2.144 98.1 30 0.15 43.44 2.019 92.4 15 0.06 276.78 1.507 69.0 10 0.02 2499.00 0.660 30.2 경우 A 에서는밸브가폐쇄되는개도에거의선형 으로유량이줄어드는것을알수있다. 50% 가개방 되었을때, 유량은초기의유량에비해 52% 정도이 다. - 16 -
경우 B에서는그상황이다르다. 관로내손실이크고 fl/d K l 이되기때문에, 밸브를처음보다 70% 정도까지닫더라도유량에는거의변화가없다. 관로시스템-밸브의상호작용의결과로인하여밸브의개폐특성이선형또는비선형이라고하는생각으로오인할수있다. 경우 B와같은시스템에서, 만일좀더넓은범위의밸브제어를원한다면, 좀더적은 Butterfly 밸브또는 globe 밸브를선택하면가능하다. 먼저, 적은구경의 butterfly 밸브를생각해보자. 완전개방시수두손실을총손실의 5% 로한정해야한다고가정하자 ; 그러면 K l = 0.05(250 + K l), K l = 13.2가된다. 점자 1을관로조건으로하고 2를밸브로하여요구되는밸브의구경을구하도록하자. K l = 13.2이 V 2 1/을근거로한다는것을명심하자 (V 1 = 관내평균유속 ). 또한 K l = 0.563이기하학적으로유사한밸브의완전개방시크기에해당되므로 ( 그림 4.3을근거로 ), ΔH = 0.563 Q 2 /A 2 2 = 13.2Q 2 /A 2 1 여기로부터 d 2 = 0.454d 1 이된다. < 그림1-17> 계통내손실계수에따른밸브의유량특성 100 90 80 계수는아래 < 그림1-17> 과같이이계수에따라크게달라지게된다. 이 < 그림1-17> 에서와같이손실계수 Cp 값이적은값, 즉관로의경사가적거나압력이적은관로에서는밸브를잠그면유량이많이줄어들게되나, 손실계수가큰관로에서는관로를닫아도유량은거의줄어들지않게된다. 예를들면 Cp=1인관로에서는밸브를 50% 닫으면유량은밸브가완전히개방되었을경우 (Q max) 에비하여약 40% 정도줄어들게되나, Cp=250인관로에서는밸브를 50% 닫아도유량은거의변하지않게된다. 따라서, 유량조절을목적으로하는밸브를설치하고자할때는전계통의압력과제어가능성을고려하여위치를선정하여야할것이다. Hazen-Williams의 C계수 ( 유속계수 ) 적용일반적으로매설된관의 C값은관내면의조도에따라다르나, 주철관의신설관은 130정도로보며통수년수에따라점차감소하는특성을가지고있으며, 이에대한검토가필요한실정이므로여기에서는 C 값적용에관한사례를조사하였다. 환경부에서발간한상수도시설기준 (1997) 에서는설계시적용하는 C값을아래표와같이제시하고있다. < 표1-9> 설계시 Hazen-Williams 공식의 C값 유량율 (Q/Qmax, %) 70 60 50 40 30 20 Cp=4 Cp=1 Cp=4,000 Cp=1,000 Cp=250 Cp=64 Cp=16 Cp=4 Cp=1 관 종 C값 비고 주철관도복장강관 110 부설후 20년 원심력철근콘크리트관굴곡부손실등을고려 130 P.S. 콘크리트관하여 110 ~ 130 정도 경질염화비닐관 110 가안전 10 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 ( 전폐 ) 개도 ( 도 ) ( 전개 ) 관로에설치되어있는조절밸브의개도에따라 유량이조절되는데, 유량의변화특성은밸브의종류 와계통의손실특성에따라달라지게된다. 만일밸 브가설치되어있는계통의손실계수를 Cp( 즉, 밸브 가설치된상하류의손실을 h L = C p v 2 라고하 였을경우의손실계수 ) 라고하면, 계도에따른손실 참고로다음 < 표1-10> 은여러가지관재질에대한 C 값을나타낸것으로서 Lamont(1981) 의실험에의한것이다. Lamont는관로의매설후경과년수와 C 값사이에는단일상관관계를만드는것은불가능하나대신에관내부식에따라지배적으로 C 값이줄어든다는것을발견하였다. 그는관내부식량 (attack) 에따라송수능력에대해 4개의 경향 (trend)" 을만들었다. 심한부식 (severe attack) 의 Trend 4는주철관에급속도로부식이진행되었을때를말한다. 다음표에서나타난바와같이부식정도에따라 C 값이정도가다르게나타난다. - 17 -
이표에서부설년수가경과된강관에대해서는주철관의경우와같이적용토록하였으며, 조사한자료는 0.9m/sec의유속일때를대상으로한것이며유속이달라지면이값을조정하여야하는데자세한사항은참고문헌을참고하기바란다. 일본의物部長橞 (1960) 는초기 C값을아는경우에대하여경과년수별 C값의변화에관한식을유도하였는데아래식과같다. C y = C ( 1-2.68 Y D ) 2.63 (1-29) 또한, 여러경우에대한현장조사자료를바탕으로이론식을개발하여경과년수별 C값의변화를제시한경우도있는데, 김중훈, 김성한등 (1996) 은광역상수도등의기존자료의조사분석을통하여다중회귀식의유도하였는데경과년수에대한 C값의산정식은다음과같다. C = 0.052Y 2-3.669Y + 0.015D + 119.086 (1-27) 여기에서 Y는매설년수 ( 년 ) 이고 D는관경 (mm) 이다. Walski 등 (1989) 은배수관을대상으로다음식과같이경과년수와관경별관계식을제시하였다. (1-28) 여기에서의 T와 D는식 (1-26) 의 Y와 D와동일하다. 여기에서 C는초기 C값이며, Y와 D는식 (1-27) 과같다. 등가관 (Equivalent Pipe) 계산등가관 ( 等價管 ) 또는등치관 ( 等値管 ) 이란관직경의변화또는 2열이상의관이병렬로구성되어있는것을단일구경의관로로바꾸어관망해석이나다른목적의수리계산을간단하고용이하게하는데사용하는가상의관로를말한다. 등가관문제는앞에서언급한질량및에너지보존법칙을응용하여계산한다. - 부등단면관 ( 不等斷面管, Series pipe) 관경이줄어들거나변하는관을부등단면관이라하며, 아래의그림과같은형태를나타낸다. 이관을통과하는유량은관경의변화에상관없이같다. 관형식 < 표 1-10> 여러가지관재질에대한 C 값 관직경에따른 C 값 25mm 75mm 150mm 300mm 600mm 1200mm 비도장주철 - smooth & new 121 125 130 132 134 도장주철 - smooth & new - 30 년경과경향 1 - 약간부식경향 2 - 중간정도부식경향 3 - 상당히부식경향 4 - 심하게부식 - 60 년경과경향 1 - 약간부식경향 2 - 중간정도부식경향 3 - 상당히부식경향 4 - 심하게부식 - 100 년경과경향 1 - 약간부식경향 2 - 중간정도부식경향 3 - 상당히부식경향 4 - 심하게부식 도복장강관 - smooh & new 129 137 142 145 148 148 비도복장강관 - smooth & new 134 142 145 147 150 150 Smooth pipe(pe, PVC, 동관등 ) 140 147 149 150 152 153 129 100 83 59 41 90 69 49 30 81 61 40 21 133 106 90 70 50 97 79 58 39 89 70 49 30 138 112 97 78 58 102 85 66 48 95 78 57 39 140 117 102 83 66 107 92 72 56 100 83 64 46 141 120 107 89 73 112 96 78 62 104 89 71 54-18 -
< 그림 1-18> 부등단면관 h L1 h Le = h L1 + h L2 K e Q n e = K 1 Q n 1 + K 2 Q n 2 여기에서, Q e = Q 1 = Q 2 이므로, K e = K 1 + L 2 이된다. h L2 D 1,K 1,n 1 D 2,K 2,n 2 10.666C - 1.85 e D - 4.87 e L e = 10.666C - 1.85 1 D - 4.87 1 L 1 + 10.666C - 2 유속계수 (C) 는부등단면관과등가관모두같다고하면, D - 4.87 e L e = D - 4.87 1 L 1 + D - 4.87 2 L 2 L 1 L 2 부등단면관을단일직경의등가관으로바꾸려면질량보존법칙에의하여등가관은부등단면관과같은유량이흘러야하며, 에너지보존법칙에의거등가관의수두손실은부등단면관의손실의합과같아야한다. 즉, Q e = Q 1 = Q 2 = = Q i - 병렬관 ( 竝列管, Parallel pipe) 등가관문제는 2열이상의병렬로연결된, 즉병렬관에대해서도적용할수있다. 병렬관의시작과끝지점사이의각각의관로에대한수두손실은어느경로를택하든지같아야한다. h Le = h L1 + h L2 + = h Li 여기에서, Q : 유량, h L : 마찰손실, L : 관길이, D : 관길이, n : 공식의지수이며, 첨자 1, 2, i는실제관로번호이며, e는등가관을나타낸다. 수두손실을나타내는공식은 h L = KQ n 의식으로표시할수있는데, Hazen-William식에서는 K = 10.666C - 1.85 D - 4.87 L이며, n = 1.852가된다. 등가관의손실수두항을지수형으로표현하면다음과같다. 즉, < 그림 1-19> 병렬관 h Le = h L1 = h L2 = = h Li h L 여기에서 Q e = Q 1 = Q 2 이며, n 은같은값을사용 하므로다음식과같이표시할수있다. K e = K 1 + K 2 + = K i 이구간을흐르는유량은각각의병렬관을흐르는 유량의합과같다. 즉, Q e = Q 1 + Q 2 + = Q i 예제 ) D 1 = 1,500mm, L 1 = 1,000m, D 2 = 1,000mm, L 2 = 1,000m인부등단면의관경을구하라 ( 단, 수두손실공식은 Hazen-Williams식을사용하며, 등가관의관길이는 2,000m로한다 ). 두관에서발생하는손실수두의합이등가관의손실수두와같아야하므로, h L = KQ n 에서 Q = ( h L /K) 1/n 이되므로, 이를위식에대입하면, 여기에서, h Le = h L1 = h L2 이므로 - 19 -
된다. 예제 ) D 1 = D 2 = 1,500mm, L 1 = L 2 = 1,000m 인 병렬관의관경을구하라 ( 단, 수두손실공식 은 Hazen-Williams 식을사용하며, 등가관 펌프가설치된관로의흐름해석을위하여, 일 - 에너 지 (work-energy) 방정식식 (1-13) 을수정하여펌프에 의해추가되는에너지를포함시켜야한다. 의관길이는 1,000m 로한다 ). 풀이 1) Q e = Q 1 + Q 2 에서 Q = ( h L /K) 1/n 을대입 하면 (h Le /K e ) 1/n e = ( h L1 /K 1 ) 1/n 1 + ( h L2 /K 2 ) 1/n 2 여기에서, h Le = h L1 = h L2 이고, Hazen-Williams 식에서 n = 1.852 를사용하므로 (1-30) 여기에서, Hp = 펌프를통해단위유체질량에더해 지는에너지 ( 양정 ) 이다. 병렬혹은다단펌프인경우 에, Hp 는각펌프또는각단에서의수두증가치를 더한값이다. 아래그림은펌프에의한계통내에너 지변화를도식화한것이다. (1 /K e ) 1/n e = ( 1 /K 1 ) 1/n 1 + ( 1/K 2 ) 1/n 2 < 그림 1-20> 관로내펌프에의한에너지변화 K = 10.666C - 1.85 D - 4.87 L 에서, L 은모두 1,000mm 이고, C 는등가관과병렬관에서같다고하 면, EL HGL h P 2 V EL HGL P g h L 1 D - 4.87 e = ( 2 2.9) 1.852 P Pump 펌프를통한수두의증가는펌프토출량의함수이며제작자들의실험에의해결정된다. 도표에그래프형태로표현되는이정보를특성곡선 ( 特性曲線, 풀이 2) characteristic diagram) 이라한다. 이정보에는변하는토출량에따른소요동력과펌프효율도포함되어있다. 펌프특성곡선의일반적인예를 < 그림1-21> 에나타내었다. 일반적으로펌프의성능은아래그림과같이횡 Q e = Q 1 + Q 2 에서 Hazen-Williams 식 Q = 0.27853CD 2.63 I 0.54 를대입하면 (0.27853, C 및 I 는같으므로소거할수있다.) 축에유량 ( m3 /min), 종축에양정 (m), 효율 (%), 동력 (kw) 을표시하는데, 펌프의양정은유량이증가함에 따라조금씩작아지는우하향 ( 右下向 ) 곡선이된다. < 그림 1-21> 펌프특성곡선 Ⅳ. 펌프와수리학 ( 水理學 ) 펌프는관로의상류측끝 ( 취수펌프 ) 에있거나관로의중간 ( 가압펌프 ) 에위치하게된다. 어느경우나, 펌프를통한토출량과펌프를통한수두의상승은펌프가설치되어있는관로시스템에영향을주게 - 20 -
여기에서, R 1 은송수관로의마찰저항등의관로손실 ( 관로저항 ( 管路抵抗 )) 곡선이다. 저항곡선 R 1 은펌프 의실양정 (Actual Head, 펌프장위치수두와송수하 고자하는관말의수위차 ) 과송수관로말단까지물을 공급하는데필요한손실의합인송수관로의관로저 항을가미한것이다. 이저항곡선 R 1 과펌프의양정 곡선과의교점 A 1 에서의유량 Q 1 및양정 H 1 에서펌 프가운전되며, 이교점 A 1 을펌프의운전점이라한 다. 또한이때의펌프동력은 A 1 점으로부터의수직선 과축동력곡선과의교점 P 1 이며, 펌프효율은효율곡 선과의교점인 E 1 이다. 펌핑상황에서는소요동력이관심사항이기때문 에, 에너지증가치 (Hp) 와소요마력사이의관계식을 수립하는것이중요하다. 펌프에의해서유체에더해 지는힘은다음과같이표현된다. P w = 0.163γQH p 여기에서 P w = 수동력 (kw), γ = 물의단위중량, Q = 토출량 ( m3 /min), Hp = 전양정 (m) 이다. 물론마찰 과펌핑진행동안다른손실때문에매우큰동력이 펌프축에더해진다. 이러한것을고려한펌프축동력 식은다음과같다. P = 0.163 γ QH p η (1-31) 여기에서 P = 축동력 (kw). η = 펌프효율. 축동력을 마력 (Hp) 으로환산하려면다음과같다. 1 kw = 1.3596 Hp (1 Hp = 0.7355 kw) 예제 ) 펌프의양정계산, 의양정을계산하라 다음과같은관로시스템 < 그림 1-22> 수도권 4 단계취수장계통도 1) 설계조건 ( 팔당취수장수도권 4 단계사례 ) - 총유출량 (Qt) : 1,560,000 m3 / 일 - 펌프별유출량 (Qp) : 312,000 m3 / 일 - 취수장 H.W.L : EL. 25.00m - L.W.L : EL. 23.50m - 서지탱크동수두 : EL. 100.50m - 펌프장 - 서지탱크거리 : 920m 2) 총양정고 (Total Head) 계산 관경 : 2,200mm 2 열 H = 실양정 + 펌프손실 + 관로손실 (h L) + 여유 (α) 1 실양정 = 서지탱크동수두 (100.50m) - 흡수정 2 관로손실 L.W.L(23.50m) = 77.00m 2,200mm 2 열의등치관은 D eq = ( D 2.63 1 + D 2.63 2 ) 1/2.63 에서 3 흡입부손실 = 유입손실 + 굴곡손실 + 밸브손실 = 0.16m 4 토출부손실 = 역지밸브손실 + 관로손실 + 점확손실 + 밸브손실 + 합류손실 = 1.61m 총양정고 = 77.00 + 1.76 + 0.16 + 1.61m = 80.53 + 1.47(α) = 82.00m 펌프의운전점펌프의운전점은앞에서언급한바와같이펌프의특성곡선과실양정및관로손실곡선과의교점이되나, 펌프제작업체에서제공하는펌프특성곡선은계통의유량및손실특성에따라달라지게되며, 관로저항곡선은통상펌프설계시정격유량조건및최저수위조건 (L.W.L) 등한점을기준으로설계하게되므로, 실제운전조건과는다르게된다. 특히, 거제공업용수도와같이댐을취수원으로할경우수위변화가심하여펌프의특성이크게변 - 21 -
하게되므로실제로수위에따라펌프용량을다르 게설계하게된다. < 그림 1-24> 펌프의병렬운전특성 < 그림 1-23> 펌프의운전점 H 양정 제작사제공특성곡선 설계저항곡선 (L.W.L) 설계운전점 실제저항곡선 ( 실제수위 ) 수정특성곡선 펌프의속도제어 ( 변속펌프 ) B A 펌프의회전수조정 ( 변속펌프 ) 에의한유량및양정의제어는펌프의상사성을이용한것으로서, 펌프 설계정격양정 실정격양정 실운전점 유량 Q 토출량은회전수에비례하고펌프의양정은회전수의 2승에비례한다는법칙으로서다음과같이표현된다. 위그림과같이펌프특성및취수장의수위등에따라운전점 A, B점등으로다양하게변할수있으므로펌프특성곡선을관망해석에적용할경우에는펌프특성곡선뿐만아니라, 공급량, 수위등을다각적으로조사하여입력자료를작성하여야한다. 펌프의병렬운전물의수요는주간과야간등의시간에따라변할뿐만아니라, 계절에따라또시설개발초기와목표년도도달후에따라크게변한다. 이경우대용량펌프 1대를이용하여밸브에의한유량제어나가변속전동기에의한회전속도를제어한다면, 펌프의최고효율점은정격점부근의한곳에있으므로소요량또는다량의수량을송수할경우에는효율이나쁜운전이되고만다. 이와같은경우펌프를여러대로분할하여운전하면대용량을필요로할때는병렬운전을행하여항시좋은효율영역에서의운전이가능하다. Q P1 Q P2 = n 1 n 2 h P1 h P2 = ( n 1 n 2 ) 2 여기에서 Q P1, Q P2 : 펌프의토출량 n 1, n 2 h P1, h P2 : 펌프의회전수 : 펌프양정 (1-32) 관망해석에서변속펌프의경우를이용하는것은 최적효율지점과같은통상의운전상태회전수를기 준 ( 통상 1) 으로하고, 회전수가변할경우이기준 값에승수 (n) 로표시한다. 즉, 평상시의회전수 (speed) 를 1 로하였을때, 회전수가두배가되면펌 프의회전수 (speed) 항에 2 로변경해주면된다. 펌프의회전수변경에따른펌프의운전특성곡 선은아래그림과같다. < 그림 1-25> 펌프의속도제어에따른운전특성곡선 < 그림 1-24> 에서실양정이 H b, 관로저항곡선이 R 2 H 관로저항곡선 이면, 펌프 3 대운전으로 Q 3 이되므로, 1 대의펌프는 양정 n = 2 Q 3/3 으로운전한다. 그러나펌프를 1 대만운전할경 n = 1.5 우에는토출량이적고, 송수관의저항도적어지므로 n = 1 펌프운전점 B, 유량이 Q 1 이되어 Q 3/3 보다커지게 n = 0.7 된다. 유량 Q - 22 -
위그림에서 n = 1은정격운전과같은기준이되는펌프회전수에서의펌프특성 ( 유량-양정곡선 ) 곡선이며, 나머지곡선들은 n = 1의비로서나타낸상태에서의펌프특성곡선이다. 즉정격운전일때회전수가 1000rpm(n = 1) 이라면, 1200rpm 일때의 n은 1.2가되며 800rpm 일때의 n 값은 0.8이된다. Ⅴ. 관로내수격현상 ( 水擊現狀 ) 개요 관성 ( 慣性, inertia) 은외부에서힘이작용하지않는한현재의움직임을계속유지하려고하는성질이다. 부정류는정상상태 ( 正常狀態, steady state) 를변화시키는에너지가이를유지하는데소요되는것보다많아질때유발된다. 따라서관로내물흐름의속도를증가시키거나감소시키는것이이속도를계속유지하게하는것보다많은에너지가필요하게된다. 유체의흐름을변화시키는데필요한에너지는압력 ( 壓力, pressure) 이다. 만일짧은시간에많은에너지를가하여유속이변한다면, 압력의변화는긴시간동안가해지는것보다훨씬클것이다. 따라서 1 초동안 100kg / cm2에의해압력을변화시키고자하는에너지는 10초동안 10kg / cm2에의해변화되는에너지의양은같다. 기초개념정상상태조건으로부터순간적으로압력또는유량의변동을일으키는모든변화를과도수리현상 ( 過渡水理現象, hydraulic transient) 라한다. 유체의과도현상은통상적으로서지 (surge) 또는수격작용 ( 水擊作用, water hammer) 이라부른다. 이들은일반적으로밸브의개폐 ( 開閉 ), 펌프의시작또는정지등에의해발생한다. 이것들의크기는 (1) 유속변화의정도 ; (2) 유체의밀도 ; 그리고 (3) 유체와관로계통에서의압력파의속도등에따라달라진다. 이러한과도수리현상의범위는약간의압력과속도의변화로부터아주큰진공이나압력으로관로와부속설비가파괴되거나펌프에손상을주는것까지다양하게발생한다. 서지제어장치는위험가능성있는압력변화의원인이되는급격한속도의변화를조절할목적으로설계한다. 이것은공기또는기체와관로에연결된유체로이루어진탱크 ( 조압수조, 서지탱크 ) 등을이용하여해결할수있다. 이탱크는유체에과도한압력이발생하였을때움직이는유체의운동에너지를위치에너지로변환시키는기능을하게된다. 펌프가정지하였을때, 탱크내기체가팽창하고유체를관로내로송수하여진공발생과수주분리 ( 水柱分離, column separation) 를방지하게된다. 이것이서지조절장치가에너지변화를제어하는물-공기장치의기본원리이다. 유체의과도현상과서지제어장치가어떻게에너지변화를조절하는가를이해하기쉽게설명하기위하여한가지비유를이용해보자. 기관차가경사진철로에서객차를뒤에서미는것은펌프를이용하여배수지로송수하는형상과비슷하다. 기관차가정지하였을때, 객차들은마찰과중력에의하여중지될때까지계속진행방향으로전진할것이다. 다음으로중력작용에의해객차가후진으로아래쪽으로움직여기관차와충돌하게된다. 이때만일뒤로이동하는객차를다른쪽으로유도할수있는철로가있다면, 충돌은피할수있다. 이와같은현상을펌프에의한물공급시스템에 - 23 -
적용하여보자. 펌프가정지하였을때, 펌프토출측이후에있는유체는펌프와수주 ( 水柱, water column) 가분리 ( 分離 ) 되어중력과마찰에의해움직임이멈출때까지펌프하류측의물의흐름은계속진행하게되고펌프와물의이동구간까지는진공이발생하게된다. 이러한충돌을브레이크 ( 관로에서는밸브 ) 를미리 밟아서벽앞에서정지하게하여피하게하거나, 충 돌을피할수있는다른선로를만들면될것이다. 진공 다음으로중력작용에의해물은뒤쪽으로움직이게되고, 그결과에의한충돌은비교적단순한소음에서부터관, 펌프등의파손까지다양하게나타난다. 관로시스템에서는빠르게작동하는밸브 ( 서지완화밸브 ) 를이용하여상류에서큰압력으로접근하는물을순간적으로다른곳으로유도하면, 안전하게물의흐름을멈추게할수있으며, 무엇보다밸브를천천히닫으면이러한현상의원인을제거할수있다. 서지완화 밸브 이때만일펌프근처에물과공기로이루어진조압수조 (air chamber) 나서지탱크와같은서지조절장치가설치되어있다면, 펌프가중지된후에관로내로물을공급하여수주분리가생기는것을방지하게하고, 이유체가평형상태에이를때까지완충장치역할을하게된다. 조압수조관로시스템에서밸브의갑작스러운개폐에의해서도이와같은수격작용이발생한다. 이현상은밸브를천천히열고닫음으로서많은부분을제어할수있다. 밸브의급개폐는화제, 홍수또는전기제어설비의동력이차단될때등여러경우에발생한다. 유체는닫혀있는밸브에의해급격하게정지하게되는데, 이것은달리는기차가앞에있는차단벽과같은단단한물체에부딪치는현상과비슷하다. - 수격작용기초이론 관로내물흐름의조건변화에가장많은영향을 주는것은관로의종단, 관길이, 공급량뿐만아니라 압력파의전파속도 이다. 압력파의전파속도는수격 압이발생하였을경우관내에충격적인압력파가발 생하여빠른속도로상하류에전달되는것을말하는 데, 관재질, 매설환경등에의해결정된다. 통상압 력파의전파속도는강관의경우약 1,000m/sec 내외 인데, 이전파속도는다음과같은식으로계산된다. a = 1425 1+ K w E D t 여기에서 a : 압력파의전파속도 (m/sec) K w : 물의체적탄성계수 (2.07 10 8 kgf/ m3 ) E : 관재질의탄성계수 (kgf/ m3 ) - 강관 : 2.1 10 10 - 탁타일주철관 : 1.7 10 10 - 콘크리트관 : 2.0 10 9 D : 관경 (m) t : 관두께 (m) - 24 -
수격작용으로인하여물흐름이갑자기정지되었을때정상상태의동수두압력이급격하게변하게되는데, 이와같은압력변화를통상 Joukowsky 수두 ' 변화라고한다. 수격압에의한급격한수두변화를표현한 Joukowsky 방정식은다음과같이표현된다. 공기밸브 동수구배선 One-way Surge Tank Surge Tank 배수지 ΔH = a g Δ V 여기에서 ΔH : 수격압변화 (m) P Air Chamber Surge Relief Valve a : 압력파의전파속도 (m/sec) g : 중력가속도 (9.8m/sec 2 ) ΔV : 정상상태의속도변화 (m/sec) 예를들면, 정상류상태의유속이 1m/sec에서압력파의전파속도가 1,000m/sec라면, 수격작용에의한압력변화는 102m(10.2kg/ cm2 ) 이된다. 수격압이발생하면이는관로를통해빠른속도로전파되게되는데, 이압력이관로를왕복하는주기를 ' 관로주기 (Pipeline Period)' 라고하는데이는다음과같은식으로계산할수있다. - 부압발생방지법수격작용중에서관로내의압력이물의포화증기압이하로떨어져증기공동 (vapor cavity) 이형성되어, 수주분리 (column separation) 현상이발생하게된다. 관로내압력이대기압보다낮아지면관로에좌굴이일어날수있으며, 분리되었던수주가재결합할때높은압력이유발되어관로가파손될수있다. 일반적으로수격작용에서부압발생을방지하면과다한압력상승도피할수있기때문에, 수주분리발생의방지가수격작용에의한피해를줄이는주요한요소가된다고할수있는데, 이러한부압의발생을방지하는방법은다음과같다. T = 2L a 여기에서, T : 관로주기 (sec) L : 관로길이 (m) 통상적으로관로주기보다빠르게수격현상이완료될때, 즉관로주기보다밸브를빠르게닫았을경우와같은현상을수격현상의 ' 급격한발생 (Rapid Events)' 라고부른다. 수격작용완화설비수격작용을방지또는완화하는데는여러가지방법이있으므로, 수도시설의설계단계에서완화설비를충분히검토하여선정하는것이중요하다. 수격작용의주된원인이부압 ( 수주분리 ) 발생에있는지압력상승에있는지에따라완화설비의종류도달라지게되며, 복잡한수도시설에대해서는여러가지설비들을조합하여야하는경우가많다. < 그림1-26> 은펌프설비가있는수도시설에서의수격완화설비의종류및위치를나타낸것이다. < 그림1-26> 관로노선과수격작용완화설비 1 펌프관성의증대 (Increased pump inertia) 펌프정지에의해유발되는갑작스런변화를피하기위하여, 관성증대를위한 flywheel을설치하여정지시간을늘일수있다. 2 서지탱크 (Surge tank) 또는 Stand Pipe 만일압력의변화가예상되면, 서지수직관 (shaft) 을물이흐르는곳에설치할수있으며, 이것은흐름이좀더점차적으로안정화되도록해준다. 3 에어쳄버와완충장치 (Air Chamber and accumulator) 만일시스템이상당한압력을받게되어있다면, 높은서지탱크의설치가요구되는데이비용이많이소요된다. 그러나, 만일유체가부분적으로기체가채워진밀폐된용기안에들어갈수있도록되어있다면, 들어오는액체가기체를압축하여액체를점차적으로안정화하도록한다. 펌프의가동이정지되면유체는주관로로흐르게되며공기는팽창하게되어, 주관로의압력강하를줄이게되는데, 이러한역할을수행하는설비가조압수조 (air chamber) 이다. 펌프가동정지에의한시스템을보호하기위하여, 에어쳄버 - 25 -
의가장효과적인설치장소는펌프장인근의직하류지점이다. 4 한방향조합수조 (One-Way Surge Tank) 이것은공기의흡입이허용되지않는곳에서부압을줄이기위하여사용된다. 이흐를수있도록설치한다. 이상에서언급한내용을바탕으로수격작용의일반적인제어방법을흐름도를이용하여나타내면다음그림과같다. < 그림1-27> 수격작용제어의일반적인방법 5 공기흡입밸브 (Air admission valves) 만일, 흐름의변화뒤에, 관내압력이액체증기압으로떨어질가능성이있다면, 바람직하지못한증기공동 (vaporous cavities) 이형성될수있다. 이것에대응하기위하여, 밸브를설치하여압력이대기압이하로떨어졌을때열려서시스템내로공기가들어갈수있도록하는방법이가능한데, 이것은이압력이더이상떨어지는것을방지한다. 초기압력상승 관로상류끝 초기압력하강 수격작용이어디에서발생하였는가? ( 원인지점 ) 아니오 중간지점 By-Pass 가도움이되는가? 아니오 초기압력상승 하류끝 초기압력하강 6 역지밸브 (check valves) 이밸브는펌프의토출측에서역류를방지하고펌프의역회전을방지하기위하여설치된다. 또한이밸브는몇몇의장소에서공동의붕괴 (cavity collapse) 에따른높은압력의상승에따른위험을줄이는데유용하다. - Air Chamber - Check Valve - Surge 완화밸브 - Surge Tank - Air Chamber - By-Pass - 진공파쇄밸브 (Vacuum Breaker) 예 By-Pass 장치선정 / 설계 - Air Chamber - Surge 완화밸브 - Surge Tank 계통내보조수격완화설비 ( 공기밸브, One-Way Surge Tank, Surge Tank 등 ) 를설치할필요가있는가? - Air Chamber - One-Way Surge Tank - 진공파쇄밸브 장치선정 / 설계 - 압력상승의경감법 1 느린밸브폐쇄 (Slower valve closure) 이방법은압력상승을방지하는효율적인방법이될수있다. 특히만일 2단계 (two-part) 폐쇄를사용, 즉처음에는빠르게밸브를개폐하고최종 10에서 20% 에서느리게작동하는방법을채택하면효율적으로압력상승을방지할수있다. 특히밸브의폐쇄시간을 관로기간 (Pipeline Period) (T = 2L/a) 이하로하는것이중요한데, 여기에서 L은관로길이이며, a 는압력파의속도이다. 수격작용으로인한위험도평가절차관수로에서물의과도현상 (hydraulic transients) 또는수격작용으로인한일반적인위험도평가절차에대하여언급하고자한다. 그러나, 실제수도시스템에서동일한조건을갖고있는시스템은없기때문에, 설비의형태, 유량또는관로종단등이약간변경되더라도수격작용이달라지게되고문제의유형또한달라지게되므로, 수격제어및완화설비를계획하기위해서는치밀한전략이필요하게된다. 위험도평가에대한절차는다음과같다. 2 서지완화밸브 (Relief valves) 이것들은설정된압력에서열리도록하여액체가 시스템밖으로빠져나갈수있도록고안된것들이다. 1 수도시스템정의 - 관로, 설비및장치등을포 함한모든수도시설요소를조사하여정리한다. 3 측관 (By-passes) 측관은펌프근처에설치하여펌프의토출압력이흡수정 (sump) 흡입압력보다낮아질때유입측으로부터물이흐르도록설치하거나, 가압펌프가정지되었을때긴관로에있는가압펌프의측관으로물 2 안전한상태또는규정된가동한계와피해야할조건이나환경을정의한다. 3 정상적인흐름상태를변경시킬수있는모든원인을열거한다. - 정상또는비정상적인방법, 제 - 26 -
어상태또는통제불가능한상태등. 무엇이잘못될수있는지, 언제, 어디서, 어떻게, 무엇이흐름의조건을바꿀수있는지조사한다. 변경된조건의크기와변화폭이중요하다. 4 앞의 3단계조사에서열거된사항중, 그결과가가장심각할것으로예측되는사항을설정한다. 이것들은통상최대및최소압력을유발할것이며, 계통내에서설정한압력범위를벗어나게될사항들일것이다. 이단계의목적은문제의범위를정하여어떤제어전략을수립하여야할것인가를결정하는기본사항을제공하기위함이다. 5 모든중요한설비들을표시한관로종단도를준비한다. 이종단도에초기정상상태의동수경사선과최대및최소허용압력수두선을작성한다. 6 압력파의전파속도, 관로주기 (Pipeline Period), 예상펌프폐쇄또는밸브작동시간, Joukowksy 압력수두등을계산한다. 그다음, 과도현상이유발된후시스템내압력과유량의거동과설정된범위를벗어나게될가능성이있는지점을종단도에표시한다. 7 6단계의결과에따라, 수격제어또는완화전략에대한선택사항을결정하고재검토한다. 적절하다면관련도표들을이용하여기본적인완화설비를설계한다. 경험에의하면비용, 유지관리와같은다른고려사항들이최종완화설비선정에영향을끼치게될것이다. 8 만일해당과업이시설물설계단계라면장래변동사항들을고려한다. 통상유량과압력이증대될것이며, 계통자체에도변경이생길수있다. 따라서, 향후계획을안다면수격압의제어와통제전략에대한영향도고려하여야한다. 예를들어, 아주큰 air chamber 또는더많은압력저감밸브또는공기및진공밸브 (air and vacuum valve) 가요구될때, 이계통을맹클랜지등으로막아두면계통의가동을방해하는것을줄일수있다. 9 제기된문제들과해법들의평가를확정하기위하여컴퓨터해석사양을준비한다. 적절한수격제어와통제전략을세밀하게검토한다. 10 유체의과도현상문제에관하여최종설계를실시하고, 가동의제한요소와수격제어와통제전략에맞는지침을준비한다. 11 선택된과도현상조건하에서통제와제어전략의거동을확정하기위하여절차에맞게시험프로그램을고안한다. 수격작용계산프로그램최근단순관로뿐만아니라복잡한관망해서발생하는수격작용을수리학적과도류로서모사 (simulation) 하는여러컴퓨터프로그램이소개되고있으며, 이중에서많이사용되고있는범용프로그램은다음과같다. LIQT(Stoner Associates, Inc., & V. L. Streeter and E. B. Wylie) - 이프로그램은수격작용및수리학분야에대가인 Streeter와 Wylie의기본이론을바탕으로미국의 Stoner에의해개발된상업용부정류해석프로그램으로 1998년에 6.1 개정판이나왔다. SURGE(Civil Engineering Software Center, University of Kentucky, 미국 ) - 이프로그램은관망해석프로그램으로유명한 KYPIPE를만든 D. J. Wood에의해개발된상업용범용프로그램으로서 2001년 6월에 Windows 환경에서 KYPIPE 계열의 PIPE2000과합쳐진 SURGE2000 개정판이판매되고있다. WM(M. Hanif Chaudrey, Washington State University, 미국 ) - Hydraulic Transients를저술한 Chaudrey에의해개발된이프로그램은양수발전소의수격압에서필요한가역식펌프 / 수차를경계조건으로다룰수있다. WHAMO(U.S. Army Corps of Engineers) - 미공병단에서개발된이프로그램은 DOS 환경용프로그램이며, 우리나라에도소스프로그램이소개된적이있는프로그램이다. SIMDRU - 이프로그램은연속방정식, 운동량방정식및콜리브록방정식을이용하여관로시스템의절점별유량및압력등유체의흐름해석을하는 - 27 -
프로그램으로수지형및폐합형관로시스템의해석과복합관로의수격작용을비롯한정상및비정상상태의흐름해석이가능하다. 이는독일의 W. Zielke 에의해개발되었으며 1980년에네번째개정판이나왔으며컴퓨터언어는 FORTRAN으로되어있으나계약조건에따라소스코드가제공되기도하고제공되지않고판매도되고있다. 이들프로그램은모두수격압뿐만아니라서징 (surging) 현상과복합관로에서발생하는압력변화로인한과도류를전반적으로해석하는능력을가지고있다. 위의프로그램들은대부분밸브, 수차및조압수조등의경계조건을공통적으로포함하고있으나, 수격작용의해석에서는관로의구성뿐만아니라수격완화설비와같은경계조건이중요한요소가되므로, 개발목적과해석방법을확인하고적절한해석프로그램을선정하여야한다. Ⅵ. 분배수로 (manifold) 수리학 분배수로는아래그림과정수장의침전지에서는물론여과, 역세척등에서사용되고있다. 대부분의정수장시설에서각지간유량의불균형은분배수로설계의오류에기인한다. 따라서, 침전지와같이여러개의지가있을경우, 각지간균등한유량분배를위해서는각각의분기관의직경은다르게설계하여야하나, 수리학적으로이상적인유입관을설계하는것은매우어려운작업이다. 여기에서는 Benefield (1984) 과 Hudson(1981) 의문헌을소개하고자한다. < 그림1-28> 침전지에서의분배수로 때문에, 간략화하기위하여 Camp(1961) 는작은유량 변화가발생하는시스템을설계하여야한다고제안 하였다. 수처리시스템에있어서완벽한유량분배가 고도의수처리에필수적이지않기때문에, 이러한접 근방법이일반적으로채택된다. 분기관 (lateral) 의크기와모양이같고, 각분기관 에대한유출과수두손실과의관계가동일한오리피 스, 단관, 노즐등에대하여같다고가정하면, 분기관 에서의유량은다음식으로표시할수있다. 여기에서 q = C d Δh (1-33) q = 분기관 (lateral) 을통한유량 C d = 유출계수 a = 분기관의단면적 Δh = 각분기관에서의에너지수두차 위식을 Δh 를항으로나타내면, Δh = ( 1 C 2 da 2 ) q 2 (1-34) 중력가속도 g 와단면적 a 는상수이며 C d 도상수라고 가정할수있기때문에, 위식의괄호안을상수 K 로나타낼수있다. 따라서, Δh = Kq 2 (1-35) 따라서, < 그림 1-28> 의 1 과 2 지점사이의수두손실 은다음식으로표시할수있다. (Δh) 1-2 = K( q) 2 1-2 (1-36) 침전지와같은수처리시설의유량조절은통상위 어 (weir) 를통해이루어진다. 일반적으로사용되는 위어는월류위어 (sharp crested weir) 나삼각형위어 (V-notch) 이다. Q o 1 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 5 6 7 8 9 10 No. 1 No. 2 No.3 H Sharp crested Θ H V-notch 각지간균등한유량분배를위해서는각분기관에서의수두손실이같아야한다. 즉, 각분기관의직경이같다면, ( Δh) 1, 2 = (Δh) 11, 3 =... = ( Δh) 18, 10 이와같은시스템을설계하는것은매우어렵기 자유낙하하는예연 ( 銳緣 ) 위어 (sharp crested weir) 에 대한수두손실은다음과같이나타낸다. H = [ 1 C 2/3 W L 2/3 ] Q 2/3 (1-37) 여기에서 H = 위어의상류측수두 C W = 위어계수 - 28 -
L = 위어의길이 Q = 위어를통한유출량 C W 와 L 이상수이므로위식은다음과같이표시 할수있다. H = K W Q 2/3 (1-38) 삼각형 (V-notch) 위어에대한수도손실은다음과같다 또는 H = 1 ( C W tan θ 2 ) 2/5 Q 2/5 (1-39) H = K V Q 2/5 (1-40) 여기에서 K V 는식 (1-39) 의대괄호항에해당된다. < 그림 1-28> 과같이분석하고자하는정수장의침 전지에예언위어가설치되어있다고가정하면, No.1 침전지위어수두는다음과같이쓸수있다. H 1 = K W (nq 1-2 ) 2/3 (1-41) 여기에서 q 1-2 = 첫번째분기관을통한유량이며, 침 전지 No. 1 에서의각분기관의유량은같다고가정 한것이다. 만일첫번째와마지막분기관의유량차이를 M 이 라고하면, M = q 1-2 q 18-10 (1-42) 첫번째분기관으로부터마지막까지의에너지관계 를나타내면, 또는 (1-43) 이를그림으로나타내면다음과같을것이다. < 그림 1-29> 첫번째와마지막분기관에서의에너지관계 물을분배하는분배수로 (manifold) 계통에서는다 음과같은두가지경우중의하나가됨을아는것이 중요하다. 1. 분배수로가아주작아분배수로를통한마찰손 실이큰경우. 이경우는첫번째분기관의유 량이마지막보다클것이다. 식 (1-42) 은양 (+) 의 수가되며, M 은 1 보다크게될것이다. 2. 분배수로가아주커서마찰손실이작은경우. 이경우는분기관을통해유량이줄어듦에따 라속도수두의회복이발생한다. 따라서, 압력 은분배수로의관말에서가장크게되며, 식 (1-43) 의손실수두 (h L ) 는음 (-) 의수가되며 M 은 1 보다적어지게된다. Camp(1961) 는예연위어를사용하여유출유량을제 어하는경우에대한첫번째분기관을통한수두손 실을다음식과같이제안하였다. (1-44) Fair 는각각의분기관에서의수두손실과비교하여 주관로의수두손실을적게발생하도록설계하면개 략적으로균등한유량분배시스템을만들수있다고 주장하였다. 각분기관을통한유출량의분포는개략적으로선 형이기때문에첫번째와마지막분기관의유출량 비는다음과같이표시할수있다. q N = Ψq 1 (1-45) 여기에서 q N = 마지막분기관의유출량 q 1 = 첫번째분기관의유출량 Ψ = 첫번째와마지막분기관의유출량비 식 (1-44) 을식 (1-45) 의손실수두식에적용하면다음 과같이변형할수있다. h L = ( Δh) 1 (1-Ψ 2 ) (1-46) H L 분기관을통한유출이없이분배수로를통해모든 (Δh) 1-2 H 1 (Δh) 18-10 H 3 유량이흐를때의수두손실을 h T 라고하면, 개략적으로식 (1-46) 의수두손실은다음과같은관계가있다고한다. H R Weir Tank No.1 H R Weir Tank No.3 h L = 1 3 h T (1-47) First lateral Last lateral 예제 1) 아래그림과같은침전지분배수로에서유 - 29 -
량의균등분배를위한분기관의직경을구하라. 이분배수로를통한유출량은 40,000m3 / 일이며분배수로의주관로는 300mm이며, 첫번째와마지막의유출량비는 q N /q 1 = 1.5까지허용되는것으로한다. Q 5. 식 (1-33) 로부터분기관의직경을구한다. C d = 0.82 q = C d Δh 에서 침전지 No.1 6m a = C d q Δh 10m 침전지 No.2 12m = 0.463/8 0.82 2 8.91 0.27 = 0.031m 2 분기관직경 D = 198mm 해 ) 1. 침전지 No. 1 위어의수두를계산한다. 침전지유입위어가예연위어 (sharp-crested weir, 일반으로 CW 3.33) 라면, 식 (1-37) 로부터, 주 : 여기에서는지 No.1 과 No.2 가균등 하게유량이분배되는것으로가정하여 계산한것이다. 2. 분배수로를통해전체유량이흐를때, 분배수로 에서의마찰수두손실을구한다. Hazen-Williams 식을사용하며, 유속계수 (C) 는 130 으로한다. Hudson 등 (1979) 은분배수로의수리해석에대한다른접근을시도하였다. 분배수로 (manifold) 에서의유량분배는아래그림과같이일련의분기관 (lateral) 을통하여이루어진다. 1 2 측관 3 4 분배관분배수로와분기관사이 ( 그림1-3의 A와 B점 ) 의수두손실은다음과같은손실의합으로이루어진다. < 그림1-30> 분기관에서의유량분배와에너지관계 h T = 10.666C - 1.85 D - 4.87 Q 1.85 L = 10.666 130-1.85 0.3-4.87 0.463 1.85 10m = 1.1m 3. 식 (1-47) 로부터첫번째분기관에서마지막분기 관까지의실제수두손실을계산한다. h L = 1/3h T = 1/3 1.1 = 0.367m V m 2 HGL h f ' Δh 2 V m +1 2 V L EL Lateral 주 : M(1/1.5 =0.67) 이 1보다적기때문에 h L 은음 (-) 의부호여야한다. 4. 식 (1-44) 로부터첫번째분기관에서의수두손실을계산한다. B Q L, V L, A L A Q m, V m, A m Q m+1,v m+1,a m+1-30 -
(1) 분배수로 (manifold) 에서의마찰손실 (2) 분기관 (lateral) 에서의마찰손실 (3) 분기관유입손실 (4) 분기관유출손실 마찰손실은쉽게계산할수있으나, 분배수로문제 에서의주요한인자는되지못하기때문에, 일반적으 로대부분의정수장시설물설계에서는분배수로의 마찰손실을무시한다. 그러므로, < 그림 1-30> 의 A 와 B 점사이에서발생하 는총손실수두는다음식과같이표현할수있다 Δh = h E + V2 L (1-48) 여기에서 Δh = 분배수로 (A 점 ) 와분기관 (B 점 ) 사이의 손실수두 h E = 분기관유입손실 V 2 L = 분기관유출손실 유입손실 h E 는다음과같이쓸수있다. h E = α V2 L (1-49) 여기에서 α 는유입손실계수로서, 분배수로문제에서 는이값은상수가아니며분배수로유속과분기관 유속의함수가된다. Hudson 등에따르면 α 와분기 관상류의분배수로측유속과분기관내의평균유속 사이에는선형관계가있으며, 다음과같이수학적으 로표현할수있다고제시하였다. α = h E V 2 L = φ [ V M V L ] 2 + θ (1-50) 여기에서 V M : 분기관상류분배수로에서의평균유속 V L : 분기관에서의평균유속 Φ 와 θ 값은 Hudson 등 (1979) 에의해다음표와같이 실험결과값으로서발표되었다. 측관길이 θ ψ 장관 (long) 0.4 0.90 단관 (short) 0.7 1.67 장관 : 관경의 3 배보다큰길이 단관 : 관경의 3 배보다적은길이 식 (1-50) 을식 (1-49) 에대입하고, 이를다시식 (1-48) 에 대체하면다음과같은식을구할수있다. Δh = [ φ ( V M V L 또는 Δh = β V2 L ) 2 +θ ] V2 L + V2 L 여기에서 β = φ ( V M V L ) 2 + θ + 1.0 (1-51) 완벽한유량분배를위해서는각분기관을통한 수두손실이같아야한다. 그러므로, 일정 식 (1-52) 으로부터다음식을유도할수있다. (1-52) V Li = V L1 β 1 β i (1-53) 분배수로를통한유량의분배는다음과같다. 여기에서 Q T = 분배수로총유출량 A Li = 분기관 i 의면적 (1-54) 만일모든분기관이같은직경을가지고있다면, (1-55) 식 (1-55) 은다음과같이유속에관한식으로바꾸어 쓸수있다. V L1 = Q T a β 1 [ n i= 1 1 β i ] - 1 여기에서 n 은분기관의개수이다. (1-56) 이러한관계를이용하여앞에서의예제와같은문제 를풀어보도록하자 예제 2) 예제 1 과같은분배수로에대하여각분배 관의유량을결정하라. 단, 총유량은 40,000 m3 / 일이 며, 분배수로의관경은 300mm, 분기관의직경은 100mm 로가정하라. - 31 -
( 반복 2) V L1 V L2 V L3 V L4 V L5 V L6 V L7 V L8 1 2 3 4 5 6 7 8 Q T V M1 V M2 V M3 V M4 V M5 V M6 V M7 V M8 ( 해 ) 이문제를풀기위해서는반복해법이필요하다. 편리한해를위해서는 Excel 등을이용한계산표를작성하는것이좋다. ( 반복 1) 분기관 NO. q i (cms) V Li (m/s) Q Mi (cms) V Mi (m/s) (V Mi/ V Li) 2 β i (1/β i) 1/2 1 0.0542 6.90 0.4630 3.68 0.285 2.18 0.68 2 0.0555 7.07 0.4088 3.25 0.212 2.05 0.70 3 0.0567 7.22 0.3532 2.81 0.151 1.95 0.72 4 0.0578 7.36 0.2965 2.36 0.103 1.87 0.73 5 0.0587 7.48 0.2387 1.90 0.065 1.81 0.74 6 0.0595 7.58 0.1800 1.43 0.036 1.76 0.75 7 0.0601 7.65 0.1205 0.96 0.016 1.73 0.76 8 0.0604 7.69 0.0604 0.48 0.004 1.71 0.77 분기관 NO. q i (cms) V Li (m/s) Q Mi (cms) V Mi (m/s) (V Mi/ V Li) 2 β i (1/β i) 1/2 계 0.4630 5.85 1 0.0579 7.37 0.4630 3.68 0.250 2.12 0.69 2 0.0579 7.37 0.4051 3.22 0.191 2.02 0.70 3 0.0579 7.37 0.3472 2.76 0.140 1.93 0.72 4 0.0579 7.37 0.2893 2.30 0.098 1.86 0.73 5 0.0579 7.37 0.2314 1.84 0.062 1.80 0.74 6 0.0579 7.37 0.1735 1.38 0.035 1.76 0.75 7 0.0579 7.37 0.1156 0.92 0.016 1.73 0.76 8 0.0579 7.37 0.0577 0.46 0.004 1.71 0.77 계 0.4632 5.87 - 분기관유량 (q i) : 모든분기관에동일하게분배 q 1 =q 2 =...=q i =(40,000/86400) 8=0.0579 m3 /sec - 분기관유속 (V Li) : 분기관유량을분기관단면 적으로나눔 q i a = 0.0579 (π/4 * 0.1 2 ) = 7.37m/sec - 분배수로유량 (Q Mi) : 분배수로유입량에서분기 관유량을제외 Q M1 = Q T = (40,000/86400) = 0.463 m3 /sec Q M2 =Q M1 - q 1 =0.463-0.0579 = 0.4051 m3 /sec - 분배수로유속 (V Mi) : 분배수로유입량을분배수 로단면적으로나눔 V M1=Q M1 A M1=0.463 (π/4 * 0.3 2 ) = 3.68m/sec - β = φ ( V M V L ) 2 + θ + 1.0 ( 여기에서 ψ= 1.67, θ = 0.7 적용, 단관 ) β 1 = 1.67 * 0.25 + 0.7 + 1.0 = 2.12 1) 먼저식 (1-56) 를이용하여 V L1 을구한다. 2) 식 (1-53) 을이용하여 V Li 를구한다. 분기관 NO. 나머지항은반복 1 과동일하다. ( 반복 3) q i (cms) V Li (m/s) Q Mi (cms) V Mi (m/s) (V Mi/V Li) 2 β i (1/β i) 1/2 1 0.0537 6.84 0.4630 3.68 0.290 2.19 0.68 2 0.0553 7.04 0.4093 3.26 0.214 2.06 0.70 3 0.0567 7.22 0.3540 2.82 0.152 1.95 0.72 4 0.0579 7.37 0.2974 2.37 0.103 1.87 0.73 5 0.0589 7.50 0.2395 1.91 0.065 1.81 0.74 6 0.0597 7.60 0.1806 1.44 0.036 1.76 0.75 7 0.0603 7.67 0.1209 0.96 0.016 1.73 0.76 8 0.0606 7.72 0.0606 0.48 0.004 1.71 0.77 계 0.4630 5.84 반복 2 의절차와같은방법으로하면다음과같은 결과를얻을수있다. - q 1 = 0.0537cms = 4640 m3 / 일 - q 2 = 0.0553cms = 4778 m3 / 일 - q 3 = 0.0567cms = 4899 m3 / 일 - 32 -
- q 4 = 0.0579cms = 5002m3 / 일 - q 5 = 0.0589cms = 5089m3 / 일 - q 6 = 0.0597cms = 5158m3 / 일 - q 7 = 0.0603cms = 5210m3 / 일 - q 8 = 0.0606cms = 5236m3 / 일 Ⅶ. 관수로내부분개수로흐름및한계유속문제 - Manning 식 : Q = AV = A 1 n R 2/3 I 1/2 여기에서 A : 물이흐르는단면적 V : 유속 C : Hazen-Williams 식의유속계수 (C = 100) R : 동수반경 I : 동수경사 n : Manning식의유속계수 (n=0.015) 부분개수로흐름 2) 원형관로의동수반경과단면적 관수로의흐름에서다음그림과같이처음에는관수로의흐름으로흐르다가최종적으로부분만차서흐르는개수로형태의흐름에서유량과적용공식사용의문제에관해서언급하고자한다. 20cm d Φ D 문제해결기법은최종적으로개수로의형태로흐르므로개수로의수리학으로해결하여야하며, 관수로및개수로모두에너지차에의해흐르게되므로동수경사선을파악하는것이중요하다. 대부분의수리문제에서수두또는유량을구하는문제가대부분이나두개중한개를알거나측정할수있어야문제해결가능하다. 개수로문제이나상수도관로를흐르고있으므로개수로및관수로에많이사용하는공식중어느것을사용하느냐는주요논점은안되는것으로판단된다. 예제 ) 위그림과같은물흐름문제에서관로의직경 (D) 이 800mm, 길이 (L) 가 300m이고유출측에서상부에서 10cm 만큼떨어져서 ( 즉 70cm만차서 ) 흐른다고가정하였을때관내유량을구하라. 1) 일반적으로관수로에사용하는 Hazen-Williams 식과개수로의 Manning을비교해보자 - Hazen-Williams 식 - 직경이 D 인원형관로에수심 d 로물이흐를 풀이 ) 때수면과단면의중심이이루를각을 ψ radian 이라하면, cos Φ 2 A = π D 2 4 = π D 2 4 - D 2 Φ 8 - D 2 Φ 8 = D 2 4 ( π - Φ 2 + sin Φ 2 ) P = πd- D 2 Φ = D ( π- Φ 2 ) + D 2 4 sin Φ 2 cos Φ 2 + D 2 8 sin Φ R = A P = D 4 ( 1+ sin Φ 2π-Φ ) = 0.7-0.4 0.4 = 0.75 Φ = 82.8 = 0.46π radian ( π = 180 ) : Q = AV = A 0.849CR 0.63 I 0.54-33 -
P = πd - D 2 Φ = D ( π - Φ 2 ) = 0.8 ( π - 0.46 π 2 ) = 1.935 R = A P = 0.4664 1.935 = 0.241 h 2 V / 2 g V 에너지선 z 동수경사 I 는구간의손실을관길이로나누는것 으로서표고차이 20cm 와관로의 10cm 를합한 30cm 가이구간의전체손실이된다. I = h L L = 0.3 300 = 0.001 이제이와같은계수들을이용하여식을풀어보자. - Hazen-Williams 식 : Q = AV = A 0.849CR 0.63 I 0.54 Q = 0.4664 0.849 100 0.241 0.63 0.001 0.54 = 0.387m 3 / sec - Manning 식 : Q = AV = A 1 n R 2/3 I 1/2 1 Q = 0.4664 0.015 0.241 2/3 0.001 0.5 = 0.381m 3 / sec 이상과같이관수로내부분개수로의문제에서 1) 부분적인관수로형태는큰문제가아니고전체적인 에너지관계를정립하는것이중요하며, 2) 관로가 관수로의흐름과개수로의흐름을반복하거나일반 적으로상수도관으로주로사용되고있다면 Hazen-Williams 식또는 Manning 식모두를사용해도 되나, 이수식의결과차이는유속계수적용에서오 는것이므로이를적절하게판단하여적용하여야하 여야할것이다. 개수로의에너지 아래그림과같은개수로에물이흐를때전수두 (total head) 는다음식에의해표시된다. H t = z+h+ V 2 여기에서, H t : 전수두 ( 全水頭 ) h : 수심 V : 평균유속 위식을변형하여다음과같이쓸수있다. H e = H t - z = h + V 2 He는전수두에서수로바닥의표고 z를뺀양이며, 이를비 ( 比 ) 에너지 (specific head) 라고한다. 비에너지는수로바닥으로부터의물이가진단위무게당의에너지로서등류의비에너지는일정하다. 관로내최대, 최소유속관로가길고여유수두가한정되어있는시스템에서계통내유속이너무낮게계산되는경우가있다. 만일유속이약 1 m/s 이하가되면관내의부유물이침전되거나관내의공기방울을배출하지못하게되는문제가발생한다. 부유물의침전을피하기위하여안전한한계유속은침전물의형태나양에따라다르게된다. 관내의공기를제거하는데필요한한계유속은일반적으로약 0.6~1 m/s 정도이다. 이것은관의직경과경사등에따라변하게된다. 공기를배출하는데필요한유속이일반적으로침전유속보다크다. 통상, 송수관로등에서는설계유속을 1.5~3 m/s 정도로하기때문에공기를제거하는데큰문제점은없다. 그러나문제점은배수관로와낮은유속으로관로가운영될때발생하게된다. 만일오랜기간동안낮은유속으로공급해야되는것이예상되면, 정기적으로높은유속으로관세척 (flushing) 하는것을계획하여야한다. 또한설계또는운영관리에있어유속의상한을고려하여야할필요가있다. 높은유속에관련된문제점들은 : 1) 관벽체와도장의침식 ( 특히거친표면의관이존재할때 ), 2) cavitation, 3) 펌핑비용의증가, 4) 수격작용등이다. 관로설계에있어최대유속에대한관경은다음식에의해서구한다. D = 1.274Q/V 여기에서 D = 관직경 (mm) Q = 설계유량 ( m3 /sec) V = 최대유속 (m/s) - 34 -
관내의최대유속을결정하는것은쉬운것은아닌데, 그것은유속이관직경에단지간접적으로영향을주는요소에불과하기때문이다. 관직경을결정하는요소는바로유속에의해유발되는수두손실이며유속자체는아니다. 배수관망에서의문제점은모든관이망으로연결되어있어한쪽의관로의크기를결정하면다른쪽의모든관망의관경과유속에영향을주기때문이다. Walski(1983) 에의하면가압관로에서첨두유량과평균유량의상대적인크기및건설및에너지비용의상황에따라최적유속은 1~ 3 m/s 정도로한다고하였다. - 35 -