第 24 券第 6 號 2011. 12 타원韓國複合材料學會誌섬유가포함된복합재료에서의탄성해석 37 論文 타원섬유가포함된복합재료에서의탄성해석 이정기 * Elastic Analysis in Composite Including Multiple Elliptical Fibers Jung-Ki Lee * ABSTRACT A volume integral equation method (VIEM) is introduced for the solution of elastostatic problems in an unbounded isotropic elastic solids containing interacting multiple isotropic or anisotropic elliptical inclusions subject to remote uniaxial tension. The method is applied to two-dimensional problems involving long parallel elliptical cylindrical inclusions. A detailed analysis of stress field at the interface between the matrix and the central inclusion is carried out for square and hexagonal packing of the inclusions. Effects of the number of isotropic or anisotropic elliptical inclusions and various fiber volume fractions for the circular inclusion circumscribing its respective elliptical inclusion on the stress field at the interface between the matrix and the central inclusion are also investigated in detail. The accuracy and efficiency of the method are examined through comparison with results obtained from analytical and finite element methods. The method is shown to be very accurate and effective for investigating the local stresses in composites containing isotropic or anisotropic elliptical fibers. 초록 체적적분방정식법 (Volume Integral Equation Method) 이라는새로운수치해석방법을이용하여, 서로상호작용을하는등방성또는이방성타원함유체를포함하는등방성무한고체가정적인장하중을받을때무한고체내부에발생하는응력분포해석을매우효과적으로수행하였다. 즉, 등방성기지에다수의등방성또는이방성타원함유체의중심이 1) 정사각형배열형태또는 2) 정육각형배열형태로포함되어있는경우에, 다양한타원을포함하는원형실린더함유체의체적비에대하여, 중앙에위치한타원함유체와등방성기지의경계면에서의인장응력분포의변화를구체적으로조사하였다. 또한, 체적적분방정식법을이용한해를유한요소법을이용한해및해석해와비교해봄으로서, 체적적분방정식법을이용하여구한해의정확도를검증하였다. Key Words : 체적적분방정식법 (Volume Integral Equation Method), 유한요소법 (Finite Element Method), 타원함유체 (Elliptical Inclusion), 섬유체적분율 (Fiber Volume Fraction), 복합재료 (Composite Materials) 1. 서론 다양한형태의복합재료가발달함에따라, 원형및타원을비롯한다양한형태의함유체에서발생하는응력성분을정확하 게조사하려는연구가많은연구자들에의하여진행되고있다. 인장하중을받을때, 단일또는다수의함유체를포함하는무한고체에서의탄성해석에관한연구는 Eshelby[1], Hashin [2], Achenbach와 Zhu[3], 그리고많은연구자들 [4-8] 에의하여 접수 : 2011년 8월 16일, 수정 : 2011년 12월 2일, 게재승인 : 2011년 12월 15일 * 홍익대학교기계정보공학과, 교신저자 (E-mail:inq3jkl@wow.hongik.ac.kr)
38 이정기韓國複合材料學會誌 Fig. 1 Micrograph cross-section of unidirectional 60 mm triangular glass fibre composite (Vf = 0.5)[15]. 연구되었다. 특히, 타원을비롯한다양한형태의함유체를포함하는무한고체에서의탄성해석에관한연구는 Nakasone 등 [9], Nozaki 등 [10-13], 그리고 Dong 등 [14] 등에의하여연구되었다. 원형또는타원을비롯한다양한형태 (Fig. 1[15]) 의등방성함유체또는이방성함유체에서발생하는응력집중현상으로인하여, 복합재료에균열이발생하고, 전파되어, 결국복합재료가파손에이르게되기때문이다. 그러므로, 복합재료에서의파손메카니즘을정확히예측하기위해서는, 원형또는타원실린더형태등다양한형태의등방성함유체또는이방성함유체가포함된등방성무한고체에서의탄성해석이기본적으로필요하게된다. 그러나문제의복잡성때문에해석해를구할수있는경우는극히제한되어있으며, 대부분의연구에서는, 섬유의배열을일정한배열로가정하여, 유한요소법이나경계요소법을이용한단위셀 (unit cell) 모델이사용되고있다. 하지만, 실제의복합재료 ( 특히, 금속기지복합재료 ) 의단면을조사해보면, Fig. 2에보이는대로, 섬유의배열이일정한배열을유지하기보다는원래의배열에서조금씩흐트러진형태를나타나는경우가많다. 즉, 단위셀 (unit cell) 모델에바탕을둔해석결과와실제의복합재료단면에대한해석결과가서로다를가능성이높다. 또한, 복합재료를이루는재료들은일반적으로등방성재료이나, 항공분야에사용되고있는금속기지복합재료에서는 Ti 기지는등방성재료로이루어지지만, SiC 섬유는이방성재료로이루어지는경우도있다. 따라서, 원래의배열에서흐트러진임의의형상을갖는등방성또는이방성함유체를포함하는복합재료에서의응력해석을수행하기위하여유한요소법이나경계요소법을이용한다고가정해보기로한다. 우선, 유한요소법을이용한다고가정하면, 함유체를포함한복합재료전체의영역을요소분할해야한다는번거로움이있으며, 특히함유체와함유체사이의거리가변하는문제를해석할때전체의모델링을다시해야한다는어려움이있게된다. 다음에, 경계요소법을이용한다고가 정하면, 함유체가임의의형상을나타내거나이방성재료로이루어지는경우수치해석에많은어려움이있게된다 [16-22]. 그러므로, 본논문에서는첫째로, 체적적분방정식법 (Volume Integral Equation Method) 이라는새로운수치해석방법을소개한다. 둘째로, 체적적분방정식법이, 원래의배열에서흐트러진임의의형상을갖는함유체를포함하는복합재료에서의응력해석을매우효율적으로수행할수있는수치해석방법임을입증한다 ; 구체적으로설명하면, 서로상호작용을하는등방성또는이방성타원함유체를포함하는등방성무한고체가정적인장하중을받을때무한고체내부에발생하는응력분포해석을매우효과적으로수행한다. 즉, 등방성기지에다수의등방성또는이방성함유체가 1) 정사각형배열형태또는 2) 정육각형배열형태로포함되어있는경우에대하여, 타원을포함하는원형실린더함유체의체적비 (c) 가 0.20 부터 0.50까지 0.10만큼씩증가할때, 중앙에위치한등방성또는이방성함유체와등방성기지의경계면에서의인장응력분포의변화를구체적으로조사한다. 본논문에서함유체의체적비 (c) 는타원실린더함유체의체적비가아니라, 타원을포함하는원형실린더함유체에대한체적비를의미한다. 셋째로, 본논문에서체적적분방정식법을이용하여구한수치해석결과가운데, 특히, 서로상호작용을하는다수의이방성타원함유체 ( 섬유 ) 를포함하는등방성무한고체가정적인장하중을받을때무한고체내부에발생하는응력분포해석결과는, 저자가아는범위내에서, 아직까지문헌에서쉽게찾아보기힘들다는점을유의해야한다 [23]. 넷째로, 체적적분방정식법을이용한해를유한요소법을이용한해및해석해와비교해봄으로서, 체적적분방정식법을이용하여구한해의정확도를검증하였다. 끝으로, 본논문에서체적적분방정식법을이용하여구한해가, 다양한해석방법들을이용하여구한해들을검증하는데벤치마킹 (benchmark) 자료로활용될수있을것이다 [24]. 2. 체적적분방정식법 (VIEM) Fig. 3은재료특성이다른다양한형태를갖는다수의함유체를포함하는무한고체가무한하중을받는일반적인탄성정역학문제를나타낸다. 여기서, 무한하중이란무한원방에서작용하는하중을나타낸다. Fig. 3에서, 기지 (matrix) 는무한공간을차지하는균일한등방성재료로이루어지고, 함유체들은기지와다른등방성또는이방성재료로이루어진다고가정한다. c (1) ijkl은함유체의탄성상수를나타내고, c (2) ijkl는기지의탄성상수를나타낸다. 함유체들과기지사이의경계면은변위와표면력벡터 (traction vector) 의연속성을보장하는완전결합이라고가정한다. Lee와 Mal[4] 은다수의등방성또는이방성함유체를포함하는무한고체내부의임의의위치에서의변위벡터 um(x) 가
第 24 券第 6 號 2011. 12 타원섬유가포함된복합재료에서의탄성해석 39 Fig. 2 Micrographic cross-section of a SiC/Ti-15-3 composite. 의 u(x) 를수치해석방법으로결정하는체적적분방정식법이 Lee와 Mal[4,25] 에의하여개발되었다. 일단, 함유체내부에서의 u(x) 가결정되면, 함유체내부에서의변형률및응력을계산할수있고, 또한함유체외부에서의변위, 변형률및응력도식 (1) 의적분값을구함으로써별다른어려움없이계산할수있다. 식 (1) 에서 gi m 은등방성무한기지에서의탄성역학 Green 함수이므로, 비록함유체가이방성재료로이루어진다할지라도, 체적적분방정식법에서는이방성함유체에서의 Green 함수를필요로하지않는다는장점이있다. 그런데, 일반적으로이방성재료에서의 Green 함수는등방성재료의경우와비교해볼때복잡한형태로나타나며, 특히, 탄성동역학문제에서는이방성재료에서의 Green 함수를구하는것이매우어려운것으로알려져있다 [26]. 등방성무한기지에다수의등방성원형함유체가포함된무한고체에서의일반적인탄성동역학및탄성정역학문제를해석하기위한체적적분방정식법에대한자세한기술은 Lee와 Mal[4,25] 에잘나타나있다. 특히, Buryachenko의전공서적인 Micromechanics of heterogeneous materials [27] 의 4.3절 Volume Integral Equation Method 에탄성정역학문제를해석하기위한체적적분방정식법에대한자세한설명이나와있다. 3. 다수의함유체문제 Fig. 3 Geometry of the general elastostatic problem. (1) 의방정식을만족함을보였다. 식 (1) 에서적분은전체무한공간에대해서이루어지고, δcijkl = c (1) ijkl - c (2) ijkl이며등방성또는이방성함유체와등방성기지사이의탄성상수의차이를나타낸다. u o m(x) 는무한하중에대한변위를나타내며, gi m (ξ, x) 은등방성무한기지에서의탄성정역학 Green 함수이다. 즉, gi m (ξ, x) 은등방성무한기지의 x에서 m방향으로작용하는단위집중하중 em 때문에 ξ에서발생하게되는변위벡터의 i방향성분을나타낸다. 식 (1) 에서합의규약과콤마표기법이사용되었으며, 미분은적분변수 ξi에관해서행해진다. 여기서, δcijkl가함유체내부에서만 0이아니므로, 피적분함수 (integrand) 는함유체외부의무한공간에서는 0이된다는사실을주목해야한다 [4]. 만약 x가함유체내부에속하면, 식 (1) 은함유체내부에서의미정변위벡터 u(x) 에관한적분-미분방정식 (integrodifferential equation) 이된다. 따라서, 임의의형상을갖는단일의함유체라할지라도, 식 (1) 의해를해석적으로구한다는것은매우어려운문제가된다. 그러므로, 함유체내부를표준의유한요소들을사용해서요소분할하여함유체내부에서 Fig. 4에있는다수의등방성또는직교이방성타원함유체가등방성기지에포함되어있는무한고체가무한인장하중을받는경우를, 평면변형률문제로가정하여, 고찰해본다. 본논문에서는, 타원의장축이 x-축이고, 단축이 y-축이라고할때, 타원의반경비가 0.5인타원함유체의경우를, 대표적으로, 고려해보았다. 다수의타원함유체의상호작용을조사하기위하여, 타원을포함하는원형실린더함유체 (Fig. 4(a) 에점선으로표시 ) 의체적비 (c) 가 0.20부터 0.50까지 0.10만큼씩증가할때, 타원함유체의개수를늘려가면서, 중앙에위치한타원함유체에서의응력분포의변화를조사하였다. 이경우는체적적분방정식법이최적의수치해석방법임을알수있다 [4,27]. 왜냐하면, 1) 경계요소법과달리, 모든경계면에서의연속조건이자동적으로만족하고, 함유체내부를유한요소를사용하여요소분할하므로임의형상을갖는함유체를해석할때도전혀어려움이없게되며, 2) 유한요소법과달리, 무한공간을이루고있는기지는요소분할할필요가없이, 함유체내부만을요소분할하면되기때문이다. 특히, 3) 함유체의체적비가변화할때, 기지를요소분할할필요가없이함유체의위치만변경하면되므로, 체적적분방정식법모델링을매우효율적으로수행할수있게된다.
40 이정기韓國複合材料學會誌 3.1 등방성무한기지에서의탄성정역학 Green 함수 식 (1) 에서등방성무한기지에대한 Green 함수 [28] 는다음과같이주어진다. (2) 여기서, r = x -ξ, α, β = 1, 2 그리고 λ, μ는등방성무한기지에서의 Lamé 상수를나타낸다. 3.2 다수의등방성타원함유체중심의배열이정사각형 (square) 형태일때 다수의등방성타원함유체의중심이정사각형형태로등방성기지에포함되어있는무한고체가무한인장하중을받는경우를, 평면변형률문제로가정하여, 고찰해본다 (Fig. 4(a)). 우선, 체적적분방정식법을이용한해의정확도를검증하기위하여, 단일의등방성타원함유체가등방성기지에포함되어있는경우에함유체내부에서의응력분포를조사하였다. 다음에, 다수의타원함유체의상호작용을조사하기위하여, 타원을포함하는원형실린더함유체의체적비 (c) 가 0.20 부터 0.50까지 0.10만큼씩증가할때, 함유체의개수를 a) 9 개, b) 25개, c) 49개로늘려가면서, 중앙에위치한타원함유체에서의응력분포의변화를조사하였다. 등방성함유체와등방성기지의물질특성치는 Table 1에나타나있으며, 등방성함유체의 Lamé 상수가등방성기지의 Lamé 상수보다큰경우를고려해보았다. 여기서, 등방성함유체와등방성기지의물질특성치는 SiC/Ti 금속기지복합재료의물질특성치를참고하여결정하였다. Table 2는타원을포함하는원형실린더함유체의체적비에따라달라지는타원함유체중심사이의거리 (d)/ 타원을포함하는원형실린더함유체의반지름 (a) 를나타낸다. 예를들어, 타원을포함하는원형실린더함유체의체적비 (c) 가 0.40인경우에, 타원함유체중심사이의거리 (d) 는 2.8025a 가된다. 여기서, a는타원을포함하는원형실린더함유체의반지름을나타낸다. Fig. 5는단일의등방성타원함유체문제해석을위하여체적적분방정식법에사용된대표적인분할된모델 [29] 의예를나타내며, 함유체내부를각각 320개의표준의 8-절점사각형및 6-절점삼각형유한요소를사용하여분할하였다. Table 3은등방성기지와단일의등방성타원함유체로이루어진무한고체가무한인장하중을받을때함유체내부에발생하는규준화된인장응력성분 (σ xx/σ o xx) 에대한체적적분방정식법의해와해석해와의비교를나타낸다. 이때, 단일의등방성타원함유체내부에서의인장응력성분은일정한값을갖게된다 [30-35]. 체적적분방정식법의해와해석해가서로잘일치함을알수있다. (a) Isotropic elliptical inclusions (b) Orthotropic elliptical inclusions Fig. 4 Multiple (a) isotropic and (b) orthotropic elliptical cylindrical inclusions in unbounded isotropic matrix under uniform remote tensile loading. 이번에는, ADINA[36] 라는상업용유한요소법코드를이용하여, 단일의등방성타원함유체문제해석을수행한다. Fig. 6은 ADINA에사용된유한요소법모델을나타낸다. Fig. 6(a) 는전체모델을나타내고, (b) 는타원함유체 (A로표시 ) 의주위를확대한모델을나타내며, (c) 는타원함유체 (A로표시 ) 의근처를한번더확대한모델을나타낸다. Fig. 6에사용된 8개의절점을갖는사각형요소의개수는 43,200 이다. 타원함유체와기지의경계면에서의정확한응력분포를구하기위하여, 매우세밀한 (refined) 유한요소들을사용하여요소분할하였다. 또한, 무한공간을충분히고려하기위하여, 한변의길이가타원함유체긴지름의 10배가되는정사각형이무한공간의경계가되도록하였다. Fig. 7은등방성타원함유체와등방성기지의경계면에서의규준화된인장응력성분 (σ xx /σ o xx) 에대한체적적분방정식법에의한해와 ADINA를이용한해와의비교를나타낸다 (θ = 0 o ~ 360 o ). 체적적분방정식법에의한해와 ADINA를이용한해가서로잘일치함을확인할수있다. 여기서주의할점은, ADINA를이용한해에서, 경계면의각절점에서의응력성분은각절점에서의응력성분이아니라, 경계면에접한매우세밀한유한요소들의각절점에서의평균응력성분임을밝혀둔다.
第24券 第 6 號 2011. 12 Table 1 Material properties of the isotropic matrix and the isotropic and orthotropic elliptical inclusion for the elastostatic problems Inclusion (Unit: GPa) Isotropic Matrix λ μ c11 c12 c22 c66 Table 2 41 타원 섬유가 포함된 복합재료에서의 탄성 해석 Orthotropic 279.08 7.80 30.56 11.80 67.34 37.88 143.10 67.34 143.10 37.88 Isotropic 176.06 176.06 528.18 176.06 528.18 176.06 Fiber separation distances according to different fiber volume fractions Fiber volume * fraction (c) 0.20 0.30 0.40 0.50 Fiber separation distance (d) /** Radius of circular inclusion (a) Square array Hexagonal array 3.9633 4.2589 3.2360 3.4774 2.8025 3.0115 2.5066 2.6935 (a) Finite element model * Fiber volume fraction (c) of circular inclusion circumscribing its respective elliptical inclusion (Fig. 4) ** Radius of circular inclusion circumscribing its respective elliptical inclusion (Fig. 4) (b) First expanded view surrounding the elliptical inclusion ( ) Fig. 5 A typical discretized model in the volume integral equation method. Fig. 5의 체적 적분방정식법 모델과 Fig. 6에 있는 유한요 소법 모델을 비교해보면, 체적 적분방정식법에 사용되는 모 델이 매우 효율적임을 확인할 수 있다. 그 이유로는 1) 무한 공간을 이루고 있는 기지를 요소 분할할 필요가 없기 때문에 많은 개수의 유한요소를 절약할 수 있고, 2) 특히, 타원 함유 체의 체적비(c)가 바뀌어도, 함유체의 위치만 변경하면 되기 때문이다. (c) Second expanded view surrounding the elliptical inclusion ( ) Fig. 6 A typical discretized model in the finite element method for a single elliptical inclusion. 다음으로, Fig. 8은 다수의 타원 함유체의 상호작용을 조사 하기 위하여, 체적 적분방정식법에 사용된 대표적인 분할된 모델[29]의 예를 나타내며, 각각의 함유체 내부를 각각 320개 o Table 3 Normalized tensile stress component (σxx/σ xx) within the isotropic elliptical cylindrical inclusion due to uniform remote tensile loading o (σ xx) 의 표준의 8-절점 사각형 및 6-절점 삼각형 유한요소를 사용 Normalized tensile stress component inside the isotropic elliptical inclusion 하여 분할하였다. Fig. 9는 서로 다른 함유체의 체적비에 대 하여, 서로 다른 개수의 타원 함유체가 포함되어 있을 때, 중 Exact 앙에 위치한 등방성 함유체와 등방성 기지의 경계면에서의 VIEM o o o 규준화된 인장응력 성분(σxx/σ xx)을 나타낸다(θ = 0 ~ 360 ). 1.6144 1.6147 (Average)
42 이정기韓國複合材料學會誌 Fig. 7 Comparison of volume integral equation method and ADINA solutions for normalized tensile stress component (σ xx/σ o xx) at the interface between the single isotropic elliptical inclusion and the isotropic matrix under uniform remote tensile loading. (a) 9 isotropic elliptical inclusions (b) 25 isotropic elliptical inclusions Fig. 8 A typical discretized model in the volume integral equation method. 동일한함유체의체적비에대하여, 등방성타원함유체의개수가증가하여도규준화된인장응력성분 (σ xx /σ o xx) 이크게변하지않는것을볼수있다. 그러나, 함유체의체적비가증가함에따라서, 규준화된인장응력성분 (σ xx /σ o xx) 이크게변하는것을볼수있다. 그이유는, 함유체의체적비가증가함에따라서, 중앙에위치한타원함유체와주변에있는함유체들사이의상호작용이커지기때문으로판단된다. 3.3 다수의등방성타원함유체중심의배열이정육각형 (hexagon) 형태일때 다음에는, 다수의등방성타원함유체의중심이정육각형형태로등방성기지에포함되어있는무한고체가무한인장하중을받는경우를, 평면변형률문제로가정하여, 고찰해본다. 다수의타원함유체의상호작용을조사하기위하여, 타원을포함하는원형실린더함유체의체적비 (c) 가 0.20부터 0.50까지 0.10만큼씩증가할때, 타원함유체의개수를 a) 7개, b) 19개, (c) 49 isotropic elliptical inclusions Fig. 9 Normalized tensile stress component (σ xx /σ o xx) at the interface between the central isotropic elliptical inclusion and the isotropic matrix under uniform remote tensile loading. c) 37개로늘려가면서, 중앙에위치한함유체에서의응력분포의변화를조사하였다. 등방성함유체와등방성기지의물질특성치는 Table 1에나타나있다. Table 2는함유체의체적비에따라달라지는타원함유체중심사이의거리 (d)/ 타원을포함하는원형실린더함유체의반지름 (a) 를나타낸다.
第 24 券第 6 號 2011. 12 타원섬유가포함된복합재료에서의탄성해석 43 Fig. 10 A typical discretized model in the volume integral equation method for hexagonal inclusion packing array. Fig. 10은다수의타원함유체의상호작용을조사하기위하여, 체적적분방정식법에사용된대표적인분할된모델 [29] 의예를나타내며, 각각의함유체내부를각각 320개의표준의 8-절점사각형및 6-절점삼각형유한요소를사용하여분할하였다. Fig. 11은서로다른함유체의체적비에대하여, 서로다른개수의타원함유체가포함되어있을때, 중앙에위치한등방성함유체와등방성기지의경계면에서의규준화된인장응력성분 (σ xx/σ o xx) 을나타낸다 (θ = 0 o ~ 360 o ). 여기에서, 타원함유체의반경비가 2.0인경우에, 다수의등방성타원함유체의중심이정육각형형태로등방성기지에포함되어있는무한고체가무한인장하중을받는경우를, 평면변형률문제로가정하여, 고찰해본다 (Fig. 12). Fig. 13은타원함유체의반경비가 2.0인경우에, 단일의타원함유체에대한체적적분방정식법모델 [29] 의예를나타내며, 함유체내부를각각 480개의표준의 8-절점사각형및 6-절점삼각형유한요소를사용하여분할하였다. Fig. 14는타원을포함하는원형실린더함유체의체적비 (c) 가 0.20부터 0.50까지 0.10만큼씩증가할때, 함유체의개수가 a) 7개, b) 19개, c) 37개인경우에, 중앙에위치한등방성함유체와등방성기지의경계면에서의규준화된인장응력성분 (σ xx/σ o xx) 을나타낸다 (θ = 0 o ~ 360 o ). Fig. 11( 함유체의반경비가 0.5인경우 ) 과 Fig. 14( 함유체의반경비가 2.0인경우 ) 를비교해보았을때, 함유체의반경비가 0.5인경우에, 중앙에위치한등방성함유체와등방성기지의경계면에서의인장응력성분이훨씬큰값을나타내는것을알수있다. 3.4 다수의직교이방성타원함유체중심의배열이정사각형 (square) 형태일때 이번에는, 다수의직교이방성타원함유체의중심이정사각형형태로등방성기지에포함되어있는무한고체가무한인장하중을받는경우를, 평면변형률문제로가정하여, 고찰해본다 (Fig. 4(b)). 우선, 체적적분방정식법을이용한해의정확도를검증하기위하여, 단일의직교이방성타원함유체가등방성기지에포함되어있는경우에함유체내부에서의응력분포를조사하였다. (a) 7 isotropic elliptical inclusions (b) 19 isotropic elliptical inclusions (c) 37 isotropic elliptical inclusions Fig. 11 Normalized tensile stress component (σ xx/σ o xx) at the interface between the central isotropic elliptical inclusion and the isotropic matrix under uniform remote tensile loading. 다음에, 다수의타원함유체의상호작용을조사하기위하여, 타원을포함하는원형실린더함유체의체적비 (c) 가 0.20부터 0.50까지 0.10만큼씩증가할때, 함유체의개수를 a) 9개, b) 25 개, c) 49개로늘려가면서, 중앙에위치한타원함유체에서의응력분포의변화를조사하였다. 직교이방성함유체와등방성기지의물질특성치는 Table 1에나타나있으며, 직교이방성함유체의 c11이등방성기지의 c11보다큰경우를고려해보았다.
44 이정기韓國複合材料學會誌 Fig. 12 Multiple isotropic elliptical cylindrical inclusions in unbounded isotropic matrix under uniform remote tensile loading. (a) 7 isotropic elliptical inclusions Fig. 13 A typical discretized model for the elliptical inclusoin with a 2.0 aspect ratio in the volume integral equation method. (b) 19 isotropic elliptical inclusions Table 2는타원을포함하는원형실린더함유체의체적비에따라달라지는타원함유체중심사이의거리 (d)/ 타원을포함하는원형실린더함유체의반지름 (a) 를나타낸다. 예를들어, 타원을포함하는원형실린더함유체의체적비 (c) 가 0.50인경우에, 타원함유체중심사이의거리 (d) 는 2.5066a가된다. 여기서, a는타원을포함하는원형실린더함유체의반지름을나타낸다. Fig. 5는단일의직교이방성타원함유체해석을위하여체적적분방정식법에사용된대표적인분할된모델 [29] 의예를나타낸다. Table 4는등방성기지와단일의직교이방성타원함유체로이루어진무한고체가무한인장하중을받을때함유체내부에발생하는규준화된인장응력성분 (σ xx/σ o xx) 에대한체적적분방정식법의해와해석해와의비교를나타낸다. 이때, 단일의직교이방성타원함유체내부에서의인장응력성분은일정한값을갖게된다 [30-35]. 체적적분방정식법의해와해석해가서로잘일치함을알수있다. 다음으로, Fig. 8은다수의타원함유체의상호작용을조사하기위하여, 체적적분방정식법에사용된대표적인분할된모델 [29] 의예를나타낸다. (c) 37 isotropic elliptical inclusions Fig. 14 Normalized tensile stress component (σ xx/σ o xx) at the interface between the central isotropic elliptical inclusion with a 2.0 aspect ratio and the isotropic matrix under uniform remote tensile loading. Fig. 15는서로다른함유체의체적비에대하여, 서로다른개수의타원함유체가포함되어있을때, 중앙에위치한직교이방성함유체와등방성기지의경계면에서의규준화된인장응력성분 (σ xx/σ o xx) 을나타낸다 (θ = 0 o ~ 360 o ). 동일한함유체의체적비에대하여, 직교이방성타원함유체의개수가증가하여도규준화된인장응력성분 (σ xx/σ o xx)
第 24 券第 6 號 2011. 12 타원섬유가포함된복합재료에서의탄성해석 45 이크게변하지않는것을볼수있다. 그러나, 함유체의체적비가증가함에따라서, 규준화된인장응력성분 (σ xx /σ o xx) 이크게변하는것을볼수있다. 그이유는, 함유체의체적비가증가함에따라서, 중앙에위치한직교이방성타원함유체와주변에있는함유체들사이의상호작용이커지기때문으로판단된다 [37]. 직교이방성함유체의 c11이등방성함유체의 c11보다작기때문에, 중앙에위치한직교이방성함유체와등방성기지의경계면에서의규준화된인장응력성분 (σ xx /σ o xx) 이, Section 3.2의중앙에위치한등방성함유체와등방성기지의경계면에서의규준화된인장응력성분 (σ xx/σ o xx) 보다상대적으로작은값을나타내는것을확인할수있다. 특히, 본 Section에서구한응력해석결과는, 저자가아는범위내에서, 아직까지문헌에서쉽게찾아보기힘들다는점을유의해야한다. (a) 9 orthotropic elliptical inclusions Table 4 Normalized tensile stress component (σ xx/σ o xx) within the orthotropic elliptical cylindrical inclusion due to uniform remote tensile loading (σ o xx) Normalized tensile stress component inside the orthotropic elliptical inclusion Exact 1.4206 VIEM 1.4208 (Average) 3.5 다수의직교이방성타원함유체중심의배열이정육각형 (hexagon) 형태일때 다음에는, 다수의직교이방성타원함유체의중심이정육각형형태로등방성기지에포함되어있는무한고체가무한인장하중을받는경우를, 평면변형률문제로가정하여, 고찰해본다. 다수의타원함유체의상호작용을조사하기위하여, 타원을포함하는원형실린더함유체의체적비 (c) 가 0.20부터 0.50까지 0.10만큼씩증가할때, 타원함유체의개수를 a) 7 개, b) 19개, c) 37개로늘려가면서, 중앙에위치한함유체에서의응력분포의변화를조사하였다. 직교이방성함유체와등방성기지의물질특성치는 Table 1에나타나있다. Table 2는함유체의체적비에따라달라지는타원함유체중심사이의거리 (d)/ 타원을포함하는원형실린더함유체의반지름 (a) 를나타낸다. 예를들어, 함유체의체적비 (c) 가 0.20인경우에, 타원함유체중심사이의거리 (d) 는 4.2589a가된다. 여기서, a는타원을포함하는원형실린더함유체의반지름을나타낸다. Fig. 10은다수의직교이방성타원함유체의상호작용을조사하기위하여, 체적적분방정식법에사용된대표적인분할된모델 [29] 의예를나타낸다. Fig. 16은서로다른함유체의체적비에대하여, 서로다른개수의타원함유체가포함되어있을때, 중앙에위치한직교이방성타원함유체와등방성기지의경계면에서의규준화된인장응력성분 (σ xx/σ o xx) 을나타낸다 (θ = 0 o ~ 360 o ). (b) 25 orthotropic elliptical inclusions (c) 49 orthotropic elliptical inclusions Fig. 15 Normalized tensile stress component(σ xx/σ o xx) at the interface between the central orthotropic elliptical inclusion and the isotropic matrix under uniform remote tensile loading. 동일한함유체의체적비에대하여, 직교이방성타원함유체의개수가증가하여도규준화된인장응력성분 (σ xx/σ o xx) 이크게변하지않는것을볼수있다. 그러나, 함유체의체적비가증가함에따라서, 규준화된인장응력성분 (σ xx/σ o xx) 이크게변하는것을볼수있다. 그이유는, 함유체의체적비가증가함에
46 이정기韓國複合材料學會誌 따라서, 중앙에위치한직교이방성타원함유체와주변에있는함유체들사이의상호작용이커지기때문으로판단된다. 직교이방성함유체의 c11이등방성함유체의 c11보다작기때문에, 중앙에위치한직교이방성함유체와등방성기지의경계면에서의규준화된인장응력성분 (σ xx /σ o xx) 이, Section 3.3의중앙에위치한등방성함유체와등방성기지의경계면에서의규준화된인장응력성분 (σ xx/σ o xx) 보다상대적으로작은값을나타내는것을확인할수있다. 본 Section에서구한응력해석결과도, 저자가아는범위내에서, 아직까지문헌에서쉽게찾아보기힘들다는점을유의해야한다. 4. 결론 (a) 7 orthotropic elliptical inclusions 본논문에서는등방성또는이방성타원함유체의배열이복합재료의응력에미치는영향에대하여조사하기위하여, 체적적분방정식법이라는새로운수치해석방법을적용하여, 등방성무한기지에다수의등방성또는이방성타원함유체가포함된무한고체가정적무한하중을받을때복합재료에발생하는응력분포에관한해석을수행하였다. 특히, 본논문에서는이전에발표된논문들에서다루지않았던다수의타원함유체문제해석에대하여고려해보았다는데의의가있다. 첫째로, 직교이방성함유체의 c11이등방성함유체의 c11 보다작기때문에, 중앙에위치한직교이방성함유체와등방성기지의경계면에서의규준화된인장응력성분 (σ xx /σ o xx) 이, 중앙에위치한등방성함유체와등방성기지의경계면에서의규준화된인장응력성분 (σ xx/σ o xx) 보다상대적으로작은값을나타내는것을확인할수있었다. 둘째로, 타원함유체의타원비가바뀌게되면, 중앙에위치한함유체와등방성기지의경계면에서의규준화된인장응력성분 (σ xx /σ o xx) 이크게달라지는것을알수있었다. 그러므로, 복합재료에서의파손메카니즘을정확히예측하기위해서는, 다양한형태의함유체가포함된등방성무한고체에서의탄성해석이필요하게됨을확인할수있었다. 셋째로, 본논문에서는함유체의체적비를 0.2에서부터 0.5 까지고려해보았다. 그러나, 함유체의체적비가더증가하여도, 체적적분방정식법을이용하여중앙에위치한등방성또는이방성함유체와등방성기지의경계면에서의인장응력분포의변화를조사하는데는별다른어려움이없다고판단된다. 왜냐하면, 함유체의체적비가 0.6이되면, 정사각형배열에서는함유체와함유체사이의거리가원형함유체반지름의 2.2882배가되고, 정육각형배열에서는 2.4588배가된다. 하지만, Buryachenko의 Micromechanics of heterogeneous materials [27] 의 4.3절 Volume Integral Equation Method 에, 두원형함유체사이의거리가위의어느경우보다더가까운경우에도, 체적적분방정식법을이용한해의정확함이검증되어있기때문이다 (p. 120, Fig. 4.4. 참조 ). (b) 19 orthotropic elliptical inclusions (c) 37 orthotropic elliptical inclusions Fig. 16 Normalized tensile stress component (σ xx/σ o xx) at the interface between the central orthotropic elliptical inclusion and the isotropic matrix under uniform remote tensile loading. 넷째로, 체적적분방정식법에서는 1) 무한공간을이루고있는기지를요소분할할필요가없기때문에많은개수의유한요소를절약할수있고, 2) 특히, 함유체의체적비 (c) 가바뀌어도, 타원함유체의위치만변경하면되기때문에, 체적적분방정식법을이용하는것이유한요소법을이용하는것보다매우효율적이라는것을확인하였다.
第 24 券第 6 號 2011. 12 타원섬유가포함된복합재료에서의탄성해석 47 끝으로, 다른연구자들이다른다양한방법들을사용하여구한해들의정확도를검증할때, 본논문에서체적적분방정식법을이용하여구한해가벤치마킹 (benchmark) 자료로활용될수있을것이다. 후기 이논문은 2010년도정부 ( 교육과학기술부 ) 의재원으로한국연구재단의지원을받아수행된기초연구사업 (No. 2010-0022211) 입니다. 지원에감사드립니다. 참고문헌 1) Eshelby, J.D., The Determination of the Elastic Field of an Ellipsoidal Inclusion, and Related Problems, Proceedings of the Royal Society of London, Series A, A241, 1957, pp. 376-396. 2) Hashin, Z., Theory of Fiber Reinforced Materials, NASA CR-1974, 1972. 3) Achenbach, J.D., and Zhu, H., Effect of Interphases on Micro and Macromechanical Behavior of Hexagonal-Array Fiber Composites, Transactions of ASME, Journal of Applied Mechanics, Vol. 57, 1990, pp. 956-963. 4) Lee, J.K., and Mal, A.K., A Volume Integral Equation Technique for Multiple Inclusion and Crack Interaction Problems, Transactions of the ASME, Journal of Applied Mechanics, Vol. 64, 1997(Mar.), pp. 23-31. 5) Lee, J., and Mal, A., Characterization of Matrix Damage in Metal Matrix Composites under Transverse Loads, Computational Mechanics, Vol. 21, 1998, pp. 339-346. 6) Naboulsi, S., Modeling Transversely Loaded Metal-Matrix Composites, Journal of Composite Materials, Vol. 37, 2003, pp. 55-72. 7) Lee, J.K., Han, H.D., and Mal, A., Effects of Anisotropic Fiber Packing on Stresses in Composites, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 195, No. 33-36, 2006, pp. 4544-4556. 8) Ju, J.W., and Ko, Y.F., Micromechanical Elastoplastic Damage Modeling for Progressive Interfacial Arc Debonding for Fiber Reinforced Composites, International Journal of Damage Mechanics, Vol. 17, 2008, pp. 307-356. 9) Nakasone, Y., Nishiyama, H., and Nojiri, T., Numerical Equivalent Inclusion Method: a New Computational Method for Analyzing Stress Fields in and around Inclusions of Various Shapes, Materials Science and Engineering: A, Vol. 285, 2000, pp. 229-238. 10) Kawashita, M., and Nozaki, H., Eshelby Tensor of a Polygonal Inclusion and Its Special Properties, Journal of Elasticity, Vol. 64, 2001, pp. 71-84. 11) Nozaki, H., Horibe, T., and Taya, M., Stress Field Caused by Polygonal Inclusion, JSME International Journal, Vol. 44, No. 4, 2001, pp. 472-482. 12) Nozaki, H., and Taya, M., Elastic Fields in a Polyhedral Inclusion with Uniform Eigenstrains and Related Problems, Transactions of the ASME, Journal of Applied Mechanics, Vol. 68, 2001, pp. 441-452. 13) Nakai, T., and Nozaki, H., A Numerical Equivalent Inclusion Method Using the Solution of Polyhedral Inclusions, Bulletin of the College of Education Ibaraki University, Vol. 57, 2008, pp. 105-112. 14) Dong, C.Y., Lo, S.H., and Cheung, Y.K., Numerical Solution of 3D Elastostatic Inclusion Problems Using the Volume Integral Equation Method, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 192, No. 1-2, 2003, pp. 95-106. 15) Bond, I., Hucker, M., Weaver, P., Bleay, S., and Haq, S., Mechanical Behaviour of Circular and Triangular Glass Fibres and Their Composites, Composites Science and Technology, Vol. 62, 2002, pp. 1051-1061. 16) Chen, T., Thermoelastic Properties and Conductivity of Composites Reinforced by Spherically Anisotropic Particles, Mechanics of Materials, Vol. 14, 1993, pp. 257-268. 17) Johnson, W.C., Earmme, Y.Y., and Lee J.K, Approximation of the Strain Field Associated with an Inhomogeneous Precipitate. I: Theory, Transactions of the ASME, Journal of Applied Mechanics, Vol. 47, 1980, pp. 775-780. 18) Kushch, V.I., Interacting Cracks and Inclusions in a Solid by Multipole Expansion Method, International Journal of Solids and Structures, Vol. 35, 1998, pp. 1751-1762. 19) McPedran, R.C., and Movchan, A.B., The Rayleigh Multipole Method for Linear Elasticity, Journal of Mechanics and Physics of Solids, Vol. 42, 1994, pp. 711-727. 20) Moschovidis, Z.A., and Mura, T., Two-Ellipsoidal Inhomogeneities by the Equivalent Inclusion Method, Transactions of the ASME, Journal of Applied Mechanics, Vol. 42, 1975, pp. 847-852. 21) Nakamura, T., and Suresh, S., Effects of Thermal Residual Stresses and Fiber Packing on Deformation of Metal- Matrix Composites, Acta Metallurgica et Materialia, Vol. 41, 1993, pp. 1665-1681. 22) Zhang, J., and Katsube, N., A Hybrid Finite Element Method for Heterogeneous Materials with Randomly Dispersed
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