미술속의수학 목적 : 미술작품속에나타난수학적이론과배경을알아보고어떻게사용되었는지살펴본다.
* 아름다움이란무엇인가? 아름다움이란것은우리인간뿐만아니라수많은건물과사물들을일컫기도하는데도자기의곡선이나피겨스케이팅선수들이그려놓은아름다운곡선이나또옷의선이나색깔의조화, 멋있는가구의세련된미등이있다. 또한음악에서의화음의아름다움, 건축물의기하학적인아름다움, 불상의자연스러운아름다움들이다. 이런아름다움들의공통점들을찾아내어수학적으로설명하는것이수학에게주어진과제이다.
I. 고대오리엔트의수학과미술 고대이집트의규칙적인나일강의홍수로인해사계절의반복에서 질서 를감지하고 순환 의개념을도출하여인류최초로달력제작 토지측량의문제는기하학의근원이되었고, 세금징수는산술의발달을가져왔다. 최초의수학책인 < 아메스의파피루스 > 수학의오묘한힘은제사장의통제아래있었다.
I. 이집트미술 특징 : 절대적인왕권과자연숭배의사상건축 : 피라미드, 스핑크스, 카르나크신전조각 : 촌장상, 서기좌상회화 : 벽화 ( 병렬표현, 정면성의원리 ) 그림의주제는인물, 수렵도, 물오리등
II. 그리스의수학과미술 특징 : 유럽문화의모체, 비례에의한조화미 건축 : 도리아식 ( 파르테논신전 ), 이오니아식 ( 에릭테이온신전 ), 코린트식 ( 올림페이온신전 ) 조각 : 미론 ( 원반던지는사람 ), 라오콘상, 밀로의비너스, 니케여신상
이집트인 : 이상주의적미술을추구 <-> 그리스미술은자연주의 오리엔트미술 : 신이나군주를위한것 <-> 그리스미술 : 개인을위한것그리스조각은남성누드를즐겨표현하였다. 그리스인들은자연을관찰 분석한결과정 5 각형에서 1:1.618 =1: 1+ 5 2 라는가장이상적인미의법칙을찾아내었다. 이른바황금분할 (golden section) 이다.
그리스아테네의아크로폴리스에있는파르테논신전은고대그리스의대표적인건축물중에서가장아름다운모습으로신전의각부분이황금비율이숨겨져있다. 황금비라는용어자체가붙여진것은 19 세기초독일의수학자옴 (J. Ohm) 에의해서다.
Ⅲ. 중세의수학과미술 벽화, 조각, 모자이크등중세미술은교회건축에종속되어기독교진리를나타내기위하여설명적이었고장식적이었다. 즉성서의내용을전달하기위한도구였다. 이집트인들이 아는대로 그림을그리고, 그리스인들이 보이는대로 그렸다면, 중세의미술가들은성령이인도하는대로즉, 마음이느낀대로 그린것이다.
중세의건축 중세의건축은바실리카를시작으로비잔틴, 로마네스크, 고딕양식으로발전해나갔다. 반자연적이고환상적인로마네스크양식에비하여고딕은사실주의성향을띄었다. 고딕의조각은휴머니즘을바탕으로인체를사실적으로묘사했으며고딕의성당은육중한로마네스크의벽을허물고높고넓은창을 스테인드글라스 라는색유리로환상적인공간을만들었다.
13 세기에들어서는두가지사건때문에수학에대한관심이갑자기높아졌다. 1) 로저베이컨 (Roger Bacon, 1214-1294) 이앞장선스콜라철 학과신학에대한도전이었다. 베이컨은그의날카로운비판정신으로신앙만을내세운당시의풍조에반발하면서 과학적인식의중요성을강조했고, 그중심개념은모두수학 적형식으로나타낼수있어야한다고주장했다. 이러한철 학계의진보세력이차츰힘을얻게됨에따라수학의위상도한 층높아져갔다.
로저베이컨 (Roger Bacon, 1214-1294) 프란체스코회소속으로. 깜짝박사라불리는박물학자였다. 그는옥스퍼드에서공부했으며, 근대과학의선구자였다. 신이세계를창조할때유클리드기하학의원리에따라서했으므로 화가들이기하를배워작업에이용하면사실적인그림으로표현되어사 람들로하여금성서의기적적인내용을진정으로믿게할수있다
2) ' 피사의레오나르도 '(Leonardo) 라고도불리는피보나치 (Fibonacci, 1170-1250) 가수학책을발간한사실이었다. 피보나치는상업이번창했던피사에서태어났다. 무역상이었던그의아버지는피보나치에게가업인상업을이어받도록계산법을가르쳐주었다. 그는이집트, 시리아등그리스의각도시를여행하며다양한문화를재빨리접촉하여시야가넓어져각지의문화를비교할수있었다. 따라서당시상인들은당연히최 신의지식을가지고있었다. 이로인해그는인도숫자의자 리잡기기수법이가장편리함을알게되었다.
레오나르도피보나치 (Leonardo Fibonacci, 1170-1250) 이탈리아상업중심지인피사에서이슬람권을상대로상업에종사한까닭에이슬람권의숫자사용법을알게되어, 아라비아숫자의장점과편리함을몸으로익히게되었다.
실제로 15 세기원근법의화가들은당대의으뜸가는수학자였으니응용수학을세련되게표현하는학자들인셈이었다. 유럽인들은공간그자체를기하적으로이해하고회화를기하화 ( 幾何化 ) 하기시작 14 세기부터 16 세기에이르는 300 년동안원근법의회화는공간을기하적으로생각하게끔훈련했고현대역학의아버지인갈릴레오는미술학교에서원근법이론을가르치기도했으니수학이미술과과학에직접적으로영향을끼쳤다고말할수있다.
IV. 르네상스의수학과미술 르네상스란 ' 재생 ' 을뜻함, 인간중심의미술을이룩한 15, 16 세기문화르네상스시기 : 복식부기와같은상업산술외에 3 4 차방정식의해법, 천문학발달로인한로그의발견, 삼각법등이빠른속도로발전회화의투시화법, 건축에서의절석기술은사영기하학의선구적역할이시기의표현양식 : 사실정신, 과학적인정확성, 그리고원근법문제의연구발전 중세에서근세로전환하는 15,16 세기의문화는르네상스 (Renaissance) 의이름으로포괄되어있다.
원근법의본질은 2 차원평면에 3 차원의환영을창조하는것이다. 우리의망막이평면으로되어있기때문에망막에비친 2 차원의상을 3 차원의상으로구성하려면이성적사유가필요하였다. 다시말해서카메라의전광경을내다보는것과같이그리기위해서는평행한직선을한점에서만나는것처럼그려야하는것이다. 만나야만하는한점을소실점 (vanishing point) 이라고부른다. 투시의원리를연구하여화가들은캔버스에그림을그렸고, 수학자들은유클리드평면에무한원점 (ideal point) 을첨가하여사영평면을만든후에사영기하학 ( 射影幾何學, projective geometry) 으로발전시켰다.
만능천재였던레오나르드다빈치는 스푸마토 라고부르는대기원근법을이용하여불후의명작 < 모나리자 > 를그렸다. 대기원근법의원리는연기가공기로퍼져나간후연기와공기의경계가모호해지는것을이용하여깊은공간감을주는것이다. 대기원근법과구별하기위하여소실점을도입하는투시화법을선원근법이라고부른다.
레오나르도다빈치의유명한 < 최후의만찬 > 은예수그리스도의이마위에소실점을오도록한후 12 명의제자를배치 (grouping) 하면서선원근법을완벽하게사용한작품이다.
라파엘의작품 < 아테네학당 >: 투시화법사용, 조화로운배열과정확한비례, 건축학적인자리배치 (setting) 가모두탁월한작품으로평가.
비트루비우스적인간소묘 < 비트루비우스적인간 > 이라불리는인체상을잘표현하고있는레오나르드다빈치의인체도 - 이그림에서사람의양팔과양발끝이원과정사각형에닿아있음을볼수있다.
비트루비우스 : 기원전 1 세기경에활동한로마건축가, 저술가. 그의신전건축의규준을설명하는기록중 : ' 인체는비례의모범형이다. 왜냐하면팔과다리를뻗음으로서완벽한기하형태인정방형과원에딱들어맞기때문이다.' 이글이르네상스미술시대에많은영향줌. < 비트루비우스적인간 > 이라불리는인체상은레오나르도다빈치이전에도나타났지만레오나르도다빈치의이그림으로인해비트루비우스는명성이높아졌다.
V. 근대의수학과미술 17 세기미술의특징 : 바로크양식바로크의뜻 : 비뚤어진 기이한 르네상스시대 : 완전성을추구바로크 : 현실을날카롭게꼬집었고아름답지않은추한모습도있는그대로충실하게표현. 대표적인화가 : 루벤스, 프란츠할스, 렘브란트등
18 세기로코코미술 : 왕실과귀족들의후원아래에서감각적이고우아하며화려한색체의몽환적그림이주류를이룸. 18 세기후반신고전주의 : 프랑스대혁명의영향으로너무나관능적이던로코코미술에대한반동으로그리스 로마의복고풍을반영한신고전주의등장 대표적인화가 : 다비드 그리스 로마의조각을엄밀하게연구하여혁명전후의수많은권력층인물들의초상화와역사 화를그렸다.
VI. 현대의수학과미술 19 세기후반유럽사회를지배하였던자율성의정신은수학과미술에그대로반영되었다. 자율성의추구는회화에서인상주의로나타났다. 대표적인인상주의화가모네는빛과색에지나치게주목한결과형태가와해되기시작했다. 인상주의자들은그들의미적이념을성취하기위해찰나적인인상을표현하였는데이또한사진술의발명과관련이깊다. 1839 년세계최초로루이다게르가은판사진기술을발표한후사진의열기는유럽을휩쓸었다. 그러자사실적기법의화가들은일자리를잃었고현실을객관적으로묘사하는것은사진에게맡기고화가들은전통적인방식에서벗어나미지의영역인인간의내면세계로, 추상의세계로나아가게되었다. 하지만사진을회화의보조수단으로적극이용한앵그르, 들라크루아, 드가와같은이도있었다. 이들은육안으로포착되지않는순간적인움직임을사진으로익힌후회화에응용하였다.
점묘화법의대가 : 쇠라 (Georges Seurat, 1859-1891) 선을긋지않고점을찍어서사물을표현. 쇠라의작품 < 아니에르의물놀이 >: 칸토르의집합론이발표되었던 1883 년과일치. 화폭전체를점으로표현한것이여태까지없었던새로운기법.
< 아니에르의물놀이 > 의주제는벌써오래전부터인상파화가들사이에서자주다루어져왔다. 그들이찰나적인 인상 을표현했다면, 쇠라는보다밝은색을얻기위하여순색이나원색의작은점을나란히찍어나갔다. 멀리서보면망막에서두색이혼합되는원리를이용하여팔레트위의혼합된물감에서얻어지는색감보다훨씬더밝은중간색조를표현하였다. 따라서신인상주의 (neo-impressionism), 점묘화법 (pointillism) 또는분할주의 (divisionism) 등으로불리어졌다. 신인상주의의이러한시도는전통적인선의개념을무너뜨리는것이었다.
시냑 (Paul Sinac, 1863-1935) 의 < 우물가의여인들 >: 색채가매우강렬하고쇠라가추구하였던선의상징성에기초하고있음.
수학에서점집합이함수의곡선이되고곡면이되듯이, 회화에서는점집합이사람이되고나무가되었다. 이는한시대의조류가다른장르에서그대로반영된결과이다. 19 세기가되자美의식의주관화 : 주관이어떤상태에있을때대상이아름답게보이는가?
세잔느 (P. Cezanne, 1839-1906) 카드놀이를하는남자들 두사나이의모자를왼쪽은원통형, 오른쪽은반구로그렸고팔은원통형, 두사람이대칭적으로 W 글자를만들고있고, 사나이의무릎은구의모양, 오른쪽사나이의등의연장선은원추모양으로그렸다.
세잔느 (Paul Cezanne, 1839-1906) 는인간의지각이 혼란스러운 것 이라는신념을갖고모든사물을구, 원추, 원기둥의기하학적형 태로파악하고있었다. 세잔느는우리눈에들어오는시각적단편적현상들을마치모자이크의단편처럼생각하여그림속에이조각들을짜맞추어통합적구도를시도 여러개의시점을한장의화폭안에결합하여전체형상을구성하여시점이하나였던이전의투시화법의원리를무너뜨림. 실제로우리의지각은 ' 투시화법 ' 처럼소실점을중심으로모든것을질서정연하게받아들이지않는다. 사물을여러시점에서바라보는구도상의연구는입체파와추상파 에많은영향을줌.
입체파의대가피카소 (Pablo Picasso, 1881~ 1973) 의작품 < 마리테레즈 > : 의자에앉아있는여인을바라보는화가의시점은한점이아니라여러점이며또화가의내면이기도하다. 원근법의파괴 대상을여러각도에서바라본것을종합한것이세잔느보다더욱추상적이다.
회화의 3 가지요소에대한정의 : 칸딘스키 (Wassily Kandinsky 1866-1944): 점, 선, 면다빈치 : 점, 선, 면, 입체현대 : 모더니즘운동 고전예술에서는형태와색채가주제에종속되어있었지만현대 예술에서는주제보다는색과형태의형식요소자체가가진아름다 움정보만이있을뿐더이상점, 선, 면이합하여구체적형태를갖 는입체를형성할필요가없어짐. 모더니즘예술의분류 : 추상화, 표현주의, 초현실주의 표현주의 : 대상보다는주관의내면적감정을표현시도. 따라서형태가왜곡, 원색위주의강렬한색채가사용됨. 프랑스의야수파, 독일의표현주의가여기에속한다.
노르웨이의화가뭉 크 (Edvard Munch 1863-1944) 의작품 절규 다리난간에홀로서서양쪽귀에손을대고몸을휘면서괴로워소리지르는인간은해골과같다. 이작품은알코올중독으로인한뭉크자신의병적인근심과심리적인긴장을표현한작품외부세계가아닌내부의감정을표현한상징주의의대표작이다. 정신질환을겪게하는불안한현대사회에대한보고이며경고인시대정신의반영인것이다.
1924 년에는쉬르리얼리즘 (surrealism) 초현실주의가전개됨. 브리짓드릴리의작품 반듯한곡선 에서는직선들의모임이물결을이루면서곡선을이룬다. 제목부터가모순적이다. 고전수학인유클리드기하학에서는반듯한것은직선이었지곡선이아니었다. 그러나현대의위상기하학에서는직선과곡선의구분이사라지고연속성만보전하듯이이작품에서도직선들의집합이곡선을이룬다. 수학과미술이같은시대정신을반영하고있다.
[ 초현실적인수학과미술 ] 미국미술가브리짓드릴리의작품 1963 < 반듯한곡선 >
Photograph of Rene Magritte, in front of his painting The Pilgrim, http://www.masters-of-photography.com/w/wolleh/wolleh_magritte_full.html
내가캔버스속의그림속의길위에있는작은점으로그려진유크리드와함께길을걷고있다고생각하면지금캔퍼스를보고있는내가바로캔퍼스속에있다. Magritte < 유클리드의산책 >, 1955 이그림을보고있는내가이그림속에들어가있게된것이다.
엣셔의프랙탈적작품이다. 삼각형구도의중심부분을기준으로, 한없이자기닮음 (self-similarity) 을가진도형이무한히퍼져나가고있는데흰색부분을보면천사들의모습이되고, 검은색부분을보면박쥐들의모습으로보이는이중적인그림이된다. Esscher, 원의극한 ( 천국과지옥 ), 1960 ( 프랙탈이론 )
초현실주의화가마그리뜨 (Rene Magritte, 1898-1967) 이작품에는 이것은파이 프가아닙니다 라고써있다. 사실그림의파이프는진짜파이프는아니지만파이프의그림임에는틀림이없다. 참이라고생각하면거짓 Magritte < 단어의사용 > 1928~29 이되고, 거짓이라고생각하 면참이되는순환논리를잘 표현하였다.
해골의모습이지만거리를두고다시바라보면화장대앞에서화장하는여인의모습을보이는이중적인그림이다. 수학의논리적 paradox 와초현실주의화가마그리뜨의작품, 수학의 fractal 도형과엣셔의작품은수학과미술이같은시대정신을반영하는인간정신활동의한부분으로볼수있다.
VII. 21 세기의수학과미술 시각예술은다른장르의사람들에게세계를인식하는사유체계에변화가발생될것을예고한다. 존러셀 ( 미술비평가 ): 미술에는우리가이름짓지못하고여전히설명되어지지않은투시력이있다 소위미술가들은상징과기술을채용하여도래하지않은과학시대사고양식의선구자가되는것이다. 컴퓨터의발달로수학과미술에새로운패러다임등장. - 프랙탈과카오스이론, 컴퓨터그래픽과비디오아트등의출현
[ 인터넷과멀티미디어시대의미술 ] 1980 년대초, 군사적인목적을위해개발되었던인터넷은미술분야 ( 인간의 창조영역 ) 에도적극활용되고있다. 미술에서의인터넷을활용 : 1) 전자매체및인터넷과같은정보통신구조자체를미술창조를위한새로운재료또는제작방법으로활용하여 예술작품을구현 2) 인터넷을통해기존의미술작품과그에관한여러가지정보들을 경험하는것
멀티미디어의시대는과거매스미디어의시대에비해서 발송자와수신자간의상호작용이더강화되어피드백을 통해열린대화가가능해졌다. 인터넷을통한미술경험은모든개인들로하여금언젠가이루어질실제의미술작품과의만남을꿈꾸면서그것을준비하기위한풍부한예비적지식을쌓도록하면서, 주체적이고능동적으로미술문화에더가까이다가가도록이끄는보다효율적인교육수단으로적극활용될수있을것이다.
[ 위상기하학과미술 ] 20 세기후반에수학이추상화되기시작하면서만들어진위상수학 (topology) 과현대추상미술은 연속 이란관점에서연관이있다. Topology 는 위치와형상의학문 이라는뜻으로위상수학, 위상기하학등으로번역하고일명 고무막위의기하학 이라고도부른다. 위상공간상에서는곡선이나곡면을연속적으로늘이거나줄이면서변형시키킨도형을위상동형 (homeomorphic) 이라한다.
[Feed back] 문제1] 이집트피라밋과그리스파르테논신전에숨겨진수학적비율은? 문제 2] 레오나르드다빈치의모나리자와최후의만찬의화법은? 문제 3] 쉬라의 아니에르의물놀이 와시낙의 우물가의여인들 은어떤화법으로그린그림인가? 문제 4] 투시화법을무시한피카소의작품의예를들어보시오? 문제 5] 집합론과관련된미술의화법은? 문제 6] 사영기하학과관련된미술의화법은? 문제 7] 직선과곡선을동일시하는위상수학의개념을잘표현하고있는마그리뜨 (Rene Magritte) 의그림은?
[Feed back 의답 ] 문제 1의답 ] 황금비 1: 1.618, 문제 2의답 ] 원근법문제 3의답 ] 점묘화법문제 4의답 ] 마리테레즈문제 5의답 ] 점묘화법문제 6의답 ] 원근법, 투시법문제 7의답 ] 반듯한곡선
[ 더나아가기 ] 원근법이란? (http://moohak.netian.com/main/main.htm 원근법의적용참조 ) - 회화 ( 평면의그림 ) 에서거리감, 공간감등을나타냄으로써실재감을느낄수있도록표현하는방법으로, 엄밀하게말하자면평면인데도불구하고실재장면에서느껴지는것처럼착시현상을일으키게하는기법을말한다
동양의원근감표현법 동양에서는대상을재현하는방법이나과정이객관적이거나사실적인묘사에 집착하지않고비교적주관적이고양식화되어있었던관계로원근법또한서양 의경우와같이철저하게적용되지않았으나 동양회화에서도먼데있는것을화면위쪽, 가까운데있는것을아래쪽에그리는방법이가장오래된형식으로자리잡고있었다. 동양에서의투시도적원근법은서양보다도먼저남송 ( 南宋 ) 의화가종병 ( 宗炳 ) 의산수화론에서볼수있다고사가 ( 史家 ) 들은주장한다. 산수화의황금시대 ( 당말 ( 唐末 )~ 오대 ( 五代 ) 북송 ( 北宋 )): 삼원법 ( 三遠 : 高遠 深 遠 平遠 ) 이등장
고원법 : 경치를올려다보는상태의그림 심원법 : 내려다보는상태의그림 평원법 : 평평하게보는상태의그림
서양의원근감표현법 서양에서는그리스시대부터조감도풍 ( 風 ) 의그림형식과화면상의위치관계로가까운것은아래로, 먼것은위쪽으로그리는형식을사용. 선원근법 ( 線遠近法 ) 과빛깔의농담에의한색원근법 ( 色遠近法 ) 은그레코로만시대의폼페이벽화에서발견됨.
공기 ( 색 ) 원근법 ( 스푸마토기법 ) - 가까운것은진하고선명한색으로, 먼것은흐리고여린색으로채색하여색상의농도와채도등에의해거리감을나타냄
투시원근법의유래 투시원근법은 3 차원의현실을 2 차원의화면에재현하기위하여쓰이며, 회화뿐아니라건축조경 무대장치 인테리어설계도에서도쓰인다. 소실점을이용하여거리감이나구도를나타내므로소실점의수효에따라그림의느낌이좌우된다. 투시원근법의원리와소실점을발견한미술가는 1410 년경르네상스시대피렌체건축가필리포브루넬레스키 (Filippo Brunelleschi) 였으며그의이론은 회화에관하여 - On Painting 라는원근법에관한저술로유명한레오네알베르티 (Leone Battista Alberti) 에의해발전되었다. 그러나본격적인보급은레오나르도다빈치 (Reonardo da vinci) 파울로우첼로 (Paolo Uccello) 피에로델라프란체스카 (Piero della Francesca) 등에의해서이다. 16 세기의화가나건축가에게원근법과소실점은중요한의미를지닌다.
투시원근법의요소 : 시선의방향, 눈의높이, 소실점 1 점투시도소실점이 1 개인그림으로대각선구도로서집중감이강하여거리감과공간감이강하게느껴진다.
2 점투시도소실점이 2 개인그림으로화면의양쪽에위치한소실점을기준으로물체의기울기를조절하는원근법을말한다.
3 점투시도 3 점투시는소실점이 3 개인그림으로완전한입체감을나타낼때많이사용되는원근법이다
원근법의적용 원근법은단지풍경화나정물화등순수회화에서만이용되는것은아니며제품디자인이나건축등다양한분야에서활용되어진다.
End