1. Laplace s Equation of Continuity 흐름의연속성, Darcy의법칙을이용 2차원평면흐름의지배방정식 정상류상태를나타냄 흙은등방성 (Isotropic) 균질성 (Homogeneous) 흙은포화되어있고모관현상은무시 흙입자는비압축성이며물이흐르는동안흙의압축, 팽창은없음
1.1 Continuity Equation 정상상태의물의흐름 : 2차원흐름 수평방향과수직방향으로흐르는유량 유입량 유출량 q =v dydz+v dxdy in x z v v x z q =(v + dx) dy dz+(v + dz) dx dy out x z x z
1.2 Continuity Equation 연속방정식 (Continuity Equation) Δq=q -q =0 in in out Δq = q -q out v v x z v v x z v v x z = - + dx dy dz = 0 + = 0 x z x z x z = v dy dz+v dx dy- v + dx dy dz- v + dz dx dy x z x z v=k i=k x x x x v=k i=k z z z z h x h z 2 2 h h k +k =0 x 2 z 2 x z If isotropic & homogeneous, then h x h + = 0 z 2 2 2 2 or Laplace equation
1.3 Use of Continuity Equation for Solution of Flow Problem 해석적방법으로흐름문제를해결하기위한연속방정식의이용 두개층의흙에서일차원흐름 두토층의수두차이, h 1 흐름은 z 방향으로만진행 또는, 여기에서, A 1 과 A 2 는상수
1.4 Use of Continuity Equation for Solution of Flow Problem 상부층을통과하는흐름 경계조건-1 일때, 경계조건-2 일때, 조건에의하여, 따라서,
1.5 Use of Continuity Equation for Solution of Flow Problem 하부층을통과하는흐름 경계조건-1 일때, 경계조건-2 일때, 조건에의하여, 따라서,
1.5 Use of Continuity Equation for Solution of Flow Problem 상부층을통과하는물 = 하부층을통과하는물의양 따라서, 변수 h 2 를제거하면, 상부층에서, 하부층에서,
2 유선망 (Flow Net) 등방성흙에서연속방정식 서로직교하는두개의곡선 유선 (flow line) 등수두선 (equipotential line) 투수층흐름
2.1 Flow Net Conditions 1. 등수두선과유선은서로직교한다. 2. 유선망에서의각요소는거의정방형이다. 유로 flow channel N f 수두낙차 potential drop N d
2.2 Potential & Stream Functions 포텐셜함수 φ(x, z) 와흐름함수 ψ(x, z) vx x v z z + = 0 ( 속도 ) 포텐셜 φ=k h 포텐셜함수 φ(x, z) 흐름함수 ψ(x, z) φ φ ψ ψ v= x, v= z v x=, v z= - x z z x 2 2 φ φ + = 0 2 2 x z φ ψ φ ψ, - x z z x 2 2 ψ ψ + = 0 2 2 x z
2.3 Potential & Stream Functions v v z x dz = dx -v dx + v dz = 0 z x 유선함수 ψ 에대한관계식대입 ψ ψ dψ = dx + dz = 0 x z ψ=const. 곡선 ψ(x, z) 가지정되면이곡선의기울기는유속의합성벡터의기울기와일치 유선함수에의한 2 차곡선 유선 (flow line) 물분자의이동궤적
2.4 Potential & Stream Functions ψ x ψ z ψ ψ ψ z x 1 2 Δq= 2 -v dx+v dz = 2 2 ψ1 ψ dx+ dz = dψ = ψ -ψ 1 ψ1 두유선 ψ 1, ψ2의사이를흐르는유량은항상일정 포텐셜함수 φ(x, z) φ=const. 의물리적의미 따른전미분 φ φ dφ = dx + dz = 0 x z
2.5 Potential & Stream Functions φ φ dφ = dx + dz = 0 φ=const. x z 포텐셜함수에의한 2차곡선 등포텐셜선 (equipotential line) 동일한포텐셜의연결선 = v dx+v dz = 0 x z dz = - dx v v x z 유선의기울기와역부호를가진역수 기울기가서로반대 곡선이서로직교 2 개의곡선 ( 유선과등포텐셜선 ) 을평면좌표 (x, z) 상에나타냄 유선망 (flow net)
2.6 Flow Net 유선망 (Flow net) 서로직교하는여러개의유선과등포텐셜선으로이루어짐 투수성지반 ( 흙 ) 에서물의흐름문제를해석 침투수량, 간극수압, 동수경사 ( 수두낙차 ) 등결정 등수두선과유선은서로직교
2.7 Flow Net 유선망에서의경계조건 AB 는이선을따라전수두가동일 등수두선 CD는이선을따라전수두가동일 등수두선 널말뚝을따라상류면에서하류면으로흐르는 BCD 유선 불투수층의경계면 FG 유선
2.8 Flow Net 유선망의작도 경계조건을만족하도록원활한곡선이되도록작성 유선망에서이루어지는요소는정사각형 (curve linear square) Trial and Error
2.9 Flow Net 유선망을이용한침투량 유로 (Flow Channel) 두개의유선사이의통로 유로는정방형요소를형성 유선망을이용한동수경사 Δh i= = l ΔH/N l 2 2 d Δq=Δq 1=Δq 2= h-h h-h 1 2 2 3 Δq=k i A=k l =k l = 1 2 l l 1 2 ΔH =k Δh=k N N q=k ΔH N f d d
3. Example (Flow Net) Ex) 아래의그림은투수층에서널말뚝주위의흐름에대한유선망 k x =k z =510-3 cm/sec 일때다음의사항을결정하라 a. a, b, c, d점에피에조미터를세우면지표면위로올라온물의높이는? b. 단위폭당유로 Ⅱ를흐르는침투량? c. 단위폭당투수층전체를흐르는전침투량?
3. Example (Flow Net) Ex) 아래의그림은투수층에서널말뚝주위의흐름에대한유선망 k x = k z = 510-3 cm/sec 일때다음의사항을결정하라 a. a, b, c, d점에피에조미터를세우면지표면위로올라온물의높이는? b. 단위폭당유로 Ⅱ를흐르는침투량? c. 단위폭당투수층전체를흐르는전침투량? a. a점 : 4.5-0.5=4m b점 : 4.5-2Χ0.5=3.5m c점 : 4.5-5Χ0.5=2m d점 : 4.5-5Χ0.5=2m b. ΔH 300 N 6-3 -1 3 Δq=k =510 =2.510 cm /sec/cm d N =3, N 6 f ΔH=3m Δh=3/6=0.5m d c. N 3 N 6 f -3 q=k ΔH =5 10 300 d -1 3 =7.510 cm /sec/cm
4. Anisotropy and Nonhomogeneity of Permeability 투수계수의비등방성및비균질성 흙은퇴적되어자연적으로형성 대략평행한층을이룸 수직방향과수평방향의투수계수가다름 수평방향의투수계수가연직방향보다일반적으로더큼 한위치에서방향에따라투수계수가다름 비등방 (Anisotropy) 두위치에서의투수계수가다름 비균질 (Nonhomogeneity)
4.1 Flow Nets in Anisotropic Soil 비등방성흙에서의유선망 자연적으로퇴적된토층 수직방향보다수평방향의투수성이큼 점성토지반일수록이러한경향이우세 if k x k, then z 2 2 h h k x +k 2 z =0 2 x z This is not laplace equation k k z x h 2 2 x 2 h + =0 2 z x= k /k x z x x` 는 x 방향의새로운좌표 h x' h + =0 z 2 2 2 2
4.2 Flow Nets in Anisotropic Soil 비등방성흙에서의유선망작도 z 방향은그대로 x 방향은 x= k z/kx x관계를이용하여치수를축소 ( 또는확대 ) 하여스케치 유선망작도, 유선과등수두선으로이루어지는요소는정사각형 유선망을이용하여 N d, N f 를구하여침투유량결정 N f q= k x kz ΔH N d k= e kx kz 등가투수계수 (Equivalent Coefficient of Permeability)
4.3 Flow Nets in Anisotropic Soil case (a) 에서의유량 Δh Δq T=Ke b=keδh l case (b) 에서의유량 Δq =k Δh b=k kx l k N x x z Δh k k x z Δq =Δq T N k= e kx kz
4.4 Flow Nets in Nonhomogeneous Soil 비균질한흙에서의유선망 자연적으로형성된토층 성층구조, 비균질 q=k11 i A 1=k2i2A2 i=δh/l 1 1, i 2=Δh/l 2, A 1=A 2=l11 Δh Δh k l = k l 1 1 2 1 l1 l2 l l = k k 2 2 1 1 Flow net : square rectangular
4.5 Flow Nets in Nonhomogeneous Soil 층의경계가경사진비균질한흙에서의유선망 토층의경계면 AB의법선과 α각으로유입하는경우 법선과 β각으로유출 Δh Δh q=k b =k b CA BD 1 1 2 2 CA =tanα, b 1 2 BD =tanβ b k1 k2 = tanα tanβ k k 1 2 = tanα tanβ
4.6 Flow Net in Nonhomogeneous Soil 비균질한흙에서의유선망작도예 매질 1 의투수계수가매질 2 의투수계수보다 2 배큰경우 k k 1 2 =2= tanα tanβ tan 2tan k 1 l k 2 l 2 2 1 1 l=2l 1 2
4.7 Mathematical Solution for Seepage 수학적해법에의한침투량 Harr (1962) S : 널말뚝의근입깊이 T : 투수층의두께 q/kh vs. S/T 그래프
4.8 Mathematical Solution for Seepage 수학적해법에의한댐아래의침투량산정 Harr (1962) S : 널말뚝의근입깊이 T : 투수층의두께 x : 댐중앙에서널말뚝까지의길이 B : 댐단면의폭 q/kh vs. x/b 그래프
5. Uplift Pressure under hydraulic structures 수리구조물의양압력 압력수두 + 위치수두 = 전수두 압력수두 단위중량 = 간극수압 S : 널말뚝의근입깊이 T : 투수층의두께 x : 댐중앙에서
5.1 Example (Uplift Pressure) 유선망을이용한양압력 (Uplift pressure) 댐등의수리구조물저면에서연직상향으로작용하는수압 양압력 p h p= ; p=hp γw γ f w N=2, N 7 ΔH=7-0=7m d ΔH Δh= N d =7/7=1m a점 - 전수두 : 7-1=6m, 위치수두 : -2m 압력수두 : 6-(-2)=8m 수압 : 8mΧ9.81kN/m 3 =78.48kN/m 2. 수압분포면적을구하면단위폭당양압력
6. Flow nets in Seepage through an earth Dam 흙댐을침투하는유선망 흙댐을물이통과할경우유선망의경계조건불분명 가장위에있는유선의경로를추정하기어려움 가장위에있는유선이정해지면이경로에서의응력은항상대기압과같으므로손실수두는위치수두뿐임 이러한특성의유선 침윤선 (phreatic line)
6.1 Determination of Phreatic Line 침윤선을결정하는방법 Casagrande & Kozeny AE=0.3(AG) 되도록 E점설정 포물선의정리에따라 CY=YQ=S, CL=LM의관계적용 2 2 x=x, z=h S= X +H -X 포물선의특성으로부터 CD=1/2 S D점결정 D점과 E점을통하는포물선작도 A점에서포물선과만나도록 AJ 작도 2 2 x+z=x+s Y Q
6.2 Flow through an Earth Dam Dupuit (1863) 불투수기반상에축조된균질한흙댐
6.3 Chart for Solution of Flow on Earth Dam Gilboy s Solution (1934) > 30 일때, 커지는오차 (Dupuit, 1863) 를제한 Based on Casagrande method (1932) 1. d/h 결정 2. 에대한m 결정 3. L = m H/sin 4. k L (sin 2 ) 결정
6.4 Another Chart for Solution 침윤선이댐하류경사면과교차하는경우의유선망 제체하류면접합점 (F 점 ) 을초점으로하는포물선작도 포물선은하류경사면을벗어남 하류경사면을따르는포물선으로수정 Gilboy(1933) 수정도표제안 a=m H cosecβ a가정해지면 FJ=a가되도록 J점결정 J점에서기본포물선과원활하게연결
6.5 Filter Design 배수형태및비균질댐체에따른침윤선 작은입자흙 큰입자흙 세립분이조립토로흐름 조립토의간극이메워짐 두흙의경계에필터 ( 보호필터 ) U.S. Navy (1971) 필터설계조건제시