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정윤 준
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1 The Korean Journal of Applied Statistics (013) 6(1), DOI: Study on a Hedging Volatility Depending on Path Type of Underlying Asset Prices Jeongbon Koo a Junmo Song b,1 a HMC Investment Securities, Over-the-Counter Derivative Team b Department of Computer Science and Statistics, Jeju National University (Received August 3, 01; Revised December 7, 01; Accepted January 4, 013) Abstract In this paper, we deal with the problem of deciding a hedging volatility for ATM plain options when we hedge those options based on geometric Brownian motion. For this, we study the relation between hedging volatility and hedge profit&loss(p&l) as well as perform Monte Carlo simulations and real data analysis to examine how differently hedge P&L is affected by the selection of hedging volatility. In conclusion, using a relatively low hedging volatility is found to be more favorable for hedge P&L when underlying asset prices are expected to be range bound; however, a relatively high volatility is found to be favorable when underlying asset prices are expected to move on a trend. Keywords: Hedging volatility, ATM plain option, delta hedge, gamma, hedge error, hedge profit and loss. 1. 서론 Black 과 Scholes (1973) 가기하브라운운동 (geometric Brownian motion; GBM) 을기반으로표준옵 션 (plain option) 의가격공식을유도한이후, GBM 은다양한금융자산의가격움직임 (dynamics) 을모 형화하는데널리이용되었다. 그러나, 1987 년블랙먼데이 (Black Monday) 이후금융시장의불안정성 이증대되고변동성의움직임이불규칙해지면서, 고정된변동성을가정한 GBM 은현실적인한계에부 딪히게되었고, 이와관련된사례들은다수의실증연구들을통하여보고되었다. 이에따라, GBM 모 형의단점을보완하기위한연구들이진행되었는데, Dupire (1994) 와 Elder (00) 등은국소변동 성모형 (local volatility model) 을통하여, Heston (1993) 및 Hull 과 White (1987) 등은확률변동 성모형 (stochastic volatility model) 을통하여모형을발전시켰으며, 이외에도점프를포함한레비 과정 (Levy processes) 등을이용한모형들이속속개발되었다 (Cont 와 Tankov, 004). 하지만, 새로운모형들이학계에서꾸준히개발되고있음에도불구하고, 모수추정과구현의용이성으 로인하여현장실무에서는 GBM 이여전히애용되고있다. GBM 모형이실제주가의움직임과차이가 있음에도, 주가가 GBM 을따른다는가정하에파생상품의가격을계산하고이를바탕으로헤지 (hedge) This paper is mainly based on the Master s thesis of the first author in financial economics at Yonsei University. 1 Corresponding author: Assistant professor, Department of Computer Science and Statistics, Jeju National University, 10 Jejudaehakno, Jeju-si, Jeju-do , Korea. jmsong@jejunu.ac.kr

2 188 Jeongbon Koo, Junmo Song 매매를수행하는것이다. 사용하고있는기초자산의가격모형이실제가격의움직임과비슷할수록이를기반으로하는헤지모형의오차는작아지기때문에, 앞서언급한연구들은현실적인모형을개발함으로써헤지오차 (hedge error) 를최소화하는데초점을두었다고할수있다. 한편, 기초자산의가격이 GBM을따른다는가정하에파생상품또는파생결합증권의헤지를수행하는경우, 헤저 (hedger) 의최대관심사는파생상품의잔존기간동안실현될변동성의예측에있게된다. 매매의목적이파생상품의헤지그자체에있다면, 매매자는모든정보를이용하여향후변동성을예측하고, 예측된변동성을바탕으로헤지매매를수행하게된다. 즉, 예측된변동성을헤지변동성 (hedging volatility) 으로사용하여매매해야할기초자산의수량을계산하는것이다. 기초자산의실제움직임이 GBM과큰차이가없고실현된변동성이예측된변동성과비슷할경우예상할수있는오차범위내에서헤지가가능하게되지만, 기초자산의실제움직임은가정한모형과차이를보일때가많고향후변동성에대한예측또한쉽지않기때문에파생상품의헤지는일정수준이상의헤지오차를수반하는경우가많다. 이러한헤지오차는상품판매시수수료에포함시키거나, 적극적인운용에의한추가수익 ( 이하, +α) 을통하여그비용을보전하기도한다. 비단이런상황이아니더라도실무에서의헤지매매자는정확한헤지 ( 또는복제 ) 그자체보다는매순간 +α를추구하려는경향이높은데, 이러한경우미리정해진리스크한도내에서스팩 (speculation) 에의한매매가종종발생하게된다. 기초자산의방향성에배팅하여계산된헤지수량보다더많거나혹은적게기초자산을매매하거나, 변동성에베팅하여예상되는변동성보다더크거나작은값을헤지변동성으로결정하여매매를수행하는경우등이그예가된다. 본논문에서는 GBM모형으로델타 (delta) 헤지를수행하는경우 +α를위한헤지변동성의결정에대하여연구한다. 구체적으로, 표준옵션 (plain option) 의헤지매매시기초자산의추세여부가예상될때, 이에따른헤지변동성의선택기준에대하여다루고자한다. 이는현업의실무자들이관심을갖는지극히현실적인문제로서, 헤지변동성과헤지손익과의관계혹은델타헤지의효율성과관련되어있다. 이러한연구들로 Derman (008) 은 GBM 하에서의헤지손익과변동성과의관계를설명하였고, Crépey (004) 는 GBM과국소변동성모형하에서의헤지손익에대한비교연구를하였으며, Primbs와 Yamada (008), Kennedy 등 (009) 와 Sepp (01) 등은거래비용을고려한상태에서의델타헤지의손익에대한연구를수행하였다. 특히, 본논문의연구내용은 Gatheral (1999) 의 Merrill Lynch 보고서에서다루어졌던것으로, 그의연구에서는기초자산가격의횡보, 즉특별한방향성없이가격이진행되는상태가예상될때에는헤지변동성을크게, 추세가예상될때에는작게사용하는것이헤지손익에유리함을보고하였다. 하지만, 이보고서에는결론을뒷받침할만한분석과정과통계적검증절차가수행되지않았기에본논문에서는헤지변동성과헤지손익과의관계를살펴보고, 보다다양한주가형태를고려한모의실험을통하여기초자산의추세유무와이에따른헤지변동성의선택이헤지손익에미치는영향을재탐색하고자한다. 본논문의구성은다음과같다. 장에서는델타헤지 (delta hedge) 수행시헤지변동성과헤지손익과의관계에대하여살펴보고, 3장에서는주가경로의형태에따른헤지변동성과헤지손익의관계를모의실험을통하여살펴본다. 그리고 4장에서는 KOSPI00 지수에대한실증분석을수행하고, 마지막 5장에서는본논문의결론과실무에서의활용방안등에대하여언급한다.. 옵션의델타헤지와헤지손익.1절에서는블랙-숄즈가정하에서의옵션의델타헤지에대하여소개한다. 이내용을바탕으로, 실제주가의움직임과는상관없이 GBM을가정하여헤지를수행하는경우의헤지손익의형태를.절에서살펴본다..절의정리들은 Derman (008) 의 장에서발견할수있으나, 본논문에서는그결과들을다른방식으로유도해본다. 편의상옵션매도포지션에대한헤지를기준으로설명한다.

3 Study on a Hedging Volatility for ATM Plain Options 파생상품의델타헤지옵션매도포지션의헤지는옵션의만기수익구조 (payoff) 를복제하는것을의미한다. 만기시점에서의옵션의이론가격은만기수익과같기때문에, 옵션의복제는헤지시점마다헤지모형에서유도된옵션이론가격의변화량을다양한금융자산의매매또는거래를통하여만들어냄으로써이루어진다. 즉, 옵션의복제는옵션의이론가격을추종함으로써이루어지는것이다. 블랙-숄즈가정하에서, 옵션이론가격의순간적인변화량은 Taylor 전개에의하여다음과같이표현될수있다. df t = s f t ds t + 1 ssf t (ds t ) + t f t dt, (.1) 여기서 f t 와 S t 는 t시점에서의옵션의이론가격과기초자산의가격이고 x 는 x에대한 1차미분을 xx 은 차미분을나타낸다. 위식에서알수있듯이, 옵션가격의변화량은기초자산가격의변화에의한부분 s f t ds t, ssf t (ds t ) 과시간의흐름에의한부분 t f t dt들로분해된다. 델타헤지란헤지시점마다 s f t ( 이하, t ) 개의기초자산을보유함으로써옵션이론가격의변화량중 s fds t 에해당하는금액을만들어내는것을의미한다. 델타헤지를수행하는경우헤지포트폴리오는일반적으로 개의기초자산과특정이자율 ( 무위험이자율 ) 로차입 (borrowing) 과대출 (lending) 이가능한단기금융상품 (money market fund; MMF) 들로구성되는데, 기초자산의변동성과무위험이자율이변하지않을경우, 연속적인포트폴리오의재조정 (rebalancing) 을통하여옵션의만기수익구조를복제할수있다. 이를확인하기위하여 t시점에서 t 개의기초자산과 (f t ts t) 금액에해당하는 MMF로구성된포트폴리오를생각하고, 이포트폴리오의가격을 P t 라고하자. 블랙-숄즈가정하에서 (ds t) 은불확실성 (randomness) 이사라진상태가되므로, 시장에차익 (arbitrage) 거래기회가존재하지않는다면, 식 (.1) 로부터옵션 1개를보유하고기초자산 t 개를공매한포트폴리오의가격의순간변화량은 (f t ts t) 금액에해당하는 MMF 가격의순간변화량 r(f t ts t)dt와같게된다 (Black-Scholes equation): df t t ds t = 1 ssf t (ds t ) + t f t dt = r(f t t S t )dt. (.) 한편, 헤지포트폴리오가격 P t 의순간변화량은 dp t = tds t + r(f t ts t)dt 이므로, 식 (.) 로부터확률 1(with probability 1) 로 dp t = df t 가성립한다. 따라서 t 개의기초자산과 (f t ts t) 금액의 MMF로포트폴리오를연속적으로조정할수있을경우헤지포트폴리오의가격은옵션의가격과일치하게되어만기시점에서옵션의 payoff를만들어낼수있게된다. 하지만실제델타헤지는위가정하에서이루어지지않는다. 포트폴리오의조정은연속적으로이루어질수없으며, 기초자산의변동성또한시간의흐름에따라많은경우변하게된다. 현실과가정의이러한괴리는헤지시점마다헤지오차, 즉옵션의가격변화량과헤지포트폴리오의가격변화량의차이를발생시키고, 헤지오차가누적되면서헤저의최종헤지손익이결정되게된다. 특히변동성과관련하여, 향후실현될변동성을알수없기때문에블랙-숄즈가정을기반으로하는델타헤지는헤지변동성의선택에따라최종손익이크게좌우된다... 헤지변동성과헤지손익 헤지변동성의선택에따른헤저의최종손익을살펴보기위하여, 기초자산의가격이다음의확률미분방

4 190 Jeongbon Koo, Junmo Song 정식을따른다고가정하자. ds t = µs t dt + σ t S t dw t, (.3) 여기서 {W t } 는표준브라운운동 (standard Brownian motion) 이고 σ t 는 t 시점에서의순간변동성이다. 그리고헤저는블랙 - 숄즈가정하에연속적으로델타헤지를수행한다고하자. 즉, 헤저는옵션의잔존기 간동안고정된헤지변동성을사용하여기초자산의매매수량을계산하며매순간마다포트폴리오를재 조정한다. 헤저의헤지변동성을 σ H 라하고이변동성에의하여계산된 t 시점에서옵션의이론가격과델타를각각 f H t, H t 라고하자. 옵션은 f H 0 의가격으로매도된것으로간주한다. 최초헤지포트폴리오는 H 0 개의 기초자산과 (f H 0 H 0 S 0) 금액의 MMF 로구성되고, t 시점에서는 H t 개의기초자산과 (f H t H t S t) 금 액의 MMF 가되도록재조정한다. 이제이포트폴리오의가격을 P H t 라하면, P H t 의순간적인변화량은 다음과같게된다. dp H t ) = H t ds t + r (ft H H t S t dt 헤저는주가과정이식 (.3) 이아닌확률미분방정식 dst H = µs tdt + σ HS tdw t 를따른다는가정하에헤지를수행하고있으므로, t시점에실제주가 S t 가관찰되었을때 (dst H ) 은 σhs t dt로가정하게된다. 따라서, 식 (.) 에서와같은방법에의해 ) r (f t H H t S t dt = 1 ssft H (dst H ) + tft H dt 가되므로, = 1 ssf H t σ HS t dt + t f H t dt dp H t = H t ds t + 1 ssf H t (σ H) S t dt + tf H t dt 가된다. 그리고, f H t 의순간변화량은식 (.3) 을따르는실제주가과정의순간변화량에의해결정되므로 df H t = H t ds t + 1 ssf H t (ds t ) + t f H t dt = H t ds t + 1 ssf H t σ t S t dt + t f H t dt 가된다. 그러므로, t 시점에서헤지포트폴리오의가격과옵션이론가격의순간적인차이는 dp H t df H t = 1 ssf H t [ σ H σt ] S t dt 가되고, 따라서헤저의최종손익은다음과같게된다. P H T f T = P H T f H T = 1 T ssf t H 0 [ σ H σt ] S t dt, (.4) 여기서 T 는옵션의만기이고 P0 H = f0 H 이며, f T 는만기시점에서의옵션의실제가격이다. 현실에서의헤지포트폴리오의재조정은불연속적으로이루어지므로, 최종손익은식 (.4) 를이산화함으로써근사적으로얻어진다. 기초자산의매매시발생하는수수료및세금등의비용이없는것으로간주할경우, 헤저의근사손익은다음과같다.

5 Study on a Hedging Volatility for ATM Plain Options 191 정리.1 주가과정 {S t } 가식 (.3) 을따른다고하자. 헤지변동성 σ H 로옵션이매도되었을경우, 델타헤지를수행하는헤저의최종손익은다음과같다. PT H f T 1 n 1 Γ H [ i σ H σ ] t i S i (t i+1 t i ), (.5) i=0 여기서 t 0 는옵션의매매시점, t i 는 i 번째헤지 ( 재조정 ) 시점, t n(= T ) 는옵션의만기시점이고, S i 와 Γ H i 는 t i 시점에서의주가와 ss f H 이다. 식 (.5) 는매도시점에서의내재변동성 (impled volatility) 을헤지변동성으로선택하여델타헤지를수 행할때의손익을나타낸다. 표준콜 / 풋옵션의경우감마는항상양수이므로, 헤저의최종손익은헤 지변동성 (σ H) 과실현변동성 (σ t) 의차이에의하여결정된다. 실현변동성이헤지변동성보다높게형성될 때가많을경우헤저는손실을입을가능성이크고, 반대의경우는이익을얻을가능성이크게된다. 이 외에손익의크기는감마 (Γ H i ) 와주가, 헤징주기등에영향을받는다는것을알수있다. 헤지변동성과 실현변동성이같을경우최종헤지손익은거의 0 이되는데, Boyle 과 Emanuel (1980) 에따르면이경 우표준콜옵션의헤지손익은블랙 - 숄즈가정하에서다음의형태로표현할수있다. P H T f T 1 n 1 i=0 σs i T ti ϕ(d i) ( U i 1 ) (t i+1 t i), 여기서 ϕ( ) 는표준정규확률밀도함수, d i = ( log(s i/k) + (r + 0.5σ )(T t i) ) /σ T t i, K 는옵션 의행사가이고, {U i } 는 χ (1) 분포에서의랜덤샘플 (random sample) 이다. 한편, 장외시장에서는당사자들간의합의에의하여거래성사되기때문에고려하고있는헤지변동성과 비슷한가격으로옵션이매도될수있는반면, 장내시장에서는별개의가격으로거래되는경우가많다. 내재변동성이향후기초자산의변동성에대한시장의예측을반영하고있지만개별헤저의예측은시장 의예측과다를수있고, 헤저의운용성향과시장을바라보는관점에따라헤지변동성이달리사용될 수있기때문에, 옵션헤저의실질적인고민은시장가격으로옵션을매도하였을때적절한헤지변동성의 선택에있게된다. 옵션매도당시헤저가고려하고있는헤지변동성과내재변동성이다른경우, 즉시장가격으로매도하고내재변동성이아닌다른변동성으로헤지를수행하는경우의손익을알아보자. f0 im 을옵션매매시점에서의시장가 ( 매도가 ) 라하고, 헤저는고정된헤지변동성 (σ H ) 로델타헤지를수행한다고하면, 최초헤지포트폴리오는 H 0 개의기초자산과 (f0 im H 0 S 0 ) 금액의 MMF로구성된다. 이때, (f0 im H 0 S 0 ) 금액중 (f0 im f0 H ) 금액은별도의 MMF에투자하여만기까지유지하고, 나머지 (f0 H H 0 S 0 ) 금액의 MMF와 H 0 개의기초자산으로구성된새로운포트폴리오, P H 에대하여연속적인델타헤지를수행하 면, 식 (.4) 와같은방법에의하여다음의최종손익을구할수있다. 여기서 P H 0 = f im 0 이다. P H T f T = = ( ) T f0 im f0 H e rt + ( ) f0 im f0 H e rt + 1 {d P t H df H t } 0 T ssf t H 0 [ σ H σt ] S t dt, 따라서, 불연속적으로델타헤지가이루어질경우, 헤저의최종근사손익은다음과같이얻어진다. 정리. 주가과정 {S t } 가식 (.3) 을따른다고하자. f im 0 의가격으로옵션이매도되었을경우, 고정변동성 σ H

6 19 Jeongbon Koo, Junmo Song Figure.1. S/K vs. ΓS of an ATM call option by remaining maturities(l) and hedge volatilities(r) 로델타헤지를수행하는헤저의최종손익은다음과같다. ( ) PT H f T f0 im f0 H e rt + 1 n 1 Γ H [ i S i σ H σ ] t (ti+1 i t i ) (.6) i=0 ( ) := f0 im f0 H e rt + Gamma P&L. 위정리에서 (f im 0 f H 0 )e rt 는 σ H 에만의존하므로, 주가형태에따른헤지변동성 (σ H) 별최종손익은결국위식우변의두번째항 (Gamma P&L) 의 Γ H i S i 으로부터결정되게된다. 주가형태에따른표준옵션의 Gamma P&L을알아보기위하여다음의사실을주목하자. { ( ( ) Γ H t St St K exp 1 St log + ( ) } r + 0.5σ ) H (T t), (.7) (T t) K σ H 여기서 K 는옵션의행사가이고 Γ H t S t 은 S t /K 가 exp{( r + 0.5σ H)(T t)} 일때최대가되고이 값으로부터멀어질수록작아지게된다. 예를들어, 만기 1 년미만의 KOPSI00 지수옵션들에대하여 50% 미만의헤지변동성과 5% 내외의무위험이자율을고려할경우 exp{( r + 0.5σ H)(T t)} 의값은 대략 0.95 에서 1.1 사이에서형성된다. Figure.1 은행사가가 100 인 ATM 콜옵션에대하여헤지변동성이 0% 인경우의잔존기간별 Γ H t S t ( 좌 ) 과잔존기간 6 개월인경우의헤지변동성별 Γ H t S t ( 우 ) 를나타내고있다. 그림에서보듯이, Γ H t S t 은 주가가행사가근처에있을때최대가되며행사가에서멀어질수록작아지게되는데, 감소의크기는잔 존기간이짧아지거나헤지변동성이작아질수록더욱커진다. 이는주가가행사가근처에서형성된기 간이길수록최종헤지손익에서 Gamma P&L 이차지하는비중은커지게되고, 반대로벗어난기간이 길수록그비중은작아지게됨을의미한다. 이사실을 ATM 표준옵션에적용할경우, 최종헤지손익 은잔존기간동안주가가행사가근처에서형성될때 ( 횡보장 ) 에는 Gamma P&L 에민감하게영향을받 게될것이고, 그외의주가형태일때 ( 추세장 ) 에는상대적으로덜받게될것이므로, 추세장의경우 (f im 0 f H 0 )e rt 에서보다많은이익을취할수있는방향으로, 횡보장의경우 Gamma P&L 에서이익을취할수있는방향으로헤지변동성을선택하는것이손익에유리하게될것임을추측할수있다. 일반적으로변동성이작아지면표준옵션의이론가격도낮아지게되고, 따라서 (f im 0 f H 0 )e rt 은커지게되므로 (Figure. 의좌 ) 추세장에서는낮은헤지변동성을사용하고, 횡보장에서는높은헤지변동성을사용 하여 Gamma P&L 에서의이익을추구하는것 (Figure. 의우 ) 이최종헤지손익에유리할것이다. 이 에대한엄밀한증명은식 (.6) 을 σ H 로미분하고 S/K 의범위에따른미분값의부호를조사해야하나

7 Study on a Hedging Volatility for ATM Plain Options 193 Figure.. (f im 0 f H 0 )ert when implied volatility is 0%(L) and Γ ts t [σ H σ 0 ] by hedge volatilities(r) Figure.3. Paths of stock prices in range bound and trend(l) and corresponding ΓS paths of an ATM call option(r) 이는본논문의수준을넘기때문에향후연구로남기고, 다음의일례와 3 장에서의모의실험을통하여 이사항을확인하고자한다. Figure.3 은변동성 0% 의 GBM 모형을이용하여횡보형태와상승추세를갖는주가경로를발생시킨 것이며 ( 좌 ), ATM 표준옵션 ( 만기 1 년, r = 3.5%, σ H = 0.) 에대하여각경로에해당하는 ΓS 경로를 나타낸것이다 ( 우 ). 상승추세의주가경로에서는시간이흐르면서 ΓS 의크기가작아지게되는반면, 횡보형태의주가경로에서는상승추세의경로에비해 ΓS 의값이상당히커지게되어 Gamma P&L 이 최종헤지손익에상대적으로큰영향을미치게됨을알수있다. Figure.4 의왼편은 Figure.3 의주가경로에대하여헤지변동성을 0.5% 에서 40% 까지달리하면서구한 Gamma P&L 과 (f im 0 f H 0 )e rt 이고, 오른편은식 (.6) 의근사손익과델타헤지를수행하여얻은실제헤지손익을나타낸다. 횡보형태의주가경로에서는 Gamma P&L 의기울기의절대값이 (f im 0 f H 0 )e rt 에서의값보다크기때문에높은변동성을사용할수록, 상승형태의주가경로에서는반대의상황이기때문에낮은변동성을사용할수록최 종손익이유리해짐을확인할수있다. 실무에서의헤지매매에서도이유는다르나위와비슷한전략을종종사용한다. 감마헤지가이뤄지지않 고있는표준옵션의헤지매매시, 주가가횡보할때는의도적으로감마를작게함으로써 ( 높은헤지변동 성의사용 ) 잦은손실매매를방지하고추세를형성할때는감마를크게함으로써 ( 낮은헤지변동성의사 용 ) 추세에따른옵션가격의움직임을빠르게추종하는전략이그것이다. 이전략은매매빈도를조절 함으로써손익을유리하게가져가는반면, 앞선내용은매매빈도의조절과는상관없다는점에서차이가 있다.

8 194 Jeongbon Koo, Junmo Song Figure.4. Hedge volatilities vs. Gamma P&L and (f im 0 f H 0 )ert of stock prices in Figure.3(L) and hedge P&L and approximated P&L(R) 한편, ATM 또는 NTM(near-the-money) 외의옵션에대하여는추세의형태에따라주가가행사가근방에머무르는기간이다르기때문에위결과를일반화하기어렵다. 이에본논문에서는 ATM 표준옵션에대해서만다음장의모의실험을통하여확인하기로한다. ATM옵션은장내외시장에서거래가가장활발한옵션이기때문에, 이에대한분석만으로도실무에서의헤지매매에도움이될것으로기대한다. 3. 모의실험본장에서는횡보, 상승, 하락, 상승후하락, 그리고하락후상승등다섯가지주가형태와그에따른헤지변동성의선택이헤지손익에미치는영향을모의실험을통하여알아본다. 횡보를제외한나머지주가형태는추세를가지는경우로구분한다. 주가는변동성 (σ t) 이 0% 인식 (.3) 의 GBM을따른다고가정하였고, 초기주가 S 0 는 100으로설정하였다. 횡보형태의주가경로를생성하기위하여, 주가수익률의평균이 0이되도록 ( 즉, µ = 0.5σ ) 하였다. 하지만, 이경우에도추세가나타날수있기때문에생성된경로의 0.5년과 1년시점에서의값이최초주가대비 90% 미만이거나 110% 이상일때에는다시발생시켜비교적횡보형태에가까운경로가고려되도록하였다. 별도의모의실험결과, 이러한제거조건하에서발생된주가경로의실현된변동성 (realized volatility) 의평균에대한 95% 신뢰구간은 19.93% 에서 19.97% 로의도된변동성 0% 와유의한차이가있었으나, 그크기가실험결과에영향을미칠정도는아니기때문에이차이를무시하고실험을진행하였다. 상승및하락형태의경로는식 (.3) 의 µ 를각각 ±100% 로두고발생시켰다. 상승후하락형태는 0.5년시점까지는 µ 를 100% 로, 이후에는 100% 로하여생성하였으며, 하락후상승형태는반대로하여발생시켰다. 각형태별로 1000개의주가경로를생성하였고, 헤지변동성을 0.5% 에서 40% 까지 0.5%p 간격으로설정하여, 만기가 1년 (5영업일) 인 ATM 표준콜옵션과풋옵션에대하여델타헤지를통한실제헤지손익과식 (.6) 의근사손익을계산하였다. 무위험이자율은 3.5% 로가정하였으며, 거래시점에서의옵션은 0% 의변동성으로매도된것으로간주하였다. 즉, 최초매도가는블랙-숄즈공식에의하여계산된 9.67이된다. 횡보와그외의추세형태의경로에대한모의실험결과가 Figure 3.1( 횡보장 ) 과 Figure 3.에서 Figure 3.5( 추세장 ) 에나타나있다. 실선과굵은점선은각각헤지변동성에대한최종헤지손익과근사손익의평균을나타내며, 가는점선은헤지손익의 5%, 95% 분위수를, 대시선은 1000개의경로중수익이발생한비율을나타내고있다. 그림에서보듯이, 횡보와그외나머지경우에서의결과는반대양상을보이고있다. 횡보장에서는높은헤지변동성을사용할수록, 추세장에서는낮은변동성을사용할수록초과

9 Study on a Hedging Volatility for ATM Plain Options 195 Figure 3.1. Hedge P&L, approximated P&L, and profit ratio in range bound: Call option(l) and Put option(r) Figure 3.. Hedge P&L, approximated P&L, and profit ratio in upward trend: Call option(l) and Put option(r) Figure 3.3. Hedge P&L, approximated P&L, and profit ratio in downward trend: Call option(l) and Put option(r) 이익이발생하고있고, 헤지변동성을반대로사용할경우초과손실이발생하고있음을관찰할수있다. 이는앞장의식 (.6) 과 (.7) 을통하여알수있듯이, 추세가있을경우 ΓS 의크기가상대적으로작아지면서나타난결과로해석할수있다. 한편, Figure 3.1에서 Figure 3.5의대시선을보면수익발생비율이실현변동성 (0%) 를중심으로급격하게변하고있는데, 헤지변동성이실현변동성보다너무크거나작지않더라도수익비율이빠르게증가하는것을관찰할수있다. 위실험결과를실제헤지매매에활용한다면, 먼저실현될변동성에대한예측을한후, 추세여부에대한예상에따라예측된변동성보다더높거나작게헤지변동성을결정하면될것이다. 이때, 주가가예상과

10 196 Jeongbon Koo, Junmo Song Figure 3.4. Hedge P&L, approximated P&L, and profit ratio in upward and then downward trend: Call option(l) and Put option(r) Figure 3.5. Hedge P&L, approximated P&L, and profit ratio in downward and then upward trend: Call option(l) and Put option(r) 는반대로전개될경우헤지변동성을달리선택함으로써발생하는손실의크기또한비례해서커지므로, 추세여부에대한확신의정도나감수할수있는위험의정도에따라가감의크기를결정해야할것이다. 4. KOSPI00 자료분석주가경로의형태에따른헤지변동성별손익형태를 KOSPI00 지수분석을통하여알아보았다. 위 3장의모의실험결과, 횡보를제외한나머지추세의헤지손익의형태가거의비슷하였기때문에, 본자료분석에서는상승형태의추세장을우선고려하였다. 분석시기는 009년 8월 8일부터 010년 8월 7일까지를횡보장으로, 010년 7월 30일부터 011년 8월 1일까지를추세장 (Trend1) 으로선택하였으며, 이기간의시계열도는 Figure 4.1에나타나있다. 횡보장과추세장에서의주가가 GBM을따르는지를검정하기위하여로그수익률 (log return) 에대한 Jarque-Bera(JB) 검정과 Anderson- Darling(AD) 검정등의정규성검정을수행하였으며, 검정결과추세장에서의유의확률은 0.73(JB 검정 ) 과 0.164(AD검정 ) 로 GBM모형을적용시키기에무리가없어보이나, 횡보장의경우유의확률이 0.01미만 (JB 검정 ) 과 0.077(AD 검정 ) 으로 10% 유의수준에서귀무가설이기각되었다. 이는횡보기간중 009년 11월 7일지수가 10.77에서 00.73으로크게하락한시점의영향으로이날을제외한자료의정규성검정결과를보면유의확률이모두 0.1 이상이되어, 본분석에서는위횡보기간에도 GBM모형을적합하기로하였다. 각기간에따른검정결과및로그수익률에대한평균, 분산, 왜도

11 Study on a Hedging Volatility for ATM Plain Options 197 Figure 4.1. Time series of KOSPI00 index from January 009 to September 011 Table 4.1. Descriptive statistics for log returns and estimates of GBM Statistics for log returns mean(sd) skewness kurtosis J-B test A-D Test ˆσ ˆµ Range (0.011) [0.000] 0.67[0.077] 17.8% 8.8% Range (0.011) [0.187] 0.47[0.47] 17.1% 13.7% Trend (0.010) [0.73] 0.54[0.164] 16.1%.3% Trend (0.011) [0.000] 1.46[0.001] 17.8% 3.1% Range : Presents statistics and estimates for the data except December 7, 009. The numbers in square brackets denote p-values. Figure 4.. Results of KOSPI 00 analysis: Hedge P&L and approximated P&L in range bound(l) and trend(r) 및첨도, 그리고 GBM 모수추정결과가 Table 4.1에정리되어있다. 횡보장과추세장에서의 σ는각각 17.8% 과 16.1% 로, µ 는각각 8.8% 과.3% 으로추정되었다. KOSPI00 지수에대한헤지손익분석은만기 1년인 ATM 콜옵션에대하여수행하였으며, 내재변동성은각기간동안에실현된변동성을사용하였다. 즉, 횡보장에서는 17.8%, 추세장에서는 16.1% 를옵션거래시점에서의시장변동성으로간주하였고, 무위험이자율은 3.5% 를적용하였다. 손익분석결과는 Figure 4.에있으며, 앞장의시뮬레이션결과와마찬가지로, 횡보장에서는높은헤지변동성을, 추세장에서는낮은헤지변동성을사용할수록손익결과가좋게나타남을확인할수있다. 한편, Figure 4.의횡보장 ( 좌 ) 의 P&L* 는 009년 11월 7일의지수값을앞뒷날의중간값으로대체하여구한헤지손익으로, 실제헤지손익 (P&L) 보다더좋게나타나고있다. 이는헤저의포트폴리오 ( 옵션매도, 주식보유, MMF로구성 ) 의민감도 (sensitivity) 가델타중립 (delta neutral) 이고감마가음

12 198 Jeongbon Koo, Junmo Song 수 (short gamma) 인상태로, 큰폭의주가하락이있는경우헤지포트폴리오 ( 주식과 MMF로구성 ) 의가격이옵션가격의감소분보다더크게하락하면서발생한현상으로해석할수있다. 이와같은손실은감마의크기가클수록더커지는데, Figure 4.( 좌 ) 에서처럼헤지변동성이작을수록 ( 즉, 감마의크기가클수록 ) 헤지손익과 P&L* 의차이가커지는데서이를확인할수있다. 마지막으로, 큰폭의하락이있는경우의결과를살펴보기위하여 010년 8월 13일부터 011년 8월 1일까지의지수 (Trend) 에대한헤지손익을계산하였다. 이기간의실현변동성은 17.8% 이며, 수익률에대한정규성검정결과는모두귀무가설을강하게기각시키고있어, 이기간에서의주가는 GBM 모형을따른다고보기어렵다. 그리고, 이로인하여식 (.6) 의근사손익과실제헤지손익은추세1에비하여상대적으로큰차이가발생하고있음을관찰할수있다. 하지만, 헤지손익결과는위추세장에서와마찬가지로헤지변동성이작을수록더큰헤지이익이발생하고있음을확인할수있다. 한편, 큰폭이하락이있음에도헤지손익이위추세1에서보다좋게나타난이유는추세의실현변동성이추세1의변동성보다커서더비싼가격으로옵션이매도된것으로가정하였기때문이다. 5. 결론많은경우실무에서의헤지매매자는기초자산의과거자료와그외경제및시장지표를통해얻은정보를이용하여미래의실현변동성을예측하고, 여러가지상황들 ( 예를들면, 팀및회사의운용정책과매매자의운용성향등 ) 을고려하여예측된변동성에일정수준의값을가감하여헤지변동성을결정한다. 본논문에서는블랙-숄즈가정하에서 ATM 표준옵션의델타헤지를수행하는경우주가경로에따른헤지변동성의가감방향을제시하고자하였다. 이를위하여헤지변동성과헤지손익과의관계를고찰하였으며, 모의실험과실제자료분석을통하여그결과를살펴보았다. 식 (.6) 에따르면, 델타헤지를수행하는경우최종헤지손익은 ΓS (σh σ ) 의값에영향을받는데, ΓS 값이주가수준에따라차이가발생하므로동일한헤지변동성을사용하더라도기초자산가격의경로형태에따라헤지성과가달리나타날수있음을알수있었다.ATM 표준옵션의경우횡보장에서는높은헤지변동성을, 그외의추세장에서는낮은변동성을사용할수록손익이유리해짐을모의실험과실증분석을통하여확인할수있었다. 따라서본논문의결과를 ATM 표준옵션의헤지변동성결정과정에적용한다면, 실현될변동성에대한최선의예측을한후, 추세여부에대한예상에따라예측된변동성에일정값을가감하여헤지변동성을결정하되, 가감의크기는추세여부에대한확신의정도나감수할수있는위험의정도에따라결정하면될것이다. 마지막으로, 증권사및은행권에서꾸준히발행되고있는주가연계증권 (Equity-Linked Security, ELS) 에대한연구역시실제적인활용측면에서많은관심을갖게한다. ELS는이색옵션 (exotic option) 의구조를포함한다양한형태의구조를갖는데, 각각의구조마다감마의형태와크기가다르기때문에위표준옵션의결과를일반화할수는없다. 예를들어, 원금비보장 Step Down형 ELS의감마는음수로형성되는기간이많기때문에표준옵션과는반대의결과가예상되나, Knock-Out Call ELS의감마는음수에서시작하여만기가가까워지면서양수로변하는경우가많아구체적인관계를단언하기가어려울것으로생각된다. 따라서, 상품별헤지손익과헤지변동성과의관계는주가와만기에따른 ΓS 의상태를각각확인함으로써판단되어야할것이다. References Black, F. and Scholes, M. (1973). Economy, 81, The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political

13 Study on a Hedging Volatility for ATM Plain Options 199 Boyle, P. and Emanuel, D. (1980). Discretely adjusted option hedges, Journal of Financial Economics, 8, Cont, R. and Tankov, P. (004). Financial Modelling with Jump Processes, Chapman & Hall. Crépey, S. (004). Delta-Hedging Vega Risk?,Quantitative Finance, 5, Derman, E. (008). Dynamic Replication: Realities and Myths of Options Pricing. Available online at Dupire, B. (1994). Pricing with a smile, Risk, 9, Elder, J. (00). Hedging for Financial Derivatives, University of Oxford, PH.D. Thesis. Gatheral, J. (1999). Volatility and Hedging Error, unpublished manuscript. Available online at baruch.cuny.edu/jgatheral/hedgevolcolumbia0999.pdf. Heston, S. L. (1993). A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond currency options, Review of Financial Studies, 6, Hull, J. and White, A. (1987). The pricing of options with stochastic volatilities, Journal of Finance, 4, Kennedy, J. S., Forsyth, P. A. and Vetzal, K. (009). Dynamic Hedging under Jump Diffusion with Transaction Costs, Operations Research, 57, Primbs, J. and Yamada, Y. (008). A new computational tool for analysing dynamic hedging under transaction costs, Quantitative Finance, 4, Sepp, A. (01). An Approximate distribution of Delta-Hedging errors in a Jump-Diffusion Model with discrete trading and transaction costs, Quantitative Finance, 1,

14 00 Jeongbon Koo, Junmo Song 기초자산의추세여부에따른헤지변동성의결정에 관한연구 구정본 a 송준모 b,1 a HMC 투자증권장외파생상품팀, b 제주대학교전산통계학과 (01 년 8 월 3 일접수, 01 년 1 월 7 일수정, 013 년 1 월 4 일채택 ) 요약본논문에서는기하브라운운동 (geometric Brownian motion) 을기반으로표준옵션의델타헤지를수행하는경우, 헤지변동성의선택이헤지손익에미치는영향을재탐색하였다. 이를위하여, 헤지변동성과헤지손익과의관계를고찰하였으며, 모의실험과실증분석을통하여기초자산의추세에따라헤지변동성을달리선택하는것이최종헤지손익에유리할수있음을살펴보았다. 구체적으로, 등가격표준옵션의헤지매매시향후기초자산이횡보할것으로예상될때에는헤지변동성을상대적으로크게, 추세가형성될것으로예상될때에는비교적작게사용하는것이손익에유리하였다. 주요용어 : 헤지변동성, 등가격표준옵션, 델타헤지, 감마, 헤지오차, 헤지손익. 이논문은연세대학교경제대학원금융공학전공구정본의석사학위논문임. 1 교신저자 : ( ) 제주시제주대학로 10, 제주대학교전산통계학과, 조교수. jmsong@jejunu.ac.kr

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슬라이드 1 한국금융연수원통신연수동영상강의 금융선물옵션기초 Ⅱ 수업목적및내용 수업목적옵션가격의민감도이해옵션가격범위및풋-콜패리티이해수업내용 1. 옵션가격의민감도지표 2. 옵션가격범위 3. 풋-콜패리티 (put-call parity) 1/24 1. 옵션가격의민감도지표 - 델타 1) 델타 (delta) 델타는기초자산