918 최태훈, 최용석 협회 (KLPGA) 선수를대상으로기술요인변수군과경기성적요인변수군간의관련성을살폈고최태훈등 (2009) 은테니스그랜드슬램대회선수특성요인과경기요인에대한분석을하였다. 본연구에서는 2003 년 3 월부터 2004 년 8 월까지전국대회단체전 4 강이상입상한

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1 한국통계학회논문집 2010, 17 권, 6 호, DOI: /CKSS 일반화정준상관행렬도와프로크러스티즈분석을응용한대한테니스협회등록선수의체격요인, 체력요인및기초기술요인에대한분석연구 최태훈 a, 최용석 1,b a 안동과학대학스포츠레저과, b 부산대학교통계학과 요약 일반적으로정준상관행렬도 (canonical correlation biplot) 는정준상관분석에서두변수집단에의해서측정된다변량자료에서변수집단간의관계와개체들의관계를탐색하기위한 2 차원그림이다. 최근에이를활용하여최태훈과최용석 (2008) 은 2006 년도한국여자골프협회 (KLPGA) 선수에대한기술요인변수군과경기성적요인변수군간의관련성을살펴보았고최태훈등 (2009) 은테니스그랜드슬램대회선수특성요인과경기요인에대한분석을하였다. 더군다나세변수군이상의정준상관분석을일반화정준상관분석 (generalized canonical correlation analysis) 이라하며이와관련하여허명회 (1999, 6 장 ) 는수량화플롯을제안하고있다. 이를행렬도의의미에서일반화정준상관행렬도 (generalized canonical correlation biplot) 라하자. 본연구에서는대한테니스협회 (KTA) 에등록된남자선수들중상위 50 명의체격요인, 체력요인및기초기술요인에대한분석을일반화정준상관행렬도를적용하여살펴보고프로크러스티즈분석을통하여전체선수, 상위랭킹과하위랭킹선수간의행렬도형상비교를시도하였다. 주요용어 : 일반화정준상관분석, 행렬도, 프로크러스티즈분석. 1. 서론 일반화정준상관행렬도 (canonical correlation biplot) 는정준상관분석 (canonical correlation analysis) 에서세변수군이상에의해측정된다변량자료에서변수군간의관계와개체들의관계를탐색하기위한 2 차원그림이다. 이는일반적으로최용석 (2006, 1 장 ) 의한변수군의행렬자료에대한일반적인행렬도를세변수군의행렬자료로확장한것으로볼수있다. 국내에선 Park 과 Huh (1996a, 1996b) 가정준상관분석에서수량화방법 (quantification method) 의관점에서 2 차원그림을제안하였고이를정준상관행렬도라하였으며, 세변수집단이상인경우까지확장한정준상관분석의일반화를시도하여이를허명회 (1999, 6 장 ) 에수량화플롯으로잘요약하고있다. 일반적으로행렬도는복잡한다변량분석의결과를보다쉽게파악할수있기때문에최근여러분야에서이에대한활발한연구와응용이이루어지고있다. 행렬도는 Gabriel (1971) 에의해서개발되었고국내에선 Choi (1991) 가이것의저항버전을개발하면서처음으로소개하였고, 허명회 (1993, 5 장 ) 가국내에서 Biplot 을행렬도라처음불렀다. 더군다나최용석등 (2005a, 2005b) 은다변량분산분석모형에서행렬도의활용을제안하고응용의예를보였다. 최용석등 (2005c), Choi 등 (2005a, 2005b) 그리고 Choi 와 Kim (2008) 은군집분석을이용하여행렬도에대한활용의폭을넓혀왔다. 특히, 최근에체육분야의측정평가에서정준상관행렬도의응용을시도하여최태훈과최용석 (2008) 은한국여자골프 이논문은 2010 년교육과학기술부교육역량강화사업비에의한연구과제임. 1 교신저자 : ( ) 부산금정구장전동산 30, 부산대학교통계학과, 교수. yschoi@pusan.ac.kr

2 918 최태훈, 최용석 협회 (KLPGA) 선수를대상으로기술요인변수군과경기성적요인변수군간의관련성을살폈고최태훈등 (2009) 은테니스그랜드슬램대회선수특성요인과경기요인에대한분석을하였다. 본연구에서는 2003 년 3 월부터 2004 년 8 월까지전국대회단체전 4 강이상입상한대학, 실업팀에소속된시니어남자테니스선수들중 2004 년대한테니스협회 (KTA) 에등록된랭킹 100 위권이내의선수 50 명을대상으로일반화정준상관행렬도를통해 8 개의체격요인변수군 ( 신장, 체중, 상완장, 전완장, 수장, 상지장 / 신장비율, 전완장 / 상지장비율 ( 브로컬지수 ), 피하지반합 ( 삼두근, 견갑골하단, 이두근, 장골능, 대퇴, 하퇴 )) 과 8 개의체력요인변수군 ( 악력, 윗몸일으키기, 하버드스텝, 윗몸앞으로굽히기, 50m 달리기, 제자리높이뛰기, 눈감고외발서기, 전신반응시간 ) 그리고기초기술요인변수군 ( 그라운드스트로크, 서비스, 발리 ) 의상호연관성을살펴보려한다. 이를위해서 2 절에서세변수군에대한일반화정준상관행렬도와행렬도형상비교를위한프로크러스티즈분석을소개하고 3 절에서는실제분석의예를보이고자한다. 4 절에서는프로크러스티즈분석을활용하여전체선수와상위랭킹, 하위랭킹별행렬도의형상차이를비교하고자한다. 2. 일반화정준상관행렬도와프로크러스티즈분석 2.1. 일반화정준상관행렬도 이절에서는허명회 (1999, 6장 ) 를참고로일반화정준상관분석과관련된수량화플롯인정준상관행렬도의대수적인면을간단히요약하기로하자. 일반화정준상관분석은여러변수군사이의관계를분석하는다변량분석기법으로여기서는세변수군에한정하여설명하기로하자. 먼저 p j 개변수로이루어진 j번째변수군에의한 n개의개체에대해서측정한크기가 n p j 인표준화된자료행렬을 X j, j = 1, 2, 3라하자. 이들에의해서이루어진크기가 n p인결합자료행렬을 X = (X 1, X 2, X 3 ) 라하면 p = 3 j=1 p j이고 n > max (p 1, p 2, p 3 ) 이다. 크기가 p j 1인임의의벡터 b j, j = 1, 2, 3에의한각변수군의선형결합을 X 1 b 1, X 2 b 2, X 3 b 3 이라하면, 변수군간의상관을최대화하기위하여이들이서로유사해야한다. 이를위해서 3 3 j=1 k=1 X j b j X k b k 2 /n을최소화하는계수벡터 b j 를찾으면된다. 이는제약조건 3 j=1 bt j Xt j X jb j /n = 3을두고 3 j=1 k jb t j Xt j X kb k /n을최대화하는계수벡터 b j 를찾는것과동일하다. 이를위해서라그랑지승수법을활용하면일반화정준계수벡터와일반화정준상관을대수적으로더쉽게제공하는식 (2.1) 과같은스펙트럼분해 (spectral decomposition) D 1 2 ( X t X ) D 1 2 n = VD 1+µ V t (2.1) 를얻게된다. 여기서 D = diag(x t 1 X 1/n, X t 2 X 2/n, X t 3 X 3/n) 는크기가 p p 인블록대각행렬이고, 크기가 p r 인고유벡터 V 는직교행렬로 V t V = VV t = I p 이며 D 1+µ = diag (1 + µ 1,..., 1 + µ r ) 은 1 + µ µ r 관계를갖는고유값을대각원소로하는대각행렬이다. 일반화정준상관분석에서특히, k 번째일반화정준상관 µ k /2 에대응하는일반화정준계수벡터는 b jk = 3D 1/2 v jk, j = 1, 2, 3, k = 1,..., r 이다. 이들에의해서 s 차원의일반화정준상관행렬도를위한좌표는각변수군의자료행렬 X j, j = 1, 2, 3 에대하여행좌표행렬과열좌표행렬은 R X j = X j B j(s) D 1 2 µ(s), C X j = B j(s) D 1 2 µ(s), j = 1, 2, 3 (2.2) 이고여기서 B j(s) = (b j1,..., b js ) 는크기가 p j s 인일반화정준계수행렬이고, D µ(s) = diag(µ 1,..., µ s ) 는 µ 1 µ s 관계를갖는 µ k, k = 1,..., s 를대각원소로하는대각행렬이다.

3 일반화정준상관행렬도와프로크러스티즈분석 919 식 (2.2) 에서제공되는 s 차원의일반화정준상관행렬도의근사도는 s k=1 λ k rk=1 λ k 100% 이고여기서 λ k = (µ k /2) 2, k = 1,..., r 이다 프로크러스티즈분석 프로크러스티즈분석 (procrustes analysis) 이란기하적공간상에서형상점 (landmarks) 에의해서나타낸개체들의형상을측정하고, 기술하며비교하는형상분석 (shape analysis) 에서개체간의형상비교를하기위해한개체를다른개체쪽으로적합시키는방법이다 ( 최용석과현기홍, 2006; Choi 등, 2005a, 2005b; 최태훈등, 2009). 이분석에대한알고리즘을최태훈등 (2009) 의것을재인용하기로하자. X r 과 X s 를개체간의형상을나타내는크기가 k m 인중심화형상좌표행렬이라하면벡터 t 와직교행렬 R 에의해서 X r 의 l 번째점 x r(l) 의좌표점을변환한 Rx r(l) + t 을고려하자. 그러면 X s 의 l 번째점 x s(l) 과 Rx r(l) + t 간의제곱거리합 k ( xs(l) Rx r(l) t ) T ( xs(l) Rx r(l) t ) (2.3) l=1 을생각할수있다. 식 (2.3) 을최소화하는 R 과 t 를찾는것이두형상 X r 과 X s 가잘일치되도록하게하는정보를제공한다. 실제로비정칙치분해 (singular value decomposition) X r T X s = UΛV T 를이용하여 R = VU T 과 ˆt = 0 를제공받을수있고이를이용하여두형상의일치성을평가하는측도 (measure) 인프로크러스티즈통계량 PS (X r, X s ) = tr ( X T r X r ) + tr ( X T s X s ) 2tr (Λ) (2.4) 을얻을수있다. 식 (2.4) 의프로크러스티즈통계량값이 0 이면두형상이일치한다고평가할수있다. 3. 테니스선수의체격요인, 체력요인, 기초기술요인분석 3.1. 전체자료비교 2 절에서요약한일반화정준상관분석행렬도를응용하기위한자료는 2003 년 3 월부터 2004 년 8 월 15 일전까지전국대회단체전 4 강이상입상한대학, 실업팀에소속된시니어남자테니스선수들중 2004 년대한테니스협회 (KTA) 에등록된랭킹 100 위권이내의선수 50 명에대한체격요인변수군, 체력요인변수군과기초기술요인변수군으로이루어진세변수군에의해측정된것이다. 이미최태훈 (2004) 은이자료에대해서요인분석과경로분석을통해세요인변수군간에관계를살펴본바있다. 그러나이연구는세요인변수군에대하여두요인변수군별로짝을지어비교하고있어이들을동시에비교하는방법이요구된다. 본연구에서는최근 2 절에서설명한세변수군이상의경우에대한일반화정준상관행렬도를통해시각적으로세요인변수군간의관계를동시에규명하는새로운방법을시도하려한다. 본연구에서는최태훈 (2004) 의분석을통해중요한 8 개의체격요인변수군 ( 신장, 체중, 상완장, 전완장, 수장, 상지장 / 신장비율, 전완장 / 상지장비율, 피하지방합 ) 과 8 개의체력요인변수군 ( 악력, 윗몸일으키기, 하버드스텝, 윗몸앞으로굽히기, 50m 달리기, 제자리높이뛰기, 눈감고외발서기, 전신반응시간 ), 그리고기초기술요인변수군 ( 그라운드스트로크, 서비스, 발리 ) 인세변수군을고려하기로하자.

4 920 최태훈, 최용석 (a) 체격요인변수군 (b) 체력요인변수군 (c) 기초기술요인변수군 (d) 전체선수개체 그림 1: 전체자료에대한일반화정준상관행렬도 이러한체격, 체력, 기초기술의측정항목들은테니스선수들을대상으로가장일반적으로사용되는측정항목들로특정스포츠종목에적합한이상적인체격등이존재한다면동일한훈련, 생리적인능력을가진선수들을설명하는데해당종목에참가하는선수의체격등의그자체로설명될수있을것이다. 먼저그림 1 의 (a), (b), (c) 는전체선수자료에대한각각체격요인변수군, 체력요인변수군, 기초기술요인변수군에대한 2 차원일반화정준상관행렬도이고 (d) 는 (c) 기초기술요인변수군에의한전체선수의행렬도이다. 제 1, 2, 3 일반화정준상관이 0.65, 0.47, 0.36 으로근사도에서제 1 과제 2 정준축이 54% 와 29% 로따라서전체적합도는 83% 로 2 차원행렬도가원자료를잘설명함을나타내고있다. 그림 1(d) 기초기술변수요인에대한전체선수개체에대한행렬도로제 1 정준축 (dim1) 을중심으로오른편에상위랭킹선수들이포진해있고왼편이하위랭킹선수들이포진해있다. 이러한경향은 (a) 체격요인변수군과 (b) 체력요인변수군에대해서도같은결과를제공하므로이들은생략하였다. 일반적으로정준상관행렬도에서는변수군간비교를통해변수들의연관성을파악하는것이주된것이나개체군집과의관련성을살펴보는것도탐색적분석관점에서요구되는점이다. 실제로 (d)

5 일반화정준상관행렬도와프로크러스티즈분석 921 (a) 상위랭킹선수자료 (b) 하위랭킹선수자료 그림 2: 랭킹별체격요인변수군과선수개체에대한일반화정준상관행렬도 전체선수개체행렬도와변수군행렬도 (a), (b), (c) 를서로비교하여상위랭킹과하위랭킹선수들의특성을파악하려한다. 그림 1(a) 체격요인변수군의행렬도에서제 1 정준축 (dim1) 은왼편에는신장 ( 신장 (1) 과상지장 / 신장 (6)) 과오른편에는팔과손의길이 ( 상완장 (3), 전완장 (4), 수장 (5), 전완장 / 상지장 (7)) 를잘구분하고있다. 그림 1(b) 체력요인변수군의행렬도제 1 정준축은오른편에전문체력 ( 악력 (1), 하버드스텝 (3), 윗몸앞으로굽히기 (4), 눈감고외발서기 (7), 전신반응시간 (8)) 을나타내는변수와왼편에는순발력 ( 제자리높이뛰기 (6), 50m 달리기 (5), 윗몸일으키기 (8)) 을나타낸다. 그림 1(c) 기초기술요인변수군의행렬도에서제 1 정준축의오른편에그라운드스트로크 (1), 서비스 (2), 발리 (3) 세가지모두있어기초기술을나타내는축이다. 지금까지살펴본전체행렬도 (a), (b), (c), (d) 를비교요약하자면 (a) 체격요인변수군에서팔과손의길이 ( 상완장 (3), 전완장 (4), 수장 (5), 전완장 / 상지장 (7)) 는 (b) 체력요인변수군에서전문체력 ( 악력 (1), 하버드스텝 (3), 윗몸앞으로굽히기 (4), 눈감고외발서기 (7), 전신반응시간 (8)) 을나타내는변수와 (c) 기초기술요인변수군의모두와연관성이높으며특히, 이들은 (d) 전체선수에서상위랭킹선수들에게요구되는요인변수들임을알수있다. 특히, 최태훈 (2004) 에서는상위랭킹과하위랭킹선수간차이를잘드러내는영향력있는변수로체격요인변수군에서상완장, 전완장, 상지장 / 신장비율, 전완장 / 상지장비율을, 체력요인변수군에서는악력, 하버드스텝, 윗몸앞으로굽히기, 제자리높이뛰기, 눈감고외발서기를, 기초기술요인변수군에서는그라운드스로크, 서비스, 발리세변수모두가해당됨을보여주고있다. 이는일반화정준상관행렬도의결과와일치하며더군다나이들모두는상위랭킹에서높은수치를나타내는중요한요인변수임을보여주고있다 랭킹별비교 테니스선수들의상위랭킹 (25 명 ) 과하위랭킹 (25 명 ) 에대한체격요인변수군, 체력요인변수군, 기초기술요인변수군의일반화정준상관행렬도를통한차이를비교하기로하자. 그림 2 는체격요인변수군에대한 (a) 상위랭킹선수자료와 (b) 하위랭킹선수자료의일반화정준상관행렬도이다. 이들 2 차원행렬도에대한전체적합도는각각 77% 와 81% 로원자료를잘근사하고있고이는일반화정준상관행렬도의특성상그림 3 체력요인변수군과그림 4 기초기술요인변수군의행렬도의적합도이기도하다.

6 922 최태훈, 최용석 (a) 상위랭킹선수자료 (b) 하위랭킹선수자료 그림 3: 랭킹별체력요인변수군에대한일반화정준상관행렬도 (a) 상위랭킹선수자료 (b) 하위랭킹선수자료 그림 4: 랭킹별기초기술요인변수군에대한일반화정준상관행렬도 먼저상위랭킹선수자료와하위랭킹선수자료의체격요인변수군에대한일반화정준상관행렬도그림 2 의 (a) 와 (b) 에서제 1 정준축에대한해석은그림 1(a) 와대동소이하며이축은왼편에는신장 ( 신장 (1) 과상지장 / 신장 (6)) 과오른편에는팔과손의길이를잘구분하고있다. 특히, 신장 (1) 과상지장 / 신장 (6), 상완장 (3) 과수장 (5) 은각각랭킹에관계없이매우상관이높은변수들이다. 다만, 상위랭킹에서왼편의전완장 (4) 이하위랭킹에서좌편의전완장 / 상지장 (7) 이영향을미치는중요변수로여겨진다. 다음으로상위랭킹선수자료와하위랭킹선수자료의체력요인변수군에대한일반화정준상관행렬도그림 3 의 (a) 와 (b) 에서제 1 정준축은각각그림 1(b) 와대동소이하여오른편에전문체력 ( 악력 (1), 하버드스텝 (3), 윗몸앞으로굽히기 (4), 눈감고외발서기 (7), 전신반응시간 (8)) 을나타내는변수와왼편에는순발력 ( 제자리높이뛰기 (6), 50m 달리기 (5), 윗몸일으키기 (8)) 을나타낸다. (a) 상위랭킹에서는주로왼편의순발력보다는오른편의전문체력이중요한요인변수들이고 (b) 하위랭킹에서는그반대의경우이다.

7 일반화정준상관행렬도와프로크러스티즈분석 923 표 1: 행렬도의형상비교를위한프로크러스티즈통계량 체격요인 체력요인 기초기술요인 전체 상위 하위 전체 상위 하위 전체 상위 하위 전체 상위 하위 그림 4 는기초기술요인변수군에대한 (a) 상위랭킹선수자료와 (b) 하위랭킹선수자료의일반화정준상관행렬도이다. (a) 의상위랭킹의경우제 1 정준축이그림 2(c) 와같이오른편에그라운드스트로크 (1), 서비스 (2), 발리 (3) 세가지모두있어기초기술을나타내는축으로해석이된다. 그러나 (b) 하위랭킹의경우제 1 정준축은왼편의발리 (3) 와오른편 ( 그라운드스로크 (1), 서비스 (2)) 를구분하는축으로해석이가능하며발리 (3) 가하위랭킹선수들에게는특징적인요인변수임을보여주고있다. 특히, 상위랭킹에서는서비스와발리가하위랭킹에서는그라운드스트로크와서비스가서로상관이높음을보여주고있다 행렬도의형상비교를위한프로크러스티즈분석 다음으로표 1 은지금까지살펴본체격요인변수군, 체력요인변수군, 기초기술요인변수군별전체자료, 상위랭킹, 하위랭킹행렬도의형상을비교하기위한프로크러스티즈통계량을제공하고있다. 먼저체격요인변수군에서전체자료와하위랭킹의행렬도가통계량 로제일변동 (variability) 이적게나타났는데이는그림 2(a) 상위랭킹의경우중요한팔과손의길이요인변수인상완장 (3) 과수장 (5), 전완장 / 상지장 (7) 의분산이상대적으로커서그림 2(b) 하위랭킹보다더중요한요인변수로작용했기때문이다. 체력요인변수군의행렬도비교에서는상위랭킹과하위랭킹간에다소변이가인정되는데이는상위랭킹에중요한요인변수인전문체력 ( 악력 (1), 하버드스텝 (3), 윗몸앞으로굽히기 (4), 눈감고외발서기 (7), 전신반응시간 (8)) 의경향과분산이하위랭킹에서다소다른양상을보여주고있기때문이다. 기초기술요인변수군에서는전체선수와상위랭킹는상대적으로전체선수와하위랭킹, 상위랭킹과하위랭킹에비해변동이적다. 이는그림 1(c), 그림 4(a) 와 (b) 의비교에서살펴본내용과일치한다. 4. 결론 2004 년대한테니스협회 (KTA) 에등록된랭킹 100 위권이내의남자선수 50 명을대상으로일반화정준상관행렬도를통해체격요인변수군과체력요인변수군그리고기초기술요인변수군의일반화정준상관행렬도는이들세변수군간의연관성을동시에그림으로잘보여주었다. 특히, 랭킹별행렬도분석에서는상위랭킹에서는체격요인변수군의경우상완장, 수장이영향을미치는중요변수로여겨지며, 체력요인변수군에서는전문체력 ( 악력, 하버드스텝, 윗몸앞으로굽히기, 눈감고외발서기, 전신반응시간 ) 관련변수가, 기초기술요인변수군에서는그라운드스트로크, 서비스와발리가매우중요하며특히, 서비스와발리가상관이매우높음을보여주고있다. 이러한행렬도상에서살펴본각변수군연관성형상차이점을프로크러스티즈분석을이용한행렬도의형상비교를통해유사한경향을살펴보았다. 참고문헌 최용석 (2006). < 행렬도분석 >, 기초과학총서 2 권, 부산대학교기초과학연구원.

8 924 최태훈, 최용석 최용석, 강창완, 김경덕 (2005c). 명목형다항반응로지스틱회귀모형의행렬도분석, Journal of The Korean Data Analysis Society, 7, 최용석, 현기홍 (2006). < 통계적형상분석의이해와응용 - 프로크러스티즈분석의저항성버전연구및개발 ->, 자유아카데미, 서울. 최용석, 현기홍, 정수미 (2005a). 다변량분산분석에서추정된모수행렬의행렬도, Journal of The Korean Data Analysis Society, 7, 최용석, 현기홍, 정수미 (2005b). MANCOVA Biplot, < 한국통계학논문집 >, 12, 최태훈 (2004). 테니스선수의체격, 체력, 기초기술과랭킹간의관계, 국민대학교, 박사학위논문. 최태훈, 최용석 (2008). 정준상관행렬도와군집분석을응용한 KLPGA 선수의기술과경기성적요인에대한연관성분석. < 응용통계연구 >, 21, 최태훈, 최용석, 신상민 (2009). 테니스그랜드슬램대회의선수특성요인과경기요인에대한분석연구 - 정준상관행렬도와프로크러스티즈분석의응용 -, < 응용통계연구 >, 22, 허명회 (1993). < 統計相談의이해 >, 자유아카데미, 서울. 허명회 (1999). < 다변량수량화 >, 자유아카데미, 서울. Choi, Y. S. (1991). Resistant Principal Component Analysis, Biplot and Correspondence Analysis, Unpublished Ph.D. Dissertation, Department of Statistics, Korea University. Choi, Y. S., Hyun, G. H. and Kim, J. G. (2005a). A numerical comparison of map variability in SCA Using the Procrustes Analysis, Journal of the Korean Data Analysis Society, 7, Choi, Y. S., Hyun, G. H. and Yun, W. J. (2005b). Biplots variability based on the Procrustes analysis, Journal of the Korean Data Analysis Society, 7, Choi, Y. S. and Kim, H. Y. (2008). Applications of cluster analysis in biplots, The Korean Communications in Statistics, 15, Gabriel, K. R. (1971). The biplot graphics display of matrices with applications to principal component analysis, Biometrika, 58, Park, M. and Huh, M. H. (1996a). Canonical correlation biplot, The Korea Communications in Statistics, 3(1), Park, M. and Huh, M. H. (1996b). Quantification plots for several sets of variables, Journal 1973of the Korea Statistical Society, 25, 년 10 월접수 ; 2010 년 10 월채택

9 925 A Study on the Relationship between Physique, Physical Fitness and Basic Skill Factors of Tennis Players in the Korea Tennis Association Using the Generalized Canonical Correlation Biplot and Procrustes Analysis Tae-Hoon Choi a, Yong-Seok Choi 1,b a Department of Sport and Leisure Studies, Andong Science College b Department of Statistics, Pusan National University Abstract The canonical correlation biplot is a 2-dimensional plot for graphically investigating the relationship between two sets of variables and the relationship between observations and variables in the canonical correlation analysis. Recently, Choi and Choi (2008) suggested a method for investigating the relationship between skill and competition score factors of KLPGA players using this biplot. Choi et al. (2010) used this biplot to analyze the player characteristic factors and competitive factors of tennis Grand Slam competition. Moreover, Huh (1999) provided a generalized canonical correlation analysis and biplot for more than three sets of variables. A Procrustes analysis is a useful tool for comparing shapes between configurations. This study will provide a method to investigate the relationship between physique, physical fitness and basic skill factors of tennis players in the Korea Tennis Association using a generalized canonical correlation biplot and Procrustes analysis. Keywords: Biplot, generalized canonical correlation analysis, tennis players, Procrustes analysis. This work was supported by the College Education Capacity Reinforcement Grant 2010 of Ministry of Education, Science and Technology. 1 Corresponding Author: Professor, Department of Statistics, Pusan National University, Busan , Korea. yschoi@pusan.ac.kr

Vector Differential: 벡터 미분 Yonghee Lee October 17, 벡터미분의 표기 스칼라미분 벡터미분(Vector diffrential) 또는 행렬미분(Matrix differential)은 벡터와 행렬의 미분식에 대 한 표

Vector Differential: 벡터 미분 Yonhee Lee October 7, 08 벡터미분의 표기 스칼라미분 벡터미분(Vector diffrential) 또는 행렬미분(Matrix differential)은 벡터와 행렬의 미분식에 대 한 표기법을 정의하는 방법이다 보통 스칼라(scalar)에 대한 미분은 일분수 함수 f : < < 또는 다변수 함수(function