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1 정책연구 외국의수학교육현황조사연구 A study on current status of mathematics education around the world 이보고서는 2011년도교육과학기술부의재원으로 한국과학창의재단의지원을받아수행된성과물임.

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3 제출문 한국과학창의재단이사장귀하 본보고서를 " 외국의수학교육현황조사연구" 의최종보고서로제출합니다. 2012년 5월 21일 연구기관명 : 대한수학교육학회 연구기간 : ~ 연구책임자 공동연구원 연구보조원 : 류희찬( 한국교원대학교) : 이광호( 한국교원대학교) 강윤수( 순천대학교) 박선용( 영남대학교) 신인선( 한국교원대학교) 신재홍( 한국교원대학교) : 강혜영( 광주두암초등학교) 김규상( 서울잠신고등학교) 김남희( 강원묵호여자중학교) 김성문( 한국교원대학교대학원) 김신영( 대전여자고등학교) 성창근( 광주큰별초등학교) 윤은정( 경기양평초등학교) 이효진( 강원근화초등학교) 장은하 ( 서울신강초등학교 )

4 < 자문진및검토진 > 미국 Kyung Mi Choi 김진환 박형빈 손홍찬 신준국 이대현 조완영 권보영 김수미 ( 영남대학교수학교육과) ( 목포대학교수학교육과) ( 전북대학교수학교육과) ( 충남대학교수학교육과) ( 광주교육대학교수학교육과) ( 충북대학교수학교육과) ( 대구매동초등학교) ( 청주경덕중학교) 싱가포르프랑스중국인도 (University of Iowa) Gail Burrill (Michigan State University) Tin Lam Toh (National Institute of Education) Bernard Parzysz (Université Paris-Diderot) Shiqi Li (East China Normal University) K. Subramaniam (Tata Institute of Fundamental Research) 조정수 ( 영남대학교수학교육과) 허만성 ( 한국카이시스템) 김지희 ( 여수진성고등학교)

5 머리말 최근수학의중요성이어느때보다도더강조되고있어각나라들은수학교육의발 전을위해각고의노력을기울이고있으며우리나라또한예외는아니다. 하지만현재 많은학생들이수학을포기하고있으며수학교육의사교육의존도가갈수록높아감을 통해현재우리나라수학교육에문제점들이있음을간접적으로시사해주고있다. 이에 교육과정을개정하고수학공교육강화방안을제시하는것등은우리나라수학교육의미 래를밝게만드는것이라볼수있다. 수학공교육을강화하기위해다양한방법들이제 시되고시행되고있으나우리나라수학공교육의문제를먼저정확하게인식하고그해결 방안을제시하는것이중요하다. 먼저우리나라수학공교육실체를정확하게인식하고해결방안의적절성을따져보기 위해서는다각적인시각이필요하다. 본연구에서는 9개수학교육선진국사례를통해 최근의외국수학교육동향을파악하고시사점을찾아보았다. 즉우리나라수학공교육실 태및문제점, 해결방안등을바라보는또다른시각을마련하였다고볼수있다. 또한 수학교육을수학교육과정, 교과서, 평가, 교수 학습방법, 교사연수영역으로나누어살 펴봄으로써우리나라및외국의수학교육을체계적으로살펴보고비교할수있는틀을 마련하였다. 이에본연구의결과가우리나라수학공교육강화방안수립에귀중한자료 로활용될수있기를기대한다. 마지막으로본연구가진행되는동안아낌없는조언을해주신국내외자문진과많은 어려움에도불구하고본연구를잘마무리해준연구진에게깊은감사의말씀을드린다. 2012년 2월대한수학교육학회회장류희찬

6 연구요약 본연구의목적은수학교육시스템전반에대한국내및국외자료를수집및비교분 석하여글로벌수학교육흐름을파악하고우리나라수학공교육강화방안을수립하는데 도움을주기위함이다. 연구내용및범위는다음과같다. 첫째, 우리나라학교수학교육전반에대한실태를알아본다. 즉수학과교육과정, 교 과서, 교사연수, 평가, 교수 학습방법등 5가지영역으로구분하여실태를조사하고우 리나라의특징및문제점이무엇인지살펴본다. 둘째, 수학교육선진국의학교수학교육 실태및특징을알아본다. 미국, 독일, 싱가포르, 인도, 중국( 상하이), 프랑스, 핀란드, 호주, 홍콩등 9개나라를선정하여위다섯가지영역별로실태를조사하고특징을파 악한다. 셋째, 우리나라수학공교육강화방안에의시사점및적용가능성을살펴본다. 이상의연구목적을달성하기위해다음과같은연구방법을사용하였다. 첫째, 문헌 분석을통하여우리나라의실태및외국의실태를조사하고특징을살펴보았다. 둘째, 우리나라와외국의특징적인사례들을찾아분석하였다. 셋째, 국내외학자의자문및 협의회, 검토를통하여연구의자료수집에대한도움을얻고우리나라실태및외국실 태, 수학공교육강화방안에의시사점등이적절한지등에대한조언을얻었다. 이를통한연구결과는다음과같다. 우리나라교육과정측면에서, 수학적창의성강조, 수학적과정의강화, 수학교과내 용의 20% 경감, 학년군제를염두해둔학년별제적용들을강조하고있음을알수있었 다. 교과서측면에서교과서제작및활용실태등을검토한결과타교과와의연결성, IT 기기의활용, 사진자료, 교과서속의스토리, 다양한컨텐츠, 교사에게제공되는수업 자료의양이부족하다는것을찾을수있었다. 수학교사연수측면에서실태를분석한결 과연수참여율이낮고연수내용이부실하며초등수학교사연수가활성화되어있지않 다는것을찾을수있었다. 평가측면에서우리나라실태를분석한결과교육과정에는이 상적인평가의모습을잘제시하고있지만학교평가가선다형및단답형의지필평가위 주로이루어지고대학수학능력시험에서도교육과정의평가지침이반영되지않고있음을

7 찾을수있었다. 교수 학습방법측면에서는창의중심수학과교육과정을강조하고있는 데창의성은무엇인지, 창의성을강조하는새교육과정의목표를달성하기위해어떻게 해야하는지등이제시되지않았으며수학적창의성에대한선행연구들을검토한결과, 확산적사고와동일시하는영역-일반적입장과수학적창의성을일반화와추상화등의 수학적능력과동일시하는영역특수성의양극단을좀더포괄적이고통합적인관점에 서접근할필요가있음을알수있었다. 우리나라의수학교육을강화하기위해현재의부족한점을보완하고잘되고있는것 을꾸준히지원해줄수있는구체적인사례들을미국, 독일, 싱가포르, 인도, 중국( 상하 이), 프랑스, 핀란드, 호주, 홍콩등 9 개수학교육선진국에서찾아보았다. 첫째, 교육과정측면에서미국은주제를일찍도입하여반복제시하고구체적인지도 사례를언급하고있었고중국은교육과정재구성이용이한광역적인교육과정을편성하 고있었다. 인도는공식유도과정에서의논리적사고와증명을강조하는교육과정을운 영하고있었고프랑스는의사소통능력의발달에비중을두는교육과정, 독일은상호작 용에의한문제중심활동을강조하고교과내통합뿐만아니라학년별로여러교과간의 통합교육을강조하는교육과정을운영하고있었다. 핀란드는수학학습을통해갖추기를 요구하는수학적능력을명시하고있었다. 둘째, 교과서측면에서살펴보면, 미국교과서는많은일상소재를제공하고컴퓨터나 그래픽계산기의활용및실험활동을담고있었고싱가포르교과서는적은주제를다양 한예제와깊이있는내용으로제공하고있었다. 핀란드교과서는대단원마다 1~2개정 도의주제를타교과와연결지어지도하고학습용 CD를제공하며영역별실생활문제를 해결하는 2~4 차시가있었다. 프랑스교과서는놀이및이야기를통한학습이눈에띄었 고인도교과서는인도수학의우수성을알리는내용을수록하고학습내용과관련된많 은예제를수록하고있었다. 셋째, 교사연수측면에서미국은연수이수시간에근거하여교원자격증을갱신하고있 었고단위학교위주의연수가활성화되었으며공학관련연수가강조되고있었다. 핀란 드는지방정부에서연수비를제공하고있었고독일은주단위의연수가활성화되어있었 는데재교육에대한평가가이루어지고있었다. 중국은초등교사를위한수학연수가잘 되어있었고연수가의무화되어있었다. 싱가포르에서도연수가의무화되어있었고연 수로드맵을통해연수접근을용이하게하고있었다. 호주는 6개월혹은 1년의장기연 수를실천하고있었다. 넷째, 평가측면에서미국은채점기준과채점자의신뢰성을확보하면서서술형주관식 을채점하고있었다. 싱가포르는문제유형, 배점, 시험시간, 수학공식집에서차이를두 며수준별평가지를체계적으로구성하고평가에서계산기를단계적으로허용하고있었 다. 프랑스는정답이아닌수준달성여부를판단하여채점하고있었다. 독일은내용학 명칭을그대로중앙아비투어의수학시험과목명칭으로사용하고있었고아비투어에서수 학공식집과계산기사용이가능하였으며주관식문제출제와풀이과정을중시하여채점

8 하고있었다. 핀란드는주관식문제로만출제하고풀이과정을고려한부분점수를주고 있었으며요구하는내용에차이를두고수준별평가지를만들었다. 또한학습참여도와 학습태도를평가에반영하고있었고학교현장에서는학생의성취수준을판단하는 10점 만점의단순한점수체계를갖고있었다. 호주는중학교평가에서계산기가허용되는시 험과그렇지않은시험을나누어실시하고학생들의학습량및난이도에따른 4종류의 HSC 수학평가가있었는데, 이평가는주관식위주로문제가출제된다. 또한 HSC 수학평 가는계산기사용이허용되고수학공식집이제공되고있었다. 여러나라들의특징들을종합해서본연구에서는다음과같이수학공교육강화방안에 의시사점을제시하였다. 첫째, 교육과정측면에서지적호기심을자극할수있는수학과교육과정을운영, 학 습자주도적인분위기를형성할수있는수학과교육과정의운영, 학생들에게흥미와관 심을불러일으킬수있는실생활과밀접한수학적활동및문제해결과정에서공학도구 활용을강조한수학과교육과정운영을통해수학적창의성발현을돕기위한교육과정 운영환경을조성할필요가있다. 개념학습에기초한문제해결교육을강조하는수학과 교육과정운영을통해수학적과정을강조할수있다. 교육과정내용영역의통합및분 리, 학습내용을자유롭게구성할수있는교과서제작을통해교육과정의체제에서학년 군제를염두해둔학년별제를적용할수있다. 둘째, 교과서측면에서 IT 기기를사용한실험활동, 학습용소프트웨어제공, 수학학습 을돕는웹사이트를통해학생들의수학적활동을강화할수있다. 실생활소재제시, 타교과와의연결성을강조함으로써스토리텔링형교과서를구현시킬수있다. 셋째, 교사연수측면에서접근방법의개선, 연수참여여건조성을통해연수참여율 을높일수있다. 선택과집중, 수학내용학과수학교육학의융합, 연수기관과강사의관 리를통해연수내용을개선할수있다. 초등수학교사만을위한연수개설, 초등학교 수학관련연수의의무화를통한초등수학교육연수를강화시킬수있다. 넷째, 평가측면에서평가지신뢰도높이기, 채점자신뢰도높이기, 채점방법신뢰도 높이기를통해서술형주관식평가를활성화시킬수있다. 계산기활용, 수학공식집과 같은도구를활용하여수학적문제해결과정을평가의중심에놓을수있다. 인지적영역 의평가결과에 1점을더하거나빼는방식으로정의적영역평가를실질적으로추진할수 있다. 문제유형, 배점비율등의차이를통해수준별평가지를구성할수있다. 다섯째, 교수 학습방법측면에서개념의의미를해석하고이해하는학습경험제공, 자신의이해와해석을설명하고정당화하는기회제공, 현상을그래프나표로표상하고 그러한표상을언어적, 기호적으로번역하고해석하는학습경험제공이필요하고여러 가지수학적개념을통합하여해결할수있는문제해결경험을제공하며절차( 연산) 의 의미와계산수행의이유를설명하는기회를제공하는수업이이루어져야한다. 또한일 상생활과타분야내용을수학학습내용의소재로적극도입하고또한적용하는기회를 제공하는수업, 수학적문제해결에서진정성있는과제활용이필요하다.

9 수학교육선진국들의다양한사례속에서얻은시사점을통해우리나라수학교육을강 화하기위해다음과같은결론을내렸다. 교육과정의내실있는운영을위해서는교육과정운영과관련된구체적인사례를제 시할필요가있다. 교과서활용이효과적으로이루어지기위해서는교과서에 IT기기를 활용한실험활동이나탐구활동을늘리고학생들에게학습용소프트웨어를제공함으로써 학생들의수학적활동을강화하고, 실생활과관련된소재나문제들, 학생들의흥미를끌 수있는스토리를다양하게수록하고실제사진이나자료들을첨가시킴으로써생동감있 는교과서를구성할필요가있다. 교사의전문성을키워주는교사연수가잘운영되기위 해서는현재까지잘이루어지지않았던수학내용학과수학교육학의융합, 초등수학교육 연수강화등을통해초 중 고등학교수학교사들의전문성을향상시키는것이우선이며 연수에쉽게접근할수있는연수로드맵을제공해야한다. 평가를잘하기위해서는공 학적도구를사용하고다양한평가방법을활용하라는지침만으로는부족하다. 반드시평 가는교수 학습방법과관련해서이루어져야하며, 이것을성공적으로학교현장에뿌 리내리기위해서는예비교사교육과교사연수를통해교사들의평가전문성을키우는것이 선행되어야한다. 창의성신장을위한교수 학습방법을실천하기위하여창의성발현을 위한심리적공간( 다양한수학적교구를활용하여수학적문제해결활동및수학적추론, 의사소통이이루어질수있는충분한시간의확보) 이요구되며, 교사역시학생의창의 적인생각을존중하고창의적인학교문화를형성하고자하는창의적인교사가될수있 도록지원해야한다. 교육과정, 교과서, 교수 학습방법, 평가등을모두아우르는것은교사이며그런 면에서학교교육에서수학교육이이루어지는한수학공교육강화방안의핵심은교사교 육에있다고할수있다. 본연구는우리나라및외국의수학교육동향을교육과정, 교과서, 교사연수, 평가, 교수 학습방법등다각도로접근하여최근의수학교육동향들을전반적으로파악하여수 학공교육강화방안에의시사점을도출하였다. 반면, 본연구는수학교육동향을파악하 는기초연구로서향후에는우리나라에벤치마킹할부분에대해외국현지에서의질적사 례연구를바탕으로적용가능성및수정사항등이논의되어야할것이다.

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12 표차례 < 표 Ⅰ -1> 교육과정영역연구내용 9 < 표 Ⅰ -2> 교과서영역연구내용 9 < 표 Ⅰ -3> 교사연수영역연구내용 10 < 표 Ⅰ -4> 평가영역연구내용 10 < 표 Ⅰ -5> 교수 학습방법영역연구내용 11 < 표 Ⅰ -6> 1차선정된 20개수학교육선진국 13 < 표 Ⅰ -7> 최종선정된 9개수학교육선진국 13 < 표 Ⅰ -8> 국제지표로본우리나라수학교육수준 14 < 표 Ⅰ -9> 국제지표로본핀란드수학교육수준 14 < 표 Ⅰ -10> 국제지표로본호주수학교육수준 15 < 표 Ⅰ -11> 국제지표로본싱가포르수학교육수준 15 < 표 Ⅰ -12> 국제지표로본독일수학교육수준 16 < 표 Ⅰ -13> 국제지표로본미국수학교육수준 16 < 표 Ⅰ -14> 국제지표로본프랑스수학교육수준 16 < 표 Ⅰ -15> 국제지표로본홍콩( 중국) 수학교육수준 17 < 표 Ⅰ -16> 국제지표로본중국( 상하이) 수학교육수준 17 < 표 Ⅰ -17> 국제지표로본인도수학교육수준 18 < 표 Ⅰ-18> 분과구성현황 19 < 표 Ⅰ -19> 전문가협의회논의내용 21 < 표 Ⅱ -1> 2011개정중학교수학의주요변화내용 31 < 표 Ⅱ -2> 2011개정고등학교수학과교과목변화 32 < 표 Ⅱ -3> 2011개정고등학교수학의주요변화내용 34 < 표 Ⅱ -4> 우리나라의교과서제도 38 < 표 Ⅱ-5> 수학수업에서수학교과서활용빈도 40 < 표 Ⅱ -6> 수학수업에서보조학습자료활용빈도 41

13 < 표 Ⅱ -7> 수학관련연수에참여한교사비율 44 < 표 Ⅱ -8> 수학관련연수를받지못한이유 44 < 표 Ⅱ -9> 2010 광주교육청자격연수 45 < 표 Ⅱ -10> 2010 광주교육청직무연수 45 < 표 Ⅱ -11> 중등 1급정교사자격연수전공영역의교과목및시수 48 < 표 Ⅱ -12> 수학교사들이바라는연수의방향 49 < 표 Ⅱ -13> 2011 영재담당교원심화연수일정 51 < 표 Ⅱ -14> 2011 여름교사연수세부일정표예시 53 < 표 Ⅱ -15> 2007개정과 2009개정교육과정의평가지침비교 55 < 표 Ⅱ -16> 수리영역연도별시험체제변화 62 < 표 Ⅱ -17> 수리영역출제과목및이수단위변화 64 < 표 Ⅱ -18> 2014학년도수능의영역별문항수및시험시간 65 < 표 Ⅱ -19> 수학과수준별평가의변화내용 65 < 표 Ⅲ -1> 홍콩의학제 86 < 표 Ⅲ -2> 핀란드수학교육과정내용영역 92 < 표 Ⅲ -3> 한국, 일본, 미국교과서화보의표현형태 99 < 표 Ⅲ-4> 한국, 일본, 미국, 프랑스교과서의질문수 100 < 표 Ⅲ-5> 한국과미국교과서의기하단원비교 100 < 표 Ⅲ-6> 한국과미국교과서의로그의성질 101 < 표 Ⅲ -7> 한국과미국교과서의지표와가수 101 < 표 Ⅲ -8> 미국 MiC 교과서와한국교과서의통계단원의내용 101 < 표 Ⅲ -9> 한국과미국교과서의계산기와컴퓨터의활용 104 < 표 Ⅲ -10> 우리나라와싱가포르교과서의외형 105 < 표 Ⅲ -11> 싱가포르교과서의단원구성체계 105 < 표 Ⅲ -12> 한국, 싱가포르초등학교교과서의 시간 지도방법 106 < 표 Ⅲ -13> 한국, 싱가포르초등학교교과서의 사각형 지도방법 106 < 표 Ⅲ -14> 한국, 싱가포르고등학교교과서의방정식단원내용 107 < 표 Ⅲ -15> 한국, 싱가포르중학교 1학년수학교과서의영역별내용 108 < 표 Ⅲ -16> 인도와한국교과서의외형 116 < 표 Ⅲ -17> 인도수학교과서의대단원구성 117 < 표 Ⅲ -18> 한국과핀란드고등학교교과서의대수영역내용 122 < 표 Ⅲ -19> 한국과핀란드고등학교교과서의해석영역내용 122 < 표 Ⅲ -20> 한국과핀란드고등학교교과서의기하영역내용 123 < 표 Ⅲ -21> 한국과핀란드고등학교교과서의확률과통계영역내용 124 < 표 Ⅲ -22> 핀란드고등학교수준별교과서의대수영역내용 124 < 표 Ⅲ -23> 핀란드고등학교수준별교과서의함수영역내용 124

14 < 표 Ⅲ -24> 핀란드고등학교수준별교과서의기하영역내용 125 < 표 Ⅲ -25> 핀란드고등학교수준별교과서의확률과통계영역내용 126 < 표 Ⅲ-26> 한국과호주교과서의외적체제 130 < 표 Ⅲ-27> 호주교과서의단원구성체계 130 < 표 Ⅲ-28> CD-ROM 을통한교과학습지원 131 < 표 Ⅲ -29> 외국교과서에서볼수있는대표적인특징 137 < 표 Ⅲ -30> 2011년 Panama 프로그램의세부일정 150 < 표 Ⅲ -31> 미국 NAEP 평가문제유형 157 < 표 Ⅲ -32> 싱가포르국가시험종류와특징 159 < 표 Ⅲ -33> 싱가포르초등졸업시험수준별평가지의형식비교 160 < 표 Ⅲ -34> 싱가포르중등졸업시험수준별평가지의형식비교 161 < 표 Ⅲ -35> 아비투어수험생의수학시험선택가능성 162 < 표 Ⅲ -36> 아비투어시험보조물 163 < 표 Ⅲ -37> 핀란드대학입학자격시험홈페이지 164 < 표 Ⅲ -38> 호주전국학력평가(NAPLAN) 홈페이지 168 < 표 Ⅲ -39> 호주고등학교졸업자격시험(HSC) 홈페이지 169 < 표 Ⅲ -40> HSC 수학과평가의일반적인현황 173 < 표 Ⅲ -41> 호주 NAPLAN 7학년수학평가지 174 < 표 Ⅲ -42> 호주 NAPLAN 9학년수학평가지 175 < 표 Ⅳ -1> 개념적지식의요소와조작적정의 224

15 그림차례 [ 그림 Ⅰ -1] 수학교육선진국의대륙별분포현황 8 [ 그림 Ⅰ -2] 연구영역 9 [ 그림 Ⅱ-1] 2011 경상북도 1 급정교사수학연수프로그램 48 [ 그림 Ⅱ -2] 한국교육개발원영재심화연수방법 50 [ 그림 Ⅱ -3] 2011년 Math Festival 연수일정표 52 [ 그림 Ⅱ -4] Math Festival 현장모습 52 [ 그림 Ⅱ -5] 진단평가활용실태 58 [ 그림 Ⅱ -6] 형성평가활용실태 58 [ 그림 Ⅱ -7] 총괄평가활용실태 58 [ 그림 Ⅱ -8] 수행평가활용실태 58 [ 그림 Ⅱ -9] 지필평가활용실태 59 [ 그림 Ⅱ -10] 관찰평가활용실태 59 [ 그림 Ⅱ -11] 면담 구술활용실태 59 [ 그림 Ⅱ -12] 자기평가활용실태 60 [ 그림 Ⅱ -13] 동료평가활용실태 60 [ 그림 Ⅱ -14] 관찰평가를안하는이유 60 [ 그림 Ⅱ -15] 면담 구술평가를안하는이유 60 [ 그림 Ⅱ -16] 자기평가를안하는이유 60 [ 그림 Ⅱ -17] 동료평가를안하는이유 61 [ 그림 Ⅱ -18] 정의적태도평가활용실태 61 [ 그림 Ⅱ -19] 정의적태도평가를안하는이유 62 [ 그림 Ⅲ -1] 사진자료를적극활용하는미국교과서 103 [ 그림 Ⅲ -2] 미국교과서의계산기활용코너 103 [ 그림 Ⅲ -3] 싱가포르초등 2학년교과서의서문과목차 110

16 [ 그림 Ⅲ -4] 싱가포르초등 2학년교과서의테마페이지 111 [ 그림 Ⅲ -5] 싱가포르초등 2 학년교과서의본문예시 (1) 111 [ 그림 Ⅲ -6] 싱가포르초등 2 학년교과서의본문예시 (2) 111 [ 그림 Ⅲ -7] 싱가포르초등 2 학년교과서의본문예시 (3) 112 [ 그림 Ⅲ -8] 싱가포르초등 2 학년교과서의본문예시 (4) 112 [ 그림 Ⅲ -9] 싱가포르초등 2 학년교과서의본문예시 (5) 112 [ 그림 Ⅲ -10] 싱가포르초등 2학년교과서의정리페이지 113 [ 그림 Ⅲ -11] 싱가포르초등 2학년교과서의복습페이지 113 [ 그림 Ⅲ -12] 싱가포르중1 교과서의단원첫페이지와도입 113 [ 그림 Ⅲ -13] 싱가포르중1 교과서의말풍선활용 115 [ 그림 Ⅲ -14] 싱가포르중1 교과서의캐릭터활용 115 [ 그림 Ⅲ -15] 과학과관련된사진이수록된수학교과서모습 126 [ 그림 Ⅲ-16] 수학교과서내에컴퓨터를이용한데이터처리방법제시모습 127 [ 그림 Ⅲ -17] 수학교과서내에계산기사용법이제시된모습 127 [ 그림 Ⅲ -18] 수학교과서내에계산기활용문제가제시된모습 127 [ 그림 Ⅲ-19] 복잡하지만실제적인수치가사용된수학문제 127 [ 그림 Ⅲ -20] 핀란드수학교과서부록 CD 128 [ 그림 Ⅲ -21] 사진으로구성된핀란드교과서 128 [ 그림 Ⅲ -22] 강조할부분을크게제시하고있는모습 129 [ 그림 Ⅲ -23] 프로이덴탈연구소홈페이지 149 [ 그림 Ⅲ -24] 서술형주관식문제와채점기준표의예 158 [ 그림 Ⅲ -25] 싱가포르초등졸업시험수준별평가지 159 [ 그림 Ⅲ -26] 싱가포르중등졸업시험수준별평가지 160 [ 그림 Ⅲ-27] 수학시험에제공된수학공식의예 161 [ 그림 Ⅲ -28] 핀란드대학입학자격시험기본수학평가지예시 165 [ 그림 Ⅲ -29] 핀란드대학입학자격시험심화수학평가지예시 166 [ 그림 Ⅲ -30] 2010 HSC 일반수학평가지일부 170 [ 그림 Ⅲ -31] 3페이지가할애된일반수학평가문제예시 171 [ 그림 Ⅲ -32] 2010 HSC 수학평가지일부 171 [ 그림 Ⅲ -33] 2페이지가할애된수학평가문제예시 172 [ 그림 Ⅲ -34] 2010 HSC 심화수학1 평가지일부 172 [ 그림 Ⅲ -35] 2010 HSC 심화수학2 평가지일부 173 [ 그림 Ⅲ -36] 2010 HSC 일반수학공식집 176 [ 그림 Ⅲ -37] 2010 HSC 표준적분표 176 [ 그림 Ⅳ-1] 수학적창의성신장을위한교수 학습자료 (1) 193 [ 그림 Ⅳ-2] 수학적창의성신장을위한교수 학습자료 (2) 194

17 [ 그림 Ⅳ-3] 수학적창의성신장을위한교수 학습자료 (3) 195 [ 그림 Ⅳ-4] 수학적창의성신장을위한교수 학습자료 (4) 196 [ 그림 Ⅳ-5] 수학적창의성신장을위한교수 학습자료 (5) 197 [ 그림 Ⅳ-6] 수학적창의성신장을위한교수 학습자료 (6) 198 [ 그림 Ⅳ-7] 수학적과정을중시하는교수 학습자료 (1) 201 [ 그림 Ⅳ-8] 수학적과정을중시하는교수 학습자료 (2) 202 [ 그림 Ⅳ-9] 수학적과정을중시하는교수 학습자료 (3) 203 [ 그림 Ⅳ -10] 이야기가담긴테마페이지 209 [ 그림 Ⅳ-11] 이야기로시작하는교과서 210 [ 그림 Ⅳ-12] 테마페이지이야기로단원정리 210 [ 그림 Ⅳ-13] 캐릭터이야기로시작하는교과서도입의예 210 [ 그림 Ⅳ -14] 학습을보조하는캐릭터활용의예 211 [ 그림 Ⅳ -15] 서술형주관식평가의예 217 [ 그림 Ⅳ -16] 평가전용홈페이지의예 218 [ 그림 Ⅳ -17] 서술형주관식문제와채점기준표의예 219 [ 그림 Ⅳ -18] 계산기가허용되는수학평가지일부 220 [ 그림 Ⅳ-19] 호주 HSC 에서제공되는수학공식집일부 221 [ 그림 Ⅳ-20] 호주 HSC의난이도에따른 4 종류의수학평가지 222 [ 그림 Ⅳ -21] 미국 5학년수학교과서의도형추론하기 225 [ 그림 Ⅳ-22] 핀란드 5 학년수학교과서의시간과그래프( 하루수면시간) 225 [ 그림 Ⅳ -23] 다양하고종합적인사고를요구하는문제의예 226 [ 그림 Ⅳ -24] 발견하는기쁨을느낄수있는문제의예 227 [ 그림 Ⅳ -25] 여러개념이통합된문제의예 227 [ 그림 Ⅳ -26] 일상생활소재의예 228

18 Ⅰ. 서 론 연구의필요성및목적 연구의내용및범위 연구방법및절차

19 1. 연구의필요성및목적 가. 연구의필요성 1) 외부에서보이는우리나라수학교육은어떠한가? 미국의오바마대통령이최근한국의교육을본받아야한다고칭찬을아끼지않았 다. 믿을만한국제지표를살펴보면한국은확실히교육강국이다. 스위스국제경영개발원(IMD) 에서매년발간하는국가경쟁력보고서에따르면 PISA 2006과 2009 성적이반영된우리나라의 2011년도교육부문국가경쟁력순위가전년 보다 6단계상승한 29 위로, 거의모든평가항목에서상승한것으로나타났다( 교육과 학기술부, ). 우리나라는 1990 년대부터국제학업성취도평가에꾸준히참여하고있다. 그중 하나는국제교육성취도평가협회가주관하는수학 과학성취도추이변화국제비교 연구(the Trends in International Mathematics and Science Study: TIMSS) 이며, 다 른하나는경제협력개발기구(OECD) 가주관하는 OECD 학업성취도국제비교연구 (Programme for International Student Assessment: PISA) 이다. 우리나라는 TIMSS 2003, 2007과 PISA 2000, 2003, 2006, 2009의결과에서줄곧최상위권성적을유지 해왔다. 에서 국제수학연맹(IMU) 도이런우리나라의수학교육경쟁력을인정하여 2007년 2등급 4 등급으로두등급이나상향조정하였다. IMD, TIMSS, PISA, IMU 와같은국제지표는높게나타나고있으나국제비교에서학 부모와학생의체감지표로이동하면우리교육은감당하기어려울만치고통을준다 ( 김기석, 2008). 가구당지출해야할사교육비부담압력과학교교육외에가중된 사교육참가압력도마찬가지라고지적했다. 또한 TIMSS 2007 결과에따르면우리나 라학생들의수학에대한정의적성취가매우낮은것으로나타났다. 이는 TIMSS 1995부터지속적으로나타난결과이며 PISA연구에서도유사한결과를보이고있는 부분이다. 2) 수학공교육의실태는어떠한가? 2011년 5월 19일교육과학기술부는학교교육의질을향상시켜공교육에대한만족 도및신뢰도를제고함으로써 공교육강화- 사교육경감 의선순환체제를구축하기 위한방안을발표하였다. 이자료에제시된수학공교육의실태는다음과같다. 첫째, 창의적사고력과문제해결능력을키우기위한수학교육이입시를위한수단 으로변질되어암기와문제풀이위주로진행되고있다

20 둘째, 수학교과가어렵고딱딱하며, 실생활에도움도안되는과목으로인식되고 있다. TIMSS 2007 결과를보면학습성취도는세계 2위로높으나흥미도는국제평균 54% 에비해 33% 의학생만이수학학습을즐겁게생각하고있는것으로나타났다. 셋째, 2010 년사교육비조사결과, 전반적인사교육비감소에도불구하고학생 1 인당월평균사교육비가수학 6.8 만원(1.5% ), 영어 8 만원(0%), 국어 2.1 만원(4.5% ) 으로수학만유일하게증가하였으며과목별사교육참여율조사결과수학 53.6%, 영어 52.5%, 국어 31.4% 로수학의사교육참여율이가장높았다. 7월 1 일부터방영된 수학포기학생늘고있다 는주제로정부의현행수학교 육의문제점과개선방안에대한 YTN의연속기획방송은수학공교육의실태를잘보 여주고있다. 수학포기의근본적인원인에대한 7월 2일방송에서는학생들의인터 뷰를통해끝없이쏟아지는숙제와선행학습은수학에대한흥미를떨어뜨리고단순 문제풀이와암기식으로진행되는수업때문에학생들이수학을어려워하는것이라고 지적했다. 수학교육을단순문제풀이와암기식으로하는것은결국입시성적때문 이고단기간에좋은성적을내기위해원리이해보다는단순암기등에의존한다는 것이다. 이것은국제학업성취도평가에서수학성적은상위권이지만정의적성취결 과가낮은것과같은맥락이다. 3) 수학공교육강화방안은무엇인가? 교육과학기술부의공교육강화-사교육경감방안에서는다음의 6가지를제시하고 있다. 첫째, 학생의수요와수준을반영한교과서및교육내용체제를개편한다. 교과서 체제개편과연계하여기존의공식과문제위주의교과서가아닌, 역사적배경과의 미, 맥락, 사례중심으로이해하기쉽게풀어쓴 Story-telling형교과서등다양하 고재미있는교과서를개발 보급한다. 또한지나치게추상적이거나어려운내용은상 위학년으로이동하는등학생발달단계에따라교과내용을재설계한다. 둘째, STEAM 교육과연계하여창의적, 융합적사고력을배양한다. 수학과과학, 기술, 예술간상호공통적인내용과개념을추출하고실제사례와연계하여논리/ 원 리/ 적용의선순환구조로체계화하여 STEAM 교육을진행한다. 가정-추론-증명등논 리적, 창의적사고과정을통해문제의해결및수학적의사소통능력을파악할수있 는평가방법을개발한다. 셋째, 교육현장의자율적 창의적인학습활동을장려한다. 수학수업연구발표대 회 를통해우수교수 학습사례를발굴하여학습자료로제작 보급하고교실수업에 반영한다. 또한우수교사연구회활동을지원함으로써창의적학습활동을장려한다. 넷째, 교사연수기관및프로그램을전문화 다양화한다. 기존의소양및교과 내용위주의수동형연수프로그램을개선하여창의적교수및평가방법등에대한 - 4 -

21 참여형 실습형연수를강화한다. 교사스스로교수역량과관련하여강 약점을파악 하고보완할수있도록자기진단프로그램을개발하고맞춤형심화연수를제공한다. 권역별대학, 출연( 연) 을전문연수기관으로활용하여학교현장과학 연간교류( 교 수 학습법적용및공동연구) 를활성화한다. 다섯째, 학생과학부모의자기주도적맞춤형학습을지원한다. 방과후학교, 교과 교실제와연계하여수준별수학수업이활성화될수있도록맞춤형교수 학습자료 를지원한다. 이해가부족하거나, 결석등으로배우지못한내용을학생스스로공부 할수있도록도와주는자기주도학습지원사이트를구축한다. 자녀들을직접가르치 는데관심있는학부모들을대상으로수학교실을운영하여바람직한수학교육방향및 학습자료를제공한다. 여섯째, 수학교육선진화를위한기반을조성한다. 계산기와같은첨단 IT기기등 을바탕으로체험 탐구활동, 교사연구및학생모둠학습을지원하는미래형수학 교실을도입한다. 수학교육활성화를위한각종자료및프로그램의개발 보급, 선진 화기반조성을전담하는수학교육연구센터를설치 운영한다. 교육과학기술부에서제시한 6 가지수학공교육강화방안은수학과교육과정, 교과 서, 평가, 교수 학습방법, 교사연수, 수학교육선진화방안등수학교육시스템 전반과관련이있다고할수있다. 이에강화방안을뒷받침할수있는자료를제공하 기위해수학과교육과정, 교과서, 평가, 교수 학습방법, 교사연수전반에관하여 연구할필요가있다. 4) 외국의수학교육동향연구의필요성과진행상황은어떠한가? 수학공교육강화방안은우리나라의실정에맞게계획하고실천하는것이중요하지 만그것이바람직한방향인지, 어떤장 단점이있는지살펴볼필요가있어외국의사 례를통해어떻게우리나라수학교육에적용할것인지시사점을찾아보고자한다. 그동안수학교육의전반적인동향을살펴본국제비교연구는박영배(1992) 의연구로 10개나라의수학교육현황을알아보고 6 가지경향을찾아내었다. 하지만연구대상이 된 10개나라는객관적인자료에근거하여선정한것이아니라연구자가수학교육이 앞서있다고생각되는나라를선정하여조사하였고 1985년에발표된논문을분석하였 다는점에서현재의수학교육국제동향이라고하기어려워최근의수학교육국제동 향을연구해볼필요가있다. 수학과교육과정, 교과서, 교수 학습방법, 평가, 교사연수에따라국제비교선행 연구를살펴보면다음과같다. 교육과정에대한국제비교연구들은중국( 박경미, 2004; 박경미, 김남희, 나귀수, 방정숙, 이경화, 임재훈외, 2005; 김남희, 나귀수, 박경미, 이경화, 임재훈, 정영옥 외, 2005), 싱가포르( 박경미, 2005b; 김경희, 김수진, 김선희, 강민경, 박효희, 정 송, 2009; 김경희, 백희수, 2010), 독일( 정영옥, 2004; 박경미외, 2005; 김남희외, - 5 -

22 2005), 네덜란드( 정영옥, 2005; 2007), 인도( 박경미, 2005b), 영국( 박경미외, 2005; 김남희외, 2005; 신항균, 황혜정, 2006; 나귀수, 황혜정, 임재훈, 2008), 미국( 박경 미외, 2005; 김남희외, 2005; 노선숙, 2008; 나귀수외, 2008), 일본( 박경미외, 2005; 김남희외, 2005; 나귀수외, 2008; 임현수, 강홍재, 2010), 대만( 김경희외, 2009), 프랑스( 박경미외, 2005; 김남희외, 2005) 등에대한연구가있다. 즉, 중 국, 독일, 네덜란드, 싱가포르, 인도, 영국, 미국, 일본, 대만등 10개나라와의비 교연구가있었으며그중영국, 미국, 일본과의비교연구가 4건씩으로다른나라에 비하여많이진행되었다. 이는교육부문국가경쟁력이높은나라들위주로연구가이 루어지기보다지리적으로가까운나라, 어있음을알수있다. 학문적으로영향을많이받는나라에집중되 교과서에대한국제비교연구는미국( 이지현, 2004; 최근배, 김해규, 2005; 박경미 2005a; 류희찬, 권성룡, 김남균, 2005; 김재춘, 박소영, 2006a; 박희자, 정은실, 2010), 북한( 임재훈, 김수미, 박교식, 2005), 중국( 임재훈외, 2005), 일본( 임재훈 외, 2005; 김재춘, 박소영, 2006a; 김은미, 임문규, 2007; 윤제진, 강홍재, 2008; 이 재춘, 김선유, 강홍재, 2008; 조영미, 임선혜, 2010), 독일( 정환옥, 노정학, 2005; 김재춘, 박소영 2006b; 정환옥, 2008), 프랑스( 김재춘, 박소영, 2006a), 싱가포르( 최 병훈, 방정숙, 송근영, 황현미, 구미진, 이성미, 2006; 김재춘, 박소영 2006b; 정은 실, 2009; 조영미, 임선혜, 2010; 김경희, 백희수, 2010), 영국( 김재춘, 박소영 2006b; 오현선, 방정숙, 2009), 인도( 이송희, 김선홍, 2011), 핀란드( 최영란, 2011) 등이있다. 미국, 북한, 중국, 일본, 독일, 프랑스, 싱가포르, 영국, 인도, 핀란드 등 10개나라와의비교연구가있었으며미국과일본의비교연구가 6건씩으로가장많 았다. 수학과교과서에대한선행연구에서눈에띄는것은최근들어인도와핀란드 교과서를비교연구하기시작했다는것이다. 교수 학습방법에대한국제비교연구는중국의수학교수법에대한이강섭과차상 미(2004) 연구외에다른연구를찾기어려웠다. 교수 학습방법이라는것이눈에 보이는실체가아니기때문에연구의어려움이있고학교교실현장에서연구를해야 한다는어려움이있기때문에이에대한연구가활발하게이루어지기어려웠을것이 다. 평가에대한국제비교연구역시중국과영국의수학시험을비교한연구인 Jiansheng bao(2006) 의연구외에다른연구를찾기어려웠다. 이연구는교육과정과 평가의관련성을밝혀준연구였으나수학수업후학생들의문제해결력및수학적 의사소통능력을파악할수있는평가방법에대한연구는미흡하였다. 교사연수에대한국제비교연구는뉴질랜드의교사교육프로그램에대한최창우 (2010) 의연구외에다른연구를찾기어려웠다. 수학을비롯한수학교육의흐름은 계속변화하고있으며어느누구도지식을완전히소유할수는없다. 따라서수학을 잘지도하기위해서는끊임없는연수가필수적이다. 그러나수학과교사연수에대한 - 6 -

23 선행연구에서는본연구에서선정한 된선행연구를찾아볼수없었다. 이상의 15개수학교육선진국의수학과교사연수에관련 5가지영역에따른선행연구들을살펴본결과수학과교과서및교육과정에 대한연구가주를이루었으며수학과교수 학습방법, 수학과평가, 수학과교사연수 에대한연구가많지않았다. 이것은무엇을가르칠것인가에대한연구가활발했던 반면누가어떻게가르칠것인지에대한연구는잘이루어지지않았다는것이다. 이에우리나라수학공교육을강화하기위해수학과교수 학습방법, 수학과평가, 수학과교사연수에대한연구역시수학과교과서및교육과정에대한연구와함께 활발하게이루어질필요가있다. 나. 연구의목적 본연구의목적은수학교육시스템전반에대한국내및국외자료를수집및비교분 석하여글로벌수학교육흐름을파악하고우리나라수학공교육강화방안을수립하는데 도움을주기위함이다

24 2. 연구의내용및범위 본연구는수학교육시스템전반에대한국내및국외자료를수집및비교분석하여글로벌수학교육흐름을파악하고우리나라수학공교육강화방안을수립하는것이목적이다. 이를달성하기위한구체적인연구내용및범위는다음과같다. 가. 연구의내용 1) 우리나라학교수학교육전반에대한실태 수학과교육과정실태는어떠한가? 수학과교과서실태는어떠한가? 수학과교사연수실태는어떠한가? 수학과평가실태는어떠한가? 수학과교수 학습방법실태는어떠한가? 2) 수학교육선진국의학교수학교육실태및특징 수학교육선진국의수학과교육과정실태및특징은어떠한가? 수학교육선진국의수학과교과서실태및특징은어떠한가? 수학교육선진국의수학과교사연수실태및특징은어떠한가? 수학교육선진국의수학과평가실태및특징은어떠한가? 수학교육선진국의수학과교수 학습방법실태및특징은어떠한가? [ 그림 Ⅰ-1] 수학교육선진국의대륙별분포현황 3) 우리나라수학공교육강화방안에의시사및적용가능성 외국의수학교육현황비교 분석결과가우리나라수학공교육강화방안수립에주는시사점은무엇인가? - 8 -

25 나. 연구범위 본연구를수행하기위하여학교수학교육전반에대한구체적인조사영역과우리나 라수학교육과비교분석할수학교육선진국들을설정하였다. 1) 연구영역 최근교육과학기술부에서발표한공교육강화-사교육경감선순환방안을참고 하여다음과같이구체적인조사영역을설정하였다. [ 그림 Ⅰ-2] 연구영역 수학교육현황조사영역별구체적인연구내용은다음과같다. 가) 수학과교육과정 < 표 Ⅰ-1> 교육과정영역연구내용 교육과학기술부의수학교육내실화방안영역별조사내용 지나치게추상적이거나어려운내용은상위학년으로이동하 는등학생발달단계에따라교과내용을재설계하겠다. 국내 외논문및교육평가원자료등을통해각나라의수 학과교육과정이어떻게구성되어있는지조사하였다. 해외요청자료, 대사관자료를받은후내용을추가하였 고, 외국의교육과정을수합하고각나라의교육과정을구 체적으로분석하여시사점을도출하였다. 나) 수학과교과서 < 표 Ⅰ-2> 교과서영역연구내용 교육과학기술부의 수학교육내실화방안 2009 개정교과서를기존의공식과문제위주의교과서가 아닌, 역사적배경과의미, 맥락, 사례중심으로이해하기 쉽게풀어쓴 Story-telling형교과서와같은다양하고재 - 9 -

26 미있는교과서로개발하여보급하겠다. 영역별 조사내용 외국교과서의내적, 외적체계를살피기위해선행연 구와교과서박물관등을찾아가교과서자료등을수집하 였다. 외국교과서와우리나라교과서와의내용적차이를통해 외국교과서가수학학습의실제와수학학습의즐거움을어 떻게반영하고있는지조사하여우리나라교과서개발에 주는시사점을도출하였다. 다) 수학과교사연수 < 표 Ⅰ-3> 교사연수영역연구내용 교육과학기술부의수학교육내실화방안영역별조사내용 기존의소양및교과내용위주의수동형연수프로그램을개 선하여창의적교수및평가방법등에대한참여형실습형 연 수를강화하고교사스스로교수역량관련강약점을 파악하고 보완할수있도록자기진단프로그램개발및맞춤형심화 연수를제공하며권역별대학, 출연( 연) 을전문연수기관으로 활용하여학교현장과학 연간교류( 교수 학습법적용및공 동연구) 를활성화시킬수있는구체적방안을마련하겠다. 주요선진국의수학교사연수프로그램의실태및특징을 바탕으로전문성향상을위한시사점을살펴보고, 이를바 탕으로우리나라의수학교육강화방안에의시사점및적용 가능성을살펴보았다. 라) 수학과평가 < 표 Ⅰ-4> 평가영역연구내용 교육과학기술부의수학교육내실화방안영역별조사내용 가정-추론- 증명등논리적, 창의적사고과정을통해문제의해결및수학적의사소통능력을파악할수있는평가방법개발하겠다. 외국의입시제도와국가및주수준의평가, 그리고학교현장에서의평가로나눠서자료를조사하고분석하여시사점을도출하였다

27 호주의전국학력평가(NAPLAN), 고등학교졸업시험(HSC), 핀란드의대학입학자격시험(Matriculation) 의수학과평가 사례를통해주관식평가, 공학도구를사용한평가, 수준 별평가의모습을살펴보았다. 마) 수학과교수 학습방법 < 표 Ⅰ -5> 교수 학습방법영역연구내용 교육과학기술부의수학교육내실화방안영역별조사내용 수학과과학, 기술, 예술간상호공통적인내용과개념을 추출하고실제사례와연계하여논리/ 원리/ 적용의선순환 구조로체계화한 STEAM 교육과연계하여창의적, 융합적 사고력을배양시키겠다. 국내외수학교육연구커뮤니티에서수학적창의성을 어떻게정의하고있는지, 어떻게평가하고있는지그리고 그것의발현을위한핵심적인인지적과정을무엇으로보 는지검토한다. 위의분석결과를토대로우리나라수학교육에서창의 성신장과평가를위한대안적인방향을제시한다. 2) 연구대상국가나라마다수학교육상황이다르기때문에수학교육선진국을선정하기위하여다음의다섯가지기준을마련하였다. 가) 스위스국제경영개발원(IMD) 의 2011년도국가경쟁력보고서 금년국가경쟁력보고서의국가별교육부문순위를살펴보면덴마크 1 위, 아일 랜드 2 위, 핀란드 3위로 10위권내에유럽 7개국가가포함되어유럽이여전히강 세이며한국은싱가포르, 타이완, 홍콩에이어아시아 4 위로일본, 중국, 태국에 비해높은순위를보이고있다( 교육과학기술부, ). 나) 국제수학연맹(IMU) 회원국등급 IMU의회원국등급은총 5등급으로나누어져있으며 5 등급에미국, 일본, 영 국, 프랑스, 독일, 러시아, 캐나다, 이탈리아, 중국, 이스라엘등 10개국이있고 4 등급에한국, 브라질, 인도, 네덜란드, 폴란드, 스페인, 스위스등 8개국이있 다

28 다) TIMSS 및 PISA의국제학업성취도결과 한국교육과정평가원의 TIMSS 2007 결과보고서를살펴보면상위국가는대만, 한국, 싱가포르, 홍콩, 일본, 헝가리, 영국, 러시아, 미국, 리투아니아, 슬로베니 아, 아르메니아, 호주, 스웨덴, 이탈리아등이다. PISA 2009 결과, OECD 평균보다 통계적으로유의하게높은국가는상하이- 중국, 싱가포르, 홍콩- 중국, 한국, 대 만, 핀란드, 리히텐슈타인, 스위스, 일본, 캐나다, 네덜란드, 마카오- 중국, 뉴질 랜드, 벨기에, 호주, 독일, 에스토니아, 아이슬란드, 덴마크, 슬로베니아이다. 라) TIMSS 2007의정의적성취결과 우리나라의학업성취도가높은반면정의적성취지수가현저히낮기때문에 이를보강할수있는나라를선정하는것도중요하다. 정의적성취지수는수학 학습에대한자신감, 수학학습의즐거움인식, 수학학습에대한가치인식지수 를포함한다. 우리나라자신감지수는국제평균 43% 에못미치는 29% 의학생만이 수학학습에자신감을보여전체순위 43 위이다. 주요학업성취도가높은나라중 우리나라보다자신감지수가높은나라부터나열하면미국, 영국, 스웨덴, 이탈리 아, 호주, 헝가리, 싱가포르, 러시아연방, 리투아니아, 홍콩이다. 우리나라의수 학학습에대한즐거움인식은국제평균 54% 에못미치는 33% 의학생만이수학학 습에대한즐거움을인식하여전체순위 43 위이다. 주요학업성취도가높은나라 중우리나라보다수학학습의즐거움인식지수가높은나라부터나열하면싱가포 르, 러시아연방, 홍콩, 미국, 영국, 스웨덴, 리투아니아, 이탈리아, 대만, 호주 이다. 우리나라의수학학습에대한가치인식은국제평균 78% 에못미치는 53% 의 학생만이수학학습에대한가치를인식하여전체순위 45 위이다. 주요학업성취도 가높은나라중우리나라보다수학학습에대한가치인식지수가높은나라부터 나열하면리투아니아, 미국, 러시아연방, 싱가포르, 헝가리, 호주, 영국, 스웨 덴, 홍콩이다. 마) 수학공교육에대한신뢰도 수학공교육강화방안을찾기위해국제비교연구인만큼수학공교육에대한신뢰 가큰나라를선정해야한다. 대표적인나라로최근핀란드가주목받고있다. 위의다섯가지기준에근거하여 < 표 Ⅰ-6> 과같이수학교육선진국으로선정하였다

29 < 표 Ⅰ-6> 1차선정된 20개수학교육선진국 대륙수학교육선진국 아메리카미국, 캐나다, 브라질 3 아시아싱가포르, 일본, 인도, 중국, 대만, 홍콩 6 유럽 영국, 프랑스, 독일, 러시아, 이탈리아, 핀란드, 스웨덴, 스위스, 네덜란드, 이스라엘 10 오세아니아호주 1 총 20개국 수학교육선진국으로선정한나라중선행연구및국내에서문서및웹사이트 접근이용이한지를살펴보았다. 접근이가능한웹사이트는 국가교육과정정보센 터(NCIC) 의자료를주로참고하였다. 자료접근의용이성을살펴본결과스위스, 이스라엘, 러시아, 이탈리아, 브라질에대한자료접근이어려워연구에서제외하였 다. 또한연구대상국가들에대한집중도를높이기위해교육환경이비슷한나라들 은양자택일하였다. 따라서캐나다, 일본, 대만, 영국, 스웨덴, 네덜란드를제외하 여본연구에서는 < 표 Ⅰ-7> 과같이 < 표 Ⅰ-7> 최종선정된 9개수학교육선진국 9 개나라를선택하였다. 대륙수학교육선진국 아메리카미국 1 아시아싱가포르, 인도, 중국( 상하이), 홍콩 4 유럽프랑스, 독일, 핀란드 3 오세아니아호주 1 총 9개국 위에서선정한수학교육선진국의연구가치및접근이가능한웹사이트등을 우리나라와비교하여구체적으로살펴보면다음과같다. 1) 1) 외국의수학교육선진국의연구가치를보여주는다음의표들은국가경쟁력보고서의교육부문순위에따라나열하였다

30 < 표 Ⅰ-8> 국제지표로본우리나라수학교육수준 한국 1. 스위스국제경영개발원의 2011 년도교육부문국가경쟁력 전체 29 위. 아시아 4 위. 2. 국제수학연맹회원국등급 4 등급. 3. TIMSS 및 PISA의수학학업성취도결과 TIMSS ( 순위) PISA ~6위 교육과학기술부 4. TIMSS 2007 수학의정의적성취결과 자신감 : 29% 즐거움인식 : 33% 가치인식 : 53% 핀란드는미국과영국등많은나라들이경쟁을선택할때, 1985년우열반을폐지하 고교실에서경쟁이아닌협동을선택한나라로교육부문국가경쟁력이매우높고 PISA 2009 의성적이우수하다. < 표 Ⅰ-9> 국제지표로본핀란드수학교육수준 1) 핀란드 1. 스위스국제경영개발원의 2011 년도교육부문국가경쟁력 전체 3 위. 2. 국제수학연맹회원국등급 3 등급. 3. TIMSS 및 PISA의수학학업성취도결과 TIMSS ( 순위) PISA ~7위 교육부 4. TIMSS 2007 수학의정의적성취결과 자신감 : - 즐거움인식 : - 가치인식 : - 히 호주는국제수학연맹회원국등급이높은편은아니지만다른국제지표가우수하고특 TIMSS 2007 의정의적성취결과중자신감과가치인식이우리나라에비하여매우높다

31 < 표 Ⅰ-10> 국제지표로본호주수학교육수준 2) 호주 1. 스위스국제경영개발원의 2011 년도교육부문국가경쟁력 전체 8 위. 2. 국제수학연맹회원국등급 3 등급. 3. TIMSS 및 PISA의수학학업성취도결과 TIMSS ( 순위) PISA ~17 위 교육과정개발원 ulum.edu.au/documents 4. TIMSS 2007 수학의정의적성취결과 자신감 : 45% 즐거움인식 : 34% 가치인식 : 75% 싱가포르는국제수학연맹회원국등급은가장낮은 1등급이지만교육부문국가경쟁 력, 국제학업성취도결과, TIMSS 2007의정의적성취결과가모두우리나라보다앞서 고있는나라이다. 또한미국의일부주에서싱가포르교과서를수입( 박경미, 2005b) 하 여사용할정도로수학교육에대한국제적인지도가높은나라이다. < 표 Ⅰ-11> 국제지표로본싱가포르수학교육수준 3) 싱가포르 1. 스위스국제경영개발원의 2011 년도교육부문국가경쟁력 전체 10 위. 아시아 1 위. 2. 국제수학연맹회원국등급 1 등급낮은등급. 3. TIMSS 및 PISA의수학학업성취도결과 TIMSS ( 순위) PISA 위 교육부 tion/syllabuses/ 4. TIMSS 2007 수학의정의적성취결과 자신감 : 41% 즐거움인식 : 60% 가치인식 : 77% 독일, 미국, 프랑스는대부분의국제지표가우수하다. 특히미국의 TIMSS 2007의정 의적성취결과가우수하다

32 < 표 Ⅰ-12> 국제지표로본독일수학교육수준 4) 독일 1. 스위스국제경영개발원의 2011 년도교육부문국가경쟁력 전체 16 위. 2. 국제수학연맹회원국등급 5 등급. 3. TIMSS 및 PISA의수학학업성취도결과 TIMSS ( 순위) PISA ~17 위 베를린교육부 4. TIMSS 2007 수학의정의적성취결과 자신감 : - 즐거움인식 : - 가치인식 : - < 표 Ⅰ-13> 국제지표로본미국수학교육수준 5) 미국 1. 스위스국제경영개발원의 2011 년도교육부문국가경쟁력 전체 18 위. 캘리포니아교육부 cf/index.asp 2. 국제수학연맹회원국등급 5 등급. 3. TIMSS 및 PISA의수학학업성취도결과 4. TIMSS 2007 수학의정의적성취결과 TIMSS ( 순위) PISA 자신감 : 53% 즐거움인식 : 41% 가치인식 : 82% < 표 Ⅰ-14> 국제지표로본프랑스수학교육수준 6) 프랑스 1. 스위스국제경영개발원의 2011 년도교육부문국가경쟁력 전체 22 위. 2. 국제수학연맹회원국등급 5 등급. 3. TIMSS 및 PISA의수학학업성취도결과 TIMSS ( 순위) PISA ~28 위 교육부 TIMSS 2007 수학의정의적성취결과 자신감 : - 즐거움인식 : - 가치인식 :

33 홍콩은국제수학연맹회원등급은낮지만교육부문국가경쟁력이높고국제학업성취 도결과도우수하다. 우리나라에비하여 TIMSS 2007 의정의적성취결과가높다. < 표 Ⅰ-15> 국제지표로본홍콩( 중국) 수학교육수준 7) 홍콩( 중국) 1. 스위스국제경영개발원의 2011 년도교육부문국가경쟁력 전체 28 위. 아시아 3 위. 2. 국제수학연맹회원국등급 1 등급낮은등급. 3. TIMSS 및 PISA의수학학업성취도결과 TIMSS ( 순위) PISA ~4위 교육부 4. TIMSS 2007 수학의정의적성취결과 자신감 : 30% 즐거움인식 : 47% 가치인식 : 60% 중국은국제수학연맹회원국등급이 5등급이며 PISA 2009에처음참여하여 1위를차 지하였다. 중국전체가아닌상하이만으로우리나라와비교하는것은무리가있지만현 재모든분야에서급성장하고있는나라로서수학교육현황을파악하는것은중요하다. < 표 Ⅰ-16> 국제지표로본중국( 상하이) 수학교육수준 8) 중국( 상하이) 1. 스위스국제경영개발원의 2011 년도교육부문국가경쟁력 전체 43 위. 2. 국제수학연맹회원국등급 5 등급. 3. TIMSS 및 PISA의수학학업성취도결과 TIMSS ( 순위) PISA 2009 상하이 -중국 1위 교육부 인민교육출판사 4. TIMSS 2007 수학의정의적성취결과 자신감 : - 즐거움인식 : - 가치인식 : - 인도는국제지표상으로국제수학연맹회원국등급을제외하고우리나라보다우수한 점을비교하기어렵다. 하지만최근 10 년간과학논문인용색인(SCI) 에발간된수학논문 수가두배이상으로증가한나라는한국과인도그리고브라질뿐( 이상구, 설한국, 함 윤미, 2009) 이라는점에서교육경쟁력이있는나라라고판단했다. 또한인도는 19단을

34 통해관심을일으킨수학강국으로박경미(2005b) 는우리나라수학과교육과정과비교하 여인도의학교수학은미국을중심으로하는수학교육과정의세계적인동향과무관하 게고유한특징을유지하고있으며 엘리트를위한수학 과 모든학생을위한수 학 의두가지경향, 일면모순적으로보이는두가지를함께추구하고있다지적했 다. < 표 Ⅰ-17> 국제지표로본인도수학교육수준 9) 인도 1. 스위스국제경영개발원의 2011 년도교육부문국가경쟁력 전체 59 위. 2. 국제수학연맹회원국등급 4 등급. 3. TIMSS 및 PISA의수학학업성취도결과 TIMSS ( 순위) PISA 교육부 /schoolcurriculum.htm 4. TIMSS 2007 수학의정의적성취결과 자신감 : - 즐거움인식 : - 가치인식 :

35 3. 연구방법및절차 가. 문헌분석 수학과교육과정, 교과서, 교수 학습방법, 평가, 교사연수실태관련국내및국외 문헌을수집 분석하여우리나라학교수학교육전반에대한시사점을도출하였다. 원활한문헌연구를위하여우선자료수집을위한 의조사대상문서를수집하였다. TFT를구성하여수학교육선진국 국내자료는교육과학기술부, 각시도교육지원청, 한국교육개발원, 전국수학교사모 임의홈페이지에탑재하거나고시된운영자료, 신문, 기사, 학위논문이나학술지에서 수집하였다. 국외자료는국가교육과정정보센터(NCIC), 한국교과서연구재단, 한국문화 교류센터(CEFIA) 의국제교과서도서관, 각나라의교육부및관련웹사이트, 한국교육 과정평가원에서발간하는 국제동향스크린, 학위논문, 학술지논문, 정책보고서 등을이용하였다. 또한부족한자료는각대사관에자료요청을시도하였다. 이후 < 표 Ⅰ-18> 과같이분과를구성하여연구를진행하였다. < 표 Ⅰ-18> 분과구성현황 < 분과1> < 분과2> < 분과3> < 분과4> < 분과5> 수학과교육과정수학과교과서수학과교사연수평가 수학과 교수 학습방법 더불어교육과학기술부의요청으로수학교육관련정책에대한조사연구를진행하였 지만본연구보고서의틀에적합하지않아부록으로가름한다. 나. 사례분석 해외수학교육의사례는각나라가갖고있는특징들이매우다르며수집할수있는 각나라의자료가한정되어있기때문에전체적인틀에의해분석하기보다는각분과별 특징을고려하여분과별로분석을하였다. 수학과교육과정에대하여는박선화, 문광호(2009) 의연구물을중심으로국내의다양 한문헌을우리나라수학과교육과정실태및특징을 2011 개정수학과교육과정을중심 으로분석하였으며 2011 개정수학과교육과정에서의강조점과그의미를중심으로분석

36 하였다. 외국의수학과교육과정의사례는각나라별교육과정의운영형태와실태를통 해우리나라교육과정에주는시사점을중심으로분석을하였다. 특히구체적인사례를 중심으로분석하고자하였으나선행연구물들의부족으로모든나라의사례를찾아분석 하는것은어려웠다. 수학과교과서에대해서는국내 외의문헌과우리나라교과서박물관을직접방문하여 실물교과서를직접살펴보면서자료를수집하여우리나라수학과교과서에대한문제점 을파악하였으며외국의수학과교과서사례를각나라별로외형적특징과내용적특징 그리고교과서의실제를구체적인사례를중심으로분석을하였다. 그러나구체적인사 례를찾을수없는나라의경우는실제적인사례보다는문헌을통해알게된내용을중 심으로분석을하여최대한의자료를제공하고자하였다. 수학교사연수와관련된국내사례는 2011년전국수학교사모임연수에실제참여한자 료와시간표, 대전시교육청연수강사의실제인터뷰자료(2011 년) 를참고하였다. 국외 교사연수최신현황분석을위해서최근국제수학학력평가에서좋은점수를얻고있는 싱가포르의국립교육원 NIE의수학교육학문적그룹인 AME의 2011년수학교사와수학교 육자를위한 MTC와세계적으로유명한수학교육연구소인네덜란드프로이덴탈연구소 홈페이지에탑재된연수세부계획표및연수자료를분석하였다. 수학과평가와관련된국내사례는선행연구, 교육과학기술부와한국교육과정평가원의 보도자료및연구자료를수집하여학교평가실태및대학수학능력시험에서의수학과평 가실태를분석하였다. 국외사례는수학교육선진국들의평가관련웹사이트에서구체적 인평가자료중최근자료를수집하여수준별평가, 계산기활용및수학공식집제공, 문항유형등에대해분석하였다. 수학과교수 학습방법과관련된국내사례는창의성과관련된선행연구를수집하여 창의성의의미에대해분석하고국외사례는교수 서와선행연구를수집하여창의성을향상시킬수있는교수 다. 학습방법이구체적으로구현된교과 학습방법에대해분석하였 본연구수행에있어서가장큰어려움은자료수집이었다. 국내의자료는매우한정 이되어있었으며국외의학자들역시일반적인자료를제시해주는데한계가있어최대 한많은자료를수집하여분석하는데초점을두었다. 다. 국내외학자의자문및협의회2) 국외자료수집을위하여각분과별로필요로하는자료와그에관련된질문지를작 성하여연구원중한명이 9개나라주요학자들에게이메일을이용하여미국 2 명, 프랑 스 1 명, 인도 1 명, 중국 1 명, 싱가포르 1 명으로부터자료를수집하였다. 2) 현지자문가자료및전문가협의자료는부록으로첨부하였다

37 또한선행연구및참고문헌을통하여도출된학교수학교육전반에대한시사점을바 탕으로우리나라수학공교육강화방안을협의하기위해수학교육전문가와초 중 고등학 교교사로구성된전문가협의회를 2011년 11월 25 일개최하였다. 전문가협의회에서논의된내용은 < 표 Ⅰ-19> 와같으며이러한내용을최종보고서에 반영하도록하였다. < 표 Ⅰ-19> 전문가협의회논의내용 분과교육과정교과서교사연수 논의내용 현행교육과정내용의문제점분석필요. 교육과정개정작업과개발시스템에대한논의필요. 교육과정분석틀을마련하여분석할필요가있음( 내용, 시수, 외형적특징및강조점이혼재되어있음 ). 시사점 : 각나라교육과정에서공통으로추출할수있는내용 으로추출하는것이바람직함. 공학을활용하여실용수학을강조하는나라들이많은데, 그에 대한구체적인정보제공이요구됨. 교과서에대한현장교사들의인식및개발방향에대한연구 필요. 교과서분석틀을마련하여분석할필요가있음( 교과서개발 시스템, 채택방법, 교과서외형적특징, 단원구성방식, 내 용전개방식, 발문방식등에대한분석필요). 외국의교과서는대체로두꺼운데, 그이유가무엇인지, 어떤 특별한요소가있는지구체적으로탐색하는것이필요. 일선현장에서교사들이공부할기회가많이주어지지않아연 수가어려우므로학위과정권장방법, 1년연구년제와같은교 사들이공부할수있는방안, 인센티브방안등을찾기. 초등수학연수실태나연수내용, 등에대한논의필요. 연수프로그램개발방향 교원임용제도와연수와의관계를살펴보는것필요. 교과내용학과교과교육학을적당히섞은연수가아닌교사의 능력과경력에따른연수교육과정편성에대한자료수집필 요. 학회, 학술발표대회, 세미나, 심포지엄, 각종컨퍼런스등에 적극참여할수있는방안마련이효과적임. 교사가원할때, 원하는컨설팅팀에들어가서조언을들을수

38 평가교수 학습방법기타 있는시스템필요. 중등에서교과협의회는참여하는모든사람들이불편함을느끼 는성벽이존재. 활성화할수있는방안필요. 수준별수업을강조하는반면, 수준별평가는이루어지지않기 때문에수준별평가에대한자료수집필요. 다양한평가가이루어지기위해우리나라평가도구지원체제 에대한논의필요. 학교수준의평가방법, 내용, 실태조사필요. 대학입시수학과평가문제유형의다양화는전적으로공감하 나현실적인여러가지제약이있어어려움존재. 외국에선어떻게서술형평가를정착시켰는지, 그구체적인방 법에대한연구필요. 어떤유형의문제를어떤공학적도구를활용하여해결하게하 는지에관한구체적인정보를얻는것이중요. 현장에서서술형평가실시하다가도그답안및기준안을작성 하는데한달이란긴시간이소요되면서다시원래대로돌아 가는경우있음. 서술형평가를손쉽게할수있는시스템마 련및교사의서술형평가에자율권을주는것이바람직함. 다양한교수법, 매체활용정도, 교실문화, 수학전용교실과 같은하드웨어적지원체제등에대한분석필요. 전통적인수학과교수 학습방법을보완및발전시키는것이 바람직함. 우리나라교수 학습방법에대한실태는이론제시에그치지않 고구체적인실태제시필요. 5개분과내용은서로관련성이많기때문에강화방안에의시사 점은 5 개로나눠서가아니라통합된형태로제시될필요있음. 나라마다다른배경, 제도, 역사를무시하고무작정외국의사 례를받아들이는것을교육의선진화로생각하는것은위험함

39 Ⅱ. 우리나라학교수학교육실태및특징 수학과교육과정실태및특징수학과교과서실태및특징수학과교사연수실태및특징수학과평가실태및특징 5. 수학과교수 학습방법실태및특징

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41 1. 수학과교육과정실태및특징 가. 수학과교육과정실태 1) 수학과교육과정활용실태 박선화, 문광호(2009) 의학교교육경쟁력강화를위한교육과정실행방안연구 -수 학과- 에따르면, 수학교사들이수학과교육과정문서에서많이참고하는항목은 내 용(86.1%), 교수 학습방법(78.9%), 목표(69.6%), 성격(28.6%) 순이었다. 즉, 수학교사들은수학과교육과정의 내용 항목에가장관심이많고, 성격 항목 에대해서는관심이적음을알수있다. 수업을계획하거나진행을위해필요할때마다수시로또는거의매시간수학교육 과정을참고하는수학교사의비율이 58.5% 로나타나절반이상의교사들이교육과정을 필요에따라적절히활용하는것으로나타났다. 특히초등학교교사들은수업을계획하 거나진행을위해필요할때마다교육과정을참고하는비율이 73.0% 에이를정도로높 은반면, 고등학교교사들은 45.2% 정도만이수시로또는거의매시간참고하는것으로 나타나대조를이루었다. 고등학교교사들은학기별또는연간수업계획을수립할때 에만참고하는교사의비율이가장높게나타났다. 2) 수학과교육과정실행실태 가) 수학적능력지도실태 수학교사들은학생들이수학실력향상을위해길러야하는능력을개념 원리 법칙 의이해능력, 수학적문제해결력, 발견적추론능력, 논리적 연역적추론능력, 수학적 의사소통능력, 계산및알고리즘숙달력순서로중요하다고여기는것으로나타났으 며수학의가치및유용성에대한이해와수학에대한정의적태도개선에대해서는 낮은관심을보였다 ( 박선화, 문광호, 2009). 교사들이지도하기어려워하는것은논리적 연역적추론능력신장, 발견적추론 능력신장, 수학적의사소통능력신장, 수학의가치및유용성에대한이해, 수학에 대한정의적태도개선, 수학적문제해결력신장의순이었고계산및알고리즘숙달 은가장지도하기쉽다고진술하였다. 모든수학적능력과태도에대하여수업자료가부족하다는의견이많은것을볼 때, 필요한수업자료는스스로개발하여활용할필요가있음을보여주었다. 교사들은 단순계산이나알고리즘숙달을제외한수학의다양한능력을지도하는데어려움을 겪고있어학생들의수학적능력향상을위해서학생들의수준에맞게지도할수있 는구체적인정보와학습자료를제공할필요가있음을알수있다

42 나) 교수 학습방법활용실태 최근의수학교육은단순한알고리즘을숙달하는기능적인면보다는수학을발견하 고그발견을통해수학적사고능력을길러주는데중점을두고있다. 이러한수학적 사고능력을기르는데설명식보다는발견이나탐구학습이중요한학습방법이될수 있다. 하지만우리나라의많은수학교사들은설명식교수와개별학습을거의매시 간사용하고있으며발견학습과탐구학습방법은사용빈도가낮고, 협동학습방법 은거의사용하지않는다( 박선화, 문광호, 2009). 박선화, 문광호(2009) 에의하면교 사들은수업시간이부족하고학생수준에맞지않으며입시준비에도움이되지않기 때문에협동학습이나개별학습과같은다양한교수 학습방법을사용하지않는다고하 였다. 또한초등학교에서교구나정보화기기를활용한학습을많이하는반면에고등학교 는여러단계의추상화된내용이많기때문에구체물조작을통한학습이어려우며 교사들은효과적인활용방법을잘모르고있으며입시에도움이되지않기때문에 잘활용하지않는다고하였다( 박선화, 문광호, 2009). 다) 평가방법활용실태 평가는교육과정, 교수 학습방법등교육의다양한면의최종적인목표를밝혀주 는하나의기준이된다. 객관식을주로하는평가보다는학생들의문제해결과정이나 수학적이해를평가하는것이중요하다. 하지만박선화, 문광호(2009) 에따르면우리 나라는총괄평가가학교차원에서정기고사를통해필수적으로시행되는반면, 들이자율적으로시행해야하는진단평가와형성평가의경우, 교사 실제로사용하지않는 경우가많아학생들의학습상태점검및피드백이상대적으로미흡하다고하였다. 수학교사들은역시수업시간의부족을이유로다양한평가방법을시도하지못하고 있다고하였으며평가결과의객관성시비를우려하여자율적이고소신있는평가를 하지못하고있다. 나. 수학과교육과정의특징 1) 2009 교육과정개정에따른 2011 개정수학과교육과정의특징 우선교육과정개정배경및방향을먼저살펴보면다음과같다. 교육과학기술부는 2008 년하반기부터 창의적인재육성 이란국가경쟁력강화차원에서수학교육강화 를위한 수학교육내실화방안 을수립하고이를실현시키기위하여새로운수학과 교육과정개정사업을추진하였다. 이에부응하여한국과학창의재단에서는 2009 년 창 의중심의미래형수학과교육과정모형연구 ( 김도한, 박혜숙, 이재학, 김홍종, 백석 윤, 박경미외, 2009) 를수행하였으며, 이때 창의중심의미래형수학과교육과정

43 개발의필요성을다음과같이제안하였다. 이공계대학전공학습에필수적인최소한의수학교과내용의학습보장 수학적창의력, 의사소통능력, 문제해결력등의개발을위한수학시수확보 학습자의수학학습특성, 흥미등정의적요소를고려한 맞춤형 수학학습지도 수학학습에서의개인차문제의실질적해결 창의적인수학적문제해결능력의실질적증진 수학관련타분야내용을수학교과의내용적소재로서적극적도입 또, 국가교육과학기술자문회의교육과정위원회에서수행된 2009 개정교육과정에따 른교과교육과정개선방향 연구에서수학과의교육과정개정과관련된주요내용은 다음몇가지로정리해볼수있다( 허숙, 2010). 학교교육의목표에서창의, 인성, 글로벌개념의강조 새로운교육지표에대한역량중심의요소개발 국민공통기본교육의단축으로인한교과별내용검토및분량재구성 창의적교육을유도하기위한교육내용분량적정화 교과교육과정의학년군별제시 학교교육평가의방향제시및체제개선 결과적으로 창의중심의미래형수학과교과내용개선및교육과정개정시안연 구 ( 황선욱, 황혜정, 이상구, 백석윤, 박경미, 박선화외, 2011) 는 2009년시행된 창 의중심의미래형수학과교육과정모형연구 ( 김도한외, 2009) 를토대로아래와같은 개정방향에초점을두어수행되었다. 수학적창의성강조 수학적과정의강화 수학교과내용양의 20% 경감 교육과정체제에서학년군제를염두한학년별제적용 위개정방향을좀더자세히살펴보면다음과같다. 가) 수학교과내용양의 20% 경감 위와관련하여박순경, 이광우, 정영근, 이미숙, 민용성, 김진숙외(2010) 는 2009 개정교육과정총론에따른교과교육과정의개정방향에대한논의에서각교과( 군) 별현행교육과정대비 20% 가경감되어야함을다음과같이설명하고있다. 증배가능성을기대하고교과교육과정기준을개발할경우학습양이증가하여교 육내용의적정화를저해할우려가있다. 따라서기준수업시수를감안하되교과내 용의양은형행교육과정보다 20% 함으로써보다질높은교과교육과정을추구할수있다. 정도감축한다고상정하고최적한학습내용을정선

44 나) 교육과정의체제에서학년군제적용 2009 개정교육과정총론의초 중등학교교육과정구성의방침에의하면 교육과 정편성 운영의경직성을탈피하고, 학년간상호연계와협력을통한학교교육과정 편성 운영의유연성을부여하기위하여학년군을설정한다 고규정하고있다. 현재 2007 개정수학과교육과정체제에서는학년제를따르고있다. 즉, 각학년에 서배워야할내용을학년별로제시하고있다. 반면학년군제는학생들이배워야할 내용을학년별이아니라몇개의학년을묶어서제시하는것이다. 예를들어, 초등학 교 1학년에서 2학년사이에학습할내용을초등학교 1~2 학년군으로제시하는것이다. 학년군제도입에따른가장큰변화는학생들의수준별학습이다. 학년군제를실시 하는것은학생들의학습수준의차이를인정하는것이다. 이해가빠른학생들은더 많은내용을혹은더깊은내용을학습할수있고, 이해가느린학생들은기본적인 내용을집중적으로학습할수있다. 학생들은자신의흥미나적성을고려하여필요한 수학교과를선택할수있으며, 이는학생들의진로방향과관련될수있다. 또다른 변화는학년군제에서는다양한교과서가사용될수있다는것이다. 교육과정에서엄 격한학년의구분이없어지고내용이통합적으로제시되기때문에관련내용들을여 러가지방법으로재배치할수있게된다. 현재학년군은 5 개로나뉘는데, 초등학교를 3 개의학년군( 초등학교 1~2 학년, 3~4학 년, 5~6 학년) 으로구분하고중학교와고등학교는각각한개의학년군으로통합하고 있다. 다) 창의중심교육과정과수학적과정의연계 수학적과정 은수와연산, 도형등의내용영역에서다루는수학적주제를이 해하고습득하는데에서, 그리고그러한수학적주제를활용하여다양한현상을이해 하고문제를해결하고의사소통하는데에서활성화되어야하는능력을의미한다. 시말해서 수학적과정 은학생들주변의다양한현상을수학과연결하고다양한 상황에서발생하는문제를해결할때활성화되어야하는수학의과정적기능을의미 하며, 수학적문제해결, 수학적추론, 수학적의사소통 등을구성요소로갖는개 념으로정의하였다. 현행수학과교육과정의구성체제는 성격, 목표, 내용, 교수학습방 법, 평가 등으로구성하였다. 학교에서구체적으로학습해야할수학성취기준을 내용 에서학년별로제시하였다. 한편, 2011 교육과정에서 수학적과정 의하위 구성요소로설정한 수학적문제해결, 수학적추론, 수학적의사소통 은수학과교 육과정에서지속적으로강조되어온사항이다 년개정교육과정에서도 목표 및 교수학습방법 에서수학적문제해결, 수학적추론, 수학적의사소통을강조하고있다. 학교의수학교수학습의실질적인 모습을결정한다고할수있는교과서의경우그내용은주로수학과교육과정의 다

45 내용 에제시되어있는성취기준을중심으로구성된다. 현행수학과교육과정과 같이 목표 와 교수학습방법 에서 수학적과정 과관련된제측면을과거와 같이선언적으로만제시하는것은 수학적과정 과관련된제측면들이교과서의 내용구성에배경으로서암묵적으로스며들게되는장점을갖는다고볼수있지만, 학생들에게적극적이고명확하게지도되지않는다는한계점또한갖고있다. 따라서 현행수학과교육과정의 목표 및 교수학습방법 에서선언적으로제시되고있는 수학적과정 의제측면들을이와동시에 내용 의진술에보다구체적인성취 기준을갖고포함시킴으로써학교수학에서그리고수학교과서에서수학적과정과 관련된제측면들을더욱적극적이고분명하게다루고자하는의도를가지고있다. 현행교육과정에서는시안연구결과( 황선욱외, 2011) 에의거하여, 수학적문제 해결, 수학적추론, 수학적의사소통 각각의내용요소를아래와같이규정하고있 다. 1. 수학적문제해결 1.1 주어진문제의해결에필요한정보를확인또는보완하고적절한전략이 나사고과정을활용하여문제를해결할수있다. 1.2 수학적인방법으로문제해결의과정과결과의타당성을설명할수있다 문제해결도중이나완결후문제제기를통하여문제해결을발전적으로이 끌수있다. 문제해결에서얻은결과와사용된전략을일반화하여새로운문제상황에 적용할수있다. 2. 수학적추론 2.1 수학적지식에근거하여수학적추측이나주장을만들고, 이를정당화할 수있다. 2.2 수학적인방법을활용하여자신의수학적아이디어와추론과정을설명할 수있다. 2.3 수학을하는데있어서다양한아이디어나독창적인아이디어가갖는가치를 인식할수있다. 3. 수학적의사소통 3.1 수학적인방법을활용하여자신의수학적인생각을논리적으로정확하게표현하고다른사람을이해시킬수있다. 3.2 수학적활동중에자신의수학적인생각을다른사람과주고받는활동의중요성을인식하고, 이를통하여자신의생각을개선시킬수있다. 3.3 다른사람의수학적아이디어나사고과정을이해하고, 평가할수있다

46 2) 각학교급별 2011 개정수학과교육과정의특징 가) 초등학교 2009 개정교육과정의가장큰특징중하나는교육과정편성및운영의경직성을 탈피하고학년간상호연계와통합을통한학교교육과정편성및운영의유연성을 부여하기위하여학년군을설정한것이다. 이에초등학교지도내용을 1~2, 3~4, 5~6 학년의세개학년군으로구분하여제시하였다. 이는영국, 프랑스, 핀란드, 중국등 세계여러나라에서취하고있는추세로간주된다. 한편, 내용영역명과관련하여, 2007년개정교육과정의 5 개영역중 규칙성과 문제해결 의주요내용인문제해결은나머지 4개영역과달리내용지식이아니라 과정지식의특성을띠기때문에다른 4개의영역에서해당영역의내용지식을활용 하는활동으로충분히지도가능하고또그것이자연스럽다고판단되므로 2009년개 정교육과정에서는영역구분을재구성하였다. 기존의 수와연산, 도형, 측 정, 확률과통계 에 규칙성과문제해결 에서지도되던비, 방정식, 규칙찾기 등의내용을다루는 규칙성 을포함하여 5 개의영역으로구성하였다. 나) 중학교 창의중심의미래형중학교수학과교육과정은수학적창의성과인성을갖춘미래 사회의인재양성을위한수학교육을목표로한다. 이러한목표를위하여중학교수 학과교육과정은초등학교에연계하여실생활과관련된교육소재를활용한수학교육 내용을구성하고, 다. 학생활동을유도하여수학을구체적으로체험할수있도록하였 학생활동이강조된수학과교육과정을통하여학생의흥미를유발하고스스로 생각할수있는힘, 즉창의력을배양하면서체험에서비롯된판단및분별력을신장 하여규칙과질서를지키며더불어사는인성을갖춘인재를양성해야한다. 이로써 문제해결, 추론, 의사소통등을의미하는 수학적과정 을강조하고학생스스로 조직하고탐구하여개념과원리를발견하는 자기주도적학습 의교수 학습방법 에따라, 창의중심의미래형중학교수학과교육과정은교사가정형화된지식을일 방적으로학생에게전달하는것이아니라학생이학습활동의주체가되는수업형태 를지향한다 개정교육과정의가장큰특징중하나는학년군제를실시하는것이다. 따라 서중학교 1~3학년을하나의학년군으로묶어서제시함으로써교육과정편성및운영 의유연성을부여하고자하였다. 중학교내의어떤내용이든중학교과정중에언제 든지학습할수있도록함으로써교육과정운영의융통성이발휘될수있도록한것 이다. 이는학생의학업효율성을높일수있으며, 교과서개발의자율성과교사들의 실제수업활동에서도자율성을확대할수있도록한것이다. 또다른하나는현행 중학교수학과교육과정의 39개중영역을 31개중영역으로재구성함으로써학습량을

47 경감하는한편, 학생들의직관적이해와자신의지식과사고방법에의한정당화를존 중하도록하였다. 이로써, 수와연산, 문자와식, 함수, 확률과통계, 기하로구성된 5 개대영역중에서수와연산영역과기하영역을상대적으로많이변화시켰다. 수와 연산영역에서현행교육과정의집합론내용을삭제함으로써엄밀성을지양하고학습 부담을줄이도록하였다. 기하영역에서도학생활동을기초로하여객관성을강조하 는증명보다는학생의경험적지식에바탕을둔정당화를강조하도록하였다(< 표 Ⅱ -1>). < 표 Ⅱ-1> 2011개정중학교수학의주요변화내용 수와연산문자와식함수확률과통계기하 개정내용 집합삭제 근삿값삭제 중영역명변경 십진법과 이진법삭제 정수와 유리수통합 수학개념과 실생활 의통합 활용 방정식관련 용어약화 함수개념도 입방법의변 화와 통합 정의역, 역, 어삭제 중영역 공 치역용 교수 학습 방법의변화 누적도수의 분포삭제 줄기와잎그 림추가 정당화에의 한기하교육 강조 작도와합동, 평면도형의성 질내용축소 원의성질, 도형의 내용축소 닮음 다) 고등학교 현행수학과교육과정에서고등학교 1 학년학생들이이수하는 수학 은국민공통 기본교육과정에속하는과목으로 8 단위(2개학기에걸쳐매주 4 시간운영) 필수과목 으로지정되어운영되고, 고등학교 2학년과 3학년과정에서는 6 단위선택과목 6개 중에서학생들이자신의진로와적성을고려하여자신에게필요한과목을선택하여 이수하도록하였다. 그러나 2009년 12월에고시된 2009 개정교육과정총론에따르면 고등학교수학의모든과목은 5 단위선택과목으로운영되고, 그내용은 20% 감축되 어야하므로현재 8 단위, 6 단위로조직되어있는고등학교수학 7개과목의내용을 5 단위선택과목체제로재조직하고, 각과목의내용범위와수준등을조정하여현 행교육내용 20% 를감축하고자하였다. 한편, 현행수학과교육과정은수학을대수, 기하, 해석이라는고전적인틀안에서 분류하고이에맞추어내용을구성함으로써, 하나의주제가여러단원에걸쳐다루어 지고그결과학생들의학습량이불필요하게증가하는측면이있다. 이러한점들을 참고하여고등학교수학과교육과정개정안의기본방향을다음과같이설정하였다. 첫째, 계산위주의학습을지양한다

48 둘째, 내용및주제간의연결성을강조한다. 셋째, 학습내용을적정화하여학습량을감축한다. 실제로각선택과목의내용을선정하고재조직하면서불필요한계산을최소화하고 주제간의연결성을강화하고자현행교육과정의내용을주제별로통폐합하고재구성 함으로써학습량을감축하고자하였다. 구체적으로는각단원간통폐합을통하여여 러영역및과목에흩어져있던동일주제의내용을통합함으로써불필요하게복잡한 계산의양을대폭줄이고각주제들이왜등장하게되었는지근원적인물음에답할 수있도록하고자하였다. 이러한과정을통하여자연현상과사회현상을이해하고 기술하는데에수학이왜필요하고유용한지학생들이체험하고그가치를인식하도 록하고자하였다. 이상의기본방향에따라고등학교수학과일반교육과정을 < 표 Ⅱ-2> 와같이 5단 위 6 개선택과목즉, 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분Ⅰ, 미적분Ⅱ, 기하와벡 터, 확률과통계 로재조직하였고, 이외에기본과목과심화과목을두어학생 수준에맞는교육과정운영을도모하였다. < 표 Ⅱ-2> 2011개정고등학교수학과교과목변화 현행교육과정상의교과목수학(8 단위) 수학Ⅰ(6 단위) 미적분과통계기본(6 단위) 수학Ⅱ(6 단위) 적분과통계(6 단위) 기하와벡터(6 단위) 수학의활용(6 단위) 개정교육과정상의교과목 < 기본과목> 기초수학 < 일반과목> 수학Ⅰ(5 단위), 수학Ⅱ(5 단위) 미적분Ⅰ(5 단위), 미적분Ⅱ(5 단위) 기하와벡터(5 단위), 확률과통계(5 단위) < 심화과목> 고급수학Ⅰ, 고급수학Ⅱ 기초수학 은중학교수학의내용을잘이해하지못한학생이일반과목의수학 교과를이수하기위해필요한수학적개념, 원리, 법칙을체계적으로이해하기위하 여선택할수있는기본과목이다. 기초수학의내용은 수와식의계산, 방정 식과함수, 피타고라스정리와삼각비 로구성된다. 수와식의계산 영역에 서는수의연산, 문자의사용, 식의계산, 다항식의계산을 방정식과함수 영역 에서는일차방정식과일차함수, 이차방정식과이차함수를 피타고라스정리와삼각 비 영역에서는피타고라스정리및삼각비를다룬다. 수학Ⅰ, 수학Ⅱ 에서는미적분을다루기위한기본적인내용을모아놓았고, 미적분Ⅰ, 미적분Ⅱ 에서는다항함수의미적분을기본으로하는기초미적분과 초월함수의미적분까지다루는미적분으로나누어구성하였다. 현대사회에서많이 요구되는 확률과통계 는현행교육과정에서여러교과목에나누어서술되었던것

49 을하나의교과목으로모아구성하였으며, 수학의한분야인기하를다루는 기하와 벡터 를또하나의교과목으로설정하였다. 수학Ⅰ 은학생들에게친숙한소재인다항식을이해하는것으로시작하였고방 정식과부등식을익히는데초점을두었다. 이를위하여중학교에서학습한이차방정 식의해의범위를확장하는것으로복소수를도입한후여러가지방정식과이차부등 식을다루도록하였다. 고, 그와관련된성질을살펴보도록하였다. 또한방정식을이용하여좌표평면에서의직선과원을표현하 수학Ⅱ 는간단한함수에초점을맞추었다. 우선함수를정의하기위하여집합 의개념을도입( 중학교에서는집합내용삭제) 하고그후에명제와증명을다루는데, 증명부분에서는그동안소홀히다루었던 귀류법 등을보완하였다. 함수 는 그정의및역함수, 유리 무리함수를간단히다룬다. 또, 수열 을함수와연계하 여다루는데, 계차수열이나점화식등의복잡한수열은삭제하고, 등차 등비수열등 의간단한수열의합을계산할수있도록하며, 지수 와 로그 는그용어를이 해할수있는정도로간단히다룬다. 미적분Ⅰ 은현행교육과정의 [ 수학Ⅰ] 에서다루는수열의극한과급수부분, 그리고 [ 미적분과통계기본] 에서다루는미적분과관련된내용으로구성되어가장 변화가없는교과목이다. 다만, 현행교육과정 [ 수학Ⅱ] 에서 평균값정리 를이동 하여보완하였다. 미적분Ⅱ 는현행교육과정 [ 수학Ⅱ] 의미분법, [ 적분과통계] 의적분법의내용 중에서 미적분Ⅰ 과중복되는내용을삭제한것이다. 다만 매개변수와음함수의 미분, 속도와가속도및거리와관련된도함수및적분의활용 관련부분은벡터 를다룬후에활용부분에서함께다루도록개정안의 기하와벡터 로이동하였다. 기하와벡터 는현행교육과정의 [ 기하와벡터] 에서 일차변환과행렬 영역을 삭제하고, 이차곡선 영역을평면곡선의음함수와매개변수표현의관점에서재구 성하여미분및접선의방정식까지한꺼번에다루도록하였고, 벡터는평면벡터와공 간벡터로구분하여학생들에게보다친숙한평면벡터를먼저다룬후순차적으로공 간벡터를다룸으로써학생들의이해를돕고자하였다. 확률과통계 는현행교육과정에서여러교과목에나뉘어포함되어있던내용을 하나의교과목으로통합한것이다. 이때, 실제자료에대한통계적처리능력을함양 하도록하기위해컴퓨터프로그램과공학적도구를활용하도록 교수 학습상의유 의점 에서강조하였다. 한편개정교육과정에서대영역전체가삭제된부분도있는데, 이를살펴보면 < 표 Ⅱ-3> 과같다

50 < 표 Ⅱ-3> 2011개정고등학교수학의주요변화내용개정내용 기초수학수학Ⅰ 수학Ⅱ 미적분Ⅰ 미적분Ⅱ 기하와벡터확률과통계 신설 실수삭제 복소수와이차방정식의연계강화 유리식과무리식약화 다항식의약수와배수약화 이차방정식, 이차부등식, 이차함수의통합및연계성강화 집합내용통합 명제내용보완및증명부분강화 함수영역의내용약화 수열의약화및이동 지수와로그내용약화및이동 수열의극한의이동통합 평균값정리이동 도함수의활용영역의교수학습상의유의점보완및삭제 중간값정리 를 사이값정리 로용어수정 지수함수와로그함수통합및약화 삼각함수통합및약화 미분법및적분법의내용조정 미분법을이용한평면곡선의이해강화 위치벡터를이용한평면운동의이해강화 순열과조합관련내용통합 연속확률변수의평균과표준편차삭제 공학적도구의활용강조 고급수학 Ⅰ, Ⅱ 신설 먼저현행교육과정 [ 수학Ⅰ] 의 행렬과그래프, [ 기하와벡터] 의 일차변환과행 렬 영역을삭제하였다. 행렬은집합과통계를제외하면가장최신이론이며수학에서 가장중요하고또역사적으로가장먼저접근한해석방식은다변수함수의미분을일 차변환으로이해하고이를행렬로표현하는것이었다. 그러나현행교육과정에서 [ 수학 Ⅰ] 의경우, 행렬이곱셈연산에서교환법칙이성립하지않고영인자를가지며역원이 없는행렬이존재한다는성질때문에나타나는특이한행렬과그행렬의성질을다루는 데치중하고있다. 따라서의미를갖지못하는계산위주의학습을지양하고학습량감 축의필요성을고려하여행렬부분을삭제하기로하였다. 또한이와관련하여일차변환을삭제하였다. 벡터를벡터로보내는일차변환을체 계적으로다루기에는스칼라에서스칼라로보내는함수를주로다루는고등학교일반 과정에서너무어렵다는판단을하여행렬과일차변환을고등학교심화과정에서체 계적으로다루기로하였다

51 한편, [ 수학Ⅱ] 의 방정식과부등식 영역을삭제하였는데, 구체적으로분수방정 식무리방정식그리고고차부등식과분수부등식내용을삭제하였다. 이러한주제들은 함수의증감표를만드는데필요한고차부등식을제외하면독립적인주제들이고, 실제 학생들이다루는문제들을보면실생활에서는등장하지않는계산위주의문제들이 주를이룬다. 이러한점에서학습량감축을위해이영역을삭제하였으며, 증감표작 성에필요한고차부등식의경우미분을이용하여그래프를그려서해결할수있도록 유도하였는데, 이는부등식풀이에서도같은방식을취하였다. 이차부등식을풀고나면 삼차함수의증감표를만들수있고, 삼차함수의그래프를그리면삼차부등식을풀수 있으므로사차함수의증감표를만들수있다. 이러한방식으로고차방정식의그래프와 고차부등식을연계하여지도할수있도록구성하였다. 마지막으로심화과목인 고급수학Ⅰ 은심화과목으로일반과목에서학습한수학 의기본지식과기능을바탕으로심화된수준의수학적개념, 원리, 법칙을체계적으 로이해하고수학적사고력, 창의적사고력, 문제해결력등을신장시킬수있도록하 는과목이다. 고급수학Ⅰ은심화된수학적지식과사고방법을습득하고논리적추론 능력을키워문제를합리적으로해결하는능력과태도를기르게함으로써자연과학 및공학분야뿐만아니라사회과학의학습에기초를제공한다. 고급수학Ⅰ 의내용은 벡터와행렬, 일차변환, 그래프 로구성된다. 벡터와행렬 영역에서는벡터, 행렬과연립일차방정식을, 일차변환 영역에서 는일차변환과행렬, 고윳값과행렬의거듭제곱을, 그래프 영역에서는그래프 의뜻, 여러가지그래프, 그래프의활용을다룬다. 고급수학Ⅱ 또한심화과목으로그내용은 복소수와극좌표, 미적분의활 용, 편미분 으로구성된다. 복소수와극좌표 영역에서는복소수의극형식, 극좌표와극방정식을, 미적분의활용 영역에서는미분의활용, 미분방정식, 적분 의활용을, 편미분 영역에서는이변수함수의뜻, 극한과연속, 편미분, 편미분의 활용을다룬다. 다. 수학교육과정에서의강조점과그의미 1) 수학적창의성강조 2010 년국가교육과학기술자문위원회의교육과정위원회는 2009 개정교육과정에따 른교과교육과정의개선방향 에서과거기능인중심에서창의인재중심으로개념을 변화시킬필요성을제시하였다. 또한박순경외(2010) 는 2009 개정교육과정총론에 따른교과교육과정의개정방향을제시하면서학생의창의성과인성을함양하기위한 교과교육과정의개선이필요하다고주장하였으며, 여기서추구하는인간상이 자주 인, 창의인, 문화인, 세계인 이라고하였다. 특히 창의인 이란 기초능력, 확산적

52 사고, 문제해결능력, 독창성, 새로운가치창출능력등 이있으며 기초능력의바 탕위에새로운발상과도전으로창의성을발휘하는사람 이라고정의하고있다. 이때, 수학적창의성의개념을일반창의성개념과차별하여학교수학교육현장의 실천과새로운수학과교육과정에부합하는조작적인창의성개념으로다루고자하였 다. 학교수학에서필요로하는창의성의개념을수학영재와같은특정학생을위한창 의성이아니라일반학생들의수학적창의성신장을전제로하면서, 수학과제를해결 하는과정에서다양하고독창적인해결방법을생각해내거나새로운관점에서과제를 탐구하고지식을구성하는능력 으로규정하였다. 학교수학을통해서수학적창의성 을계발할때에는창의적인사고와관련되는일련의과정을수학적으로의사소통하고 표현하는능력도신장시켜야할필요가있다. 그러나이창의성이라는항목은교육과정문서상에선언적인성격을띠고있고, 교 과서에서구체적으로어떻게구현되고교수 학습활동에서는어떻게수행될것인지에 대한언급은나타나있지않아학교현장에서 수학적창의성이란무엇인가? 에대한 논란이발생할가능성을내재하고있다. 2) 수학적과정의강화 수학적과정 은수학적주제를이해하고습득하는데에서그리고그러한수학적 주제를활용하여여러현상을이해하고문제를해결하며의사소통하는데에서활성화 되어야하는능력을의미한다. 다시말해서수학적과정은여러현상을수학과연결하 고다양한상황에서발생하는문제를해결할때활성화되어야하는수학적능력을의 미하며, 수학적문제해결, 추론, 의사소통 등을구성요소로포함하는개념으로정의 되고있다. 기존수학과교육과정체제는 성격, 목표, 내용, 교수 학습방법, 평 가 로구성되어있다. 학교에서구체적으로학습해야할수학성취기준은 내용 에 학년별로제시되어있다. 내용 은초등학교의경우수와연산, 도형, 측정, 확률과 통계, 규칙성과문제해결의 5 개하위영역으로구성되어있으며, 중 고등학교는수와 연산, 문자와식, 함수, 확률과통계, 기하의 5 개하위영역으로구성되어있다. 이러 한하위영역들은초등학교의규칙성과문제해결영역의문제해결을제외하고는모두 수학적주제를다루는내용영역이다. 문제해결과달리 수학적과정 은수학과교육 과정의 내용 안에하위영역으로 수학적과정 을신설하지않고 내용 을진술할 때수학적과정을포함하거나, 교수 학습방법 내에 2007 개정교육과정과비교하여 상대적으로강조하여구체적으로진술하는형태로제시하였다. 이와같이선언적수준을넘어내용의진술에구체적인성취기준을포함시킨것은 수학교육에서매우바람직한변화이지만, 이러한수학적과정을학교수학에서교육과 정에근거하여지도한경험이없기때문에교사들이학생들을지도하는데어려움을야 기할가능성이있다

53 3) 수학교과내용양의 20% 경감 박순경외(2010) 는 2009 개정교육과정총론에따른교과교육과정의개정방향에 대한논의에서각교과( 군) 별현행교육과정대비 20% 가경감되어야함을설명하였고, 이에따라 2011 개정수학과교육과정시안에서도 내용 을구성할때 20% 경감을가 시화하기위해서각급학교의수학교육의특성과사정에따라현행교육과정 내용 양의 80% 에맞추는방식으로진행하였다. 그러나학습량과수업시수가함께줄어든다면실질적인감축이라할수없으며, 고 등학교의경우기본교육과정이외에기초( 기초수학) 및심화( 고급수학Ⅰ, 고급수학 Ⅱ) 과정이개발되었고, 현재전문교과인고급수학이심화교과로바뀌었기때문에일반 고등학교에서또한개설이가능한실정이므로이는학생들에게는오히려학습량의부 담을가중시키는역할을할가능성도있다. 4) 2011 교육과정의체제에서학년군제를염두해둔학년별제적용 개정수학과교육과정에서는학년군제를바탕에두고교육과정을구성하되학 년별로해체할수도있게하여유연성을두고 내용 을구성하게하고있다. 학년군 은 5 개로구분되는데, 초등학교를 3 개학년군(1~2 학년, 3~4 학년, 5~6 학년) 으로구분하 고, 중학교와고등학교에는각각한개의학년군을두었다. 학년군제도입에따른가장큰변화는수준별학습으로학년군제를실시하는것은 학생들의학습수준의차이를인정하는것이다. 이해가빠른학생들은더많은또는 더깊은내용을학습할수있고, 이해가느린학생들은기본내용을집중하여학습할 수있다. 또한학생들은자신의흥미나적성, 진로를고려하여수학과목을선택할수 있으며, 엄격한학년의구분이없어지고내용이통합적으로제시되므로관련내용을 여러방법으로재배치할수있다. 위와같은긍정적인측면에도불구하고, 학교현장에서는학년군제를반영한수준 별수업방안과적절한평가기준이마련되어있지않고, 집중이수제를실시하는학교 에전학생이있을경우에기본교육과정을이수하지못하는문제가발생할수있다. 또 한학년군제를바탕에두고학년별로해체하는것도가능하도록하여학교교육과정에 반영하고자하는의지가상대적으로약해질가능성또한내재하고있다

54 2. 수학과교과서실태및특징 우리나라교과서는한국교과서연구재단(2011a) 의연구보고서와박선화와문광호 (2009) 의연구를중심으로실태와특징을알아보고문제점을찾아보았다. 가. 우리나라의교과서제도 우리나라의교과서제도는법적근거와종류, 발행의범위, 출판, 공급및특징등 아래의 < 표 Ⅱ-4> 와같다. < 표 Ⅱ-4> 우리나라의교과서제도( 한국교과서연구재단, 2011a) 법적 근거 교육인적자원부 < 교과서제도개선방안> 발표 교육과학기술부교과용도서에관한규정개정( 대통령령 제20740 호) 교육과학기술부 < 국 검정교과용도서개발절차> 및 < 교 과용도서수정 보완절차> 발표 초 중등학교교과용도서국 검 인정구분수정고시( 교 육과학기술부고시제 호) 교육과학기술부교과용도서에관한규정개정( 대통령령 제 호) 종류국정( 위탁개발형), 검정( 자유경쟁형), 인정 초등학교 국정 검정 국어, 바른생활, 슬기로운생활, 즐거운생활, 도덕, 사회, 체육, 음악, 미술, 수학, 과학등교과서및지 도서총 185책 실과, 체육, 음악, 미술, 영어등교과서및지도서총 22 책 발행 범위 중학교 국정생활외국어교과서총 5책 검정 국어, 생활국어, 도덕, 사회, 사회과부도, 역사, 역사 부도, 수학, 수학익힘책, 과학, 기술 가정, 체육, 음 악, 미술, 영어, 한문, 정보, 환경, 보건, 생활중국어, 생활일본어등교과서총 56책 인정 수학, 과학, 기술 가정, 체육, 음악, 미술, 영어, 한 문, 정보, 환경, 생활중국어, 생활일본어등지도서총

55 고등학교 국정 검정 인정 28 책 * 시 되는교과용도서임 도교육청의인정도서심의회를거치지않아도 안전과건강, 아랍어 Ⅰ, 러시아어 Ⅰ, 전문교과등교과 서총 252책 국어( 상 하), 화법, 독서, 작문, 문법, 문학( 상 하), 매체언어, 도덕, 현대생활과윤리, 윤리와사상, 전통윤리, 사회, 역사, 한국지리, 세계지리, 경제지리, 한국문화사, 세계역사의이해, 동아시아사, 법과사회, 정치, 경제, 사회 문화, 지리부도, 역사부도, 수학, 수 학익힘책, 수학의활용, 수학의활용익힘책, 수학Ⅰ, 수학Ⅰ익힘책, 미적분과통계기본, 미적분과통계기본 익힘책, 수학Ⅱ, 수학Ⅱ익힘책, 적분과통계, 적분과통 계익힘책, 기하와벡터, 기하와벡터익힘책, 과학, 물 리( Ⅰ Ⅱ), 화학( Ⅰ Ⅱ), 지구과학( Ⅰ Ⅱ), 생명과학 ( Ⅰ Ⅱ), 기술 가정, 농업생명과학, 공학기술, 가정과 학, 창업과경영, 해양과학, 정보, 체육, 운동과건강생 활, 스포츠문화, 스포츠과학, 음악, 음악과사회, 음악의 이해, 미술, 미술과삶, 미술감상, 미술창작, 보건, 한 문( Ⅰ Ⅱ), 영어, 영어학습활동책, 영어( Ⅰ Ⅱ), 실 용영어회화, 심화영어회화, 영어독해와작문, 심화영어 독해와작문, 독일어( Ⅰ Ⅱ), 프랑스어( Ⅰ Ⅱ), 스페인 어( Ⅰ Ⅱ), 중국어( Ⅰ Ⅱ), 일본어( Ⅰ Ⅱ), 전문교과등 교과서총 103책 수학, 과학, 기술 가정, 체육, 음악, 미술, 영어등의 지도서및아랍어Ⅱ, 러시아어Ⅱ, 전문교과등의교과 서총 163책 출판 국정 검정 교육과학기술부에서 < 교과용도서구분> 고시및 < 교과용도 서개발기본계획> 수립후, 편찬기관공모를거쳐계약 체결, 편찬기관이편찬후교과용도서심의회, 현장적합성 검토, 국립국어원감수등을거쳐최종발행 2008~2012 년국정교과용도서발행대행사는두산, 대한, 천재, 지학, 교학, 금성으로선정발표 학년별 연차별검정제, 검정에합격한출판사끼리협약 하여공동으로발행

56 검정에관한전반적인계획은교육과학기술부가수립, 리는한국교육과정평가원이실행, 전문기관감수제실시 관 공급 국정발행자자율책임공급제로, 국정은미래엔( 주)( 구대한교과서 검정 ( 주)), 검정은 ( 사) 한국검정교과서( 구 ( 사) 한국검정교과서협회) 가공급 선정각학교가교과서목록과견본을검토, 교과서선정하여주문 특징 교과서 특징 1 발행자자율책임공급제안착, 2 국정도서의검정전환확대, 3 역사교 과서의좌편향논란을방지하기위한 < 새역사교과서집필기준> 발표등 배판, 미색지와아트지, 2 기존쪽수의 20% 가감, 3 집필자명단을 단원별로제시, 4 자기주도학습이가능하도록단원구성, 년부터공 급되는중등학교교과서에폐지 30% 이상섞인재생지로제작 공급( 친환경) 나. 교과서및보조학습자료활용실태 우리나라초등학교수학교과서는국정으로개발하고있고, 중 고등학교수학교과서 는국가에서검정심사를하여심사에합격한책만을학교에서사용하게하는검정교 과서를채택하고있어, 교과서가국가수준의문서와버금가는역할을하고있다. 학교 현장에서교과서활용실태를살펴보기위하여학교교육경쟁력강화를위한교육과정 실행방안연구-수학과-( 박선화, 문광호, 2009) 의설문조사자료를참고하였다. < 표 Ⅱ-5> 수학수업에서수학교과서활용빈도 응답빈도및백분율 (%) 학교급 교과서의모든내용을최대한충실하게다루는편이다 교과서본문의내용은모두다루는편이다 교과서를참고하되, 수업은학생의수준을고려해적절히재구성 교과서보다는익힘책이나학습활동지와같은보조학습자료활용 기타 합계 초등학교 183(60.0) 63(20.7) 58(19.0) 1(.3) 0(.0) 305(100.0) 중학교 128(50.6) 46(18.2) 75(29.6) 4(1.6) 0(.0) 253(100.0) 고등학교 180(53.6) 46(13.7) 97(28.9) 10(3.0) 3(.9) 336(100.0) 전체 491(54.9) 155(17.3) 230(25.7) 15(1.7) 3(.3) 894(100.0)

57 < 표 Ⅱ-5> 에따르면, 수학교사들은 교과서의모든내용을최대한충실하게다루 는편이다(54.9%) 라는응답이가장높게나타났고, 그다음으로 교과서를참고하 되, 수업은학생의수준을고려해적절히재구성(25.7%) 한다 라는응답이높게나타 났다. 이응답은특히중학교교사들에게서가장높게나타났고, 그다음으로고등학 교교사들에게서나타났다. 이것에비춰볼때, 초등학교에서는최대한교과서중심으 로수업이이루어지고있으므로초등학교수학교육을개선하기위해서는질높은교 과서가개발 보급될수있도록힘써야함을알수있다. 반면, 중고등학교교사의경 우, 교과서에주로의존하지만, 약 30% 에가까운교사들은학생들의수준을고려하여 적절히재구성하고있으므로, 이들교사들의전문성을더욱신장시킨다면학생의능 력과수준에적합한수학수업이이루어질가능성이더욱높아질것으로보인다. 다음은수학수업을할때, 교사들의익힘책이나학습활동지와같은보조학습자 료활용정도를알아본것이다. < 표 Ⅱ-6> 수학수업에서보조학습자료활용빈도 학교급 거의매 시간 활용한다. 응답빈도및백분율 (%) 자주 활용한다. (1 주일에 1-2 시간) 보통이다 (1 달에 1-3 시간) 거의 활용하지 않는다. 전혀 활용하지 않는다. 합계 초등학교 193(64.7) 80(26.1) 25(8.2) 2(.7) 1(.3) 306(100.0) 중학교 82(32.4) 108(42.7) 59(23.3) 3(1.2) 1(.4) 253(100.0) 고등학교 82(23.9) 151(44.0) 90(26.2) 18(5.2) 2(.6) 343(100.0) 전체 362(40.1) 339(37.6) 174(19.3) 23(2.5) 4(.4) 902(100.0) < 표 Ⅱ-6> 에따르면, 초등학교교사들은거의매시간익힘책이나학습활동지와 같은보조학습자료를활용하고있음을알수있다. 그러나중학교와고등학교교사 들은 1주일에 1-2 시간정도활용하고있음을알수있다. 이것은초등학교는제5차 교육과정부터교과서와함께익힘책이보조학습자료로제공되어왔기때문에익힘 책이자연스럽게수업보조자료로필수적으로활용되고있음을보여준다. 하지만, 중, 고등학교의경우, 2009학년도에처음으로 1학년에한해익힘책이제공되었으나 문제풀이중심으로주어졌기때문에수업에서의활용도는그만큼떨어지는것으로 볼수있다

58 다. 우리나라수학교과서에서개선이요구되는사항 우리나라수학교과서에서개선이요구되는사항은그동안의문헌과교과서분과연 구자들이직접교과서를살펴보면서찾아확인하게된교과서의문제점들을협의를통하 여일치된내용을중심으로제시한다. 1) 타교과와의연결성우리나라수학과교과서는교과서제작에서타교과와의협의가이루어지지않고있어타교과와의연결성이약하다. 단원시작부분에서학생들의흥미를유발시킬수있는소재들을등장시키고타교과와의연결을시도하지만다양한예시들을제시하고있지못하며타교과와연결하여지도하기에는어려운부분이많다. 또한단원의끝부분에읽을거리를제공하지만수업시간에그내용을비중있게다루는경우는많지않으며, 간과하고지나치는경우가대부분이다. 2) IT 기기의활용 우리나라는 IT 강국임에틀림없음에도불구하고 IT 기기를활용한실험활동의비중이 낮고학습용소프트웨어를사용하여학습자가직접활동해보는기회를제공하지못하고 있다. 교육과정에서계산기의사용을권장하고있지만, 실제로교과서에제시된문제들은 대부분정수나간단한유리수들로, 계산기를사용하지않아도해결할수있는문제들이 대부분이고, 실생활에서볼수있는복잡한수치를그대로가져오고있지않다. 손으로 계산하기힘든연산들을계산기를이용함으로써계산의부담감을줄이고내용에대한적 용력을높일수있는, 계산기를이용한근삿값으로답하기, 퍼센트로답하기등의문제들 이많게제공되지못하고있다. 따라서학생들이실생활에서수학의필요성을인식하기 어려우며, 실생활과관련된물음을제시하여동기부여를하기에어려움이많고, 또한학 습용소프트웨어를접할기회가없어학생들이직접다양한수학적활동을해볼수있는 기회가적다. 3) 사진자료우리나라교과서에서는실생활과관련된사진자료가많이수록되어있지않다. 우리나라수학교과서에는삽화자료가훨씬많은비중을차지하고있고실제사진을수록한경우는현저히드물다. 따라서실생활에직접적으로관련되어지는부분들을학생들이보다쉽게느낄수있는기회가적고, 실생활과의연관성을깨닫기가쉽지않다. 4) 교과서속의스토리 교과서에학생들이쉽게접할수있는스토리를이용해개념설명을하고있는부분이 많지않다. 수학적의미, 역사적맥락, 실생활사례들보다는문제풀이를위한수학공식

59 암기위주의학습을위한내용들로전개되어있다. 따라서학생들의흥미를유발하기는쉽 지않고 수학은재미없고딱딱한과목이다 라는인상을주기가쉽다. 5) 다양한콘텐츠학생들의자기주도학습을이끌수있는콘텐츠가약하다. 수학공부를교과서외에웹사이트나스마트폰같은휴대용기기로할수있도록하는시스템구축이되어있지않다. 따라서학생들이수업중에놓친부분을따로찾아가며보충학습을도울수있고, 이해가안되는부분을직접찾아가며공부할수있는환경이조성되어있지않다. 6) 교사에게제공되는수업자료의양 2007 년개정교육과정에서강조한수학의가치및유용성에대한이해를지도하기위 한수업자료가부족하다. 여러과목을가르쳐야하는초등학교의경우, 교사가모든과 목에대해깊이있는수업연구를하기어려우므로, 교사용지도서나다른보조자료를 통해, 학생들의수학학습내용및방법에대한상세하고구체적인안내를제공해줄필 요가있지만, 현재는많이부족한실정이다

60 3. 수학과교사연수실태및특징 Haselkorn & Harris 는 교사의질을향상시키는것이공교육향상을위한가장중요한 방법이다. 라고하였으며, Ponte는많은연구자들이교사를교육개혁의핵심으로바라 본다고지적했다(Judith, 2007). 그러나교사의질을향상시키기위한교사연수가교사 의요구에부응하지못하는것이우리나라의현실이다. 우리나라교사연수의전반적실 태와국가수준의연수와교사주도의연수사례를살펴보고자한다. 가. 교사연수의전반적실태 우리나라수학과교사연수실태가어떠한지를학교교육경쟁력강화를위한교육과정 실행방안연구-수학과-( 박선화, 문광호, 2009) 에근거하여살펴보았다. 최근 10 년이내에수학연수에얼마나참여하였는지조사한결과, 연수에참여한경험 이없거나 5 시간이하로참여한교사가 < 표 Ⅱ-7> 과같다. < 표 Ⅱ-7> 수학관련연수에참여한교사비율 학교급초등학교중학교고등학교총 연수참여도 79.2% 33.4% 38.6% 50.9% < 표 Ⅱ-7> 에의하면, 전체 50.9% 의교사가수학연수에참여한적이없거나 5시간이 하의연수를받았으며특히, 초등학교교사의경우약 80% 에해당하는교사들이수학관 련연수를제대로받아보지못했다는것은초등학교교사들의수학수업에대한전문성 이뒤떨어질수있다는것을반영한다. < 표 Ⅱ-8> 수학관련연수를받지못한이유 학교급초등학교중학교고등학교 이유 1 이유 % 38.3% 68.9% 개설된연수강좌가별로없어서 방과후학교나보충수업등으로인해시간이없어서 16.9% 31.5% 17.1% 개설된연수들이현장에서필요한내용으로구성되어있지않아서 연수를받지못한이유는 < 표 Ⅱ-8> 와같이, 초등학교교사의경우, 개설된연수강좌 가별로없어서(53.1%), 개설된연수들이현장에서필요한내용으로구성되어있지않아 서(16.9%), 중학교와고등학교의경우방과후학교및보충수업등으로인해시간이없

61 어서(38.3%, 68.9%), 개설된연수들이학교현장에서필요한내용으로구성되어있지않 아서(31.5%, 17.1%) 를이유로들었다. 이금선(2005) 은교육행정기관에서실시하는교원연수의형태및내용이재고되어야 효과적인연수가가능할수있기에개별교과연수의문제점을찾아개선하려는노력을 지속적으로기울여야한다고하였다. 이에현재시행되는교사연수를면면히살펴보고자 한다. 다음은 2010 년광주교육청홈페이지에탑재된자격연수(< 표 Ⅱ-9) 와직무연수(< 표 -10>) 운영을분석한자료이다. 자격연수 11개중 1 개, 직무연수 31개중 4 개, 원격연수 56개중 1 개만이수학관련연수로매우적게시행되고있다는것을알수있다. Ⅱ < 표 Ⅱ-9> 2010 광주교육청자격연수 연번구분연수과정명연수대상계획인원 연수인원 연수시간 연수일수 연수기간 1 집합유치원정교사(1 급) 자격연수유치원교사 ~08.24 생략 9 집합 10 집합 11 집합 중등학교정교사 (1 급 ) 국어자격연수 중등학교정교사 (1 급 ) 수학자격연수 중등학교정교사 (1 급 ) 영어자격연수 중등국어교사 ~08.20 중등수학교사 ~08.20 중등영어교사 ~08.20 < 표 Ⅱ-10> 2010 광주교육청직무연수 연번구분연수과정명연수대상계획인원 연수연수인원시간 연수일수 연수기간 1 집합초등영재교육담당교원연수( 수학) 초등교사 ~ 집합초등영재교육담당교원연수( 과학) 초등교사 ~ 집합초등진로교육직무연수초등교사 ~ 집합 15 집합 22 집합 중등학생생활지도능력향상을위한상담의실제 중등영재교육담당교원연수 ( 수학) 중등지리과수업전문성향상과정 생략 생략 중등교원교육전문직 ~01.15 중등교사 ~01.15 중등교사 ~ 집합중등수학과수업전문성중등교사 ~

62 24 집합 향상( 기하학) 과정중등수학과수업전문성향상( 미적분과통계) 과정 생략 중등교사 ~ 집합학교경영자리더십 ( 중등) 중등교장 ~10.27 소 계 1 원격초등진로교육기초연수 15 원격 16 원격 중등평가전문성 e-learning ( 영어) 중등평가전문성 e-learning ( 수학) 56 원격교원능력개발평가의이해 생략 생략 초등교원교육전문직 1,44 3 1, ~04.16 중등교원 ~11.3 중등교원 ~11.3 초중등교원및 교육전문직 소계 8,867 8,512 합계 10,310 9, ~12.09 연수에대한정보제공의방법도연수참여율과깊은관계가있다. 성지은(2011) 은교원 연수내용과프로그램등에관한정보가연수기관중심으로운영되고있다고하였다. 또한 수요자인현장교원들의연수관련정보를선택하여비교할수있는시스템이구비되어있지 못하며전국적으로정부와교육청중심의연수기관에대한정보는공급자위주로운영되어 현장교원들이필요로하는질높은연수제공과선택에어려움을주고있다고했다. 조사 한결과를열거하여보면공문을통한접근, 에듀넷(edunet) 홈페이지를통한접근, 교사 및교사연수정보서비스 (TTIS) 방법이있는데수학교수관련연수는검색되지않는것으로 보인다. 결국, 수학교사에대한국가기관외의연수정보는교사가직접관심을갖고주변 교사의입소문에의해듣지않는한, 쉽게얻기가힘들다. 국가기관의의무적연수외에 초임교사나정보가부족한교사가찾아서들을수있는연수검색서비스의확충이필요한 실정이다. 문미혜(2003) 의 ICT 활용연수에관한조사를살펴보면연수내용에만족한교사는 7.6% 에그치고있다. 교수-학습방안이연수후에질적으로향상이되었다고대답한응답자는 17.7% 에불과하였다. 구체적인내용을살펴보면, ICT 도구의선별및반성과정없이사용 법만을지도하는소양교육에치우치고있다. 평가의측면에서보면현재 60시간이상의연수평가는상대평가로결과에대한부담 으로인하여전문성신장이라는본질적인목적이왜곡되고있다. 연수강사에도문제점을

63 보이고있다. 일단, 강사료가매우낮은수준이다. 실제로대전시의경우, 2010년 1급정 교사연수수학강사비는 1교시 7 만원, 이어서수업을할경우 2교시 3만원으로하루 4시 간수업을할경우 16 만원이다. 더욱이, 교사연수시인접교과전공인력이담당하거나 관련성이낮은전공인력이담당하기도하여전문성이매우떨어지고있는실정이다. 연수와교원평가및학교평가와의관련성을살펴보면, 2011년학교평가는단위교육청 에일임된상태이고, 세부항목에대한권유도없으며 75시간이상직무연수를이수한교 원의수가학교평가에반영되고있다. 교원능력평가에연수시간에대한평가요소는없고 다만평가결과에의해결과가좋지않은항목에대해연수를하도록하고있다. 교육과학기술부(2011) 는교원등의연수에관한규정개정안을아래와같이입법예고 하였다. 제21 조( 결과통보및활용) 2 교육과학기술부장관, 교육감, 교장은평가결과를연수대상자선발, 연수프로그램제공및연수예산지원등교원의전문성향상을위한자료로활용하여야한다. 특히, 교원평가결과는학습연구년제, 지표별맞춤형자율연수, 능력향상연수등에활 용되며교과부는이와연계하여재직중원격연수, 방학중의무연수, 장기집중연수등 과관련된맞춤형교육연수를실시할계획이다. 이를위해교과부는 2011년 12월 18일 전국모든교원이사용할수있는통합교육연수시스템을 16 개시 도교육청및교육연 수원과공동으로구축했다고밝혔으나연수결과를평가결과에반영하지는않고있다. 우리나라교사연수를전반적으로살펴봤을때수학관련연수참여율, 교육청에서의 수학관련연수개설률이매우낮으며검색이어려우며만족도도매우낮은상황이다. 또한연수강사대우도좋지않으며직무연수에대한의무조항은있으나수학교사의교과 관련연수에대한의무조항이없다. 또한교원현직연수제도상평교사가연수실적에의 해호봉이재확정되는경우는공무원보수규정제9조에의한 1급정교사자격연수후에 1 호봉이승급되는경우뿐이다. 또한경력환산시학력과경력이중복되는경우그중 1 개만을도입한다는규정에의해현직교원이학력을보충( 석 박사학위취득) 을해도 승급혜택이전혀없다( 성지은, 2011). 나. 국가수준의연수사례 위에서살펴본바와같이교육당국은교사의전문성계발에정책적으로힘을쏟고있 으나, 사회와학부모들은학교교육의질에만족하지못하고있으며, 학교현장교사들 또한학교현장에서의어려움을호소하고있다. 이러한문제를해결하기위해국가에서 제공하고있는연수프로그램을좀더구체적으로살펴볼필요가있겠다. 1) 1 급정교사연수프로그램

64 다음은교육과학기술부장관이고시한중등 1급정교사자격연수의전공영역에대한 표준교육과정(< 표 Ⅱ-11>) 과경상북도교육연수원의 2011년도 1급정교사수학연수프 로그램의시간표 ([ 그림 Ⅱ-1] ) 이다. < 표 Ⅱ-11> 중등 1급정교사자격연수전공영역의교과목및시수 교수 교과과목시수 교수 학습이론 학습방법 교과별교수 학습모형별지도방법 교과별수업분석기법 교과별교수 학습자료제작 교과별교실수업개선사례 사이버학습의이론과실제 프로젝트학습의이론과실제 교과용도서분석및활용 14 ~ 22 [ 그림 Ⅱ-1] 2011 경상북도 1급정교사수학연수프로그램

65 < 표 Ⅱ-11> 을보면 1급정교사자격연수의총 200여시간중교수 학습방법에관련 된시수는 14 ~ 22 시간에그치고있는것을알수있다. 연수프로그램시간표( [ 그림 Ⅱ -1]) 를보면많은과목들을피상적인수준에서나열하는식으로만다루고있고한과목 의강의시간은 3 시간을넘지못하고있다. 선택과집중을통해과목수를줄이고과목 당시간을늘려야한다. 2008년교육과학기술부에서현행자격연수중세부적교과목에 대한표준교육과정을개발하였으나적은시수에다양한과목을나열하여이문제는해 결되지않고있다. 또한수학내용학과목을학교수학내용과관련지어균형있고포괄적으로다루는경험 이제공되지못하며수학내용학과수학교육학이분류되어있는것을알수있다. 박경미(2010) 는각주제내에서학교수학과관련지으면서하위주제들을정하는것이바 람직하다고하였다. 실제로교사들은전공수학내용을실제교실수학과관련지어연구해 보는시간이항상부족하였으며 램을운영해주는것이좋다고하였다. 이에 1정연수에그런연구의기회를가질수있도록프로그 ICT 활용수업을살펴보면제한된교육용소프트웨어를적은시수로사용하고있다. 그래서강사의소프트웨어프로그램소개와사용법의설명, 사용법습득을위한실습에 서벗어나지못한다( 박경미, 2010). 소프트웨어프로그램사용법습득을넘어서서그것 들을활용한수업을설계하고교수 학습방법을모색하게하여야하겠다. 열거한실태들에수학교사들은교사의전문성을신장시키는연수를 < 표 Ⅱ-12> 와같은 방향이되어야한다고생각하고있다. < 표 Ⅱ-12> 수학교사들이바라는연수의방향 교사가바라는연수의방향 비율 (%) 현장과밀접하게연계된체험중심연수 64.1 교과내용, 교과교수 학습및평가에대한심화된이론적지식습득중심연수 45.7 다양한연수프로그램의운영이있으면서연수에참여하는경우인센티브부여 31.9 국외현장견학이나연수기회확대 24.3 단위학교교과협의회활성화 % 의교사들이학교현장과밀접하게연계된체험중심의연수가실시되어야한다고 하였으며, 45.7% 의교사는교과내용, 교과교수 학습및평가에대한심화된이론적지 식습득중심의연수가실시되어야한다고하였다. 31.9% 는다양한연수프로그램의운영 이있어야하고연수에참여하는경우인센티브가부여되는것이좋다고응답하여연수 종류의다양성부족에대한교사들의갈증과인센티브부여가연수참여율고취방안이 될수있음을알수있었다. 또 24.3% 의교사가국외현장견학이나연수기회가확대되기 를원하는것을통해새로운교수방법에대하여배우고싶은것을엿볼수있었다. 또한,

66 22.1% 의교사가단위학교별교과협의회가활성화되어야한다고응답하였고, 지속적으로이루어지는연수를바라는것을알수있었다. 학교내에서 2) 한국교육과정평가원의수학과중등초임교사수업컨설팅 영역별초임교사의난점과경력교사의방식, 컨설팅과정을소개하고있다. 먼저, ICT 활용수업을보면 성찰하기 로시작하여 수업설계실습하기, 모둠토의하 기, 모둠발표하기, 자료제작하기 등참여교사의활동을다수포함시키고있 어교사들이제시한다른수학교사연수에서의문제점을보완한방향을보여주고있다고 하겠다( 박경미, 2010). 3) 한국교육개발원영재교육담당교원직무연수중심화연수 가) 2008년심화연수사례 - 연수일정 : 2008년 6월 16일 ( 월) ~ 12월 19 일( 금) (6개월 /120 시간/ 성적산출) - 연수장소 < 사이버연수> 영재교육센터홈페이지 한국교육개발원 ( < 합숙연수> 한국증권업협회 아산연수원 4박 5일 ( < 지역워크숍및종합연찬회> 롯데연수원 1박 2일 ( - 연수방법 : [ 그림 Ⅱ-2 ] 와 같습니다. 나) 2011년심화연수사례 - 연수종별 : 직무연수 ( 심화과정 ) - 연수과정 : 영재교육담당교원 수학 과학 예술통합심화연수 (120 시간, 성적산출) [ 그림 Ⅱ-2] 한국교육개발원영재심화연수방법 - 연수인원 : 120 명이내( 초 중등수학 과학 예술분야) - 연수기간: 2011년 7월 11 일( 월) ~ 2011년 11월 26 일( 토)

67 < 표 Ⅱ-13> 2011 영재담당교원심화연수일정 사전학습 ( 월) ~ ( 일) 22시간 합숙연수 ( 월)~8.5( 금) 40 시간, 4박 5일 현장적용실습 ( 월)~10.6( 목) 20시간 워크숍 ( 금)~10.8( 토) 9 시간, 1박 2일 현장적용실습 ( 월)~11.24( 목) 20시간 워크숍 ( 금)~11.26( 토) 9 시간, 1박 2일 2008 년의연수가각과목별로전문적으로이루어지고있는데비해현재는수학 과학 예술통합형심화과정을개설하여운영하고있으며 STEAM/STEM 프로그램개발에주안을두는연수로변화하였다. 2008년의한국교육개발원영재교육담당교원직무연수는다른연수에비하여장기간에걸쳐이루어지며연수내용안에수업프로그램개발과현장적용이두번이나포함되어있어, 연수후교사만족도가높은편이며연수후에수업의전문성이현저하게증가하는연수의형태이다. 이러한형태의장기연수를영재수업뿐아니라다른수학교사연수에적용도고려해볼만하다. 4) 수학과실험연수프로그램 서울특별시과학전시관에서 2009 년에초등교사의요구를반영하여운영되었다. 수학교 구이용수학개념의지도방법, 수학교과실험교육지도방법 ( 교수활용실험활동 후, 공식과정리재발견), 수학관련소프트웨어소개후, 그중하나의프로그램을집 중적으로배우도록기획하였다. 이는선택과집중의과정이잘이루어진연수프로그램 이라하겠다( 박선화, 문광호, 2009). 다. 교사주도의연수사례 국가수준의연수외에교사의참여가많고, 밀도있게진행되어교사의만족도가높은연수프로그램을다음과같이면밀히살펴보겠다. 1) Math Festival( 박경미, 2010) 교육전문기관외에교사들의자생적인연수중, 수학교사들에게좋은반응을얻고있 는연수로겨울방학기간에 3박 4 일로진행되었다. 연수개최대학교에서숙식을하면서 연수에참가하였고, 비용은수익자부담이었다. 연수에참가한후, 2학점을취득할수 있었으며다채로운요소의연수구성및참석자의자유의지에의한세션을선택할수 있었다. 수업관찰및토론은상설분과로, 3시간세션이 4 번이루어졌다. 연수강사는

68 대부분현직교사로서직접경험하거나개발한것을공유하거나발표하였다. 학생이되 어직접참여하거나조작활동이강조되는점에서만족도가특히높았다. 더욱이, 교실 관찰분과의섹션은연수내내진행되었으며교사들이실제로전사록을보며교실관찰을 실제로해보고토론을했다. 몇몇교육청에서교실관찰을 1급정교사연수에수업으로 넣는경우가있는데 3시간정도의수업에그쳐실제로어떤식으로이루어지는지는알지 못한채, 강사의개관적인설명만듣는데그치고있는것과비교해보면상당히이상적이 라할수있겠다. 한가지유의사항은특정체험위주의워크샵은소재가포함하고있는 수학적원리에대한고려가부족하여단순히따라하고만들기만하는내용도있었는데 그렇게되지않고항상수학적원리에대한고려와탐구가있도록구성될필요가있다. [ 그림 Ⅱ-3] 은 2011년도 1월에이루어진 Math Festival 연수의일정표를간략히나타낸 자료다. [ 그림 Ⅱ-3] 2011년 Math Festival 연수일정표 [ 그림 Ⅱ-4] Math Festival 현장모습

69 2) 여름교사연수3) 기하프로그램을활용한수학수업, 중학교수학수업의실제, 고등학교수학수업방 법의개선연수가각 15 시간( ~ 10, 1 학점), 중학교수학수업을위한강 좌, 고등학교수학수업의새로운시도연수가각 15 시간( ~ 12, 1 학점) 으 로이루어진다. < 표 Ⅱ-14> 는 중학교수학수업을위한강좌 의세부일정표의예이 다. < 표 Ⅱ-14> 2011 여름교사연수세부일정표예시 1반 2반 09:30~11:10 예술과통합된수학수업피타고라스의정리 11:10~12:30 점심 12:30~14:10 학생수준을고려한창의적수학수업 - 수학을지속하게하는힘, 아하! 체험 4D 프레임을활용한영재프로그램 14:30~16:10 4D 프레임을활용한영재프로그램 학생수준을고려한창의적수학수업 - 수학을지속하게하는힘, 아하! 체험 이연수프로그램은방학기간중에개설하여많은교사가연수에참여할수있도록하였으나고등학교교사는방과후수업으로참여에어려움이있다. 방학말미에진행하고주제를다양화하여원하는대로원하는날짜를선택하여연수를들을수있도록개선할필요가있다. 라. 우리나라수학교사연수의특징 1) 낮은연수참여율 연수를받을수있는여건이조성되어있지않다. 교사들의방과후학교수업등정 규수업외의수업으로인해방학에개설된연수를받을수있는시간을확보하기어렵 다. 연수에대한의무나연수후처우개선에대한정책은학교평가에연수시간이반영 되는정도로그치고있다. 연수의검색이한번에이루어지지않고산발적으로연수홍보 가이루어지고있으며교사가직접공문을찾아보거나개인적인인간관계에의해입소문 으로연수참여를하고있다. 좋은연수가있어도특히교사자생적연수는언제, 어디 서하는지를몰라서참여할수없게되는경우도많았다. 3)

70 2) 연수내용의부실 연수내용에대한교사만족도가낮다. 국가연수의경우연수내용이학교현장에실 질적으로도움이되는내용이아니고교사들의요구가거의반영되고있지않다. 수학내 용학과수학교육학의수업이개별적으로이루어지고있다. 교사들은전공수학내용을실 제교실수학과관련지어연구해보는시간이부족하며연구의기회를연수에서제공받기 를원하고있다. 지역교육청연수의경우국가수준의지침에의해지역적특성이없는 연수운영이이루어지고있으며수학관련연수의개설비율이약 6% 에그치고있다. 국 가의개입이거의없는수학교사에의한연수보다국가연수의만족도가낮다. 연수기 관의전문성이떨어진다고볼수있다. 수학교과만을위한연수기관이있지않고연수를 담당하는기관에서수학관련연수까지담당하고있어강사의체계적인관리가이루어지 고있지않다. 연수는 1회성으로그치고있으며많은내용을짧은시간동안에나열하는 수준으로만그치고있다. 3) 초등수학교사연수의비활성화 수학관련연수참여율이낮거나없는교사의비율은중등, 고등교사가결코적지않 은수치지만각각 40% 를넘지않는데반해초등교사들은 79.2% 로매우크다. 게다가초 등수학교사만을위한교육청단위연수는찾아보기도힘든실정이다. 예로제시한교육 청의경우 98 개연수중초등영재교육담당교원연수하나만존재한다. 국가수준은물 론, 교사주도의수학연수프로그램에도초등교사수학연수는거의없다고할수있다

71 4. 수학과평가실태및특징 가. 교육과정에제시된 평가 지침 박선화, 문광호(2009) 는학교수학교육의경쟁력이강화되기위해서는, 학교수학 수업의 수학적사고력및문제해결력신장 과같은수학교육의본질적목적을달 성하는데초점을두어야하고, 학생들의흥미를북돋워주고원리의이해를강조해야 하며, 수학학습의목적, 수학의가치이해를추구하는수업이되어야하는데, 이러 한수학교육을추구하도록규정해놓은것이수학과교육과정이라고하였다. 한편, 각교과의교육과정은시대적교육동향을반영하기때문에 교육과정과 개정수학과 개정수학과교육과정의평가부분을비교및분석하여우리나라에서 수학교육평가와관련해추구하는바를분석하고, 이러한지침의실현정도와개선할 여지에대해알아보기위해, 우리나라학교수학교육의평가실태를점검하였다. 평가 실태에대한점검은최근보고된학교교육경쟁력강화를위한교육과정실행방안 연구-수학과-( 박선화, 문광호, 2009) 에근거하여이루어졌다. 우선, 2007 개정수학과교육과정과 2009 개정수학과교육과정의평가부분을비교 및분석하고자한다(< 표 Ⅱ-15>). < 표 Ⅱ-15> 2007개정과 2009개정교육과정의평가지침비교 2007 개정수학과교육과정 2009 개정수학과교육과정 < 평가목적 > 가. 수학학습의평가는학생의인지적영역과정의적영역에대한유용한정보를제공하여학생개개인의수학학습과전인적인성장을돕고교사의교수활동과수업방법을개선하는데활용한다. 나. 수학학습의평가에서는학생의인지발 달수준을고려하고, 교육과정에제시된내용의수준과범위를준수한다. 가. 수학학습의평가는학생의인지적영역과정의적영역에대한유용한정보를제공하고, 학생개개인의수학학습과전인적인성장을돕고교사의수업방법을개선하는데활용되어야한다. 나. 수학학습의평가에서는학생의인지발달단계를고려하고, 교육과정에제시된내용의수준과범위를준수한다. < 평가방법 > 다. 수학학습의평가는수업의전개과정에 따라진단평가, 형성평가, 총괄평가등의 다. 수업의전개국면에따라진단평가, 형성 평가, 총괄평가등을적절히실시하되, 지

72 적절한평가방식을택하여실시하되, 지속 적인평가를통하여다양한정보를수집하 고수업에활용한다. 라. 수학학습의평가에서는획일적인방법을 지양하고지필평가, 관찰, 면담, 자기평가 등의다양한평가방법을통해교수-학습을 향상시킬수있게한다. 속적인평가를통하여다양한정보를수집 하고수업에활용한다. 라. 수학학습의평가에서는선택형위주의 평가를지양하고서술형평가, 관찰, 면담, 자기평가등의다양한평가방법을활용하 여수학학습에대한종합적인평가가이루 어질수있게한다. < 인지적영역의평가 > 마. 인지적영역에대한평가에서는학생의 수학적사고력신장을위하여결과뿐만아 니라과정도중시하여평가하되, 수학과교 수 학습에서전반적으로요구되는 항을강조한다. 다음사 (1) 수학의기본적인개념, 원리, 법칙을이 (2) (3) 해하고적용하는능력 수학적표현의의미를이해하고정확하게 사용하고표현하는능력 수학적지식과기능을활용하여타당하게 추론하는능력 (4) 다양한상황에서발생하는여러가지문제 를수학적으로사고하여해결하는능력 (5) 생활주변현상, 사회현상, 자연현상 (6) 등의여러가지현상을수학적으로관찰, 분석, 조직하는능력 수학적사고과정과결과를합리적으로 의사소통하는능력 마. 인지적영역에대한평가에서는학생의 수학적사고력신장을위하여결과뿐만아 니라과정도중시하여평가하되, 수학과교 수 학습에서 항을강조한다. 전반적으로요구되는다음사 (1) 수학의기본적인개념, 원리, 법칙을이 (2) (3) 해하고적용하는능력 수학의용어와기호를정확하게사용하고 표현하는능력 수학적지식과기능을활용하여추론하는 능력 (4) 다양한상황에서발생하는여러가지문제 를수학적으로사고하여해결하는능력 (5) 생활주변현상, 사회현상, 자연현상 (6) (7) 등의여러가지현상을수학적으로관찰, 분석, 조직하는능력 수학적사고과정과결과를합리적으로 의사소통하는능력 수학적지식과기능을바탕으로창의적으 로사고하는능력 바. 정의적영역에대한평가에서는학생들의 수학에대한긍정적태도를신장시키기위 하여학생들의수학및수학학습에대한 관심, 흥미, 자신감등의정도를파악한다. < 정의역영역의평가 > < 평가에서공학적도구의활용 > 바. 정의적영역에대한평가에서는학생의수 학에대한긍정적태도를신장시키기위하 여수학및수학학습에대한관심, 흥미, 자신감, 가치인식등의정도를파악한다

73 사. 수학학습의평가에서는평가하는학습 내용에따라학생들에게계산기, 컴퓨터와 같은공학적도구와다양한교구를이용할 수있는기회를제공할수있다. 사. 수학학습의평가에서는평가하는학습 내용과방법에따라학생에게계산기, 컴퓨 터, 교육용소프트웨어등의공학적도구와 다양한교구를이용할수있는기회를제공 한다 개정수학과교육과정과 2009 개정수학과교육과정의평가부분을비교하여살펴 본결과, 다음과같은몇가지변화를찾을수있었다. 첫째, 평가방법면에있어서 획일적인방법 의지양에서 선택형위주의평가 의 지양으로좀더구체적으로사지선다형, 오지선다형문제를통한평가방법의지양을명 시하였다. 둘째, 다양한평가방법을활용하여평가하는부분은동일하지만다양한평가 방법에 지필평가, 관찰, 면담, 자기평가 가포함되어있었다면 2009 개정에서는 지 필평가 대신 서술형평가 를명시하였다. 셋째, 다양한평가방법을활용하여 교 수 학습향상 을위해활용하는것이아니라 수학학습에대한종합적인평가 에 활용하는것으로평가결과의활용이학생의학습에활용되어야함을조금더강조하고 있다. 넷째, 인지적영역의평가 에서강조사항으로 수학적지식과기능을바탕으 로창의적으로사고하는능력 이추가되었다. 다섯째, 정의적영역의평가 내용으 로 수학및수학학습에대한관심, 흥미, 자신감 에서 수학학습에대한관심, 흥 미, 자신감, 가치인식 으로변화되었다. 즉수학의유용성인식을포괄하는가치인 식 이란부분이추가되었다. 여섯째, 평가에서공학적도구의활용 면에서의변화를 살펴보면, 계산기, 컴퓨터 에서 계산기, 컴퓨터, 교육용소프트웨어 로변화되었 다. 즉 교육용소프트웨어 가추가되었다. 일곱째, 평가에서공학적도구의활용 면에서공학적도구와다양한교구를 이용할수있는기회를제공할수있다. 에서 기회를제공한다. 로바뀌어, 교구에의한평가를가능성차원이아니라권고사항으 로제시하였다. 한편, 이러한평가영역에대한수학과교육과정의몇몇변화속에서도발달적교육관 의관점에서문제해결과정과정의적영역의능력을중요시하고평가방법의다양성을 추구하는입장은일관되게유지되고있다고할수있다. 나. 초 중 고에서의평가실태 학교현장에서평가가어떻게이루어지고있는지학교교육경쟁력강화를위한교 육과정실행방안연구-수학과-( 박선화, 문광호, 2009) 의설문조사자료에근거하여 살펴보았다. 평가의다양성과관련해, 수학과교육과정에서는 수업의전개국면에따라진단 평가, 형성평가, 총괄평가등을적절히실시하되, 지속적인평가를통하여다양한정

74 보를수집하고수업에활용한다. 고명시했는데진단평가의사용실태를살펴보면거 의매시간혹은소단원별로자주사용하는평가는형성평가이고, 대단원별로혹은정 기고사에서사용되는평가가총괄평가였다. 진단평가는주로대단원별로사용되는경 향이있었다. 특이하게도고등학교에서는약 24% 가거의사용하지않거나전혀사용 하지않는다고응답했는데그이유로약 60% 가수업시간이부족해서라고응답했다 초중고 0.0 초중고 0.0 초중고 [ 그림 Ⅱ-5] 진단평가활용실태 [ 그림 Ⅱ-6] 형성평가활용실태 [ 그림 Ⅱ-7] 총괄평가활용실태 초중고 [ 그림 Ⅱ-8] 수행평가활용실태 수행평가는전통적인객관식평가의문제점에대한개선방안으로시작되었다. 학교의경우거의매시간, 소단원별, 중단원별, 대단원별로사용한다는응답이고루나 초등

75 타난반면중 고등학교의경우정기고사와대단원별로사용한다는응답이 60% 이상나왔 다. 서지영, 남명호, 김소영, 이원석, 최미숙, 홍수진(2010) 은학교교육에서창의력및 인성교육을위한평가방법으로적합한것은그특성상서술형평가와수행평가라고말 할수있기때문에학교교육에서창의력및인성교육을제고하기위한평가방안으로는 서술형평가의확대와수행평가의내실화로접근될수있다고하였다. 그만큼수행평가의 가치및중요성은크다. 하지만이종욱(2009) 의연구에의하면현장에서는수행평가를통해학생의수준을정 확하게파악하기가어려워서단원형성평가를더많이활용하고있고서지영, 김명화, 김 소영(2010) 은현재수행평가가학교현장에적용, 실시되고있는상황은초기도입당시 의목적이나의도에서벗어나거나의미가축소되어수업이나교육에적합한가를논하기 가어려운상태라고지적하고우리나라학교에서평가의특수성으로인한수행평가적용 의난점으로다섯가지를들고있다. 첫째, 선발위주의평가관. 둘째, 지나친객관성의 강조. 셋째, 이해당사자들의수행평가에대한엇갈린인식. 넷째, 학교교육과교사에대 한신뢰부족. 다섯째, 교사의업무과중이그것이다. 또한학교현장에서의수행평가적 용상의문제점으로여섯가지를지적하고있다. 첫째, 시행의강조로인한본질의왜곡. 둘째, 수행평가의본질에대한잘못된이해. 셋째, 성적처리를위한객관성및편의성추 구. 넷째, 수행평가적용을위한여건미비. 다섯째, 교사의평가전문성부족. 여섯째, 수 행평가의설계, 과제및평가도구제작, 채점, 성적처리등을혼자서해야한다는교사 의부담이그것이다. 교육과정에서는선택형위주의평가를지양하고서술형평가, 관찰, 면담, 자기평가 등의다양한평가방법을활용하여수학학습에대한종합적인평가를하도록규정하고 있다. 박선화, 문광호(2009) 연구에의하면 [ 그림 Ⅱ-9]~[ 그림 Ⅱ-13] 에서와같이지필 평가를제외한관찰평가, 면담및구술평가, 자기평가, 동료평가에서거의또는전혀활 용하지않는다는응답이높게나타났다. 그응답은초등학교에서고등학교로갈수록높 게나타났다 초중고 초중고 초중고 [ 그림 Ⅱ-9] 지필평가활용실태 [ 그림 Ⅱ-10] 관찰평가활용실태 [ 그림 Ⅱ -11] 면담 구술활용실태

76 초중고 초중고 [ 그림 Ⅱ-12] 자기평가활용실태 [ 그림 Ⅱ-13] 동료평가활용실태 다양한평가유형이활용되지못하는이유를살펴보면다음 [ 그림 Ⅱ-14]~[ 그림 -17] 와같이수업시간의부족과객관적인평가의어려움을가장많이선택하였다. 특이 한점은초등학교에서다양한평가유형이필요없다고응답한비율이중 고등학교에비 하여높게나왔다는것과초등학교와달리중학교와고등학교로갈수록입시준비에도움 이되지않기때문이라고답하는비율이늘어났다는것이다. 이는교수학습뿐만아니라 평가유형도입시의영향을받는다는것을반영한다. Ⅱ 초중고 초중고 초중고 [ 그림 Ⅱ-14] 관찰평가를안 하는이유 [ 그림 Ⅱ -15] 안하는이유 면담 구술평가를 [ 그림 Ⅱ-16] 자기평가를안 하는이유

77 초중고 [ 그림 Ⅱ-17] 동료평가를안 하는이유 수학과평가에서인지적평가만큼중요하게생각하고있는평가가정의적영역의평 가이다. 교육과정에서는수학학습의평가는학생의인지적영역과정의적영역에대한 유용한정보를제공해야하며정의적영역에대한평가에서는학생의수학에대한긍정 적태도를신장시키기위하여수학및수학학습에대한관심, 흥미, 자신감, 가치인식 등의정도를파악하도록규정하고있다. 박선화, 문광호(2009) 연구에의하면초등학교 에서는 74% 가정의적평가를한다고응답한반면중 고등학교에서는과반수에도못미치 는약 45% 만이정의적평가를한다고응답하였다. 정의적평가를하지않는이유는 [ 그 림 Ⅱ-19] 와같이객관적인평가의어려움과수업시간의부족이대다수를차지하였으며 특이한점은초등학교에서는구체적인평가방법및평가자료의부족에대한응답이 40% 인데비해, 중 고등학교로올라갈수록이비율은줄고수업시간의부족과입시준비에 도움이되지않는다는응답비율이높게나타났다 초중고 [ 그림 Ⅱ-18] 정의적태도평가활용실태

78 초중고 [ 그림 Ⅱ-19] 정의적태도평가를안하는이유 다. 수학과평가와입시 위설문내용을살펴보면입시와수학과평가는매우밀접한관련이있다는것을알 수있다. 현재우리나라에서이루어지고있는대학수학능력시험( 이하수능) 에대한교육 과정평가원홈페이지에서제공하는정보에따르면수능은대학교육에필요한수학능력 을측정하고학생의능력, 진로, 필요, 흥미를중시하는제7차교육과정의기본정신에 따라시험영역과과목을전부또는일부를선택할수있게하고있으며, 그목적은대 학수학적격자의선발기능을제고하고고교교육정상화에기여하며학생선발에공정성 과객관성이높은자료를제공하는데있다고한다. 우수한인재를선발하고자함과동시에학교교육과정과공교육의정상화에기여하고 과도한대학입학경쟁을완화하며급증하는사교육부담을절감하고자하는현실적의도 에서수능에서의잦은변화가불가피했다( 이양락, 조윤동, 박선화, 고호경, 이진호, 2008). 이를통해볼때평가원에서제시하는목적을모두달성하기는쉽지않다. 현재수능의수리영역시험체계, 출제과목및이수단위는 < 표 Ⅱ-16> 과같다( 이양락외, 2008). < 표 Ⅱ-16> 학년도 계열 출제범위및출제비율 1994 공통일반수학수학 Ⅰ 수리영역연도별시험체제변화 배점 ( 문항배점) 40 (2 점) 문항수 시험시간 ( 분) 문항유형 지선다형 특징 영역명칭 : 수리탐구 ( Ⅰ) 문항별균등배점 1995 인문일반수학 지선다형 문항수 10개증가

79 ~ ~ ~ ~ ~ 2011 예체능 자연 인문예체능 자연 인문 예체능 자연 인문 예체능 자연 가형 나형 수학 Ⅰ 일반수학수학 Ⅱ 일반수학수학 Ⅰ 일반수학수학 Ⅱ 공통수학 70% 수학 Ⅰ 30% 공통수학 100% 공통수학 50% 수학 Ⅰ 20% 수학 Ⅱ 30% 공통수학 70% 수학 Ⅰ 30% 공통수학 100% 공통수학 50% 수학 Ⅰ 20% 수학 Ⅱ 30% 수학 Ⅰ (12 문항 ) 수학 Ⅱ (13 문항 ) 3과목 ( 미분과적분, 확률과통계, 이산수학 ) 중택1 (5 문항 ) 수학Ⅰ (1, 1.5, 2) 80 (2, 3, 4) 80 (2, 3, 4) 80 (2, 3, 4) 100 (2, 3, 4) 지선다형 80% 단답형 20% 5 지선다형 80% 단답형 20% 5 지선다형 80% 단답형 20% 5 지선다형 70% 단답형 30% 차등배점 시험시간 20분증가 전계열공통문항 75%, 계열별문항 25% 출제 인문계와예체능계 문항동일 단답형주관식 20%(6 문항) 출제 총배점증가( ) 에따라수리영역배점 2배증가 문항배점각각 2배증가 시험시간 10분증가 전계열공통문항 70%, 계열별문항 20% 출제 제6차교육과정적용 계열별출제범위및출제비율변동( 자연계공통수학문항은전계열동일 ) 인문계와예체능계 문항달라짐( 공통수학문항은동일) 영역명수정 : 수리영역 9등급제시행 제7차교육과정적용 영역별선택응시가능 고1수학 -출제범위에서제외 문제지유형이 2개로축소 원점수배점은 100 점이지만, 학생성적은표준점수로산출하여표준점수만학생에게제공 2008 학년도 : 점수는제공하지않고, 등급만제공

80 < 표 Ⅱ-17> 출제과목 일반수학 (8) 수학 Ⅰ(10) 이수단위 18 출제과목이수단위 출제과목이수단위 출제과목이수단위 공통수학 (8) 인문일반수학 (8) 18 수학 Ⅰ(8) 8 18 수학 Ⅰ(10) 수학 Ⅰ(10) 예체능 공통수학 (8) 8 자연 수리영역출제과목및이수단위변화 일반수학 (8) 수학 ⅡⅠ(18) 26 공통수학 (8) 수학 Ⅰ(10) 수학 Ⅱ(10) 28 수학 Ⅰ(8) 수학 Ⅱ(8) 3 과목( 미분과적분, 확률과통계, 이산수학 ) 중택 (14) 년 1월 26일교육과학기술부는 2014 학년도수능시험개편방안을발표하였다. 개 편목적은대입에서수능비중이약화되고있는대입선진화방향에맞추어, 학교수업 을통해준비할수있고과도한준비부담없는수능시험으로개편하는것이다. 수험생 의과도한수능시험준비부담완화, 학교수업만으로수능시험준비, 개정교육과정의 취지반영으로고교교육정상화에기여라는세가지개편방향을설정하였다. 구체적인개편방안을살펴보면, 국어, 수학, 영어는 A B 형수준별시험을제공한다. A 형은현행수능(2012 학년도) 보다출제범위를줄이고쉽게출제하고 B형은현행수능수 준을유지할예정이다. 수험생들은진로나진학하고싶은모집단위에따라 A B형중하 나를선택하되, 수험생의수험부담이증가하지않도록 B형의경우최대 2과목까지응시 가능하도록하였다. 또한교과중심의출제를강화하기위해수능시험의과목명칭과성 격을교육과정과일치하도록변경하여 수리영역 은 수학 으로변경하였다. 2011년 4 월부터한국교육과정평가원은출제범위, 과목별문항수, 시험시간, 배점, 문항형태등에대한연구를실시한결과, 2011년 12월 22일 2014학년도수능세부시행 방안( 시안) 을발표하였다. 발표된자료에따르면, 고교현장의혼란을방지하기위해 2014 학년도수능체제개편안의내용및취지를충분히반영하되, 그외사항은큰변화 없이현체제를유지하는것을기본방향으로설정하였다. 시행방안( 시안) 의주요내용은 < 표 Ⅱ-18> 과같다

81 < 표 Ⅱ-18> 2014학년도수능의영역별문항수및시험시간 교시영역문항수시험시간( 분) 배점( 점) 비고 1 국어 수학 영어 탐구 ( 택1) 사회 (10 과목) 과학 (8 과목) 직업 (5 과목) 제2 외국어 / 한문 과목당 20 과목당 20 과목당 40 과목당 30 과목당 30 과목당 30 과목당 60 과목당 40 과목당 50 과목당 50 과목당 100 과목당 50 듣기평가는지필평가로대체 문항수 5문항축소 A/B형중택1 주관식 30% 출제(9 문항) A/B형중택1 듣기평가 : 22 문항(50%) 문항수 5문항축소 A/B형중택1 최대 2과목선택 최대 2과목선택 1과목선택 제2외국어 8과목및한문중택 1 제2외국어에베트남어추가 현재의수능과 2014 학년도수능에서의수학과평가계획을살펴보면, 수리영역에서수 학으로이름이바뀌고가 나형에서 A B형으로이름이바뀐것을제외하면현재의배 점, 문항수, 문항유형, 시험시간모두같으므로내용적인변화가거의없다고볼수있 다. 교육과정은변해도평가는그대로라서적어도수학교육에서는현장의교육과정운영 도크게달라지지않을것으로보인다. 수학의수준별평가가가 나형에서 A B형으로바뀐것의구체적인수학내용을비 교하면 < 표 Ⅱ-19> 과같다. 쉽게출제한다는 A형에서도수학Ⅰ과더불어미적분과통계 기본을출제한다는것은미적분의기본은꼭알아야할내용이며통계는최근중요성이 커지고있다는것을반영한것이라할수있다. < 표 Ⅱ-19> 수학과수준별평가의변화내용 현재수능 2014 학년도수능 가형 수학Ⅰ(12 문항) 수학Ⅱ(13 문항) 3 과목( 미분과적분, 확률과통계, 이산수학 ) 중택1(5 문항) 나형 수학 Ⅰ A 형( 좀더쉽게) B 형 ( 현행수준) 수학 Ⅰ 미적분과통계기본 수학 Ⅰ 수학 Ⅱ 적분과통계기하와벡터

82 라. 우리나라수학평가의특징 1) 이상적인평가의모습을잘표현하고있는교육과정의평가지침 교육과정에명시된평가지침에따르면 선택형위주의평가 를지양하고 서술 형평가 를비롯한다양한평가방법을활용하여학생들의수학학습에대한종합적인 평가가이루어지도록하며, 평가에있어서 공학적도구 를이용할수있는기회를 제공해야한다. 또한정의적영역의평가면에서는 수학및수학학습에대한가치 인식 이포함되어정의적영역의평가도중요하게생각되고있음을알수있다. 수학 과교육과정의평가지침은수학의본질적특성측면에서그리고현재의국제적인동향 에비추어볼때, 이상적인모습을갖추고있다고할수있다. 2) 지필평가위주로이루어지는학교평가 교육과정평가지침은서술형평가를비롯한다양한평가방법의활용, 공학적도구 의이용, 정의적영역평가를강조하고있지만학교현장에서의수학과평가는출제와 채점이용이한지필평가위주로이루어지고있으며, 이는중 고등학교로올라갈수록 비중이많이늘어난다. 그이유로는지필평가외다른평가들은객관적인평가의어려 움이있으며그러한다양한평가를하기에는수업시간이부족하기때문으로판단된 다. 교육과정의개정에도불구하고, 학교현장에서의어려움이유지되는한, 교육과정 의강조사항을반영하기는쉽지않은것으로보인다. 따라서수학교육선진국들은선다형위주의지필평가가아닌다른평가방법을어 떻게활용하고있는지살펴볼필요가있다. 3) 교육과정의평가지침이반영되지않는대학입시 현재의대학입시또한교육과정의평가지침이반영되지않고있다. 예를들어수학과 문제유형이오지선다형과단답형의비율만달라질뿐계속같은유형으로만출제되고 있는것만보아도다양한평가방법을활용하여학생들의수학적학업성취도를종합적 으로평가하고자하는교육과정방향을대학입시에서는반영하지않았으며 2014학년도 대학수학능력시험도크게다르지않을것으로판단된다. 이것이학교현장에그대로영 향을주어교육과정의평가지침이학교평가에서반영되지않는것과도관련이있다. 따라서우리나라의교육과정평가지침사항들을반영하면서공교육을강화시킬수 있는대학수학능력시험의수학과평가의모습을수학교육선진국들의사례에서찾아볼 필요가있다

83 5. 수학과교수 학습방법실태및특징 21 세기에걸맞는경쟁력있는인재양성을위하여특히수학 과학분야의창의적인 재양성을위해투자와노력을경주하고있는것이세계적인추세이다. 이에따라우리 나라에서도지식기반사회에서우리가처한경제적위기를극복하고국가경쟁력향상의 기회로전환시키기위해 창의적인재육성 을위한수학교육의강화방안을강조하고 있다( 황혜정외, 2012). 교육의주요관심사로창의성이등장한것은단지최근의일 은아니다. 제 5차교육과정은기본학습능력을바탕으로하여현상을과학적으로탐 구하며문제를합리적으로해결하는창의적인능력을가진인간상의구현을교육과정 상에명시적으로제시하였다. 그러나이시기는창의적인인간상을선언적의미에서 제시하고기본학습능력과의관계로창의성을파악하는소극적인태도를보여주고있 다. 한편, 제 7차교육과정에서는창의성을발휘하기위해갖추어야할기초능력을 정보화사회의등장에따른컴퓨터사용능력까지확대하여보고있으나, 그럼에도불 구하고, 급격한사회변화에대응하고주도해나가는 창조적지식 의배양이라는시대 적요구는단순히교육과정에서선언적인의미로제시하는것이상으로창의성이각 교과의교육과정내용선정과제시의방식에토대가될것을요구한다( 이수인, 2004). 또한 2007 개정수학과교육과정( 교육과학기술부, 2007) 에서도수학과의성격을 수 학적개념, 원리, 법칙을이해하고수학적사고능력을키워, 합리적이고창의적으로 문제를해결하는능력과태도를기를수있다 고하면서수학학습에서의창의적인사 고와태도를강조하고있다. 그럼에도불구하고, 창의성신장 이라는주제와관련하여교육과정총론뿐만아니 라수학과교육과정문서에서창의성이무엇을의미하는지, 창의적인수학적사고력 이무엇을의미하는지명확하게제시되어있다고보기어렵다. 교육목표가교육과정 개발의지침이되기위해서는여러수준의진술을통하여목표의의미를구체화하고 명료화해가는과정이필요하다( 재미나수학연구회, 2005). 그중에서도교수, 학습과 정영역은수업에대한충분한검토를거쳐준비한수업설계안을직접교실의수업에 활용하는과정이다. 학생들의창의력신장을위해교사는창의적인분의기를조성하 고, 창의성저해요인을제거하는환경여건을조성하는데힘써야하며, 학생들의창의 적인생활습관과태도를익힐수있도록도와주어야한다. 김순남외(2003) 에의해 실시된초 중 고등학교창의성교육을실시하는학교교사 1192명을대상으로한 설문에의하면, 교사가우선적으로알아야할내용의우선순위로는창의성관련전문

84 지식, 교수 학습자료개발방법, 학습자료정보및방법의순으로나타났다. 이것으 로볼때창의성관련학습자료계발, 제공에대한정책적지원이필요함을알수있 다. 다음장에서는학교수학에서창의성, 수학적창의성의특징은무엇이고, 어떠한측 면에서창의성의평가가이루어질수있는지살펴본다. 가. 창의성과수학적창의성의정체 학교수학에서수학적창의성교육이라는특화된분야에서창의성에대한체계적인 논의를하기위해서는보다수학적인특성을반영하고수학적요소로구성된조작적 정의와규명이필요하다. 창의성은심리적구인으로서이러한구인을연구의대상으 로하기위해서창의성의구성요인을확인하고각요인들에대한조작적정의를내 리는작업이선행되어야한다. 창의성은새롭고적절한산물을생성하는능력이다(Runco, 2006). 이정의에서 새로움 과 적절함 은창의적산물( 아이디어, 그림, 음악, 발명품) 이갖추어야 할조건또는자격을의미한다. 그리고 능력 은창의적산물을생성하는인지적 과정을의미한다. 창의적산물또는아이디어를생성하는인지적과정을무엇으로보는가는매우중 요하다. 왜냐하면창의적과정을무엇으로규정하는지에따라학교수학에서창의성 을신장시키기위해취해야할교수 학습방법이결정되기때문이다. 창의성의인지적 과정은무엇인지에대한의견은크게두가지관점으로대별될수있다. 년 첫째는창의성의인지적과정을 확산적사고 로보는관점이다. 이관점은 1950 Guilford가미국심리학회회장수락연설에서표명한이래지금까지창의적과정 의큰줄기를이어오고있다. 또한이관점은최근에창의성연구에서거론되는핵심 적이슈중의한가지인창의성의영역성과도관련이깊다. 이입장은창의성의영역- 일반성입장을지지한다. 즉확산적사고력이높은사람은음악, 과학, 수학등모든 영역에서창의적일수있다는것이다. 둘째는창의성의인지적과정을 문제해결 로보는관점이다. 이관점의지지자 들은( 예, Weisberg, 2006a) 창의성은특별한사고기능( 예, 확산적사고) 을필요로 하는특별한능력이아니라평범한사고과정을통해비범한결과를가져올수있다 고생각한다. Wisberg(2006b) 는이입장을 평범한사고 관점이라정의했다. 여기 서 평범한사고 란무엇인가에주목할필요가있다. 평범한사고란인간이일상생 활을영위하면서행하는 문제해결 을의미한다. 전통적으로문제해결연구에서강조하는두가지는지식과추론이다. 문제를해결

85 하기위해서는문제와관련된충분한지식이있어야한다. 그리고문제를해결하기 위해서는저장된지식을여과없이직접적으로적용하는것이아니라봉착한문제를 해결하는데적합하도록재조직화해야할필요가있다. 지식과지식의재조직화라는 현상은 유추적문제해결(analogical problem solving)' 과동일한의미로해석될수 있다. 유추적문제해결의핵심은목표문제(target problem) 를해결하기위해관련있 는바탕문제(base problem) 에접근하고그것의해법을목표문제적용함으로써문제를 해결하는것이다. 이러한과정을거쳐문제를성공적으로해결했을때 창의적문제 해결 이라규정할수있다. 결국창의적과정을평범한사고, 문제해결, 유추적문 제해결, 창의적문제해결로보는관점은문제의본질, 환경, 교과및영역에따라 다른설명이가능하겠지만그것들의밑바탕에흐르는큰줄기는바로 지식 과 유추를통한지식의전이또는적용 이다. 지금까지창의성에관한두가지관점을고찰하였다. 정리하면첫번째는 창의성 = 확산적사고 라는관점으로서, 창의성의영역- 일반성을근거로한다. 두번째는 창의성= 문제해결 이라는관점으로서, 창의성의영역- 특수성을지지하며, 그것의 핵심적인근간은바로지식과유추를통한지식의전이이다. 이상의두관점중어느것이더타당한지는아직합의를이루지못하고있다. 하 지만우리나라의수학적창의성연구자들은대부분수학적창의성을확산적사고와 동일시하는경향이있다. 이러한경향은수학적창의성평가관련문헌에서더욱두 드러짐을알수있다( 예, 김홍원, 김명숙, 방승진, 황동주, 1997; 남승인, 2007; 조 석희, 황동주, 2005 등). 수학적창의성을논할때학교수학이라는특수성을감안하여교수 학습이라는실 질적인입장에서생각해볼필요가있다. 다시말해학교수학에서수학적창의성에 대하여교수 학습과같은실제적인보다현장친화적인접근을하기위해서는문제해 결이라는관점을수용할필요가있다. 학습자가새로운수학적과제나문제에접했을때필요한관련개념이나원리를장 기기억속에저장되어있는지식에접근하고(access), 인출하고(retrieval), 이들을 재조직화(reorganization) 하여새로운아이디어를생성해냈다면이는그학생이창의 적으로사고했다고판단할수있다. 예를들어이분모분수의덧셈을처음학습하는 학생이기존에학습한동분모분수의덧셈원리인 라는원리를이분모분수의덧셈에적용즉 동분모분수는분자를더한다. 분모가다르니분모를같게만들어분 자를더하면되지않을까? 라고예상하고동치분수의개념을이용해통분하고문제 를해결했다면, 그학생은창의적으로생각했다고말할수있다. 왜냐하면문제해결

86 결과는성인에게있어당연한것이지만그학생의인지과정은에디슨이끓고있는주전자를보고증기기관의아이디어를생각해낸과정과본질적으로동일하다고볼수있기때문이다. 결국문제해결의핵심적인요소는중언하건데지식과그것을적용하는문제해결기술로압축해볼수있다. 나. 학교수학에서창의성평가 앞절에서수학적창의성을무엇으로보는지에대한대립되는두관점을살펴보았다. 이두관점은비단수학적창의성의정의에만국한되지않고수학적창의성을평가하는관행에직접적으로영향을미치고있다. 이절에서는수학적창의성을무엇으로보는지와연계하여그것을어떻게평가하는지를살펴본다. 1) 수학적창의성= 확산적사고 현재사용되고있는수학적창의성검사도구는 확산적사고를창의성으로동일시 한 Guilford(1950) 의정의에근거를두고있으며, 이에근거한수학적창의성검사를 보면수와연산, 도형, 측정등에관련된문항들이주를이루고있다. 대표적인문제 를제시하면다음과같다. 1, 2, 3, 4 숫자카드를순서대로늘어놓고여러분이알고있는계산방법을이 용하여답이 5보다작거나 5 와같은수가되도록만드시오( 단, 1, 2, 3, 4의순서 는바뀌지않아야하며, 식에서숫자는한번씩밖에쓸수가없습니다. 오른쪽네모안의글을읽고 시오. < 보기> 짝수는 2 씩더해진다. < 보기> 와같이여러가지수학적사실들을적어보 다음수는짝수입니다. 2, 4, 6, 8, 10, 12,... 다음수는홀수입니다. 1, 3, 5, 7, 9, 11,... 2cm, 3cm, 7cm 길이의막대가각각한개씩있습니다. 이들막대를이용하여잴 수있는길이에는어떤것들이있습니까? 이들막대를이용하여잴수있는길이 에는어떤것들이있습니까? 잴수있는가능한길이를모두생각하여그림이나 계산식으로나타내어보시오. 다음과같이가로-세로의방향으로한칸이 9 개의점이있습니다. 이점안에

87 넓이가 인도형을될수있는한많이그려보아라. 다음숫자간의공통점을있는대로찾아쓰시오. 54, 36 이러한문제는주어진조건을만족하는답을가능한많이만든반응으로부터유창 성, 유연성, 독창성점수를부여한다. 이문제에서요구하는다양한반응을보이기 위해서는무엇보다수감각, 분수의연산능력이전제되어야하므로결국이문제는 확산적사고를측정하기보다는계산능력을측정하고있다고보는것이타당할것이 다. 그러나단순계산능력이란수학적창의성과는동떨어진능력이다. 특히문제 4 에서대부분의학생들은시행착오를통하여넓이가 2가되는도형을만들어나갈것 이다. 그러나그학생이수학적재능이있다면이렇게단순한방법을사용할것이아 니라분석적이고체계적으로접근할것이다. 즉넓이가 2라면그것보다작은넓이를 가진기본적도형을구성하고, 그러한기본도형을결합하는방법을택하는것이보 다창의적일것이다. 전체적으로볼때확산적사고검사문항들은수학문제임에도불구하고비수학적 사고방법으로접근하고있으며학생들이이검사문제를수학적사고방법으로접근 했다고해도위와같은문제로는확인할방법이없다. 수학적창의성은새로운아이디어를생성하는것이다. 위의검사는개방형이지만 아이디어생성보다는수렴적사고를측정하는것과가깝다. 이과제를해결하는학 생들은새로운무언가를상상하거나새로운아이디어를구성하는측면에서독창적일 필요가없다. 이과제를통해생성된독창적아이디어는단지장기기억으로부터인출 된것에불과하며, 그자료들을알았고, 기억해냈다는점에서만독창적이다. 진정으 로독창적인아이디어와기억으로부터인출된아이디어간의차이는 Wertheimer의재 생적기억(reproductive) 과구성적기억(constructive or productive memory) 이론과 관련된다. 이것은또한의미의개인적구성으로창의성을정의한 Runco(2006) 의정의 와일치한다. 중요한것은구성이다. 즉창의적사고는기억과경험과별개의것이 다. 창의적사고가발현되기위해전제되어할점은충분한지식의소유이지만그지 식자체혹은그지식의인출하는능력은결코창의적일수없다. 또한확산적사고에기초한과제를사용해수학적창의성을측정하고평가하는연 구는일반적창의성과의상관연구에서그특징이더욱두드러진다. 이강섭, 황동주 (2003) 는일반적창의성( 도형) 과수학적창의성과의관계를알아보기위해 TTCT

88 Figural A 와한국교육개발원(1997) 이개발한수학적창의성검사도구를사용하여상 관분석을해본결과일반적창의성과수학적창의성은유의한상관이있다고보고하 였다. 또한 Evans(1964) 도수학적창의성을확산적사고와동일시하고자신이개발한 도구와일반적확산적사고검사간에유의한상관이있다고보고하였다. 결과적으로수학교육분야에서개발된수학적창의성검사도구들은대부분확산 적사고검사도구를근거한수학문항이거나이에준하는문항들로이루어져있으며 ( 김흥원외, 1997; 송상헌, 1998; 이강섭, 황동주, 2003; Evans, 1964), 이를통해 수학적창의성= 확산적사고 라는믿음이팽배해있음을알수있다. 2) 수학적창의성= 수학적고유의능력 수학적창의성에대해영역-특수성입장을취하는연구는수학교과자체의학문적 특성인논리성과엄밀성, 비판적사고, 추론등을수학적창의성의핵심적인준거로 여기고있다. Krutetskii(1976) 는수학적창의성은복잡하지않은수학문제를스스 로공식화하고, 이러한문제에대한해법을찾고, 증명과정리의발명, 공식에대한 연역, 비표준문제에대한독창적인해법찾기 로규정하고있어, 수학적창의성에 수학이라는특정영역과관련된능력을강조하고있음을알수있다. 또한 Balka(1974) 는수학적가정들을공식화하는능력, 패턴을찾는능력, 고착을벗어나 는능력, 수학적아이디어를평가하여가능한결론을생각하는능력등을수학적창 의성을핵심요인으로간주하고있다. 이들외에 Ervynck(1991) 은수학적사고를고등 수학적사고의일부로간주하고수학에서의이해, 직관, 통찰, 일반화와같은요소의 상호작용에의해수학적창의성이발현된다고하였다. 이러한견해들은수학적창의 성에대해수학적창의성의일반적요인으로확산적사고를상정하기보다는수학의 고유한특성이나수학의본질적사고에더중점을둔다고할수있다. Krutetskii(1976) 의연구에서사용된과제를제시하면다음과같다. 다음문제를계산하시오.( 사고의유연성) 이문제를해결하는다른방법이있습니까? 가장좋은방법은무엇입니까? 세번째문제에대해어떤학생들은주어진순서대로계산한다. 다른학생들은 6 과 50을곱한후그결과를 13 과곱한다. 재능있는학생들은 6=3 2라는사실을 알고다음과같이계산할수있을것이다 = = =39 100=

89 다음문제를계산하시오.( 일반화, 추론) =2일때 12 3=? 15 5=3 일때, 30 5=? 16 4=4 일때, 32 4=? 질문) 위의세가지계산과정에서알게된사실은무엇인가? 만일나누어지는수 ( 피제수) 를 X 배증가시키면나눗셈의몫은어떻게변하겠는가? 지금까지의논의를요약하면수학적창의성은확산적사고와동일시하는영역-일반 적입장과수학적창의성을일반화, 추상화등의수학적능력과동일시하는영역특 수성의양극단중어느한쪽의입장에서수학적창의성을정의하고, 수학적창의성 을평가하고, 계발하기위해노력하고있음을알수있다. 엄밀히말하면수학적창 의성을측정할수없다. 단지교육자로서우리가할수있는일은학생들의잠재력을 계발하고측정할수있을뿐이다. 창의적잠재력계발과측정은단일한방식으로불 가능하며좀더포괄적이고통합적인관점에서접근할필요가있다. 결국창의성의영역성에대해이분법적으로접근하기보다는오히려, 영역-일반성과 영역- 특수성이상호통합될필요가있다. Torrance의종단적자료를분석한 Baer(1996) 와 Plucker(1999) 는창의적인성취에서 TTCT가 40% 정도의설명력이있으 며나머지변인 50-60% 가내용- 특수적인요인일수있다고보고하였다. 또한 Sternberg(1989) 는영역일반성과영역특수성은상보적인것이며, 양자는수행의차 이에따라상호작용한다는영역- 상보성을지지하는결과를보고하였다. 따라서확산 적사고뿐만아니라수학교과자체의학문적특성인논리성과엄밀성, 비판적사고, 추론등의다양한인지적요소를통합적으로고려할필요가있다. 다시말해확산적 사고는수학적창의성의필수적인요소가될수있지만그것만으로충분하지는않다. 적절하고정교한해결책을생성하기위해서는일반화, 추상화, 유추등의수학학습에 서필요한탐구능력을고려할필요가있다

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91 Ⅲ. 외국의 학교수학교육실태( 사례) 및특징 1. 수학과교육과정실태( 사례) 및특징 2. 수학과교과서실태( 사례) 및특징 3. 수학과교사연수실태( 사례) 및특징 4. 수학과평가실태( 사례) 및특징 5. 수학과교수 학습방법실태( 사례) 및특징

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93 1. 수학과교육과정실태( 사례) 및특징 가. 외국의수학과교육과정실태( 사례) 1) 미국 가) 미국의교육과정의운영 최근미국의교육현장에서중점이되고있는이슈는공통핵심표준설정에있다. 미국오바마정부는각주별로교육과정표준을설정하는것보다국제적수준에맞 는, 전 50 개주가동의하는교육과정표준을설정하는것을강력히권장하고있다. 이 는국제시대를위한인력양성뿐아니라, 주들사이의비교를더욱용이하게하고, 학생들이다른주로이동하는경우학습에지장을주지않는장점이있다고정부는 보고한다. 또한교사들역시공통의교과과정을가르치고, 평가제도도보다표준화 되어, 그비교가편해지고, 교사간교류가더활발히이루어질수있다는장점도 있다고하였다. 교육계내에서는빠른속도로이교육과정표준설립이진행되고있 다. 지금까지워싱턴에주재하는두교육관련단체, NGA(National Governors Association) 과 CCSSO(Council of Chief State School Officers) 가교육과정표준 설립을주도하고있으며, 46개의주가이공통교육과정설립을지지하고실행할것을 약속하였다( 한국교육과정평가원, 2009). 공통핵심교과과정표준수학영역은오바마정부의교육정책의 소수의 표 준을따르나, 일관성있고, 더욱핵심적이며, 구체적인표준제정을목표로했다. 또 한수학에능숙한학생들의사고를기초로 8가지수학적실행의표준을발표하고학 생들이이를수학적목표로삼아야한다고권장했다. 그표준은다음과같다. 문제를이해하고문제풀기에있어서두르지않는다. - 수학에능숙한학생 들은문제가무엇인지설명할수있고여러각도로생각하며문제를푼다. 추상적이고수적으로생각한다. - 수학에능숙한학생들은구체적상황에 주어진문제를추상적으로생각하고수적으로표현할수있다. 주요한논리를구축하고다른이의논리를비판할수있다. 수학적으로모형을구축한다. 적절한도구를계획적으로사용한다. 정확성에유의한다. 패턴이나조합을찾고이를이용한다. 반복적유추에서규칙성을찾고이를이용한다

94 수학영역공통핵심교과과정표준은유치원에서 8학년까지각학년마다제정되 어있고, 고등학교에서는학년구분없이 대학/ 취업준비 표준(CCR: College and career readiness standards) 으로일관되어있다. 또한고등학교교과과정표준 은 STEM(Science, Technology, Engineering, Mathematics) 분야로학문을추진하거 나취업을위해필요한지식및능력을기술하고있다. 고등학교수학교과과정표준 초안에는 STEM에필요한사항들은그표준앞에 STEM 으로표기하고있다( 한국교육과 정평가원, 2010a). 나) 미국의수학과교육과정운영실태 2010년 3월 12일에초안을발표한 K-12( 유치원-고3) 에대한공통핵심교육과정 표준에서는수학의가장중심적인분야혹원칙을정의하고그분야에서핵심개념과 핵심능력을정의한다. 이초안이정의한분야는수(number), 수학적표현 (expressions), 등식(equations), 함수(functions), 양(quantity), 식세우기 (modeling), 도형(shape), 좌표(coordinate), 확률(probability), 통계(statistics) 이다. (1) 초 중등학교수학과교육과정운영 미국은일상생활에서곱셈의개념이어떻게드러나는지발견하기, 뛰어세기, 묶어 세기등을이용한 100 차트에서곱셈개념과곱셈성질을발견하기, 의자의배열과직 사각형의면적개념에서곱셈의개념및성질, 그리고곱셈적사실을탐구하기등곱 셈의개념에대한이해와탐구과정을강조하고있다. 미국초등학교에서는상징적, 추상적, 형식적표현보다는구체적이고맥락적이며 실제적인표현으로수학적개념을구사하도록한다. 따라서식을세우고, 곱을구하 는것과같은유형의반복연습문제는다루고있지않다. 문장문제를만들거나곱 셈개념으로구성되는수수께끼를만들고해결하는등의활동은하고있지만수식과 답을강조하는곱셈연습문제는다루지않는다. 곱셈구구에대한이해는배열모델 을통해점진적으로시도하고있다. 직사각형의면적, 단위사각형의수, 양변의길 이등의관계를직접탐구하는가운데, 곱셈적사실을발견하게하고거듭되는게임 이나활동에서이와같은사실을감각적으로이해하고숙달하도록고안되어있다. 곱 셈구구를제시하고암기하는활동은발견되지않는다. 제시되는활동은놀이의개념과크게구별되지않는다. 활동도놀이도그리고학습 자에게주어지는과제도모두학습자가주도적으로탐구하고탐색, 발견하며해결하 는경험이기때문이다. 미국교과서에서활동이나과제, 놀이등은교사나교과서에 의해서예시된다거나문제해결방법이미리해설되는경우는없고, 학습자가스스로 탐색하고발견하는과정이중요시된다. 즉, 활동이나과제, 놀이는학습한내용에대

95 한점검이나단순적용을위한과정이아니라, 수학의핵심내용( 개념, 원리, 아이디 어등) 의탐구및발견을위한과정이다. 내용에대한탐구는일상생활맥락에서비롯되어형식화, 일반화, 객관화되는방 향으로진행된다. 예컨대, 의자배열로시작된배열모델은직사각형의면적, 단위 사각형의수, 가로, 세로변의길이등의개념간의관계가탐구되면서약수와곱의 관계, 그리고곱셈구구로연계되도록구성된다. 즉, 일련의구체적일상적, 맥락적 탐구활동은형식적, 일반적, 객관적지식으로이끌어지도록고안되어있다. (2) 고등학교수학과교육과정운영 학교마다차이가있지만고등학교수업은 1시간수업으로운영되며수업시간사이 에교실이동시간이있다. 하루에 6~7시간의수업을하고이후의시간에는개별서클 활동에참여한다. 미국의수학과기본교육과정(8 년~12 년) 은일반적으로대수학 Ⅰ, 기하학, 대수학 Ⅱ, 확률과통계, 삼각법, 선형대수학, 수리해석, Advanced Placement 확률과통 계, 미적분으로구성되어있다. 대수학 Ⅰ : 8 학년( 중2) 학생들이배우는과목으로사물을기호적으로논하는것 으로써간단한방정식및복잡한방정식등을다루는영역이다. 즉, 기호와함께 상징적인추론과계산이주가된다. 기하학 : 9 학년( 중3) 학생들이배우는과목으로기본적으로평면기하와유클리드 기하에중점을두고기하문제의증명을다루는영역이다. 대수학 Ⅱ : 10학년에서 11 학년( 고1, 고2) 학생들이배우는과목으로대수학 Ⅰ, 기하학에서배운내용을바탕으로수학에서좀더심화된내용을배울때기본이 되는개념을강조하여다루는영역이다. 특히, 추상적사고와함수개념과관련 된다양한대수적풀이가강조된다. 공립학교에서배우는학생들이대부분 11학 년( 고2) 에해당된다. 확률과통계 : 11 학년~12 학년( 고2~ 고3) 학생들이배우는과목으로통계적정보를 처리하는능력과확률에관한기초를목적으로써확률의이해와기본적인통계 문제를다루는영역이다. 삼각법 : 10 학년~11 학년( 고1~ 고2) 학생들이배우는과목으로대수학 Ⅰ, 서배운내용이바탕이되어함수에관한대수적관점을얻는영역이다. 기하학에 선형대수학 : 11 학년( 고2) 학생들이배우는과목으로행렬을다루는기술을배우고 어떤변수의일차방정식의체계를풀수있게하는영역이다. 수리해석 : 12 학년( 고3) 학생들이배우는과목으로심화과정을배울학생들에게 필요한삼각함수, 기하, 대수기능을결합하여다루는영역이다. Advanced Placement 확률과통계 : 11 학년~12 학년( 고2~ 고3) 학생들이배우는과목

96 으로확률과통계의전문적이고깊이있는확장된영역이다. 미적분 : 대학과동등한과정으로배운다. 사립학교에서는 11 학년( 고2) 학생의절 반정도가 Pre-미적분를배우고일반적으로 12 학년( 고3) 학생들이배우는과목으로 수학의응용분야를넓게적용하고고유이론을포함하는영역이다. 그러나고등 학교과정에서다음의내용을충분히다룰시간이부족하여모든고등학교에서 다루는과정은아니다. 학년과내용의순서에는차이가약간있지만, 우리나라와미국의수학과교육과정 내용을주제별로비교했을때, 여러가지주제들이우리나라보다일찍도입되어여러 학년에걸쳐반복적으로그리고점진적으로다루어진다. 다시말하면, 우리나라는하 나의주제를한학년에서도입하여그학년에서완성시키는경향이있는반면에미국 에서는하나의주제를한학년에서도입하고여러학년에나누어반복해서지도하여 심화시키는경향이있다. 이는하나의주제를완성하는속도에있어서우리나라가미 국보다훨씬빠른속도로완성한다는것을뜻한다. 2) 싱가포르 가) 싱가포르의교육과정운영 싱가포르는초등학교 6 년, 중학교 4 년, 고등학교 2(3) 년과정으로학제를운영하고 있는데, 초등학교 1~4 학년까지의기초단계가끝난후능력에따라세수준(EM1, EM2, EM3) 으로구분하여 5, 6 학년의탐색단계학습이진행된다. 그후에 PSLE 시험을실시 하여성취수준이정해진기준에도달하지못하면유급하게된다. 이시험성적을바 탕으로다음 3 코스로분리되어교육을받게된다. 특별코스(Special Course) : 영어, 모국어상급수준학생집단 고속코스(Express Course) : 영어, 모국어중급수준학생집단 표준코스(Normal Course) : 보통교육과정, 직업교육과정 특별/ 고속과정을이수한학생은 GCEO(General Certificate of Education Ordinary) 수준의시험을치르고고등학교진학하는반면, 보통학습과정과보통기술과정을이수 한학생은 GCEN(Normal) 수준의시험을치른후고등학교나종합기술전문학교로진학 하게된다. 싱가포르의후기중등교육기관으로는목적에따라다음과같은학교유 형으로나뉜다. 주니어컬리지: 대학진학을위한준비교육을행함

97 프리유니버시티센터: 일부중등교육학교에병설된 3년제대학진학준비교육기관 폴리텍: 이론과실천을연계한기술, 직업교육을행하며산학연계교육이이루어짐 기술학교: 직업기술교육을행하는곳으로공업및상업관계의다양한분야의코 스가개설됨 나) 싱가포르의수학과교육과정운영실태 우리나라는수학의개념, 원리, 법칙의이해, 문제해결, 흥미와관심및문제해결 태도등 3 가지수학과교육목표를삼고있는데반해, 싱가포르는생활과관련된지식 과기술, 타학문을위한수학적개념과기술, 수학문제해결을통한논리적연역과 귀납능력, 정확하고간결하고논리적인의사소통, 수학에대한긍정적태도, 수학의 힘과지적호기심등 6 가지교육목표를설정하고있다. 우리나라의교육과정은수학과의성격, 목표, 학년별내용영역, 교수 학습, 평가 등 5 부분으로구성되어있는데반해, 싱가포르는수학적문제해결(Mathematical Problem Solving) 을중심에두고, 개념(Concepts), 기술(Skills), 태도(Attitudes), 메타인지(Metacognition), 과정(Processes) 등 5가지요소를오각형으로나타냄으로 써궁극적인수학교육의목표를수학문제해결 보여준다. 능력의신장으로설정하고있음을 싱가포르의 7 학년에서는범자연수, 분수와소수, 어림과근삿값, 비, 비율, 비례, 백분율내용이반복하여다루어지는나선형구조를보이며, 비와비례에대한내용은 초등학교 5학년에서중학교 1 학년까지매학년마다확장, 심화되도록제시하고있다. 우리나라에서비와비례단원이규칙성과함수영역의하위항목인반면, 싱가포르 는비와비례, 비율, 백분율영역은독립적인내용체계로구성되어있다. 또한, 우리 나라가중학교에서정비례개념을다루는것과달리싱가포르는초등학교과정에서 비, 비율, 비례식과함께정비례의내용을다루고있어서비례개념의학습이보다체 계적으로연계되어제시되고있음을알수있다. 우리나라는수학적개념( 예, 비) 을도입할때구체적인활동을통해소개하는반 면, 싱가포르는실생활에서쉽게접할수있는소재를이용하여개념을도입하고있 다. 우리나라는비례식을능숙하게풀수있는알고리즘의지도에중점을두는경향이 있는반면, 싱가포르는비례적관점으로비에대한내용전개가이루어지고있다. 또 한, 이러한개념을실생활에적용해볼수있는문제들을제시하고있다. 싱가포르중등학교의경우, 수준별과정에따라내용의도입시기가다르다. 예를 들어, 특별/ 고속과정의중학교 1 학년에포함되어있는 간단한경제문제 가보통 기술과정과보통학습과정에서는중학교 2 학년에제시되어있는것과같은것이다. 싱가포르교육과정에서는수준별과정에따라다루는하위내용의범위를조절하 기도한다. 예를들어, 특별/ 고속과정과보통학습과정에서는다각형의작도를다루는

98 데, 보통기술과정에서는다각형중삼각형의작도만다룬다. 문제해결영역의 레저 와레크리에이션을위한수학 과같이보통기술과정에만포함되어있는내용도있 다. (1) 초등학교수학과교육과정운영 초등학교에서수학수업은영어, 모국어와함께주요과목으로취급되는데주당 수업시수는 1 학년(6 교시), 2,3,5 학년(11 교시), 4 학년(12 교시), 6 학년(10 교시) 등으 로편성되어있으며주로 2교시혹은 3 교시연속수업이진행된다. (2) 중학교수학과교육과정운영 중학교에서수학수업은 1, 2학년의경우주당 6교시정도가편성되어있는데 반해, 3 학년은우수반(10 교시), 보통반(6 교시), 전문반(5 교시) 등으로편성되어있 다. 한편 4, 5학년은 4 교시, 35 분휴식, 4 교시, 35 분휴식, 4교시등하루에 12교 시이상의수업이진행되며우수반과보통반은 8 교시이상, 전문반은 7교시정도의 수학수업이편성되어있다. 5학년의경우는주당 10교시의수학수업이편성되어 있는데이틀동안 7 교시, 3 교시수업을연속해서하는것이특징이다. (3) 고등학교에서수학과교육과정운영 고등학교교육과정에서수학교과는 H1~H3 과정의 수학및과학과목군 에포 함되어있는데, H2과정은중등과정수학이수자또는내셔널주니어칼리지에서시 행하는본과목시험통과자, H3과정은 H2수학이수자및 1년6개월재학이후시험 통과자에한하여수학교과수강을허용하고있다. 3) 인도 가) 인도의교육과정운영 인도의학제는초등 5 년, 중등 5 년, 고등 2 년과정으로이루어져있다. 초등과정(PRIMARY) : 1~5학년 중등과정(SECONDARY) : 6~10학년 고등과정(HIGHER-SECONDARY) : 11~12 학년( 대학준비과정) 10 학년이끝나면국가시험인보드시험을치르고이를통과해야고등과정에진학 한다. 고등과정은자연, 사회, 인문계열로나뉘고 11 학년부터는문과, 이과로나누 어진행되며, 12 학년이끝나면수능시험을통해대학에진학한다. 인도 80% 이상의

99 학교들이모든교육을영어로진행한다. 수학에강한교육, 초등학교부터남다른수 학교육을하고있다. 오랜전통과역사로인해예술이발달하였다. 11 세기에는무슬림이초등, 중등, 고등학교심지어는대학교의교육안에자리 매김을했는데아라비아어로교육이이루어졌으며중세에는인도의이슬람전통분 야간의활발한교육이이루어져철학, 종교, 페인팅, 예술, 수학, 의학, 천문학등 많은분야에큰영향을미쳤다. 영국의문물이인도에들어오기시작한배경은선교 사의인도교육으로부터라고할수있다. 1817년캘커타에는힌두대학이설립되었 으며, 1857년 3 개의대학이캘커타, 마드라스, 봄베이에세워졌다. 그이후, 서양문 물이들어오면서 266개의대학과수천개의전문학교들이인도전역에설립되었으며 그중 428 개공학대학, 100 개의의과대학, 많은농업대학들이세워졌다. 나) 인도의수학과교육과정운영실태 인도의 NCERT(National Council of Educational Research and Training) 는국가교육 과정인 Curriculum Framework for School Mathematics를 2000 년에발표하였다. 이는일반 대중교육으로서의수학을강조한 1986년 National Policy on Education의교육과정과이 를개정한 1992 년교육과정을부분적으로개정한것이다. (1) 초 중학교수학과교육과정운영 인도의초 중학교에서다루는내용을우리나라와비교하면비슷한내용( 예를들 어, 인도의 7학년수학에서다루는유리수의사칙연산은우리나라중학교 1학년에해 당) 도있지만우리나라같은학년보다어려운내용이많다. 예를들어, 인도의 7학년 수학에서다루는유리수의연산에대한기본성질 ( 교환, 결합, 분배법칙 ) 과더불어닫 혀있음, 항등원, 역원, 유리수의조밀성등은우리나라 중3 이나 고1, 2 학년에 서다루는내용들이다. 반면에, 인도 7 학년의도형영역은대체적으로우리나라 중1 에해당되지만, 측 정, 규칙성과함수, 확률과통계영역의내용은우리나라초등학교에서취급하는내용 이대부분이다. 따라서인도의 7학년내용은우리나라초등학교의쉬운내용부터고등학교의어려 운내용까지혼재된형식으로한단원에서통합하여다루는경우가많다. (2) 고등학교수학과교육과정운영 인도의고등학교수학교과서는 Introduction 을통해해당단원소개및학 습의필요성을설명해놓았으며, Exercise 외에도 Miscellaneous 를두어학 생들의문제해결력을높이게하였다. 그리고항상단원이끝날때마다마지막에 Historical Note 를두어학생들이해당단원과관련된수학사를함께배울수 있도록해두었다

100 인도의고등학교수학교과서는이공계열관련학습내용을강조하며깊이배우 는특징을갖고있다. 이공계열의가장중요한내용인미적분은다른단원에비해 훨씬많은분량을할애한다. 또한삼각함수관련단원은교과서의초반부에배치하 여다른단원들에적극활용할뿐만아니라역삼각함수의성질까지다루고있다. 실제로인도의 11 단계수학교과서인 <MATHEMATICS Textbook for Class Ⅺ> 에서도 삼각함수단원이등장하는데이때에도세단원에걸쳐배치되어있다. 11단계수학 교과서의총단원의수가 에배치된편임을알수있다. 16단원인데이를감안하면삼각함수단원이비교적앞쪽 인도의고등학교수학교과서는식이나공식유도과정등에서논리적이며수학 적인절차를매우강조하며, 한국의수학교과서에비해증명이자주등장한다. 또 한 <MATHEMATICS Textbook for Class Ⅻ> 에서는학생들이증명에잘적응할수있 도록증명에대한자세하고구체적인내용을담고있다. 인도의고등학교수학교과서는우리나라고등학교수학과정에서배우지않는 내용을많이다루고있다. 미분방정식과행렬식등우리나라의경우대학에서다루 고있는내용들을독립적인단원으로두며, 우리나라교과서에있는단원일지라도 그안에세부적으로우리나라교과서에서다루지않는내용이섞여있기도하다. 반대로통계단원의정규분포나이항분포, 모평균과모비율의추정처럼우리나라 교과서에서는배우지만인도교과서에서는다루지않는내용들도있다. 4) 중국( 상하이) 가) 중국의교육과정운영 중국정부가추진해온교육개혁의일환으로중국교육부는 2001년 7월중학교까지 의의무교육기간에대한교육과정 < 전일제의무교육수학과정표준> 을제정하여공포 했다. 이교육과정은 2005 년부터전국의초등학교와중학교에적용되었고, 고등학교 역시 < 보통고등학교수학교육과정표준> 을발표하면서초, 중, 고전체에걸친교육 과정개혁을이루었다. 그리고중국은건국초기에는소련의영향으로 학제를 도입하였으나, 1980년대이후 학제로바꾸었다. 현재중학교까지의 9년이의 무교육으로되어있다. 중국의교육과정은우리나라와마찬가지로총론과각론으로구성되어있다. 총론 은 교육과정설치 라고명명하며, 각론은 과정표준 이라고칭한다. 나) 중국의수학과교육과정운영 중국의수학과교육과정체제와우리나라를비교하면두가지특징이나타난다. 첫째, 수학교육과정의내용이학년별로제시되어있지않고 3개학년씩통합하여

101 년에걸쳐다루어야하는수학내용이진술되어있다. 둘째, 우리나라에서는교육과 정이발표된후교과용도서집필지침이작성되어이두문서가선후관계를가지지 만, 중국에서는교육과정과교과용도서집필지침이동시에작성되어진다. 중국의교육과정은초등학교저학년, 고학년, 중학교의세단계로구성되어있고, 우리의국민공통기본교육과정기간이중국의의무교육기간인초등학교와중학교 에대응된다. 우리나라의수학교육과정은국민공통기본교육과정기간동안의내용을 수와연산, 문자와식, 도형, 측정, 확률과통계, 규칙성과 함수 의 6 개영역으로세분하는데반해중국은 수와대수, 공간과도형, 확률과통계, 실천과종합응용 의 4 개로세분한다. 실제네번째의 실천과 종합응용 은독립적인내용영역이라기보다는여러내용들의종합과응용의성격이 강하므로, 결국 3 개의영역으로구분한것이라볼수있다. 대체적으로중국교육과정의학습목표가우리나라보다상세하게기술되어있다. 중국교육과정은목표자체만으로도어떠한과정을거쳐어떤개념을이해시켜야하 는지가분명하게드러나는편이다. 뿐만아니라학생들이어떤능력을습득하기를기 대하는지를 결정한다, 체험한다, 그린다, 안다, 해결한다 와같 이비교적다양한동사를동원하여표현한다. 중국교육과정은각학습단계와영역별로목표를제시한후, 그목표가의미하는 바를상세하게명료화할필요가있는경우에는구체적인예를제시하였다. 중국교육과정의네번째내용영역인 실천과종합응용 은여러가지내용을 복합적으로요구하는일종의프로젝트로구성되어있다. 각단계마다이름을달리하 여 실천활동, 종합응용, 과제학습 으로명명하였으나, 관찰하고조작하 고계획을세우고실험하고추리하고해석하고응용하는일련의과정을거쳐실생활 과관련된수학과제를해결한다는점에서기본적으로동일한것으로보인다. 9년 (1) 초등학교수학과교육과정운영 초등학교제1 단계(1 학년~3 학년) 는수와대수영역에서수, 수의계산, 흔히보는 량, 법칙에대한탐구등을다루고, 공간과도형영역에서도형, 측정, 도형과변환, 도형과위치등을다루며, 통계와확률영역에서숫자자료의통계활동초보, 비확 정적인현상등을다룬다. 초등학교제2 단계(4 학년~6 학년) 는 1단계에서다룬주제를좀더심화시킨내용으로 구성된다. 즉, 공간과도형영역은네가지같은주제를다루며수와연산영역은 흔히보는량 을 식과방정식 으로확장한다. 통계와확률영역은 비확정적 인현상 을 가능성 으로확장시킨내용을다룬다. (2) 중학교수학과교육과정운영 우리나라중학교에해당되는제3 단계(7 학년~9 학년) 의수와대수영역에서는수와

102 식, 방정식과부등식, 함수등을다루고, 공간과도형영역에서는도형, 도형과변 환, 도형과좌표, 도형과증명등을다루며, 통계와확률영역에서는통계, 확률등 의주제를다룬다. 제3단계에서다루어지는내용은대개 1,2단계에서등장한내용의 추상화된형식을다룬다. 예를들어, 1,2 단계에서다룬 법칙에대한탐구 를 함 수 로확장하거나 도형과변환 을 도형과좌표 로확장하여다루는형식이다. 한편, 실천과종합응용영역은 1,2 단계에서는각각실천활동, 종합응용등으로구 성되지만제3 단계에서는프로젝트형식의과제학습위주로구성된다. 5) 홍콩 가) 홍콩의교육과정운영 홍콩은국가가아니지만중국의특별행정구로서, 중국과는완전히다른독립된교 육제도를운영하고있다. 홍콩의교육은교육통수국(Education and Manpower Bureau: EMB) 에서관장하고있다. 홍콩은 2004 년후기중등교육을미국식으로단일화하는이른바 신학문구조(New Academic Structure) : 후기중등교육과고등교육의학문적구조개혁 - 미래 를위한계획 이라는이름의중등및고등교육개혁안을발표하고 2006학년도초등 학교 6학년이고등학교 1학년이되는 2009 학년도부터학제를변경하였다. 이전영국 의영향을받은영국식학제( 제) 를미국식학제( 제) 형태로학제를 변경하였고 2010년이후로는미국식학제인 제로정착되었다. < 표 Ⅲ-1> 홍콩의학제 기존영국식학제 신학문구조 (New Academic Structure) 고등교육대학과정 3년고등교육대학과정 4년 후기중등교육제 6과정 2년 후기중등교육고등중학교 2년 후기중등교육고등학교 3년 전기중등교육초등중학교 3년전기중등교육중학교 3년 초등교육초등학교 6년초등학교초등교육 6년 나) 홍콩의수학과교육과정의운영실태 (1) 초등학교수학과교육과정운영 6 학년제로운영되는홍콩의초등학교에서다루어지는수학은수, 측정, 도형및 공간, 대수, 자료다루기등 5 개의영역으로구성되어있다

103 (2) 중학교수학과교육과정운영 3 학년제로운영되는홍콩의초등중학교수학과교육과정의목표는아래와같다. 수학적상황에서와마찬가지로일상생활에서도비판적이고창조적으로생각하 고, 개념화하고, 수학적으로묻고, 추론하고수학을이용하여공식화하고문제 를해결하는능력을기른다. 수, 기호등수학적대상을능숙하게다루는능력을기른다. 구조나패턴을평가하는능력뿐만아니라수감각, 기호감각, 공간감각, 측정 감각을기른다. 수학의심미적특성이나문화적측면을인식하는능력과수학자체에대해긍 정적인태도를갖게한다. 위의교육과정목표를달성하기위해 3년제로운영되는중학교내용영역 은수와대수, 측정 도형과공간, 자료다루기등으로구성된다. 초등학교에서 두영역으로다루어지던 수 와 대수 가합쳐져서하나의영역으로다루어지 고 측정 과 도형및공간 영역이통합되어하나의영역으로다루어지는등 모두세영역으로통합되어운영되고있다. (3) 고등학교수학과교육과정운영 기존의영국식제도에서후기중학교와제6과정이통합된 3년과정의고등학교 학제는인문계열, 이과계열, 상업계열로나누어진다. 고등학교과정을마친후에 학생들은홍콩중등교육자격시험을치러그결과에따라진로를결정하게된다. 6) 프랑스 가) 프랑스의교육과정운영 무료공교육을원칙으로하는프랑스의초 중등교육은몇몇예외적인실험학교를 제외하고는프랑스전역에서교육부에서제시하는국가수준의동일한교육과정을따 른다. 고등학교에서는학생의진로방향과선택에따라매우다양하고세분화된계열 의교육과정이존재한다. 프랑스의교육제도는 학제로이루어지고우리나라의 수능시험 과유사한 대학입학자격시험인바까로레아(baccalaureat) 를치른후고등교육으로나아간다. 취학전교육이가장발달한나라중하나인프랑스는 유치학교( 유치원은없음) 교육을통해의무교육은아니지만국가정책적으로초등학교입학전아동의교육을 책임진다. 프랑스의초, 중, 고는전체 12학년으로구분되는동시에다시총 7단계의 과정(Cycle) 으로구분되며, 이 7단계의과정에따라교육과정이구분되어운영되고

104 있다. 이 7단계의과정중의무교육기간내에 6 단계의과정을운영하고있다. 학교수 업을과정으로재구성하는새로운교육과정은 1995년초등학교에서부터순차적으로 적용되기시작하였다. 프랑스에서는유급제를운영하고있으며, 한과정이끝날때마 다학생의진급여부가결정된다. 같은과정내에서는다음학년으로자동진급된다. 나) 프랑스의수학과교육과정운영실태 (1) 초등학교수학과교육과정운영프랑스는초등수준에서내용과관련하여교사에게상당한자율성을부여하며, 중등수준으로가면비교적구체적으로내용을진술하고있어서교사스스로재구성하여교육과정을운영할가능성은줄어든다. (2) 중학교수학과교육과정운영 프랑스중학교교육과정은일반적으로모든학생에게보통교육과문화를제공하 여기본기술과지식을익히고교육을준비시키는데중점을두고있다. 중학교수학과 교육과정목표는일반교양교과로서의수학, 도구교과로서의수학, 표현교과로서 의수학등을강조하고있다. 이러한측면들을간단하게요약하면다음과같다. 일반교양교과로서의수학 : 문제해결, 상황의모델화, 증명의점진적학습을 통해학생들은진정한수학활동이무엇인지를인식할수있다. 이는문제를파 악하고, 결과를추측하고, 예를이용해실험하고, 주장을펼치며, 해결계획을 수립하고, 풀이결과를검토하면서주어진문제에대한결과의적절성을평가하 는것이다. 도구교과로서의수학 : 수학적방법은일상적인문제해결에적용될수있다. 중학교과정에서는처리( 주어진자료의조직, 표현, 방정식세우기) 와해결( 방 정식의계산, 작도) 의기초적인수학적기술에숙달하도록한다. 현교과로서의수학을강조 : 수학은학생들의언어사용을풍부하게신장시킨 다. 수학은보통언어와다른여러형태( 수, 도형, 그래프, 식, 표, 도식) 의표 현학습을담당한다. 정보처리와의사소통을위한실제적인수단을폭넓게사용 하려면위와같은다양한표현형태에숙달될필요가있다. 프랑스와우리나라의중학교에서다루고있는수학학습주제의수를비교하면대 체로프랑스에서더많은주제를다루고있다. 점대칭변환, 삼각부등식, 삼각형의 외접원등을프랑스에서는중학교 1 학년에해당하는학생들에게가르친다. 중학교 2 학년수준의학생들에게는피타고라스정리와그역, 각의코사인등을, 중학교 3학 년에해당하는학생들에게는벡터와평행이동, 선형함수, 아핀함수, 중앙값등의내 용을가르치기도한다

105 7) 독일 가) 독일의교육과정운영 독일은연방공화국으로교육에대한모든권한과책임이각주정부에있다. 따라 서독일의교육제도는각주를중심으로철저하게지방자치제로운영된다. 독일의교육제도는전형적인복선형이며, 의무교육은 6살에시작하여 18세까지이 다. 초등학교를마치고중등학교로진학하게되는데어느학교로진학하는지는학급 담임회의를거쳐결정하게되는데이때학급담임의의견과학생의성적이중요한역 할을한다. 중등교육Ⅰ 영역은김나지움(Gymnasium), 레알슐레(Realschule), 하우프트슐레 (Hauptschule), 종합학교(Gesamtschule), 특수학교등 5학년에서 9학년또는 10학년 까지의과정이다. 김나지움은인문교육을담당하며장차대학에진학하여학문이나 직업교육을계속하기위한준비를한다. 레알슐레는 5학년에서 10 학년까지, 하우프 트슐레는 5학년에서 9 학년까지의과정을거쳐졸업하는데, 이후에는전문학교나직업 학교에진학하여일련의직업과정을거쳐직업에종사하게된다. 종합학교는한울타 리에김나지움, 레알슐레, 하우프트슐레가같이공존하는학교로세학교유형이독립 된형태로운영되는경우도있고, 단지독일어, 외국어, 수학과같은주요교과과정 만다르게배우고다른교과들은공동으로배우는통합된형태로운영하는주도있 다. 중등교육Ⅱ 영역은김나지움상급단계, 종합학교상급단계, 상급직업학교, 상급전 문학교, 직업전문학교, 직업학교와전문학교가있다. 직업학교과정의목표는직업에 서요구하는일반적인지식과전문적인지식을전달하는것이다. 전문학교나상급전 문학교는상업이나공업분야에서몇몇특별한중간수준의직업을위한준비과정이 다. 나) 독일의수학과교육과정운영실태 독일은중세때부터각지역별로존재해온독특한교육제도들이계속변화하여현 재에이르렀기때문에, 독일의국가교육과정은별도로존재하지않으며, 주마다약 간씩차이가있는교육제도와교육과정이존재한다. 인모습을파악하는것은어려운일이므로 따라서독일교육과정의전체적 Nordrhein-Westfalen 주의수학교육과정 을중심으로독일수학교육과정의특징을살펴보면다음과같다( 정영옥, 2004). (1) 초등학교수학과교육과정운영 산술, 기하, 측정에관해다룬다. 수학수업에서는이러한영역들이가능한통 합되어야하며, 응용을중시할뿐만아니라구조를탐색하는것도동일한가치를

106 지닌다. 산술영역은초등학교 4년동안핵심적인학습내용으로수개념과수의여러가 지의미, 수와연산의성질, 다양한계산전략, 변수와등호의사용, 어림등을학 습한다. 이러한학습은어린이들의현실경험과관련되어야하고, 계산전략과지필 계산은어린이들에의해발견되고유연하게사용되어야한다. 기하영역은공간에서의여러가지관계와형태의분석을통해현실상황에대한 탐구와수학의여러영역, 특히산술문제에대한통찰을제공한다. 또한기하내용 은정당화와창조성을신장시킬수있는많은가능성을제공하며, 관찰, 묘사및 자주적인구성을통해심미적경험이가능하다. 기하영역의응용은도형의특별한 기능을고려하는것으로이루어져야한다. 측정영역은어린이들이현실생활을이해하고쉽게다룰수있도록하는데공헌 한다. 측정에관련된활동은수학의응용분야에대한통찰을제공하며, 산술과기 하의기능, 지식, 능력을연습하는다양한기회를제공한다. (2) 중학교( 김나지움중등단계1) 수학과교육과정운영 대수, 기하, 확률과통계영역을다룬다. 이때, 5, 6 학년에서는대수와기하를, 7학년에서 10 학년까지는대수, 기하, 확률과통계를다룬다. 대수영역에서는수와문자식, 방정식과함수가수업의핵심적인내용이다. 대수 의수학내적의미만다루어지는것이아니라다른교과에보편적으로사용되는도 구로서여러가지실제에대한모델링과문제해결을다룬다. 기하영역은공간의여러가지관계에대한직관적인파악뿐만아니라구체적인 설명에의해정당화하거나논증의기회를제공해야하고, 이때직관적인파악에대 한반례를발견함으로서증명의필요성을발달시켜야함을강조한다. 통계와확률영역에서는학생들에게우연현상과관련되어있고전통적인영역에 서는다루지않는일상생활의일부를이해할수있도록한다. 이영역의중요성은 수학내적인체계에서경험할수있는것이아니라실험, 적절한자료수집, 다양한 이론모델, 상대도수나임의추출등의실험실습등을통해경험된다. 통계의주 요주제인가설검정에서시뮬레이션이중요한역할을할수있다. (3) 고등학교( 김나지움중등단계2) 수학과교육과정운영 김나지움중등단계(2) 의내용에서새로도입되는부분은주로해석학, 선형대수 / 기하, 통계와확률에관련된것이다. 도입단계인 11 학년에는좌표기하학, 기술통계학, 유리함수의미분법이다루어진 다. 좌표기하학은김나지움중등단계(1) 에서배운내용을응용할수있을뿐만아 니라앞으로배울해석학이나연립방정식을체계적으로다루기위한기초를형성할 수있다. 기술통계학은학생들이대량의불분명한자료를합리적으로다루고, 대푯

107 값으로그특징을알아내고해석하는것을배우는것이목표이며, 자료, 그림과그 래프를다룰때, 학습자의비판능력의발달을중시한다. 해석학에서는함수가수 많은교과에서종속성을기술하는데널리사용되며, 미분법의기초적인생각은변 화와기울기를탐구하고계산하는것이며, 이를기초로구성된도함수개념은다른 교과에서의수많은개념형성을위한수학적기초를형성함을강조하고있다. 자격단계인 12학년과 13 학년의경우에도해석학, 선형대수와기하, 통계와확률 이다루어지는데, 기본과정과심화과정에따라그내용에약간의차이가있다. 기 본과정은기초적인예비학문을위한교육에관련되는것으로, 교과의기초적인문 제제시, 사실, 복잡한문제, 구조와표현양식을도입하고, 교과의본질적인활동 방법을전달하고, 의식하며, 교과에서의여러가지관계를인식하고그경계를넘 는간단한예를살펴보는것을목표로한다. 심화과정은심화된예비학문을위한 교육에관련되는것으로, 교과의본질적인, 복잡성과풍부한측면을명백하게하는 내용, 이론과모델을체계적으로연구하고, 교과의활동수단과방법, 이러한것들 의자주적인응용과이론적인반성을깊이있게숙달하며, 일반교양교육의틀내에 서그리고통합교과적인관점에서교과에대해반성하는것을목표로삼고있다. 8) 핀란드 가) 핀란드의교육과정운영 핀란드의경우국가위원회가교육의전반적목표와초 중등교육의과목및과목 군( 예, 수학, 물리, 화학이한과목군으로묶여질수있음) 시간배당과학생지도 에대한사항을결정한다. 시에서대강의기준을마련하게되고, 편성 운영한다. 국가수준에서제시하는과목에대한이수에대해서는각 각학교에서학교의실정에맞게자율적으로 중학교에서수업은보통 5 주기로나누어진다. 어떤주기에는물리가주당 2 시간, 또다른주기에는화학이 2 시간이배당될수있으며, 한주기동안물리나화학수업 이없는경우도많다. 핀란드는일률적으로매주수업이있는것이아니라주기당 시간표가작성되어 다( 집중이수제). 1년동안결정된수업량을채우는데보다융통성이발휘되고있 7학년부터수학특별지도1 과목이개설되기시작하며, 수학특별지도1은수학에 아주약하거나학습장애가있는학생들을위해특수교사가전담한다. 즉수학1과 수학특별지도는각각다른교실에서수업이진행된다. 고등학교에진급하게되면서핀란드에서는무학년제교육과정이운영된다. 다시 말해고등학교코스시스템을통해학생에게좀더많은선택의여지를주려고애쓴 다. 이과쪽이라도미래의전공희망에따라학생마다시간표가각각다르다. 예를

108 들어대학에서생물학공부를목표로하는경우장기수학이나물리심화코스를꼭 들을필요가없다. 나) 핀란드의수학과교육과정운영실태 핀란드는초등학교 6 년, 중학교 3년의총 9 년이의무교육기간으로, 수학과교육과정 은 1~2 학년, 3~5 학년, 6~9 학년의세개의학년군으로구분하여내용을제시하고, 학년군 의특성에따라일부의내용영역은유지하고일부는차이를둔다. 핀란드수학교육과정 에서나타나는내용영역은다음 < 표 Ⅲ-2> 와같다. < 표 Ⅲ-2> 핀란드수학교육과정내용영역 학년군 1~2 학년 3~5 학년 6~9 학년 목표 성취수준방식성취수준방식성취수준방식 사고기능과방법 수와계산 대수 핵심내용함기수하 측정 확률통계관련자료처리와통계자료처리와통계와확률 통계와확률 학년군말평가기준 또한핀란드수학과교육과정은학년군에대한학습내용요소들을상당히포괄적으 로진술하고있다. 예를들어 6~9 학년기하영역에서는 정다각형, 닮음과합 동 등으로만되어있기때문에정다각형이나닮음과합동과관련된어떤성질을다 루는지, 또그성질을직관적으로이해하고확인하는수준인지연역적으로증명하는 수준인지에대해구체적으로파악하기어렵다. (1) 초등학교수학과교육과정운영 1~2 학년에서는 자료처리와통계, 수와계산, 대수, 기하, 측 정, 자료처리와통계 를다루지만 3~5 학년군에서는 측정 을제외한나머지 영역만을다룬다. 그리고 1~2 학년군에서다룬 자료처리와통계 는확률영역을추 가하여 자료처리와통계와확률 로영역이확장된다. (2) 중학교수학과교육과정운영 3~5 학년에서는 자료처리와통계와확률, 그리고 6~9 학년에서는 통계와확률 로영역명을차별화한다. 또한각학년군말에는학생들이어떤능력을갖추어야하 는지를평가기준의방식으로제시하고있다. 한편 6~9 학년의 사고기능과방법 이라는내용영역이특이한데구체적인항 목들은아래와같다

109 분류, 비교, 조직, 측정, 작도, 모델링, 규칙과상관관계의표현과탐구와같 이논리적사고를요구하는함수 비교하고상관관계를파악하기위해필요한개념의해석과이용 수학적텍스트를만들어내고해석하기 증명의도입 : 정당화된추측과실험, 체계적인시행착오방법, 부정확함의입 증, 직접증명 조합문제를다양한방법으로해결하기 사고를보조하는도구와그림의이용 수학사 핀란드의수학과교육과정에서핵심내용의일환으로설정한 사고기능과방 법 은나머지여섯가지수학내용영역들과는성격이다소다르다. 사고기능 과방법 은수학내용요소를교육적으로구현하는방법이나학생들이수학학습 을통해갖추기를요구하는수학적능력과관련된것을진술하고있다. 9) 호주 가) 호주의교육과정운영 호주교육과정평가원에서발간한 호주국가수준교육과정프레임웍 과함께영 어, 수학, 과학, 역사네개과목의교육과정프레임웍이발간되었는데, 각과목별 교육과정프레임웍의목차는유사한형태를띠고있다. 각과목당 15쪽내외의분량 에목적, 머리말, 교과교육과정의목표, 핵심단원, 교과교육과정의구조, 고려사 항, 교수법과평가, 결론의구조로되어있다( 한국교육과정평가원, 2009). 호주교육과정평가원에서는국가수준교육과정시안에대한협의를위한자료로영 어, 수학, 과학, 역사 4개교과교육과정시안공청회버전을온라인상에공시하였 다. 이것은호주국가수준교육과정개발계획에따른것으로그틀은각교과교육 과정마다유사하다( 한국교육과정평가원, 2010a). 호주교육과정평가원 (ACARA, The Australian Curriculum, Assessment and Reporting Authority) 은 3 단계의교육과정개발단계를거치고있다. 1 단계( ) - 영어, 수학, 과학및역사과목의호주교육과정개발 2 단계( ) - 지리, 언어및예술과목의호주교육과정개발 3 단계( ) - 기타과목에대한호주교육과정개발 나) 호주의수학과교육과정운영실태수학교과교육과정은유치원부터제6 단계까지구성된다. 수학교육과정의필수내

110 용은과정영역인 수학적사고 와내용영역인 수, 배열과대수, 자료, 측정, 공간과기하 관점에기술한다. 각영역들은교사의수업계획, 교육내 용편성, 평가와성적통지를돕기위한결과행동과내용분류의도구로도사용된다. (1) 초등학교수학과교육과정운영 제1 단계(1,2 학년), 제2 단계(3,4 학년), 제3 단계(5,6 학년) 수학교과는초등교육 과정의 6 개핵심학습영역중하나이다. 따라서수학은초등학교전학년동안개 설되어야한다. 유치원부터제5단계까지는 5 개영역으로수학교육과정의내용을기술한다. 그 리고유치원에서제3 단계(6 학년) 까지 수 는 자연수와정수, 덧셈과뺄 셈, 곱셈과나눗셈, 분수와소수, 확률 이라는하위영역을 측정 은 길이, 넓이, 부피와용량, 질량, 시간 이라는하위영역을 공간과기하 는 입체공간, 평면공간, 위치 라는하위영역을갖는 다. (2) 중학교수학과교육과정운영 제4단계와제5단계가 7~10 학년까지의중학교수학교육과정을구성하는데, 제 5단계는제5.1 단계, 제5.2 단계, 제5.3 단계로나누어진다. (3) 고등학교수학과교육과정운영 제6단계는 11~12 학년까지의고등학교수학교육과정을구성한다. 특히제6단 계는예비과정과심화과정으로구분된다. 예비과정에는일반수학, 상급수학, 수학 심화등 3 개의과정이개설되고, 심화과정에는일반수학1, 일반수학2, 상급수학 수학심화1, 수학심화2 등5 개의과정이개설된다. 예비과정일반수학을이수한후 심화과정의일반수학1, 일반수학2 중하나를선택할수있고, 예비과정상급수학 을이수한후심화과정상급수학을, 예비과정상급수학과수학심화를이수한후 심화과정상급수학, 수학심화1, 수학심화2 를선택이수할수있다. 제6 단계수학과교육과정내용은 주제의명칭, 선수학습으로서의 5.3단계결과 행동, 결과행동, 내용요약, 용어, 컴퓨터기술이용, 주제관련주의점 관점에 서진술된다

111 나. 외국의수학과교육과정특징 1) 미국 수학과교육과정의특징 학년과내용의순서에는차이가약간있지만, 우리나라와미국의수학과교육과정내 용을주제별로비교했을때, 여러가지주제들이우리나라보다일찍도입되어여러학 년에걸쳐반복적으로그리고점진적으로다루어진다. 다시말하면, 우리나라는하나의 주제를한학년에서도입하여그학년에서완성시키는경향이있는반면에미국에서는 하나의주제를한학년에서도입하고여러학년에나누어반복해서지도하여심화시키 는경향이있다. 이는하나의주제를완성하는속도에있어서우리나라가미국보다훨 씬빠른속도로완성한다는것을뜻한다. 주에서운영하던교육과정에서벗어나서공통핵심교육과정운영을시도하고있다. 국제시대를위한인력양성뿐아니라, 주들사이의비교를용이하게하고, 학생들이다 른주로이동하는경우학습에지장을주지않는다는장점이있다. 이공통교육과정은 각학년별로교육과정을제시하고있으며, 46개의주가이공통교육과정설립을지지하 고실행할것을약속하였다. 특히, 주마다서로다른교육과정을운영하는미국의경우는전미수학교사협의회 (NCTM) 에서발행한 학교수학과평가를위한규준(1989) 와 학교수학의원리와규 준(2000) 이학교수학의방향을제시하는역할을하고있다. 그런데이규준집은수학 과의성격, 목표, 내용, 교수- 학습방법, 평가등으로구성된우리나라국가수준의교 육과정문서와달리구체적인지도사례를언급하여교과서집필진이나교사들로하여 금수업계획에대한구체적인시사점을얻도록하고있다. 2) 싱가포르 수학과교육과정의특징 싱가포르는생활과관련된지식과기술, 타학문을위한수학적개념과기술, 수학 문제해결을통한논리적연역과귀납능력, 정확하고간결하고논리적인의사소통, 수 학에대한긍정적태도, 수학의힘과지적호기심등 6가지교육목표를설정하고있으 며, 수학적문제해결을중심에두고, 개념, 기술, 태도, 메타인지, 과정등 5가지요소 를오각형으로나타냄으로써궁극적인수학교육의목표를수학문제해결능력의신장 으로설정하고있다. 다섯가지요소로모델링한싱가포르의이러한수학교육목표에서우리나라와가장 큰차이를나타내는것은 메타인지 로이는학습자자신이문제해결과정을탐구대 상으로삼아스스로모니터링하고반성적으로고찰하는인지의인지과정에해당된다. 문제해결과정에서이런측면을강조하면문제해결방법을단순히기억하여적용하는 수동적태도에서벗어나문제해결활동을스스로통제하는자기주도적학습력을신장시 키는데도움을줄수있게된다. 수학적개념의경우, 우리나라는구체적인활동을통해소개하는반면, 싱가포르는

112 실생활에서쉽게접할수있는소재를이용하여도입하고있으며, 수준별과정에따라 다루는하위내용의범위를조절하기도한다. 예를들어, 특별/ 고속과정과보통학습과 정에서는다각형의작도를다루는데, 보통기술과정에서는다각형중삼각형의작도만 다룬다. 문제해결영역의 레저와레크리에이션을위한수학 과같이보통기술과정에 만포함되어있는내용도있다. 3) 인도 수학과교육과정의특징 인도수학에서는 선방법을다룬다. 8학년수학교과서의첫단원에서제곱수를구하는열방법과대각 이두가지방법은다른국가에서소개되지않는독특한방법으로 통상적으로쓰이는세로셈에비해계산절차가더복잡한경향이있음에도불구하고이 방법을소개하고있는것인데, 이는중세인도인에의해개발되었다는역사적맥락에서 비롯된것으로보인다. 이처럼우리나라도우리조상들이사용한전통적인방법을소개 함으로써전통수학에대한자긍심을느끼게할필요가있다. 한편, 다른나라에비해인도의교육과정에서강조하는것은공식유도과정에서의 논리적사고와증명이다. 우리나라도수학적과정을중시하지만언제나초점이결과에 맞춰져있는데반해, 인도의경우는수학적처리, 기호화, 논리자체를강조함으로써 수학적과정에초점을맞추는것에서우리나라와큰차이를나타낸다. 4) 중국( 상하이) 수학과교육과정의특징 영역의세분화경향을가지고있는우리나라의교육과정편성방식이나름대로장점 이있지만, 중국의예처럼교육과정을보다광역적으로구분하게될경우서로상이한 단원의내용또는상이한학년에서다루어지는내용을같이통합하여수업에활용하기 가용이해져한학년에서의학습의단절이곧수학의포기를가져오는우리나라의현실 에비추어볼때, 대안점이될수있을것으로판단된다. 또한현재우리나라교과서를 보면자연스럽게연결되는수학적내용을상이한단원에또는상이한교과서에인위적 으로분리해서다루는경우가많은데, 교과서구성에있어서유연함을가져올수있는 하나의방안이될것으로판단한다. 중국교육과정의네번째내용영역인 실천과종합응용 은여러가지내용을복합 적으로요구하는일종의프로젝트로구성되어있다. 각단계마다이름을달리하여 실천활동, 종합응용, 과제학습 으로명명하였으나, 관찰하고조작하고계획 을세우고실험하고추리하고해석하고응용하는일련의과정을거쳐실생활과관련된 수학과제를해결한다는점에서기본적으로동일한것으로보인다. 5) 홍콩 수학과교육과정의특징 홍콩은수학적상황에서와마찬가지로일상생활에서도비판적이고창조적으로생각하 고, 개념화하고, 수학적으로묻고, 추론하고수학을이용하여공식화하고문제를해결

113 하는능력, 수, 기호등수학적대상을능숙하게다루는능력, 구조나패턴을평가하는 능력뿐만아니라수감각, 기호감각, 공간감각, 측정감각의배양, 그리고수학의심미 적특성이나문화적측면을인식하는능력과수학자체에대해긍정적인태도의함양을 교육과정의목표로삼고있다. 홍콩의경우, 초등학교에서중학교로진급하는과정에서학습내용영역을 5개영역 ( 수, 대수, 측정, 도형및공간, 자료다루기) 에서 3 개영역( 수와대수, 측정 도형과공 간, 자료다루기) 으로통합하였다. 우리나라교육과정에서도실생활문제를수학적으로표현하고해결하는능력을강조 하고있지만, 홍콩의경우는 일상생활에서도비판적이고창조적으로생각하고, 개념 화하고, 수학적으로묻고, 추론하고수학을이용하여공식화하고문제를해결하는능 력을기른다 고목표를구체화함으로써수학적관계가특정한문맥속에서의미를가 질때어떤설명이필요한지를생각해볼수있는활동을강조하고있다. 6) 프랑스 수학과교육과정의특징 프랑스수학과교육과정의목표를보면수학을일반교양, 도구, 표현의교과로서강 조하면서모든학생에게수학의기본지식을익히고고등교육을준비시키는데중점을두 는것으로진술되어있다. 이러한목표진술은수학적인사고방식의훈련을통해일반 교양교과로서의수학의중요성을부각시키고있다고할수있다. 또한습득된수학적 언어를바탕으로실제적으로의사소통하는능력의발달에비중을두고있으며, 교사와 학생사이의의사소통에대한교육과정상의언급도주의깊게살펴볼만한사항이다. 특히, 중학교수학과교육과정목표로일반교양교과로서의수학, 도구교과로서의 수학, 표현교과로서의수학등을강조하고있는데, 이중에서도일반교양교과로서의 수학적측면을 문제해결, 상황의모델화, 증명의점진적학습을통해학생들은진정 한수학활동이무엇인지를인식할수있다. 이는문제를파악하고, 결과를추측하고, 예를이용해실험하고, 주장을펼치며, 해결계획을수립하고, 풀이결과를검토하면서 주어진문제에대한결과의적절성을평가하는것이다 와같이표현함으로써구체적인 상황에서수학적모델링을통해수학화하고그것을수학적으로해결하는일련의과정을 학습하는것을강조함으로써대개정형화되어있는문제해결을강조하는우리나라와차 이를나타내고있다. 7) 독일 수학과교육과정의특징 독일의교육과정에서는상호작용에의한문제중심활동을강조한다. 다시말해학문 예비교육을위해서나사회적책임감을가진개인의발달을위해서나자신의관점을설 명하고, 정당화하고, 설득하고, 반성할뿐만아니라다른사람의관점을이해하거나반 증하는능력은아주중요하며, 이러한관점에서독일교육과정곳곳에서상호작용을강 조한다. 그리고수학과교육과정에서는단일교과의관점에서현실을이해하는것이아

114 니라여러교과의다양한관점이나통합된관점에서현실을이해하는것을중시하면서 교과내의활동뿐아니라학년별로여러교과에걸친통합교과활동을중시하고학년협 의회에서이러한것을주관하도록하고있다. 8) 핀란드 수학과교육과정의특징 핀란드의경우국가위원회가교육의전반적목표와초 중등교육의과목및과목군 시간배당과학생지도에대한사항을결정한다(National Core Curriculum). 국가수준 에서제시하는과목에대한이수에대해서는각시에서대강의기준을마련하게되고, 각학교에서학교의실정에맞게자율적으로편성 운영한다. 핀란드교육과정에서는과목간의통합교육을강조하고있으며, 고등학교에진급하게 되면서부터무학년제교육과정이운영된다. 핀란드는초등학교 6 년, 중학교 3년의총 9 년이의무교육기간으로, 수학과교육과정은 1~2 학년, 3~5 학년, 6~9학년의세개의학 년군으로구분하여내용을제시한다. 또한핀란드수학과교육과정은학년군에대한학 습내용요소들을상당히포괄적으로진술하고있다. 마지막으로핀란드의수학과교육과 정에서는수학내용영역들과는성격이다소다른 사고기능과방법 이란영역을두고 수학내용요소를교육적으로구현하는방법이나학생들이수학학습을통해갖추기를 요구하는수학적능력과관련된것을진술하고있다. 특히, 여기에포함된구체적인내 용중에서 정당화된추측과실험, 체계적인시행착오방법, 부정확함의입증, 직접증 명, 조합문제를다양한방법으로해결하기 등은처음부터형식적이고엄밀하게도입하 는경우가많은우리에게시사하는바가크다. 9) 호주 수학과교육과정의특징 호주는공통교육과정이설립되지않았었는데 2009년에호주교육과정평가원에서발 간한 호주국가수준교육과정프레임웍 과함께영어, 수학, 과학, 역사네개과목 의교육과정프레임웍이발간되었다. 이를통해국가수준교육과정을개발하려는노력 을하고있다. 수학과교육과정은유치원부터 6 단계까지구성되며, 1~3단계는초등학교 과정, 4~5 단계는중학교, 6 단계는고등학교과정으로구성된다. 초등학교에서는전학 년동안수학교과가개설되며, 6단계인고등학교과정은예비과정과심화과정으로구분 된다. 는 유치원부터 5 단계까지는 수, 배열과대수, 자료, 측정, 공간과기하 라 5 개의영역으로내용을기술하지만, 6단계에서는 주제와명칭, 선수학습으로서의 5.3 단계결과행동, 결과행동, 내용요약, 용어, 컴퓨터기술이용, 주제관련주의 점 의관점에서진술된다. 여기서의결과행동은수학을효과적으로가르치고배운결과 로각단계를마칠때학습자가성취할지식이나, 기술, 이해를진술한다

115 2. 수학과교과서실태( 사례) 및특징 가. 외국의수학과교과서실태( 사례) 1) 미국 가) 외형적특징 (1) 교과서제도 민간출판사가주및학교구별로제시하는교육지침과기준을바탕으로편찬및 발행을하고주( 주정부) 나학교구( 지역교육청) 단위로교육자료목록을승인및채 택하여학교에배포한다. 세부적인사항은주나학교구에따라다르며이목록은 광범위한교육자료목록으로서교과서, 디지털자료, 시험도구등을포함한다. 따라 서교사들은교과서를수업을위한하나의도구로만인식한다. 연방정부차원에서교육의수월성을높이기위해교과별로다양한교육자료를 무료로제공하고있다. 동영상, 사진, 음원등활용가능한교육자료가교과별로 정리되어탑재되어있다( 한국교과서연구재단, 2011a). (2) 화보처리방식 미국교과서의화보는 < 표 Ⅲ-3> 와같이한국교과서보다삽화의비율을현저히 낮추고사진을많이사용하고있음을알수있다. 또한김채춘, 김재현, 이기호 (2006) 에의하면화보가이해하기어려운내용을단순화하여이해에들이는노력을 감소시켜주고있다고하였다. 김재춘외(2006) 에의하면큰화보의레이아웃이우 수하며화보를통한문제해결등학생들의문제해결력과도전감을주기위해수식화 된수학문제만을제시하지않고다양한유형의도표나그래프를활용한문제를많 이제시하고있다. < 표 Ⅲ-3> 한국, 일본, 미국교과서화보의표현형태( 김재춘, 김재현, 이기호, 2006) 화보 나라 지면수 (P) 한국 9 - 일본 14 - 미국 18 화보의표현형태 사진삽화만화도표합계 (Q) 10 (40.0%) 6 (100%) 28 (56.0%) 8 (32.0%) (44.0%) (28.0%) 6 (100%) 50 (100%) 25 (100%) 한지면당평균화보수 (Q/P)

116 (3) 교과서에서질문의양 교과서에서사용되는질문의양은김재춘과박소영(2006a) 이제시한교과서의질 문수를통하여한국교과서와비교하였다. 수학교과의특성상질문이학습내용을 의미하는것으로간주할때미국의교과서에제시된학습내용의양은한국의수학 교과서에비해많은편이라할수있다. < 표 Ⅲ-4> 한국, 일본, 미국, 프랑스교과서의질문수( 김재춘, 박소영, 2006a) 국가질문수 (Q) 분석지면수 (P) 지면대비 질문수 (Q/P) 교과서 한국 익힘책 계 미국 프랑스 나) 내용적특징 (1) 기하단원 미국교과서의기하단원을비교하였을때기하단원의특징은 < 표 Ⅲ-5> 과같다. 미국교과서는용어와정리를많이제시하지만증명과정없이문제로넘어가는경우 가많으며수학적활동을중심으로단원을구성하고있다. 또실생활관련발문을 통하여동기부여를하고있으며컴퓨터등 있다. IT기기를많이사용하고있음을알수 < 표 Ⅲ-5> 한국과미국교과서의기하단원비교 한국미국 증명을할때처음시작부분에서부터많은용 많은용어및정리를제시하지만증명과정없이 어를제시하여엄밀하게증명. 수학적개념을중심으로단원을전개하고구성하였으며수학사를소개하여동기부여를하고자함. 계산기나자, 각도기만을주로사용할뿐도구의활용도가낮게구성. 문제로넘어가는경우가많음. 수학적활동을중심으로단원을구성하였으며, 단원의내용과관련있는실생활에관련된물음을제시하여동기부여를하고자함. 컴퓨터나그래픽계산기의활용도가높으며, 직접실습등의실험활동이많이제시되어있음. 엄밀한증명은최소화하고문제풀이및수학적활동에중점. 중요한용어와정의는표형태로구분지어명시해주어시각적으로부각시켜줌

117 (2) 지수와로그단원 우리나라제7 차수학과교육과정에서는 지수와로그, 지수함수와로그 함수 를대수영역과해석영역으로나누어독립된단원으로제시하도록하였으나, 미국의교과서는특별한증명없이문제풀이를통하여로그의성질을언급하도록 진술하고있다. < 표 Ⅲ-6> 한국과미국교과서의로그의성질 ( 김정석, 2008) 한국의교과서 로그의성질하나하나에대하여정확하면서도간결한증명을반드시한후문제에적용하는연습. 미국의교과서 로그의성질을지수의성질을이용하여간단하게언급하면서특별한증명없이바로문제풀이를통하여로그의성질을연습하도록진술. 학습자의학습과정을수월하게하고자하는미국교과서의경향과수학의논리 적인구조를중요하게생각하는한국교과서의경향이나타난부분이다. 수학적증 명은원인으로시작해서결과를도출해내는증명과정을통해학생들의논리적인판 단력을길러준다는의미에서증명의과정은수학교육에서반드시필요한요소이다. 교과의논리적구조보다학습자의상황을지나치게배려하려는미국교과서의의도 는자칫핵심적인수학내용에서벗어날수도있는위험성이있으므로수학을쉽게 접하도록배려는하되핵심적인수학내용은반드시지켜주어야할것이다. < 표 Ⅲ-7> 한국과미국교과서의지표와가수 ( 김정석, 2008) 한국의교과서 상용로그의지표와가수를중요하게 여기고설명의양도상당. 미국의교과서 지표와가수에대한설명이없음. (3) 통계단원 통계단원은미국의 MiC 교과서와한국의교과서를비교한연구를중심으로 < 표 Ⅲ-8> 에제시하였다. < 표 Ⅲ-8> 미국 MiC 교과서와한국교과서의통계단원의내용 ( 김정석, 2008) 한국교과서 단원구성은세부적으로잘나누어져있으나 단원이바뀌어도교과서의흐름이똑같이구성. MiC교과서 주제가있는이야기를풀어놓은듯하며학습 자의수준에크게관계되지않더라도쉽게다가 갈수있도록짜여있고상황에맞게그에연속 되어지는문제로구성

118 단원명다음학습목표를기록하여학습목표를 통해학습자가학습하고자하는내용에관한흐 름과연계성을파악할수있도록제시하였으나 학습과정속에서학생들이깨달아가도록구성되 어있지는않음. 학습자로하여금흥미를유발하는자료를제 시하였으나문제풀이로연관시켜단원의시작부 터학생들에게통계를배우는목표가문제풀이라 는인식을주고있고도입내용의수준이학생들 의수준을뛰어넘고학생들의관심밖의영역을 제시함으로써통계는매우어렵다는인식을심어 주는경향이있음. 한단원에제시된내용들은자료의내용들이 전혀별개의내용들로문장안에주로 어느~ 라 는막연한자료를사용함으로학생모두가관심 을갖고대하기는힘든자료로구성됨. 설명하고내용정리한후그내용에대한것 을학습했는지확인하기위해학습자각자가 ~ 는얼마인가?, ~ 는몇명인가? 등의단순한값 을요구하는문제를풀게함. 자료를통계처리하는데주어진자료가얼마 만큼의신뢰성을갖는지에대한반드시언급되 어져야하는부분임에도우리나라교과서에서는 표본의공정성에대한부분이전혀언급되어있 지않음. 학습목표를구체적으로제시하지않고학생들 이교과서를학습해감으로써학습목표를찾아가 도록구성. 통계단원의도입내용은실생활에서학생들이 흥미를느낄수있는점을이야기로다루면서학 습할내용에대해쉽게설명해주며도입부분부 터학습자로하여금학습에대한부담을주지않 음. 학습내용으로제시된자료들이학생들과전혀 무관하지않는자신들이속한사회의역사적, 문 화적, 경제적, 사회적, 과학적인사실들을자료화 하여학생들로하여금생활속의여러자료를통 해수학학습유도. 교과서전반에걸쳐학생들의토론을유도하 여학생상호간의의사소통을이끌어내고토론을 통해서학생스스로발견하게함. 공정한자료수집내용에대한내용과제시된 표본이공정한지에대한중요성언급. 다) 교과서의실제 미국의교과서는내용영역을중심으로전개가되며각단원들은학습개념을중심 으로구성되어있다. 또각쪽의구성은수학용어를제목으로하여개념을하나씩전 개해감으로써 교과서쪽의순서가수업순서 라는통념을깨고있다. 또한각자의 개인적, 사회적상황, 지적수준, 흥미도에맞게생활중심, 경험중심으로이루어지 게하는 ' 열린도구' 로서의교과서를지향하고있다. 자신의생각을쓰고, 발표하고, 또공동의관심사를같이준비하고탐구하면서나 타나는무한한사고력의확장, 문제해결능력을키우게하는 ' 실용성' 을강조한교 과서이며시각적인효과가극대화되어있다. 문제풀이과정을생략없이자세히제시

119 해주고있으며단원의끝부분에서는 problem solving 이라는코너에서실생활문제 만따로모아서제시하고있으며각문제마다주제가있어문제의첫부분에주제도 제시해주고, 문제밑에참고가될만한사이트의주소도명시해주어학생들이각자 찾아볼수있도록친절한교과서를구현하고있다. 실제생활에서활용되고있는내용 들을중심으로교과서가구성되어학생들이실제생활의경험을통해수학적지식과 연결시킬수있도록하고있다. [ 그림 Ⅲ-1] 사진자료를적극활용하는미국교과서 교과서의단원중간에계산기등의 도마련되어있다. IT 자료를이용하여수학능력을키우는코너들 [ 그림 Ⅲ-2] 미국교과서의계산기활용코너

120 < 표 Ⅲ-9> 한국과미국교과서의계산기와컴퓨터의활용 ( 김정석, 2008) 한국의교과서 계산기나컴퓨터의활용을강조하기는하나실제 로한국의교과서에서활용하는비율이아주낮기 때문에계산의편이성을생각해서수치를사실적이 지않고단순화시킨문제가거의대부분. < 계산기와컴퓨터의활용부분> 미국의교과서 수치가다소복잡해도실제상황의자료를있는 그대로이용하는문제가다수포함되어있으며학 습내용의진술에있어서도엄밀한증명과정없이 컴퓨터나계산기를이용하여직접적인활용부분을 강조하는경우가많음. 2) 싱가포르 가) 외형적특징 (1) 교과서제도 싱가포르는 2001년부터인정제로교과서를편찬및발행하고있으며교육부에서 발표하는교육과정을바탕으로민간출판사가교과서를편찬및발행하면교육부는 이를인증하여인증교과서목록( 을만들고학교에 배포한다. 인증목록에는교과서뿐만아니라기타교수자료, 학습자료등도포함되고 인증목록에포함된교과서및각종자료에는교육부인증마크가찍힌다. 학교는이 목록을바탕으로학교와학생의특성을잘반영한교과서, 기타교수자료, 학습자료 등을채택하고학생들은유상으로구입하여사용한다( 한국교과서연구재단, 2011a). (2) 교과서의외형구성 외형상크기와상하좌우여백은비슷하다. 싱가포르의교과서는우리나라의것에 비해탐구활동이나설명, 실생활문제등에서삽화나사진의삽입이적으며글씨가 빡빡하게편집이되어있다. 상하좌우여백이비슷하지만싱가포르의교과서는 1쪽 당최대줄수가 40줄로우리나라에비해서 10 줄이상많다. 우리나라교과서는문 제를풀공간을제공하지만싱가포르는문제와문제사이의공간이적어서보기에 조금답답하다

121 < 표 Ⅲ-10> 우리나라와싱가포르교과서의외형 ( 이현정, 2010) 우리나라 싱가포르 기준 중학교중등 3/4 심화중등 3/4 고등학교고등학교 3학년 Secondary Additional 수학수학 Ⅱ (9단계- 나) 3/4 Secondary 3/4 크기 가로 19 cm 가로 19 cm 가로 19 cm 가로 19 cm 가로 19 cm 세로 25 cm 세로 25 cm 세로 25 cm 세로 25 cm 세로 25 cm 두께 1cm 1.5cm 1.2cm 2.2cm 2.7cm 총쪽수 143쪽 367쪽 232쪽 418쪽 498쪽 색사용 여러가지색 여러가지색 여러가지색 여러가지색 2 가지색 ( 검정, 초록) 1쪽당최대줄수 29줄 29줄 27줄 40줄 40줄 상 1.5cm 1.5cm 1.5cm 2cm 2cm 여 하 2cm 2cm 2cm 1.5cm 1.5cm 백 좌 1.5cm 1.5cm 1.5cm 1cm 1cm 우 1.5cm 1.5cm 1.5cm 1.5cm 1.5cm (3) 단원구성체계 한학년당 15개정도의단원으로구성되어있으며단원은다시중단원이나소단 원으로나누어지지않고다만한단원은 10 개의소제목으로이루어진다. 몇개의소 제목학습후예제와연습문제가뒤따르며, 각단원의끝은요약, 복습문제, 문제해 결문제또는탐구문제로구성되어져각단원을정리하는데도움을준다. 또한 4개의 단원학습후에는복습문제가주어진다. 수영역끝부분에는 계산기사용 이기 하단원끝부분에는 컴퍼스사용 이소제목으로구성되어있는등도구의사용 에대한설명이자세하다. < 표 Ⅲ-11> 싱가포르교과서의단원구성체계 ( 홍지현, 2009) 예제 교과내용의이해를돕기위해보기로서제시. 연습문제 학생들의복합적능력을위하여수많은연습문제들이주어지고질문들이제시. 교실안의활동 조사와토론을통한문제해결을유도. 요약 그단원에서학생들이알아야할것과자주혼동될만한것들을정리하여제시. 복습문제 복습문제에선학생들에게필요한연습과강화를주기위해난이도에적당한차이를둠. 문제해결연습은학생들이그들의문제해결기술능력 문제해결또는탐구 교정하는문제중간시험예시문제 기말시험예시문제 을연습하고그들의사고기술을발달시킬수있게 하기위하여주어짐. 4 개단원을총괄하는복습문제를제시. 반년마다공식적인조건하에서시행되는공동적인 학교기초시험인중간시험과학년말시험을대비

122 나) 내용적특징 교과서의내용적특징은시간단원, 사각형단원, 방정식단원, 기하, 수와연 산, 문자와식단원을한국교과서와비교한내용을중심으로제시한다. (1) 시간단원 < 표 Ⅲ-12> 한국, 싱가포르초등학교교과서의 시간 지도방법 ( 임선혜, 2009) 시간지도시기지도방법지도분량학습소재 한국 일본에비해시간지도시기가한학기정도빠름. 덧셈과뺄셈에비중을두어많은양 으로지도. 시간학습에서시간계산보다는시간 의흐름이중요하게지도되어야하나우 리나라는흐름보다는알고리즘의지도에 중점을두는경향이있음. 시간을정의내리는방식에일관성이 없어학생들의학습을방해함. 우리나라가가장많음( 학업의부담을 안겨주고나아가학습의흥미를저하시킬 수있다 ). 매우단순하고동일소재가많이사용. 싱가포르 시간의흐름에초점을두어자세하게 지도. 시간의저의방식이일관성있고, 시 분초의연관성을이용한지도는학생들의 이해를도모. 다림질하는시간이나교가를부르는 시간등학생들이일상생활속에서의다 양한소재를제시하여학생들의시간에 대한흥미를고취. (2) 사각형 단원 < 표 Ⅲ-13> 한국, 싱가포르초등학교교과서의 사각형 지도방법 ( 박선영, 2009) 정의 한국 정의지도를적극적으로함. 정의를이끌기위하여기본도형의 요소에착안. 그요소를통하여공통개념을발견 하고정의로이끌거나, 정의를써서 도형을분류하고작도를사용하여이 해를깊게하는활동은잘이루어지 싱가포르 정의에관해암묵적이고, 예시적으로만지도하 고성질만제시. 한눈에사각형을개념이미지화할수있지만 다양한예를접하지못하여이미지고착화를초 래할수있음

123 성질작도포함관계 고있지않음. 다양한예를제시. 사각형의성질을탐구하고자하는활동은거의비슷하지만표현하는방식은서로다름. 색종이를접거나, 오려서각의크기나변의길이를확인하는활동방식은거의같으며약 간의방법상의차이는있으나넓게보면같은조작활동으로볼수있음. 활동에관한여러가지발문이있 조작활동후교과서의하단에정리하여학생들지만, 이런발문들은대체로 예, 로하여금조작활동의의미를파악할수있게아니요, 같습니다 와같은답을요함. 구하고있기때문에학생들로하여금 도형의성질을표시하는것에도적극적임 ( 예, 활동의의미를유의하게간직하기는평행하다는표시나, 각의크기가같음을기호를어려움. 사용하여어떤설명없이도성질을발견할수있 직사각형과정사각형에만직각표음 ). 시를하고있음. 작도의지도가소극적. 작도의지도가적극적. 한국은 작도 지도라기보다는 여러가지사각형에대한성질을탐구하고나면 그리기 지도에가까움 ( 거의모눈자, 각도기, 컴퍼스등을이용하여그사각형을종이에그리는활동이주가되며, 학그려봄. 습활동이많아간혹나오는수학익 싱가포르는가능한여러가지도구를이용하여힘책에있는작도의지도가어렵기작도를할수있도록적극독려하고있음. 때문 ). 사각형의포함관계지도에적극적. 사각형의포함관계지도에소극적. (3) 방정식단원 < 표 Ⅲ-14> 한국, 싱가포르고등학교교과서의방정식단원내용 ( 송은영, 2008) 한국교과서 수학과교육과정에나타나있는내용체계 표에는마치단원의소제목처럼학습해야 할내용을간단히제시하고있으며상세한 설명이나문제를예로들어제시하고있지 않음. 계산기의활용을강조하고있지만한국의 교과서에있는문제에사용된수치들은대 부분이계산기를사용하지않고풀수있도 록하여제한이있음. 싱가포르교과서 교육과정내에학습해야할내용을제시하 면서한국보다상세히제시하였는데, 어떠한 풀이법을이용하여학습하는지와어떠한형태 의문제들을학습해야하는지를구체적으로 명시. 방정식의풀이에서그래프를이용하여근삿 값을계산하거나계산기를활용하여근을구 하는방법을사용하고있음( 그래프를이용하 여근의근삿값을계산하는방법을익히면우 리가주로사용하는인수분해를이용하는방

124 법, 완전제곱식을이용하는방법, 근의공식 을이용하는방법, 인수정리를이용하는방법 등을사용하기힘든이차이상의방정식을다 루어볼수있으며실제생활에서사용되는 수치들에대한계산도가능 ). (4) 기하, 수와연산, 문자와식단원 < 표 Ⅲ-15> 한국, 싱가포르중학교 1 학년수학교과서의영역별내용 ( 홍지현, 2009) 한국교과서 < 기하> 싱가포르교과서 기본도형에서점, 선, 면을도입후평면 으로다루는점과직선각그리고평행선을 학습한후공간까지확장하여직선과평면과 의관계까지학습. 간단한도형들을작도하여기하영역에서매 우중요한삼각형의합동조건을학습. 중학교 1학년에서도형의기본적인성질들 을직관적으로고찰하는데중점을두고 8학 년에배우는논증기하를학습하기위해서중 학교 1학년때삼각형의합동조건을학습하도 록구성됨. 처음기하영역을도입할때공간까지확장 하여학습. 중학교 2학년때논증기하를학습하기위한 준비학습으로중학교 1학년과정에서합동인 도형의성질과삼각형의합동조건을학습하도 록구성. 점, 선, 면을학습한후평면에서의직선과 각그리고평행선수직선을학습하고작도를 함으로써기하영역에서기초적인개념인간단 한성질을파악하고직관적인탐구활동을통 해도형을이해하도록구성. 삼각형의합동조건은중학교 하므로중학교 3학년때학습 1학년때에는삼각형의종류와 여러도형을학습( 이때입체도형의간단한성 질을같이학습하고중학교 2학년때다시입 체도형에서직선과평면과의관계를학습하도 록교과서를구성 ). 평면에서의점, 직선의관계만을학습후나 중에공간에서의직선, 면, 점을학습. 중학교과정에서논증기하를학습하지않으 므로 2학년삼각형의합동조건을 3학년에서학 습하도록구성. 보통인문코스는 3학년 1학기과정에피타고 라스정리를학습하고 2학기과정에서닮음삼 각형과합동삼각형을학습하도록교과서를구 성하고있지만이를이용한도형의증명은하 지않았고원의성질과원과직선의관계를학 습하지만증명은하지않으며 Special/Express 과정은 2학년과정에서특별히증명없이피타

125 한국교과서 중학교 1학년에서 1단원으로집합이라는 내용이있음. 5 학년때약수와배수를, 중학교 1학년때 에소인수, 최대 최소공배수를배움. 중학교 1 학년에서기수법을다룸. 한국교과서 < 수와연산> 고라스정리를학습. 싱가포르교과서 집합이라는내용이교과내용에는제시되어 있지않음. 1단원은음이아닌정수의사칙연산과대소 관계와덧셈과곱셈의교환법칙, 결합법칙, 분배법칙을다룸. 약수, 배수, 공약수, 공배수를한국보다 1년 앞선 4 학년에도입. Special/Express 과정에서도움말에이진법을 짧게언급. 한국과다르게제곱근, 세제곱근, 무리수를 일찍다루는데이때, 근호를사용하여나타내 며머릿속추정에의해근호의근삿값을구하 는과정을포함. 싱가포르교과서는거의모든단원에계산기 사용을다루는데계산기를사용하여복잡한제 곱근과세제곱근을포함한문제를풀도록하는 것은한국에서거의계산기를사용하지않는다 는면에서상당히다름. 9학년에서는수와연산영역의내용을다루지 않음. < 문자와식> 싱가포르교과서 중학교 2 학년에서지수법칙을배움. 중학교 2학년과정에서는일차부등식과연 립일차부등식과정이있음. 8학년과정에서연립방정식의해를소거법 과대입법을소개. 미지수를거의한정적으로사용. 소수계수를포함한방정식을먼저제시하 고분수계수를포함한방정식을제시. 소수계수를포함한방정식의계산에서양 변에 10의거듭제곱을곱하여정수계수화한 Special/Express 과정, Normal Academic 과 정모두 3 학년에서지수법칙과음의지수, 분 수인지수( 지수의확장) 까지다룸( 지수의확장 은한국교과서수Ⅰ에서다루고있다.). Special/Express 과정은연립방정식을 8학년 과정에서다루며부등식은 9학년과정에서다 루고있으나연립부등식은제시되어있지않 음. 그러나보통인문과정은연립방정식을다 루지만부등식은언급되어있지않음. 다양한문자를미지수로사용

126 뒤그정수계수의방정식을품. 분수계수를포함한방정식을먼저제시하고 소수계수를포함한방정식을제시. 소수계수를포함한방정식의계산에있어서 싱가포르교과서는일단 에관하여푼뒤소 수의나눗셈을계산. 다) 교과서의실제교과서의실제에서는스토리텔링을중심으로살펴보았다. (1) 싱가포르교과서에서찾아본스토리텔링의예 < 초등학교 2 학년교과서> 서문(Preface) 에는교사들이 교과서의구조를꼭따라야할필요가없다 라고제 시하고있으며오히려개념을적당한순서로제시함으로써교사의재량을발휘할수 있도록배려하고있다. [ 그림 Ⅲ-3] 은서문과목차의모습이다. [ 그림 Ⅲ-3] 싱가포르초등 2학년교과서의서문과목차 테마페이지 ([ 그림 Ⅲ-4]) 는각장에관한도입부역할을한다. 이곳의활동들은토 론과상호작용에대한초점을제공한다. 교사들은비형식적인평가도구로서이장을 사용할수있으며이장에서소개되는개념들이사용된여러가지활동에학생들을 참여시킬수있다. 테마페이지에는활용가능한많은수학적활동들이있다. 교사들 이모든내용을다뤄야할필요는없으며학생들이더나은도전의준비가되어있을 때에는또다른 revision materials 로서이용될수있다. 이페이지는단원전체의

127 흐름을스토리텔링으로이어갈수있는좋은매개체가될것으로보인다. [ 그림 Ⅲ-4] 싱가포르초등 2학년교과서의테마페이지 [ 그림 Ⅲ-5]~[ 그림 Ⅲ-9] 는본문의예시이다. 현실성있는문제들을잘파악할수 있는다양한그림과함께간단한문제를제시하고있으며사진과삽화의조화로운디 자인으로실제상황맥락의문제풀이에도움이된다. [ 그림 Ⅲ-5] 싱가포르초등 2 학년교과서의본문예시 (1) [ 그림 Ⅲ-6] 싱가포르초등 2 학년교과서의본문예시 (2)

128 [ 그림 Ⅲ-7] 싱가포르초등 2 학년교과서의본문예시 (3) [ 그림 Ⅲ-8] 싱가포르초등 2 학년교과서의본문예시 (4) [ 그림 Ⅲ-9] 싱가포르초등 2 학년교과서의본문예시 (5)

129 LOOKING BACK( [ 그림 Ⅲ-10]) 은처음의테마페이지그림을이용한문제풀이공 간으로단원의처음부터끝의이야기를정리할수있는페이지이다. 복습 ([ 그림 Ⅲ -11]) 은단원전체의내용을돌아볼수있는문제를제시하고있다. [ 그림 Ⅲ-10] 싱가포르초등 2학년 교과서의정리페이지 [ 그림 Ⅲ-11] 싱가포르초등 2학년 교과서의복습페이지 (2) 싱가포르교과서에서찾아본스토리텔링의예 < 중학교 1 학년교과서> [ 그림 Ⅲ-12] 는싱가포르중학교 1학년교과서의 and Real Numbers) 첫페이지와도입모습이다. 단원 (Chapter 4. Integers [ 그림 Ⅲ-12] 싱가포르중1 교과서의단원첫페이지와도입

130 음수의개념을도입하는부분인데, 대화를하면서우리가현재사용하는 서필요함을언급해주고있다. 위의그림처럼여러가지캐릭터들이등장하여 0이나자연수외에또다른수들이실제생활에 겨울에는북쪽지방에서온도계가 5 를가리켜. 정말춥다 때때로 0 를가리키기도해. 그런데 0 는가장추운날씨가아니야. 어떤곳에서는그것보다더온도 가낮아지기도해. 그런경우엔음수로써그온도를쓸수있는거지. -5 는 0 보다 5 낮은온도야. 밑에서는달의낮의평균온도와밤의평균온도를온도계옆에보기쉽게표시해줌으 로써학생들의이해를돕고있다. 또한슈퍼마켓의냉동실의온도도예로들어설명하 고있다. 다음물음밑에 6-5 =1, 5-5 =0, 4-5 =? 를순차적으로제시 해줌으로써음수의필요성을언급한다. 슈퍼마켓의냉동실의온도가현재 4 인데, 조금더신선하게보관을하 기위해선 겠는가? 5 가더낮아야한다. 그렇다면냉동실의온도는얼마가되어야 시작부분에나왔던캐릭터들이또등장하여학생들이쉽게경험할수있는상황에 대해얘기를한다. Slowly가현재 1 달러를가지고있다. 그러나먹고싶은초콜릿이 2달러 이므로, 친구 Buzzy로부터 1 달러를빌려서초콜릿을사먹었다. Slowly가 가지고있는돈보다더많은돈을썼는데, 그럼현재 Slowly에게있는돈을 어떻게표현할수있을까? 상황들중간에대화형식으로이야기를이끌어냄으로써학생들에게흥미를유도하고있다. 이런캐릭터들이단원이끝날때까지가끔씩등장하여부분적으로필요한설명이나, 이야깃거리들을제공한다. [ 그림 Ⅲ-13] 은본문의일부로음의정수를정의하면서냉장고의온도, 온도계, 바 다의수심을재는그림을제시함으로써실생활과의관련성을계속이끌어내고있다. 수직선설명에서는말풍선을사용하여수직선의점들이직접말하는것처럼대화형으 로바꾸어제시하고있다

131 [ 그림 Ⅲ-13] 싱가포르중1 교과서의말풍선활용 [ 그림 Ⅲ-14] 는도입부분에서등장했던캐릭터들의다양한활용의예를보여준다. 단원이진행됨에따라계속등장하여보충설명을해주거나, 학습과관련한재미있는 수학이야기들을해줌으로써학생들의흥미를이끌어내고있다. [ 그림 Ⅲ-14] 싱가포르중1 교과서의캐릭터활용

132 3) 인도 가) 외형적특징 (1) 교과서제도 연방정부산하기관인교육연구기술위원회(NCERT) 에서제작한교과서는공무원, 군인등의자녀가다니는 1000여개의연방정부직영학교와시험및학력평가를관장 하는중앙중등교육위원회CBSE(Central Board of Secondary Education) 와제휴하고 있는 6,000 여개의학교에서채택및사용되고있다. 인도는연방제국가로서다양한언어, 문화, 사회적배경으로인하여교과서는 각주에서편찬및보급하고있고각주정부는 Secondary School Examination Board 에서교과서를제작하지만전국적으로초중등교육의동질성을유지하기위해 NCERT 가영어와힌디어로교과서를제작하면각주는이를모델로삼아교과서를발행한 다. 구성및내용에있어서는각주마다많은차이가나타난다. (2) 교과서의외형구성 한국보다조금작다. 영역을통합하여학년과학기에따라세권씩나누어있으므 로두께가훨씬두껍고한페이지당실려있는글들이작고조밀하다. < 표 Ⅲ-16> 인도와한국교과서의외형 ( 이미연, 2008) 한국교과서 인도교과서 교과서종류다양한출판사의검정교과서국정교과서 대상학생고등학교 2학년고등학교 2학년 Senior school 11 학년 단원수 총페이지수 페이지당최대줄수 8단원 7단원 16단원 330쪽 315쪽 410쪽 34줄 33줄 36줄 사진삽화사용여부사용사용사용 (3) 단원의구성비교한국이여러단계에나누어서배우는내용들을한단원에통합하여다룬다. 국에비해매우수준높은내용을다룬다. 한

133 (4) 단원편성체계 < 표 Ⅲ-17> 은인도의수학교과서 [MATHEMATICS Textbook for Class Ⅻ] 의대단원 구성의예이다. 단원도입에서해당단원소개및학습의필요성을설명하고연습문제 외에도 다양한연습문제 (miscellaneous exercise) 를두어학생들의문제해결력을높 이며항상단원이끝날때마다마지막에 수학사노트 를두어해당단원과관련 된수학사를함께배울수있도록하였다. 한국에비해비교적간단하다. < 표 Ⅲ-17> 인도수학교과서의대단원구성 구성 도입 정의, 노트, 예제 정리 & 풀이, & 증명, 주의 내용 본문에들어가기에앞서배울내용의간단한소개및적용분야를언급하 며해당단원학습의내적동기를고취시킨다. 때에따라해당단원과관 련된선수학습을상기시키기도한다. 도입의상단오른편에는해당단원 관련수학자사진이있으며, 단원명과도입사이에는수학자의명언이적 혀있다. 단도직입적이지않고충분한설명후자연스럽게정의및정리가다루어 지며, 이후에여러가지예제와해답이제시되어있다. 중간중간노트와 주의를통해주의해야할점과본문의내용을깊이관찰하면발견할수 있는점들을가르쳐주고있다. 연습문제 기본적인문제에서응용문제까지다양하게포함되어있다. 다양한연습문제 연습문제에비해더욱다양하고심화된문제들을다룬다. 요약 본문에서배운개념이나공식등중요한학습내용을요약하고있다. 수학사노트 해당단원관련수학자와수학사를소개하고있다. 나) 내용적특징 고등학교수학에서는집합의연산법칙만을다루며집합의기본개념은중학교에서 미리학습한다. 한국에서배우지않는멱집합, 부분집합, 초집합, 단위집합도다룬 다. 인도의수학이한국보다더어렵고깊이배우는특징을보인다. 다) 교과서의실제인도의고등학교수학교과서는이공계열관련학습내용을강조하며깊이배우는특징을가지고있다. 삼각함수단원을교과서의초반부에배치하여다른단원들에적극활용토록하였으며역삼각함수의성질까지다루고이공계열의가장중요한내용인미적분은다른단원에비해막대한분량을지니고있다. 논리적이고수학적인절차를매우중요하게여기고식이나공식유도과정에서도

134 이와같은면들이자주발견되며인도의교과서에는한국에비해증명들이자주등장한다. 한국의고등학교수학과정에서배우지않는내용들을많이다루고있고미분방정식과행렬식등한국의경우대학에서다루고있는내용들을독립적인단원으로두어배우기도하며한국교과서에서배우는단원일지라도그안에세부적으로한국교과서에서다루지않는내용이섞여있기도하다. 개괄적으로다양한각도에서단원과식을분석하여전체적인구조와성질을발견하는것을중요하게여긴다. 4) 프랑스 가) 외형적특징 (1) 교과서제도 자유발행제로서교육부에서공시한교육과정에따라누구든지자유롭게편찬및 발행이가능하다. 일반적으로출판사가저자를선발하여교과서를출판하는데, Bordas, Hachette, Nathan, Hatier 등프랑스에서유력한민간출판사들이이역 할을하고있고가격은출판사의자유경쟁체제하에서매겨진다. 교과서공급대 행기관이없으므로유통마진( 공급비용) 개념이없다. 교과서채택은학교단위별로이루어진다. 개별학교는전반적인교과서선택원 칙을해당학교운영위원회에통보하고, 이원칙에따라교사가교과서를선택하는 것이원칙이다. 각교과목별교사협의회를통하여교과서를채택하는것이일반 적이다. 공급방식은학교급별로다르다. 초등학교의경우각시청에서출판사를통해교 과서를구입하여소속학교에공급한다. 각학교에서는학년초에대여하고학년 말에회수하는방식으로학생들에게무상으로대여한다. 중학교의경우는정부가 각학교에교과서구입을위한예산지원을한다. 각학교에서는예산에의거하여 교사들이추천한교과서를해당출판사나서점에서구입한다. 학년초에대여하고 학년말에회수하는방식으로학생들에게무상으로대여한다. 고등학교의경우는 학년초학교에서작성한교과서리스트에의거하여학생이서점에서교과서를구 입한다. 근래에들어지자체에따라무상배부도이루어지고있다. 초등학교, 중학교의경우동일한교과서의사용기간은 4년정도이나예산부족 등사정에따라 4년이경과된교과서도사용하고개인적으로교과서를소유하고 싶은학생은서점에서교과서를구입할수있다

135 (2) 교과서의외형구성 주교과서와그에따른별도의학생용연습문제집한권으로하여두권으로구성 되어있다. 300여쪽정도의분량에가격은평균 100 프랑( 약 2 만원) 에이르고학생 용연습문제집과교사용지도서는주교과서의절반정도가된다. 교과서규격은 18 인치또는 16인치이며천연색삽화나사진의분량도전체내용의 50% 에이르고글씨 의모양이나색깔, 구문이나문장배열등도아주다채롭다. 학습자중심의교수학습의발달과함께학습주체인아동이나학생들의나이나 기호에맞추어서학습내용을짜서재미있게놀면서따르다보면어느새학습이되도 록하는방법이다. (3) 교과서의평가와연구 국가교육개발원(INRP) 이지역교사봉사를위해지점을두고국가교육자료센터 (CNDP) 도지방곳곳에지역연구소(CRDP) 를두어지역학교교사들의연수및교육 연구활동을이끈다. 교사들이교실에서활용할수있는교수학습자료를끊임없 이만들어보급판매한다. 교육박물관을두어축적해온교육연구자료들을집대성 하여자산으로보존할수있도록한다. 최근에는유럽통합, 세계화에발맞추어엠 마뉴엘(EMMANUELLE) 이라는교과서정보은행을구축하고있다. 교육활동을유희적인성격아래놀이와같은방식으로진행하는것을권장한다. 먼저유희를통해학생들의관심을끌고단계별로목표를분명히수립하고체계적 으로수학적요인을가르치도록한다. 전통적인놀이인체스나일정한규칙아래행 해지는카드놀이, 건설게임등학생들에게수학규칙에대한학습동기를유발하고 집중력을발달시키며기초수학을전통적인방법과는다른방법으로학습할수있도 록전국교수학습자료센터(CNDP) 에서개발한교수학습자료들을적극활용하도록한 다. 나) 교과서의실제 교과서보다다양한교수자료를선호하는경향으로인터넷매체를통해교사용교 수자료를적극보급하고있으며교육부의교수학습전용사이트를통하여교과서를보 조할수있는다양한교수학습자료들을입수할수있다. 다른한편으로는내손으로 직접해보기 량으로제공한다. la main a la pata의공식사이트를통해서도교수학습실천자료를대 전국교수학습자료센터 (CNDP) 와의협력아래자료개발에주력하고정보통신신기술을 적극적으로도입하여연산훈련을위한컴퓨터활용연습문제프로그램등을개발하여 학교에무상으로보급할계획을가지고있다

136 5) 독일 가) 외형적특징 (1) 교과서제도 민간출판사는주차원의교육과정과검정기준에의거하여교과서를개발, 각주의 교육문화부에검정을신청한다. 각주의교육문화부는검정과정을거쳐검정교과 서목록을발행하며각학교는이목록에의거하여교사위원회를열고교과서를선택 한다. 학교별로필요한그밖의교과서및수업자료는학교장이인증하여사용하고 학생들에게는무상대여하며학기말에반납조치한다. 멀티미디어자료등다양한교육자료에대한요구에부응하기위해연방교육부및 주별교육문화부는교과별로다양한교육자료를홈페이지 ( 를통해제공하고있다( 한국교과서연구재단, 2011a). 한국교과서연구재단(2011a) 에의하면독일은민간출판사들이개발한교육용교재 를각주의교육부가심의선정하여교과서목록을제시하면, 각학교의 교사협의 회 에서자율적으로교과서및교재를선택하는방식을취하고있다. 독일은총 16 개의주마다일반학교를위한교과과정과그에따른교과서채택에관련된법규와 규정이정해져있다. 독일의교과서심의 채택방식은우리나라의교과서검정제와유사하다고할수 있지만, 교육부의심의를통과하는교재의수, 즉학교에서채택할수있는교과서의 수는우리나라와비교할수없을정도로많다. 예를들면튀링겐(Thueringen) 주의 2001/2002 학년도교재목록에는총 2,187 개의교과서가공시되었고, 2000년 3월부 터 2001년 2월사이에 200개의교과서가심의되었으며그중에 184개의교과서가새 로이승인되었다( 허난, 안은경, 고호경, 2011). 독일의모든공립학교에서는각주의현행학교법에따라학교에도입된교재( 교 과서및수업보조재료) 를학생들에게무료로제공한다. 이때교과서의소유권은각 주가가지며, 분실이나손상이발생하면학생은배상의의무를가진다. 교과서와보 조재료들은학생들에게정해진기간동안제공되며공동으로사용할수있도록배치 된다. 교육부가다른규정을정하지않는한학생들은책을소유할권리가없으며, 학교를떠나기전에교과서를반납하여야한다( 허난외, 2011). 나) 내용적특징 (1) 함수단원 우리나라와독일의함수영역의내용은대체로유사하다. 그러나세심한부분을 비교해보면, 내용을전개해나가는측면에서몇가지차이점이발견된다. 첫째, 우리나라는독일에비해수학의원리자체를이해하는데목적을둔다. 단원 의주내용은이론적인설명이대부분을차지하며, 단원도입부의실생활소재와단

137 원말미의활용문제는수학의이론을이해하기위한하나의수단일뿐그자체가목적이되지못하고있다. 그러나독일의교과서는실생활속의여러가지원리들을수학의개념으로설명하고있다. 단원의내용은실생활문제가주가되며수학의원리가뒷받침이되어학생들은인간의삶의곳곳에서수학의원리가적용되고있으며필연적으로발생되어온것임을느끼게된다. 독일은실생활에서사용하는복잡한수치를가진소재를사용하지만우리나라는원리를설명하기위하여다소실제생활과는거리가있는더간결한수치로표현되는소재를사용하는것도이러한차이점을드러내는것이라할수있다. 둘째, 우리나라는함수의개념설명과계산이주가되는반면독일은그래프를통한함수의개념이해에초점을맞추고있다. 우리나라의교과서는일차함수의그래프와이차함수의그래프만을제한적으로학생들에게가르치고있고그래프의식을구하거나함수식을좌표평면에그릴수있게하는데중점을둔다. 반면에독일의교과서는그래프단원을통해직선의그래프와곡선의그래프가나타나는자연적인현상들을관찰함으로써그래프를통하여우리가얻는정보에초점을맞춘다. 전기세의사용량에따른요금문제, 나이에따른키의상관관계등을직접표로관찰하고그래프로표현하면서비례관계를이용하여함수를배우며자연스럽게수학과실생활이밀접한관련이있다는것을느끼게한다. 6) 핀란드 가) 외형적특징 (1) 교과서제도 자유발행제로민간출판사에서국가핵심교육과정내용에근거하여발행하고특 별한교육이필요한학생을위한교육자료의경우만국가교육위원회가소규모로편 찬및발행한다. 대표적인민간출판사로는 WSOY, OTAVA, TAMMI 가있고학교와교 사는교과서와교육자료를자율적으로선택하여사용할수있다. 무상교육의원칙 에따라교과서도무상으로학생들에게대여한다( 한국교과서연구재단, 2011a). (2) 교과서개발정책 핀란드교육부는 1990년대초반에교과서편찬과선정을법적으로규제할수있 는모든체계를중단하였다. 그렇게함으로써핀란드교육부는시장경제를통해최 상의교재를교육의공급자와교사들이선택할수있을것이라보았다. 이과정은 자유경쟁으로교과과정에적절한교재의개발과발전도가능하게하였다( 핀란드교 육위원회홈페이지, 핀란드학교시스템의역사中 ). 핀란드의교과용도서는교육부에서제시하는핵심교육과정에기초하여민간출판

138 사가출판, 판매한다. 한국의검정도서처럼국가가편찬을위한지침을별도로제시 하지않으나국가핵심교육과정에제시된학습내용요소들은모두포함하고있다. 이는한국의교과용도서편찬제도와비교했을때, 한국의인정제와유사한점이많 다. 교과서와보조교재등은자유경쟁속에서편찬되고일반적으로출판사별 1~2년 의짧은주기로개정되어교과서에는당해수정 보완된사항들이간단히소개되어 있다. 보통핀란드어와스웨덴어로되어있는것이원칙이나근래에는종합학교 1~6 학년의수학교과서를포함해영어로된교재들이일부출판되고있다. 교과서선정은지역교육위원회와학교장의책임사항으로써지역교육위원회가 자문기관에상의하여결정하거나학교단위로결정하나, 대부분은학교단위또는교 과담당교사에의해선정되며민간출판사에서출판한교과서를사용하지않고교사 가직접제작하여사용하는경우도있다. 교과서보급은의무교육기간의학생들에 게는무상급여제로보급되며, 상급중등학교이상의교육기간학생들은자신이선택 한과목의교과서비용을개인이부담해야한다( 장정순, 2011). 나) 내용적특징 (1) 대수단원 < 표 Ⅲ-18> 한국과핀란드고등학교교과서의대수영역내용 ( 최영란, 2009) 한국 핀란드 실수, 복소수, 다항식, 인수분해, 방정식, 부등식, 지수, 로그, 수열의내용을공통적으로다룸. 집합과명제, 행렬에대한내용다룸. 집합과명제, 행렬에대한내용다루지않음. 곱셈공식에관한여러가지공식을배우고 곱셈공식의변형을이용하여다양한문제를 풀이할수있도록함. 켤레복소수와복소수의사칙연산, 항등원과 역원에대해학습. 로그에서지표와가수의성질에대한내용 을다룸. 합, 차공식과완전제곱공식만을배우고곱 셈공식의변형과관련된문제는다루지않음. 복소수의연산중덧셈, 뺄셈, 곱셈까지만 학습하고켤레복소수와나눗셈및항등원과 역원은다루지않음. 지표, 가수의성질다루지않음. (2) 함수와미분적분단원 < 표 Ⅲ-19> 한국과핀란드고등학교교과서의해석영역내용 ( 최영란, 2009) 한국 핀란드 함수, 이차함수, 유리함수, 무리함수, 삼각함수, 지수함수, 로그함수, 함수의극한과연속성,

139 미분법, 적분법등을공통적으로다룸. 함수가연속인지불연속인지구분하는것, 미분가능성과연속성의관계다룸. 의값이한없이커지는경우다룸. 계산기를사용해야값을구할수있는문제 가 1~2문제실리긴하지만실제수업에서계 산기의사용이일반적이지않아형식적인경 향이있음. 함수의연속성에대해서정의만간단하게 언급. 의값이한없이커지는경우의극한은다 루지않음. 계산기를이용하여방정식의해를구하는 등전반적으로한국에비해교과서수학문제 에사용된수치가실용적임. (3) 기하단원 < 표 Ⅲ-20> 한국과핀란드고등학교교과서의기하영역내용 ( 최영란, 2009) 한국 핀란드 한국의경우평면의결정조건, 두직선의 위치관계, 직선과평면의위치관계, 두평면 의위치관계, 직선과평면의평행과수직, 평 면과평면의수직, 정사영등에대한내용을 배우고많은예제를풀이. 공간에서의각, 직선과평면이이루는각, 두 평면이이루는각에대한내용을정의정도만 소개하고간단하게예제한두문제를풀어보 는것으로그침. 원, 포물선, 타원, 쌍곡선을학습. 원과포물선에대해서만학습. 원과직선의위치관계, 포물선과직선의위 치관계에대해서로다른두점에서만나는 경우, 한점에서만나는경우, 만나지않는경 우에대해서접선의방정식을구하는문제를 다루고공식화. 제7차교육과정이단계형수준별교육과정으 로운영되면서모든내용이중복없이다뤄지 게되었음. 하지만실제적으로는중학교때학 습했던내용을알아야문제를해결할수있음. 직관적인식을바탕으로한학습이이루어지 고있긴하지만궁극적으로형식적인추상화까 지이르는데에목적을두고있어학생들이느 끼는수학의어려움이큼. 직선의방정식과 제정도만다루어봄. 연립하여교점을구하는문 기본교육과정의종합학교에서다룬내용인 각, 평면도형의넓이와둘레, 도형의닮음, 피 타고라스의정리등을고등학교필수과목교과 서인 ' 기하' 에서반복적으로다루는것. 이차곡선 ( 원, 포물선 ), 캡뚜껑모양의부피 와표면적에대한내용에서보듯이전반적으로 한국에비해덜형식적이고직관적

140 (4) 확률과통계단원 < 표 Ⅲ-21> 한국과핀란드고등학교교과서의확률과통계영역내용 ( 최영란, 2009) 한국 핀란드 경우의수, 순열과조합, 확률, 통계등으로거의같지만지도하는순서가다소다름. 통계적추정학습. 통계적추정을다루지않음. 초등학교와중학교에서줄기와잎그림, 도 수분포표와히스토그램을배우고난뒤고등 학교에서는선택과목인 ' 확률과통계' 에서다 룰뿐공통과목인 ' 수학 10- 가', ' 수학 1' 에 서는다루지않음. 고등학교필수교과목인 'Probability of statistics' 에서도수분포표와히스토그램으 로주어진자료를정리하여문제를해결하도 록하는내용을다룸. (5) 고등학교수준별교과서내용 -대수영역- < 표 Ⅲ-22> 핀란드고등학교수준별교과서의대수영역내용 ( 배지현, 2012) 기본요목 심화요목 곱셈공식을다루지않고, 기본요목은인수분해도다루지않으며, 이차방정식 의해를구할때, 곱셈공식을이용한인수분해를활용하지않음. 복소수를다루지않으며로그는상용로그와로그의정의를이용하여직관적으 로받아들일수있는간단한성질 log 만을다루어간단한지수방정식을 해결. 이차방정식의근을구하나근의공식을유도하지않으며, 수열의등비수열의 합은특별한경우, 첫째항부터일곱번째항까지의합을구하는과정만을제시. 음의정수지수와 0 의지수로확장할때, 귀납적외삽법 을사용하며, 유 리수지수 당화. 는거듭제곱근의정의를이용하여특별한경우에한해정 근의공식의유도하는과정과등비수열의합의공식을유도하는과정을보이 나지수의확장에서심화요목은한국과같이 형식불역의원리 를이용하여 정수지수, 유리수지수를확장. (6) 고등학교수준별교과서내용 -함수영역- < 표 Ⅲ-23> 핀란드고등학교수준별교과서의함수영역내용 ( 배지현, 2012) 기본요목 유리함수, 무리함수, 로그함수, 함수의극한, 곱과몫의미분, 적분등은다 루지않음. 미분을정의할때, 극한의개념을사용하지않음

141 심화요목 함수영역에서엄밀한수학적개념과많은성질을학습하고논리적인방법을 사용하여이를타당화하고많은계산연습을하는대신그부분중많은부분을 계산기를이용하여대체하고직관적으로정당화한다. 엄밀성을다소양보하고 실생활문제를함수와미분을이용하여일상생활과사회현상을모델링하여해 결하는부분을중요하게다룸. 함수의증가율 이라는기하학적의미로미분을도입한후, 함수 의그 래프위의점 에서그은접선의기울기 라고정의한후극한을배우지않으 므로해석학적의미를다루지않음. 함수의증가율 이라는기하학적의미로미분을도입한후, 함수 의그 래프위의점 에서그은접선의기울기 라고정의한다. 후에심화요목은이 렇게정의한미분계수가평균변화율의극한과같음을설명하고다양한성질을 학습. (7) 고등학교수준별교과서내용 -기하영역- < 표 Ⅲ-24> 핀란드고등학교수준별교과서의기하영역내용 ( 배지현, 2012) 기본요목 심화요목 기본요목은직선의방정식과부등식의영역만을중점적으로다룸. 기울기와한점이주어진직선의방정식 을공식화할때, 기본요목은심 화요목과달리공식의타당성을보이기전에보조문제를제공하여체계적인논 리적사고가어려운학생들을위한배려. 부등식의영역에서는수학을이용하여최선의방법을선택하는 최적화 의 의미를설명하며부등식의영역을활용하여일상생활에서합리적인의사결정을 하는데수학을사용하는경험을제공. 이부분을학습하는데지장이없도록부 등식의영역단원을배우기전에이변수방정식, 직선의그래프, 연립방정식과 그활용을다루어누적된학습결손에의한학습장애를최소화. 두점사이의거리, 선분의중점, 직선과원의방정식, 점과직선사이의거 리, 부등식의영역, 사인법칙과코사인법칙, 삼각형의넓이를다룸. 한국이 기울기와한점이주어진직선의방정식, 두점을지나는직선의방 정식 을공식화하는데핀란드는심화요목과기본요목모두 기울기와한점이주 어진직선의방정식 만을공식화하고이를이용하여 두점을지나는직선의방정 식 을구한다

142 (8) 고등학교수준별교과서내용 -확률과통계영역- < 표 Ⅲ-25> 핀란드고등학교수준별교과서의확률과통계영역내용 ( 배지현, 2012) 기본요목 심화요목 기본요목은그중파스칼의삼각형, 이항정리, 조건부확률, 독립시행, 이항분 포의내용을학습하지않음. 기본요목은심화요목과달리사건을정의할때, 집합개념을사용하지않는다. 또한합사건과곱사건도집합기호 를사용하지않음. 연속확률변수와이산확률변수를정의하지않지만막대그래프, 원그래프의사용 의장점들을언급하고실제적인자료를기준으로도수분포표, 히스토그램, 상대 도수등을다루어연속확률변수와이산확률변수를학습할수있는기초를다짐. 심화요목과기본요목모두한국과달리확률밀도함수를적분하여확률값을구 하지않음. 다) 교과서의실제(Arno, A 외, 2007, 2008a, 2008b, 2008c, 2009a, 2009b; Laurinolli, T 외, 2008, 2009) 핀란드의교과서는 [ 그림 Ⅲ-15] 와같이타교과( 특히, 과학) 와관련한사진을많 이수록하고그에관련된문제를제시함으로써학생들이수학의실용성을느끼게되 고, 타교과와연계하여학습할수있게하였다. [ 그림 Ⅲ-15] 과학과관련된사진이수록된수학교과서모습 교과서뒷부분에컴퓨터를이용하여그래프를그리거나데이터를처리하는방법을 제시하고있다([ 그림 Ⅲ-16]). 교과서뒷부분에계산기사용법을따로제시하고있

143 다([ 그림 Ⅲ-17]). 본문에도계산기를이용하여해결하는문제들이많이있기때문 에학생들이이내용을참고할수있다. [ 그림 Ⅲ-16] 수학교과서내에컴퓨터를이용한 데이터처리방법제시모습 [ 그림 Ⅲ-17] 수학교과서내에계산기사용법이제시된모습 실제적인자료를이용한문제를제시하고계산이복잡한문제는계산기를이용하 여해결할수있도록문제밑에계산기모양을그려넣었다([ 그림 Ⅲ-18]). 또한계 산기사용과관련하여우리나라교과서에서는많이보기힘든 sin 나 cos 같은 실생활에서많이볼수있는값들도구해봄으로써, 조금은복잡하더라도실제적인수 치를사용하여학생들이수학의실생활과의관련성을더많이깨달을수있도록하였 다([ 그림 Ⅲ-19]). [ 그림 Ⅲ-18] 수학교과서내에계산기활용문제가제시된모습 [ 그림 Ⅲ-19] 복잡하지만실제적인수치가사용된수학문제 교과서뒤에학생들이개인적으로학습할수있도록 CD 를제공하고있다([ 그림 Ⅲ

144 -20]). 교과서맨앞부분에는 CD에어떤내용이포함되어있는지간단하게설명해주고있다. [ 그림 Ⅲ-20] 핀란드수학교과서부록 CD 중등교과서에거의대부분이삽화가아닌실제사진이많이수록되어있다([ 그림 Ⅲ-21]). 우리나라에서는삽화로그려넣었을만한, 문제의이해를돕기위한작은그림에도실제사진이들어가있다. [ 그림 Ⅲ-21] 사진으로구성된핀란드교과서

145 강조해야할부분을상대적으로크게보여줌으로써학생들이기억하기쉽게하였다 ([ 그림 Ⅲ-22]). 학생들의시선을끌고있다. 본문에서포인트가되는내용을글자의크기를크게나타냄으로써 [ 그림 Ⅲ-22] 강조할부분을크게제시하고있는모습 7) 호주 가) 외형적특징 (1) 교과서제도 민간출판사가자유롭게개발및발행하고있다. 각학교는학교나름의판단에 따라적절한교과서를채택하고때로는국가교육과정및교육청지침에따라구성 된학교교육과정을바탕으로교사들이자유롭게제작하여학생에게배부하고교사 는다양한도서, 신문, 잡지, 인터넷자료등모든자료를총망라하여활용한다. 교과서보조교재를연방교육부및지역교육청단위로제작하기도한다. 유명출 판사에서교육자와교사들을필진으로하여국가교육과정에맞는교재를제작하고 사회적인쟁점이나특정지역사회에서필요로하는내용은공익출판사에서제작한 다. 이렇게제작된교재는각학교의교과목별교사회에서선정, 교장이최종승인 하며학교의예산으로서점이나출판사를통해일괄구입하고학생들은교과서를무 상또는유상대여한다

146 (2) 교과서의외형구성 < 표 Ⅲ-26> 한국과호주교과서의외적체제 ( 주영숙, 2009) 호주교과서 한국교과서 표지모조지개통의고급지질모조코팅용지( 소프트) 판형 ( cm2) ( cm2) 총페이지수 지질모조지개통의고급지질미색( 중절지) 색채사용 매페이지파스텔톤의바탕색에 원색의사진, 도표, 그래프등이 나옴, 예제, 연습문제, 정의, 조 사활동등의구별을위해 색채를이용하며다채로움 4가지 칼라표지와앞쪽원색사진이 2~3 쪽정도나옴 본문의요점, 보기, 도형등 에색채가조금들어가나거 의흑색 가격및기타사항 CD-ROM포함 70~80A$ 3000 ~ 4000원 (3) 단원구성체계 < 표 Ⅲ-27> 호주교과서의단원구성체계 ( 주영숙, 2009) 대단원학습목표제시, 복습 소단원예제, 조사활동, 연습문제 제목내용 교육과정가이드 탐구활동 교사를위한노트 계산기가이드 상세한증명 정의 예제 대안적풀이방법 추가연습문제 단원요약 스프레드시트 보충소재 단원시작할때해당섹션과함께제공되는교수요목안내 개념과원리를이끌어내는과정활동 교사를위한정보와마스터카피 샤프그래픽계산기조작방법 중요한정리에대한상세한증명 학습용어의정의및주요개념정리 개념원리의이해를돕기위한문제 예제에대한대안풀이방법 개념적용을위한추가연습문제 대단원복습을위한탐구형태의도구 문제해결을위한탐구형태의도구 관심있는학생들과교사를위한배경및확장된지식

147 나) 교과서의실제 CD-ROM 에교과서전체내용을그대로담고있다. < 표 Ⅲ-28> CD-ROM을통한교과학습지원 ( 주영숙, 2009) 교수요목교사노트상세증명계산기사용법대안방법추가연습문제배경지식스프레드시트단원요약 섹션과함께교수요목안내교사를위한정보와마스터카피중요한정리에대한상세한증명샤프그래픽계산기조작방법예제에대한대안적인풀이방법개념적용을위한추가연습문제이론의배경및확장된지식문제풀이에필요한도구대단원복습을위한요점정리 한장의아래에소단원전개가학습내용, 예제, 연습문제로단순화되어있 으며각각의부분에서실제적으로충분한학습활동을지원한다. 학습자가스 프레드시트와그래픽계산기등의 ICT도구를활용하여식을이끌어내는과정 에직접참여하여결론을유도해나가는형태로전개되며개념과원리의이해를 돕기위한다양한항목, 상세증명, 계산기사용법, 대안방법, 추가연습문제, 배경지식, 스프레드시트, 대단원요약등의다양한항목을 hot-link icon으로 연결하여 CD-ROM 으로제공한다. 지질이우수하고매페이지마다선명하고다채로운색감을사용하여세련된 모습을갖추고있으며삽화나일상생활에서의실제사진을많이제공한다. 나. 외국의수학과교과서특징 1) 미국 수학과교과서의특징 가) 미국의경우많은소재를제시하기는하지만, 교사가모두를다다루지는않 는다. 많은소재들중아이들의수준과환경에맞는것을골라제공한다. 이 것을교과서의저자들도알기때문에더많은소재를제공할수있는것이고, 이것이우리나라현실과는사뭇다르다고할수있다. 따라서우리나라의경 우에는이러한소재들을교과서에수록하기보다는( 학습부담이가중될수있 으므로) 익힘책이나교사용지도서에제시하여교사의재량으로다루어가르

148 칠수있는기회를제공하는것도하나의방법일것이다. 나 ) 미국교과서의기하부분에서수학적활동을중심으로단원을구성하였으며, 단 원의내용과관련있는실생활에관련된물음을제시하여동기부여를하고자하 였고, 컴퓨터나그래픽계산기의활용도가높으며, 직접실습등의실험활동이 많이제시되어있다. 그리고엄밀한증명은최소화하고문제풀이및수학적활 동에중점을두고있다. 이처럼우리나라도학생들의흥미를고취시키고, 실생 활에서의수학의필요성을인식할수있도록교과서를구성할필요가있다. 다) 미국교과서는실생활문제해결과수업의관련성을고려하여책의순서가수 업의순서, 학습의순서가아닐수있음을보여준다. 또한문제해결, 계산기 와게임, 여행의단원들은별도로구성되어있는데이도마찬가지로다른내용 영역의단원을학습하면서중간중간에수업에활용할수있다는점에서다른 관점의단원배열을제시한다. 2) 싱가포르 수학과교과서의특징 가) 싱가포르는한국보다많은학습내용을다루고있으며, 다양한형태의문제와 다양한문제상황을제시하여문제해결력을기르며, 이를중요하게여김을알 수있었다. 이에비해한국에서는학교현장에서내신등급에대한부담감을 갖고있기때문에교사의성향에따라좀더문제해결력을요구하는문제들을 문제집이나참고서에서제시하는경우가있다. 따라서학습자들이충분히수 학적개념을이해하여문제를해결할수있는다양한문제를교과서에제시할 필요가있다. 또한교과서에기출문제를많이포함하여교과서만으로도수학 능력시험에서출제되는형태의문제들을많이다룰수있도록해야한다. 나) 내용제시방식측면에서다양한변수를사용하여방정식을표현하였다. 이는 수학적다양성의원리를일깨워주며학습자들이수학적개념을일반화하는데 도움이될것이다. 다) 싱가포르교과서에서제시된문제는결과뿐만아니라과정, 개념, 원리등을 라) 마) 물어보았다. 한국교과서도단순한계산연습문제가아닌학습자들이배운 내용을충분히활용할수있는문제를제시할필요가있다. 실질적으로계산기사용을권장하려면실제생활에서접할수있는수치들을 사용한문제들을포함하여야할것이다. 싱가포르는우리나라교과서에비해예제가다양하고개념정리가명확하게 이루어지고있어학생들이일상생활속에서의다양한소재를제시하여학생들 의수학에대한흥미를고취시킬수있다. 또한, 학습주제와관련한전반적 인면에서우리나라가싱가포르보다많은주제를다루고있으며체계적으로 전개된다. 또한싱가포르는주제의수가다소적으나여러각도에서깊이있 게다루고있다

149 3) 인도 수학과교과서의특징 가) 인도교과서는상위초등학교단계에서문자를사용한일차방정식이도입되고 일차방정식을 3년에걸쳐단계적으로다루는등내용요소는반복되지만심화 되는특징을가지고있어서점차적으로학습내용을확장하여폭넓은학습이 이루어지도록하였다. 나) 학습내용과관련된다양한예제를제시한다. 단원전체의이해도를평가할수 있는연습문제의분량이인도가한국에비해 4.7 배나많이실려있다. 학습내 용을요약정리하기전에다양한예제를다루게함으로써학습자들이학습내 용을이해하는데도움을준다. 다) Historical Note 에서수학자와관련된명언과수학자의업적, 인도수학의우 수성을알리는등인도교육과정의철학을엿볼수있다. 라) 결과뿐만아니라과정, 개념, 원리들을묻는문제가많이제시된다. 논리적이 고수학적인절차를매우중요하게여겨식이나공식유도과정에서도이와 같은면들이자주발견되며인도의교과서에는한국에비해증명들이자주등 장한다. 마) 인도의경우상위중등교육을받는학생들의비율이현저하게감소하기때문에 이미선별되어진학생들을대상으로교육되어진다고할수있다. 그래서교과 서의내용이다양하고분량이방대한것으로보인다. 한국은인도에비해대 중교육의경향이강하다고할수있으나결과적으로엘리트교육도대중교육 도만족시키지못하고있다는연구결과가있다. 4) 프랑스 수학과교과서의특징 가) 프랑스의교과서는 19세기중엽에문법이나역사교과서에많이이용하던법률 목차와같은조항식, 19세기말의온갖지식을넣던이른바백과사전식에서발 전하여오늘날에는대부분놀이학습식을따르고있다. 학습자중심의교수학 습의발달과함께교과서도학습주체인아동이나학생들의나이와기호에맞 추어서학습내용을구성하게된것인데, 재미있게놀면서따르다보면어느새 학습이되도록하는방법이다. 이러한놀이학습은특히유치원과초등교육에서 큰효과를거두고있다. 교과서이름과겉장그림도아동들의관심을끌기위 해동화책처럼만든다. 나 ) 프랑스의 75% 정도의교사들은교과서연구를전담하는연구기관을설치하여 분석과비평을근거로한정확한교과서정보와교사스스로교과서를평가할 수있도록평가기준및도구를제작하여공급해주기를바라고있다. 나름대로 평가진단표를만들어사용하는교사도있지만실제교육을담당하고있는위치 에서객관적인연구와평가를하기가쉽지않기때문이다. 이러한실정을잘 알고있는대학의교사양성담당교수들과교수법관련연구자들이앞장서서

150 사설연구회를만들어교과서와부속교재들을연구분석하여발표하는연구잡 지를펴내게되었다. 정부에서는이러한대학사설연구회를장려, 경제지원책 을마련하여독립적인교재연구를계속할수있도록해야한다는소리가높이 일고있다. 5) 독일 수학과교과서의특징 가) 한국의교과서는학문중심적인단원명과이론의설명과그에관한문제풀이 를중심으로내용이전개되지만, 독일교과서의내용전개는현실세계의실 생활과관련한단원명과실제문제상황에서단원의내용을이끌어내어수학 이필요하고유용할수있다는것을학습하게하는데중점을두어전개한 다. 흥미로운소재로단원명을제시하고현실세계의문제상황으로수학의 원리를유도한다면더많은학생들이수학에대한긍정적인태도를갖게될 것이다. 나) 초등학교교과서에서는장면속등장인물들의이야기를읽고생각해서문제를 접하는내용들이많아지는등수학이독일어와연결되어학생들이언어를해 석, 수학적으로번역하는능력을배울수있도록교과서가적절하게뒷받침 하고있다. 그리고산술영역에서다른시대나나라등의수표현이나계산방 식을소개하고, 기하영역에서문화유적이나예술작품, 크기와사물계산영 역에서환경및에너지문제등과연관해서주제를다루어학생들로하여금 자연스럽게문화적개방성, 수학에대한아름다움을갖게하는한편, 자연과 사회적인식을확대하게한다. 다) 우리나라의교육과정은상당히구체적이어서다양한교과서가제작되는데한 계로작용할수있다. 교과서의용지, 판형, 제본방식등외형적인면에서 부터단원의내용및용어의사용까지학년별, 단원별로단일화되어있는교 과서를탈피하여다양한교과서의출현을위해서는집필자들에게보다많은 자율권이보장되어야할것이다. 6) 핀란드 수학과교과서의특징 가) 개념의도입부설명이나예제를들때, 실생활과연관된문제상황을제시하 여문제해결능력증진을돕는다. 우리나라교과서는개념을도입할때, 일종 의공식을적용하여정형화된문제들을주로다루면서개념의확립을돕는데 반해, 핀란드의교과서는실생활에연관된다양하고흥미를충분히유발할수 있는상황을제시함으로써, 단기적으로는학생들스스로의관심을유발하고, 장기적으로내재적동기유발의기회를제공한다. 나) 대단원마다 1~2 개정도의주제를타교과와연결지어지도함으로써, 수학교 과의중요성을인식시킨다. 타학문의연계성을고려하여이것을수학교과에

151 적용함으로써, 학문으로서의수학에만치중하지않고, 학생들로하여금수학 의힘과중요성을인식시킨다. 다) 다양한학습도구중학습용 CD 를별도로제공하여, 게임을통해개념이해 및확인을위한반복연습을할수있는기회를제공한다. 우리나라에서는학 생이소프트웨어를직접구입하거나교사가수업시간에제공하는것이아니고 선접할기회가없는반면에핀란드는학습용소프트웨어를모든학생들에게 제공하여, 정보화사회에맞는교육환경을제공하고있다. 라) 핀란드교과서에는실생활문제를해결하게하는차시가영역별 2~4차시정도 분량으로제시되어있다. 차시주제어들은관광, 위도와경도, 자동차경주, 핀란드낮의길이등실생활과밀접한내용들로과학, 기술, 체육등다양한 교과를아우를수있는주제들이다. 별도의차시를마련하는대신이런교과 서자료와정규수업시간을활용한다면보다쉽게타교과와의통합수업을설 계할수있을것이다. 마 ) 많은정리들을연역적인증명을통해공식화하여사용하는한국에비해극도로 적은정리들을공식화하는핀란드의교육은우리교육에많은시사점을준다. 사용빈도가높고후속학습을위해필요한정리들을엄선해공식화한다면학생 들의수학학습에대한부담감을다소나마줄일수있을것이다. 또한특정한 수나기호를사용하기보다계산기를이용한근삿값으로답하기, 퍼센트로답하 기, 것이다. 화폐계산등은학생들로하여금수학을보다현실감있게받아들이게할 바) 고등학교수준별교과서의기본요목과심화요목을비교해보았을때, 성취도 가낮은학생을대상으로하는수업에서수학내용과정리를정당화할때, 다 양한방법을사용하고, 실세계현상을연구하는데수학이사용되는경험을제 공하여, 학생이수학의유용성을인식하도록하여야한다. 그리고심리적난이 도를낮추기위한다양한방법을사용해야하며, 성취도가낮은학생을대상으 로하는수업에서계산기의사용을적극적으로고려해야한다. 계산기는학습 양을경감하고난이수준을하향화하는데사용할수있으며, 계산기를사용함 으로써많은성질을학습하고이를능숙하게하기위한연습의과정을생략할 수있고같은내용을묻더라도문제난이도를하향화할수있다. 7) 호주 수학과교과서의특징 가) 그래프와표, 그래픽계산기등의도구를이용하여개념형성과정에학습자가 직접참여하여지식을발견해나가며결론을이끌어내는학습자활동중심의 전개를하여, 이해력과문제해결력을높여주며자신감과지적탐구력을키워주 고있다. <Moedeling and problem-solving> 이라는서술적인동시에모둠형성 을통한단체활동이가능한문제들도다루고있다. 단원의마지막에는단원

152 전체내용을요약하여개념을다시설명하고 <Memory map> 을수록하여학생들 로하여금기억과연관성을생각하여관계망을형성할수있도록하였다. 나) 대단원아래바로소단원이존재하여상당히내용이세분화되어학습내용을 전달함으로서자세한내용에대한예시와활동이포함되어있으며포괄적인 내용을각단원으로자세히나누어다루고있다. 어떤문제이든지풀이과정이 생략되는일없이자세히설명되어있어혼자서도쉽게학습할수있으며문제 의양이많아따로문제집이나참고서를필요로하지않는다. 다) 교과서의지질이우수하고매페이지마다선명하고다채로운색감을사용하여 삽화나일상생활에서의실제사진을많이제공하여학습자의흥미와관심을 불러일으키며, CD-ROM 을이용하여학습활동을충실하게지원하고있다

153 조사된나라들에서우리나라수학교육의개선방향과관련한특징들을추출하여다시정리하면 < 표 Ⅲ-29> 와같다. < 표 Ⅲ-29> 외국교과서에서볼수있는대표적인특징 실생활소재와의밀접성 IT 기기의적극적사용 미국싱가포르인도프랑스독일핀란드호주 다양한생활소재문제이용 실생활관련물음을제시하여동기부여 실생활에서수학의필요성을인식할수있도록지도 실생활사진다양하게수록 컴퓨터나그래픽계산기사용적극권장 다양한실생활문제상황제시 일상생활속다양한소재제시 계산기사용권장을위한실생활수치이용 거의모든단원에계산기사용 수학적내용과관련된다양한생활속예시제시 연산훈련을위한컴퓨터학습프로그램개발배포 정보통신신기술적극도입 실생활관련문제 실생활관련단원 명제시 실생활문제로 유용하게 쓰일 수 있도록문제제시 실생활에서사용 하는 복잡한 수치 사용 실생활관련문 제상황제시로문 제해결 능력 증진 과 내재적 동기유 발 실제적수치사 용 실생활문제해결 관련 차시가 영역 당 2~4차시 차시주제어의예 - 관광, 위도와 경 도, 자동차경주등 계산기이용으로학습부담경감 낮은성취도학생들을위한배려로계산기이용적극권장 실생활과관련된많은사진수록 스프레드시트나그래픽계산기등이용권장 상세증명, 계산기사용법등을 HOT-RINK 로연결하여 CD-ROM 과연결

154 다른학문과의연계 학생들의흥미고려 다루고있는학습량과깊이 강조점 역사, 문화, 경제, 사회, 과학적사실의자료화 학습자상황의배려 주제가있는이야기를풀어놓은듯한구성 토론을통해수학학습 교과서에서는아주많은양을제시하나교사가선택하여학습 엄밀한증명최소화 문제풀이및수학적활동에중점 기본개념을철저히익히도록함 수학적다양성강조 이야기강조 작도같은조작활동강조 스토리텔링형교과서 우리나라보다많은학습량 적은주제를깊이있게다룸 수학적과정, 개념을중시 이공계열관련학습내용강조 수학자와수학사의소개를통하여수학에관심을가질수있도록함 한국보다더어렵고더깊이배움 논리적이고수학적인절차를매우중시 식이나공식유도과정, 증명중시 유희를통한학습 체스, 카드게임, 건설게임등으로수학규칙에대한학습동기유발 문화, 예술, 환 경, 에너지문제등 과 연관한 주제로 문화적 다양성 시 도 장면속등장인물들의이야기를읽고생각하는스토리텔링형문제 수학의원리자체 를 이해하는데 초 점 과학과 관련한 다양한 예시 사진 과문제제시 과학과의연계로 수학의 실용성 강 조 대단원마다 1~2개 정도타교과와연 결 학습용게임 CD 제작모든학생들에게배포 심리적난이도를낮추기위한노력 극도로작은정리들만공식화 수학의실생활의유용성강조 다채로운색감의삽화 문제의양이매우많아문제집불필요 풀이과정의생략없이자세히설명 내용의세분화와자세한설명으로혼자서도공부할수있도록함

155 3. 수학과교사연수실태( 사례) 및특징 가. 외국의수학과교사연수실태( 사례) 1) 미국 가) 연수기관 연방정부는교사연수에관여하지않고, 주정부및지방정부가관리를한다. 텍사 스주의경우를볼때대부분의학교경우에단위학교별로연수를실시하나각단위 학교별로연수를시행하기어려운작은학교의경우에는구역교육서비스센터에 의존하여여러학교가함께연수를하는형태를취한다( 김영진, 2011). 대부분의대학들은교사들을위한교사교육프로그램을조금씩가지고있다. 주마다다르기는하지만교사의연수참여를높이기위해병합프로그램을운영한다. 예를들어아이오와주에서는주에서운영하는수학 과학병행교육프로그램 IMSEP(Iowa Mathematics and Science Education Partnership) 가있다. IMSEP는학교 수학및과학교사를양적, 질적으로향상시키는것을책임의일부로하고있다 ( 또한아이오와주에는주지사의 STEM 자문위원회 가있어수학 과학에서학생성취와관련한교사의교수법에관한지식을위해예비 교사와현직교사의각수준에맞추어연수프로그램을개발하여제공한다( 김민성, 2008). 역시 나) 연수내용및형태 미국의연수내용및형태역시주마다매우다른특성을띠고있어자료를얻을 수있는주를대상으로내용및형태를제시한다. 텍사스주의경우각공립학교교사 들은교사자격증을취득한후, 그자격을지속적으로유지하기위하여교육자격증 관련주정부위원회(State Board for Educators Certification) 에의해마련된요구 조건을모두충족시켜야한다. 그중가장중요한것이 5년을주기로 150 시간, 1년에 적어도 20 시간이상의교육에참여하여자격을갱신하는것이다. 학회의워크숍이나 컨퍼런스등에참여하는것도이런조건을충족시키는하나의방법이다. 위의 150시 간의교육중 80% 이상은자격증을갱신하는것과직접적으로관련되어야한다. 연수의내용은교과내용관련지식과기능, 직업윤리와행동기준, 학생발달, 훈 육역량, 학생들의다양성과특별요구, 학부모의참여증대와유지, 수업에서의테크놀 로지도입, 학생들의읽기능력증진, 학업성취도진단과방해요소극복, 교수법등 으로다양하게있다( 김민성, 2008). 이는단지교과내용만의연수가아닌교과내용

156 과관련하여교사로서지녀야할교육철학과학생들을이해하는것까지포함하고있음 을알수있다 년이래미국은교육의개혁을추진하기위해교사재교육프로그램을운영하 고있다. 그중대표적인수학교사재교육프로그램으로켄트기 k-4수학교사재교육 프로그램, 미시간주중등학교수학교사재교육프로그램, 뉴욕주수학교사재교육프 로그램, UCSMP 프로젝트의수학교사재교육프로그램이있다( 김영진, 2011). 안타깝 게현재국내문헌상으로는이러한프로그램들의구체적인운영방법이나내용에대 해서는찾아보기어렵다. 이러한프로그램이어떻게운영되고구체적으로어떤내용 들을어떻게가르치는지에대한것을알아보기위해서는현장으로직접연구자를파 견하여알아보는것이가장효과적일것이다. 2) 싱가포르 가) 연수기관 싱가포르는교사양성기관인국립교육원 (NIE-National Institute of Education) 4) 이교육부의지원을받아국가적으로교사연수를통제하고있다. 즉, 예비교사의 모집, 교육, 배치를비롯하여, 교사의부족및공석에관한업무와교육실습, 교사 재교육및평가의모든것에관여를하고있다. 그러나학교가교내교사발달프로 그램을실행하기위한외부에이전시를고용할자산을가지고있어외부의에이전시 를통해교사교육을실행할수있다. NIE에있는수학교육학문적그룹인 AME(Association of Mathematics Educators) 는 수학교사와수학교육자를위한 MTC(The mathematics Teachers Conference) 를 2005년 이후정기적으로개최하고있다 5). 여기서는중등수학교사뿐만아니라초등수학교사 만을대상으로한연수도함께개최되고있다. 싱가포르는단일화된교사양성제도를갖추고교사의모집및교육, 배치에대한행 정적실제나정책등을교육부, 국립교육원, 단위학교의긴밀한협력하에학교교육 의변화요구에적절하게대응한다. 예컨대, 현장에서제공하는실제적정보와통계적 추이에근거하여, 교사의부족이나공석을채울수있는모집절차를 1년에 2번시행 을한다. 나) 연수내용및형태 4) NIE는 1950 년에설립된교사연수센터 (TTC: Teacher Training Center) 로발전되고 1984년에설립된 CPE(The College of Physical EDucation) 와 1991년에통합되면서설립된기간으로현재난양공과대내에위치한교사양성대학이면서동시에교사연수기관의역할도하고있는종합교육대학이다. 5)

157 싱가포르예비교사의경우전문소양교육, 교육연구, 교육과정에대한교육, 실습으 로교육과정이구분되며교육학에대한교육도받아야한다. 초등은 3 개, 중등은 2개 의전공과목을선택에의하여학습하며, 실습은학교경험 2 주, 수업보조 5 주, 교생실 습 5주및 10 주를나누어하게된다. 이외에도 GESL(Group Endeavors in Services Learning a year-long student initiated group project) 이라는공동체프로젝트를 운영하여교과내용, 언어향상및화법기술도배운다(Burghes, 2008). 이는이론과 실습의연계성을강화하고교사양성교육이후사후관리를통한질적관리를위한프 로그램운영등을통하여피드백을강화하고있는것이다. 싱가포르에서교육부에의해고용된모든교사들은한해에 100시간의연수를받아 야한다. 따라서대부분의교사가방학동안에현장교사를위한연수에참여하여 100 시간을이수하고있다. 교육부와 NIE는교사들이자신의경력과현수준을고려해어 떤연수를받을것인지여부를결정하는데도움을제공하고자경력에따른연수로드 맵을만들어제공하고있다. 또한초등학교교사들에게는교수법, 내용, 교육적이슈 의현직교사대상전문적발달과정에참여하도록권장하고있다. 기본학위가없는 모든초등학교교사들은보상을받고야학이나정규코스과정을통하여학위를받게 하고있으며나아가교육영역이나교수법에서현직교사가대학원학위를받도록하 기위하요국립교육원에현직교사대학원코스를야학으로제공하고있다. AME의 2011년 MTC 내용을살펴보면초등의경우 초등수학교실에서의추론과의 사소통에학생들이참여하게하기위한전략, LOGO 프로그램활동을통한 PBL 이있고, 초등학교교사를대상으로한워크숍내용으로 건강한라이프스타일을 발달시키기: 수가우리에게말하는것은무엇인가?, 초등학교저학년학생들을 위하여풍부한수학과제를통한수학적의사소통신장시키기, 교육과정을통한 산술능력, 초등수학에서의사소통, 추론과연결능력을발달시키기위한다른과 제사용하기, 문제해결교실에서 배우는법을배우라 를지지하기위한학습 구안 이있다. 중등의경우 산술능력: 수학연결, 수학교실에서의사소통세우 기: 추론, 의사소통, 수학적연결을강화시키는열쇠, 추론, 증명, 정당화 - 더 이상기하학에서만있어서는안된다, 수학적사고기술신장시키기를통한연결 만들기, 중등교사대상워크숍내용으로 의사소통과미디어: 수의해석, 유 추적추론을통한수학교실담화풍부하게만들기, 중등에서수학적으로추론하게 학생들을돕는것, 수학적의사소통과추론기술발전시키기, 중등수학에연 결된수학을나타내기 이외에도 Junior College섹션이따로있어대학수학내용을 다루고있다. 6) 싱가포르초등수학교육의주요이슈는초등학교교사의수학내용에대한지식의 향상이다. 대부분의초등학교교사들은대학과정에서수학적으로특화되어있지않기 때문에. 교사의내용지식에제한이있을것이라는염려가큰편이다. 예비교사교육 6)

158 프로그램은 수학교과지식교육과정 을다룸으로서이러한이슈에대응하고있 다. 중등수학교육에서도교사의수학적내용지식이이슈가되고있다. 점점더많은 교사가수학적이지않은배경으로부터공학, 컴퓨터과학, 경제등대학원생과정프 로그램인수학연수프로그램에참여하고있다. 또한, 그들의내용지식의부족이교 육학에영향을끼친다는입증되지않은증거들을보여주고 우려가되는부분이있기도하다( 김도기, 이정화, 2008). 있어교사교육에있어 3) 인도 가) 연수기관 인도에는 30 년이된하나의큰국가적교사교육사회기반시설이있다. 이는공 적, 사적교육기관으로이루어진초등학교교사에대한정부의연수기관인 DIET(District Institutes of Educational Training) 이다. DIET는주단위기관 SCERTs(state Council for Educational Research and Traing) 의위에있고 block" 과 cluster" 수준의기구아래에있다. DIET는현직교사에대한교육의의무가있 으나주로예비교사교육에만초점을맞추고있어현직교사교육은상대적으로무시되 며규제가없다. 현직교사교육은교사에게의무이지만대부분의프로그램들이즉석에 서만들어지고 Top-Down 방식으로운영되고있어교사들은활동적으로참여하고있지 않다. 중등교사를위해서는 SCERTs외에적은주의교사들이모여서세미나및워크숍 을조직하여활동하고있으나현직교사를위한지원은매우제한되어있다. 나) 연수내용및형태 중등수학교사를연수할때가장중요한것은수학의적용과진실한문제해결에서 수학적개념이해를강조하는교수법을연습하게하는것이다. 1990년대부터시작된많은수의 CRCs(Cluster Resource Centers) 가설치되었다. 각 cluster는 25 개의학교로이루어져있다. 가장뛰어난교사가이센터의자료제공 자로지목되고다른교사를연수시키기위한전문가로서의기술을연마하도록지원을 받는다. 그러나이러한체계는대부분의주에서이루어지고있지않으며, 자료제공자 도학업적인일보다는행정적인일에좀더초점을맞추고있는실정이다. 현재, 전 문교사를양성하기위한 다는것도큰문제이다. CRC 시스템보다더큰체계적인프로그램이존재하지않는 4) 중국( 상하이)

159 가) 연수기관 많은종류의기관이현직교사연수프로그램을다른수준에서실행하고있으며, 보 통고등학교교사를위한국가의일반대학, 주고등학교교사를위한주의일반대 학, 초등학교교사가되기위한지방사범단과대학으로나뉜다. 게다가, 매년현직 교사의정규의무교육을갖는지역교사연수학교및단과대학이있다. 상하이는초등학교교사를위한특별한프로그램을운영하고있다. 예를들어, 우 수한초등학교수학교사를위해특별히개선된연수프로그램이국가단계및지방수 준으로나뉘어있다. 교사들은이특별한강의에참여해야하며, 신문과논문을읽고 교수연구를하고교수에관한논문을내고, 그들의교수훈련을반추하면서, 교수 경험을교환하기위해심포지엄에참여한다. 대학에서온전문가들, 연구자들, 지역 교수연구들은그들을감독하기위해초대된다. 연수후에학교에서지위계급이두 번째단계에서첫번째단계로혹은고위단계로, 대학에서의전문적타이틀과비슷 하게주어진다. 된다. 그러한전문적지위향상은교사의개인적위상과수입에도관계가 나) 연수내용및형태 중국상하이의연수내용은교육학, 심리학, 교육공학, 수학과실용수학, 컴퓨터과 학, 교수활동, 논문등이있다. 이때, 다루어지는논문은연구보고서를제출하는형 태의것에해당된다. 대부분의주와도시에서교사는연수프로그램에참여하게된다. 예를들어, 상하이 에서는 5-7년의경력을가진교사가 240 학점을받아야하며, 전문적단계증진을위 해두번째단계에서첫번째단계로가기위한필요조건이다. 그러한증진으로교사 의봉급이증가된다. 국가수준의새로운프로그램으로는국가연수프로그램으로불 리는것이있다. 중앙정부는 3개월간연수참가자의반응을포함하여교사교육을위 한모든비용을지불할자금을유치하고, 우수한참가자를위한포상도지급한다. 초등학교교사들은대부분 2~3년의대학과정을졸업하기때문에그들의학사교육과 정내에서는수학교육이충분히이루어지지못한다. 그들이교수하는것을바르게이 해하도록정교하게돕는활동이필요하지만많은교사연수프로그램은단지가르치 는생각과기술만강조하고있다. 중등학교수학교사에게가장중요한것은학생의 창조성에대한아이디어를가르치는것이지만중등학교수학교사들은학사학위를받 기전에더많은수학을배웠으나중등학교에서는개념이해나창의성을위한것이아 닌시험만을위해가르치는것이문제로제기되고있다. 5) 프랑스

160 가) 연수기관 프랑스의교사연수는국가의지시에의해계획및조직된다. 유아, 초, 중등교사 와교육자문관양성이중요한임무이고그외에도교육일반과교사교육에관한연구 개발의기능과교원의재교육을담당하고있는 IUFM(Institut Universitaire de la Formation des MAĵtres) 이있다. IUFM은교육구소재여러일반대학과연계하여학과 별지식교육을분담하고있다. 이처럼여러대학과연계하여공동교육을실시하고있 어필요한학과목을 IUFM 이나대학에서함께수강이가능하다. 이외에도프랑스전 역에 30여개의 academy 가있으며, 초등학교와중등학교에연수가제공된다. 교육부가 academy에현직교사연수에대한지침을제시하면각 academy는지역의요구에맞게 국가적지침과지역적지침을조합하여연수세션을구성한다. 이후, 요구에따른주 제별유명교사들이도움을주며이런교사연수프로그램에참석할때는학교장의승 인을받아야한다. 이때, 참석한교사들은수업결손에대한보강을무료로하여야 한다. 특히, 일부섹션의경우지역장학사에의해지명된교사로개설되기도한다. 나) 연수내용및형태 프랑스에서예비교사의연수경우 IUFM의교사교육과정에서는학사학위를가진자 들중지원자를선발한다. 이들은 1학년과정이수후에교사임용시험에합격하면 2 학년동안실습교사라는공무원의신분으로서일정한급여를받으면서 1년간학과지 식교육, 일반교육, 실습, 논문작성준비의형태로학교현장중심의연수를받은후, 현 장에배치된다. 특히, 현장실습은전교육과정의 1/3 을차지하며, 현장실습은담당교 사, 지도교수, 학교장에의한수차례의평가에의해이루어지며, 평가결과가졸업과 임용에큰영향을미친다. 교사임용응시를위한방법이 IUFM만있는것은아니고임 용고사지원자격을갖추면응시는얼마든지할수있다. 2학년과정의초점은직업 현장과의연계성을고려한실제교육을통한전문직업능력을기르는데있다. 2학년 과정동안실습교사들은학과지식교육, 일반교육, 실습그리고논문작성준비를하게 된다. 이가운데서현장실습영역의중요성및비중은매우크다. 1학년과정에서부 터실습을강조하여현장의교육행위를관찰및분석함으로써교육방법론을배울수 있도록하고있으며, 2 학년때는실습이의무적일뿐아니라, 거의절대적이라고할 수있다. 1 학년과정은임용고사의시험과목에대한준비이고, 2학년과정은학과별 내용교육에필요한다기능습득, 교육방법론및교육기법, 교육심리, 교육제도의이 해로이루어진다. 특히, 이때의교수방법은강의와실습, 그리고논문작성의형태로 이루어지며, 이때 2 학년과정이우리나라로보면교사연수의과정이다( 한민주, 1998). 수학교사재교육으로서의연수는주로하기방학에이루어지며관련과목교사들 과함께모여하는형태로연수가이루어진다. 특히, 대부분초등학교교사들은이과 출신이아니기때문에연수가두배로이루어진다. 우리나라교사가교수법을배우는

161 동안그들은수학을배운다. 수학교육이잘발달했음에도불구하고학교에서수학에재능이없고수학을매우싫어하는교사가연수센터에왔을때는이들교사들에게수학을가르치는것이중요한문제로남게된다. 중등수준의수학교사는과거에수학에흥미가있는학생들이었지만지금은다양한공학과같은다른일을하면서시간을보내다가다시돌아온일반인일뿐이다. 그래서프랑스수학교사연수에서의주안점은수학교사들이수업에효과적인방법, 특히수학교육에대한교육과정으로서수학적지식을전수받도록하는것이다. 그러나프로그램이계속변하고대학에서는필요하지않았던통계학및그래프이론에대한지식이새롭게교육과정에포함되었기때문에연수과정에서배워야만하는교육과정내용들도있다. 그래서초등학교교사가수학교육전문가가되기위해서는이론과실기시험을통과하여야한다. 6) 독일 가) 연수기관 연방정부형태의문교부가아닌, 11개주에서교육에관한사항에대하여각기스 스로담당하고있다. 또한교사는지역과중앙의프로그램중에서선택을할수있 고, 교사연수는대학에서거의이루어지지않고, 각연방주소속연구소에서주관한 다( 권오현, 김정용, 2002). 나) 연수내용및형태 재교육을위한연수는대부분학기중에실시한다( 권오현, 김정용, 2002). 재교육 내용에관한교사의요구를미리설문조사형태로실시하여교사의요구에따른재교 육을실시하며이러한설문에의한요구가반영된재교육프로그램의질에대한평가 도이루어진다. 7) 핀란드 가) 연수기관 핀란드는교원연수에있어직전교육과현직교육간의연계성이높다. 19세기말헬싱 키대학의교사전문성강화를위한연수과정개설이래, 1980년후반까지핀란드모 든대학에교원연수센터가설립되었다. 교사교육전반을책임지고있는대학의교원연 수센터는지방정부와긴밀한협력하에연수를계획하여핀란드교원연수의약 60% 를 제공한다. 지방자치단체가연수비를부담하여매년일정기간참여를의무로하는직 무연수와자격획득을목적으로하는자격연수, 교원개인의흥미와필요에따라자발

162 적으로참여하는자율연수로구분된다. 직무연수의경우교원연수제공의책임이있는 지방정부가직접운영하거나대학의교원연수센터, 다른사설연수기관등에위탁하여 운영되기도하며연수내용은지역별로다르게구성된다. 연수를위탁받은연수기관은 지방정부로부터국가보조금범위내에서연수비용을지원받을수있다. 교원양성교육 과현직연수를대학이모두담당하는것은교사교육을하나의연속선상에서일관성 있게이루어지게하며, 교원연수를제공하는대학과지방정부, 다른연수기관간에 긴밀한협력이가능하게한다( 성지은, 2011). 나) 연수내용및형태 핀란드는수학교사재교육을위한직무연수를학기중에별도로날짜를마련하여교 원연수의날또는학교단위로이루어지는연수행사의방식으로실시한다. 자율연수 는근무시간이외의주중저녁시간에연속적으로이루어지거나주말집중과정으로이 루어진다. 종합학교에근무하는교사들은자격에따라학급담임교사와교과교사, 특 수교사, 상담교사등으로구분되는데초등과정인 1~6학년을대상으로전과목을가르 치는학급담임교사자격을취득하기위해서는 5년간 160 학점(1학점은 40 시간) 을, 중 등과정인 7~9학년에서 1과목또는그이상을가르치는교과교사는 5~6년간 160~180학 점을이수하여석사학위를취득해야한다. 핀란드에서교사들은업무의한부분으로서 의무적으로참여해야하는최소연수기간을매년 3 일(18 시간) 로규정하고있으며 3일 을근무일로간주한다. 핀란드에서교원연수는교사들의의무이자권리로인식되고있다. 그리고연수참여 를원치않을경우에는학교에따라다르긴하지만학교장이그기간만큼급여를삭감 할수도있다. 자치단체의태도에따라그렇지않은지역도있지만대부분은평일에 열리는연수를위한연수비부담과대체교사의확보, 임금은모두학교가부담해주고 있어교사들이연수에참여할때부담이적다. 실제로교사들이참여한연수기간은 이러한환경도영향을끼치지만교사들의내재적동기도크다. 교사들스스로연구자 라는자각을하고있으며, 교사를신뢰하는사회적분위기와교사교육과정운영상의 자율성은교사들을연수에적극적으로참여하게하는동기가된다. 의무연수일이 3 일임에도실제로교사의연간연수참여는평균 8 일에달한다( 성지은, 2011) 년의경우연수내용을살펴보면원격교육및미디어활용능력, 교과방법론 및교수기술개발, 교육현장에의기업가정신도입및활성화, 학생복지, 학습안내 및상담, 특수교육, 지역화교육, 학교경영및직무환경개선등이있다. 자격연수 후, 다른교과를지도할수있으나, 이때의과정은대학의박사학위과정정도에해당 한다( 나윤선, 김도기, 김갑성, 2010). 핀란드교사들은스스로필요한연수프로그램을 찾아서들으며수준에따른과정이다양하게존재하여그중자신이선택하여연수를 듣는다. 전문가의강연후참가자소규모그룹토론의방식으로연수프로그램이운영 된다

163 공식적인교원및교수활동에대한평가시스템은운영하고있지않아서연수의성적 을승진이나보수에관련시키지않으며연수를규정하는규제도없어연수내용, 시간 에대한사항은연수기관의자율에맡겨져있다. 다만연수기관평가를통해교원연수 가교원들의요구에맞게구성되었는지, 교원들의교수활동관련도움이되었는지전 반적인사항을모니터링함으로써연수기관이교원들의요구에민감하게반응하여연 수내용을개선해나가도록하고있다. 교사들은자격연수후해당교과목이나학교급으로이동하여가르칠수있고, 연수 실적에따라급여도더받을수있다. 즉, 이런이수결과에따라, 학교및학교급의이 동에대한추가자격이부여된다( 나윤선외, 2010). 핀란드의경우교사인건비의최소 1% 를지방정부가연수비로사용하도록규정짓고있다. 8) 호주 가) 연수기관 호주의연구기관은각주의교육기관을중심으로이루어지고있으며 6개의연방주 중, 교육 문화의중심지인 NSW주의지방교육조직은교원의연수를담당하는재교육기 관(DET; Department of Education and Training), 각종교육행정및교육과정편성및 운영을담당하는교육위원회, 직업기술교육을담당하는직업교육훈련기관(VET; Board of Vocational Education and Training) 의세기구로구성되어있다. 나) 연수내용및형태 호주의수학담당교사의재교육프로그램은중등수학교사의수요를만족시키기위 해서개발한프로그램이며, 참여자격을갖춘지원자는이과정을이수한후, 중등수 학교육분야의교육위원회가요구하는수학교과목을맡아서수학교과교사로서학생들 을가르쳐야한다. 현재정규프로그램과원격프로그램두가지가있으며, 정규재교육 프로그램은대학원연구과정이수로간주되며, 지역의 3 차교육기관인대학, 대학원에 서 6 개월간풀타임교육과정을이수하면된다. 학교에서의교육실습과학교방문의 참관수업을포함하며, 원격재교육프로그램은 1 년간원격교육교재를통해재교육, 온라인교육, 토론등의교육이이루어지며, 분기별로일정기간이상기관에출석하여 관련과정을이수하여야한다( 김영진, 2011). 9) 영국 가) 연수기관

164 수학교수-학습분야에서의연구와평가를수행하기위하여조직된 West Sussex Institute연구소( 수학교사재교육기관) 에서수학교육과정개발연구프로젝트를통하 여, 각경력( 연령) 및능력에따른모범적인수학수업모델의개발과장려가이루어지 고있다. 나) 연수내용및형태 연수내용은수학교수에서기술공학의사용, 평가의본질과역할, 수학에서성취도 향상을위한방법그리고수학에서학습부진아에대한방안에초점을맞추고있는데, 이들모두는강사인교사의개인적인경험에의하여이루어지고있다. 프로그램참여 교사는승인된대학으로부터의학위, 최소 3 년의수업경험자, 교장이나학교동료로 부터추천, 과정을요구하는개인적, 전문적요구조건을가졌다고판단되는자, 행동- 탐구에대한실행과개인의수학적발달과이를바탕으로교육과정개발안을생각할 수있다고판단되는자의요건을모두갖추어야만한다. 교사들은 2개이상의학교에 서 24 주를수행하여야한다( 김영진, 2011). 10) 네덜란드 가) 연수기관 네덜란드연구소와중부네덜란드공과대학, 사범대학과의합동프로젝트로진행된 현직교사및연구자재교육프로그램을통하여교사재교육프로그램의시행과조정에 힘쓰고있다. 국제적인수학연구센터인프로이덴탈연구소는수학교육에대한새로운이론을정립 하면서동시에실제현장에적용가능한이론과실제의양적기능을동시에추구하고 있다. 이연구소에서는다학문적인접근에기인하여, 전세계의수학과컴퓨터교육 연구팀과네트워크로연결되어있다. 특히교사연수에서는하나혹은두개의전공자 로이루어진팀이아닌여러전공자로구성된 140 명정도의팀( 수학자, 물리학자, 심 리학자, 교사, 교사교육자, 교육학자등) 으로구성된연구소에서다문학적인접근의 측면에서교사연수를시행하고있다. 특히직원채용시생물학, 컴퓨터과학, 물리 학, 화학, 수학, 산술을평가하여채용을한다. 2003년에는위스콘신대학과프로이덴 탈연구소가공동으로수학을위한국제연구소를설립하였다. 2006년에는미국콜로 라도대학에연구소를설립하였다. 네덜란드교수 Freudenthal(1950~1990) 의이름을 딴현실적인수학교육의창시자로서국제적명성을얻은그의생각을받들어 재발 견을통해배우는수학, 실제적인수학 을강조하고있다. 네덜란드교육부의지 원하에새로운초 중등교육과정개발프로젝트를수행하였으며, 특히초등교육과정 을보다비형식적인방식으로접근하는데기여하여네덜란드전체초등학교의 79% 이

165 상이수학교육에서 실제적인 측면을강조하는이연구소의기본철학에입각한교 재를사용하고있다( 김영진, 2011). 이연구소에서운영하는홈페이지([ 그림 Ⅲ-23]) 에다양한연수중, 교사연수를 위한과정을살펴보면검색이용이하게되어있어서접근이쉽다. 연구분야, 학교의 종류, 유형으로분류하여검색을하면바로찾아볼수있다는것이인상적이다. [ 그림 Ⅲ-23] 프로이덴탈연구소홈페이지 나) 연수내용7) 및형태 초등교사를위한연수로 NRD와 Maatwerk basisonderwijs와같은연수들이이루 어지고있는데 NRD( 국립산수의날, Nationale Reken Dag) 는초등학교수학교사를 대상으로하며 2012년 3월 29 일에하루동안이루어질예정이다. 약 250명의교사 가모여연산과수학의모든분야를다루는일에대하여토론을하고의견을교환 할예정이다. 교사의모든실험자료등에대한경험을교환하고무료백과사전에도 반영할계획이다. 맞춤형교육(Maatwerk basisonderwijs) 의경우초등학교교사교 육으로전산수학분야에대한것을날짜와종류를교사와함께정하여연수가진 행될것이다. 2012년 2월 4일반나절동안중등수학교사를대상으로한전국수학의날 (Nationale Wiskunde Dagen (NWD)) 이라는국가적행사가개최되었다. 국내외의발 표자를모아수학자가공학에대해말하기도하고, 수학자가아닌공학자가자신의 전문분야에서수학이사용되는것을보여주기도하였다. 수학교사네델란드협회는 네덜란드위원회의후원아래수학사회교육과 IVLOS Utrecht대학교공동주관으로이 루어진다. 수학교사교육자를위한연수도이루어지고있는데그중, Panama와수 학과교수법과정연수만살펴보면다음과같다. 7)

166 매년 Panama 라는이름의프로그램을프로이덴탈연구소(FIsme) 와중부네덜 란드공과대학및사범대학과의합동프로젝트로진행하고수학교사, 관리자, 수학 전문가, 초등과특수학교및기타집단의교사를위한교사재교육활동의실행과조 정에주안점을두고있다. 해마다다른주제로재교육강좌를개설하며, 수학전문 가및수학교사를위한수학세미나를정기적으로개최하고있으며, 2011년 10월 24 일에이루어진 Panama 프로그램의구체적인세부일정은다음과같다. < 표 Ⅲ-30> 2011년 Panama 프로그램의세부일정 일정 내용 9:30 접수등록 10:00 개회식 10:15 독서: 지식... 교사연수의기회? 11:00~12:15 워킹그룹1 라운드 그룹 1 그룹 2 그룹 3 그룹 4 기본수학학습에대한국가적인노력 수학언어지식에대한교사교육 12:15~13:00 점심 지식= 힘교사연수의현주소 13:00 독서: 기본교육과교사교육 13:45~15:00 워킹그룹 2라운드 평가가능한교사지식에대한교육방법론 그룹 5 그룹 6 그룹 7 그룹 8 수학지식을평가하기위한국가고사 SCK, 전국국가고사에대하여 15:00 커피와차 15:15~16:30 워킹그룹 교수법평가 3라운드 지식교사연수과정 - 절단문제와붙여넣기 그룹 9 그룹 10 그룹 11 그룹 12 수학지식을평가하기위한국가고사 중등직업학교의수학교사연수 (MBO 측정) 기하학적인개념교수로산술능력개발시키는법 16:30 질의응답및평가의시간 학생이사고하는방법에대한여러교훈 특히, 수학과교수법과정의대상은교사와교사연수자이며, 1년간 16세션에걸쳐 이루어지고있다. 10시에서 16시까지 6 번의모임이있고, 최종까지 2번의모임이더 이루어진다. 매월금요일이교육일이며, 교육일의연수외에도다른지원들이있다

167 나. 외국의수학과교사연수특징 1) 미국 수학과교사연수의특징 가) 연수에따른처우개선 연수이수시간을바탕으로교원자격증을 5 년마다갱신하고있다. 나) 학교단위의연수학교단위로연수가운영되며, 작은학교는구역교육서비스센터에서여러학교가함께하는형태를이루고있다. 다양한수학교사재교육프로그램이있다. 다) 공학의강조공학의효과적인사용이중등수학교사연수에서우선시되고있다. 라) 연수기관: 대학 대부분의대학이교사교육프로그램을갖고있다. 2) 싱가포르 수학과교사연수의특징 가) 초등교사수학연수개최 초등교사의수학내용지식을강조하고있다. MTC 내용중, 초등수학교사만을대 상으로하는연수가개최되고있다. 나) 현장중심예비교사교육 예비교사는학교 2 주, 수업보조 5 주, 교생실습 5주로총 12 주간실습을한다. 교사 양성교육이후, 사후관리를통해질관리를위한프로그램을운영하여피드백도하고 있다. 다) 국가전체의연수를통제하는기관 NIE의수학교육학문그룹 AME 교사양성국립교육원(NIE) 의수학교육학문그룹인 AME에의한 MTC가정기적으로개 체되고있다. NIE 가교사교육에대한통제를하고있으나, 학교가교내교사발달프 로그램실행을위한자산을갖고있다. NIE의단일화된교사모집과교육은현장의 실제적정보와통계자료에근거하여, 1년에 2번모집을시행하여학교교육의변화요 구에적절히대응하도록하고있다

168 라) 연수의의무화 한해에 100 시간의연수를받아야한다. 마) 원활한연수접근을위한로드맵제공 교육부와 NIE는교사들이자신의경력과수준을고려해어떤연수를받을지에대 한도움을제공하기위해연수로드맵을만들어제공하고있다. 3) 인도 수학과교사연수의특징 가) 수학관련연수기관 DIET( 초등), SCERTs( 중등) 가있고적은수의교사가모여세미나와워크샵을조직하여활동하고있으나지원이매우적은편이다. 나) 연수강사의관리 CRCs가설치되어 25개의학교에서뛰어난교사가이센터의자료제공자로지목되어다른교사연수를위한전문가로서의기술연마를위한지원을받는다. 4) 중국( 상하이) 수학과교사연수의특징 가) 연수후처우개선교사연수이수실적에따라승진이결정되며봉급에도영향을준다. 가자를위한포상도있다. 우수연수참 나) 연수기관많은기관이교사연수프로그램을다른수준에서실행하고있다. 다) 초등교사연수 초등교사만을위한특별프로그램이있다.( 예: 우수초등수학교사를위한연수 가국가나지방단위로개설 ) 라) 연수의무 5~7년경력의교사는상하이의경우 240 학점을받아야한다. 마 ) 연수에대한지원

169 교사교육을위해모든비용을지불할자금을중앙정부가유치하고있다. 5) 프랑스 수학과교사연수의특징 가) 현장중심예비교사교육 교원양성기관에서졸업전 1년동안인턴교사제도를통하여책임실습및보고서 형태의논문지도를통하여현장에필요한실습을미리연수하고있다. 특히현장실습 이전교육과정의 1/3 을차지하며평가결과가졸업과임용에큰영향을미친다. 나) 연수기관 프랑스전역의 30여개 academy에서국가의지침에근거하여지역의요구에맞게연 수세션을구성한다. 교사가연수에참여한다. 지역장학사에의해지명된교사를위한 연수도있다. 6) 독일 수학과교사연수의특징 가) 주단위의연수 11 개주에서교육에관한사항을각기담당하고있다. 나) 재교육에대한평가와반영교사의프로그램요구에대한설문조사결과를반영한연수를실시한다. 다) 연수기관대학에서교사의연수가이루어지지않고각연방주소속연구소에서주관한다. 7) 핀란드 수학과교사연수의특징 가) 연수에따른처우개선교사연수이수실적에따라서, 중학교에서고등학교로이동혹은전문계고등학교에서인문계고등학교로이동시추가자격의혜택으로부여한다. 나) 연수에대한지원지방정부가연수비를제공하고연수시간은근무시간으로인정하며대체강사비를

170 학교에서지원한다. 다) 학기중의연수연수가학기중에이루어지며주말집중이수제나주중저녁에집중이수할수있도록하고있다. 라) 교사의내적동기 교사의자율성이확보되고국가적인신뢰를교사가받고있어스스로전문가라는 의식을갖고자기연찬을한다. 의무연수기간은 3일이나실제참여평균일은 8일이 다. 8) 호주 수학과교유과정의특징 가) 연수기관 각주의교육기관중심으로이루어지며 NSW주에는재교육기관 DET 가있다. 나) 장기간의연수 6개월정규프로그램과 1 년간원격교재를통한재교육, 온라인교육, 토론, 분기별 출석을통한관련과정이수와같은장기간연수가이루어지고있다. 9) 영국 수학과교유과정의특징 가) 연령및능력에맞는연수 각연령및능력에맞는수학수업에대한모델이있다. 또한, 경력이많은교사에게는 수학내용학, 경력이적은교사에게는학습방법에대한연수를하고있다. 나) 수학교육연구소 WSI 수학교수 - 학습분야의연구와평가를위해조직된 West Sussex Institute가있으 며일정자격조건을갖춰야프로그램에참여할수있다

171 10) 네덜란드 수학과교유과정의특징 가) 초등수학교사만을위한연수초등수학교사만을대상으로하는연수(NRD, 맞춤교육) 들이있다. 나) 연수기관네덜란드교육부지원하에대학과연계한프로이덴탈연구소에서수학교육에대한이론정립과실제현장적용을위한정책( 전국수학의날) 까지시행하고있다. 다양한학문의전공자들이수학교육을위해연구하고있다. 다) 연수접근용이검색이용이하게되어있어교사가필요한연수를쉽게찾아신청할수있다. 라) 연수강사의관리수학교사교육자를위한프로그램이개최되고있다. 1 년에걸친연수과정도있다

172 4. 수학과평가실태( 사례) 및특징 우리나라실태분석을통해 지필평가위주로이루어지는학교평가 와 교육과정 의평가지침이반영되지않는대학입시 라는두가지문제점을도출하였다. 학교평가 와대학수학능력시험에서우리나라의이상적인교육과정의평가지침이반영되지않는 것은우선국가에서시행하는학업성취도평가에서그원인을찾을수있다. 왜냐하면 학교평가는국가에서시행하는학업성취도평가의형태를쫓아갈수밖에없기때문이 다. 따라서외국의수학과평가실태는각나라별로 학교현장에서의수학평가 와 국가수준에서의수학평가 로구분하여외국의우수한 국가수준에서의수학평 가 사례를통해우리나라의평가지침을반영할수있는방안에대한시사점을찾고, 학교현장에서의수학평가 사례를통해학생들의수학적사고력을종합적으로평가할 수있는실제적인방안을찾았다. 제시순서는학교현장이국가수준평가의영향을 많이받기때문에 국가수준에서의수학평가, 학교현장에서의수학평가 이 다. 가. 외국의수학과평가실태( 사례) 1) 미국 가) 국가수준에서의수학평가 (1) 서술형주관식평가의객관성및신뢰성확보 국가교육향상평가 (National Assessment of Educational Progress, NAEP) 는 미국정부에서미국전역에실시하는유일한평가제도다. 4 학년, 8 학년, 12학년에 서읽기와수학과목을평가한다. 표본집단선정은미전역에걸쳐대표집단이될 수있는 학교 를선정하고선정된학교내에서 학생 들을임으로선정( 이학 생들은지리적, 인종, 민족, 경제배경을고려하여미국을대표하는표본집단) 한 다. 평가문제유형은 < 표 Ⅲ-31> 와같다( 정영근외, 2010b). 선다형및단답형뿐 만아니라한두문단으로답안을작성하도록하는서술형주관식평가가이루어지 고있다

173 < 표 Ⅲ-31> 미국 NAEP 평가문제유형 객관식 사지선다형약 1분미만소요 단어나한, 두문장으로답안작성 단답형 문항에따라 2점혹은 3점채점 답안은스캔되어컴퓨터에파일로보관되고, 트레 약 1~2분소요 이닝을받은채점자가채점 한두문단으로답안을작성 서술형 주관식 0~4점에해당하는채점표바탕으로채점 답안은스캔되어컴퓨터에파일로보관되고, 트레 약 5분정도소요 이닝을받은채점자가채점 서술형주관식은학생들의수학적사고력을종합적으로평가할수있다는장점을가지고있지만채점의어려움으로잘이루어지지않는다. 그런데미국의경우, 답안을스캔하여답안을보관함으로써서술형주관식의다양한답변에대한자료를축적하고트레이닝받은채점자가채점표를바탕으로채점함으로써평가의객관성및신뢰성을확보하고있다. 나) 학교현장에서의수학평가 (1) 채점기준표를함께제시하는서술형주관식평가문제 [ 그림 Ⅲ-24] 는국내전문가로부터얻은미국 Oregon 주의학교현장에서실시된 구체적인서술형주관식시험지와채점기준표다. 한변의길이가 5cm인어떤정 육면체가있다. 각변의길이를세제곱하여증가시킨다고상상해라. 처음의정육면 체와비교하여부피가얼마나더커졌겠는가? 라는문제가제시되었다. 출제된문 제를해결하는것은간단해보인다. 하지만학생의답안지에는그림, 계산과정, 그 리고서술식으로적은것이눈에띤다. 학생이이렇게문제를해결한것은시험지 의오른쪽상단에 CU, PS, V, C, A 가있는채점기준을만족시키기위해서다. CU 는개념적이해(Conceptual Understanding) 를의미하는것으로과제에서개념 을해석하고그것을수학적으로표현할수있는지를평가하는것이다. PS는과정과 전략(Processes & Strategies) 을의미하는것으로문제해결전략을선택하고그것 을잘수행하는지를평가하는것이다. V 는입증(Verification) 을의미하는것으로 과제를해결하는데있어서그것을정당화하기위한근거를제시하는지평가하는것 이다. C 는의사소통(Communication) 을의미하는것으로문제해결과정에서그림, 상징, 언어를사용하는지평가하는것이다. A 는정확성(Accuracy) 을의미하는것으 로주어진답과과정이정확한지를평가한다. CU, PS, V, C 각항목별로 1~6점의

174 점수가부여되며 A는 5점만점에 1점과 4 점의부분점수가주어진다. [ 그림 Ⅲ-24] 서술형주관식문제와채점기준표의예 서술형주관식문제의해결은일반적으로정답과정답을구한과정을적는정도로생각하거나자신의생각을적는논술식문제를출제해야한다는생각을가지고있는데, 위사례와같이학교현장에서출제되는문제에채점기준표를제시하여학생들이그렇게생각한과정의증거를제시하며서술하게하고그림및수식을효과적으로제시하도록한다면서술형주관식문제의출제및채점이어려운문제가아니며교육과정에서강조되는수학적의사소통능력도평가할수있어서교육과정의평가지침도학교평가에반영할수있을것이다. 2) 싱가포르 가) 국가수준에서의수학평가 (1) 수준별평가 싱가포르국가시험종류와특징은 < 표 Ⅲ-32> 와같다. 싱가포르의초등학교에서 는 4학년말평가를통해 EM1( 우수반), EM2( 일반반), EM3( 기초반) 으로나누어수준 별수업을진행하고 5 학년말평가를통해약간의반조정이이루어진다. 6학년에서 는초등학교졸업시험을실시하는데, 시험결과에따라중등학교에진학하게된다. 이때수준별반인 EM1( 우수반), EM2( 일반반) 은수학시험, EM3( 기초반) 은기본수학

175 시험을본다. 중등학교에진학해서도수준별로반이구성되며반에따라 GCE O레벨 과 N 레벨시험을치를수있다. 고등학교졸업시험은 GCE A레벨시험으로시험결 과에따라대학진학의기회가주어진다( 정영근, 진경애, 김영준, 김영춘, 민병수, 손민정외, 2010c). < 표 Ⅲ-32> 싱가포르국가시험종류와특징 시험종류특징 PSLE GCE O 레벨 GCE N 레벨 - 6 학년말( 대개 10 월) 에시행되어지는초등학교졸업시험 - - 수준별반에따른시험과목 EM1( 우수반) 영어, 수학, 모국어, 과학, 고급모국어, 사회 EM2( 일반반) 영어, 수학, 모국어, 과학 EM3( 기초반) 기본영어, 기본수학, 모국어, 과학 중학교졸업시험 - 상위 5% 이내학생으로구성된특별코스학생들과상위 10% 이외학생으로 구성된우반학생들은 4 년의중등교육후, GCE O 레벨시험, 그외의학 생들은열반으로편성되며 4 년의중등교육후, GCE N 레벨시험을봄. GCE A레벨 - 고등학교졸업시험으로이결과에따라대학진학의기회가주어짐. 위와같이초등과중등졸업시험은수준별로평가가이루어진다. 초등졸업시험 의수준별평가자료([ 그림 Ⅲ-25]) 에제시된시험형식을비교하면 < 표 Ⅲ-33> 과 같다. [ 그림 Ⅲ-25] 싱가포르초등졸업시험수준별평가지 (

176 < 표 Ⅲ-33> 싱가포르초등졸업시험수준별평가지의형식비교 paper* 문제유형배점문항수시험시간 1 선다형 30 기본수학 2 단답형 40 구조화된문제 시간 15분 1 선다형 20 수학 2 단답형 30 구조화된문제 50 서술형문제 48 2시간 30분 (* 싱가포르국가시험은시험지가 2 개로이루어져있으며, 초등졸업시험의경우중간에휴식시간을주고같은날이루어짐.) 기본수학시험과수학시험의전체문항수가같고시험지1이선다형과단답형으로 구성되어있는것이같지만문제유형및배점, 시험시간에서차이가있다. 기본수 학시험에비하여수준이높은수학시험은서술형문제가추가되었고기본수학시험 은단답형에가장많은배점이되어있는반면, 수학시험은구조화된문제와서술형 문제에가장많은배점이되어있었다. 또한시험시간은 15 분차이가났다. 중등졸업시험의수준별평가자료([ 그림 Ⅲ-26]) 에제시된시험형식을비교하 면 < 표 Ⅲ-34> 과같다. [ 그림 Ⅲ-26] 싱가포르중등졸업시험수준별평가지 (

177 < 표 Ⅲ-34> 싱가포르중등졸업시험수준별평가지의형식비교 paper* 평가방향 문제유형및 개수 배점 시험시간 GCE N 레벨 GCE O 레벨 1 기본기능과개념평가 25개의단답형 80 2 고등사고능력평가 -확인안됨 기본기능과개념평가 25개의단답형 80 2 고등사고능력평가 -확인안됨 시간 4시간 30분 (* 싱가포르국가시험은시험지가 2 개로이루어져있으며, 중등졸업시험의 2 개시험지를어떻게보는지는확인되지않음.) 중등졸업시험의 2개시험지에구현되는평가방향과시험지1에제시되는문제유 형과개수, 배점이같다. 하지만시험지2 를구성하는방식과배점, 시험시간에서 차이가남을알수있다. 즉모든중학생에게공통으로요구하는기본내용이있으 며고등사고능력을평가하는시험지2 에서난이도를조절하는것으로보인다. (2) 학교급별, 문제유형에따른계산기의부분적혹은전체적허용 싱가포르국가시험의수학시험에서계산기허용여부를살펴보면, 초등졸업시험에 서는부분적으로, 중등졸업시험에서는전체적으로계산기를허용하고있다. 초등졸 업시험의경우, 선다형과단답형으로만이루어진시험지1에서는계산기가허용되지 않고단답형을비롯한구조화된문제, 서술형문제가출제되는시험지2에서만계산기 가허용되고있다. (3) 가장높은수준의시험에만제공되는수학공식 중등졸업시험중수준이높은 제공된다([ 그림 Ⅲ-27]). GCE O레벨시험에서만관련수학공식이평가지에 [ 그림 Ⅲ-27] 수학시험에제공된수학공식의예

178 나) 학교현장에서의수학평가 - 시사점을얻을수있는관련자료를찾을수없었음. 3) 프랑스 가) 국가수준에서의수학평가 (1) 정답채점이아닌수준달성여부로채점하는학업성취도평가 현재는진단평가의무실시제를폐지하고초등학교 2학년과 5학년말의학업성취 도평가를의무화하고있으며이평가의목적은부진학생을지원하는것이다. 평가 대상은프랑스공사립초등학교 2학년과 5 학년학생전원이다. 통상적으로일상수업 시간에시험을치르게하고답안지채점은교사들이직접한다. 채점은정오답을체 크하는것이아니라학생들의전반적인능력을수준달성인경우코드1, 미달성경 우는코드0 으로채점한다. 시험과목은 2008 년도신교육과정에의거하여실시한다( 정 영근, 진경애, 김영준, 김영춘, 민병수, 손민정외, 2010e). 나) 학교현장에서의수학평가 - 시사점을얻을수있는관련자료를찾을수없었음. 4) 독일 가) 국가수준에서의수학평가 (1) 수학내용영역에대한학생의선택권이주어지는평가 독일의대학입학시험인아비투어에서수학시험은 3 개영역( 해석학, 해석기하학, 확 률론) 에서문제가출제된다. 수험자는 < 표 Ⅲ-35> 와같이 3개영역중 2개영역을선 택할수있다( 정영근, 진경애, 김영준, 김영춘, 민병수, 손민정외, 2010a). < 표 Ⅲ-35> 아비투어수험생의수학시험선택가능성 출제영역 1 출제영역 2 출제영역 3 문제 1.1 해석학문제 2.1 해석기하/ 1차대수학문제 3.1 확률론 또는문제 1.2 해석학( 다른타입) 또는문제 2.2 해석기하/ 1차대수학또는문제 3.2 확률론

179 (2) 휴대용계산기뿐만아니라 CAS(Computer-Algebra-System) 가허용되는평가 독일의중앙아비투어필기시험시허용된시험보조물은 < 표 Ⅲ-36> 과같다( 정 영근외, 2010a). 보통휴대용전자계산기를사용할수있는데, 학교의신청여하 에따라 CAS(Computer-Algebra-System) 를사용할수도있다. < 표 Ⅲ-36> 아비투어시험보조물 아비투어 without CAS 아비투어 with CAS 독일어의맞춤법을위한참고서적 아비투어를위해해당교육부에서사용이허가되고학교에서사 용하는수학공식집 프로그래밍이가능하지않고그래프기능이없는그리고숫자상 의미분, 적분또는방정식의자동풀이능력이없는휴대용전자 계산기 아비투어필기시험에 CAS- 사용( 휴대용전자컴퓨터또는 PC) 에 대한신청을베를린시의교육부그리고브란덴부르크주의교육 부에하게된다. 이신청은정해진기간에취소가가능하며, 이는위에언급한 각해당기관에서면으로통지하여야한다. 이를신청한학교들은 CAS- 문제와이에대한지침을받게된다. 문제는내용상동일한수준이고, 동등한핵심교육과정의근거를 갖고있으며, 문제풀이를위하여특별한소프트웨어나기구준비 는허용되지않는다. (3) 결과중심의채점이아닌문제해결과정전체를채점하는평가시스템 중앙아비투어필기시험채점은정답과오답을체크하는결과중심의채점이아닌 문제해결과정전체를평가대상으로한다. 즉문제해결에있어서중간과정의잘못을 그대로대입하여답안을작성하였을경우에도그에상당한점수를받게되고모범답 안과다른방법으로문제를풀었을경우에도해결방안이맞는다면그에상당한점수 를받게된다( 정영근외, 2010a). 나) 학교현장에서의수학평가 (1) 정답보다과정을중시하는채점 독일의학교평가에서수학평가는 100% 주관식문제만출제되는데답안지채점 방식은정답보다풀이하는과정을더중시한다. 10점짜리문제일경우과정은모두 맞았는데정답이틀리면 점을잃는다( 박성숙, 2010). 2점정도가감점되지만정답은맞았으나과정이틀렸다면

180 5) 핀란드 가) 국가수준에서의수학평가 (1) 대학입학자격시험 (Matriculation Examination) 을안내하는전용사이트운영 대학입학자격시험을준비하고, 관리하고, 답안지를채점하는책임은 대학입학 자격시험위원회 에있다. 대학입학자격시험위원회 의위원장과위원들은교육 부에서지명하는데그전에대학교, 국가, 교육청의자문과추천을받습니다(40명 정도). 위원들은대학입학자격시험에서다루는다양한과목들을담당한다. 이시험 을준비하고평가하는과정에는대략 330 명정도의준위원들이위원회를보조하고, 시험지의인쇄, 배포와같은기술적인준비는 22명의직원이일하는사무국에서담 당한다(Aho, Pitkanen, Sahlberg, 2010). < 표 Ⅲ-37> 과같이대학입학자격시험을 안내하는전용사이트를개설하여시험에대한안내를하고있다. < 표 Ⅲ-37> 핀란드대학입학자격시험홈페이지 핀란드대학입학자격시험 하위메뉴 첫페이지 규정및 지침 시험 신입생 현재진행중인시험과앞으로진행될시험에대한안내 일반규정및지침 ( 질병및부상, 청력손실등에따른시험안내포함) Matriculation 시험에대한소개및봄과가을에이루어진시험에대한통계자료 지역별로시험을통과한고등학교졸업생검색 시험일정 ( 예) 2011 가을, 2012 봄, 2012가을로나누어제시 연락처 Matriculation 시험위원회및위원장연락처 또한

181 (2) 수준별평가 핀란드의대학입학자격시험에서수학과평가는 [ 그림 Ⅲ-28] 와 [ 그림 Ⅲ-29] 과같이난이도에따라기본수학(Mathematics Basic Course) 과심화수학 (Mathematics Advanced Course) 2 종류가있다. 두평가모두주관식문제로만이루어져있고문제유형에서만약간의차이가 있다. 기본수학(Mathematics Basic Course) 은찾아라(Find), 무엇인가(What), 얼마인가(How much, How many) 등의문제유형이주를이루고있는반면, 심화 수학(Mathematics Advanced Course) 은해결해라(Solve), 계산해라(Compute) 와같 은단순문제해결을요구하는문항외에증명해라(Prove), 조사해라 (Investigate), 설명해라(Explain), 보여라(Show) 등좀더고차원적이고다양한 학생들의반응을요구하는서술형문항들로구성되어있다. [ 그림 Ⅲ-28] 핀란드대학입학자격시험기본수학평가지예시

182 [ 그림 Ⅲ-29] 핀란드대학입학자격시험심화수학평가지예시 (3) 계산기허용 Matriculation 있다( 한국교육과정평가원, 2010c). 시험위원회에서참조하도록승인한계산기와책자를활용할수 나) 학교현장에서의수학평가 (1) 학습참여도및학습태도를반영한평가 핀란드학교에서평가자료는주기적인시험과함께학기중에해온발표( 개인/ 그룹별발표과제가주어짐), 작문( 논술형, 창의형, 시, 짧은이야기, 쓰기등), 단 어시험등다양하다. 더불어학습참여도와학습태도도고려한다. 예를들면, 영어시험성적이 7점일 때수업시간에일관적으로열의를보이고열심히참여할때 8점으로올라갈수있 다. 학습참여도와수업태도는주로긍정적인목적으로이용되는데( 아주좋을때 성적을올려주기위해), 수업태도가아주나쁘거나시종일관학급친구들과같이 공부하거나발표하는것을거부할때 1 점이깎일수가있다( 정영근외, 2010f). 과목의특성에따라평가방법이차이가있지만일반적으로전체적인평가방향은 크게다르지않다. 수학과평가의방향도위와크게다르지않을것이라고판단된다

183 (2) 주관식으로만출제하는수학평가 핀란드의수학시험에서는객관식이전혀없다. 단답식문제를빼고는풀이과정 을고려하여부분점수를준다. 전체적으로볼때사지선다객관식은매우드물며, 필요한경우약간만을도입한다. 왜냐하면사지선다객관식이주가되는시험제도는 장기적으로볼때학생들에게해롭고자신의실력이아닌요행을바라는사고방식을 자신도모르게키울수가있으며, 학습내용의파편화된이해와기계적인암기습관 이들어설수있기때문이다. 이것은창의적이고비판적사고와사지선다객관식은 공존할수없다고보는것인데, 핀란드학생들은초등학교때부터다양한문제유형 에노출되고서술형문제들을접하여한국학생들보다지식을소화하고응용하는데 유리한위치에있게된다( 정영근외, 2010f). (3) 성취수준을체크하는데중점을둔 10점만점점수체계 핀란드학교평가는 10 점만점점수체계를가지고있다. 10점은한국의 100점이 라고볼수있는데 10 점을주는경우는드물다. 한국과다르게점수단위를작게나 누지않고 8점이면 8 점, 9점이면 9 점을준다. 9점을받았다는것은아주잘했음을 증명하므로 9.3, 9.5, 9.8 등으로세분하는것을불필요하게여기기때문이다. 고등 학교입학의경우입학허가성적기준( 평균 7~8 점, 학교및상황에따라 7점인경 우도있고 8 점인경우도있으나, 최근에는 8 점쪽으로많이올라가는추세임) 을충 족할경우같은점수를받은학생들을다수용하도록규정이되어있다( 정영근외, 2010f). 즉학생의능력을세분화된점수체계로채점하여동점자나오지않도록하여차 례로줄을세우는형태가아니라학생들이어느수준이상인지만을판단하는점수체 계를가지고있다고볼수있다. 6) 호주 가) 국가수준에서의수학평가 (1) 국가수준평가각각에관련된전용웹사이트운영 호주는전국학력평가 (NAPLAN, National Assessment Program-Literacy and Numeracy) 와고등학교졸업자격시험(HSC, The Higher School Certificate) 각각에 관련된전용웹사이트를운영하고있다. 호주의전국학력평가(NAPLAN) 는매년 5월중순에타스매니아주를제외한호주 모든주에서실시한다. 시험대상은매년호주전역의공립, 비공립학교에재학중인 3, 5, 7, 9 학년의모든학생들이다( 정영근외,2010g). NAPLAN 공식홈페이지는 < 표

184 Ⅲ-38> 과같이구성되어있다. 이곳에는기출문제및시험에대한안내, 시험결과보 고서에대한안내가되어있어서누구라도시험에대해알아보고준비할수있도록 하고있다. < 표 Ⅲ-38> 호주전국학력평가(NAPLAN) 홈페이지 호주전국학력평가 (NAPLAN, National Assessment Program-Literacy and Numeracy ) Test Administration Authorities 시험관리기관안내및연락처 시험영역안내및샘플시험지링크되어있음 하위메뉴 Domains Tests Reports FAQs Parents Contact NAPLAN 2010, 2009, 2008 시험지링크되어있음학생개별보고서와국가보고서에대한안내및샘플보고서자주묻는질문부모를위한시험에대한안내시험관리기관연락처 호주의고등학교졸업자격시험(HSC, The Higher School Certificate) 은고등교육이하학교에서받을수있는가장높은수준의자격증으로이후에고등교육

185 기관, 직업교육기관에서수학하기위하여또는취업을하는데유용하게사용할 수있다( 정영근, 진경애, 김영준, 김영춘, 민병수, 손민정외, 2010g). HSC 를준비하는학생을위한전용웹사이트가 < 표 Ⅲ-39> 와같이운영되고있 다. 이곳에는기출문제, 교과교육과정(syllabuses), HSC 채점자들의기록 (notes) 등의정보가있다. HSC를준비하는학생개개인이로그인하여시험에대 한안내를받고결과를확인할수있다. < 표 Ⅲ-39> 호주고등학교졸업자격시험(HSC) 홈페이지 호주고등학교졸업자격증 (HSC, The Higher School Certificate) Home 최신뉴스, 유용한링크, 시험일정, 기출문제안내 About NSW 연구위원회에대한안내및비밀번호를잊었을때의대처방법, NSW 연구위원회대표연락처안내 My Details 학생이로그인하여자신의 HSC 결과보기가능 하위메뉴 The HSC Tips and Tools < 다음과같은내용안내> - 1 단계 : HSC 준비하기 - 2 단계 : HSC 학교평가 - 3 단계 : HSC 시험 - 4 단계 : HSC 결과 - HOW MODERATION WORKS - 자주묻는질문 도움말및자료안내 News HSC 관련최신뉴스 Search 온라인학생검색

186 (2) 수험생의의견을반영하려는설문조사실시 HSC 교육과정및시험과관련하여교육위원회에학생들의의견을제시할수있는 온라인설문조사를실시한다. 설문참여는자유이고설문응답내용은비밀보장되 며소요시간은약 15 분이다. 설문에참여한학생은대학 C0-op 서점의 50불상당의 상품권경품행사에자동참여된다( 정영근외, 2010g). (3) 수준별평가 호주의고등학교졸업자격시험(HSC) 에서수학과평가는일반수학(General Mathematics), 수학(Mathematics), 심화수학1(Mathematics Extension 1), 심화수학 2(Mathematics Extension 2) 4 종류가있다. 일반수학(General Mathematics) 평가([ 그림 Ⅲ-32]) 는크게 Section 1과 2로나누 어져있으며 2시간 30 분의문제해결시간이주어진다. Section 1은 1 번~22번까지사 진선다형문제로 1점씩총 22점이배정되어있으며이 Section에주어진시간은 30분 이다. Section 2는 22 번~28번까지의주관식문항으로구성되어있고각문항마다 7~8 개의하위문항이포함되어있는형태로하위문항마다점수배점이달리되어있지만 7~8개의하위문항이포함된하나의문항에는총 13 점씩배정되어있다. 하위문항이 많다보니한문항이 3~4 쪽에걸쳐제시된경우도있다([ 그림 Ⅲ-31]). 이 Section에 주어진시간은 2 시간이다. [ 그림 Ⅲ-30] 2010 HSC 일반수학평가지일부

187 [ 그림 Ⅲ-31] 3페이지가할애된일반수학평가문제예시 수학(Mathematics) 평가([ 그림 Ⅲ-32]) 는 10개문항으로총 120점만점이며총 3 시간의문제해결시간이주어진다. 각문항마다 6~9개의하위문항이포함되어있 는형태로하위문항마다점수배점이달리되어있지만 6~9개의하위문항이포함 된하나의문항에는총 12 점씩배정되어있다. 일반수학(General Mathematics) 과 비교하여한문항에포함된하위문항이많아도 ([ 그림 Ⅲ-33]). 1~2쪽에걸쳐문제가제시되어있다 [ 그림 Ⅲ-32] 2010 HSC 수학평가지일부

188 [ 그림 Ⅲ-33] 2페이지가할애된수학평가문제예시 심화수학1(Mathematics Extension 1) 평가([ 그림 Ⅲ-34]) 는 7개문항으로총 84 점만점이며총 2 시간의문제해결시간이주어진다. 일반수학(General Mathematics) 과마찬가지로각문항마다 마다점수배점이달리되어있지만 총 12 점씩배정되어있다. 6~9개의하위문항이포함되어있는형태로하위문항 6~9개의하위문항이포함된하나의문항에는 [ 그림 Ⅲ-34] 2010 HSC 심화수학1 평가지일부 심화수학2(Mathematics Extension 2) 평가([ 그림 Ⅲ-35]) 는 8개문항으로총

189 점만점이며총 3 시간의문제해결시간이주어진다. 각문항은 5~10개의하위문항이 포함되어있는형태로대체로 9~10 개의하위문항으로구성되어있다. 하위문항마다 점수배점이달리되어있지만 점씩배정되어있다. 5~10개의하위문항이포함된하나의문항에는총 15 [ 그림 Ⅲ-35] 2010 HSC 심화수학2 평가지일부 위내용을종합해보면 < 표 Ⅲ-40> 과같다. < 표 Ⅲ-40> HSC 수학과평가의일반적인현황 일반수학 문항수 (Question) 28 수학 10 심화수학1 심화수학2 7 8 한문항에포함된하위문항수 ( 평균하위문항수) 7~8 (7.8) 6~9 (6.9) 6~9 (7.1) 5~10 (8.6) 하위문항포함총문항수 총점 (Marks) 100 (22 점+ 13 점씩 6 문항) 120 (12 점씩 10 문항 ) 84 (12 점씩 7 문항) 120 (15 점씩 8 문항) 시험시간 2시간 30분 (30 분+2 시간 ) 문항유형 객관식 + 주관식 3시간주관식 2시간주관식 3시간주관식 4 종류의수준별평가지의전체문항수및시험시간에서큰차이가나지않았으 나가장수준이낮은일반수학평가지에만사지선다형문제가출제되고나머지평 가는모두주관식으로출제되고있는점이특징이다

190 (4) 계산기허용 전국학력평가(NAPLAN) 의 3, 5 학년수리능력(Numeracy) 시험은계산기사용이허용되 지않으나 7, 9 학년수리능력(Numeracy) 시험은계산기사용이허용되는시험과그렇지 않은시험, 총 2 번의시험이있다( 정영근외, 2010g). NAPLAN 7 학년의수학시험(< 표 Ⅲ-41>) 은계산기가허용되는시험이나그렇지않은 시험모두객관식 23 문항, 단답형 9문항총 32문항의시험으로 40분동안시험을치 른다. 즉평가외적인부분은동일함을알수있다. < 표 Ⅲ-41> 호주 NAPLAN 7학년수학평가지 계산기허용되는수학시험 7 학년 계산기허용안되는수학시험

191 NAPLAN 9 학년의수학시험(< 표 Ⅲ-42>) 은계산기가허용되는시험이나그렇지않은 시험모두총 32문항의시험으로 40 분동안시험을치른다. 그러나계산기가허용되 는시험의경우객관식 25 문항, 단답형 7 문항이었으며, 계산기가허용되지않는시험 의경우객관식 26 문항, 단답형 6 문항으로약간의차이가있었다. < 표 Ⅲ-42> 호주 NAPLAN 9학년수학평가지 계산기허용되는수학시험 9 학년 계산기허용안되는수학시험 전국학력평가에서계산기사용을제한적으로허용하는반면고등학교졸업자격 시험(HSC) 의경우, 4 종류의수학시험모두계산기사용이가능하다

192 (5) 수학공식집제공되는고등학교졸업자격시험 호주의고등학교졸업자격시험(HSC) 의 4종류의수학시험모두공식집이제공된 다. 일반수학평가지에제공되는공식집(formulae sheet) 에는 [ 그림 Ⅲ-36] 과같이 타원의면적, 표면적, 부피, 사인법칙, 삼각형면적, 코사인법칙, 복리, 연금의미 래가치, 연금의현재가치, z 점수에대한공식, 직선의기울기, 사건의확률등이제 시되어있다. [ 그림 Ⅲ-36] 2010 HSC 일반수학공식집 수학, 심화수학1, 심화수학2 평가지에는 [ 그림 Ⅲ-37] 과같이표준적분표(table of standard integral) 가제공된다. [ 그림 Ⅲ-37] 2010 HSC 표준적분표

193 나) 학교현장에서의수학평가 - 시사점을얻을수있는관련자료를찾을수없었음. 나. 외국의수학과평가특징 1) 미국 수학과평가의특징 가) 채점기준과채점자의신뢰성확보를통한서술형주관식채점 미국정부에서미국전역에실시하는유일한평가제도인국가교육향상평가(NAEP) 는 객관식, 단답형, 서술형주관식등 3 종류로문제가출제되는데, 객관적인채점이어 려운서술형주관식의경우채점기준표를바탕으로트레이닝받은채점자가채점을 하도록함으로써평가의객관성및신뢰성을확보하고있다. 또한학교현장에서서술형주관식채점시, 채점기준표에의해채점을한다. 답 과문제해결과정이맞는지만을보는것이아니라개념적이해, 과정과전략, 입증과 정, 의사소통, 정확성등어떤기준으로어떻게볼것인지구체적으로채점기준표에 제시하고있으며이것을평가지에제시하여학생들이채점기준에맞게문제를해결 하도록하고있다. 또한세명의채점자가채점하도록되어있다. 위두가지사례를보면서술형주관식평가의객관성및신뢰성을확보하기위해 채점기준표를구체화시켰으며, 채점자를트레이닝시키거나다수의채점자가채점하 도록한점이특징적이다. 2) 싱가포르 수학과평가의특징 가) 문제유형, 배점, 시험시간, 수학공식집에서차이를둔수준별평가지구성 초등학교졸업시험의경우, PSLE 기본수학과 PSLE 수학평가지 2개로나누어져있 고중학교졸업시험의경우, GCE N레벨수학과 GCE O레벨수학평가지 2개로나누어 져있다. 평가지의수준에따라문제유형, 배점, 시험시간, 수학공식집제공등에차 이가있었다. 문제유형측면에서보면, 수준이높을수록선다형과단답형만제시하는것이아니 라서술형문제를출제하여수준을높였다. 배점측면에서보면, 수준이높을수록선 다형및단답형보다구조화된문제나서술형문제의배점비율이높았고기본기능과 개념을평가하는부분보다고등사고능력을평가하는부분의배점비율이높았다. 험시간측면에서살펴보면, 수준이높은평가가그렇지않은평가보다 15 분~30분정도 시

194 길게주어졌다. 수학공식집을제공하는부분에서살펴보면, 중등졸업시험에서수준 이높은평가지에만제공되었다. 수준별로평가지를구성할때시험범위와같은평가내용의양만조절하는것이아 니라문제유형, 배점, 시험시간, 수학공식집제공과같은부분에서세세한차이를 두었다는점이특징적이다. 나) 계산기의단계적허용 싱가포르초등졸업시험의경우선다형과단답형으로이루어진시험지1에선계산기 가허용되지않고구조화된문제나서술형문제로구성된시험지2에서만계산기가허 용이되는반면된다. 중등졸업시험에서는전면적으로계산기를허용하고있다. 즉 계산기가부분적으로허용되다가전면적으로허용이되고있다. 계산기를부분적으로허용하고있는초등졸업시험의경우, 계산기의부분적허용 기준이문제유형임을눈여겨볼필요가있다. 답을구하는선다형및단답형문제에 서는계산기가허용되지않고답보다는문제의이해및문제해결과정을볼수있는 구조화된문제나서술형문제에서계산기가허용되고있기때문이다. 3) 프랑스 수학과평가의특징 가) 정답이아닌수준달성여부를판단하여채점 부진학생을지원하기위한초등학교학업성취도평가에서정답과오답을채점하는 것이아니라학생이그문제에서요구하는수준을달성하였는지그렇지않은지를채 점하는것이특징이다. 즉수준달성이면코드1, 미달성이면코드0 으로채점을한다. 이것은학생의답안지에서답이나온결과만채점대상으로보는것이아니라학생이 문제를이해하고해결하는과정을전체적으로보고채점하는것이라고할수있다. 이러한채점이가능한것은교사에게평가에대한자율성이보장되었고교사의전 문성, 특히평가전문성이확보되었기에가능한일일것이다. 4) 독일 수학과평가의특징 가) 중앙아비투어의수학시험과목 : 해석학, 해석기하학, 확률론 독일의아비투어수학시험은 3 개영역( 해석학, 해석기하학, 확률론) 으로출제되며 시험당일 30분이내에 2 개영역을선정하여문제를해결하도록되어있다. 수학시 험을 내용영역 에따라구분지어출제한다는점이특징이다. 우리나라의경우대 학에서수학을전공하기전까지, 해석학, 기하학, 대수학등의용어를사용하지않고

195 그안의수학개념및기능에주목하여가르치는반면독일은대학입학전에수학을 학문으로서가르치고평가한다고판단할수있다 학년도대학입학시험에서교과중심의출제를강화하기위해 수리영역 에서 수학 으로명칭을변경하였는데, 교과목명칭도 수학Ⅰ, 수학Ⅱ 대신수 학내용영역에따라 해석학, 대수학 과같은명칭을따른다면수학을문제를 푸는기능숙달과목이아닌수학의학문으로서의본질을강화할수있는지생각해볼 필요가있다. 나) 수학공식집과계산기(CAS) 사용이가능한아비투어 아비투어는교육부에서사용이허가되고학교에서사용하는수학공식집과특별한 기능이없는휴대용전자계산기를사용하는아비투어와 CAS를사용한아비투어시험 이구별되어있다. 수학공식집과계산기사용이기본적으로가능하다는점이우리나 라와다른특징으로이는암기하는수학, 계산하는수학을지양하고있다는것을의 미한다. 다) 주관식문제출제와풀이과정을중시하는채점 독일의학교현장에서는 100% 주관식으로만수학문제를출제하며학생들의답이맞 는지만을채점하는것이아니라과정까지살펴서채점한다. 시험에서도마찬가지다. 결방안이맞는다면그에상당한점수를준다. 이는중앙아비투어수학 답이틀려도풀이과정이정당하거나모범답안과달라도해 더특이한사항은학교평가에서과정은맞으나정답이틀리면 2 점을잃지만, 정답 은맞으나과정이틀리면 8 점을잃는다. 이러한채점방식은문제를어떻게해결하고풀이과정을어떻게정리할것인지개 인의전략및노력을중시하게하는학습풍토를만들수있다고판단된다. 5) 핀란드 수학과평가의특징 가) 주관식문제출제와풀이과정을고려한부분점수핀란드에서객관식문제는매우드물다. 사지선다형객관식이주가되는시험제도는장기적으로볼때학생들에게해롭고자신의실력이아닌오행을바라는사고방식을자신도모르게키울수있으며, 학습내용의파편화된이해와기계적인암기습관이들어설수있기때문이다. 학교평가뿐만아니라대학입학시험에서는주관식문제가출제되며, 대학입학시험의경우채점이어떤방식으로하는지는확인되지않았지만학교에서는단답식문제를빼고는풀이과정을고려하여부분점수를준다. 즉학생들의수학적이해과정에대해

196 서평가를하고있는것이다. 나) 요구하는내용의차이를둔수준별평가지 핀란드의대학입학자격시험에서수학평가는기본과정(Basic Course) 과심화과정 (Advanced Course) 2 종류의수준별로이뤄진다. 기본과정은찾아라, 무엇인가, 얼마인가등의문제유형이주를이룬다면심화과정 은해결해라, 계산해라와같은단순문제해결을요구하는문항외에증명해라, 조사해 라, 설명해라, 보여라와같은학생들의수학적이해정도가드러나는문제를출제한 다. 같은범위에서평가문제를출제하더라도학생들에게어떤것을요구할것인지에따 라수준별평가지를구성할수있다는것을보여주는좋은사례이다. 다) 학습참여도와학습태도가평가에반영 핀란드는 10 점만점점수체계를가지고있는데, 시험성적이 7 점일경우, 수업시간 에열의를보이고열심히참여하면 8 점으로올라갈수있다. 반대로수업태도가나 쁘면 1 점이깎일수있다. 우리나라의경우정의적영역의평가를해야한다고하지 만평가의객관성문제로시험성적이평가의전부가되고있다. 점수체계를단순화해서정의적영역도평가에반영할필요가있다. 라) 학생의성취수준을판단하는점수체계 핀란드학교에선점수단위를 1점으로하여 10 점만점으로채점한다. 8점이면 8점 을주지, 단위를세분화하여 8.1, 8.2, 8.3과같이점수를주는것을불필요하게여 긴다. 이는학생의서열을매기지않는핀란드의학교풍토와관련이있다. 점수단위를세분화하는것은학생들의성취능력을정확하게측정하고자하는것인 지, 그를통해학생들을일렬로줄세우기위한작업은아닌지생각해볼필요가있 다. 마) 대학입학시험전용웹사이트운영 핀란드대학입학시험전용웹사이트가운영되고있다. 이웹사이트를통해시험에 대한안내및규정, 지침, 시험관련통계자료, 지역별로시험에통과한고등학교졸 업생검색, 시험일정등에대한정보를얻을수있다

197 6) 호주 수학과평가의특징 가) HSC 시험대상학생을위한웹사이트존재 HSC 기출문제뿐만아니라, 교과교육과정, HSC 채점자들의기록등에대한자료가 있으며시험후, 학생들의의견을제시할수있는온라인설문조사를실시함으로써 교육을서비스로써더욱향상시키기위한시스템을구축하고있다. 나) 계산기가허용되는시험과그렇지않은시험, 2번의수학평가실시 호주의전국학력평가(NAPLAN) 는 3, 5, 7, 9 학년대상으로평가를실시한다. 3, 5학 년은계산기사용이허용되지않으나 험과그렇지않은수학시험, 총 2 회의시험을본다. 7, 9학년의경우에는계산기가허용되는수학시 계산기가허용되는경우나그렇지않은경우모두 32문항을 40분동안해결하도록 하고있다. 내년수능부터계산기사용이허용되는핀란드의경우, 핀란드수학교사 연합회에서수학적인이해력평가보다계산기사용능력을평가하게될지모른다고우 려하기때문에계산기사용유무를기준으로수학시험을두부분으로나누어실시할 것을제안하였다( 핀란드헬싱긴사노맛일간지 ; 한국교육개발원교육정책 네트워크정보센터재인용). 또한지금은유보적인입장이지만 2011년 2월우리나라 에서도 고교수학시험에서전자계산기사용을허용한다 는내용을발표한바있 다. 이런면에서호주의사례는주목할만하다. 다) 학생들의학습량및난이도에따른 4종류의 HSC 수학평가 HSC 의수학평가는일반수학, 수학, 수학확장1, 수학확장2, 즉 4종류가있으며학 생들이자신의학습량및난이도에따라선정하도록되어있다. 라) 주관식위주의 HSC 수학평가 HSC의 4종류수학평가중가장난이도가낮은일반수학만객관식과주관식이혼합 되었고나머지 3 종류의수학평가는모두주관식으로만출제된점이특징이다. 마) 계산기사용이허용되고수학공식집이제공되는 HSC 수학평가 독일의중앙아비투어처럼계산기와수학공식집이제공된다. 두나라모두주관식으 로만수학문제를출제하고계산기와수학공식집을제공하여암기하고계산하는부담 을줄이고수학문제해결에집중할수있도록하는점이주목할만하다

198 5. 수학과교수 학습방법( 창의성교육) 실태및특징 가. 창의성발현의인지적과정 창의성연구를체계화하는한가지방법은이른바 '4P' 모델이며, 여기서 4P란창의 적인사람(person), 과정(process), 산출물(product), 환경(press) 을일컫는다 (Kaufman & Plucker, 2008). 잠재된창의성을계발하는것이창의성연구와교육의궁 극적인목적임을감안할때창의성이발현되는과정은창의성관련연구에있어가장 핵심적인분야중하나이다. 왜냐하면창의성이발현되는과정에대한이해없이는창 의성을향상시킬수있는구체적방안을구성하기란불가능하기때문이다. 창의적산물을생성하기위해관여하는과정또는기제가무엇인가에대한설명은 주로확산적사고를중심으로전개되어왔다. 1956년 Guilford가미국 APA 회장수락 연설에서심리학에서창의성연구의요체로확산적사고 를주창한이래많은연구자 들은확산적사고의성분을밝히고그것을측정할수있는객관적인도구를개발해왔 다. 이러한연구흐름은 Torranse(1974) 의확산적사고검사도구인 TTCT 개발에이르 러그정점에이르렀다. 하지만 1970년무렵정보처리심리학자들을중심으로창의성의 인지적과정은본질적으로평범한문제해결과정이라는주장이제시되면서창의성연 구에서일대전환기를맞게되었다. 그이후창의성이발현되는인지적과정은확산적 사고관점과평범한문제해결관점으로나뉘고, 각입장의정당성을주장하였다. 이러 한논의와맞물려보다최근에창의성에대해떠오르는쟁점은창의성이영역-일반적 (domain-general) 인지영역- 특수적(domain-specify) 인지에관한것이다. 영역-일반적 입장을견지하는진영은창의성의요체는확산적사고이며, 확산적사고능력을사람 은모든영역예를들어국어, 수학, 과학, 미술영역에모두창의적일수있다고주 장한다. 반면영역-특수적입장을취한연구자들은인간은본질적으로모든영역에서 창의적일수없으며그가몸담고있는특정한영역에서만창의적일수있다고주장한 다. 이러한입장은 Hays의 10 년법칙에의해강력하게지지되었다. 그는미술, 과학 등여러분야에서창의적인인물을광범위하게조사하였는데, 두분야이상에서특출한 창의적인업적을남긴인물은극소수이며대부분은특정한영역에서만창의적업적을 남겼다는결과를보고하였다. 이보고에서창의적인업적을남긴인물들은모두특정 영역에서 10 년이상의전문적기술( 지식) 을축적하고, 그러한지식을바탕으로창의성

199 이발현될수있었다고주장하였다. 아직도두입장의논쟁은진행중이지만최근에 창의성을영역특수적인것으로무게가실리고있다. 창의성연구가 60년이라는비교적 짧은역사를지닌점을감안할때창의성의정체와과정에대해합일점을찾지못하고 다양한시각과관점에서갑론을박하는것은모든학문적연구가그러했듯이어쩌면자 연스러운과정일지도모른다. 전술한창의성과정에대한관점을정리하면첫째, 창의성= 확산적사고, 둘째, 창의 성= 문제해결, 셋째, 창의성은영역-특수적또는영역-일반적관점으로정리할수있 다. 이세관점은창의성연구의흐름상의구분일뿐, 사실상그이면을살펴보면창 의성발현에확산적사고또는지식이어느정도기여하는지에대한논쟁의연속으로 볼수있다. 창의성이발현되는인지적기제를무엇으로보느냐는매우중요한사안이다. 왜냐하 면그것은수학교육에서창의성을신장시키기위한교육내용, 방법, 평가에이르기까 지광범위하게영향을미치기때문이다. 예를들어창의성의발현기제를확산적사고 로간주한다면학교수학에서창의성교육의목적은그것을기르는것이며, 교육의방 법은그것을신장시키기위한교육적처치가행해질것이며, 또한그것을평가할것이 다. 그러나학교수학에서창의성의발현과정에대한진지한논의는거의이루어지지 못하고있다. 최근에수행된수학적창의성의평가또는측정에관한대부분의연구가 ( 김흥원외, 1997; 이강섭, 황동주, 2003; 송상헌, 1998) 확산적사고에초점을맞추 고있다는점에서수학교육에서창의성연구의현주소를짐작해볼수있다. 이렇듯심리학분야에서창의성에대한연구는급변을겪어오늘에이르렀음에도수 학적창의성에대한대부분의연구는수학적창의성을여전히확산적사고와동일시하 고있다. 인지심리학과교육심리학분야에서급박하게진전되는창의성연구의진전을 수학교육에서활용하지못하고있는것이다. 인지심리학자인 Reed(1999) 는인지심리 학연구와수학교육연구사이의괴리를지적한바있다. 수학적문제해결에대한나의연구는수학교육에거의영향을미치지못하고있 으며, 수학교육의연구또한나의연구에거의영향을미치지못하고있다. 불행히 도이것은매우두드러진현상이다. 수학교육자들의수학적문제해결에관한연구의 참고문헌목록에서인지심리학을인용한예는거의없으며, 마찬가지로수학적문제 해결에관한인지심리학자들의연구에대한참고문헌은대부분인지심지학자들의것 이다 (p. Ⅳ) 창의성에대한연구는주로심리학분야에서이루어지고, 창의성계발은주로교과

200 교육에서담당하고있어이러한괴리는더욱증가될수밖에없다. 수학교육에서도수학본유의특성을유지하면서창의성이라는심리적구인의본질에대해좀더심도있게논의될필요가있다. 나. 창의성의영역성에관한논의 창의성은영역또는과제에관계없이새롭고적절한사고를할수있는영역일반적 인능력인가아니면과학창의성, 예술창의성등과같이영역또는과제에따라다르 게발현되는영역특수적인능력인가에대한질문은창의성분야에서논쟁이끊이지 않고계속되는이슈중의하나이다(Plucker & Beghetto, 2004). 창의성의영역-일반성 (domain-generality) 이란창의적수행의바탕이되는기능, 특질또는지식이모든영 역에관련되어영향을미친다는것으로확산적사고능력은창의성발현에필요한대 표적인영역일반적요인으로인정되고있다. 이에반해창의성의영역-특수성 (domain-specificity) 입장은모든영역에걸쳐창의성이발현되는데공통적이고일반 적인요인이존재하는것이아니라, 창의성이발현되는기제는지식영역에따라상이 하여각영역간독립적이라는것이다 (Baer, 1999). 창의성의영역- 일반성은창의적사고를확산적사고와동실시하는입장으로서, Guilford(1950) 의연구를근거로하고있으며, 창의성에대한 영역- 일반적 접근으 로불린다. 창의성에대한영역- 일반성접근은지능의 g" 요인인모든영역의인지 적능력에관여하듯이, 확산적사고라는단일한요인이수학, 과학, 언어, 예술등의 여러영역에서의창의성발현에일관되게영향을준다는것을의미한다. 이러한전통 은 Torrance(1974) 가개발한창의적사고검사TTCT(Torrance Test of Creative Thinking) 로이어지고, 확산적사고능력에대한연구들은( 예, Plucker, 1998; 이병 희, 2008) 창의성에대한영역- 일반적접근을경험적으로입증하려시도하고있다. 또 한송인섭과김혜숙(1999) 은창의적직업에종사하는사람들과대학생들이창의성을 암묵적으로어떻게개념화하는가를조사한연구에서, 창의성의인지적측면으로유창 성, 융통성, 독창성의요인으로보고있어우리나라사람들이갖는창의성에대한이 해와개념화가확산적사고에기초하고있음을알수있다. 최근에는창의성의발현에는해당분야의지식의수준과양에따라영역-특수성에 기반해창의성을연구해야한다는목소리가높아지고있다. 창의성에대한영역-특수 적입장은어느특정한영역에서의창의적수행이다른영역의창의적성취와상관성

201 을보이지않으며, 비교적독립적이라는것으로, 창의성을특정영역에만한정되어지 는능력으로간주한다. 즉수학에서높은창의적인성취를보일지라도미술이나, 음악 등다른분야에서창의적인잠재성이나창의적성취가낮을수있다는것이영역-특수 적인입장이다. Weisberg(2006a) 는다음과같이말하며확산적사고검사의타당성을지적하고있다. Guilford는창의성에무엇이포함되어야하는가에대해자신의직관적분석을기초로그검사를설계했다. 따라서창의적사고자들이실제로어떻게생각하는지를결정하기위한연구를하지않았기때문에우리는그의직관적분석이정확한지전혀모르고, 따라서확산적사고검사가실제로창의적사고능력을측정하는지어떤지전혀모른다 (p. 501). 심지어그녀는창의성의영역- 특수적관점에서볼때, TTCT나확산적사고검사는적 절하지못하고타당성을담보할수없다고하였다. Baer(1999) 는영역이다른여러과 제에대한산출평가를실시하고각영역및과제간의낮은상관관계를근거로영역 특수성을주장하였다. 즉확산적사고능력은모든영역에일반적으로존재하는영역 일반적능력이아니라는것이다. Han & Marvin(2002) 또한미국의초등학교 2학년생 109 명의창의적수행에관한연구에서이야기만들기( 언어), 꼴라쥬만들기( 미술), 수 학문제만들기( 수학) 의세영역별로창의성을측정한결과창의성점수가영역에따라 다르게분포하였고한영역에서의창의적수행이다른영역에서의창의적수행과매우 낮은상관을보이고상당히독립적인관계를보인다고보고하였다. 김명숙(2002) 은중 학교 2학년영재아 90 명, 일반아 105 명을대상으로언어, 수학, 과학의세영역별창의 적과제수행에대한상관분석을실시하여서로다른영역의창의적과제수행간의상 관이낮거나거의없게나타난결과를바탕으로영역특수성을주장하였다. Baer(1993) 는창의성은영역-특수성과더불어과제- 특수적이라고주장하였다. 즉동 일한영역내에서다른과제( 콜라쥬, 데생, 회화) 를수행한결과그상관값은상당히 낮았다. 상관의정도는각각 0.15, 0.23, 0.43 이었으며, 평균상관값은 0.27 이었다. 그의연구에비추어볼때동일한수학영역에서도기하와대수과제는같은인지적능 력을요구하지않으며창의성에서도차이를보일수있음을짐작해볼수있다. 이상 의연구들을종합해볼때창의성은영역특수적인요인과과제특수적인요인이존재 한다는사실을알수있다. 지금까지창의성연구동향을 4P 관점과영역성에관한논의를중심으로살펴보았 다. 창의성연구의 4P 모델은결국창의적인사람이창의적인환경에서창의적과정을

202 통해창의적산출물을만들어낸다고할수있으며, 이는영역일반적입장과영역특 수적입장토대위에서이루어질수있다. 이러한창의성연구는창의성의정의, 창의 적과정, 창의적인사람의특징등어느것한가지도명확하게합의를이루지못하고 있는실정이다. 하지만분명한것은어느것한가지에만초점을맞추기보다는창의성 발현이라는불분명한인지적현상을보다포괄적으로수용할필요가있다는점이다. 창의성을확산적사고로만동일시하고그것을가르치고그것을평가하기보다는창의 적문제해결력, 창의적인사람이보이는인지적, 정의적특징에대한연구결과를보 다적극적으로수용할필요가있다. 창의성이발현되는데필요한변인들에대한최근의연구들은창의성과관련된, 인지 적, 동기적, 환경적변인간의조합이중요함을강조한다. 일반적으로이러한제안은 다변량적(multivariate), 성분적(component), 혹은통합적(confluence) 접근이라명명 된다(Weisberg, 2006a). 이는창의성이발현되기위해서는여러요인이서로합쳐져서 수렴적으로기능해야함을의미한다. Amabile(1996) 은사회심리학관점에서창의성에 대한연구를시작하면서, 외부의사회환경적요인들이창의적과정에미치는영향을 폭넓게조사하였다. 그녀는창의성이란영역관련기술, 창의성관련기증, 과제동기 의결과라고주장하면서이세요인들이수렴하여각기다른수준으로형성될때, 창 의성이발현된다고보았다. 그리고 Sternberg와 Lubart(1999) 는여섯가지자원인지 적능력( 지능), 지식, 사고의유형, 성격특성, 동기, 환경이상호작용함으로써창의 성발현에기여한다고주장하였다, 또한 Urban(1995) 은창의성을해결해야하는문제 (problem), 문제를산출물로만들어가는과정(process) 의특징, 창의성을드러내는산 출물(product), 창조적인일에참여하는사람의성격(person), 창의성이나타나기에 필요한외부적환경(environment) 의 4PE 로나타냈다. Urban의 4PE모델은문제와개인 의성격, 창의적과정, 산물그리고환경요인은서로상호작용하여하나로통합된다 는창의성에관한통합적인입장이다. 이와같이창의성에대한통합적접근은창의성을다양한요인들의상호작용적통합 으로개념화하고, 창의성을계발하려면인지적 정의적 환경적측면을고려한다각적노 력이필요함을시사하고있지만, 이제까지이루어진수학적창의성연구들은창의성 발현에요구되는특정한변수특히인지적요인에초점을두고고립적으로연구되고 있다. 따라서학교수학에서의창의성의본질과창의성을계발하기위해서는창의성에 대한통합적접근이필요하다

203 . Ⅳ 우리나라학교수학교육강화방안에의시사점및적용가능성 수학과교육과정수학과교과서수학과교사연수 수학과평가 5. 수학과교수 학습방법

204

205 1. 수학과교육과정 1954년에제1차국가수준의교육과정이고시된이후로우리나라교육과정은여러차 례의개정작업을거쳐많은변화를겪어왔다. 대개 7-8 년주기로새교육과정이공표되었는데이는이데올로기, 세계적교육환경의 변화나컴퓨터시대의도래와같은외부환경변화에능동적으로대처하기위한우리나라 교육당국의의지가표출된것으로평가된다. 학교교육은학문의발전이나세계화등학교교육과관련된시대적변화를외면할수 없고, 이를적절히반영하여새로운학교교육의틀을마련하는것은불가피하며미래지향 적이라고할수있다. 다만, 부분적인변화가아닌근본적인틀을너무자주바꾸는것은 여러측면에서많은부작용을낳을수있다. 한나라의교육과정은그나라국민들이추구하는가치나문화적환경을충분히고려 해야한다. 이러한기본적인요구가수용되지못하면아무리좋은의도로계획된교육과 정이라도실현가능성이낮아질수밖에없다. 학부모들의인식이나교실환경, 교사수급문 제를현실적으로고려하지않았을뿐만아니라, 많은교육당사자들의반대에도불구하고 교육당국에의해밀어붙이기식으로추진된결과, 제대로시행해보지도못하고폐기된수 준별교육과정의사례는이를잘보여준다. 물론 지금까지경험하지못한성취를이루기위해서는누구도시행해보지않은새 로운방법에의해서가능하다 는격언이있지만교육에서개혁적변화를시도하는것은 또다른개혁적변화로이어져이를감당해야하는학생과학부모들을혼란에빠지게할 뿐이다. 이런점을감안하면, 교육과정은학부모들의인식이나교육환경이감당할정도의 한도내에서점진적이고지속적으로개선하는것이가장바람직해보인다. 특히, 우리의 실정을고려하지않은채로외국의사례를무분별하게적용하려는시도는성공가능성이 낮을수밖에없다. 따라서외국의사례를통해많은시사점을얻으려는시도도좋지만인 식적, 문화적환경이다른우리나라에그대로적용하는것은많은무리가따를수밖에없 다. 우리나라교육과관련된독특한문화는대학진학을위한입시제도그리고그와연계된 각급학교의시험제도가교육과정운영을좌우하는것이다. 즉, 아무리좋은교육과정이 라도시험에반영시키지못하면실현가능성이매우낮아진다. 하지만, 형식화된시험을 통해확인할수있는학생들의능력은일부분에지나지않으며, 형식적시험으로측정하 기어려운비형식적추론능력, 수학적표상능력, 수학적으로사고하고비판하는능력 등을측정하기위한노력을게을리해서는안된다. 하지만이런능력을측정하는것은 몇몇평가요소를개발하는것으로가능하지않다. 따라서장기적으로는이런능력이시험 에의해외형적으로드러난능력에못지않게중요하며장기적인수학적성취는이런능력 이균형을이룰때만가능하다는것을인식하게하는것이중요하다

206 이런관점을바탕으로, 각나라의교육과정분석결과를토대로우리나라학교수학교 육강화방안에의시사점을 2011 개정수학과교육과정의강조점을바탕으로제시하면다 음과같다. 이미언급한바와같이, 이들은그동안우리나라시험제도를통해확인하기 어렵지만장기적인수학적성취를위해학교교육에서지속적으로추구해야할방법이라고 판단되는것들이다. 아래에제시한사례들이앞에서조사한외국의교육과정특징부분에 서강조한내용을토대로추출된것은사실이지만특정한나라의교육과정을근거로만해 서제시된것은아니다. 본연구에서문헌을통해다른나라교육과정운영과정을분석 한결과확실하게느낀점은우리가시험을통해확인한것외에학교수학교육에서추구 하는것이많다는것이다. 교육과정이학교교육의방향을제시하는역할을충실히하고자 한다면이런내용에대한언급이반드시필요하다는의미에서대표적인사례들을아래에 제시한다. 가. 수학적창의성발현을돕기위한교육과정운영환경조성 우리나라학생들이수학학습에많은시간을투자하고도수학에대한자신감을갖지 못하는것은미래의수학과교육과정에서반드시해결해야할중요한과제이다. 이러한결 과를초래하는데는여러요인이복합적으로작용했겠지만분명한한가지요인은수학학 습과정에서지나치게효율성이추구되는것이다. 많은학생들과교사들은제한된시간에 가능한한많은문제를푸는것이더이익이라고생각한다. 그래서교사주도형보다시간이 많이걸리는학생주도형학습을꺼리게된다. 학생이한두문제로낑낑거릴시간에해법 을잘알고있는교사가설명하면더많은문제를해결할수있고그과정에서많은시간 을아낄수있다는잘못된믿음을갖게된다. 이러한믿음이만연한교실에서는학생들이 자신의방법을창안하기위한수학적사고를시도하기보다교사가얼마나잘설명해줄것 인지에대한기대감으로자신의권리를쉽게포기한다. 교사들도자신의아이디어를명확 하게표현하지못하고얼버무리는학생들에게시간을할애하는대신에자신의깔끔한설명 이더효율적이라고판단하기쉽다. 수학교실에서일어나는이러한암묵적계약은학생들 로하여금남의이성에의존하는것에대한부끄러움을느끼지못하는불감증을유발하고 그결과는창의성이사라진수동적인수학교육현장만남게된다. 외국의수학과교육과정의특징을살펴보면, 수학적창의성이라는말을직접적으로언 급하지는않았지만, 미국의경우다양한활동이나과제, 놀이를통해수학의핵심내용의 탐구및발견을유도함으로서수학적창의성을이끌어내려는시도들을하고있으며, 싱가 포르의교육목표속에나타나있는 수학의힘과지적호기심, 홍콩의교육과정의목표 중하나인 비판적이고창조적으로생각하는능력함양, 핀란드의 사고기능과방법 이라는내용영역등등에서우회적으로수학적창의성을강조하고있음을확인할수있다. 따라서수학적창의성의발현을돕기위한목적으로아래와같은항목과예시문항들을교

207 육과정문서및교과서에명시할필요가있다. 1) 지적호기심자극할수있는수학과교육과정운영창의적이고능동적인문제해결경험은수학에대한자신감을증진시켜계속해서자신의아이디어를개발하고자하는동기를부여한다. 창의적인아이디어를제시하고평가받는과정에서는정해진해법을암기하면서느끼는무기력함보다는결과에대한호기심으로흥미가지속된다. 학생들의다양한아이디어를평가하기위해서는많은시간이필요하며학생들의아이디어를교사가추구하는학습목표와어떻게연계시킬것인가와관련된어려움이수반될수있다. 최선이아니라도학생들로부터얻어진다양한아이디어를제대로조직하지못하면수업의초점이없다고느껴질수있다. 따라서학생들의지적호기심과흥미를만족시킬수있는교육과정이필요하다. 아래예시문항과같은학생들의창의성을자극할수있는문제들을활용하여교육과정을구성하고, 학생들을지도하는것도하나의예가될수있다. 2) 학습자주도적인분위기형성할수있는수학과교육과정운영 미국의교육과정은학습자가주도적으로탐구하고탐색, 발견하며해결하도록이루어 져있다. 미국교과서에서의활동이나과제, 놀이등은교사나교과서에의해서예시된 다거나문제해결방법이미리해설되는경우는없고, 학습자가스스로탐색하고발견 하는과정이중요시된다. 즉, 활동이나과제, 놀이는학습한내용에대한점검이나단 순적용을위한과정이아니라수학의핵심내용( 개념, 원리, 아이디어등) 의탐구및 발견을위한과정이다. 우리나라교육과정은학습자에게학습할내용을자세히안내하는경향이있다. 학생 들이스스로사고할수있는시간을주지않고풀이과정이나예시를제시하는것은학 생들의창의적인사고를제한할수있고이는현재우리교육과정이추구하는창의중 심교육과정에위배되는것이라할수있다. 있다. 그러므로우리나라교육과정은학생들의탐구및발견을돕는형태로변화될필요가 이를위해교육과정개정시미국의원리및규준을기본으로하는교육과정과 학생들의사고력촉진을돕는다고인정받고있는싱가포르의교과서를참고할필요가 있다. 일상생활맥락에서비롯하여형식화, 일반화, 객관화되는방향으로진행하며반 복적인연습을통한숙달이나암기위주의교육과정은지양되어야한다. 학습자스스로탐색하고발견하는활동을통해수학적창의력및사고력을향상시킬 수있다. 암기나연습이아닌탐구및발견을하는교육과정이운영되면학생들이수업 에참여하는즐거움을느끼고수학학습자체에흥미를갖게된다. 그러나지나치게탐구및발견만을강조하여학습자주도적인수업을진행하면오개 념이형성되거나이런학습방법이잘훈련되지않은학습자들은거부감을느낄수있

208 다. 학생들이올바른방향으로학습할수있도록돕는교사의역할이중요하다. 학습자 위주의탐구및발견학습은시간이오래걸리고학습속도가느려답답하게느껴질수 있으나학습자를믿고꾸준히지도해야한다. 3) 학생들에게흥미와관심을불러일으킬수있는실생활과밀접한수학적활동및문제해결과정에서공학도구활용을강조한수학과교육과정운영수학적창의성신장의또하나의방법으로는학생들에게흥미와관심을불러일으킬수있는교육과정을운영하는것이다. 현재우리나라의수학과교육과정운영실태를보면전통적인강의식수업에의존하는비율이매우높은데반해, 외국의교육과정실태및특징에서도알수있듯이미국, 싱가포르를비롯한많은나라들이학생들의흥미를유발할수있는실생활과관련된내용들을교육과정문서에포함시켜강조하고있음을알수있다. 이는수학과다른교과사이의연계성과도어느정도같은맥락을지니고있는데, 외국의교육과정에서제시한수학교육의방향이나교과서구성방식에비해우리나라교육과정및교과서내용은교과간통합적혹은융합적접근에대한고려가매우약하다. 이는우리나라수학교과서에등장하는대부분의문제들이수학적으로형식화되어있으며, 이로인해학생들이수학과다른교과사이의연계성을깨닫기힘들게하는원인이되고있다. 우리나라수학과교육과정에서수학과의목표를다음과같이제시하고있는것을감안하면이는시급히보완해야할부분이다. 생활주변이나사회및자연현상을수학적으로관찰, 분석, 조직, 표현하는경 험을통하여수학의기본적인기능과개념, 원리, 법칙과이들사이의관계를 이해하는능력을기른다. 하지만교과서의모든내용을융합교과적접근방식으로기술하는것은매우힘들 다. 따라서점진적인보완이필요할것인바, 위의교과목표를달성하기가비교적용 이한함수나통계영역등에서이러한접근을권장할수있을것이다. 또한, 디지털공학시대에부응하여수학교육에서공학의활용을강조하고있는추 세이다. 이는공학을통해보다효율적인학습이가능하기때문이다. 예를들어, 계산 기와컴퓨터는학생들이손으로할수있는것보다더많은예들과표현형태를보여 줌으로써보다쉽게가설을세우고조사할수있도록한다. 다시말해, 학생들이수학 적개념을추상하고, 확장시키는것이공학적도구를통해고양될수있다. 그리고공 학적도구는지필환경에서학생들이직접다루기힘들었던주제들에대한접근을가능 하게한다. 공학도구에대한접근이가능한학생들은큰수가포함된문제를탐구하고 해결할수있으며, 기하소프트웨어를활용하여도형의성질을조사할수도있다. 또 한, 많은자료들을정리하고분석해낼수있으며, 정비례, 반비례그리고기울기의변 화에대한생각을공학도구로표현하고, 물리적인실험을함으로써수학을학습할수

209 있다. 결국, 실생활과관련된내용을교육과정에포함시키게되면, 학생들의손으로표현 해내기힘든경우를종종만나게되므로수학교육에서공학의활용빈도도높아질지 는결과가나타날것이다. 또한공학도구자체가학생들의탐구활동을돕는계기로작 용하여유연하고정교한사고가가능하도록할수있다. 4) 교수 학습자료예시 [ 그림 Ⅳ -1] 수학적창의성신장을위한교수 학습자료 (1) 수학교육에서창의성은중요한목표중의하나이다. 하지만대부분의수학문제들은 문제유형에따라정해진해법을요구하는경우가많아학생들이스스로해결방법을 찾아내기보다는누구에선가배웠던방법을기억해내는것을문제해결의중요한과정 으로인식하고있다. 이처럼기억에의존한문제해결과정에서는학생들의창의성신 장을기대하기어려우며자기주도적문제해결능력을키우는것은더욱더힘든목표 가된다. 하지만위의문제들은학생들에게창의적접근이무엇인지를실감나게보여 줄수있으며, 창의적아이디어에의한결과가얼마나아름다울수있는지를학생스 스로깨달을수있는기회를제공해준다. 또한, 정도의차이만있을뿐누구나자신 의아이디어로스스로산출물을만들어낼수있는환경을제공함으로써동기유발은물

210 론이고자기주도적학습능력을키울수있게한다. [ 그림 Ⅳ-1] 의오른쪽의문제는취업이가능한 2 개의회사가있을때, 어떤회사에 취직하는것이좋은지를묻는문제이다. 이때, A회사에대해서는 7명의직원들의월 급의평균을알려주었고, B회사에대해서는 7명의직원들월급의중앙값을알려주었 다. 학생들은우선평균과중앙값에대한정의를이해하고, 이를통해학생들개개인 의개성에맞게주어진표를채워나갈수있으며, 각각의학생들이채운표들을활용 하여어느기업에취직하는것이더좋은지에대한토론또한가능하다. 주어진문항에대해명확한답이존재하지않으며, 다양한상황이나타날수있어 학생들의지적호기심과흥미를불러일으킬수있고, 이런다양한상황속으로학생스 스로참여시키는것을통해교사가아닌학생들의창의적인생각들이빛을발할수있 을것이다. 이런활동들과문항들은교육과정에서충분히강조하지않고서는이루어질 수없을것이다. 창의성을발휘하며호기심을자극할수있는방법을고안한교육과정 이필요하다. [ 그림 Ⅳ -2] 수학적창의성신장을위한교수 학습자료 (2) 현재학교에서활용되고있는대부분의교과서는수학적개념을정의하기에앞서동 기유발을위해매우간단한상황을제시한다. 그런다음, 형식적인정의와여러수학 적성질들이이어지는데이는개념을추상하기에매우부족한환경이며, 바로

211 Freudenthal 이지적한 반교수학적전도 에해당된다. 이렇게도입된수학적정의나 성질들은학생들에게외워야하는대상으로인식될뿐이며그들이주체적으로조작할 엄두를내지못하게한다. [ 그림 Ⅳ-2] 예시문제는매우쉬운것에서어려운것까지많은규칙들을포함하고 있기때문에어떤수준의학생들도다른사람들에의존하지않고자발적으로학습에 참여할기회를가질수있다. 또한, 찾아낸규칙을기호화하고공식화한다음, 논리 적으로설명해보는과정을통해수학을발견하고만들어가는과정에학생들이주도적 으로참여할기회를보장한다. 뿐만아니라, 이예시에서는인수분해와이항계수, 조 합, 확률, 수열등학교수학에서중요하게취급되는여러수학적개념들이동시에다 뤄지고있으며어떻게연계되는지를실감나게보여준다. 규칙을찾고설명하는과정은 난이도가매우다양해거의모든수준의학생들에게적용가능하고, 학생수준이올라 감에따라반복적으로등장시켜도지루하지않은지적창고와같은역할을할수있 다. [ 그림 Ⅳ -3] 수학적창의성신장을위한교수 학습자료 (3) [ 그림 Ⅳ-3] 예시문제는 2 개의주사위를던졌을때나타나는결과를추측하고, 통 계소프트웨어인 Fathom 을이용하여주사위던지는횟수를크게하였을때, 3가지활동 의결과값을비교할수있도록하는문제이다. 실제로주사위를던졌을때, 1 또는 6 이나오는빈도가낮다는직관으로인해 라고예측하기도하나 3가지활동에대한각각의확률이다를것이 3가지활동에대한결과로서색칠된영역에점들이찍힐확률이 로같음을 Fathom 이라는통계소프트웨어를이용하여학습할수있다. 이는학생스 스로탐구하고자신이가진오개념을스스로발견하며, 오개념을통해 1~6의눈이나 올가능성이모두같다는핵심내용에도달하게할수있으며, 이를통해발생할가능

212 성이같을때의수학적확률로서 이라는수치를학생들에게받아들일수있도록할수있다. 따라서우리나라수학과교육과정은교과서에서이러한내용을충분히구현할수있도록탐구와발견등을통한수학을그리고자발적인참여나창의력및사고력을정의하고그것들을교육과정속에명시해야할필요가있다. [ 그림 Ⅳ -4] 수학적창의성신장을위한교수 학습자료 (4) 지필환경에서는다항식함수의그래프지도과정에서 수학적다양성의원리 를구현 하기힘들다. 하지만, [ 그림 Ⅳ-4] 와같이계산기를활용하면비본질적변수를변화시킨 다양한그래프를그려서비교할수있으며이과정에서다양한함수들에대한그래프의 특성을추상할기회가생긴다. 이는결과로받아들일수밖에없는지필환경의경우와대 별되는것으로학생들이스스로수학적성질을발견해갈수있는기회를갖게한다

213 [ 그림 Ⅳ -5] 수학적창의성신장을위한교수 학습자료 (5) [ 그림 Ⅳ-5] 는학생스스로축구팀의감독이되어축구팀을관리하는과정을줄

214 거리로하는문제중일부이다. 이때, 축구팀에속해있는구성원들이만나게되는 다양한상황들을 Simcalc 소프트웨어를사용하여나타내고, 이를통해수학적으로 얻을수있는내용을학생스스로축구팀감독이라는상황속에서해석하고그내용 을판단할수있도록구성되어있다. 한예로 Clara가달리기를하는상황을 Simcalc 을활용하여그래프로나타내고, 이그래프에서어떤상황이나타나고있는 지, 그렇다면속력이무엇인지에대해생각해보도록유도한다. 그리고계속해서 Fatima 가달리기하는상황을그래프로함께표현하고, 또그안에서얻을수있는수 학적인개념들에대해서생각해보도록유도한다. [ 그림 Ⅳ-5] 와같이개념을확장시키는과정에서적절한공학도구를사용하여 정비례, 반비례그리고기울기의변화에대한생각을표현하고, 이를수학전반으로 확장하면, 학생스스로추상적인수학적개념을구체화할수있어서수학적개념학 습에도움이될수있다. [ 그림 Ⅳ -6] 수학적창의성신장을위한교수 학습자료 (6)

215 교과간융합적접근은교육에서추구해야할이상적인목표임에분명하나현실적으 로구현하기가매우힘들다. 특히, 단일전공자가타교과와의융합을토대로한교수 학습과정을설계하는것은매우어려운일이다. 아이디어를찾기도힘들지만주제가 정해지더라도관련된지식을획득하여효과적으로융합적접근을시도하는것은쉬운 일이아니다. [ 그림 Ⅳ-6] 은 이런어려움을감안한주제로단일전공자가타교과적지 식의부족한부분을테크놀로지의힘으로어떻게보충할수있는지를보여준다. 이러 한예시를통해학생들은수학이타교과와어떻게연계될수있으며실생활속에서등 장한수학적표현을어떻게해석해야하는지를배울수있다. 한나라의교육과정은교과서또는평가와도매우밀접한관련을지니고있다. 특히 교과서에서교육과정에따른내용을충분히구현할수있도록교육과정을제시해야하 나문구만으로는그것들을충분히나타낼수없다. 앞에서보여주는예들을교육과정 에제시하여교육과정에서요구하는수학교육의방향을충분히구현할수있도록하 는것은하나의방법이될수있을것이다. 나. 수학적과정의강화 수학적과정이란, 다양한현상을수학과연결하고다양한상황에서발생하는문제를 해결할때활성화되어야하는수학적능력을의미하며, 수학적문제해결, 수학적추론, 수학적의사소통등을구성요소로포함하는개념으로규정된다. 외국의교육과정에서나 타나는공통적인특징중하나는내용영역에내용주제이외에수학적과정, 활동등의요 소를추가하고있다는것이다. 다시말해, 외국여러나라들의교육과정은수학주제들로 만내용을구성하기보다는수학내용을통해신장될수있는여러가지능력과이를위한 활동들을포함시키고있다 개정수학과교육과정에서는문제해결, 의사소통, 추론을각각하나의조항으로 제시하고있으나, 문제해결과의사소통과추론이교과서나수업에서만족할만한수준으 로구현되고있지못한실정이었다. 이에 2011 년개정수학과교육과정에서는 목표 및 교수학습방법 에서선언적으로제시되고있는 수학적과정 의제측면들을이와 동시에 내용 의진술에보다구체적인성취기준을갖고포함시킴으로써학교수학에서 그리고수학교과서에서수학적과정과관련된제측면들을더욱적극적이고분명하게다 루고자하는의도를가지고있다. 이런의도는수학교육에서바람직한변화이지만, 학교 수준의교육과정에서는구현된경험이전무하여교수 학습환경에서어려움을야기할가능 성도배제할수없다. 따라서보다구체적으로아래와같은항목과예시문항들을교육과 정문서및교과서에명시할필요가있다. 1) 개념학습에기초한문제해결교육을강조하는수학과교육과정운영

216 외국의수학과교육과정운영사례에서도확인했듯이여러나라의교육과정에서공통 적으로강조되고있는것은문제해결교육이다. 하지만, 여기서말하는문제해결교육은 중요한수학적개념들의이해에바탕을둔충분히의미있는문제들을대상으로하고수 학적추론, 의사소통, 수학적연결성등을포함한수학적과정의신장을목표로진행되 어야한다. 이런형태의문제해결교육은개념이해와괴리된채인위적으로구성된문 제에대한전형적인해법을강조하는방식의문제해결교육과는분명히다르다. 여러가 지수학적성질을적절히활용하여문제해결에유용한기본적인기능을익히는것이중 요하지않은것은아니지만수학교실에서이루어지는문제해결과정에서이처럼개념학 습이배제되고알고리듬측면이지나치게강조되는것은바람직하지않다. 더구나스스 로해결한문제해결과정을설명하지못하거나여러가지해법이갖는의미와차이점을 인식하지못한채 답구하기 에여념이없다면수학교육에서추구하는중요한목표에 서벗어날수밖에없다. 문제해결이 80년대이래세계모든나라의수학교육에서지속적으로강조되는것은 문제해결교육이수학적개념, 알고리즘, 추론등수학의제측면을모두포함하고이들 의연계성을분명하게보여주는역할을하기때문이다. 그렇다면, 우리나라도문제에포 함된개념의깊은이해없이 답구하기 에초점을맞춘문제해결보다문제해결을통 해개념이해를깊게하고개념학습을통해관련된문제의구조와의미가파악되도록하 는형식으로문제해결교육방법의변화가필요하며교육과정에서도충분히명시가되어 야한다. 충분한시간을투자하여학생들에게의미있는방식으로수업을진행하여선행 지식과굳건한관계망을형성시킨다면학생들의수학적힘을신장시킬수있다. 굳이현 재와같은세분화된문제에대한분절된해결전략을대량으로취급하지않아도정선된 소수의문제를통해통합적사고를촉진하는문제해결교육이가능하다. 2) 교수 학습자료예시 수학적추론이나수학적의사소통능력은수학교육에서추구해야할중요한목표중 의하나이다. 우리나라교육과정에서는수학적추론이나의사소통의중요성을강조하고 있으나교과서나수학교실에서이들이명시적으로다루어지는사례는극히드물다. 는 수학은답이분명해야하므로상대적인가치나의미를평가하는것은수학이아니 다 는선입견때문에나타나는현상으로풀이된다. [ 그림 Ⅳ-7] 은이러한선입견을반 성할기회를제공하며수학적개념이형식적으로표현된정의만으로는설명될수없는 통합적성격을가졌다는것을여실히보여준다. 초등학교에서는무조건기약분수로표 현하게하고, 소수와분수는항상변환가능하다는수학적상식을반성하게하는이러한 예를통해유리수개념이갖는다양한측면에대해활발한토론이진행될수있다. 이 런과정을통해수학적개념을이해한다는것은그개념이갖는다양한측면을이해하 고그측면들이어떻게연계되는지를설명할수있는것이라는것을학생들에게이해시 킬수있으며이과정에서수학적과정의다양한요소가고루활용될수있다. 이

217 [ 그림 Ⅳ-7] 수학적과정을중시하는교수 학습자료 (1) 우리나라학생들이수학을공부하는과정에서가장중점을두는부분은문제해결이 다. 하지만, 대부분의학생들은문제의답을구하는데무게를두며문제해결과정에서 그문제에포함된수학적개념이나원리를이해하는것에는관심이없다. 이런형태의 문제해결은문제를위한문제풀이에지나지않으며이런문제해결을통해수학적사 고가신장되기를기대하기는매우어렵다. 실제로 [ 그림 Ⅳ-8] 문제를접한학생들은 정답이무엇인지만을가장궁금해했으며자신들이구한답이왜정답이되는지를논 리적으로설명할필요성을느끼지못했다. 이문제는단위의반복으로만들어지는분 수의특성이나자릿값개념에대한이해를필요로하며식을만드는과정을스스로통 제하는메타인지적접근이요구된다. 뿐만아니라, 두자릿수, 세자릿수등동일한 형식으로다양한수준의문제를만들수있다. 이런문제들은외형적형식은같으나 문제해결에필요한전략은일정하지않아일반화되는과정에서많은수학적개념에대 한통합적이해가필요하게된다. 이런형식의과제를통해개념이해를바탕으로문 제를해결한다는것이어떤의미인지를학생들에게보여줄수있으며문제를해결한 후에스스로일반화해서더높은수준의문제를제기하는활동을통해수학의계통적 확장성을인식하게하는데활용할수도있을것이다

218 [ 그림 Ⅳ-8] 수학적과정을중시하는교수 학습자료 (2) 현재많은대학들에서수학논술을통해학생들을선발하고있다. 실제수학논술문 항들을살펴보면기본적인개념학습을전제로다양한상황의문제를어떻게해결해나 가는지를평가한다. [ 그림 Ⅳ-9] 를보더라도고등학교수준의수학지식및그지식을 활용하는능력, 논리적분석력그리고단순히주입식으로수학을학습한것이아니라 스스로문제를해결하는능력및창의적사고력을측정하고자하였다. 이는위에서우 리가주장하는개념학습에기초한문제해결을강조하는교육과정과유사점을가진다. 따라서문제해결을강조한교육과정구현방안의하나로대학입시로서의수학논술이아 니라교과학습으로서의수학논술을초, 중, 고전체학교급의교육과정에스며들게 할필요가있다. 이를통해, 정형화된문제풀이위주의수학교육에서탈피해다양한 사고를통해문제를해결하고또문제를해결하는과정속에서다시금수학적개념을 강화할수있도록학생들을도울수있다

219 [ 그림 Ⅳ-9] 수학적과정을중시하는교수 학습자료 (3) 다. 교육과정의체제에서학년군제를염두해둔학년별제적용 학년군제를활용한교육과정의구성은교육과정분석국가중에서는중국, 핀란드, 미 국 Standard 1989, 2000 의사례에서나타나고, 이외에뉴질랜드, 영국의교육과정에서 도학년군제를채택하고있다. 이러한학년군의도입은교육과정편성 운영의경직성을탈 피하고, 학년간상호연계와협력을가능하게하여, 수업시수가적은교과목의집중이수 를원활하게하는측면이있다. 또한학년군제를실시하는것은학생들의학습수준의차 이를인정하는것이다. 이해가빠른학생들은더많은내용을혹은더깊은내용을학습

220 할수있고, 이해가느린학생들은기본적인내용을집중적으로학습할수있다. 학생들 은자신의흥미나적성을고려하여필요한수학교과를선택할수있으며, 이는학생들의 진로방향과관련된수있다. 또한교육과정에서엄격한학년의구분이없어지고내용이 통합적으로제시되기때문에관련내용들을여러가지방법으로재배치할수있게된다. 그러나교육과정편제에서항상높은비중을차지하는수학은매학년편성될가능성 이높다. 또한학생들의학습수준에맞는수준별학습을위한측면에서볼때도국가수 준의학업성취도평가를실시하므로학년군으로내용을통합하여제시하더라도그학년 에서배워야하는학년별교육과정을따라수업이이루어질가능성이높다. 이에 2011 개정수학과교육과정에서학년군제를염두하고교육과정을구성하되학년 별로해체하는것도가능하게, 즉두가지방식사이에유연성있는변환이가능하게 내 용 의구성을할수도있다. 이런많은긍정적인측면이있음에도불구하고, 학년군제 또는학년별제의취사선택이가능하도록하여학교교육과정에서반영하고자하는의지가 약해질가능성이매우높다. 하여보다효율적인학년군제의정착을위해반드시전제되 어야할사항을외국교육과정의운영사례를통해확인해보았고그결과는다음과같 다. 1) 교육과정내용영역의통합및분리 우리나라의교육과정은학년간구성의연계성을위해하나의주제를지나치게세분 화하여자연스럽게연결되는수학적내용을상이한단원에또는상이한교과서에인위 적으로분리해서다루는경우가많다. 예를들어덧셈은여러학년에걸쳐서한자리수 의덧셈, 한자리수와두자리수의덧셈, 두자리수의덧셈, 받아올림이있는덧셈 과같이지나치게단계가세분화되어있어이미덧셈개념을이해한학생들에게는반 복적인연습이될뿐이다. 중국의예처럼교육과정을보다광역적으로구분하게될경우서로상이한단원의내 용또는상이한학년에서다루어지는내용을같이통합하여수업에활용하기가용이해 질것이다. 인도의예에서도볼수있듯이우리나라에서여러단계에서나누어배우는 내용을한단원에통합하여다루는방법도있다. 인도의고등학교수학은이공계열관 련학습내용을강조하며깊이배우는특징이있고논리적인수학적인절차를매우강 조하며, 증명에대한자세하고구체적인내용을담고있다. 이처럼꼭한가지내용을모든학년에걸쳐서다루는것보다는내용의특성에맞게 구성할필요가있다. 단계적으로지도해야할내용은내용을나누어단계적점진적으로 교육과정을구성하고, 집중적으로지도해야할내용은한단원으로구성하여집중적으 로이수할수있게해야한다. 2) 학습내용을자유롭게구성할수있는교과서 하나의내용을한단원에서학습하면세부적인내용까지깊이있게학습할수있게

221 하며, 단순히계산만하는것이아니라그의미도생각해볼수있는지도가가능하 다. 그렇지만, 한단원에통합하여다루면한번배운내용을오랜기간학습하지않아 쉽게잊어버릴수있다. 또한, 하나의내용영역만집중해서가르치다보면통합적인 내용영역( 예를들면, 기하+ 대수영역) 의지도에있어서한계를드러내기도한다. 반대 로내용영역을매학년마다분리해서지도할경우, 계속적인반복학습으로인해학습 효과가보다오래지속될수있지만, 세부적인내용까지깊이있는학습에는불리함을 지닌다. 현재우리나라교과서를보면자연스럽게연결되는수학적내용을상이한단 원에인위적으로분리해서다루는방식을취하고있는데, 정상적인학년군제의도입을 위해서는결국, 위의두가지방식에서나타나는문제에대한해결책이필요하다. 다 시말해서, 상황에따라, 학생의수준과발달과정에맞도록교육과정및교과서를재 구성할수있어야만학년군제의취지를살린교육과정운영이라고할수있을것이다. 위의문제점을해결하기위해외국의사례( 중국과핀란드) 에서시사점을얻으려는시 도를해보았으나, 교과서출판및검정과정에서우리나라만큼국가의영향력이크게 작용하는나라는거의없었고, 같은맥락에서우리나라보다교사와학교에서의교과서 구성의재량범위가넓다는측면때문인지는몰라도학년군제를효율적으로운영하기 위한교과서구성사례를찾아보기힘들었다. 이에우리나라의실정에맞는그리고위의두가지단점을보완할수있는차선책으 로제안하는하나의예가디지털교과서( 전자책) 이다. 일반교과서와디지털교과서와 의가장큰차이점은연결(Link) 기능과빠른업데이트그리고학생개개인의수준을 고려한맞춤형교과서구성이가능하다는점이다. 우선연결기능을활용하면인터넷 검색을하듯이학습자가원하는학습내용을바로접근할수있다. 결국내용영역별로 연결해서집필된디지털교과서라면통합영역을학습하고자하거나기존에학습한내 용을반복하여학습하고자할때, 해당영역으로쉽게접근가능하여불편함을최소화 할수있으며, 반대의경우도마찬가지로해결가능하다. 또한빠른업데이트가가능하 기때문에개개인이학습한내용을빠르게적용가능하며, 개개인의특성이드러나는 맞춤형교과서구성또한가능하다. 결국수준별학습의측면에서바라보았을때, 디 지털교과서의등장은학년군제와같은보다유연한교육과정운영에많은도움이될 것이다. 라. 수학교과내용양의 20% 경감 수학교과내용의관점에서외국의수학과교육과정을살펴본결과인도의예와같이 우리나라에서배우지않는내용들을인도에서는학습하기도하지만, 반대로우리나라에서 학습하는내용들을인도교육과정에서는다루지않기도하였다. 또한프랑스의경우처럼 배우는내용을비슷하지만배우는학년이다른경우도나타났으며, 호주의경우처럼 사

222 고기능과방법 이라는우리로서는생소한영역을학습하도록하고있어외국사례를통 한수학교과내용양의절대적인비교에서는시사점을얻기힘들었다. 결국, 국내의수학교육의특성과사정을고려하여시사점을도출해보면, 첫째, 학습량 과수업시수가함께줄어드는상황일경우, 절대적인학습량은줄어드는상황이지만 1시 간당의학습량은줄어든다고할수없을것이다. 결국학습량경감의목적이학생들의부 담을줄이는것이라면, 실제로학교수업에서의학생들의부담은그대로거나더늘어날 수있다. 둘째, 2011 개정수학과교육과정에서는기본교육과정이외기초( 기초수학) 및 심화과정( 고급수학Ⅰ Ⅱ) 이함께개발되었는데, 이전에전문교과였던고급수학이심화교과 로바뀌면서일반계고등학교에서도개설이가능하게되었다. 현재고등학교교육과정은 대학입학을간과할수없도록운영되어지고있기때문에결국, 상위권대학을더많은학 생이진학하기를바라는학교의경우고급수학을개설할가능성이높다. 이는학생들의 왕성한지적호기심을충족시킬수있다는측면에서는긍정적이지만, 수학학습량의증가 를불러올수도있는여지를가지고있다 개정수학과교육과정에서강조하는수학적창의성및수학적과정의신장을위 해우리나라의수학교육현실을고려해볼때, 학습량의감축은반드시필요하다. 결국, 학교교육과정에서기존의시간은유지한채학습량을감축하고, 남는시간을통해창의 성과수학적과정을신장시킬수있는활동을투입하는것이바람직할것이다. 또한고급 수학은수학에대한지적호기심이왕성한학생들만을대상으로교수학습활동을진행할수 있도록정책적으로뒷받침되어야할것이다

223 2. 수학과교과서 가. 실생활과의관련성 1) 실생활소재제시 학생들이수학이라는과목을딱딱하고재미없게느끼고, 어려워함에따라, 실제수업 시간에활용되는교과서는좀더쉽고, 간결하며, 흥미를유발할수있는실생활의다 양한소재들이수록될수있도록많은보완이필요하다. 우리나라교과서는일종의공 식을적용하여정형화된문제들을주로다루면서개념의확립을돕는데반해, 핀란드 의교과서는실생활에연관된다양하고흥미로운상황을제시하여문제해결능력증진 과내재적동기를유발하고있다. 또한, 복잡하지만실생활에서접할수있는실제적 수치를사용하여수학과실생활에서의유용성을깨달을수있게끔한다. 호주의경우 실생활과관련된많은사진을수록하고있고, 독일도실생활에서사용하는복잡한수 치를사용하고있으며, 실생활관련단원명을제시하고있다. 미국과싱가포르의경우 도다양한실생활소재와문제상황을포함하고, 실생활관련물음을제시하여동기를 유발하고있으며, 인도의경우는 Historical Note라는코너에서수학자와관련된명언 과수학자의업적, 인도수학의우수성을알리고있었다. 따라서우리나라도개념도 입뿐만아니라문제를제시할때에도학생들이수학에대해흥미와관심을가질수있 도록교과서에실생활관련소재들을많이수록해야한다. 2) 타교과와의연결 대단원마다 1~2 개정도의주제를타교과와연결지어지도함으로써, 수학교과의 중요성을인식시킬수있다. 타학문의연계성을고려하여이것을수학교과에적용함 으로써, 학문으로서의수학에만치중하지않고, 학생들로하여금수학의힘과중요성 을인식시킬수있다. 핀란드교과서에는실생활문제를해결하게하는차시가영역별 2~4 차시정도분량으로제시되어있다. 차시주제어들은관광, 위도와경도, 자동차 경주, 핀란드낮의길이등실생활과밀접한내용들로과학, 기술, 체육등다양한교 과를아우를수있는주제들이다. 별도의차시를마련하는대신이런교과서자료와 정규수업시간을활용한다면보다쉽게타교과와의통합수업을설계할수있을것이 다. 미국의경우역사, 문화, 경제, 사회, 과학적사실을자료화하고있고, 인도는이 공계열관련학습내용을강조하고있다. 또한독일은문화, 예술, 환경, 에너지문제 등과연관된주제로문화적다양성을시도하고있었다. 우리나라는본내용이외의실 생활문제나, 읽을거리, 토론이나추론을유도하는문제들은비중있게다루어지지않 고학습내용과분리되어선택사항처럼제시되어있었다. 따라서교사나학생들이진

224 도상의문제나기출문제와의거리가있다는이유로수업중에서간과하고지나치지 않도록제시하여야한다. 나. 학생들의수학적활동의강화 1) IT 기기를사용한실험활동 미국교과서의기하부분에서수학적활동을중심으로단원을구성하였으며, 단원의 내용과관련있는실생활에서접할수있는질문을제시하여동기부여를하고자하였 고, 컴퓨터나그래픽계산기의활용도가높으며, 직접실습등의실험활동이많이제시 되어있다. 그리고엄밀한증명은최소화하고문제풀이및수학적활동에중점을두고 있다. 손으로계산하기힘든연산들을계산기를이용해서다양한연산과계산을함으로 써계산부담감을줄이고내용에대한적용력을높일수있도록하고있다. 또한, 탐구 활동이나교구학습과같은활동에서는컴퓨터를사용해서그래프를그리거나방정식의 해를찾는등다양한활동을선보임으로써학생들에게흥미와관심을줄수있으며, 학 생들의적극적인수업에의참여를유도하였다. 싱가포르교과서에도계산기사용을권장하고, 실생활수치를제시하였으며, 거의 모든단원에계산기를사용하고있었다. 핀란드의경우도계산기를사용하여학습부담 을경감시키고, 특히, 낮은성취도학생들을위한배려로계산기이용을적극권장하였 으며, 호주에서도마찬가지로스프레드시트나그래픽계산기이용을권장하고있었다. 이처럼한국의교과서에도계산기의사용을적극권장하도록구성할필요가있다. 7 차교육과정부터계산기및공학소프트웨어의사용을강조하면서교과서에서도계산기 와공학소프트웨어를이용한문제나활동들이점차늘어가는추세이지만실제현장수 업에서는그이용도가낮고계산기, 공학소프트웨어의사용은제한적이며형식적인점 을보완해야할것이다. 2) 학습용소프트웨어제공 핀란드는다양한학습도구중학습용 CD 를별도로제공하여, 게임을통해개념이 해및확인을위한반복연습을할수있는기회를제공한다. 우리나라에서는학생이 소프트웨어를직접구입하거나교사가수업시간에제공하는것이아니고서는접할기 회가없는반면에핀란드는학습용소프트웨어를모든학생들에게제공하여, 정보화 사회에걸맞은교육환경을제공하고있다. 프랑스도연산훈련을위한컴퓨터학습프 로그램을개발하여배포하며, 정보통신신기술을적극도입하고있다. 또한호주에서 는상세한증명이나계산기사용법등을 HOT-PINK 로연결하여 CD-ROM 과연결하여제 공한다. 우리나라도학생들의학습용소프트웨어를개발하여학생들의수학적인활동 을유도할수있는노력이필요하다

225 다. 스토리텔링(story-telling) 형교과서도입 각나라마다지향하는목표는한결같다. 갈수록복잡하고다양해지고있는수학교과과정을실생활과연결시켜교과과정을학생들이알기쉽게풀어가자는것이다. 늘어나는수학포기자들을수학의세계로다시불러와재미있는수학, 쓸모있는수학을함께해보자는것이각국정부의의도라고할수있다. 1) 스토리텔링형교과서개발 문제풀이를위한수학공식의암기위주학습을배제하고, 수학기본개념, 원리이해 에초점을맞춘교육을하며수학교육을정치, 경제, 음악, 미술등다른과목들과연 계하여야한다. 또한일방적인주입식교육이아닌학생들이교육과정에직접참여할 수있는교육을하기위해요약된설명과공식, 문제위주로되어있는기존교과서에 수학적의미, 역사적맥락및실생활사례등을연결해스토리텔링방식의재미있는교 과서를제작하고체험, 탐구활동을장려하는방안이요구된다. 싱가포르는 1995년 이후국제평가협회 (International Association for the Evaluation of Educational Achievement) 가실시한수학, 과학성취도추이변화국제비교연구연구(TIMSS) 에서 우수한성적을보이고있는데, 다양한소재나읽을거리들을제공하고있다. 실제로교과서를살펴보면학생들의흥미를이끌만한 [ 그림 Ⅳ-10] 은초등학교 2 학년교과서의테마페이지를나타내고있는데, 활용가 능한많은수학적활동들이있고, 교사의역량에따라단원전체의흐름을이야기로연 결하여스토리텔링으로이어갈수있는좋은매개체가될수있다. [ 그림 Ⅳ-11] 은각 단원의앞부분을이야기로이끌어나갈수있는내용의삽화로시작하고있는것을보여 주고있으며, [ 그림 Ⅳ-12] 는처음의테마페이지그림을이용한문제풀이공간으로단 원의처음부터끝의이야기를정리할수있는페이지이다. [ 그림 Ⅳ-10] 이야기가담긴테마페이지

226 [ 그림 Ⅳ-11] 이야기로시작하는교과서 [ 그림 Ⅳ-12] 테마페이지이야기로단원정리 싱가포르중학교 1학년교과서에서도스토리텔링방식으로전개된부분을찾아볼수 있었다. [ 그림 Ⅳ-13] 은캐릭터가등장하여필요한부분을말풍선을이용하여대화체 형식으로설명함으로써학생들이마치만화를보는것처럼흥미롭게읽을수있도록 한도입의예이다. 상황들중간에도입에나왔던캐릭터들이단원이전개됨에따라뒤 에서도등장하여부분적으로필요한설명을해주기도하고학생들이생각해봐야할내 용들을제시해주고있으며, 교과서의좌측, 우측여백에도흥미로운이야깃거리들이 많이수록되어있다([ 그림 Ⅳ-14]). [ 그림 Ⅳ-13] 캐릭터의이야기로시작하는교과서도입의예

227 [ 그림 Ⅳ-14] 학습을보조하는캐릭터활용의예 또한, 미국은주제가있는이야기를풀어놓은듯교과서를구성하였으며, 토론을통 한수학학습을유도하고있다. 인도는수학자와수학사의소개를통하여수학에관심 을가질수있도록하고, 프랑스는체스, 카드게임, 건설게임등으로수학규칙에 대한학습동기를유발하고있었다. 따라서우리나라도스토리텔링형교과서를구현하여학생들의흥미를이끌어내야한 다. 예를들어, 덧셈, 뺄셈의발달과정, 고대그리스사모스섬터널은어떻게뚫었을 까, 오일러보다앞선조선시대영의정최석정의조합론등과같은수학사와관련된내 용과정수론의재발견, 미적분의활용예, 스마트폰과수학과같은실생활과관련된 내용을첨가하고, 소수역사와암호의등장, 게임이론과경제학의발전등과같은내 용들을수록할수있을것이다. 이런내용들을포함해학생들이공감할수있는재미 있는이야깃거리들로교과서를구성한다면학생들의흥미를유발하고수학에대한긍 정적인이미지를형성하는데도움이될수있을것이다. 2) 수학학습을돕는웹사이트개발 모든내용을교과서에수록할경우오히려내용이왜곡될가능성이있다. 학생들의 자율학습을돕고학습속도및개별화학습이가능하게할수있는수학웹사이트 ( 를활용하는영국처럼교과서에모든내용을다싣기보다 교사와학생을위한사이트를운영하는방안을생각해보고관련기관에서자료를축 적하고관리하여제공하는방법도모색해볼필요가있다. 그리고다양한콘텐츠도개 발하여학생들이수업중에놓친부분을스스로보충학습할수있도록수준별로내용 을정리한콘텐츠들을모은사이트를개설하고, 스마트폰, 태블릿PC 등휴대용기기와 연계하여학생들의자기주도학습을확대하여야한다

228 3. 수학과교사연수 가. 연수참여율을높일수있는방안 1) 접근방법의개선 우리나라는현재비교적질좋은연수도사적으로많이열리고있는실정이지만수학 교사가알지못하여참여하지못하는경우도많다. 따라서교사들의연수의접근을쉽 게할필요가있다. 싱가포르의경우교육부와 NIE는교사들이자신의경력과수준을 고려하여어떠한연수를받을지에대한도움을받을수있는로드맵을만들어학교에 보급하고있다. 또한, 네덜란드의경우수학교사연수만한화면에서분류되어제시되어 검색이쉽게되어있다. 두나라의이러한제도를받아들인다면현재산발적으로흩어 진연수들을하나로모아경력과필요에따른연수관련로드맵을교사들에게제공하고 기존의교육자료탑재사이트들을활용하여하나의화면에서한번에서접근할수있도 록고안할필요가있다. 2) 연수참여여건조성 현재우리나라중등학교교사들의대부분은방과후학교수업및행정업무등의과중 한업무때문에연수에참여를하지못하고있다. 방과후학교수업은사교육방지라 는명목하에형식적으로만진행되고있는경우가많다. 이로인해그동안진행되어 온방과후학교수업은정상적으로이루어지지않았으며, 교사와학생모두수업에대 한만족도를낮게평가하고있다. 이를극복하기위해예비교사들의봉사활동시간의 증대를통해멘토링수업을활용한다면학생들의자율성향상에도기여를할수있을 것이다. 이것은결국싱가포르의 12 주의학교실습, 프랑스의 1학년의학교현장중심의 연수와 2학년의실습교사로서의연수기간에비해현저하게부족한우리나라예비교사 의학교현장연수의부족한면을보완할수있는방법이된다. 또한, 싱가포르처럼현 장에서제공하는실제적정보와통계자료에근거하여, 교사부족에적극대응할수 있도록하면교사들의업무부담이줄어들것으로여겨진다. 또한, 핀란드의경우처럼 근무시간과학기중에도연수에참여할수있도록학교와지방정부에서제도적으로보 장과지원을해준다면교사들의연수참여에대한부담이완화될수있을것이다. 또한연수이후의처우에대한고려가연수참여를높일수있을것이다. 핀란드는 연수이수실적을학교급간이동을위한조건으로내세우고있다. 이방안은우리나라 중등교육에서중학교와고등학교가하나로묶여있어중학교교사가고등학교로이동하 거나고등학교교사가중학교로이동하는경우수업및행정업무를수행할때시행착 오등의어려움을겪는다. 이로인한학생들의피해를연수를통한준비로완화시켜주

229 는역할도할수있다. 미국의경우연수이수시간을바탕으로교원자격증을 5년마다 갱신하고있으며중국의중등학교에서는고등기관인대학과비슷하게교사의단계를 두고, 연수후전문적인지위향상을꾀하고있다. 이를통하여, 연수를받은교사의 위상및연봉도높아지며, 연수에대한포상도이루어지고있다. 연수의종류를구분 하고, 교사의수업전문성에단계를두어일정연수시간을이수하면단계별전문적인 지위향상을할수있는체계를마련할수있다. 또한, 연수후평가를필기시험에만 그치지말고실제수업상황에대한엄밀하고공증된평가기준에의한다각도적인평 가를실시한후, 연수후교사단계를나누어수업전문교사의단계를새로마련할필 요가요구된다. 수석교사제도를개선하여교장과별개인국가단위의관리하에가 까운시, 도를묶어서이인력을관리및활용한다면, 보다큰시너지효과를얻을수 있겠다. 다음으로연수비에대해살펴보면핀란드의경우지방정부가연수비를제공하고, 중 국의경우교사교육을위한모든비용을중앙정부가유치하고있다. 싱가포르는학교 가교내교사발달프로그램실행을위한자산을갖고있다. 그러나우리나라의경우 제한된금액까지만교사연수를지원하고있는데다른나라에비추어열의가있는교사 의부담을줄이기위해전액지원으로돌리는방안도검토해볼만하다. 나. 연수내용의개선 교사의질을향상시키는것이공교육향상을위한가장중요한방법이다 (Judith, 2007). 이금선(2005) 은유능한교사는끊임없이자기연찬을수행하여야한다고하였다. 끊임없는자기연찬을위하여시설이나친절도가아닌실질적인교사연수의질을높일필 요가있다. 현재교육기관에서의연수는몇몇이례적으로잘된경우를제외하고는여러 가지아쉬운점을보이고있다. 수학교사연수중, 가장대표적인 1급정교사연수를살 펴보면우리나라연수의현재상황에대한깊은반성을해볼수있겠다. 1) 선택과집중 1 급정교사연수와같은국가기관의연수에서나타나는특징인다양한주제를짧은 시간에가볍게보고지나가는것에대한개선이요구된다. 이것은짧은시간에많은 것을배우게하려는좋은의도에의한연수프로그램에서시작되었다고볼수있으나, 많은내용을급히배운교사는연수후에하나도남는것이없는상황을경험하게되 어자아효능감이더욱떨어지는부작용을낳게된다. 그래서선택과집중에의한연수 프로그램을계획해야할필요성이요구된다. 네덜란드의경우교사교육자와수학교사 를위한 1년에걸친연수과정이있으며호주의경우에는 6개월간정규프로그램과 1년 간원격교재를통해재교육, 온라인교육, 토론, 분기별출석을통해관련과정을이

230 수하는장기간연수가이루어지고있다. 핀란드는학기중에주말이나저녁에집중이수제로연수를받을수있게하고있다. 예전에우리나라에서이루어졌던영재교사연수의형태나소규모로이루어지는하나또는두가지주제로긴시간에걸쳐이루어지는연수를참고하여연수기간을늘리거나좀더필수인것들로내용을추려서꼭필요한내용들을깊이있게배울수있도록개선할필요가있다. 또한현재국내에서이미교사의전문성을위해시행되고있는안식년제를활용하여장기간집중적으로수업전문성을신장할수있는구체적인방안을마련하는연구가이루어질필요가있다. 2) 수학내용학과수학교육학의융합 연수는결국현장에적용하기위한것이기에수학내용학만을다루는연수는큰의 미가없다. 새로운공학내용도교수법도아닌단순한내용학만을다시한번다루는 것은큰의미가없다. 우리나라중등학교의경우, 예비교사교육시기에수학과에서배 우는만큼의내용학에대한깊은공부를하고있다. 그래서교사임용고사를마치고 학교현장에나왔을때교사는대학교에서배우는내용학과실제수업을유의미하게연 결시키지못하고별개로생각하게된다. 상대적으로우리나라는내용학을더비중있 게다루는경향이있다. 실습도대학원 2년차과정이든대학교 4학년과정이든 2주의 실습기간이전부인데반해싱가포르의경우 육과정의 1/3 을현장실습에두고있다. 12주간실습을하고프랑스의경우전교 예로제시된각국가의연수내용을자세히살펴보면내용학보다는교과교육학내용 이대부분인것을알수있다. 싱가포르의경우대학수학내용을다루고있긴하지만 모두학교내용과깊이연관된것들이다. 그러나교과내용학만더비중있게다루어 져서는안된다. 모든교수법은교사가내용학에대한전문가일때, 제대로효과를 발휘할수있다. 예를들어발문을하는경우에정교화기법전략을쓰려고한다면교 사가그내용에대해서학생들보다더높은내용학적지식을알고있어야한다. 다만, 둘사이에연결이있어야실제수업에서도적용이가능하고수업을수학적으로풍부하 게만들수있다. 싱가포르에서는교사의수학내용지식에대한부족함이이슈가되 어예비교사교육프로그램에서부터 수학교과지식교육과정 을다루는것으로이 슈에대응하고있다. 그러므로우리는어느한쪽만강조할것이아니라둘사이의 융합이적절히이루어진실질적인연수프로그램마련을해야한다. 한강사가둘사 이의융합에대하여충분한연구를한상태라면가장좋지만, 그러한강사가없다면 내용학을학습한후에교육과정의어느부분과연결이되었는지, 어떤상태로연결이 되어야하는지에대한교사들간의토의, 수업에의적용, 그후의피드백까지이루어 진다면융합이이루어질수있다. 이것은우리나라교사들이내용학과교육학을연결 할연구의시간에대해부족함을느끼는만큼매우필요한연수의과정이다. 또한내 용학과교육학의전문가가팀을이루어연수프로그램을만들어연수할수있도록국 가적인지원과차후연구가이루어져야할것이다

231 3) 연수기관과강사의관리 수학교수 학습분야의연구와수학교사의재교육과관련하여영국은 West Sussex Institute, 싱가포르는 AME가 NIE에서네덜란드는대학과합동하여프로이덴탈연구소 가있다. 반면, 국내에는수학교육에대한연구와연계한핵심역할을하는재교육기관 이없다. 다만연수기관에서수학에관련한연수도하거나자생적인모임이있을뿐이 다. 교사교육의최고전문가는교사양성대학들이다. 우리는이러한훌륭한자원을 활용할필요가있겠다. 교사교육을예비교육과재교육을별개로생각하지않고핀란 드의경우처럼일직선상에놓고대학을중심으로교사연수에대한연수가이루어지도 록한다면각교사개인적으로도예비교사시기부터현직교사기간의긴시간동안일 관성있게전문성을키우기위한일관된노력을할수있을것이다. 더불어이대학들 을기반으로지방마다활성화되어있는교과연구회의뛰어난교사들을활용하여인력 풀을구축할필요가있다. 네덜란드의경우수학교사와전문가들을위한교육활동과 해마다실행을하여서, 조정및다른주제로강좌를개설하고정기적인세미나를개최 하고있다. 그러나우리나라는교사와전문가들이함께연구하지못하고있으며, 석 박 사이상의교육관련학회와교사들이주관하는연구회의수학페스티벌이효율적으로 융합되지못하고있는실정이다. 이론과실제의강사들이함께모여연구를하고그것 을교사교육에연결시키는것이바람직하다. 실제로네덜란드의프로이덴탈연구소는 매번새로운이론을개발하고, 바로현장적용이이루어지며이것에관한세미나와강 좌가이루어지고있다. 이를위한방안으로, 연수강사가교사인경우, 중국처럼봉급 이나승진에관련된인센티브를제공할필요가있고, 더불어다른업무의경감을통하 여제대로된교사재교육을할수있는여건의마련을장려할필요가있겠다. 강사의 관리측면을보면강사의질개선을위하여네덜란드의경우처럼교사교육강사를위 한연수나교육이보완되어야한다. 독일의경우교사연수전에프로그램에대한요 구를미리설문조사형태로반영하여연수를실시하고있다. 핀란드는수준에따른다 양한과정이존재하여본인의수준에맞추어연수프로그램을선택하며, 매수업후의 소규모그룹토론을통해개별적으로자신의수업에적용해볼수있는구체적인대안 까지마련해서연수를마무리할수있게한다. 또한국가수준에서연수요원의교육 수준과연수운영에필요한자원의제공여부등을정하여제시하고있다. 교원연수의 질을교원개인에대한평가가아닌연수기관에대한평가를통해보장하고있어평가 결과를다음연수운영에반영하여개선하는데활용되어연수의질과교사만족도가 높다. 국내에서도연수기관에대한평가를강화하고교사의요구를빠르게반영하여 개선해나간다면현장에서실질적으로필요한내용의연수를꾸릴수있어교사의전문 성강화에큰도움이될것으로사료된다

232 다. 초등수학교육연수강화 1) 초등수학교사만을위한연수개설 대부분의나라들이초등교사의교과전문성에대해고민을하고있다. 그래서교사 연수에서초등관련연수가많이개설되고있는편이다. 싱가포르는 AME에의한 MTC 에서초등수학교사만을위한섹션이개설되었으며네덜란드는초등수학교사들만대상 으로정해진 NRI 나맞춤교육과같은연수들을개설하고있다. 프랑스는초등수학교사 들이대부분자연계열출신이아니어서, 초등수학교사들을대상으로한연수를두배 로하고있다고한다. 자연계열출신이아니라는면에서는프랑스와비슷하지만우리 나라에는초등수학과관련된연수가거의없다. 특히, 조사대상교육청연수는 98개 중초등수학관련연수는영재관련연수하나뿐이고, 교사들이모여서하는연수도초 등수학에관련된연수는찾아보기힘들다. 중등학교에서학생들의수학에대한자세 는초등학교에서이미다져졌고, 이렇게다져진것을중등학교에서바꾸는데큰어려 움이있다고한다. 이처럼초등학교수학교육이중요한데, 이를담당하는초등수학관 련연수가없다는것은매우심각한일이다. 연수실태조사에의하면초등수학연수를 듣지못하는이유는 53.1% 가개설된연수강좌가없어서, 16.9% 도현장에서필요한내 용이아니기때문에연수를듣지않는다고한다. 이를위해우리는초등수학연수프 로그램을확충해야할필요가요구된다. 2) 초등학교수학관련연수의의무화 프랑스의경우초등수학교육전문가를교사중에서제시하기위해서는이론및실 기시험을통과해야만한다고한다. 또한, 중국에서는초등교사를위한특별프로그 램및특별강의에의무적으로참여해야한다고한다. 더욱이, 연수는신문및논문을 연구하는형태의연수와교수경험을서로교환하면서전문성을높인다고한다. 우리나라초등학교에서는연구수업때가장강조하는것을그시간내에목표달성이 라는평가요소로이에가장좋은교과가수학이라는이유로수학을연구수업에자주 활용한다고한다. 현재 그렇지만연구수업의수학수업에서중요시하는능력을개발할수 있는좋은형태의수업은찾아보기어렵다고한다. 그리고가끔수학관련연수가있 어도흥미로운음악, 미술관련연수를더선호하다보니, 수학교육연수가제대로이 루어지지않는다고한다. 이를위해수학교육에대한연수의의무화를정책적으로시 행할필요가있다

233 4. 수학과평가 가. 서술형주관식평가활성화 2009 개정수학과교육과정에서는 선택형위주의평가 를지양하고 서술형평 가 를비롯한다양한평가방법을활용하여학생들의수학학습에대한종합적인평가가 이루어질수있게한다고명시하고있지만채점및평가결과에대한객관성확보의어 려움으로현장에서잘이루어지지않고있다. 하지만암기하고계산하는수학에서문제 를해결하는수학교육을위해주관식평가만을고집하는나라들이있었다. 독일학교에서는 100% 주관식문제로만수학시험문제가출제되며 10점만점중정답 이틀리면 2 점만감점되지만, 정답이맞아도과정이틀리면 8 점이감점된다. 핀란드수 학시험에서도객관식이전혀없다. 단답식문제를빼고는풀이과정을고려하여부분점 수를준다. 호주의 HSC도가장낮은수준의수학시험만빼고는모두주관식으로만출제 되고있다. 하지만모든학생들에게주관식평가문제를출제하기보다학생의성취도에따라서객 관식평가문제의비중을높일수도있고주관식도단답형보다서술형문제를더많이출 제할수있음을고려할필요가있다. [ 그림 Ⅳ-15] 서술형주관식평가의예 서술형주관식의중요성을알지만많이실천되지못하는가장큰원인은채점의어려 움이다. 채점하는데시간이많이걸리는문제뿐만아니라채점결과를신뢰하기힘들다 는것도문제다. 주관식으로수학평가를하는대표적인핀란드, 독일, 호주의사례를통해서술형주 관식평가의객관성및신뢰성확보방안을살펴보았다

234 1) 평가지신뢰도높이기 학생들을평가하는평가지가얼마나공들여서신뢰롭게만들어졌는지학생과학부모 들로부터믿음을주어야한다. 하지만평가를준비하고피드백을주는시스템을일시적 으로운영하는현재의시스템으로는과거의평가에대한개선및앞으로의시험준비 시간등이부족하다. 또한평가를실시하여학생들의성적표를일방적으로제공하는것 으로끝나는것이아니라학생들의의견도들을수있는통로가필요하다. 따라서상시 적으로평가전담기관을운영할필요가있으며이와관련된정보에쉽게접근할수있 도록전담홈페이지개설이필요하다. 호주의전국학력평가(NAPLAN) 와고등학교졸업시험(HSC), 핀란드의대학입학자격 시험의경우각시험을담당하는기관이따로있으며호주 HSC, 핀란드의 Matriculation, 호주전국학력평가 NAPLAN 은홈페이지가따로개설되어있다. 홈페이 지정보를통해시험의수준및내용, 시험일정등을파악하고기출문제및채점기준 표를확인할수있다. 더불어학생개개인이로그인하여시험을준비하고그결과를확 인할수있도록하고있으며부모들을위한페이지도구성하여시험에대한안내를자 세히하고있다. [ 그림 Ⅳ-16] 평가전용홈페이지의예 2) 채점자신뢰도높이기 서술형평가지에대한신뢰도가높아도누가채점하는가에따라평가의객관성및신 뢰도가좌우될수있다. 미국정부에서미국전역에실시하는유일한평가제도인국가교육향상평가(NAEP) 에 서의서술형주관식채점은답안을스캔하여컴퓨터파일로보관하고트레이닝받은채 점자가 0~4 점에해당되는채점표를바탕으로채점하도록하고있다. 또한미국의학교 현장에서이루어지는평가에서하나의평가지를세명의채점자가채점하도록하여평

235 가의신뢰도를높인사례가있었다. 즉평가전문성을갖춘한명의채점자에의한채점과다수의채점자에의한채점을통해평가의신뢰성을높일수있다. 하지만어떤방법이든기본적으로채점자가평가전문성을갖추어야한다. 3) 채점방법신뢰도높이기 평가지와채점자의신뢰성뿐만아니라채점방법에대한신뢰성도갖추어야한다. 미국국가교육향상평가(NAEP) 뿐만아니라학교현장의평가지를보면채점기준표가 명확하게제시되어있다. 평가를통해무엇을확인하고싶은지그기준을명확하게하 고있는것이다. 예를들어미국의학교평가사례에서드러난채점기준표에의하면 학생이개념적이해를하고있는가, 문제해결전략을선택하여잘수행하는가, 자신의 생각을정당화하기위한근거를제시하는가, 해결과정에서그림, 상징, 언어들을사용 하는가, 답과과정이정확한가등을보기위한채점기준을마련하고있다. 그동안 학생이문제를잘해결하고있는가, 얼마나알고있는가 만을확인하기위 한채점은정답인지를체크하는결과중심의평가였다면이젠과정을평가할수있는구 체적인채점기준마련이필요하다. 하지만너무세부적인채점기준으로인해학생들의 창의적이고다양한사고를고취하기보다오히려불필요하게과정만을포장하는사례가 발생하지않도록유의해야한다. [ 그림 Ⅳ-17] 서술형주관식문제와채점기준표의예

236 나. 도구를활용한평가 1) 계산기활용 올해 2 월에발표한 공교육강화- 사교육경감선순환방안( 시안) 에서는고등학교 수학평가에전자계산기사용허용검토를위한정책연구추진이있었지만 5월에발표 된 공교육강화- 사교육경감선순환방안 에서는빠졌다. 핀란드에서는내년도대입 시험에서계산기가도입됨에따라핀란드수학교사협회는수학시험에서계산기활용능 력을평가하게될것을우려하고있다고한다. 그러나주관식으로수학시험문제를출제하고있는호주, 독일, 핀란드의경우, 현 재핀란드를제외한나머지두나라에서계산기를허용하고있으며내년에는핀란드에 서도수학평가에계산기가허용된다. 호주의전국학력평가 NAPLAN에서는 7, 9학년에선 계산기를허용하는시험과그렇지않은시험으로구분하고있으며고등학교졸업시험인 HSC 에서는계산기를전면허용하고있다. 주관식평가만하는것으로알려진독일의아 비투어에서도계산기를허용하고있다. 하지만모든학교급에서평가에계산기를활용하는것은아니었다. 싱가포르에서는 초등학교는부분적으로중학교부터는전면허용하고있었다. 호주에서는초등학교에서 는사용하지않고중학교에서부분적으로허용, 고등학교졸업시험에서는전면허용하고 있었다. 수학문제해결과정에주목하기위해서계산기허용을통제할필요는없다. 두가지를고려할필요가있다. 하지만 첫째, 평가에서의계산기를허용하는나라들은선다형객관식문제로평가하지않는 다는것이다. 주관식서술형평가와계산기도입이함께이루어져야한다. 둘째, 평가에서의계산기를허용하는나라들모두중학교이상에서부분적으로, 고등 학교졸업및대학입학시험에서전면허용되고있다는점에서도입시기에대한연구 가필요하다. 그밖에계산기도입으로인해계산기활용능력에따른수학성취도의차이가나는문 제, 계산기관련시장의확대문제등을다각적으로고려하여신중한도입이필요하다. [ 그림 Ⅳ-18] 계산기가허용되는수학평가지일부

237 2) 수학공식집제공 독일의중앙아비투어와호주의 HSC, 싱가포르의 GCE O레벨평가에수학공식집이제 공된다. 계산기가계산하는과정이아닌문제해결과정에집중하도록도와주는수단이 라면수학공식집은암기하는수학이아니라공식을이해하고적용및응용하는것에 집중하도록도와주는수단이될수있다. 따라서평가문항이주관식서술형이거나고 등사고능력을평가하는문항, 대학입시평가문항등에서제공된다. 그러나수학공식집이평가에제공됨에따라서수학공식을가볍게여겨공부하지않 아도된다는학습분위기가조성되지않도록주의할필요가있다. [ 그림 Ⅳ-19] 호주 HSC에서제공되는수학공식집일부 다. 정의적영역평가정의적영역의평가는일반적으로평소수업시간에학생의관찰및면담을통해서이루어지는것이일반적인데, 시간의부족및객관적인평가의어려움으로그동안현장에서잘이루어지지않았다. 1) 인지적평가결과에 1점을더하거나빼기 정의적영역의평가사례를찾기는매우어렵다. 시험성적이 7점이더라도수업시간의 모습을반영하여 8점으로올라갈수도있고반대로점수가깎여 6점이되는핀란드사 례를통해정의적영역의평가모습을살펴볼수있었다. 즉핀란드의경우정의적영 역의평가를인지적영역의평가결과에부수적으로 었다. 1점을더하거나빼서평가하고있 정의적영역의평가를통해학생들에게얼마나많이알고있는가하는것보다수학을 학습하는태도도중요하다는것을알게할수있다. 이러한평가가가능하기위해서는평가에대한교사의자율권을인정함과동시에교 사의평가전문성을갖추도록연수가뒷받침될필요가있다

238 라. 수준별평가 1) 문제유형과배점비율차이를통한수준별평가지구성 2014학년도대학수학능력시험에서수학은 A형과 B 형의수준별평가가이루어진다. 이전에가형과나형으로이루어진것과차이는거의없다. 출제범위에서차이가난다. 평가지는출제범위가넓다. 우리나라의수준별평가는 즉수준이낮은평가지에는출제범위가좁고수준이높은 싱가포르의초등졸업시험(PLSE) 과중등졸업시험(GCE O레벨과 GCE N 레벨), 호주HSC, 핀란드의대학입학자격시험의수학과평가는수준별로 2종류혹은 4종류로나누어져있 다. 수준별평가지는다음의사항에서차이가났다. 첫째, 문제유형. 싱가포르의경우선다형, 단답형, 구조화된문제는공통으로출제 되나수준이높은시험지에는서술형문제가포함된다. 핀란드의경우수준이낮은시 험지는무엇인가, 얼마인가와같은문제유형이많은반면, 수준이높은시험지는조사 해라, 증명해라, 보여라와같은문제유형이많았다. 호주의경우가장수준이낮은일 반수학에서만선다형문제와주관식문제가함께출제되고나머지세종류의시험지는 주관식으로만출제된다. 둘째, 배점비율. 싱가포르의경우수준이낮은시험에선단답형의배점비율이가장 높고수준이높은시험에선구조화된문제와서술형문제의배점비율이가장높았다. 셋째, 수학공식집제공. 싱가포르의중등졸업시험에서수준이높은시험에서만수학 공식집이제공된다. 넷째, 시험시간. 싱가포르의초등졸업시험(PLSE) 에선수준이높은시간이 15 분, 중 등졸업시험에서는 30 분더길게주어진다. [ 그림 Ⅳ-20] 호주 HSC의난이도에따른 4종류의수학평가지

239 5. 수학과교수 학습방법 평범한사고관점 에서수학적창의성은수학적문제를창의적으로해결하는능력으 로보았으며, 이를위해서는충분한지식이있어야하며, 그러한지식을새로운상황에전 이할수있어야한다. 따라서학생들의창의성을신장시키기위해특별한교수방법에귀 기울이기보다는현재학생들이학습하는지식을어떻게가르칠것인가에초점을둘필요 가있다. 최근에창의성발현에서개념적지식의중요성에대한실증적연구가수행되었다. 예컨 대, 과학교육분야에서 Jarvis(2009) 는확산적사고, 과학적지식, 지능을예측변인으로, 과학적창의성을준거변인으로하여회귀분석을실시하였다. 분석결과창의적인아이디 어생성에가장큰영향을주는요인은과학적지식이었다. 이연구가주는시사점은학 생들의창의적문제해결력을가장강력하게설명해주는인지적변인은확산적사고나지 능이아니라영역- 특수적지식이라는점이다. 수학교육분야의연구에서(Mann, 2005) 도 수학적지식은수학적창의성에대한강력한예측변인중하나라는사실을밝혔다. 따라 서위두연구는특정영역에서창의적으로문제를해결하기위해서는지식의습득이선결 요건이라는점을입증한다. 수학교육에서창의성을문제해결로간주할때그러한교수학습의핵심은결국교육과 정에제시된 개념, 원리, 절차등을어떻게가르칠것인가 의문제로귀착시킬수있다. 창의적아이디어를생성하기위해서학생들은많은지식을습득할필요가있다. 하지만 많은지식의습득만으로는충분치않다. 습득한지식이새로운문제를해결하는데적용되 지못한다면그것은비활성의(inert) 화석과도같은것이다. 즉장기기억에저장된지식은 이용가능(available) 하지만, 학습자가그것의존재를인식하지못해접근할(accessible) 수 없다면인출도조직화도할수없기때문이다. 그렇다면접근가능한지식의특징은어떠해야하는가? 은지식은네트워크구조로이루어져있다고가정한다(Reed, 2006). 인지심리학자들은접근성이높 즉여러개념과개 념, 개념과절차, 사실과개념들이서로유기적으로통합되고연결되어있다. Skemp( 황우 형역, 1997) 는네트워크로연결된지식에근거해이해를구성할때이를관계적이해로, Hierbert( 김수환외역, 2004) 는개념적이해라고명명했다. 개념적이해를구체적으로살펴보기위해조작적으로정의할필요가있다. NCTM(1989) 의개념적지식평가규준 8 개항목, 절차적지식평가규준 5 개항목, 연결 성평가규준 3개항목과 NCTM(2000) 의수와연산규준과대수규준 4 개항목, 연결성

240 규준 5개항목을유목화가가능한항목끼리묶어최종 5개요소를추출하고조작적으로 정의하였다. 아울러개념적지식의하위요소에부합하는교수 학습방법을제시하였다. 결국교육이궁극적으로지향해야할지점이창의성이고, 전술한바와같이수학에서창 의성은곧문제해결이라면, 수학교수 학습의핵심은개념적이해의신장이어야한다. < 표 Ⅳ-1> 개념적지식의요소와조작적정의 개념적지식구성요소 개념의내포적, 외연적의미의이해와해석 다양한표상간의연결 수학적개념사이의연결 개념과절차의연결 수학개념과일상및타교과와의연결 조작적정의 수학개념의다양한의미를 해석하고이해 그래프, 표, 기호, 구체물간 의연결관계이해 여러가지수학적개념간의 연결을구성하고적용 절차의유의미한사용 개념의습득과적용에서학 생들의현실과타교과와의연 결성고려 교수 학습방법 개념의다양한의미를이해하고해석 자신의이해와해석을설명하고정당화하 는기회를제공하는수업 개념을다양한외적표상을사용해번역하 고표현하는학습경험제공 여러가지수학적개념을통합하여해결할 수있는문제해결경험제공 연산의의미와계산수행의이유를설명하 는기회를제공하는수업 일상생활과타분야내용을수학학습내 용의소재로적극도입하고또한적용하는 기회제공하는수업 수학적문제해결에서진정성있는과제를 활용 이러한개념이해의신장, 개념과개념, 개념과절차의통합적연결은 2009 개정된교 육과정에서강조하고있는수학적과정 (mathematical process) 과밀접한관련이있다고 할수있다. 수학적과정 이란수와연산, 도형등의내용영역에서다루는수학적주제를 이해하고습득하는데에서, 그리고그러한수학적주제를활용하여다양한현상을이해하 고문제를해결하고의사소통하는데에서활성화되어야하는능력을의미한다. 즉, 수학 적과정 이란학생들주변의다양한현상을수학과연결하고다양한상황에서발생하는 문제를해결할때활성화되어야하는수학의과정적기능을의미하며, 수학적문제해결, 수학적추론, 수학적의사소통 등을구성요소로갖는개념으로정의하였다( 황혜정외, 2012). 또한 창의성신장 이 수학적과정 의연관성은창의성교육이수학교수학습전반 의질개선으로연결될수있다는것을의미한다. 즉, 창의적사고를고등사고기능 (higher order thinking) 이라고보면단편적이고분절적인지식습득이아닌고등사고기 능을개발한다는것은곧그자체로서질적인개선의의미가있다는것이다

241 가. 수학적의사소통 - 해석하고설명하며정당화하는학습기회제공 수학적개념의추상적인본질은수학이갖는최고의가치이다. 하지만수학적개념 이갖는추상성은역설적으로학생들이수학학습을어렵게생각하는원인이된다. 더군 다나 ( 초등학교) 학생들의심리적특성은구체적활동을통해서만새로운개념을이해 할수있다. 따라서수학적개념에대한교수 학습은추상적인개념이갖는다양한의 미를학생들의수준에서해석하고, 그러한해석에기초해의미를설명하는경험을제공 할필요가있다. 즉, 수학적의사소통은수학의아이디어나생각등을수학적표현수 단을통하여서로공유하고학습하게되는과정을수행하는것을의미한다. 아래그림은미국초등학교교과서중에서가장많이이용되고있는 <Everyday Mathematics> 5 학년내용이다. 천으로가려진도형의일부를보고어떤도형인지를 판단하고, 그려보고, 어떻게해결했는지를설명하는내용으로구성되어있다. 이러한활 동을통해서학생들은평면도형의개념을자신의관점에서판단하고, 작도하고, 설명하 는기회를가질수있다. [ 그림 Ⅳ-21] 미국 5학년수학교과서의도형추론하기 개념의의미를해석하는활동과더불어다양한표상으로번역하는활동또한개념적 이해를위해매우중요한학습경험이다. 아래그림은핀란드교과서 <matikkamatka oppilaan kirja> 의일부이다. 시간을구하는질문과함께그래프를함께제시하고있다. [ 그림 Ⅳ-22] 핀란드 5 학년수학교과서의시간과그래프( 하루수면시간)

242 나. 수학적문제해결 - 통합적문제해결경험제공 일반적으로문제를해결해야하지만즉시해결할수있는방법을알지못할때문제 가있다고한다. 이런관점에서수업시간에학습한개념을단순히적용해해결되는과 제는문제라볼수없다. 학생들에게문제를제시하는궁극적인목적은학습한여러개 념을통합하고, 재조직화하는기회를제공하는것이다. 즉, 수학적문제해결 이란수학 의문제나문제적상황에서그해를찾아내기위하여기존의수학의개념, 원리, 법칙 등의지식이나기능을바탕으로수학적발견술이나전략등의다양하면서종합적인사 고과정을수행하는것을의미한다. 이는실제문제상황에수학내용을적용하는수학 외적인연결도포함하지만, 해결하는수학내적인통합활동도매우중요하다. [ 그림 Ⅳ-23] 은 여러다른수학적개념들을통합하여주어진문제상황을 개방적인문제로서다양한답이가능하다. 창의력신장이라는측면에서 의미있는활동이다. 또, =85 와같은문제는사고력을요구하는수준높은 문제이다. [ 그림 Ⅳ-23] 다양하고종합적인사고를요구하는문제의예 [ 그림 Ⅳ-24] 는 0-20 범위에서활동을통하여받아내림이있는뺄셈을익히는내용 이다. 문제에서흥미로운점은각문제가별개로취급되는것이아니라문제해결과정 과결과에서어떤패턴을느낄수있도록제시하였다. 다시말하면, 우리나라의교과서 에제시된문제를보면 , 16-9, 18-5 등이지만핀란드의경우에는 14-7, 15-7, 등빼는수를일정하게함으로써받아내림이일어나는경우를학생스스로발견 하는기회를제공하고있다

243 [ 그림 Ⅳ-24] 발견하는기쁨을느낄수있는문제의예 [ 그림 Ⅳ-25] 는속도, 비율, 덧셈, 뺄셈등다양한수학적아이디어를결합하여해결할수있는문제이다. 문제해결을통해다양한지식을통합할수있는학습경험을제공한다고볼수있다. 자동차 2대가 240km 떨어진목적지를 향하여출발점에서동시에출발하여같은 길을따라달렸다. 한자동차는시속 80km, 다. 다른자동차는시속 60km로달렸 빠른자동차가목적지에도착하였을 때느린자동차는목적지에서얼마나떨 어져있겠는가? [ 그림 Ⅳ-25] 여러개념이통합된문제의예 다. 수학적추론을통한일상생활및타학문과연계한문제해결기회제공 수학적추론은수학적현상이나사실등을대상으로그와관련된잠재적인수학적규칙성이나원리, 구조등에결론적으로이르기위한논리적사고과정을수행하는것을의미한다. 21세기의소위지식기반사회에서성공적인삶의영위를위해서는개인에게부딪혀오는복잡다양한문제들을스스로해결할수있는능력을필요로한다. 특히, 요즘사회에서등장하는문제들은수학을비롯한여러분야의지식이융 복합적으

244 로연루되어있어학생들로하여금이런실제적인문제해결능력을습득케하기위해 서는학교수학의성격도전통적으로고수해오던배타성을탈피할필요가있다. 즉, 요 즈음등장하는문제의복합적성향을수학을주축으로분석하여수학교과의내용선정 과구성에이런관련분야의내용들을적극적으로도입할시기에이른것이다. 이와같은수학교육경향에따라, 싱가포르에서는 주제중심 의교육과정을개발하고 있으며, 미국의 MiC(Mathematics in Context) 수학교재도바로주제중심으로구성된 수학교과서의대표적인예가된다. 네덜란드의 RME 교과서는수학내의다양한주제또는타과목, 학문간의연결을강 조하고있다. 이러한특징은 RME 교과서에그대로용해되어있다. 이러한전개를통해 수학은현실과동떨어진하나의교과목으로여기지않음을알수있다. 학생들의현실 생활을수학이라는관점으로해석하고, 활동으로서상호관련성을중시하고있음을알 수있다. [ 그림 Ⅳ-26] 일상생활소재의예 영국도과학 공학 기술 수학등 4 개과목을학교핵심교과로설정하고, 이 4개과목관 련교육자, 기업인및주요단체들이전문가자문그룹(STEM Advisory Forum) 을형성 하여영국의학생들이핵심 4 개과목에더욱흥미를갖도록노력하고있다. 그리고

245 STEMnet(Science, Technology, Engineering and Mathematics Network) 을통하여 영국의더많은학생들이 STEM 과관련된경력을가지는기회를제공 장려하고, 영국의 미래세대들이모든급의학교에서 STEM 의활동, 경험, 즐거움을갖도록함으로써 STEM의정신을실제교수 학습에적용하려는시도를하고있다. 즉, 우리나라도수학과관련이있으면서실제생활에서서로융합되어나타나는타 분야의내용들을수학교과내에서의내용적소재로서적극적으로다루려는시도가필 요하다

246

247 Ⅴ. 결론및제언

248

249 본연구의목적은수학교육시스템전반에대한국내및국외자료를수집및비교분 석하여글로벌수학교육흐름을파악하고우리나라수학공교육강화방안을수립하는데 도움을주기위함이다. 이를위해첫째, 우리나라학교수학교육전반에대한실태를알아 보았다. 즉수학과교육과정, 교과서, 교사연수, 평가, 교수 학습방법등 5가지영역으로 구분하여실태를조사하고우리나라의특징및문제점이무엇인지살펴보았다. 둘째, 수 학교육선진국의학교수학교육실태및특징을알아보았다. 미국, 독일, 싱가포르, 인도, 중국( 상하이), 프랑스, 핀란드, 호주, 홍콩등 9개나라를선정하여위다섯가지영역의 실태를조사하여특징을파악하였다. 셋째, 이를토대로우리나라수학공교육강화방안 에의시사점및적용가능성을살펴보았다. 하지만, 국내에서각나라의자료를수집하는것이한계가있을뿐아니라수집된각 나라의자료조차도일정한틀로분석가능한유사한형식의것이아니어서일관성있는 분석에많은어려움을겪었다. 외국의수학교육현황을분석하고자하면서도현지방문연 구를할수없는한계는애초에이연구에서추구한목표가쉽게달성되기어려운환경을 초래하였다. 이런이유로, 외국의수학교육현황을직접분석하는대신관련연구결과를 분석하는간접적방법을주로사용할수밖에없었으며그결과도명시적인논리적근거를 제시하는것에한계를가질수밖에없었다. 이런상황에서우리는우리나라와다른혹은 우리나라에서부족하다고느끼는것을개선할수있는방안을외국의사례에서확인하려 고노력하였고, 그결과로다음과같은결론을얻을수있었다. 첫째, 교육과정에서교육과정운영과관련된구체적인사례를제시할필요가있다. 우리나라교육과정은성격, 내용, 목표, 교수 학습방법, 평가등에관한내용을제시하 면서구체적인사례를언급하지않아학교교육과정을운영하는교사들은교과서에서구 체적인사례를확인해야한다. 하지만대부분의수학교과서들이형식화된내용으로유사 하게구성되어있어서다양한사례를통해교수방법을개선해야하는교사들은많은어 려움을느낄수밖에없다. 미국의교육과정역할을하는 NCTM 규준에서와같이교사들이 참고할만한새로운방법들을연구하여교육과정에구체적으로제시할필요가있다. 둘째, 교과서에 IT기기를활용한실험활동이나탐구활동을늘리고학생들에게학습용 소프트웨어를제공함으로써학생들의수학적활동을강화하고, 실생활과관련된소재나 문제들, 학생들의흥미를끌수있는스토리를다양하게수록하고실제사진이나자료들 을첨가시킴으로써생동감있는교과서를구성할필요가있다. 셋째, 교사연수는현재까지잘이루어지지않았던수학내용학과수학교육학의융합, 초등수학교육연수강화등을통해초 중 고등학교수학교사들의전문성을향상시키는것 이우선이며연수에쉽게접근할수있는연수로드맵을제공해야한다. 수학관련연수 가다양하지못하면서좋은연수들이소규모로일시적으로이루어지다보니수학과교수 학습에관심있는소수의선생님들만이연수에참여하여전문성을갖추고그렇지않은대 부분의교사들은수학을가르치고있지만수학교수 학습방법및평가등에관련된전 문성을갖추지못한경우가많았다. 그동안산발적으로이루어지던수학연수들을체계화

250 시켜초 중 고등학교에서수학을가르치는모든교사들이전문성을갖출수있도록지원할 필요가있다. 넷째, 평가는교수 학습방법과관련해서이루어져야하며, 이것을성공적으로학교 현장에뿌리내리기위해서는예비교사교육과교사연수를통해교사들의평가전문성을키 우는것이선행되어야한다. 오늘날대학입시는대학수학능력시험의비중을낮추고입학 사정관제와수시입학제도를강화하고있다. 학교에서의수학평가가탐구, 협력, 토론식 또는발표식교수 학습과관련해서이루어지도록한다면, 자연스럽게서술형평가뿐만 아니라관찰, 면담, 자기평가등의평가가이루어질수밖에없고그과정과결과는내신 성적및생활기록부내용을통해대학입시에도반영될것이다. 상당수의교사들이관찰, 면담, 자기평가에의한수학평가에대해객관적인평가의어려움과수업시간의부족을 호소하는것은, 다양한교수 학습상황에서평가를하도록하는예비교사교육및교사연 수를받지않았고그에대한충분한경험도축적하지못했기때문이다. 사범대학에서이 루어지는예비교사교육과교사연수프로그램을통해, 평가전문성차원에서다양한교수 학습상황에서적절한평가유형을선택하고실행할수있는능력을기르도록하는것이 현재우리나라수학평가가지닌문제점을치유하는근본적인방향일것으로판단된다. 다섯째, 창의성신장을위한교수 학습방법을위하여창의성발현을위한심리적공 간 ( 다양한수학적교구를활용하여수학적문제해결활동및수학적추론, 의사소통이이 루어질수있는충분한시간의확보) 이요구되며, 교사역시학생의창의적인생각을존 중하고창의적인학교문화를형성하고자하는창의적인교사가될수있도록지원해야한 다. 국제적으로수학분야에있어서창의성신장을위한교수 학습의특징은문제와사 례중심의구체적인문제해결을강조하고있다. 이는창의성및수학적과정( 수학적문제 해결, 수학적추론, 수학적의사소통) 을명시적으로제시한 2009 개정교육과정총론및 교과- 교과간의연계성을고려하여, 교육과정-수업-평가의관계에서수업과평가를선도하 는교과교육과정을개발하고, 창의성교육에도움이되는것으로검증된특정한훈련프 로그램이나교수법을적용해야함을의미한다. 또한이는특정한대상( 영재) 을위한창의 성교육이아닌모든학생을위한창의성교육이되어야함을의미하며, 나아가창의성 교육을통한학교교육의근본적인질개선이이루어질수있어야함을제안하고있는것 이다. 교육과정과교과서는학교에서가르쳐야하는수학내용이고교사는내용및학생들에 게적절한교수 학습방법을통해내용을가르치고그가르친내용을토대로학생을평가 한다. 평가결과는교수 학습방법에영향을미치게된다. 하지만교육과정, 교과서, 교수 학습방법, 평가더나아가학생들을모두다루고있는학교교육의핵심은교사다. 따라 서교사는교육과정및교과서를해석하고재구성할수있는능력, 학습내용과학생에따 른적절한교수 학습방법의선택및수행능력, 학습한것에대해평가하는능력등을두 루갖춰야한다. 그런면에서볼때학교교육에서수학교육이이루어지는한수학공교 육내실화방안의핵심은교사교육에있다고할수있다

251 교사교육에서오늘을위한교육의핵심은교사재교육이며내일을위한교육의핵심 은예비교사교육일것이다. 전문교과설계자로서교사는하나에집중되어야하고교수 설계연구를위하여전문학위과정중인교사는학교에서분리되어연구여건에객관적인 상태에놓이도록유지및지원되어야할것이다. 이러한면에서교사연구년을적극적으 로활용할필요가있다. 또한연구자및관찰자로서학교교실수업을참여또는관찰할 수있는여건을조성해야한다. 정기자격의무연수는매학교근무연한(4~5 년) 이종료된 시점에연수원소속으로 6개월내지 1년동안연수후교수설계에따라차기근무학교가 선택및지원되어야한다. 이제도는예비교사임용비율을증가시키는데도움이된다. 위 과정이두차례수행된결과에따라이후교사자격의유지를판단할수있어야한다. 자 격유지에실패한경우, 기간지정으로대학연구실및연구소에서자력으로회복할기회를 제공할수있어야한다. 이러한교사교육의투자에앞서우리나라수학교육의공교육강화를위한것으로무엇 보다먼저제기되어야할것은교사의권위를세우는일일것이다. 교사의권위가땅에 떨어진지금국가에서바라는방향으로교육은이루어지기어려울것이다. 학생이교사를 믿고, 학부모가교사를믿으며, 사회가교사를믿는풍토가조성되고교사는자신의교육 철학에맞춰교육이진행될때수학교육도크게발전할수있을것이다. 학생들의권익도 보호를하면서교사들의권익도동시에보호되어올바른수학교육이교실내에서이루어 질수있는조처가무엇보다먼저이루어져야할것이다. 한편, 본연구가가지는제한점및후속연구에대한제안은다음과같다. 첫째, 외국의수학교육동향임에도외국현지에서연구를하지못하고국내에서접근 가능한인터넷자료, 선행연구, 국내외전문가들에게제공받은자료만을바탕으로연구가 이루어졌다. 즉외국현지의수학교육실태를직접보지못하고간접적으로조사하였다는 제한점을가지고있다. 본연구중우리나라에적용할만한의미있는부분에대해서는외 국현지에직접나가질적연구를수행할필요가있다. 둘째, 5 가지영역으로나누어우리나라와외국의수학교육실태조사뿐만아니라, 수학 공교육강화방안에의시사점도 5 가지영역으로나누어진술하였다. 분야별분과구성으로 프로젝트가운영되다보니불가피한결과로 의수학교육의실태를보여주지는못하였다. 5가지가유기적으로연결된우리나라및외국 셋째, 9개국의다양한사례를통해수학교육동향을파악하고특징적인것은찾을수 있었지만외국의수학교육동향을국내에서연구를진행하면서수집가능한모든자료를 수집하였음에도불구하고필요한자료를찾지못한경우도생김에따라공통된분석틀로 체계적인자료수집및분석을하지못했다는제한점을가지고있다

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261 부 록 [ 부록1] [ 부록2] [ 부록3] 전문가협의회자료집 현지자문가자료 수학교육관련정책자료

262

263 ( 부록1) 전문가협의회자료집

264 외국의수학교육동향에따른대한학교수학교육강화방안에대한소견 영남대학교수학교육과김진환 ( ) Ⅰ. 수학교육형황조사영역 1. 조사영역 교교교교 교교교교 교교교 평평 교교교교 2. 연구나라 미국, 싱가포르, 인도, 중국( 상하이), 홍콩, 프랑스, 독일, 핀란드, 호주(9 개국위주) Ⅱ 우리나라학교수학교육의실태및특징 수학과교육과정실태및특징 수학과교과서실태및특징 수학과교사연수상태실태및특징 수학과평가실태및특징 수학과교수학습실태및특징 Ⅲ. 외국의학교수학교육의실태( 사례) 및특징 1. 수학과교육과정실태및특징 시사점 2. 수학과교과서실태및특징 시사점 3. 수학과교사연수상태실태및특징 시사점 4. 수학과평가실태및특징 시사점 5. 수학과교수학습실태및특징 시사점

265 Ⅳ. 우리나라학교수학교육강화방안에의시사점및적용가능성 1. 수학과교육과정 (1) 핵심내용의탐구및발견을위한교육과정 --> 수학적활동및공학의활용을강조 한교육과정과관계하도록 (2) (3) 개념학습에바탕한문제해결교육을강조한교육과정 창의성신장을강조한교육과정 (4) 구성이유연한교육과정 --> 보다명시적으로 교과서구성과수업과정을유연하게 하는교육과정 --> 영역에대한논의가필요하고대안을제시해주었으면( 현재혹은 2011 교육과정 : ---> ) (5) 학년군제를염두에둔교육과정 (6) 수학적과정을중시한교육과정 <-- 사고기능과방법( 핀란드), 과정영역(NCTM) (7) 수학적활동및공학의활용을강조한교육과정 2. 수학과교과서실태및특징 (1) (2) (3) (4) <-- 실생활의다양한소재수록 학생들의수학적활동의강화 학생들의흥미를불러일으키는교과서 실생활과타학문과의연계한문제상황제시및공학을활용하도록하는문제제공 여러국가에서공학의활용이두드려짐 실험수학의강조, 공학을활용한문제해결력 - 공학의발달에비해교육과정에서권장 하고있지만수학교실에의적용은매우느림 --> 교사의신념, 입시제도 ( 최소한수행평 가나내신에반영하는방안마련부터 ) 좋은교육과정, 교과서 -->?? --> 문제집을교재로( 교과서를부교재처럼) --> 입시성 적과연계!! 3. 수학과교사연수상태실태및특징 (1) 연수내용의개선 --> 연수내용의개선, 연수방법의개선의측면으로 (2) (3) (4) (5) 연수참여율을높일수있는방안 연수이후동아리활동으로확대 초등수학교육연수강화 연수의공인화와연수기관의확대및전문화 -> 수업적용연수( 수업후보고서제출), 내용학적지식을신장하는연수( 직접평가) -> 연수에대한인센티브제공!!!

266 (6) 공학의활용능력향상을위한전문연수 4. 수학과평가실태및특징 (1) (2) (3) 서술형평가를비롯한다양한평가문제의데이터베이스화 평가에활용가능한공학적도구비치실태조사및그방법연수 대학입시수학과평가문제유형의다양화 5. 수학과교수학습실태및특징 (1) 개념의의미를해석하고이해하는학습경험제공 자신의이해와해석을설명하고정당화하는기회를제공 현상을그래프, 표, 그래프( 수학적기호?) 로표상하고그러한표상을언어적, 기호적으로 번역하고해결하는학습경험제공 (2) 여러가지수학적개념을통합하여해결할수있는문제해결경험제공 (3) 절차( 연산) 의의미와계산수행의이유를설명하는기회를제공하는수업 (4) 일상생활과타분야내용을수학학습내용의소재로적극도입하고또한적용하는 기회를제공하는수업, 수학적문제해결에서진정성잇는과제를활용 (5) 공학을활용한문제해결의경험과과제제공 디지털공학시대에부응하여수학교육에서공학의활용이높아지고있는추세임( 미국, 싱가포르, 핀란드,...) --> 우리나라학교수학교육에도실제적으로반영할필요성이있 고보다구체적으로명문화하고적절한문제를제공할할필요성이있다사료됨. 수학적사고를손상시키지않는범위에서아니면수학적사고를유발하도록공학도구의 활용을강조하고있음. 공학을활용한문제해결의경험을하는것이바람직함. 시대적 흐름에맞추어수학교육에서공학의활용은필수적일것이라생각. 현실적으로학교수학교육에공학의활용은여러선진국가의동향이며, 공학이학교교 실로들어오는것은느리게진행되고있음. 공학활용에대한관심을가진수학교사들이 많고다양한공학의활용과실험연구가이루어지고있으나수학교실에정착되지못하고 있음. 이것은수학이가진사고적특성과연계되어있으며수학의전통성과관계된다고 보며, 시대에흐름에따라개선의필요성이있음. 국가교육과정에서도점차공학의활용 이강조되고있음. 우리의학교수학으로도입하는데방해되는외적장애의극복방안과 보다구체화된공학의활용방안이필요하다고생각

267 외국의수학교육현황조사연구에대한의견 광주교육대학교수학교육과이대현 본연구는수학공교육의강화방안을수립하기위하여국내, 외자료를수집분석한연구로방대한양의자료분석을통하여우리나라수학공교육의강화를위한다양한의견을제시하고있어매우의미있는연구라생각됩니다. 이에연구자분들에게경의를표하며, 현재의중간보고서에대한본인의의견을다음과같이제시합니다. ===================================================== 수학과교육과정실태및특징에서는 2011 수학과교육과정의특징위주로분석을하였는데, 이에덧붙여그간의우리나라 교육과정의변화양상, 수학교육방향의구현정도등을보완하는것이좋을듯합니 다. 또현행교육과정내용의문제점등을분석해보는것도좋을듯합니다. 예를들 면네자리수의덧셈과뺄셈을다루지않는데, 곱셈에서는자주해야만하는상황이 발생합니다. 초등에서는회전체를다루지않지만, 유의점에서는발생과정을언급하 고있습니다. 이러한것들에대한분석은외국교육과정에서의사례를통해문제해 결의실마리를찾을수있을것입니다. 교육과정개정작업과개발시스템에대한논의가필요합니다. 우리나라교육과정 개정은개정시안연구와공청회등을거쳐이루어지는데, 개정시안연구와공청회 등의문서와교육과정문서에는수정의논지가없이일부내용을변경하여고시하고 있습니다. 이러한일련의교육과정개발시스템의문제점과개선점을찾는것도좋 을듯합니다. 초등학교영역명중관계=> 규칙성으로수정 2. 교과서실태와특징에서는 1 교과서제도와활용실태에초점을두었는데, 교과서개발제도의개선에주안점을 두고, 이에대한기초조사가필요하다고생각됩니다. 2 교과서내용을분석할필요가있는데, 교육과정의요구사항이교과서에충실히반 영되었는가에대한분석도필요하다고봅니다. 예를들어현행교과서에는 비로서 의분수 개념은거의다루지않고있고, 연산영역은접근방식에서학년간연계 성이잘이루어지지못하고있습니다. 또직관적교수원리를강조하지만, 교과서에 는충분히반영되지못하는상황입니다

268 3. 1 교사연수실태및특징에서는중등에비해초등교사들의수학에대한연수기회가부족한것이사실입니다. 따라서연수실태및분석에서는초등수학연수실태나연수내용, 연수프로그램의개발방향등에대한논의가요구됩니다 평가실태및특징에서는교육과정개정의중요핵심중하나가수준별수업의강조인데, 평가에서는수준별평가가이루어지지못하고있는상황입니다. 이연구에서는수준별평가실태및외국의사례를통해수준별평가의방향을제시하는것이바람직해보입니다. 다양한평가도구를활용하여평가가이루어져야함에도불구하고, 지필평가에머무 르는것은다양한평가도구의부재가원인중하나로생각됩니다. 우리나라의평가 도구지원체제에대한논의가필요하다고봅니다. 5. 교수-학습방법실태및특징에서는 개정교육과정의특징은수학적창의력신장이라고할수있습니다. 따라서수 2 학적창의력신장을위한선행연구에대한분석하여시사점을도출하는것이좋을듯 합니다. 예를들어권오남외(2011) 는창의, 인성교육교수-학습자료개발연구가 이루어졌으며, 한국창의재단지원교사자율동아리에서도많은연구결과물을산출하 고있습니다. 교수- 학습방법에서는다양한교수법, 매체활용정도, 교실문화, 수학전용교실과 같은하드웨어적지원체제등에대한분석도필요할것으로보입니다. ===================================================== 외국의수학과교육과정실태및특징에서는 우선은연구의중간단계라그럴것으로생각되지만, 교육과정분석틀을만들어서 각나라별로공통의관점에서분석이이루어져야서로간의비교, 분석이용이할것 으로판단됩니다. 현재는내용, 시간수, 외형적특징, 강조점등으로혼재되어있 습니다. 외국의교육과정에서시사점은각나라의교육과정에서공통으로추출할수있는내 용을추출하는것이바람직해보입니다. 특히다루는내용, 학년의비교, 학년군제 를시행하는나라의내용전개등에서우리나라교육과정운영에시사점을도출하는 것이필요해보입니다. 외국의교과서실태및특징에서는 교과서분석도분석틀을바탕으로비교, 분석하는것이필요하다고생각됩니다. 크 게는교과서개발시스템, 채택방법, 교과서의외형적특징, 단원구성방식, 내용

269 3. 1 전개방식, 발문방식, 수학적과정( 문제해결, 의사소통, 추론) 의취급정도, 보조 교과서제도운영등에대한분석이이루어지면좋겠습니다. 외국의교사연수실태및특징에서는 외국의교사연구기관, 특징들이잘분석되고있는데, 연수내용과시간배정과같 은영역에대한조사가요구된다고생각됩니다. 2 각나라의교원임용제도와연수와의관계도고려해보는것이좋겠습니다. 4. 외국의평가실태및특징에서는 1 여러측면으로분석이이루어졌는데, 공교육강화를목적으로하는만큼학교수준 의평가방법, 내용, 실태등에대한조사가더유익할것으로보입니다. ===================================================== 끝으로우리나라수학교육강화방안으로의시사점과적용가능성은이미많은측면에서결과가도출되고있습니다. 그렇지만아직연구가진행되고있는측면을고려하여외국의교육사례의비교, 분석을통하여얻은결과를바탕으로본연구만의실제적인시사점이도출되기를기대해봅니다

270 외국의수학교육현황조사연구에대한소견 충남대학교수학교육과신준국 본연구의목적이외국의수학교육현황을조사비교하여우리나라수학공교육강화방안 을수립하는데있다는점에서몇가지개인적견해를드립니다. 먼저많은외국의나라중 9개국을선정한이유를 5 가지근거(9 쪽) 로두고있는데 IMD의국가별교육부분 1 위인덴마크가빠진이유를궁금합니다. 11 쪽~13쪽 TIMSS 및 PISA의수학학업성취도및정의적성취결과의자료를채웠으면합 니다. 외국의수학교육실태및특징에관하여 1) 9개국의수학과교과내용의설계에서 9개국의비교분석이아니고내용의단순나열 이아쉽습니다. 즉미국, 싱가포르, 인도만비교해보아도미국은핵심교과과정표준만 제시하고, 싱가포르는초 중 고등학교의수학수업의시수만다루는반면, 인도는고등 학교수학과수학교과서만기술하고있습니다. 호주의경우는더심한듯합니다. 따라서각국가별교육과정의특징, 그에다른수학수업의실태및교과내용의설계가 보완되면더좋겠습니다. 2) 싱가포르는수학수업이학년별로주당몇시간이라는것이나타나있는데전체수업 시간중수학이몇시간인지자료에서분명치않습니다. 이처럼다른나라의경우도전 체수업시간중수학시간이몇시간인지명시한다면수업시간대비효율성을측정할수 있을것같습니다. 3) 이런관점에서시사점을영역별로기술하면어떨런지요. 외국교과서실태 미국, 싱가포르, 핀란드, 호주의경우전체적인형식과틀을유지하고있는데반하여프 랑스와인도는내용이빈약하며 독일의경우내용적특징에서함수만다루는인상입니 다. 상하이와홍콩이언급되지않는이유가필요합니다( 현재중간보고서이니보완하시면 될듯합니다.) 비슷한사례가수학과평가실태에서도나타납니다.( 일부의국가만소개됨) 우리나라학교수학교육강화방안에의시사점및적용가능성 전체적으로잘구성되었습니다

271 가. 주장의근거나. 장단점및고려사항외에다. 적용방안을제시하면어떨까요( 혹결론에서도출하신다면괜찮습니다.) 몇가지의견을덧붙인다면 우리나라학생들의수학성취도는세계적으로는높지만수학에대한흥미나자신감은매 우낮다는점을고려하여이에대한대응방안도생각해주셨으면합니다. 왜우리나라 학생들은초등학생때부터수학을싫어하는가에대한연구보고서는많은편이며나름대로 대안을제시하여왔지만근본적인문제해결을위해서는 효율적인수학과교사연수가필 요하다고생각합니다. 외국의사례와국내의연구결과를종합한다면좋은방안을도출하 실수있으리라사료됩니다. 같은내용이지만교과교실제와선택집중이수제도도일종의수준별수업인데이문제는 교사의역량에따라너무많은차이가난다는점입니다. ( 교과서) 가문제가아니라교사의지도방법이문제라는점입니다. 이에대한효율적방안은교재 차제에교사연수및 교사연구년( 현재소수이지만시행되고있습니다) 에대한외국에서의사례도제시되었으 면합니다. - 대학입시를둔우리나라형편에서평가방법을바꾸는시도는어렵지만초 중등과정에 서는주관식문항의평가가무척중요합니다. 단순한제안뿐만아니라평가문항의예를 들어( 출제근거를제시하면더욱좋겠습니다) 서술해주시면어떨까요? 끝으로너무많은것을하는것보다는몇가지에초점을두고연구를진행하면좋을듯합니다. 연구진의노고에감사드립니다

272 외국의수학교육현황조사연구에대한의견 목포대학교수학교육과박형빈 Ⅰ. 서론 1. 연구의필요성및목적 우리나라는지표상으로보면확실히교육강국이다. 그러나교육종사자들의체감도이 와동일할까? 수학에서정의적성취가낮은원인이정치 사회적인문제에기인되는것은 아닌지살펴볼필요가있다. 수학공교육의실태도효율성만을강조하는학부모들의요구 에직접부응할수밖에없어수학교육의본질이차츰훼손되어가고있다는일각의의견에 동의한다. 공교육강화방안에대해서교과서수준및체제개편에는전적으로동의하지만, 수학문제풀이위주가아닌실생활에서발생하는문제해결능력을기르기위한서술형, story-telling 형으로바꾸어외국에비해상대적으로적은분량의교과서를많은분량으 로전환하는방향이바람직하다고본다. EBS교재가중심교과서가되어버린현실에대해 서도상당한관심을가질필요가있다. 우수한수학교사에의한수학교육이사교육시장에 밀리는현실이교육시스템문제가아닌지고민해야한다. 외국수학교육과비교해보면상대적으로우수한교사, 대학진학률과학부모의교육열 등을갖춘우리의공교육이비교우위를점하고있어공교육강화가가능하다고보인다. 그런데도공교육이사교육시장에뒤진다고인식하고있는정치권에의한처방들( 쉬운수 능, 입학사정관입시제도등) 이오히려사교육을부추기고있다는생각이다. 깊이사고하 고탐구하지않아도쉽게답을구해좋은성적을올릴수있기때문이다. 2. 연구의내용및범위연구의내용및범위는전반적으로적당하다고여겨지나, 연구의범위를수학교육을담당하고있는내부인만의문제로한정해야하는지고민해야할부분이다. 수학과교사연수는대학등의연구기관에서경력이많은교사에게수학내용학을, 교과연구회같은교육청이주관하는연수기관에서경력이적은교사에게학습방법같은교육학을연수하는것이바람직하다. Ⅱ. 우리나라학교수학교육실태및특징 1. 수학과교육과정실태및특징 2011 개정수학과교육과정사항중 교과내용양의 20% 경감 이과연대학진학률 이높은우리나라의경우에적합한지, 대학교과과정과의연계성에대해서도고려해볼만 하다. 개정교육과정중학교부분에바람직한인성과 합리적이고논리적인사고로문제

273 해결능력을갖춰 를포함했으면한다. 고등학교의소형화에따른일반과목심화과목으로 세분화하는것도현실과거리가멀다. 수요자인학생과학부모의요구는대학입시( 수능) 에서의고득점이므로바람직한학교교육과정이되도록대학입시의내용이정상화되어야 한다. 학년군제실시는소규모학교가증가하는추세에비추어볼때비현실적이라할수 있다. 2. 수학과교과서실태및특징교과서의질관리를위한제도의강화및정비가필요하다. 현재교과서는출판사와저자들의능력에전적으로달려있다. 따라서교과서내용자체의심층비교및검토보다는여타로비및사회관계에의하여교과서채택이이루어지것이현실이다. 이점을감안하면교과서를인정해주는과정이좀더치밀하고체계적으로이루어져야한다고본다. 3. 수학과교사연수실태및특징 교사의질향상이공교육향상에중요하다고볼때초등학교교사연수와중고교류교 사, 과목상치교사연수는수학내용학위주로연수받을교사들의진단평가를거쳐수준 에따라이루어져야하며정기적인교사연수는재교육, 수업방법과기술교구제작과사용 법, 새로운지식전달등의내용으로이루어져야한다. 교사들의참여유도를위하여연 수받을수있는여건( 경제적, 인사상의인센티브, 등) 을적극적으로조성해야한다는주 장에동의하며연수미이수자에게는페널티를부여하는방안도검토되어야할것이다. 4. 수학과평가실태및특징 고등학교에서는인지적정의적영역의평가가그평가의본질에충실하기보다는수능 을위한 EBS 강의에따른고득점을받을수있는방향으로가고있는실정이다. 학부모로 부터교사의자기방어적평가방법( 획일적방법, 선택형위주의평가) 으로흘러가는것도 극복해야할과제이다. 교육이론에서습득한진단평가, 형성평가, 총괄평가등은여러가 지우선순위에밀려잘시행되지못하고있다. 수학과평가는대학교육에필요한수학능 력측정과적격자선발, 고교교육정상화에기여하는이상을달성하기에는현실적이지못 하다. 사교육부담을경감하고자하는검증되지않은졸속적인잦은변화는좀더심사숙 고해야할것이다. 5. 수학과교수학습방법실태및특징창의성교육이나영재교육의수학적창의성에대한개념이일반화되지못한현실이다. 전통적인수학과교수학습방법을보완, 발전시켜나가는것이바람직할것이다

274 Ⅲ. 외국의수학교육실태및특징 1. 수학과교육과정실태및특징 주요국가의수학과교과내용에대한사례별로비교하여우리나라의교과내용에활용할 수있도록상세하게기술하고있다. 외국의선진제도를받아들이는데좀더주의를기울 일필요가있다. 짜깁기식이아닌그나라의여러가지배경과제도의역사까지도고려해 야한다. 국민의식, 취업문제, 역사, 교육환경등우리나라와너무다른여건들을무시하 고무작정받아들이는것이교육의선진화로생각하는것은위험하다. 유행처럼번지는 핀란드식교육운운하는것이한예이다. 외국의수학과교육과정에서얻을수있는시사 점은적절하게서술했으며몇나라가사용하는국가표준교육과정은눈여겨볼만한대목 이다. 2. 수학과교과서실태및특징외형적특징의비교와내용적특징을중요국가별로상세히비교하여적절하게서술하고있다. 서론부분에서도언급했지만우리나라교과서는쪽수나삽입된화보등외형적으로너무빈약하다는것을알수있어인정교과서출판에시사점을제공하고있다. 내용적특징에서도많은차이를보이고있어개조식수학문제풀이와계산위주로부터서술식문제해결능력배양과실생활응용능력배양에도움을주는방향으로바꾸기위해외형확대도필요하다고본다. 3. 수학과교사연수실태및특징 중요국가들의교사연수실태를상세하게비교하여잘서술하고있다. 연수이수시간을 기준으로교사자격증을갱신하는미국의제도는눈여겨볼만하며앞에서서술했듯이 영국의경우교사의능력에맞는연수모델도바람직하다고본다. 핀란드의중고교류교사 와전문계, 인문계교류교사연수이수실적에따라이루어지는것이우리실정에적합한 모델이라생각된다. 교사연수실적이교사의인사와처우에활용하는중국의연수제도도 바람직하다고본다. 최근에전국사범대학장협의회에서는인턴교사로임용된후에교육 실습등을이수하게하는교사자격증제도에대하여새로운방법을제시하고있다. 만약 이런주장이받아들여진다면교사연수에대한변화도불가피해질것으로보인다. 4. 수학과평가및특징입시와수학과평가에대하여국가별로상세하게비교하여그특징들을잘나열하고있으며미국등의국가수준학업성취도와독일등의학교수준의평가자료에대하여열거하고있다. 외국의경우입시선택의폭이다양하고학생의능력을발휘할수있는기회가보장되며시험에대한학생의부담을줄일수있는방법으로시험기간이정해지는외국의사례는우리나라의현실에대입하기는어려운제도라할수있다. 국가차원의지원이나

275 시험기간의조정은교육당국의시행의지로도입할수있으나우리국민의정서에부합할지, 사교육억제에도움이되는제도인지등의연구검토가필요할것이다. Ⅳ. 우리나라학교수학교육강화방안에의시사점및적용가능성 1. 수학과교육과정 핵심내용의탐구및발견을위한교육과정에서학습자에게학습할내용을자세히(?) 안 내하는경향은창의중심교육과정과맞지않다는주장에공감한다. 그러나학부모가원 하는효율성을제고하기위하여사교육시장과경쟁해야하는현실을감안하면불가피한일 인지도모른다. 좀더본래의목적에충실할수있는분위기조성이필요하겠다. 개념학 습에근거한문제해결교육과정에대하여수학문제가아닌문제해결에수학적개념, 알고 리즘등수학지식의활용을강조하는것도좋은방안이라생각한다. 창의성신장을강조 한교육과정의주장에공감한다. 그러나이또한사교육문제에부딪친다. 구성이유연한 교육과정의고려사항에서한번배운내용을쉽게잊어버리더라도이미문제해결능력이 생겼으므로그것은가치있는일이다. 그래서주장에공감한다. 학년군제를염두에둔교 육과정운영에는소규모학교의증가와입시에활용하는평가문제때문에도쉽지않을것 으로생각한다. 수학적과정을중시하는교육과정운영에서는문제해결력이나창의성발 현이반드시수학적과정으로만가능한것은아닐것이다. 따라서적당한조절이필요하 다고할수있다. 2. 수학과교과서 실생활의다양한소재가수록되어수학교육이수학을위한교육이되지않고문제해결 능력을배양하고흥미와관심을가질수있도록해야한다는주장에적극적으로동의한 다. 그러기위해서는교과서의양적확대는불가피하다고하겠다. 학생들의수학적활동 을강화하는교과서주장부분에서계산기사용으로한정되어있으나더많은각종컴퓨터 활용프로그램( 스마트폰포함) 에도관심을가져야할것이다. 학생의흥미를불러일으키 는교과서부분에서교과서가많은수업자료중하나라는주장에는쉽게동의할수없 다. 수학교과서가수업을진행하는가장중요한지침서이어야하고반드시학습자나수 업자모두에게중심역할을해야한다고본다. 앞에서도지적했듯이고등학교에서는 EBS교 재가교과서보다더중심에있는현실이안타깝다. 3. 수학과교사연수 연수내용의개선에대하여공감한다. 앞서언급했지만교과내용학과교과교육학모든 분야를적당히섞여구성하는것보다는연수교사의능력과경력등에따라연수교육과정 을편성하는것이바람직하다고본다. 또정기적인연수과정외에관련된학회와학술발 표대회, 세미나, 심포지엄, 각종컨퍼런스, 등에적극참여할수있는방안을마련하는

276 것도효과적이라생각한다. 연수참여율을높이는방안마련도시급하다. 실력을갖춘교 사가대우받을수있는제도와연수가절대적으로필요한교사에게연수의의무를부여 하는것도한방법이라하겠다. 연수이후동아리활동으로확대하는방안에는신중히접 근할필요가있다. 연수의목적은좋은교사가되어학습효과를극대화시키는데있기때 문이다. 4. 수학과평가서술형평가를비롯한다양한평가문제의데이터베이스화에대하여모든학습활동이평가의대상이된다는것이장점인지는한번생각해볼부분이다. 선택형위주의평가가많이이루어지는것도교육청지원뿐만아니라교사의평가에대한사회의불신에서기인된다고도볼수있다. 대학입시수학과평가문제유형의다양화에는전적으로공감하나현실적인여러가지제약때문에대안마련이쉽지않다. 5. 수학과교수 학습방법주장하고있는여러가지방법들에대하여실현가능한방법을곁들인다면대체적으로공감한다

277 외국의수학교육현황조사연구 에대한의견 손홍찬( 전북대학교) 최근한국과학창의재단에서발주하고있는여러과제들은우리나라수학교육계에활기를 불어넣고있으며, 그연구결과들은가까운장래에여러정책들의입안에많은영향을미 치리라고생각됩니다. 이러한일련의과제중하나인 외국의수학교육현황조사연구 또한우리나라수학교육발전을위해꼭필요한연구중한가지라고보겠습니다. 이과 제의중간보고서를읽고느낀몇가지점을말씀드리겠습니다. 먼저많은외국중어떤나라를선택하여그수학교육동향을파악하는것이좋은지에대 한기준을설정하고그기준에따라몇몇나라를선정한과정은잘되어있다고생각됩니 다. 적지않은나라를길지않은기간동안그동향을파악하는일은쉽지않을것이라고 생각되지만짧은시간내에상당히방대한자료를모으고정리하고분석한것으로보입니 다. 또우리나라학교수학교육강화방안에의시사점을도출하고적용가능성을탐색하기 위해외국의수학과교육과정, 수학과교과서, 수학과교사연수, 수학과평가, 수학과 교수 학습방법을선택한것역시적절한분야를선택하여조사하는것으로생각됩니다. 앞으로연구를진행하면서몇가지첨가하거나집중적으로연구하면좋을듯한내용을위 에서선택한분야의순서대로말씀드리면다음과같습니다. 첫째, 외국의교육과정을연구할때싱가포르나독일의교육과정처럼학생의수준이나진 로에따른교육과정을우리나라에적용할수있는가능성을함께탐색하는것도의미있 다고생각합니다. 싱가포르는우수반, 보통반, 전문반에따라, 독일의경우는통합학교, 김나지움에따라내용과시수가다른것처럼우리나라에서도일반고, 특목고( 과학고, 외 국어고 국제고, 예술고 체육고, 산업수요맞춤형고(Meister 고)), 특성화고( 직업계열, 대안 교육), 자율고( 자율형사립고, 자율형공립고) 등다양한학교가있고, 이들학교형태 또는수학을필요로하는정도에따라처음부터그들에맞는교육과정을설계할수있는 지를탐색하자는것입니다. 또한도 농간의수학학업성취도또한크게나타나고있지만 운신의폭이좁은교육과정과대동소이한 교과서로인하여수학에관심이적고진로에 수학이필요하지않은학생들에게는수학에서의성취도는지속적으로낮게나타나고, 수 학에대한자신감, 수학의즐거움, 수학의가치인식과같은정의적성취지수가낮게나 타나고있는문제점이있습니다. 외국의교육과정선례로부터의이와같은문제를근본적 으로해결하기위한시사점을얻을수있는지를모색하자는것입니다

278 둘째, 보고서에서외국의교과서를분석하여각나라의교과서에서얻을수있는시사점 을제시한것은주로내용과관련된것으로꼭필요하다고하겠습니다. 그런데이와함께 현재분석한자료를토대로교과서의외형적비교, 교과서개발및편찬과관련한교과서 제도, 또는미래수학교실환경에부합하는 ICT 활용측면등과같은다른차원의시사점 을도출하는것도중요하다고생각됩니다. 예를들면, 흥미롭게도외국의교과서들은쪽 수와쪽수당최대줄수가우리나라의것보다큰경우가많은데이와같이외형적특징 에서이끌어낼수있는것이무엇인지알아보는것도의미있으리라고생각됩니다. 또우 리나라의경우대부분의교과서가비슷하다는비판을받고있는데, 이것은교과서개발 단계에서교육과정을엄격히적용하고교과서심사단계에서심사기준을엄격히적용하 는것에큰영향을받고있다고생각되므로, 다양한유형의교과서와교과서제도의엄격 성사이의관계를파악해보는것도의미있다고생각됩니다. 또한앞으로미래의교실환 경에서나타날수있는전자교과서또는 ICT 를활용한수업장면, 부교재로서의 CD탑재 등다양한 ICT 한의미있다고보겠습니다. 활용측면에서외국의교과서에서얻을수있는시사점을도출하는것또 셋째, 교사의연수에관해서는교사에게필요한연수프로그램을어떻게설계할수있는지, 이러한연수프로그램에교사가적극적으로참여하도록할수있는방법을외국의사례로부터시사점을도출하는것에초점을맞추면좋을것같습니다. 넷째, 평가와관련하여서는우리나라에서는최근중요시하고있는서답형평가활성화방 안을집중적으로다루었으면좋겠습니다. 이를위해보고서에서제시한바와같이주관식 을위주로출제하는독일, 핀란드, 호주등을위주로, 어떻게하면서답형평가를뿌리내 리도록할수있는지그구체적방법을모색하는것이좋겠습니다. 또한우리나라의경우 대학수학능력시험의수학과문항이선다형과단답형주관식으로만출제되기때문에이것 이학교수학, 특히고등학교수학교실에미치는부정적인영향은지대하다고할수있습 니다. 따라서외국의경우대학입학시험에서서답형을어떻게채점하고어떻게그공정 성을확보하는가에대한것을탐구하여우리나라에서대입전형의중요자료로사용되는 수학능력시험에서서답형평가가실시될수있는방안을모색하는것이좋을듯합니다. 또한우리나라의경우진단평가, 형성평가가제대로이루어지지않고주로중간고사나기 말고사를통한총괄평가가이루어지고있으며, 이것마저학생의서열을정하는수단으로 인식되는경우가흔하므로, 교사가평가결과를교수 학습의개선자료로활용할수있도 록하는방안과관련한시사점을도출하는것도의미있다고하겠습니다. 또한외국의평 가를탐구함으로써정의적영역의평가를활발히할수있도록하는방안을모색하는것 또한중요하다고보겠습니다. 한편우리나라의최근교육과정에서는공학적도구와같은 다양한도구를이용할수있는기회를제공하도록하고있지만, 우리나라의경우이에대 한연구조차도미미하다고할수있습니다. 따라서어떤유형의문제를어떤공학적도구

279 를활용하여해결하게하는지에관한구체적인정보를얻는것도중요하다고생각합니다. 다섯째, 교수 학습방법과관련하여서는최근교육과정에서강조하고있는창의성을신장 할수있는방안에초점을맞추어시사점을이끌어내면좋을듯합니다. 새로운교육과정 에서는수학적과정을중시하고그하위요소로서수학적문제해결, 수학적추론, 수학적 의사소통을분류하고그내용요소를규정한바있습니다. 따라서외국의교수 학습방법에 대한동향을파악하고시사점을도출할때분석의초점을이와같은창의성의하위요소 에맞추어봄직하다고생각됩니다. 또한수학에대한긍정적태도와자신감배양, 흥미 유발, 가치인식과같은정의적측면에서의바람직한교수 학습방법에대한시사점을찾 는것에초점을두고외국의동향을분석하면좋을것으로판단됩니다. 감사합니다

280 외국의수학교육현황조사연구 대구매동초등학교교사권보영 Ⅰ-1. 연구의필요성및목적 교육과학기술부의수학공교육강화방안과선행연구에서의부족한영역들을바탕으로연 구의내용과범위가잘설정되어있다. 또한수학과교육과정이나교과서비교연구에비 해, 수학과교수학습방법및평가, 교사연수에대한연구가상대적으로부족하므로본 연구가그러한부분을충족시켜주리라기대할수있다. Ⅰ-2. 1 연구의내용및범위 연구의내용 2) 에서수학교육선진국을대륙별로구분하여실태및특징을살펴본다고 기술하였는데, 대륙별로구분하는것에별다른의의가없다면, 1) 에서우리나라학교수학 실태와같이 교육과정/ 교과서/ 교수학습방법/ 평가/ 교사연수 로진술하는것이더명 확하다. ( Ⅲ장에서의제시방식도그러함- 예: 수학교육선진국의교육과정실태는어떠한 가?) 2 수학교육현황조사영역별조사내용들이잘계획되어있다. 교육과학기술부의수학교육 내실화방안을바탕으로, 각각에서의시사점을도출하기위한영역별조사내용이잘계획 되어있다. 3 연구나라의선정기준이다섯가지로제시되어있으나, 표1에제시된 20개국이구체 적으로선정된이유가명확하지않다. 다섯가지기준에는기준이되는결과들만제시하 였을뿐선정된국가들과관련한구체적인정보가명확하지않다. 또한표2에최종 9개국 선정에서도교육환경이비슷하여제외한경우그근거를좀더명확히할필요가있다. Ⅱ-4 수학과평가실태및특징 교육과정에제시된평가내용을바탕으로하여각각의평가목적, 평가방법, 인지적영 역의평가, 정의적영역의평가, 평가에서공학적도구의활용부분에있어서초중고에서 의평가실태를유기적으로연결시켜문제점을논할필요가있다. Ⅱ -5 수학과교수 학습방법실태및특징 교수학습방법실태는문서상에존재하는것이아니라, 실제로교수학습이어떻게진행 되고있는지를알아보는것이어야한다. 본연구의필요성에서도언급했듯이교수학습방 법은현장내부를들여다보아야좀더의미있는시사점을도출할수있을것이다. 앞서 8 쪽에서밝힌조사내용에서도보면, 올바른교수학습방법에대한선행연구들을살펴보 고외국의직접적인사례들을수집해서분석하는것으로제시되어있으나, 현재까지의연 구내용을살펴보면, 실태라기보다는이론제시에그치고있다. 외국과의비교분석을통해

281 실질적인시사점을도출하기위해서는우선, 우리나라의교수학습방법에있어서어떻게실태를조사하고어떤부분을분석해야할지내용과방법에있어서좀더기준을명확히하여야할필요가있다. Ⅲ. 외국의학교수학교육실태[ 사례] 및특징 교육과정/ 교과서/ 교수학습방법/ 평가/ 교사연수 의각영역별로무엇을분석하고자 하는지명확히할필요가있다. 접근가능한자료들이제한되어구할수있는정보들만을 활용할수있다는한계가있지만, 단순히나열하지말고무엇을보려는지초점을명확히 하여제시하고시사점을도출할필요가있다. 예를들어교육과정의경우, 중국, 프랑스, 독일, 핀란드는교육과정의특징들을잘제시하고있지만, 미국은공통핵심교육과정, 싱가포르는초, 중, 고의수학수업, 인도는고등학교수학과수학교과서등에관한내용들 을제시하여일관적인체제가없으며시사점도출에있어서도이러한내용들을포괄하지 못한채, 미국, 독일등일부나라만제시하고있어아쉽다. 기존에선행연구에서다루어 지지않고있는나라들을연구대상으로선정했다면, 그만큼의미있는내용들을도출할 수있었으면좋겠다. 그외에다른영역에있어서도자료가불충분한경우( 특히, 연수, 교수학습방법) 가많으며, 비교적자료가많은교과서실태에있어서도좀더체계적인 분석이요구된다. 앞서 Ⅰ장에서제시한 교육과학기술부의수학교육내실화방안을바 탕으로, 각각에서의시사점을도출하기위한영역별조사내용 에근거하여계속적인연 구진행이이루어진다면, 충분히의미있는결론을얻을수있으리라기대한다

282 외국의수학교육현황조사연구 보고서에대한의견 경덕중교사김수미 1. 서론에대한의견 현재수학공교육의문제점을인식하고교육수준이우수한외국의수학교육현황을조사 하여우리나라에적용가능한부분을도출한다는점에서의미있는주제라고생각합니다. 특히개인연구자는조사할수있는나라의범위가한정되어있지만이렇게팀으로이루어 진연구는광범위하게자료를조사할수있으며각각의나라들의특성을비교함으로써우 리나라수학교육에대한시사점을찾아낼수있을것으로기대할수있습니다. 연구의내용과범위를교육과정, 교과서, 교수 학습방법, 평가, 수학과교사연수부 분으로나누고분과별로연구를진행하는것은외국의수학교육현황을구체적이고풍부하 게조사할수있을것으로기대할수있습니다. 수학교육선진국을선정하기위하여기 준을마련하고구체적인자료를통해그에적절한나라를선정한것은좋은방법으로생 각됩니다. 다만, 선정된나라가연구의필요성과목적에서제시된나라( 지리적으로가깝 거나학문적영향을많이받은나라) 와많이다르지않았습니다. 2. 우리나라학교수학교육실태및특징에대한의견 우리나라학교수학교육실태및특징에서는교육과정, 교과서, 교사연수, 평가, 교 수 학습방법에대해많은교사들이공감하고있는문제점에대한부분들을잘논의해주 었습니다. 수학교육실태분석에서는전반적으로다양한자료들에의해특징을도출하기보다공신 력있는특정자료를중심으로분석된느낌이있었습니다. 수학교육과관련된우리나라의 실태조사는다양하게이루어진만큼다양한자료들을사용하여내용을풍부히할필요가 있으리라생각됩니다. 교육과정부분에서는수학과교육과정의특이사항부분은 용의요약으로느껴지는부분이있었습니다. 있는지고려해주셨으면어떨까생각해보았습니다 개정교육과정에대한내 이부분을연구의방향과관련짓는방법이 전체적으로특징부분은가장의문이들었던부분으로현재수학교육에대한특징과문 제점및제언들이난립한다는인상을받았습니다. 관련근거를제시하고내용을전개하거 나 앞의내용을요약한후문제점을제시하는순으로하면어떨까하는생각이들었습니 다.( 물론제가부족해서내용을정확이이해하지못한것도원인이될것으로생각됩니

283 다.) 교사인입장에서가장기대하고보았던부분인교수 학습방법의실태및특징에대한 내용이꼭채워졌으면합니다.[ 내용이빠진걸까요? 창의성내용좋았는데요] 3. 외국의학교수학교육실태및특징에대한의견 교육과정, 교과서, 교사연수, 평가의외국의사례들을전체적으로짜임새있고내실있 는특징을조사하고분석하였습니다. 특히내용조사를통해얻을수있는시사점을제공 했다는점은적절하다고생각합니다. 교사인입장에서세계적인수학교육의방향과특징 을이해할수있었습니다. 하지만아쉬움이남는것은교사로서학생들을가르치는데있 어이러한부분에대한인식도필요하지만가장필요한것은교수 학습방법에대한구체 적인실례가절실합니다. 물론우리나라에서도여러가지방법을통해수업을개선해나가 는교사들은많지만외국의특징있는사례들을제시한다면어떨까생각해보았습니다. 방 법적인면에서어려움이있겠지만교사들이직접교실현장에서사용할수있는방법들에 대한조사가가능하다면부탁드리고싶습니다. 또한교육과정영역의내용의진술면에서 다른영역에서와같이체계적으로정리되면이해하기가쉬울것같습니다. 4. 우리나라학교수학교육강화방안에의시사점및적용가능성에대한의견 외국의수학교육현황조사를통해얻어진내용을바탕으로내용을정리하였으며우리나 라현재수학교육의문제점과연결지어시사점을제공했다는점에서적절하다고생각합 니다. 특히적용에있어장점, 단점및고려사항을제시하였다는점은특징적이라할수 있을것으로생각됩니다. 단지현재우리나라에서수학을가르치는교사로서현실적용성 에대한의문과더불어이러한내용을실제에적용할수있는구체적인방법들을만들어 야하겠다는다짐을하게됩니다. 한편이연구를계기로현재의교육제도와수학교육에대한사회적인인식이이보고서 에서제시한내용을적용시킬수있는방향으로전환될수있었으면소망이있습니다

284 ( 부록2) 현지자문가자료 나라 이름( 소속) Kyung Mi Choi 미국싱가포르프랑스중국인도 (University of Iowa) Gail Burrill (Michigan State University) Tin Lam Toh (National Institute of Education) Bernard Parzysz (Université Paris-Diderot) Shiqi Li (East China Normal University) K. Subramaniam (Tata Institute of Fundamental Research)

285 미국 현지자문가자료 (1) During the past decade, what have been substantial changes in educational policies with regard to mathematics education in your country? We greatly appreciate it if you could delineate the following items. <Questions on textbooks> 1. Please describe the most important reason in revising textbooks. Texts are revised to address new standards or trends in curriculum; they are also revised because of a perception that anything more than 10 years old is out of date. In reality, most of the revisions in the standard texts are not fundamentally different. This may change now that we have a common set of standards for most of the states because this set of standards is asking for concepts and approaches not currently in many texts at each grade level. 2. From the perspective of teachers and students, what are some points to be improved in the future textbooks? Texts in the US are large, overly comprehensive volumes with far too many exercises (in some cases 70 per lesson in the middle and high school books, with more lessons that possible to teach in a school year) and with all topics presented as equally important. There is typically no careful thought with respect to a given task nor to the careful sequencing of tasks, with the exception of a few curricula originally funded by the National Science Foundation. The texts have a lot of "stuff" that is not related to the mathematics- colorful pictures, references to "real life", etc, but which is seen as making the books attractive and motivating to students. Very few of the tasks demand reasoning and sense making on the part of the students; most are purely the application of a procedure that is illustrated in the examples provided. 3. What kinds of technology and software are currently used in the textbooks? Could you introduce us some typical textbooks to show how technology is embodied in textbooks? In many mainstream texts at the high school level, the use of technology is added on to a lesson, after the concept has been learned. The primary kind of technology is graphing calculators, with a few extensions into the use of a computer. A new

286 series, the CME published by Pearson has integrated the technology into the lessons quite well. Pearson also has integrated interactive dynamic technology with the TI Nspire into the lessons in several of its series. 4. What is a sustaining plan for developing textbooks to encourage students to develop an interest in mathematics? We have not figured this one out yet. The CME series might be a start, as is Mathematics in Context from Encyclopedia Britannica and Connected Mathematics from Pearson Prentice Hall. 5. Does you country have a plan to produce digital textbooks? If so, could you expect when the digital textbooks will be developed? Note that texts are commercially produced and not part of a country or government plan but basically dependent on the market what do schools and teachers want in a text is what determines what will be in the text. Digital texts are beginning to emerge. Most of the mainstream series have their texts on line for use by the teacher or student, but these were designed as print materials and just adapted for access online. But many companies are investigating what it will take to go digital. <Questions on teacher training> 1. Please describe the most important issue of the training program for primary level mathematics teachers in your country. The biggest issue is the lack of agreement on what are the elements of an exemplary teacher training program, from what should be the content to when and how should students be introduced to work in classrooms (as observers, aides, student or co teachers). Teacher preparation courses vary from those with nearly all based in pedagogy and little math to those with almost all content and little pedagogy; from all of the preparation to teach done in a semester to colleges that structure a program over four or five years. None of these do the same thing nor have the same goals. In the elementary grades the second biggest issue is the lack of adequate mathematical preparation for prospective elementary teachers. 2. Please describe the most important issue of the training program for secondary level mathematics teachers in your country

287 The major issue is the one described in the previous question. In addition, preparation programs at the secondary level struggle with the amount of math and the amount of math focused on secondary school and how to integrate both technology and adequate training in pedagogy. 3. Which institutes do organize and execute the in-service teacher programs? Please describe the role and function of the institutes briefly. A vast and diverse set of entities provide teacher in-service teacher programs, including university programs that provide a further degree (masters, for example); university programs offering courses for teachers as part of special programs; state departments of education in some of states provide programs for training the teachers in their state; private non profit companies provide teacher in-service programs (Teachers Development Group for example); educational related companies inservice programs offered by businesses, such a Texas Instrument's T-Cubed Program or Key Curriculum workshops on Sketchpad); educational organizations such as the National Council of Teachers of Mathematics workshops and in-service programs; alternate certification programs for those with university degrees but not in the field and without any pedagogical training (Teach for America, for example). Generally, it is a chaotic scene with widely varying quality and results. 4. What kinds of efforts does the (central or local) government make to heighten teachers participation rate in mathematics teacher training programs? Teacher quality is a key element of both federal and state government efforts to improve education. Addressing teacher quality is one of the requirements of most federal grants. However, the immediate response of the governments has been to call for tests to measure teacher performance and judge teacher quality, and then mandate remediation for those whose students do not perform well on these tests. Some grants offer incentives both for degrees and compensation but in general the governments do not do much to get teachers into training programs. Almost every state has mandated continuing teacher education for practicing teachers, but the ways to fulfill the requirements often have little if any bearing on what they do in their math classrooms (for example, taking courses in time management). 5. How are primary teachers encouraged to be trained as mathematics education experts and how is their quality management carried out?

288 They are not perceived as experts but rather as generalists, and get trained accordingly. This is a large problem. Most elementary teachers have only two math content courses in their preparation programs. <Questions on curriculum> 1. Does your country have a national curriculum? If not, who develops the curricula and in what process are they developed? The US does not have a national curriculum; until recently all 50 states each determined their own standards and assessments for those standards. These varied widely. We now have a set of common standards, the Common Core State Standards (CCSS) that have been adopted by 45 states. No curricula have been published that actually align with these standards as the CCSS are too recent. 2. What is the main issue in determining revision of your country s mathematics curriculum in the past ten years? One key driver for revision has been a lack of coherence in content and emphases across and within grades. The phrase "a mile wide and an inch deep" has been accurately used to describe the curricula. Many of the materials lack a clear mathematical focus and concepts are often repeated from year to year with little change or deepening of ideas. 3. How often are revisions made? So far how many revisions have been conducted prior to the current curriculum? A set of standards has appeared about every 10 years beginning in 1989 with the Curriculum and Evaluation standards from the National Council of Teachers of Mathematics, then again in 2000 NCTM published the Principles and Standards and now in 2011 we have the CCSS. With each new set of standards, there has been a shift in curricula 4. Could you explain the main focus of the current curriculum briefly? The CCSS has eliminated topics from each grade, usually focusing on three big ideas for each grade level, K-8. For example, little geometry is taught in some grades and data analysis or probability is not in the curriculum before grade 6. The CCSS also positioned the content with a more mathematical focus than existing materials have: division is presented as a search for an unknown factor; a greater emphasis

289 on mathematical structure and how it can be used to organize learning. Fractions are a core topic in elementary grades and algebra has a central role in middle and high school. The high school statistics intended for all students goes much deeper into building conceptual ideas of inference using simulation techniques that is currently the case. The high school content is separated into core content for all students through grade 11, and certain "+" content for students intending to continue studying in STEM fields. 5. To what extent do school mathematics teachers take roles in the curricular revision process? Teachers played no role or a very minimal role in the CCSS development, but they are playing a large part in figuring out how to revise the curriculum in their own districts or schools to meet the CCSS. <Questions on other policy> 1. How securing and allocating educational budget for mathematics education are done? This varies from state to state; education is under the control of each state. Often the funds are allocated by a formula that may or may not be based on a tax rate and is sometimes attached to the amount of money people who live in the district pay for property taxes. This policy led to inequities funding and in most places is no longer the way it works. The amount is determined by the state, and each district has to figure out how to make that amount work or where to find extra funds, often by charging for certain programs for example. 2. Please list and give (as detailed as possible) information on the following categories. (1) Policies to improve mathematics teacher effectiveness or to encourage professional growth Every state has some rules about teachers getting continuing education credits five credits every five years, for example. But usually these credits are not well defined and can be in anything from going to a conference to taking a course. Some states have policies that reward teachers who pass a rigorous "National Board for Professional Teaching" exam and grading of videos of their teaching, designed and

290 administered by a non profit group of professionals who are trying to elevate the teaching profession across all disciplines in the United States. This often takes the form of extra money but usually does not give them increased status among the pool of teachers in a district. (2) Policies to remediate or eliminate weak teachers. We have few policies to eliminate weak teachers as there seems to be little agreement on how to define a weak teacher. If a teacher violates a moral or civil law, they are easily dismissed; if they are mediocre teachers, it is difficult to collect evidence that assigns the responsibility to poor student performance to the teacher. Increasingly states and districts are looking to a statistical method known as "value added", which attempts to measure student knowledge at the beginning of the grade and again at the end of the grade with a teacher and assign a value added score to that teacher. The statisticians have indicated that this method is very flawed and unreliable, but states ignore the reality and continue to use it as a way to define the worth of a teacher. Teachers in the US are well respected as individuals in their local community, less well respected as a group in the state and are given little or no responsibility for their profession. 3. Does your country have research and/or teaching institutes, which are funded by or associated with your government, especially for mathematics education? Please explain current state, roles, and influences in mathematics education. The US has two funding organizations associated with the government, the National Science Foundation (NSF) and the Department of Education. The Department of Education supports projects aimed at implementing the educational goals of the President (Race to the Top State grants, Innovative 3 funds for any organization or group, etc.). The NSF funds research projects targeted at generating a better understanding of teaching and learning math. These can be large multi state projects or small projects intensely focused on one small aspect of teaching and learning math

291 미국 현지자문가자료 (2) During the past decade, what have been substantial changes in educational policies with regard to mathematics education in your country? We greatly appreciate it if you could delineate the following items. <Questions on textbooks> 1. Please describe the most important reason in revising textbooks. Many textbooks on math for pre service teachers have started to include questions about K-12 student math thinking and errors, copies of pages from about K-12 math books, and questions taken from state math assessment tests. Group work questions and project topics have also started to appear more that in the past. 2. From the perspective of teachers and students, what are some points to be improved in the future textbooks? Both pre-service teachers and students learn the mathematical concepts and principles. However, textbooks do not often provide conceptual understandings underlying these background concepts and principles that teachers need to know (or learn to teach) and students to learn. Also, inclusion of more elaborated explanation for why particular topics are presented in the order and sequence would be necessary in the future editions of mathematics textbooks (Nicol & Crespo, 2006). 3. What kinds of technology and software are currently used in the textbooks? Couldyou introduce us some typical textbooks to show how technology is embodied in textbooks? It is needless to mention the use of graphing calculators. In terms of computer software, this varies tremendously from textbook to textbook and by grade levels. Some textbooks have little or no mention of interactive technology such as CAS, Data base programs like Excel, or Dynamic Geometry work like in GSP. Others extensively integrate such technology such as the Core Plus series. The CPMP Tools free software package was designed to support Core Plus materials

292 (CPMP Tools means Core Plus Mathematics Project). I would say that most K-12 math texts have at least some integration of numerical calculator technology work integrated into the materials. 4. What is a sustaining plan for developing textbooks to encourage students to develop an interest in mathematics? According to the National Mathematics Advisory Panel s(2008) recommendation, 1) publishers must ensure the mathematical accuracy of their materials because it was found that many middle and high school mathematics textbooks include many errors and ambiguous and confusing problems and statements; 2) textbooks should strive for more compact and coherent text; and to make more compact and coherent textbooks, 3) states and districts should strive to reach an agreement on topics taught at a particular grade level (p.55-56). 5. Does you country have a plan to produce digital textbooks? If so, couldyou expect when the digital textbooks will be developed? There is no national plan of this form that I am aware of. <Questions on teacher training> 1. Please describe the most important issue of the training program for primary level mathematics teachers in your country. This will vary from state to state. There is no nationalized, mandated curriculum in math. There are a huge number of math curricula available for K-12 schools. In most cases each school or district goes through a curriculum evaluation process every few years to decide which curricula to use. There is however at the national level the Common Core math standards see and

293 All but 5 of the 50 U.S. states have adopted this curriculum which means they are committed to its principles and will implement them in their K-12 school systems In Iowa the integration of the Iowa Core Curriculum in Mathematics is a priority for all schools K-12 as it is now part of the Iowa Department of Education requirements for schools that they implement the ICC into their math classes. The IDE has described how the Common Core and ICC are compatible and are both to be implemented in all Iowa schools. See d-of-education-adopts-common-core-state-standards&catid=666:highlights for additional details. I would also say the effective use of technology for teaching math in K-12 is a priority of teacher training programs at the post secondary level. 2. Please describe the most important issue of the training program for secondary level mathematics teachers in your country. See the answer to the previous question. 3. Which institutes do organize and execute the in-service teacher programs? Please describe the role and function of the institutes briefly. Almost all colleges and universities in the U.S. have some form of teacher education programs in their college or department of education. 4. What kinds of efforts does the (central or local) government make to heighten teachers participation rate in mathematics teacher training programs? This will vary from state to state. In Iowa there is the Iowa Mathematics and Science Education Partnership (IMSEP) program, funded through the Iowa State government. Part of its charge is to increase the number and quality of school math and science teachers. See

294 Additionally in Iowa there is now the Governor s STEM Advisory Council es-leadership-plans-to-restore-iowa%e2%80%99s-tops-in-the-nation-standing/ which will undertake efforts to improve math and science achievement of students and content and pedagogy knowledge of in service and pre service teachers. At both the state level and the national level, various grant projects such as the Mathematics and Science Partnership programs are funded to improve math and science student achievement, teacher content and pedagogy knowledge at both the in service and pre service levels. 5. How are primary teachers encouraged to be trained as mathematics education experts and how is their quality management carried out? <Questions on curriculum> 1. Does your country have a national curriculum? If not, who develops the curricula and in what process are they developed? The U.S. does not have a national curriculum. From 2000, the Principles and Standards for School Mathematics (National Council for Teachers of Mathematics [NCTM]) stand as a guiding curriculum standard for school mathematics from K-12 grades. And in 2010, the Council of Chief State School Officers (CCSSO) and the National Governors Association Center for Practice (NGA Center) presented K-12 Common Core State Standards (CCSS) documents for English and Mathematics that is adopted by 44 states. The official website of the CCSS ( provides how these standards were developed and who are involved in the process. To develop these standards, CCSSO and the NGA Center worked with representatives from participating states, a wide range of educators, content experts, researchers, national organizations, and community groups. These final standards reflect the invaluable feedback from the general

295 public, teachers, parents, business leaders, states, and content area experts and are informed by the standards of other high performing nations. Strengthening and expanding from the previously released Standards documents (i.e., Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics, 1989; Professional Standards for Teaching Mathematics, 1991; and, Assessment Standards for School Mathematics, 1995), the PSSM was developed to provide "the opportunity and the support necessary to learn significant mathematics with depth and understanding" since it is imminent to understand and be able to use mathematics in everyday life and workplace now and in the future. Many groups of people are engaged in the development of the Standards including teachers, mathematics teacher-leaders, school and district administrators, institutions of higher learning, mathematicians, professional organizations, parents and other care givers, politicians, business and community leaders, and students ( 2. What is the main issue in determining revision of your country s mathematics curriculum in the past ten years? The Common Core States Standards is also called college- and career-readiness standards, which includes concepts of alignments with college and work expectation, including rigorous content and application of knowledge that are informed by top-performing countries and based on research and evidence. In the introduction of the CCSS document, "a mile wide and an inch deep" was brought up. Based on previous research studies comparing mathematics education in high-performing countries, it was pointed out that "the mathematics curriculum in the United States must become substantially focused and coherent in order to improve mathematics achievement" of the country. 3. How often are revisions made? So far how many revisions have been conducted prior to the current curriculum? There is no national Curriculum in the U.S. The most current curriculum is the CCSS presented in 2010 that is followed by PSSM (NCTM, 2000). The PSSM was developed to strengthen and expand the previous Curriculum and Evaluation Standards in 1989 (NCTM). It appears that there has been a revision in every ten years. 4. Could you explain the main focus of the current curriculum briefly?

296 Recognizing the issue of "mile wide" leads the focus of the current curriculum to achieve "fewer standards" in the recent document. Also, as college- and career-readiness standards imply another focus of CCSS is to include "rigorous content and application of knowledge through high-order skills." 5. To what extent do school mathematics teachers take roles in the curricular revision process? CCSS: As mentioned earlier (#1), To develop these standards, CCSSO and the NGA Center worked with representatives from participating states, a wide range of educators, content experts, researchers, national organizations, and community groups. These final standards reflect the invaluable feedback from the general public, teachers, parents, business leaders, states, and content area experts and are informed by the standards of other high performing nations. PSSM: NCTM recognized that its Standards would need to be periodically examined, evaluated, and revised to remain relevant. In 1995 its Board of Directors appointed the Commission on the Future of the Standards to recommend how NCTM might proceed in updating its existing Standards documents. As a result, the Standards 2000 project was begun in 1997, with the appointment of a Writing Group to produce an updated Standards document and an Electronic Format Group to produce an electronically enhanced version of that document. The Commission obtained input from many different sources to revise the Standards. The Writing Group consulted extensive collections of curriculum materials, state and provincial curriculum documents, research publications, policy documents, and international frameworks and curriculum materials. Association Review Groups, a set of "white papers" commissioned by NCTM's Research Advisory Committee, and conferences sponsored by the National Science Foundation and the Eisenhower National Clearinghouse furnished additional input

297 The Writing Group finished a draft version of the new document in October 1998, and many groups and individuals reviewed the printed draft and its electronic edition on NCTM's Web site. The Writing Group substantially revised the document on the basis of the many hundreds of reactions received in response to the draft. In most cases I am aware of the teachers do not participate in the curriculum content review processes. <Questions on other policy> 1. How securing and allocating educational budget for mathematics education are done? At the state university level such funding comes through the state government as part of the university budget, tuition, in addition to grants for math education projects funded by a variety of public and private organizations. For private schools they raise money through a variety of public and private organizations and via grant support. 2. Please list and give (as detailed as possible) information on the following categories. (1) Policies to improve mathematics teacher effectiveness or to encourage professional growth Referring to our previous response: This will vary from state to state. In Iowa there is the Iowa Mathematics and Science Education Partnership (IMSEP) program, funded through the Iowa State government. Part of its charge is to increase the number and quality of school math and science teachers. See Additionally in Iowa there is now the Governor s STEM Advisory Council es-leadership-plans-to-restore-iowa%e2%80%99s-tops-in-the-nation-standing/

298 which will undertake efforts to improve math and science achievement of students and content and pedagogy knowledge of in service and pre service teachers. At both the state level and the national level, various grant projects such as the Mathematics and Science Partnership programs are funded to improve math and science student achievement, teacher content and pedagogy knowledge at both the in service and pre service levels. (2) Policies to remediate or eliminate weak teachers. The professional development projects cited above can have such remediation as a focus if the project design and funding will support working with teachers who are in need of remediation. Such projects do exist throughout the country (including at the University of Iowa). In some districts and states teachers pay and performances are tied to student performance such as in Florida 3. Does your country have research and/or teaching institutes which are funded by or associated with your government, especially for mathematics education? Please explain current state, roles, and influences in mathematics education. Yes there are quite a few government and privately supported math education centers and institutes at the post secondary education institutions. Just to mention a very small number of examples: The Mid Atlantic Center for Mathematics Teaching and Learning The Vermont Institute Math in the Middle Institute (U. Nebraska) At Michigan State U. At the University of Arizona

299 프랑스 현지자문가자료 During the past decade, what have been substantial changes in educational policies with regard to mathematics education in your country? We greatly appreciate it if you could delineate the following items. <Questions on textbooks> 1. Please describe the most important reason in revising textbooks. In France, the most important reason for changing textbooks is the change in math programs. Programs are frequently modified (about 10 years). 2. From the perspective of teachers and students, what are some points to be improved in the future textbooks? French textbooks are ambiguous: in theory they are made to help students understand their lessons and to provide the teachers with exercises and problems to give to their students, but the text of the lessons is written for both the student and the teacher. Besides, there is often a «teacher» version of the book with pedagogical and didactical indications. Another point is about the exercises: most of the time they are «carved» into short questions easy to answer, which the consequence that the students are not trained to search more difficult problems by him/herself 3. What kinds of technology and software are currently used in the textbooks? Could you introduce us some typical textbooks to show how technology is embodied in textbooks? From many years textbooks have frequently made use of calculators. Today they also imply the use of software whenever possible. They follow the evolution of the machines. Calculators are generally authorized in exams. The main reason for textbooks implying the use of machines is the math program itself, which explicitly enjoins using them and indicates how and for what purposes. Besides, most students have now a computer at home and use it for playing games, so it is not a problem for them to use a computer. 4. What is a sustaining plan for developing textbooks to encourage students to develop an interest in mathematics? (I am not sure to understand the question). Textbooks are produced by private firms. In order to interest students in mathematics they make a great use of colors and images, and some io them include a CD. 5. Does you country have a plan to produce digital textbooks? If so, could you expect when the digital textbooks will be developed? No. Digital textbooks are produced by private firms. Many paper textbooks have a CD included with computer programs on and refer to them in their pages. So the student is encouraged to use his/her own computer for learning math. <Questions on teacher training> 1. Please describe the most important issue of the training program for primary level mathematics teachers in your country. In France, primary level teachers are, in their great majority, not of scientific origin. So their training is twofold: teach them mathematics while you teach them

300 how to teach it. Math education is now well developed in France and the main question remains to teach mathematics to teachers, who generally were not good at math in school and do not like them very much when they come to the training center. 2. Please describe the most important issue of the training program for secondary level mathematics teachers in your country. Secondary level math teachers are mostly ex math students (but now there are also people who come to teaching after having spent some years in private firms (engineers, for instance)). So the main issue is to help them pass on their mathematical knowledge in an efficient way, especially through math education courses. But, since programs change and include knowledge that they had not necessarily in university (statistics, graph theory...) some complements have to be taught as well in training courses. 3. Which institutes do organize and execute the in-service teacher programs? Please describe the role and function of the institutes briefly. It is planned and organized, from national instruction, by a regional instance called «academy» (there are about 30 academies throughout France). One service is devoted to primary school and another to secondary school. TheMinisteryofEducationgivessomeguidelinesaboutinservicetrainingtotheacademies.Then eachacademyimaginesandorganizestrainingsessionsonthevariouspointsofthenationalguide lines,togetherwithlocalguidelineslinkedtolocalneeds.forthatpurposethehelpofteachers knownasspecialistsofthesubjectisrequired. 4. What kinds of efforts does the (central or local) government make to heighten teachers participation rate in mathematics teacher training programs? When participating in training sessions as trainees, teachers must be authorized the headmaster of their school. They do not receive any fee and have to make up for the lost classes. Some of the training sessions are intended for teachers whose name has been given by the local school inspectors. 5. How are primary teachers encouraged to be trained as mathematics education experts and how is their quality management carried out? The primary school teachers wanting to become math educators have to pass practical and theoretical exams. <Questions on curriculum> 1. Does your country have a national curriculum? If not, who develops the curricula and in what process are they developed? For many years there has been a national curriculum in France. For each path the curriculum is developed by a team comprising national math inspectors, local math inspectors, academics and teachers. 2. What is the main issue in determining revision of your country s mathematics curriculum in the past ten years? There are in fact two main issues: the need to be close to 'real life' (for instance development of technologies) and what the inspectors can see when visiting 'ordinary' classrooms. 3. How often are revisions made? So far how many revisions have been conducted prior to the current curriculum?

301 Most of the time a revision of the curriculum occurs every tenth year. More precisely 1970, 1980, 1991, 2001, Could you explain the main focus of the current curriculum briefly? One reason is that France has not a good rank at the last PISA session. Another one is to include new technologies in teaching. 5. To what extent do school mathematics teachers take roles in the curricular revision process? A prospective new curriculum appears on the Ministery website and teachers can give their opinion on it. After that the definitive curriculum is published. Besides, the French association of math teachers has exchanges with the Ministery. <Questions on other policy> 1. How securing and allocating educational budget for mathematics education are done? Some money is sent by the Ministery to the academies for organizing training sessions for in-service teachers. Some other money comes from universities, for the training of prospective teachers. 2. Please list and give (as detailed as possible) information on the following categories. (1) Policies to improve mathematics teacher effectiveness or to encourage professional growth Essentially through training sessions and personal good will which leads teachers to undertake studies to pass an exam which will allow them pass into a better category. (2) Policies to remediate or eliminate weak teachers. Prospective teachers have to pass an exam at the end of their curriculum, and some of them do not succeed. Local inspectors visit classrooms and give the teacher a mark which may lead to earn more money or not. If there is a big problem with a teacher he/she may be sent to another school or given another job (school archivist, for instance). 3. Does your country have research and/or teaching institutes, which are funded by or associated with your government, especially for mathematics education? Please explain current state, roles, and influences in mathematics education.. In France we have some institutions belonging to universities: * Severallabsdevotedtoresearchinmatheducation. * University Institutes for Teacher Training (IUFM): they are most in charge of the training of prospective teachers (primary and secondary education). Their educators are academics and experienced teachers. * Institutes for Research in Math Education (IREM): Here academics and teachers work together on action researches about topics linked to the teaching of math (more or less linked to experimenting the current curricula). They are involved in training sessions for inservice math teachers

302 싱가포르 현지자문가자료 During the past decade, what have been substantial changes in educational policies with regard to mathematics education in your country? We greatly appreciate it if you could delineate the following items. <Questions on textbooks> 1. Please describe the most important reason in revising textbooks. In Singapore, the mathematics curriculum undergoes revision once every five years. Textbooks are revised according to the revised syllabus. 2. From the perspective of teachers and students, what are some points to be improved in the future textbooks? Teachers would want textbooks that are clearly in line with the emphasis of the syllabus. The sections of the textbooks of how they are DIRECTLY addressing the demand of the new syllabus need to be made explicit. Teachers expect textbooks to be accompanied by "Teachers Guide"which provide ideas of how to teach the particular topics. Students do expect textbooks to contain questions that are of the same type as the national examinations. Answers and suggested solutions should be provided for students for their self-revision. 3. What kinds of technology and software are currently used in the textbooks? Could you introduce us some typical textbooks to show how technology is embodied in textbooks? For mathematics textbooks, the softwares that must be incorporated are (1) graph plotter (usually, graphmatica); (2) spreadsheet (usually, Microsoft Excel); (3) dynamic geometry software (in Singapore, basically this is Geometers Sketchpad). Use of technological tools is used in introducing new concepts and also as students activities in discovery learning

303 4. What is a sustaining plan fordeveloping textbooks to encourage students to develop an interest in mathematics? Generally, the textbooks are expected ( by the Ministry of Education) to contain questions that show "direct application of mathematics to real-life". This is particularly important as mathematical modelling is one of the new emphasis in the revised curriculum since few years back. Furthermore, relate mathematics to the use of Information Technology (IT) is another plan to develop students interest in the subject. 5. Does you country have a plan to produce digital textbooks? If so, couldyou expect when the digital textbooks will be developed? Not so much of digital textbooks. However, most "popular"textbooks among school teachers and students are accompanied by digital resource in the website for students and teachers to download to supplement their existing textbooks (usually extra practice questions for students). <Questions on teacher training> 1. Please describe the most important issue of the training program for primary level mathematics teachers in your country. One of the main issues is the primary teachers mathematics content knowledge. As most of the teachers were not mathematics specialists in their university courses, there was concern that the teachers content knowledge might be limited. The pre-service teacher training programme has addressed this issue by introducing "mathematics subject knowledge courses"in the programme. For greater detail, I have presented a paper at Cheongju conference on teachers content knowledge and how NIE, the sole teacher training institute, has tackled the issue. 2. Please describe the most important issueof the training program for secondary level mathematics teachers in your country. Recently, teachers mathematics content knowledge has also become an issue in the country, as more teachers recruited into the teacher training programme (the postgraduate diploma in education programme) are from non-mathematics background

304 (e.g. engineer, computer science, business, etc). Also, anecdotal evidence has shown that some of their lack of content knowledge has affected their pedagogy, which has become an area of concern by some teacher educators. 3. Which institutes do organize and execute the in-service teacher programs? Please describe the role and function of the institutes briefly. For in-service teacher programme, the National Institute of Education (NIE) is the main player in organizing and executing the in-service teacher programme, with the sponsorship by the Singapore Ministry of Education. However, schools do have their own fund to engage other external agencies to conduct teacher development programme for their teachers. 4. What kinds of efforts does the (central or local) government make to heighten teachers participation rate in mathematics teacher training programs? In Singapore, ALL teachers (employed by the Singapore Ministry of Education) are expected to attend 100 hours of training sessions per year. Most teachers have achieved that target. In Singapore, teachers generally attend in-service professional development courses during part of their vacation, in order to meet the 100 hours target per year. 5. How are primary teachers encouraged to be trained asmathematics education experts and how is their quality management carried out? Primary teachers are encouraged to attend in-service professional development courses on pedagogy, content and educational issues. All primary teachers without a basic degree are encouraged to obtain a degree either through part-time studies or full-time leave with pay. Further, part-time in-service postgraduate courses are offered by the National Institute of Education for the in-serviceteachers to obtain a postgraduate degree either in content area or pedagogy. <Questions on curriculum> 1. Does your country have a national curriculum? If not, who develops the curricula and in what process are they developed? Yes, we have a national curriculum. 2. What is the main issue in determining revision of your country s mathematics curriculum in the past ten years?

305 The curriculum revision is made in line with the most recent development in mathematics education research. 3. How often are revisions made? So far how many revisions have been conducted prior to the current curriculum? The curriculum is revised once every five years, since the 1980s. 4. Could you explain the main focus of the current curriculum briefly? The Singapore mathematics curriculum emphasizes on mathematical problem solving since the 1980s. Below is the Singapore mathematics curriculum framework for primary, secondary and pre-university mathematics curriculum. Ministry of Education, To what extent do school mathematics teachers take roles in the curricular revision process? In the revision of curriculum, syllabus review committee for each of the mathematics subject will be formed. The members consist of people from the Ministry of Education Headquarter, school teachers (usually senior teachers or Head of Department) and experts from the university. In short, selected teachers do participate in the curricular revision. <Questions on other policy> 1. How securing and allocating educational budget for mathematics education are done?

306 The budget is rather decentralized. In the training of pre-service teachers, it was done by the National Institute of Education (NIE). To train in-service teachers, budget is allocated to the individual schools to decide on the professional development of their teachers. 2. Please list and give (as detailed as possible) information on the following categories. (1) Policies to improve mathematics teacher effectiveness or to encourage professional growth As mentioned above, teachers are expected to attend professional development courses every year. Further, school teachers are also expected to participate in action research and lesson studies to improve their efficiency. Teachers nowadays also form professional learning communities (PLC) for greater communication with colleagues both within and without the schools they are teaching. (2) Policies to remediate or eliminate weak teachers. Singapore Ministry of Education values the diversity of the strengths of her teachers. Thus, elimination of "weak" teachers is usually not the priority, but more on developing the strength of the teachers. The staff appraisal for teachers is done annually; the "weaker" teachers will be advised on how to work to improve themselves. However, very strict admission condition is imposed before one is recruited for teacher training. The teacher needs to have the academic credentials and to pass the interview panel before they are admitted to the teacher training. 3. Does your country have research and/or teaching institutes,which are funded by or associated with your government, especially for mathematics education? Please explain current state, roles, and influences in mathematics education. Yes, the National Institute of Education (NIE) is both the research and teaching institute in Singapore funded by the government

307 인도 현지자문가자료 During the past decade, what have beensubstantial changes in educational policies with regard to mathematics education in your country? We greatly appreciate it if you could delineate the following items. <Questions on textbooks> 1. Please describe the most important reason in revising textbooks. India has a federal structure with about 30 states. Education is largely shaped by the state governments, with each state having its own curriculum and textbooks. Most students in a state follow the textbooks produced by the state Government. There are a few schools, especially English medium schools in cities, which use private textbooks. The Central (i.e. federal) government also produces textbooks, largely for use in schools run by the Central government for its employees spread all over India, or for schools affiliated to the Central school examination board. The Central government has the best institutional infrastructure and produces textbooks that are usually better than most state government textbooks. Also the Central school curriculum is more progressive and a trend setter that the states try to emulate. Recently in 2005, the Central government brought out a new National Curriculum Framework (NCF 2005), which brought about some important reforms in school education on the basis of the following five principles: connecting knowledge to life outside the school ensuring that learning is shifted away from rote methods enriching the curriculum to provide for overall development of children rather than remain textbook centric making examinations more flexible and integrated into classroom life and nurturing an over-riding identity informed by caring concerns within the democratic polity of the country. Following the NCF 2005 all the Central textbooks were revised, and now the state governments are revising their textbooks to align them with the NCF

308 The National Curriculum framework, syllabus and textbooks can be downloaded from the website of the National Council of Educational Research and training (NCERT): So the main reason for recent and on-going revisions of many textbooks in India is the new National curriculum framework, which emphasizes child-centered teaching and learning based on constructivist principles and making connections to life outside school. 2. From the perspective of teachers and students, what are some points to be improved in the future textbooks? I'll restrict my comments to the Central government mathematics textbooks (also called "NCERT textbooks"). The present textbooks in general are an improvement over the earlier textbooks. However, they could be improved in the future and the changes that are desirable are: There is now a big jump in the level and approach from grade 5 (end of primary) to grade 6 (beginning of upper primary). This gap needs to be reduced. The primary textbooks are attractive and engage students, but the mathematics is not presented in a systematic way. This needs to be improved so that teachers have a better idea of the concepts that they need to target. The middle and high school curricula still adopt the formal mathematical style and approach; more connections to applications of mathematics and mathematical modelling need to be brought in. The syllabus and textbook writers are not much aware of the research and developments across the world in mathematics education. The insights gained from research and what has been tried elsewhere needs to be used to improve the textbooks. 3. What kinds of technology and software are currently used in the textbooks? Could you introduce us some typical textbooks to show how technology is embodied in textbooks?

309 There is almost no or very minimal use of computers and software in the teaching of mathematics or other subjects in the present curricula. However all schools have a subject like computer applications or ICT, which is introduced to ensure that poorer students are not kept out of the IT revolution. There is an attempt to equip all schools with computers. But in most schools in rural areas, children do not still have access to a computer in the school or at home. 4. What is a sustaining plan for developing textbooks to encourage students to develop an interest in mathematics? All students own and use textbooks produced mostly by the government, which they can buy at very low cost or can get free. There is good infrastructure in many large states to produce their own textbooks. Some smaller states use the Central government textbooks. This infrastructure will continue to produce textbooks. Over the years, textbooks have become more attractive and interesting to children. The new NCERT textbooks in primary mathematics are particularly attractive and engaging for children. 5. Does you country have a plan to produce digital textbooks? If so, could you expect when the digital textbooks will be developed? All the NCERT textbooks are available online in pdf form and can be downloaded free of cost. Some states are beginning to put their textbooks online. Apart from this, there is no plan that I am aware of to produce digital textbooks. Printed textbooks for every child are emphasized. <Questions on teacher training> 1. Please describe the most important issue of the training program for primary level mathematics teachers in your country. There is a large teacher education infrastructure set up in the country over the last three decades, which consist of both government and private training institutes. The government training institutes at the primary level (most of them are called DIETs or District Institutes of Educational Training) also have the responsibility for in-service training. However, the focus has largely been on pre-service teacher education and in-service is relatively neglected and unregulated. Although in-service training is mandatory for teachers, the programs

310 are arranged in an ad-hoc manner or they are seen as a channel for transmitting top-down reform recommendations and messages. 2. Please describe the most important issue of the training program for secondary level mathematics teachers in your country. The most important issue for training secondary mathematics teachers would be to encourage teaching practices that emphasize conceptual understanding of mathematics, application of mathematics and genuine problem-solving. 3. Which institutes do organize and execute the in-service teacher programs? Please describe the role and function of the institutes briefly. As I said in my response to Q.1 in this section, for primary teachers the main institutions responsible for in-service training are the DIETs. The DIETs are supported from above by state level organizations (SCERTs State Council for Educational Research and Training) and from below by "block" and "cluster" level organizations. But this infrastructure for in-service training is very weak, with the DIETs mainly focusing on pre-service teacher education. For secondary teachers, besides the SCERTs, in a few states teacher associations are active and organize seminars and workshops. But overall in-service support is very limited. 4. What kinds of efforts does the (central or local) government make to heighten teachers participation rate in mathematics teacher training programs? In-service teacher training is now mandatory for primary and upper primary school teachers. However these training programs tend to be top-down, and teachers do not participate actively in the training sessions. To ensure teachers' participation, many bottom-up initiatives are needed, such as forming and supporting teacher study groups. 5. How are primary teachers encouraged to be trained as mathematics education experts and how is their quality management carried out? Starting from around 1990, a large number of Cluster Resource Centres (CRCs) were set up. Each cluster consists of 25 schools. The best teachers were appointed as resource persons at these Centres and were supposed to pick up skills as experts and in turn train other teachers. However this system has not worked in most states

311 and resource persons have become focused more on administrative work rather than on academic work. At present, there is no systematic programme other than the largely defunct CRC system to develop expert teachers. <Questions on curriculum> 1. Does your country have a national curriculum? If not, who develops the curricula and in what process are they developed? I have described this in some detail in Q1 in section What is the main issue in determining revision of your country s mathematics curriculum in the past ten years? The position paper by the National Focus Group on 'Teaching of Mathematics', which is a part of the NCF 2005 identifies four core areas of concern: A sense of fear and failure regarding mathematics among a majority of children A curriculum that disappoints both a talented minority as well as the non-participating majority at the same time, Crude methods of assessment that encourage perception of mathematics as mechanical computation Lack of teacher preparation and support in the teaching of mathematics. The Focus group report is available at 3. How often are revisions made? So far how many revisions have been conducted prior to the current curriculum? The NCERT has produced curriculum framework for school education in the following years: 2005 (Textbooks produced during being used presently) 2000 (Textbooks produced in ) 1988 (Textbooks produced following this framework are not easily available)

312 1975 (Textbooks produced following this framework are not easily available) 4. Could you explain the main focus of the current curriculum briefly? The five guiding principles of the NCF 2005 are included in my response to Q.1. of section 1. In the vision for mathematics education in the Focus group position paper on 'Teaching of mathematics' (see above) the following points are stressed (pp. 2-3): Children learn to enjoy mathematics. Children learn important mathematics. Children see mathematics as something to talk about, to communicate, to discuss among themselves, to work together on. Making mathematics a part of children s life experience is the best mathematics education possible. Children pose and solve meaningful problems. Children use abstractions to perceive relationships, to see structure, to reason about things, to argue the truth or falsity of statements. Children understand the basic structure of mathematics. Teachers expect to engage every child in class. 5. To what extent do school mathematics teachers take roles in the curricular revision process? School teachers are a part of the committee that formulates the curriculum framework documents, the syllabus and the textbooks. While they do not play a leading role in these groups, they play an important role and contribute to writing textbook chapters and providing inputs for making curricula and syllabus. <Questions on other policy> 1. How securing and allocating educational budget for mathematics education are done? Some of the budget for mathematics education at higher levels (university, Ph.D.) is done through a special board set up National Board for Higher Mathematics. For school level, funding comes mostly from the Human Resource Development Ministry

313 2. Please list and give (as detailed as possible) information on the following categories. (1) Policies to improve mathematics teacher effectiveness or to encourage professional growth A new National Curriculum Framework for Teacher Education (NCFTE 2010) has been drawn up to cover both pre-service teacher education and in-service professional development (PD). There is no substantive document separately for PD of mathematics teachers. The NCFTE is yet to be translated into programs of implementation. With regard to Continuous professional development andin-service support for teachers, the NCFTE formulates the aims as developing practice through exploration and reflection, through research and by breaking out of intellectual isolation and sharing experiences and insights with peers. It emphasizes the professional autonomy of teachers and respect for them as professionals as principles on the basis of which in-service programs can be designed. Some of the problems connected to current in-service programs are specifically criticized such as over-training, routinized and superficial training. It also emphasizes the creation of spaces for teachers to share their experiences and insights, and mentions that change must not be the burden of the individual teacher alone, but must be addressed also at the structural level. Some of the professional development opportunities proposed by the NCFTE are short and long term courses, sabbatical for study and research, professional conferences and meetings, professional fora, and faculty exchange visits and fellowships. The NCFTE can be downloaded from the following website: As I said earlier, the policies mentioned in this document are yet to be translated into implementation and action programs. (2) Policies to remediate or eliminate weak teachers. Government school teachers typically enjoy assured service and retirement benefits. So I am not aware of any measures actually implemented to remove weak teachers or of any special interventions for them. Incentive schemes have at times been

314 proposed, but have not been implemented on any significant scale. Private school teachers of course can typically be asked to leave at any point. The Right to Education Act (2009) lays down certain minimal qualifications for entering the teaching profession, which includes passing a Teacher Eligibility Test (TET). Many states have begun to formulate their policies about TET, which at present is being done only in a few states. In a few years time, all teachers will need to have passed the TET. 3. Does your country have research and/or teaching institutes, which are funded by or associated with your government, especially for mathematics education? Please explain current state, roles, and influences in mathematics education.. India is woefully short of research institutes or specialized teaching institutes that combine subject content with pedagogy. Teacher training is seen as a "professional stream" along with professions such as engineering and medicine and hence teacher education institutions are located typically outside the University mainstream. So there is very little interaction between university departments and teacher education institutions. Research in education tends to be focused on general education or on general pedagogy, which is usually disconnected from subject matter. The Homi Bhabha Centre for Science Education, where I teach, is somewhat unique since it is a part of a scientific research institute (Tata Institute of Fundamental Research), but carries out research and development in school science and mathematics education. The website is The Homi Bhabha Centre has a Ph.D. program in science education (including mathematics education). It also has strong outreach activity in the form of professional development workshops for teachers. The Centre also plays the main role in selecting and training students to participate in the International Olympiad Competitions in science and mathematics. There is a need for more such centres, but at present they are not yet established. Some notable initiatives in science and mathematics education have taken place outside the formal institutions through 'Non-government Organizations' or NGOs. One of them Eklavya, which implemented the Hoshangabad Science Teaching Program in rural schools for 30 years, has had a great influence on the curriculum of science and social science at the school level, and to some extent on the mathematics curriculum. There have been other such initiatives such as the School Mathematics

315 Project of Delhi University which have had an influence on the current revision of NCERT textbooks especially at the primary level

316 중국 현지자문가자료 During the past decade, what have been substantial changes in educational policies with regard to mathematics education in your country? We greatly appreciate it if you could delineate the following items. <Questions on textbooks> 1. Please describe the most important reason in revising textbooks. In one sentence, the most important reason is to increase students creativity and practical ability. Because all people realize that the tendency of learn and teach for examination have to be changed in the new ear. 2. From the perspective of teachers and students, what are some points to be improved in the future textbooks? Maybe the real situations of mathematics conceptions, project-based learning, and logical relations and structural connections among mathematics topics and concepts should be strengthen. 3. What kinds of technology and software are currently used in the textbooks? Could you introduce us some typical textbooks to show how technology is embodied in textbooks? Actually, technology are not used very popular in China. At some good schools in large cities, graphing calculators are used in extra-curricular activities. Geometer s Sketchpad is also used there. Locally researched software called Super Sketchpad is used by some schools. 4. What is a sustaining plan for developing textbooks to encourage students to develop an interest in mathematics? Intuitive teaching aids, computer software which can help students understand abstract concepts, mathematics modeling, and situated teaching are encouraged. 5. Does you country have a plan to produce digital textbooks? If so, could you expect when the digital textbooks will be developed? No, partially because of economic situation in education here. Government has not

317 enough funding to education development. <Questions on teacher training> 1. Please describe the most important issue of the training program for primary level mathematics teachers in your country. From my perspective, the most important thing is developing teachers understanding of mathematics. Many teachers at primary schools graduated from two or three year colleges, leant mathematics not enough in their pre-service training. It is necessary to help them understanding teaching matters correctly, precisely and deeply. However, many teacher training program just emphasize the teaching ideas and skills. Maybe teachers teach students with good didactics but wrong mathematics. 2. Please describe the most important issue of the training program for secondary level mathematics teachers in your country. To promote secondary school teachers understand mathematics properly, and develop their teaching ideas for students creativity are most important. Secondary school mathematics teachers have learnt more mathematics before they got their bachelor degrees. But at secondary school they may taught students just for exam, not for concept understanding and creativity. 3. Which institutes do organize and execute the in-service teacher programs? Please describe the role and function of the institutes briefly. In China, many kind of institutes execute in-service teacher programs at different levels. Usually, national normal university for senior high school teachers, provincial normal university or teachers colleges for provincial junior high school teachers, and local teachers colleges for primary school teachers. Besides, there are also local teacher training schools or colleges specially take the regular responsibilities of in-service teacher training in every school year. 4. What kinds of efforts does the (central or local) government make to heighten teachers participation rate in mathematics teacher training programs? In many provinces and cities, there are special requirements for teacher participating training program, for example in Shanghai, 240 credits for a new teacher in first 5-7 years teaching career. It is a necessary condition for his or

318 her professional rank promotion from secondary rank to first rank. With such promotion, teacher s salary will be increased. In some new programs at national level, there is so-called National Training Program now. Central government sets funding to pay all expense for teacher training, including trainee s accommodations of three months. The awards are also issued to excellent trainees. 5. How are primary teachers encouraged to be trained as mathematics education experts and how is their quality management carried out? There are some special program for them. For example, some specially advanced training programs for excellent primary math teachers at national and local level. Teachers are required to attend special lectures, read papers and monographs, do teaching researches and publish academic papers on teaching, reflect their teaching practice, attend symposiums to exchange teaching experience, etc. Experts from universities, research institutes and local teaching research institutes are invited to supervise them. The professional rank promotion system is also encouragement and guarantee. It is a ranking hierarchy at school, form secondary rank to first rank, to senior rank, which is some thing like the professional title at university. Such professional rank promotion is closely related to teachers personal status and income. <Questions on curriculum> 1. Does your country have a national curriculum? If not, who develops the curricula and in what process are they developed? Generally, there is a national curriculum. It means the curriculum set by central government curriculum standards, and textbook are compiled by People s Education Press. However, it is encouraged to develop local curriculum standards and textbooks at the provincial level. 2. What is the main issue in determining revision of your country s mathematics curriculum in the past ten years? There was a debate between mathematicians and mathematics curriculum researchers on the basics of mathematical ability implied in the curriculum, which is something like the Math War in US. Mathematicians emphasize more strong mathematics skills and abilities for students, while curriculum researchers wish to pay more attention to develop creativity and consider the difficulties all students may meet. They

319 also to hope to decrease the hard learning burden on students. Both of them are reasonable. The better way is to make balance between them. 3. How often are revisions made? So far how many revisions have been conducted prior to the current curriculum? Usually, ten years is a cycle for revision. So far, the national curriculum is in the secondary new cycle. But in some cities, for example in Shanghai, it will have the third revision soon. 4. Could you explain the main focus of the current curriculum briefly? The main focuses are students creativity and ability of practical applications. For the teaching objectives, the focuses are the development of both knowledge and ability, learning process and method, affect and value. For the curricular content, the focuses are encouraging students to learn more flexible, and make the balance between understanding and basic skill. 5. To what extent do school mathematics teachers take roles in the curricular revision process? Of course, every teacher will play role in the period of experiment of the new version curriculum. Usually excellent teachers at all levels are invited to join the editor team, and involving in the whole process of developing new version of standard and textbooks. <Questions on other policy> 1. How securing and allocating educational budget for mathematics education are done? As a major subjects at school in China, mathematics is always one of the most important subjects at all level. Central and local governments always consider to distribute more budget for this subject. For example, in the inservice teacher training program, mathematics is the first subject to pay much attention and may share more budget. 2. Please list and give (as detailed as possible) information on the following categories. (1) Policies to improve mathematics teacher effectiveness or to encourage professional growth

320 From the experience in China, there are: inservice training regulation (earn credits in the process of inservice training programs); encouraging teachers read for higher degrees at university, regular teaching research group exchange activity at all levels (for example, teaching planning group level, grade level, school level, and school district level, etc. until city and provincial level); professional rank promotion system. (2) Policies to remediate or eliminate weak teachers. The most usual way is that experienced teacher are invited to be mentors for weak teacher at schools. Excellent teachers will supervised them to learn more mathematics; help them planning lessons; observe classroom teaching each other, exchange and evaluate lessons afterward. 3. Does your country have research and/or teaching institutes, which are funded by or associated with your government, especially for mathematics education? Please explain current state, roles, and influences in mathematics education. Yes, there are teaching research institutes in China. Usually they are funded and run by governments at different level. Regularly, there is so-called Teaching Research Laboratory, attached to Education Bureau. There are some special institutes for mathematics education at universities. Only few of such institutes are founded personally by some experts themselves. They publish teachings materials to fund their institutes running. Usually they keep close relationship with schools and teachers. Some of them in a good conditions, but some are not. - Information above is provided by: LI Shiqi Professor of Mathematics Education Department of Mathematics East China Normal University Shanghai, , China sqli@math.ecnu.edu.cn

321 ( 부록3) 수학교육관련정책자료 외국의수학교육관련정책실태( 사례) 는다음의 4가지질문을기준으로이루어졌 다. 1. 교육과정관련정책 최근 10 년중에교육과정이개정되었는가? 2. 예산관련정책 수학교육에투자하는예산이증대되었는가? 3. 수학교육연구센터 대표적인수학교육관련연구센터현황과역할 4. 수학교사를위한정책 수학교사를위한어떤정책이수립되었나? 우리나라학교수학교육강화방안에의시사점 으로다음의 3가지를추출할수있었 다. 1. 우수한수학교사확보를위한정책 가. 나. 교육예산중교사재교육예산비율확대 다양한기관및협회의합동노력으로제공되는재교육시스템구축 2. 학생의수학성취도에따른지도 가. 수학과부진학생과중급수준의학생을위한추가지도 3. 수학과만의특성을살린교육과정설계 가. 유치원에서고등학교까지의연계성을고려한교육과정설계

322 외국의수학교육관련정책실태( 사례) 및특징 가. 외국의수학교육관련정책실태( 사례) 1) 미국 가) 교육과정관련정책 최근 10 년중에교육과정이개정되었는가? (1) 수학과공통교육과정 2009년 9월수학과공통교육과정표준초안이작성되고 2010년 3 월 초 중 고공통핵심교육과정 초안이발표되었다. 수학과교육과정은다른교과와구 성방식이전혀다르다. 수(number), 수학적표현(expression), 등식(equations), 함수(functions), 양(quantity), 식성립(modeling), 도형(shape), 좌표 (coordinate), 확률(probability), 통계(statistics) 등 10개분야로나누고각 분야별로핵심개념( 학생들이이해해야하는개념) 과핵심능력( 학생들이할수있어 야하는능력) 으로나누어진술되었다. 예를들어, 등식(equations) 영역의 핵심 개념 과 핵심능력 은다음과같다( 정영근외, 2010b). 핵심개념 은 등식은두수학적표현이같다는진술(statement) 이다. 문제해결은논리적사고를통한수학적조립과정이다. 제곱은 2 차등식을풀기위한공식과관련된다. 한등식으로풀수없는식은확장된시스템에서풀수있다. 핵심능력 은 글로서술된문제를이해하고등식으로표현할수있다. 수의원칙이나등식에관련된속성을이용해미지수가들어있는식을풀수 있다. 등식을재구성할수있다. 등식의시스템을풀수있다( 예: 미지수가 2 개있는두방정식). 미지수가있는직선의방정식을풀고그래프로표현할수있다. 2 개의미지수가있는방정식세트를그래프에표현할수있다. 공통핵심교육과정웹사이트 ( 와현재미국에서공통 교육과정채택현황은 [ 그림 Ⅲ-41] 과같다

323 [ 그림 Ⅲ-41] 미국공통핵심교육과정웹사이트와공통교육과정채택현황 나) 예산관련정책 수학교육에투자하는예산이증대되었는가? (1) 오바마정부 ARRA법안의막대한교육계보조금집행방안 학생학업성취연합단체는전례없이높은국가보조금이미공교육을변화 시킬최고의기회라고보고하며 2012 년까지이를실현시키기위해각주, 학교에 다음의 5 가지방안을제시하였다( 정영근외, 2010b). 가장기본적으로 2012년 1월까지최소 40 개주를바탕으로, 대학과취업준 비를시킬 소수의, 뚜렷한, 고등의 공통학업수준지표를마련할것 각주, 학군, 학교, 학급단위의데이터시스템을정립하고, 효율적데 이터이해와운영으로더욱효과적인교육을제공할것 효과적, 효율적교사양성및교사자질평가제도를성립할것 최하위 5% 에해당하는학교들을폐지하고, 새로운환경의학교로대체할것 읽기, 쓰기, 수리능력( 수학) 에서많이뒤쳐진학생들을재교육시킬개혁 적인교습방법을마련할것 (2) 총 2천 5백만달러투자통해 2015년까지 3 만명의수학 과학전문보조교사 양성 양질의교사훈련과채용, 연구기반교육방법및교재개발, 장학금지원등 을통한초중등교육과정(K-12) 의수학 과학교육을강화하기위해총 2천 5백만 달러투자통해 2015년까지 3 만명의수학 과학전문보조교사를양성하고, 저소득

324 층학생의수학 과학과목접근성을높이면서 AP/IB( 대학과목선수수업제도/ 대학 입학국제자격제도) 시험에통과하는학생수를 70만명까지확대할계획을가지 고있다( 과학기술정책연구원, 2007). (3) The Math Now 주도계획 수학교육을장려하기위해학업능력이부족한학생에게교육프로그램을제공 하는것으로( 한국과학기술기획평가원, 2006) The Math Now 주도계획은 2007년회 계연도에행정부가 250 백만달러를요구하였고, 현재는초등학교와중학교학생 을위한수학프로그램으로분리되었으며 2008년도예산안에서각각 125백만달 러씩배정되었다( 한국과학기술기획평가원, 2007). (4) 고급프로그램(Advanced Placement; AP) 에대한투자 이프로그램의목적은수학, 과학 AP과정을가르치는 7만명의교수훈련과 high-need school 의교사들을훈련시키기위한(international Baccalaureate; IB) 것이다( 한국과학기술기획평가원, 2007). (5) 교육부예산안요구액중 90백만달러의증액 와 교육부의예산안요구액중에서 90 백만달러의증액은수학, 과학분야의 AP IB 주도계획및중요한외국어능력의경쟁적그랜트를지급하기위함이다( 한 국과학기술기획평가원, 2007). (6) 수학과학 파트너십프로그램 (Math and Science Partnership Program; MSP Program) 2002년시작한미국국립과학재단의 MSP 는고등교육, 특히과학, 기술, 공학, 수학분야교수진의업무를통합하고역량을기름으로써 K-12( 초 중 고) 의수학과 과학교육을강화하고개혁하기위해지원해온인력개발지원프로그램으로다음 과같은 6 가지지원유형이존재한다( 과학기술정책연구원, ). 포괄적파트너십 (Comprehensive Partnerships) K-12 전반에걸쳐변화를가져온다. 특정목표파트너십 (Targeted Partnership) 수학과과학분야에서 특정학년범위또는교육 의중요시기안에서일어날수있는학습과교수문제를연구하고해결하 는일에집중한다. 경우에따라수학또는과학의특정학과에대한문제 를다루기도한다. 협회파트너십 21 세기를위한교사협회(Institute Partnership Teacher Institute for the 21st Century) 교수(teaching) 를위한학문 적내용에깊은지식을가지고있으며수학또는과학에대해학교나학군

325 기반지적지도자가될준비가완전히갖추어진리더교사/ 마스터교사 (teacher leaders/master teachers) 에대한필요를충족시키는데집중한 다. MSP- 시작파트너십(MSP-Start Partnership) MSP 프로그램에처음참여 하는팀을위한것으로특히소수인구를대상으로하는기관, 커뮤니티컬 리지(2 년제), 학부우선기관들에해당하며완전한 MSP 협회파트너십또 는목표파트너십을개발하기위해필요한자료분석, 프로젝트설계, 평 가, 팀형성활동(team-building activities) 에관여한다. 2 단계파트너십(Phase Ⅱ Partnership) 이전에 MSP 파트너십지원금을 수여받은적이있는팀을위한프로그램으로추가적인연구를통해지식 과이해를발전시킬특정혁신분야에집중한다. 연구, 평가및기술지원(RETA; Research, Evaluation and Technical Assistance) 파트너십의진행상황을평가하는도구를개발하고작업이 더욱전략적이될수있도록하며연구역량을기르고중심연구를수행하 는프로젝트이다. 대통령은수학 과학파트너십프로그램을교육부의멀티정부프로그램으로지 속하고있고당초 NSF( 미국국립과학재단) 의 MSP 기여는 2004년 139백만달러였으 나, 2008년에는 46 백만달러만지원받음( 한국과학기술기획평가원, 2007). [ 그림 Ⅲ -42] 수학 과학파트너십프로그램 MSP홈페이지 (

326 [ 그림 Ⅲ-43] MSP 프로그램지원현황 다) 수학교육연구센터 대표적인수학교육관련연구센터현황과역할 대부분학교의경우, 단위학교별로연수를실시하고있으며, 각단위학교별로 연수를시행하기어려운작은학교의경우에는구역교육서비스센터에의존하여 여러학교가함께연수를하는형태로이루어진다( 김영진, 2011). 라) 수학교사를위한정책 수학교사를위한어떤정책이수립되었나? (1) 최고의수학 과학교사대통령상 대통령상후보자는지원서작성과 30 분분량의수업비디오를제출한다. 1차 심사는주정부수준에서내용전문가와뛰어난수학, 위원회에의해이루어지고 과학교사로구성된평가 2차심사는백악관의과학기술정책을대표하는 the National Science Foundation(NSF) 으로보내진다. 대통령상최종수상자는백악관 에서주최하는연회에초대되며대통령으로부터직접표창과미화 금을받는다( 정영근외, 2008). $10,000의상 (2) DCPS 학업성취도향상 5 개년(2008~2013) 개혁계획 워싱턴시는학생의읽기와수학학업성취도수준이 15% 미만이며, 고등학교 졸업률이 60% 로미국에서최하위이다. 워싱턴시가당면한가장심각한교육문제를 해결하기위해다음과같이 6 가지목표를수립하였다. 노력하는학교 훌륭한교원인력확보 잘조정된교육과정 과학적자료에근거한교육정책결정 효과적인워싱턴시교육청 지역사회의동참유도

327 이중훌륭한교원인력을확보하기위하여낮은학업성취도교사의퇴출을위 한퇴직금지불프로그램(buyout) 운영, 우수교사에대한적극적보상체계방안 수립( 장려금 : 교장 $ 10,000 교사$ 8,000 그외학교교직원도보상), 교사전문 성향상 on-line 프로그램개발보급등을계획하고있다( 정영근외, 2008). (3) 캘리포니아전문성개발학교(California Professional Development Institute, CPDI) 설립 8학년대수학Ⅰ 교사들을위한여름학교가출발점이되어 2000년에 70,000명까 지의교원에게강도높은전문성개발프로그램을제공하기위해설립되었다. 대 수학여름학교는 University of California, the California State University, 기타다른대학과전문대학, 초중등공동체의협동적인노력을통해제공되며강 도높은 2주간의여름프로그램과이후학기중총 160시간에이르는추가지원통 해교사전문성개발에주도적인역할수행하고있다( 정영근외, 2010b). 2) 싱가포르 가) 예산관련정책 수학교육에투자하는예산이증대되었는가? (1) 싱가포르국제수학대회(Singapore International Mathematics Challenge, SIMC) 개최 the Agency for Science, Technology and Research (A*STAR) 에의해지원받아 수학과과학고등학교(NUS High School of Mathematics and Science) 와함께교 육부가 2008년에이어 2010년 2 번째개최(Ministry of Education, Singapore, ). [ 그림 Ⅲ-44] 싱가포르국제수학대회(SIMC) 2010 홈페이지 ( 나) 수학교육연구센터 대표적인수학교육관련연구센터현황과역할

328 교사양성기관인국립교육원 (NIE-National Institute of Education) 8) 이싱가포 르교육부에의해지원을받아통제를하고있다. 즉, 예비교사의모집, 교육, 배치 를비롯하여, 교사의부족및공석에관한업무와교육실습, 교사재교육및평가의 모든것에관여를하고있다. NIE에있는수학교육학문적그룹인 AME(Association of Mathematics Educators) 에의해구성된수학교사와수학교 육자를위한 MTC(The mathematics Teachers Conference) 가 2005년이후정기 적으로개최되고있다 9). [ 그림 Ⅲ-45] MTC홈페이지화면과 2005 년~2011년교육주제 MTC 는기조강연과워크숍으로구성되어하루동안프로그램을운영해왔으며 2005 년에는 평가, 2006 년은 수학추론강화, 2007 년은 수학문맹퇴치, 2008 년은 수학문제해결, 2009 년은 수학적응용과모델링, 2011 년은 의사소통, 추 론과연결(connection) 이란주제들을다루어왔다. 3) 프랑스 가) 교육과정관련정책 최근 10 년중에교육과정이개정되었는가? (1) 프랑스교육과정개정 8) NIE는 1950 년에설립된교사연수센터 (TTC: Teacher Training Center) 로발전되고 1984년에설립된 CPE(The College of Physical Education) 와 1991년에통합되면서설립된기간으로현재난양공과대내에위치한교사양성대학이면서동시에교사연수기관의역할도하고있는종합교육대학이다. 9)