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재량 고
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1 변형체접촉을고려한분말자석단조성형공정의유한요소해석 김승호 *, 이형욱 *, 허훈 *, 이충호 ** Fnt lmnt Analss of Powdrd Magnt Sntr-forgng Procsss consdrng Dformabl Bod Contact Sung-Ho Km *, Houng-Wook L *, Hoon Huh * and Choong-Ho L ** Abstract Prmannt magnts of Nd-F-B group hav kpt a k post n th prmannt magnt markt and usd n varous parts. ub Procss s a procss to produc prmannt magnts usng a dformabl tub for dnsfcaton of powdr magnts. Advantag clamd for ths procss s that t can accomplsh both dnsfcaton and ansotropcaton n on stp formng. In ths papr, th smulaton has bn carrd out for a full ub Procss n a closd d consdrng th comprssblt of matral, arbtrar curvd shap and dformabl bod contact btwn Nd-F-B powdr magnt and coppr tub. h rsults show that th analss of ub Procss s applcabl wth grat hlp n th stag of prform dsgn. K Words : ub Procss ( 튜브제조법 ), Powdrd Magnt ( 분말자석 ), Dformabl bod contact ( 변형체접촉 ). 서론 Nd-F-B 계영구자석은 98 년처음으로상품화된이후세계영구자석시장을선도하는중요한강자성재료로부상하여꾸준한발전을지속해오고있고, 향후에도지속적인성장이전망되고있는분야이다. Nd-F-B 계자석의대표적제조방법에는벌크자석의제조에유리한소결법과이방성을가진자석의제조에유리한 GM Procss 및고에너지수지자석의제조가가능한 HDDR 법등이있고, 국내에서개발된튜브제조법 (ub Procss) 이있다 []. 튜브제조법은변형가능한튜브안에분말자석을넣은후밀폐금형하에서소결단조공정을통해자석을제조하는방식으로, 기존의방법들과는다르게치밀화와이방화를한번에수행할수있는제조법이다. 일반적으로곡면형상의자석을생산하고높이감소율이 0% 까지수행되어야하는공정이므로, 튜브의접힘현상을감소시키고, 균일한치밀화가가능하도록하는예비성형체가필수인제조법이다 []. 유한요소해석을사용하면예비성형체의설계에소요되는시간과비용을줄일수있으나, 곡면형상및분말자석의압축성을고려해야하고, 튜브와분말자석사이의 * 한국과학기술원기계공학과 ** Northwstrn Unvrst 접촉과성형체와밀폐금형사이의접촉을동시에고려해야하기때문에해석하기가쉽지않은문제이다. 본논문에서는유한요소격자방법을사용하여곡면형상의금형을표현하였고, 압축특성법을사용하여분말자석의압축성을고려하였으며, 강체접촉은경사경계조건을사용하여, 변형체접촉은라그란지승수법을사용하여처리하였다. 간단한평면사각형자석을해석하여프로그램의유효성을확인하였고, HPS(lctro-Hdraulc Powr Strng) 용원통형자석의전성형공정을해석해보았다.. 이론적전개. 지배방정식분말재료의항복조건식을편차응력의제 차불변항 J 의항과응력텐서의제 차불변항 J 의항및항복응력의항으로나타내면다음과같다 []. ( j ) f AJ ' + BJ η () b 여기서 b 는매트릭스소재의단축방향항복응력이고 는분말재료의유동응력, η, A, B 는상대밀도의함수이다. 단축응력상태인경우의구성방정식은다음과같다 [].

2 A & εj j + ( B ) mδ j () B j j + vδj A 6B( B) () 여기서 j 는응력텐서, &ε j 는변형률속도텐서, 는 P/M 의유효변형률속도, &ε v 는체적변형률속도를나타낸다. 단축응력상태인경우유효변형율속도및체적변형율속도는아래와같이표현된다. v j j + δj A ( A ) () dρ dv v 9B m ρ V (5) 여기서 m 는평균응력, V 는분말재료의체적, ρ 는상대밀도이다. 유한요소수식화분말재료 (P/M) 의소성포텐셜에너지는다음과같은범함수로정의할수있다 []. δ Φ δε& dω fδvdγ 0 (6) Ω Γ f 압축특성법은일반금속의경우분말재료기본식을수식화하여소재에어느정도의압축성을허용함으로써제약조건을감소시켜변수의개수도적고수렴성이좋다 []. 일반금속재료의경우에도상대밀도를 99 인분말재료로가정하면좋은결과를얻을수있다고보고되어있다. 형상함수가 N이고절점의속도벡터가 v라고하면요소의속도장 u 및변형율속도벡터는다음과같이나타낼수있다. u N v, ε& B v () 유효변형율속도는다음과같이정의된다. ( ε ) D v B D B v v P v (8) 여기서행렬 P 는전단변형에너지항 P 과체적변형에너지항 P 로나누어지고재료상수항인 D 도 D 과 D 로다음과같이분리되어진다. P P + P B D B+ B D B (9) 위의관계식을이용하여식 (6) 을유한요소근사화해보면아래와같은결과를얻을수있게된다. v P Ω Ω δ P vdω + j Γ, f vdω N f dγ 0 (0) j 번째성분의포텐셜에너지 Φ 는아래와같이표현된다. Φ Pj v j dω + Pj v j dω Γ Ω, f N j f j d Γ 0 Ω () 본논문에서는뉴턴 - 랩슨축차법을사용하여포텐셜에너지를최소화하는속도장을구하였다.. 곡면금형의표현및접촉처리에관한수식화임의의형상을표현하기위한금형면의표현방법은비매개변수패치방법, 매개변수패치방법, 유한요소격자방법등이있다. 본연구에서는접촉및탐색처리가비교적쉽고, 데이터량이상대적으로작은유한요소격자방법 [] 을사용하였다. 삼각형선형요소를사용하여곡면의형상을표현할경우곡면의처리시에요소를많이사용해야하고, 특별한탐색처리가필요하지만, 복잡한형상을쉽게구현할수있고, 계산이편리하며, 데이터량이작은장점이있다. 일반적으로접촉문제는벌칙법 (Pnalt Mthod) 과라그란지승수법 (Lagrang Multplr Mthod) 를이용하여처리할수있다 [5]. 본논문에서는변형체접촉을처리하는데있어서, 미지수와계산용량은벌칙법에비해증가하지만, 훨씬안정된수렴성을보이는라그란지승수법을이용하여처리하였고, 금형과성형체사이의접촉은경사경계조건을사용하여처리하였다. 라그란지승수법은아래식을이용하여두재료간의접촉을처리한다 [5]. K C U R C 0 () λ Q 여기서 C, λ, Q 는각각제한조건을표현한벡터, 라그란지승수, 간극함수를의미한다. 변형체접촉문제에서는주요소 (Mastr Sgmnt) 가강체접촉에서의금형과유사한역할을하고, 종속절점 (Slav nod) 이접촉절점역할을한다. 경우에따라서는하나의면에주요소와종속절점을

3 동시에고려하여도무방하다. 이때주요소와종속절점사이의대응관계가 Fg. 과같이주어지면식 () 과같은관계식을고려할수있다. F (s, t, λ ) Po ( s,t ) λn 0, ( s,t ) Nα ( s,t ) () α α n (s,t) Gap P o -Nod lmnt Vrtual Flat Plan Fg. Schmatc rlaton btwn th slav nod and mastr sgmnt. 여기서 n 은주요소의수직벡터를나타낸다. N α 는형상함수이며, s 와 t 는형상함수의국부좌표계값이다. Fg. 에주요소와종속절점사이의간격및변위를도시하였다. 식 () 을미분하여뉴턴-랩슨축차법을적용하면주요소와종속절점사이의정확한간극함수 (g Q) 와침투위치 (s,t) 를알수있다. 정확한간극함수 (g) 와침투위치 (s,t) 를알면, { C }{ U} { Q} 로쓸수있으며, 아래의식 (5) 로변위와간극함수를나타낼수있다. u m Nα ( s,t ) uα ) α + ( sm tm ) u + ( + sm tm u ( + sm + tm ) u + ( sm + tm )u { C } { Nn, Nn, Nn, Nn, Nn, Nn, Nn, (6-a) { U} { N n, N n, N n, N n, n, n u { } { g }, n,,,,,,,, u,,,, s, s, s,} 5 Q (6-c) } 5, (6-b) 이때, 접촉절점중강제접촉을같이하는절점은경사좌표로변환하여표현해야한다. 이와같이종속절점과주요소사이의관계식을구성한후강성행렬과외력항을구성한다. 해석결과및고찰본논문에서는먼저 절의이론을바탕으로구성된코드의유효성을확인하기위하여간단한자석모델을해석하였다. 해석에사용된자석은초기상대밀도를실제자석제조시의경우인 0.5 로하였고, 구리는강소성재료로간주하여초기상대밀도를 99 로고정하여해석을수행하였다. 사용된재료의물성치는자석제조시의온도인 00 o C 에서실험한결과로다음과같다. 0. 구리 :. ε ( MPa ) (-a) 0.5 자석분말 : 89. 9ε ( MPa ) (- b) 마찰상수는 0. 로하였고, 기하학적대칭성을고려하여전체모델의 / 만 8절점선형연속체요소를사용하여해석하였다. 초기격자구성과치수, 금형의형상을 Fg. 에도시하였다. (5-a) ( + + ) g s u m u s n (5-b) 0 n u s u m (s,t) Gap P s -Nod Mastr lmnt Fg. Schmatc rlaton btwn th gap and th dsplacmnt. 식 (5) 를이용하여 C 를식 (6) 과같이계산할수있다 (mm) Fg. Intal F.. msh and d gomtr for smpl modl 높이에따른변형형상을 Fg. 에도시하였다. 초기에는재료중간부분에서자석과튜브가떨어지다가해석이진행될수록재료가금형을채우고있으며튜브와자석재료사이의변형체접촉처리가원활히되고있음을알수있다.

4 5 Intal shap.6% H.R Fg..% H.R 55.8% H.R. Intal and dformd shap for smpl modl Fg. 6 Fnt lmnt gomtr of th punch and d for HPS magnt 높이감소에따른변형형상및상대밀도분포를 Fg. 에도시하였다. 다음으로, 튜브제조법을이용하여 HPS 용자석의전성형공정의해석을수행하였는데해석에사용된재료는위의단순모델과같은것을사용하였다. HPS 용자석은상부의곡률반경이 8.5mm, 하부의곡률반경이 mm 인원통형자석으로초기예비성형체의격자, 치수및곡률반경을 Fg. 5 에, 해석에사용된금형형상을 Fg. 6 에도시하였다. 튜브의접힘현상을방지하고균일한치밀화를위해예비성형체의측면에경사를주었다 (mm) R8.5 R Slop ; : Fg. 5 Fnt lmnt msh and dmnson of prform for HPS magnt modl Intal shap Dnst Dnst % H.R. Dnst Dnst % H.R 65% H.R. Fg. Intal and dformd shap wth rlatv dnst dstrbuton for HPS magnt modl. 결론본논문에서는분말자석의압축성, 임의의금형형상, 강체접촉및변형체접촉을모두고려하여튜브제조법의성형공정을해석하였다. 간단한사각모델을통하여해석의유효성을확인하였고, HPS 용자석의성형공정을해석하였다. 예비성형체의설계단계에서유한요소해석을적용할수있음을보여주었다. 참고문헌 [] 김승호, 이충호, 허훈, 곡면형상을가지는분말자석단조성형공정에서의예비성형체설계, 한국소성가공학회춘계학술대회논문집, pp. - (998).

5 [] S. Kobaash, S.I. Oh and. Altan, Mtal formng and th fnt lmnt mthod, Oford Unvrst Prss (989). [] J. H. Moon, Analss of th thr-dmnsonal forward truson of sntrd powdr mtal, Ph. D. Dssrtaton, KAIS (99). [] 허훈, 이충호, 김승호, 희토류자석 Prform 의최적화및 NAR N SHAP 금형설계연구, 만도기계수탁연구과제보고서 (998). [5].H. hong, Fnt lmnt Procdurs for Contact- Impact Problms, Oford Unv. Prss(99).

소성해석

소성해석 3 강유한요소법 3 강목차 3. 미분방정식의근사해법-Ritz법 3. 미분방정식의근사해법 가중오차법 3.3 유한요소법개념 3.4 편미분방정식의유한요소법 . CAD 전처리프로그램 (Preprocessor) DXF, STL 파일 입력데이타 유한요소솔버 (Finite Element Solver) 자연법칙지배방정식유한요소방정식파생변수의계산 질량보존법칙 연속방정식 뉴톤의운동법칙평형방정식대수방정식