New Physics: Sae Mulli, Preprint Comparison of Calculations in Polarization Rotation Spectra: Wave-mixing and Rate Equations Seunghyun Lee Republic of

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형범 노
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1 New Physics: Sae Mulli Preprint Comparison of Calculations in Polarization Rotation Spectra: Wave-mixing and Rate Equations Seunghyun Lee Republic of Korea Air Force Academy Cheongju 8187 Korea Jaewan Kim Department of Physics Myongji University Yongin Korea Heung-Ryoul Noh Department of Physics Chonnam National University Gwangju Korea (September 7 019) We present a theoretical study on polarization rotation and transmission spectroscopy where the co-propagating probe and coupling beams are linearly and circularly polarized respectively. We calculate the spectra using three methods; calculations using density matrix equations (i) with and (ii) without wave-mixing and (iii) calculations using the rate equations. We find that it is necessary to perform the calculations using density matrix equations without wave-mixing rather than the rate equations to find the spectra with the coherences neglected. PACS numbers:.50.gy 3.80.Qk 3.80.Wr Keywords: Wave-mixing Polarization rotation Density matrix equations 편광회전 스펙트럼의 계산 비교: 광파 혼합과 비율 방정식 이승현 공군사관학교 청주 8187 대한민국 김재완 명지대학교 물리학과 용인 대한민국 노흥렬 전남대학교 물리학과 광주 대한민국 (September 7 019) 선편광된 조사광과 원편광된 결합광에 의한 편광회전과 투과 분광학을 이론적으로 연구하였다. 본 연 구에서는 스펙트럼을 (i) 광파 혼합을 고려한 밀도 행렬 계산 (ii) 광파 혼합을 무시한 계산 (iii) 비율 방정식을 이용한 계산 등 세 가지 방법을 사용하여 계산하였다. 결맞음을 무시한 경우에 대한 스펙트럼 을 구하기 위해서는 비율 방정식을 사용한 계산이 아니라 광파 혼합을 무시한 밀도행렬 방정식 계산을 수행해야 함을 알 수 있었다. 1

2 New Physics: Sae Mulli Preprint PACS numbers:.50.gy 3.80.Qk 3.80.Wr Keywords: 광파 혼합 편광회전 밀도행렬 방정식 I. 서론 레이저 분광학에서는 일반적으로 조사광의 변화를 측정 하여 펌프광이 유도한 원자 매질의 성질을 연구한다 [1]. 포화 흡수 분광학 (Saturated Absorption Spectroscopy; SAS) [3] 편광 분광학 (Polarization Spectroscopy; PS) [] 서브 도플러 이색 원자 증기 레이저 잠금(sub-Doppler Dichroic Atomic Vapor Laser Lock; SDDAVLL) 분광 학 [5 7] 변조 전달 분광학 (Modulation Transfer Spectroscopy; MTS) [89] 전자기 유도 투과 (Electromagnetically Induced Transparency; EIT) [10] 전자기 유도 흡수 계산을 비교하면 레이저광의 세기가 아주 작지 않으면 광 자 조건이 만족되는 곳에서 차이가 나타날뿐만 아니라 이 조건을 만족하지 않는 영역에서도 차이가 나타난다. 이는 광자 조건이 만족되지 않는 조건에서 간단히 스펙트럼을 구할 때 비율 방정식을 사용할 수 없다는 것을 의미한다. 이 경우에는 서로 다른 레이저광 사이의 광파 혼합을 무시 해서 계산을 수행해야 올바른 스펙트럼을 구할 수 있다. 본 연구에서는 87 Rb 원자 D선의 Fg = Fe = 3 전이 선에 대하여 편광회전 분광학과 투과 분광학 스펙트럼을 계산하여 비율 방정식과 광파 혼합을 무시한 계산 사이의 차이점을 보고하고자 한다. (Electromagnetically Induced Absorption; EIA) [111] 등이 대표적인 펌프-조사광 레이저 분광학 방법들이다. 이 II. 이론 와 같은 분광학 방법들은 레이저의 진동수를 고정하기 위 하여 사용되고 정밀 분광학 양자 정보 [13] 정밀 자기장 측정 [1] 원자 시계 [15] 등에 광범위하게 사용된다. 일 반적으로 분광학에서는 한 개 또는 여러 개의 레이저광이 원자를 매개로 상호작용을 한다. 레이저광 진동수가 특정한 조건을 만족하면 원자 결맞음이 증가하고 매우 좁은 진동 수 선택성을 가지고 있으므로 정밀한 신호 관측에 사용이 가능하다 [10]. 이와 같은 분광학의 신호를 이론적으로 예측하는 것은 실 제 연구에서 매우 중요한 역할을 한다. MTS EIT나 EIA의 경우 일반적으로 밀도 행렬 방정식을 계산하여 스펙트럼을 구한다 [916 18]. 이 분광학에서는 결맞음이 중요한 역할 을 담당하기 때문에 결맞음을 무시하는 비율 방정식과 같은 방법은 사용이 불가능하다. 반면에 SAS PS SDDAVLL 의 경우 매우 좁은 선폭의 결맞음 신호가 존재하지 않기 때문에 일반적으로 비율 방정식을 사용하여 계산을 한다 [190]. SAS PS에 대한 수치적 계산뿐만 아니라 레이저 광의 세기가 크지 않은 경우에 대한 해석적 연구 결과도 보고되었다 [1]. 그러나 레이저의 세기가 작지 않은 경 우 결맞음성이 중요해지기 때문에 이런 분광학에 대해서도 밀도행렬 방정식을 계산해서 스펙트럼을 구해야 한다. 최 근 SDDAVLL에 대하여 원자 결맞음을 고려하여 스펙트럼 을 계산하고 결맞음의 중요성을 연구한 결과가 보고되었다 [7]. SAS나 PS 스펙트럼 계산에서 많이 사용되는 비율 방 정식을 이용한 계산과 정확한 밀도행렬 방정식을 이용한 jwkim@mju.ac.kr hrnoh@chonnam.ac.kr Fig. 1. (a) Schematic diagram for polarization rotation and transmission of the probe beam. (b) Energy level diagram for the Fg = Fe = 3 transition of 87 Rb-D line. Fig. 1(a)는 편광회전 및 투과 분광학의 구도를 나타낸다. 결합광의 편광은 원편광(σ + )이고 조사광은 선형 편광되어 있으며 두 레이저 광은 같은 방향으로 진행한다. 조사광 의 편광 벡터는 c+ ˆ+ + c ˆ 로 표현된다. 여기서 c± = 1/ ˆ± = 1/ (x ± iy )이다. 원형 편광된 결합광에 의해서 원자 매질에 원형 비등방성이 유도되고 이를 약한 세기의 조사광을 사용하여 측정한다. 본 논문에서는 선편 광된 조사광의 편광 회전각과 투과도의 두 가지 물리량을 고려하였다. 사용된 원자의 에너지 구도는 Fig. 1(b)에 나타 나 있듯이 87 Rb-D의 Fg = Fe = 3 순환 전이선이다. 결합광의 진동수는 Fg = Fe = 3 공명 전이선에 고 정하였고 조사광의 진동수는 변화시켰다. Fig. 1(b)에서 파 란색 실선(빨간색 점선)은 결합광(조사광)에 의한 전이를 나타낸다. 기저 준위를 1i i... 1i로 표기하여 계산 에서 사용하였다.

3 Comparison of Calculations in Polarization Rotation Spectra: Wave-mixing and Rate Equations Seunghyun Lee et al. 3 조사광의 편광 회전각 θ와 투과도 T 는 감수율을 사용하 여 다음과 같이 표현된다 [3]. Γ는 들뜸상태의 감쇄율 δ(ij) 는 Kronecker-delta 기호이 고 Γt = vmp /( πd)는 원자의 이동 시간에 해당되는 감 kl r χ χr+ i 1 kχi L e + e kχ+ L. T = 쇄율이다 (vmp 는 원자의 최빈 속도; d는 레이저 광의 직경) θ = (1) () []. 식 ()와 (6)를 식 (3)에 대입하여 방정식을 만들면 결 합광과 조사광의 진동수의 결합으로 많은 수의 시간에 의 여기서 k(= π/λ)는 파수 벡터 λ는 광의 파장 L은 원 자 매질의 길이이다. 식 (1)과 ()에서 χr± 와 χi± 는 각각 조사광의 σ ± 성분에 대한 감수율의 실수부와 허수부로서 감수율의 구체적 표현은 아래에서 기술한다. 감수율은 밀도 행렬의 요소들로 구성되어 있기 때문에 감수율을 구하기 위해서는 다음과 같은 밀도행렬 방정식을 수치적으로 계산해야 한다. 존하는 항들이 나타난다. 이를 해결하기 위하여 밀도행렬 성분을 시간에 의존하는 항들로 표현하여 근사적으로 계 산한다. 본 논문에서는 광자의 3차 상호작용에 의하여 연 결된 준위들까지 고려하여 계산하였다. 또한 광파 혼합의 영향을 구하기 위하여 다음과 같이 세 가지 계산 방법을 사 용하였다. 첫 번째는 밀도 행렬 방정식을 정확히 계산하는 방법이고 두 번째는 조사광과 결합광 사이의 광파 혼합을 i ρ = [H ρ] + ρ sp. ~ (3) 식 (3)에서 ρ는 밀도행렬 연산자이고 해밀토니안(H)은 다 음과 같이 표현된다. 무시하는 방법 세 번째는 비율 방정식 근사에 의한 방법 이다. (i) 정확한 밀도 행렬 방정식 계산에서 들뜸상태와 바닥 상태 사이의 광 결맞음 성분은 다음과 같이 전개할 수 있다. H = ~δ 7 X ji hj () iδd t iδd t iδd t + ρ(3) + ρ() (7) µν e µν e j=1 (µ ν) = (3 8) ( 9) (5 10) (6 11) (7 1) + X 3+j ~ c+ Ω1 e iδd t + Ω C8+j 3 + ji h8 + j j=0 + X ~ 1+j c Ω1 e iδd t C8+j 1 + ji h8 + j + h.c. () j=0 δ = δc kv δd = δp δc. (1 8) ( 9) (3 10) ( 11) (5 1) (1 10) ( 11) (3 1). (5) 식 (7)에서 ρµν = hµ ρ νi ρνµ = ρ µν 이고 이는 모든 식 ()에서 Ω1 과 Ω 는 각각 조사광과 결합광의 라비 진 동수 Cµν 는 바닥상태 µi와 들뜸상태 νi 사이의 규격화된 결합 강도이고 [6] h.c.는 조화 켤레(harmonic conjugate) 를 의미한다. 식 (5)에서 v는 원자의 속도이고 δp(c) 는 조사 광(결합광)의 디튜닝이다. 식 (3)에서 자발방출을 나타내는 항 ρ sp 의 성분은 다음과 같이 주어진다. hi ρ sp ji = Γ + Γt δ(ij) ρij (i j) (E E) Γ (i j) (G E) = ρij Γ = ρij (i j) (E G) 1 X = Γ Cii 6+q Cjj 6+q ρi 6+qj 6+q q= 1 1 Γt ρii δ(ij) 8 (5 8) (6 9) (7 10) (i j) (G G).(6) 식 (6)에서 E와 G는 들뜸상태와 바닥상태를 의미하는 집합 E = {1 7}와 G = {8 9 1}를 각각 나타낸다. 비대각 행렬 요소에 대하여 성립한다. 또한 제만 (Zeeman) 결맞음 성분은 () iδd t iδd t + ρ(3) µν e (8) (µ ν) = (1 3) ( ) (3 5) ( 6) (5 7) (8 10) (9 11) (10 1) 와 같이 전개할 수 있고 대각 성분은 다음과 같이 전개할 수 있다. () iδd t iδd t ρµµ = ρ(1) + ρ() µµ + ρµµ e µµ e (9) µ = 1 1. 식 (7) (8) (9)를 식 (3)에 대입하여 만들어진 밀도행렬에 대한 미분 방정식에 정상상태의 해를 구하면 밀도행렬 성 분을 구할 수 있다. 이를 Maxwell-Boltzmann 속도 성분에 대하여 평균을 취해서 식 (1)과 ()의 회전각과 투과도를 구한다.

4 New Physics: Sae Mulli Preprint (ii) 두 번째 광파 혼합을 무시한 경우 광 결맞음 성분은 III. 결과 다음과 같이 표현되고 () iδd t (10) (µ ν) = (3 8) ( 9) (5 10) (6 11) (7 1) (1 8) ( 9) (3 10) ( 11) (5 1) (5 8) (6 9) (7 10) (1 10) ( 11) (3 1) 제만 결맞음 성분은 다음과 같이 표현된다. µν (11) (µ ν) = (1 3) ( ) (3 5) ( 6) (5 7) (8 10) (9 11) (10 1). 또한 대각 성분은 다음과 같다. ρµµ = ρ(1) µµ µ = 1 1. (1) 식 (10) (11) (1)는 각각 식 (7) (8) (9)로부터 결합광과 조사광 사이의 광파 혼합을 무시하여 구하였다. (iii) 비율 방정식 근사의 경우 1차 광자의 상호작용까지 고려하기 때문에 광 결맞음 성분은 다음과 같이 표현된다. () iδd t (13) (µ ν) = (3 8) ( 9) (5 10) (6 11) (7 1) (1 8) ( 9) (3 10) ( 11) (5 1). 이 경우 제만 결맞음 성분은 0이 되고 대각 성분은 식 (1) 의 표현과 동일하다. 비율 방정식 근사의 경우 이웃한 결 맞음 성분만 고려하기 때문에 광결맞음 성분이 대각 밀도 성분으로 표현되어 잘 알려진 비율 방정식 계산과 동일하 게 된다. 본 연구에서는 비율 방정식 근사가 정확하지 않고 광파 혼합을 무시한 계산을 수행해야 결맞음을 무시한 정 확한 계산 결과를 얻을 수 있음을 보이고자 한다. 감수율은 속도와 디튜닝의 함수로 구해진 밀도행렬 요 소들로 표현되고 이를 속도 분포에 대하여 평균을 취하면 다음 식을 구할 수 있다. Z e v /vmp () 3λ3 Nat Γ X 3+j χ+ = C dv ρ ( 1) π c+ Ω1 j=0 8+j πvmp 3+j8+j Z 3λ3 Nat Γ X 1+j e v /vmp () χ = C dv ρ (15). π c Ω1 j=0 8+j πvmp 1+j8+j 여기서 Nat 는 원자 매질의 밀도이다. 식 (1)와 (15)를 식 (1)와 ()에 대입하여 회전각과 투과도를 구할 수 있다. 결합광의 디튜닝이 δc = 0일 때 조사광의 디튜닝 δp 에 따른 편광 회전에 대한 계산 결과가 Fig. 에 나타나 있다. 본 논문에서는 87 Rb원자의 D 전이선을 고려하였 으므로 공명 전이선의 파장은 λ =780 nm이고 들뜸상태 의 감쇄율은 Γ = π 6.1 MHz이다. 원자 셀의 온도는 0 C 레이저 광의 직경은 mm 결합광의 세기는 500 µw (Ω /π = 13 MHz)이다. 조사광의 세기는 Fig. (a) 에서 5 µw (Ω1 /π = 1.3 MHz)이고 Fig. (b)에서 0 µw (Ω1 /π =.6 MHz)이다. Fig. 에서 검은 실선은 정확한 밀도행렬 방정식에 의한 결과 빨간 실선은 광파 혼합을 무시한 계산 결과 초록 실선은 비율 방정식에 의한 계산 결과를 나타낸다. Fig. 에서 δp = 0 근처에서는 광파 혼합을 무시한 계산 결과와 비율 방정식 계산 결과가 비슷한 반면에 밀도행렬 계산 결과는 두 결과와 차이가 나타남을 확인할 수 있다. 이는 δp = 0 근처에서 결맞음의 효과 다시 표현하면 원 자를 매개한 조사광과 결합광의 광파 혼합의 효과가 매우 크다는 사실에 기인한다. 조사광의 디튜닝이 공명에서 멀 어지면서 결맞음의 효과는 감소하여 Fig. (a)에서 볼 수 있듯이 세 계산 결과가 거의 일치함을 확인할 수 있다. 그 러나 조사광의 세기가 증가함에 따라 Fig. (b)에서 볼 수 있듯이 디튜닝이 공명에서 먼 경우 밀도행렬 계산과 광파 혼합을 무시한 계산 결과가 일치하는 반면에 비율 방정식 계산은 이 두 결과와 차이가 나타남을 확인할 수 있다. 따 라서 결맞음을 무시한 계산 결과를 얻기 위해서는 인접한 밀도행렬 성분만을 고려하는 비율 방정식 계산이 아니라 광파 혼합을 무시한 계산을 수행해야 함을 알 수 있다. Fig. 의 작은 그림들은 δp = 0 부근의 상세한 결과를 보여준다. 매우 좁은 신호를 확인할 수 있는데 이 신호는 전자기 유도 흡수에 기인하는 신호이다. 광파 혼합의 효과가 작지만 비 율 방정식 계산에서는 고려되지 않은 전이들의 효과가 크게 나타나는 현상은 Fig. (b)의 디튜닝이 큰 영역에서 확인할 수 있다. 또한 열린 전이선의 경우 광파 혼합의 효과가 작 아서 전 스펙트럼 영역에서 정확한 밀도행렬 계산 결과와 광파 혼합을 무시한 계산 결과가 유사할 것으로 예측된다. Fig. 3은 Fig. 와 동일한 조건에서 얻은 투과도에 대한 결과이다. Fig. 와 동일하게 레이저 광의 세기가 약한 경우 광파 혼합을 무시한 계산 결과와 비율 방정식 계산 결과가 거의 일치하지만 레이저의 세기가 증가함에 따라 두 결과가 다르게 되고 광파 혼합을 무시한 결과가 밀도행렬 방정식 계산 결과와 일치함을 알 수 있다. 그러나 Fig. (b)와 Fig. 3(b)에서 확인할 수 있듯이 흡수 신호의 경우에서가 분산 신호의 경우에서보다 두 결과의 차이가 작음을 알 수 있다.

5 Comparison of Calculations in Polarization Rotation Spectra: Wave-mixing and Rate Equations Seunghyun Lee et al. 5 Fig.. Polarization rotation spectra at (a) Ω1 /π = 1.3 MHz and (b) Ω1 /π =.6 MHz. The Rabi frequency of the coupling beam is Ω /π = 13 MHz. Fig. 3. Transmission spectra at (a) Ω1 /π = 1.3 MHz and (b) Ω1 /π =.6 MHz. The Rabi frequency of the coupling beam is Ω /π = 13 MHz. 이는 일반적으로 레이저의 진동수가 공명선에서 멀어짐에 따라 흡수 신호가 분산 신호보다 더 빨리 감소하기 때문 에 나타나는 현상으로 이해할 수 있다. Fig. 에서와 같이 δp = 0 부근에서 매우 좁은 흡수 신호를 볼 수 있는데 이것이 전자기 유도 흡수 신호이다. 전이를 모두 고려하기 때문이다. 광파 혼합을 무시한 계 산 방법은 정확한 계산보다 매우 용이한 스펙트럼 계산을 가능하게 하기 때문에 열린 전이선과 같은 결맞음이 약한 경우에 대해서 정확하게 스펙트럼을 구하는 것이 가능할 것으로 예측된다. 이에 대한 추가 연구는 현재 계획 중이다. IV. 결론 본 논문에서는 87 Rb 원자 D선의 Fg = Fe = 3 전이선에 대한 편광회전 분광학과 투과 분광학 스펙트럼을 광파 혼합을 고려한 정확한 밀도 행렬 계산 광파 혼합을 무시한 밀도행렬 계산 비율 방정식을 이용한 계산 등 세 가지 방법을 사용하여 계산하였다. 광자 조건이 만족되는 영역에서 결맞음 효과가 크게 나타남을 확인하였고 만족 되지 않는 영역에서는 비율 방정식을 이용한 계산 결과보다 는 광파 혼합을 무시한 계산 결과가 더 정확한 스펙트럼을 보여줌을 알 수 있었다. 이는 비율 방정식의 경우 이웃한 밀도행렬 요소들 사이의 상호작용만을 고려하지만 광파 혼 합을 무시한 계산에서는 3광자 상호작용 이내에서 가능한 감사의 글 이 논문은 전남대학교 연구년교수 연구비(과제번호: ) 지원에 의하여 연구되었음. 이 논문은 정부(미 래창조과학부)의 재원으로 한국연구재단의 지원을 받아 수 행된 기초연구사업임(No. 017R1AB00383). REFERENCES [1] W. Demtro der Berlin 1998). Laser Spectroscopy (Springer

6 6 New Physics: Sae Mulli Preprint [] P. G. Pappas M. M. Burns D. D. Hinshelwood M. S. Feld and D. E. Murnick Phys. Rev. A (1980). [3] D. A. Smith and I. G. Hughes Am. J. Phys (00). [] C. Wieman and T. W. Hänsch Phys. Rev. Lett (1976). [5] M. L. Harris S. L. Cornish A. Tripathi and I. G. Hughes J. Phys. B (008). [6] G. W. Choi and H. R. Noh J. Phys. B (015). [7] G. W. Choi and H. R. Noh Opt. Commun (016). [8] D. J. McCarron S. A. King and S.L. Cornish Meas. Sci. Technol (008). [9] H. R. Noh S. E. Park L.Z. Li J. D. Park and C. H. Cho Opt. Express 19 3 (011). [10] M. Fleischhauer A. Imamoglu and J. P. Marangos Rev. Mod. Phys (005). [11] A. M. Akulshin S. Barreiro and A. Lezama Phys. Rev. A (1998). [1] A. Lezama S. Barreiro and A. M. Akulshin Phys. Rev. A (1999). [13] K. Hammerer A. S. Søorensen and E. S. Polzik Rev. Mod. Phys (010). [1] D. Budker and M. V. Romalis Nature Phys. 3 7 (007). [15] J. Vanier Appl. Phys. B 81 1 (005). [16] H. R. Noh and H. S. Moon Phys. Rev. A (01). [17] T. Zigdon A. D. Wilson-Gordon and H. Friedmann Phys. Rev. A (008). [18] H. Ur Rehman M. Q. Mohsin H. R. Noh and J. T. Kim Opt. Commun (016). [19] M. L. Harris C. S. Adams S. L. Cornish I. C. McLeod E. Tarleton and I. G. Hughes Phys. Rev. A (006). [0] H. D. Do G. Moon and H. R. Noh Phys. Rev. A (008). [1] G. Moon and H. R. Noh J. Opt. Soc. Am. B (008). [] H. D. Do M. S. Heo G. Moon H. R. Noh and W. Jhe Opt. Commun (008). [3] M. J. Seo J. Y. Won and H. R. Noh J. Korean Phys. Soc (011). [] J. Sagle R. K. Namiotka and J. Huennekens J. Phys. B 9 69 (1996).

1 경영학을 위한 수학 Final Exam 2015/12/12(토) 13:00-15:00 풀이과정을 모두 명시하시오. 정리를 사용할 경우 명시하시오. 1. (각 6점) 다음 적분을 구하시오 Z 1 4 Z 1 (x + 1) dx (a) 1 (x 1)4 dx 1 Solut

1 경영학을 위한 수학 Final Exam 2015/12/12(토) 13:00-15:00 풀이과정을 모두 명시하시오. 정리를 사용할 경우 명시하시오. 1. (각 6점) 다음 적분을 구하시오 Z 1 4 Z 1 (x + 1) dx (a) 1 (x 1)4 dx 1 Solut 경영학을 위한 수학 Fial Eam 5//(토) :-5: 풀이과정을 모두 명시하시오. 정리를 사용할 경우 명시하시오.. (각 6점) 다음 적분을 구하시오 4 ( ) (a) ( )4 8 8 (b) d이 성립한다. d C C log log (c) 이다. 양변에 적분을 취하면 log C (d) 라 하자. 그러면 d 4이다. 9 9 4 / si (e) cos si