무한모선에리액턴스를통해연결된동기발전설비 (synchronous generaing uni ) 를고려 그림 6 : 전력위상각 δ 에대한전기적출력 p e 와기계적입력 p m 의관계 p e : δ 의정현함수 E' Vbus p e sin () X eq 그림 6 : δ 에대한 Pe 와 Pm
l 안정도와최대전력위상각계산방법 : () 동요방정식계산 H / w w ( )( ( ) /( )) (7) p ( ) - p ( ) - D / w ( ( ) /( )) p mp u ap u syn ( ) p u ep u () 다기계통의동요방정식계산 (4 절 ) (3) 등면적법 (equal-area crierion) 기무한모선계통또는 기계통 syn
그림 6 : δ 에대한 Pe 와 Pm
그림 6 : p m > p e δ 0 < δ < δ 인구간 : - 회전자가속 - p m 과 p e 곡선사이의빗금친면적 A è 가속면적 (acceleraing area) p m < p e δ < δ < δ 인구간 : - 회전자감속 - p m 과 p e 곡선사이의빗금친면적 A è 감속면적 (eceleraing area) 초기값 δ δ 0 뿐만아니라, 최대값 δ δ 인경우모두 : δ/ 0 è equal-area crierion A A 인상태를의미
기무한모선에서등면적법을설명하기위해식 (6) 에서 ω pu () 로가정하면, 양변에 δ/ 를곱하고아래관계를이용하면, 식 (3) 은식 (3) 로나타남 식 (3) 에 를곱하고, δ 0 에서 δ 까지적분하면 ) ( ) ( ) ( p p H u ep u mp syn - w (3) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( p p p H u ap u ep u mp u p syn - w w (6) ø ö ç ç è æ ø ö ç è æ û ù ë é p p H H u ep u mp syn syn w w ) ( - û ù ë é ø ö ç è æ ø ö ç ç è æ (3) ò ò - û ù ë é w 0 0 ) ( p p H u ep u mp syn (33)
H w syn é ù ë û ( pep u ò ò pmp u - 0 0 ) (33) 위식의적분은 δ/ 0 인 δ 0 에서시작하고, 임의의 δ 까지계속됨 δ 가 δ 로최대값에도달할때 δ/ 는다시 0 이됨 식 (33) 의좌변은 δ δ 이므로 0 이되며 δ ò (p mpu - pepu )δ 0 (34) δ 0 이적분을양수 ( 가속 ) 구간과음수 ( 감속 ) 구간으로분리하면 δ δ ò ( pmpu - pepu ) δ + ò ( pmpu - pepu ) δ 0 δ δ 0 또는 δ ò mpu - pepu ) δ ò ( pepu - δ 0 δ p pmpu ) δ δ ( (35)
Q) 예제 3 에서와같이그림 4 의동기발전기가초기에정상상태에서운전하고있을때, 모선 에서 -3 선로에 3 상단락고장이발생했다 ( 그림에서 F 지점 ) 3 주기후에고장이스스로제거되었으며, 계전기오작동으로모든차단기가닫힌상태에있다 이런경우안정여부를판단하고최대전력위상각을구하시오 발전기의관성상수는시스템기준값으로 30pu-s 이다 P m 이외란내내일정하게유지된다고가정한다 또한, 동요방정식에서 ω pu ()0 으로가정한다 그림 4 : 예제 3 의단선도 Sol), δ 에대한 p e 와 p m 의관계가그림 7 과같이주어진다 예제 3 에서초기운전점 p e (0 - ) p m 0 pu 과 δ(0 + ) δ(0 - ) δ 0 395 0479 raian 이다 0 에서단락고장이발생하면, p e 는순간적으로 0 이되고고장동안지속된다 식 (6) 에서 ω pu () 0 이므로 H w syn ( ) p mp u 0 << << 005 s Jωm() δm() Srae pm() - pe() Srae ωm()tm() - ωm()te () Srae pmpu () - pepu () papu () (6)
(0) 초기조건 δ(0) δ 0 와 0 을이용하여두번적분하면, ( ) wsyn pmp u + 0 H wsyn pmp u ( ) + 0 4H 3주기 005초에서, p 60 (005s) (005) 04964raian 844 그림 7 에서빗금부분 A 은 + 0479 그림 7 : 예제 4 의 p-δ 곡선 A ò pm ò 0 0 0 0 ( - ) 00785
005 에서고장이제거되고, 그림 7 에서와같이 p e 는 0 에서부터사인파형으로증가한다 δ 는감속지역 A 가 A 과같아질때까지증가한다 즉, A δ ò 04964 δ ò (pmaxsinδ - pm)δ δ (4638sinδ - 0)δ A 00785 적분하면, 4638[cos(04964) - cos ]- ( - 04964) 00785 4638cos + 5843 그림 7 : 예제 4 의 p-δ 곡선 위의비선형대수방정식을반복계산법으로풀면 δ 07003 raian 40 최대각 δ 는 δ 3 (80 δ 0 ) 5605 를넘지못하기때문에안정도는유지된다 정상상태에서발전기의초기운전점 p ess p m 0 와 δ ss δ 0 395 으로되돌아간다
Q) 예제 4 에서일시적인단락고장이 3 주기보다더오래지속한다고가정하고, 임계제거시간을계산하시오 Sol) 그림 0 의 p δ 곡선에서임계고장위상각 δ cr 에서고장이제거된다 이경우전력위상각은최대값인 δ 3 80 δ 0 5605 736 raians 로증가하며, 이때감속영역은최대가된다 가속영역과감속영역을같게두면 A cr ò 0479 cr ò 0 p m 0 A 736 ò cr 3 ò cr ( P max sin - p (4638sin -0) m ) 그림 0 : 예제 5 의 p-δ 곡선
앞의식을 δ cr 에대해서풀면 ( cr - 0479) 4638[cos 4638cos 00540 cr cr 5489raians 8874 cr - cos(736)] - (736 - ) cr A cr ò 0479 cr ò 0 0 p A m 736 ò cr 3 ò cr ( P max sin - p (4638sin -0) m ) 예제 4 에주어진동요방정식의해법으로부터 w p + 4H syn mp u ( ) 0 이를풀면, H ωsyn δ() pmpu 0 << << 005 s (0) 0 위의식을초기조건 ( δ(0) δ 0, ) 으로두번적분 4H (δ()-δ 0) ωsynpmpu δ( cr ) δ cr 5489와 δ 0 0479 raian 이용하면 cr (5489-0479) 0897s 38cycles (p 60)(0) cr 38 cycles 이전에고장을제거하면안정성은유지되지만, 그렇지않으면발전기는무한모선과동기를상실한다
그림 0 : 예제 5 의 p-δ 곡선
Q) 그림 4 의동기발전기가예제 3 에서주어진초기조건에서정상상태로운전하고있을때, 모선 3 의 -3 선로에서 3 상지락고장이발생했다 고장은선로 -3 과선로 -3 의끝에위치하고있는차단기에의해서제거된다 임계고장제거위상각을계산하시오 앞의예제에서와같이동요방정식의계수 H30 pu-s, p m 0 pu, ω pu 0 이다 그림 4 : 예제 3 의단선도 Sol) 예제 3으로부터, 고장전조건에서전기적출력은 p e 4638 sinδ pu 이다 고장이발생한네트워크는그림 (a) 와같고, 발전기내부전압원에서본테브난등가회로는그림 (b) 와같다 (a) 고장회로 그림 : 예제 6 (b) 고장회로의테브난등가회로
테브난리액턴스와테브난전압원은아래와같다 X Th 0 40 + 00 00 0 46666 per uni é X ù 3 00 V Th 0Ð0 0Ð0 033333Ð0 ë X3 + X û 030 per uni 그림 (b) 로부터, 고장지속중에발전기로부터 무한모선에전달되는전력 p e 는 p E' V X Th e sin Th 095sin per uni (b) 고장회로의테브난등가회로 그림 (c) 는차단기가선로 -3 과선로 -3 을개방한, 고장후네트워크를보여준다 이그림으로부터고장후의전력 p e3 는 (8)(0) 060 p e 3 sin 353sin per uni (c) 고장회로의테브난등가회로
그림 () 에서 A 과 A 를같게두면, A cr ò 0479 cr ò 0 ( p m - P max (0-095sin ) δ cr 에대해서풀면, sin ) A 654 ò cr 3 ò cr ( P 3max sin - p (353sin -0) m ) (δcr - 0479) + 095(cosδcr - cos0479) 353(cosδcr - cos654) - (654 - δcr) δcr 98raians 35-0cosδcr 04868 () p-δ 곡선 만약고장이 δ δ cr 35 전에제거되면, 안정도는유지되지만, 그렇지않으면발전기는불안정하다
등면적법 : 기무한모선계통, 또는 기계통에서적용가능 수치적분방법 (numerical inegraion echniques ) : 다기계통의안정도문제의경우에는각기기의동요방정식을풀기위해수치적분기법을이용 다음과같은 차미분방정식에대하여 x f (x) (4) 비교적간단한적분기법중의하나 : Euler s meho - 그림 3 적분단계의크기 (inegraion sep size) : Δ 그림 3 : 오일러법
식 (4) 로부터적분구간이시작되는지점에서의기울기를계산하면, x f ( x ) (4) 그림 3 : 오일러법 새로운값 x +Δ : 기존의값 x + 증가분 Δx, x x + Dx x x + D + D (43)
Euler s meho : 전체스텝의크기구간 Δ 동안기울기가일정하다고가정 Moifie Euler s meho : 구간시작점에서의기울기와끝점에서의기울기를함께구하여개선할수있음 두기울기의평균값이증가율이됨 그림 4 : 수정된오일러법
단계 : 구간의시작점에서의기울기 - 식 (4) 로계산 a preliminary value x~ 단계 : 에서기울기계산 x~ 를계산하는데사용 x ~ x x + D (44) ~ x f ( ~ x) (45) x f (x) (4) 3 단계 : 평균기울기 (average slope) 를이용하여 new value 계산 x +D x + æ ç è x + x ~ ö ø D (46)
개선된오일러법 (moifie Euler s meho) 을이용하여기기의주파수 ω와전력위상각 δ 를구할수있음 è x : δ 또는 ω를대입 구간의시작점에서의 ol values : δ 및 ω 로정의 식 (7) 과 (8) 로부터, 구간의시작점에서의기울기는 w w -w (4) p ap u Hw syn w syn p u (4) v p apu 는 δ δ, ω pu ω /ω syn 일때의가속력의 pu 값 è식 (44) 를이용하여 ~ δ, ~ ω를구해보면 ~ ~ w w æ + ç è + æ ç è w ö D ø ö D ø (49) (40) H / w p ( ) - p ( ) - D / w ( ( ) /( )) p mp u ap u ( ) syn w ( ) p u ( )( ( ) /( ep u w( ) -w x syn ~ x x + D (44) syn )) (7) (8)
식 (7) 과 (8) 을이용하여 ~, ~ w 에서의기울기를계산하면 ~ H / w synw p u ( )( ( ) /( )) ~ w -wsyn (4) (7) pmp u ( ) - pep u ( ) - D / wsyn( ( ) /( )) ~ ~ pap u ( ) w pap u wsyn H ~ w (4) ( ) w( ) -w (8) p u ~ ~ ~ v p 는 δ ~ ap u, w p u w / wsyn 일때의가속력의 pu 값 è식 (46) 을이용하여구간끝점에서의새로운값을구해보면 w +D +D ~ æ ö ç + + è ø D æ w ~ w ö ç + è w ø + D (43) (44) x +D syn x + æ ç è x x ~ + ö ø D (46)
식 (47)-(43) 의과정 : 0 ( 지정된초기값 δ 0, ω 0 ) 에서시작하여 T 까지 ( 지정된최종시간 ) 반복적으로수행 è igial compuer 수치적분기법 () Euler s meho () Runge-Kua meho (3) Picar s meho (4) Milne s preicor-correcor meho
4 절의수치적분법 : 다기계통의안정도문제에대한동요방정식을풀때이용할수있음 è 일반적인네트워크에대해기기의출력을계산해야함 그림 5 : M 대의동기기를갖는 N- 모선전력시스템 각각의동기기 : 그림 의간략화된모델과동일 기기내부전압 : E, E,, E M M 개의동기기단자 : G, G,, GM 로표시된계통모선에연결 모든부하 : 상수값을갖는어드미턴스로모델링 이네트워크에대한노드방정식은, (5) N- 모선전력계통은기기의단자모선 G,G, GM 을포함하고있으며선로, 변압기, 부하는상수값의어드미턴스로표현됨 그림 5 : 과도안정도해석을위한 N- 모선계통의표현
그림 : 과도안정도해석을위한동기발전기단순모델 (a) 회로도 (b) 페이저도 그림 3 : 계통에연계된동기발전기등가회로 동기발전기 등가계통
: 모선전압의 N vecor : 기기내부전압의 M vecor û ù ë é û ù ë é M N E E E E V V V V ' ' ' (5) (53)
I é I I ë I M ù û : 기기전류의 M vecor (hese are curren sources) (54) : (N+M)ⅹ(N+M) 어드미턴스행렬 (55)
그림 5 : 과도안정도해석을위한 N- 모선계통의표현 N- 모선전력계통은기기의단자모선 G,G, GM 을포함하고있으며선로, 변압기, 부하는상수값의어드미턴스로표현됨
식 (55) 의어드미턴스행렬은다음과같이 M 개의내부기기모선과 N 개의시스템모선으로구분할수있음 Y is N X N Y is N X M Y is M X M : (N+M)ⅹ(N+M) 어드미턴스행렬 (55) Y 은부하어드미턴스와발전기임피던스의역수가포함된것을제외하고 6 장의모선어드미턴스행렬과유사함 부하가모선 N 에연결되면부하어드미턴스를대각성분 Y nn 에더함 (/jx n ) 를대각성분 Y GnGn 에더함
Y 는발전기임피던스의역수를대각성분으로가지는행렬 Y é ë ' jx 0 jx ' 0 jx ' M ù û (56) 또한 Y 의 km 번째성분은 Y km ì ï í ï î - jx' 0 n if k Gn an oherwise m n (57)
식 (5) 을 wo separae equaions 으로표현하면, Y Y V T V + Y + Y E E 0 (58) I (59) éy ë Y T Y Y ùév ù û ëeû é0ù ëi û (5) E 를안다고가정하면, 식 (58) 은 V 에관한선형방정식 (eiher ieraively or by Gauss eliminaion) è 식 (69) 의가우스 - 자이델반복계산법을이용하면, V 의 k 번째성분은 x k (i é k - N + ) yk - + - å Aknxn(i ) å A Akk ë n n k kn + x n ù (i) û (69) V k M k - N é ù ( i + ) -åyknen -åy knvn ( i + ) - åyknvn ( i) Y (50) kk ë n n n k + û
V 를계산하면, 기기의전류는식 (59) 를이용하여구할수있음 é I ù I T I Y V + YE (5) ëi M û n 번째기기의 ( 유효 ) 전력값 [The (real) elecrical power oupu of machine n] 은, * pen Re[ EnI n ] n,,, M (5) 과도안정도문제를푸는계산과정 () 동요방정식 ( 기기표현 ) () 대수전력조류방정식 ( 네트워크표현 ) è 교대로계산 () : 수정오일러방법, () : 가우스쟈이델반복법
과도안정도계산절차 Sep : 고장전전력조류프로그램을통해모선전압 V k (k,,,n), 기기전류 I n, 기기의전기적출력 p en (n,,,m) 의초기값을구한다 발전기의기계적입력은 p mn p en, 발전기의주파수초기값은 ω n ω syn 로하고부하어드미턴스를계산한다 Sep : 발전기내부전압을계산한다 En EnÐ n VGn + ( jx ' n ) I n n,,, M V Gn 과 I n 은 Sep 에서계산되었으며, E n 의크기는일정하게둔다 δ n 은전력위상각의초기값이다 Sep 3 : Y 을계산한다 부하어드메턴스와발전기임피던스의역수를포함시켜전력조류모선의 (N X N) 어드미턴스행렬을수정한다 Sep 4 : 식 (56) 으로부터 Y 를, 식 (57) 로부터 Y 를계산한다 Y é jx ' ë jx ù û (56) 0 ' jx 0 ' M Ykm ì ï í ï î - jx' n 0 if k Gn an m oherwise n (57)
Sep 5 : 시간을 0 으로한다 V k I Sep 6 : 스위치조작이나부하변동시에는모선어드미턴스행렬을수정한다 단락회로의경우고장이발생한모선의전압 [in (50)] 을 0 으로한다 Sep 7 : 기기내부전압 En E n Ð n, n,,, M(δ n 은시간 일때의값 ) 을이용하여식 (50) - (5) 까지의과정을통해시간 에서의발전기의전기적출력 p en 을계산한다 M k - N é ù ( i + ) -åyknen -åy knvn ( i + ) - åyknvn ( i) Y (50) kk ë n n n k + û é I ù I T Y V + YE (5) ëi M û * pen Re[ EnI n ] n,,, M (5)
Sep 8 : Sep 7에서구한 p en 과시간 일때의값 δ n, ω n 을이용하여식 (47) - (40) 까지과정을통해시간 (+Δ) 일때의전력위상각 ~, 기기속도 ~ w 의예 n n 비추정값을계산한다 Sep 9 : E, n,,, M을이용하여식 (50) (5) 를이용하 n E n Ð ~ n 여시간 (+Δ) 일때의발전기의예비추정전력 p~en 을계산한다 w w -wsyn (47) p ap u Hw w syn p u ~ æ ö + ç D è ø (48) ~ æ w ö w w + ç D è ø (49) (40) V M k - N é i + ) -åyknen -åy knvn ( i + ) - åy Y kk ë n n n k + ù ( i) û k ( knvn (50) I * pen Re[ EnI n ] n,,, M (5) é I ù I T Y V + YE (5) ëi M û
Sep 0 : Sep 8에서구한 ~, ~ w n n과 Sep 9에서구한 p~en 을이용하여식 (4)-(44) 의과정을통해시간 (+Δ) 일대의전력위상각 n과발전기속도의최종추정값을계산한다 w n Sep : 시간을 + Δ 로한다 가 T 보다커지면절차를멈추고그렇지않으면 Sep 6 에서다시시작한다
동기기의고전모델 : 과도안정도개념소개에유용 - 여자기 (excier), 조속기 (governor) 모델과결합불가 실제적인동기기모델 ; - 회전자와동일한속도로회전하는기준축으로표현된기기모델 - 회전자극과일치하는직축 -axis -axis 보다 90도앞서는횡축 q-axis è -q 기준좌표계 그림 9 : 기준축변환
식 (6) : 네트워크량 è -q 기준좌표계로변환 évr ëvi ù û é sinδ ë- cosδ cosδù sinδû év ù ë Vq û (6) 식 (6) : -q 기준좌표계 è 네트워크량으로변환 év ë V q ù û ésinδ - cosδù év ëcosδ sinδ û ë V real imag ù û (6) 네트워크기준좌표계의단자전압은 V T V r +jv i 이며전류변환도같은방법을사용함
축모델은동기기의계좌권선 (fiel wining) 과한개의제동권선 (amper wining) 이발전기의동 (ynamics) 특성을모델링하지만, 이보다빠른응답특성을가지는차과도댐퍼동특성과고정자과도상태를무시 편의상기기의포화현상은고려하지않음 축모델과함께, 발전기의전기적특성은두개의대수방정식과두개의미분방정식으로표현됨 V +jv q 와 I +ji q 는각각발전기기준좌표계로이동한발전기의단자전압과전류이고, E f 는계좌전압에비례하는값 E' q Vq E' E' q E' V + RaIq + RaI + X' I - X' q Iq ( -E' q -(X - X' )I + T' 0 ( -E' + (Xq - X' q )Iq ) T' q0 E f ) (63) (64) (65) (66) 단위법으로표현되는전기적토크, T elec 은다음과같음 Te V I + VqIq + Ra(I + I q ) (67)
Type : 유도기모델기반 ( 농형 ) Type : 유도기모델기반 ( 권선형회전자유도기기 ) Type 3 : 이중여자비동기발전기 (oubly-fe asynchronous generaors; DFIGs) 이중여자유도발전기 (oubly-fe inucion generaors; DFIGs) Type 4 : 완전비동기발전기
그림 6 : 이중여자비동기발전기의요소 그림 7 : 타입 3 DFAG 모델회로도
그림 8 : 타입 4 컨버터요소
과도안정도를개선하는방법은다음과같다 정상상태안정도개선법 a 높은시스템전압레벨 b 송전선로의추가 c 송전선로직렬리액턴스 변압기누설리액턴스의값을감소시킴 e 송전선로에직렬로커패시터설치 f 무효전력보상장치와 FACTS 설비 고속고장제거 3 고속회로차단기의재폐로 4 단일극스위칭 5 큰기기관성, 낮은과도리액턴스 6 고속응답, 높은이득의여자기 7 고속밸브응동 8 제동저항기