Stress and Strain Ⅴ Metal Forming CA Lab. Department of Mechanical ngineering Geongsang National Universit, Korea Metal Forming CA Lab., Geongsang National Universit
주응력축과주변형률축과의관계, G의관계 주응력과주변형률축은일치하는가? 선형탄성등방성재료의경우, ij Gγ ij이므로전단응력이 이면전단변형률도 이다. 따라서주응력축과 주변형률축은일치한다. 전단탄성계수 G 와탄성계수와의관계 γ γ G ε ε ( + v) εi [ v] εii [ v] ( + v) Ⅱ Ⅰ ε γ G εi ε II G G ( + v)
변형률과체적변화 γ ij Volumetric Change and Volumetric Strain 는체적변화야기하지않음 ε, ε, εz는체적변화동반 부피변화율 ε v 의정의및 부피변화율과변형률및응력과의관계 V' V ε ε + ε + ε + ε ε + ε ε + ε ε + ε ε ε ε + ε + ε ε v z z z z z ii V i ( v) ( ) ( v) + + z εv εii + + z m m ; mean stress i p 체적탄성계수 : B p ε v m 는정수압이라고함 포아송비의범위 ( ) m 이면, εv 이므로 v, < v v 이면 ε v 비압축성재료 v Δ Δz Δ,, z ε, ε, εz Small deformation ( ε ) Δ z + z ( ε ) Δ + ( ε ) Δ + ( ) ( ) ( ) V ΔΔΔ z + ε + ε + ε z
응력불변치 (Stress Invariants) a a, : 차텐서량 좌표변환법칙 ij 고유치 주응력 ij ip jq pq T ij aip pq ajq z z j ij 의고유치 i 와 Similarit transformation ( 상사변환 ) ij 의고유치 i 는동일함 T a ij a ij n n, i,, ij j i I I ( i,, ) i i i i Transformation matri Orthonormal matri z z I I I j z z zz n ' n i' j' j' i',, z z I I I z z zz,, 응력불변치
주응력축에대한응력불변치 특성방정식 유효응력 ( 상당응력 ) ( )( )( ) ( ) ( ) + + + + + + 응력불변치 I I I + + + + p ( ) + + 유효응력 ( 상당응력 ) z m 가정 : 정수압은소재의항복에영향을못줌 I + + + + 6 J ( ) + ( ) + ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) J + + ( ) ( ) ( ) I I I ii + + zz ( ij ii jjii ) + + + + zz zz z z + ij zz z z z z zz 유효응력 (ffective stress) 상당응력 (quivalent stress)
인장시험과항복이론 von Mises 항복이론 (Huber-von Mises) ( ) + ( ) + ( ) 에도달하였기 때문에항복이발생하였다는학설. 여기서 는소재가탄성범위에서견딜수있는최대응력, 즉항복응력임 단면적 : A ( ) + ( ) + ( ) Tresca 항복이론 ma 이므로전단응력이소재가견딜수있는 A 최대허용치주장한학설 에도달하였기때문에항복이발생하였다고 k ( ) ma Shear ield stress ma,( )
평면응력 ( ) 에서의항복궤적 + ( ) + + von Mises u ⅰ) ; ma ⅱ) > > ; ma Tresca ⅲ) ~~ 생략 von Mises 항복이론 ε ( ) + ( ) + ( ) Tresca 항복이론 O ma,( ) 비틀림시험시주응력증가방향 인장시험시파단점에서의응력상태
항복이론의적용 예제 8: 항복발생여부판별 주어진값 48,psi,psi,psi,psi 주응력의계산 R +,psi,psi 5 5, von Mises 항복이론의적용 ( ) + ( ) + ( ) 4,6psi 따라서 < 이므로항복일발생하지않음 Tresca 항복이론의적용 ( ) / 5,psi 이고 ma k / 4,psi 발생하였음 이므로이미항복이 5 R
항복이론의적용 예제 9 주어진값 T F F T 8,psi dia steel rod F π, lb at ielding 4 응력의계산 F 4F π d π 4 T ( d ) 6T 4 π d π T Tresca 항복이론의적용 + 4 ma F 6T +.96 π π 8 F
항복이론정리, 변형경화와항복궤적 Huber-von Mises.C. ( ) + ( ) + ( ) ffective stress Tresca.C. ma k ( ) ield locus in the case of plane stress ; BC D A + + : 인장시험, uniaial loading : 비틀림시험, torsion A: lastic B: Tresca impossible Mises elastic C: Mises plastic D: Both impossible : Tresca plastic Mises elastic k 단축인장 등방성경화 ε (ε )
연속체의선형탄성역학문제의수식화 평형방정식 quation of quilibrium z + + + f z z + + + f z z z z + + + fz z,, z z z z instein notation ij + fi i i ij, i + fi i ij, i + fi 구성방정식 Stress-Strain Relation 변위 - 변형률관계식 Displacement-Strain Relation ε v( ) z T + + α ε v( z) T + + α ij με ij + λε kkδij εz z v( ) α T + + z z γ, γ z, γ z G G G ε ij ( ui, j + uj, i ) u v w ε, ε, εz z u v γ ε +, v w z, w γ + γ u z + z z Indicial notation
유한요소법을 이용하여 평형방정식을 푼 예 <Structural Analsis> <Simulation Results of Forging rocess>
Strain energ in bar du S k d kδ δ US kd kδ k k k A L L L δ b eqδ ε U k L A A A AL A AL A L V L du Ub ε dv εdv A d d V V L d L A Strain energ in solid U ( ε + ε + zεz + γ + zγ z + zγ z ) dv V Strain energ in circular shafts dφ dφ t θzγθz γθz V V L A L U dv G dv Gr dadz GJ dz dz dz Mt r Mt θ zdv dadz dz V G L AG J L GJ Strain energ in beam 변형에너지 dφ dφ b ε ε V V L A L L A du δ Aε A L d U dv dv dad I d Iv d d d Mb Mb d dad d V L A I L I k eq A L du ε, A ε d