회전하는복합재료상자형보의진동특성에관한연구 임인규 * 최지훈 * 전성민 ** 이인 *** 한재흥 *** Study on free vibration characteristics of rotating composite box beams In-Gyu Lim, Ji-Hoon Choi, Seong-Min Jeon, In Lee and Jae-Hung Han Key Words : composite, rotating box beam, vibration characteristics, pretwist and precone ABSRAC he finite element method based on the refined beam theory is applied to the vibration problem of rotation composite box beams. he present beam model includes a number of non-classical structural effects such as transverse shear, warping deformations, geometric non-linearities. he nonlinear finite element equations of motion are obtained from Hamilton s principle. Vibration characteristics versus various parameters such as ply angle, collective pitch angle, pretwist and precone are investigated for rotation box beam, and relevant conclusions are outlined. 1. 서론 두께가얇은폐단면 (thin-walled closed) 복합재료보는헬리콥터로우터블레이드등기계및항공구조물에널리사용되고있다. 복합재료보는적층각, 적층순서등제작상에따라굽힘 - 비틀림, 인장 - 비틀림과같은구조적연성이나타나며, 전단력에의한변형 (transverse shear), 워핑 (warping) 효과등비고전적인영향으로인하여구조해석이용이하지않다. 또한, 가로세로비가큰구조물인경우기하학적비선형성으로인하여해석을더욱어렵게만든다. 복합재료보의이러한특성은정적거동은물론동적응답및공력탄성학적안정성등에커다란영향을미친다 (1). 복합재료보의구조해석에관한대표적인연구사례를보면다음과같다. Bauchau 와 Hong (2) 은보의단면이평면상에서는변형하지않는다는가 * 한국과학기술원항공우주공학전공대학원 ** 한국항공우주연구원 *** 한국과학기술원항공우주공학전공 정하에서축방향의비틀림워핑변위와횡방향의전단력을고려하여해석하였으며, 워핑함수는단면에대해서선형문제를유한요소법으로계산하였다. Stemple 과 Lee (3) 는단면에서축방향의워핑에대한 2 차원유한요소해석을병행하여 1 차원거동에유기적으로연계하였다. Giavotto (4) 등은워핑문제를단면에대하여 3 방향의자유도 ( 면내, 면외워핑 ) 를고려하여유한요소를이용하여선형해석을수행하였다. Atilgan 과 Hodges (5) 는대변형동안단면의성질들이불변한다고가정하여, 참고문헌 (4) 의유효단면상수해석결과를이용하여해석하였다. 앞에서언급했듯이구조적연성, 비고전적인영향및기하학적비선형성으로인하여복합재료보의구조동역학적해석은지난수년간의연구에도불구하고아직까지미흡한실정이다. 따라서, 정확한구조모델링을이용한복합재료보의구조동역학적해석이필요하다. 본연구에서는참고문헌 (6,7) 의정교한보모델을이용하여회전하는복합재료상자형보의자유진동해석을수행하였다. 횡전단변형, 워핑, 기하학적비선형성등비고전적인영향을고려한해석을
수행하여, 적층각 (ply angle), 일괄피치각 (collective pitch angle), 선형비틀림 (pretwist), 초기플랩각 (precone) 변화에따른상자형보의동적특성을고찰하였다. 2.1 운동기하학 2. 이론전개 초기곡률과비틀림을갖고일정한각속도 Ω 로회전하고있는보의형상은 Fig. 1 과같다. 초기곡률과변형률의크기가작다고가정하면, 다음과같은공학변형률을얻을수있다 (5). ε = e + x κ x κ + w, ε = w 11 11 3 2 2 3 1 22 2,2 ε = 2 e x κ + w + w, ε = w + w 12 12 3 1 2 1,2 23 2,3 3,2 ε = 2 e + x κ + w + w, ε = w 13 13 2 1 3 1,3 33 3,3 κ = K k 여기서, i i i w i (1) 는단면의임의의점에서의워핑변위 를나타내고, ( ) 는축방향에대한미분, ( ), i 는 단면에서 2, 3 방향의미분을나타낸다. e11, e12, e13 와 κ1, κ2, κ3는기준선에서의변형률과곡률을나타낸다. 2.2 유효단면상수직교이방성인복합재료의섬유방향이 θ 의각을가질때다음과같은응력 - 변형률관계식을얻을수있다. σ = C ε (, i j = 1,,6) (2) i ij j 보의미소길이에대한에너지평형방정식으로부터다음과같은지배방정식을얻을수있다 [1]. Q + Q = e1 여기서, = { } Q F M (3) 는변형후좌표계에서의내 부탄성력과모멘트로이루어진벡터이다. e 1 는 skew-symmetry 행렬이며, 워핑을 2 차원형상함수로모델링하면다음과같은워핑에대한유한요소지배방정식을얻을수있다. [ J]{ Γ } [ H]{ Γ } [ E]{ Γ } +L [ ]{ Ψ } [ R]{ Ψ} = { (4a) } [ L] { Γ } [ R] { Γ} [ A]{ Ψ } + { Q} = { } (4b) 여기서, [ J ], [ H ], [ E ], [ L ], [ R] 와 [ A] 행렬은단면형상과성질에의해결정된다. { Γ} 는워핑자유도벡터, { Ψ} 는변형률과곡률자유도벡터이다. 식 (3) 과 (4) 를풀게되면다음과같은유효단면상수를구할수있다. F A B e = M (5) B D κ 여기서, A, BD, 행렬은단면에대한적분이이루어 진후의유효강성행렬을나타낸다. 보는변형동안에도단면성질들이거의변하지않는다고가정하여위에서구한유효단면상수를 1 차원보의변형해석에이용하였다. 2.3 비선형유한요소지배방정식복합재료보의 1 차원거동에대한비선형유한요소지배방정식은 Hamilton 원리로부터다음과같이얻을수있다. ( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( M q q +G q q +P q P q = P q) (6) c e Reference Line I 3,i3 Ω e, E 3 3 e, E 2 2 E 1 G3 e1 Z Y e 3 e 2 e 1 i 2 R R G 2 G 1 u After Deformation i 3 i 2 β ψ θ Ω t I 2 g 3 e 3 e 2 i 1 X O Ω t r r g g 2 1 e 1 Before Deformation i 1 Reference Line I 1 Fig. 1 Geometry and coordinate systems of the composite box beam before and after deformation.
M( q ) ( ) 여기서, 는질량행렬, G q 는자이로스코 Pq ( ) 는내부탄성력벡 Pc ( q ) Pe ( q) { q} 는축방향변위와회전변위에대한일반 픽 (gyroscopic) 감쇠행렬, 터, 는원심력벡터, 는외력벡터이 고, 화된절점변위벡터이다. 정상상태에서의해 를구하기위해시간에관계된항들을제거하고비선형유한요소방정식을 Newton-Raphson 방법을이용하여구하며, 이로부터미소교란량 q() t 를 가해선형교란운동방정식을다음과같이얻을수있다. ( ){ } ( ){ } + ( K ( q) KC ( q) ){ q } = { } M q q +G q q K ( q ) ( ) 여기서,, K q 는각각접선강성행렬과 C 원심강성행렬을나타낸다. 식 (7) 로부터고유치문제를얻게되며, 이를풀면고유진동수와진동모드를구할수있다. 3. 해석및결과검토 본연구에서는한쪽경계가고정된회전하는외팔보에초기곡률과비틀림이있는경우의진동해석을수행하였다. 해석에사용된상자형보의길이는.9615 m 이고, 단면형상은너비가.3 m, 높이가.1 m 이며플랜지의두께는.172 m 이다. 재료는 AS4/351-6 graphite/epoxy 이고물성치는다음과같다. 9 2 E1 = 142. 1 N / m, G12 = 6. 1 N / m, ν 12 23 9 2 9 2 E2 = 9.81 1 N / m 9 2 G23 = 3.77 1 N / m =.3, ν =.34, ρ = 158. kg / m 상자형보는 [ θ ] 3 q (7) / ± /9 s 의적층각으로상자를 감쌌을때의적층형태이며, 회전속도는 1 rpm 으로하였다. Fig.2 는초기곡률과비틀림이없을경우의보의고유진동수변화를나타낸것이다. 플랩 (F), 래그 (L), 비틀림 () 모우드가 1~7 차모우드에걸쳐서나타나고있다. Fig.3 는초기일괄피치각 ( θ P ) 이진동특성에미치는영향을나타낸다. 1 차모우드에서는 θp 가증가할수록고유진동수가감소하지만, 2 차모우드에서는반대경향을나타낸다. 또한고차로갈수록 θp 에의한영향이작아짐을알수있다. Fig.4 는초기플랩각 ( β ) 에대한해석결과 를나타낸다. 1, 2 차모두 pc β pc 가증가할수록고유 진동수가감소하는경향을나타내지만그영향이매우작다. Fig.5, 6 은초기선형비틀림각 ( θ tw ) 이 45, 9 일때의모우드형상을나타내고있다. 이결과로부터 5 차모우드에서비틀림모우드가발생하는적층각이증가하고있음을알수있다. 고차모우드로갈수록 θtw 에대한효과로인해플랩모우드의진동수는증가하고, 래그모우드의진동수는낮아지고있다. 따라서 Fig. 2 와는달리 7차모우드에서플랩이아닌래그모우드가나타나고있다. 21 2 19 18 17 16 15 14 13 21 25 2 195 19 185 18 175 17 7 6 5 4 3 2 1 15 3 45 6 75 9 4F 1 Fig. 2 Natural frequencies vs. ply angle. 15 3 45 6 75 9 θ p = ο θ p =3 ο θ p =45 ο θ p =6 ο θ p =9 ο 38 36 34 32 3 28 26 24 22 2 15 3 45 6 75 9 θ p = ο θ p =3 ο θ p =45 ο θ p =6 ο θ p =9 ο (a) (b) Fig. 3 he first(a) and second(b) natural frequency. 15 3 45 6 75 9 β pc = ο β pc =5 ο β pc =1 ο β pc =15 ο β pc =2 ο 36 34 32 3 28 26 24 22 2 15 3 45 6 75 9 β pc = ο β pc =5 ο β pc =1 ο β pc =15 ο β pc =2 ο (a) (b) Fig. 4 he first(a) and second(b) natural frequency.
Fig. 7 은적층각이 일때 θ 45 tw 에대한보의고유 진동수변화를나타낸것이다. 6 차모우드에서 θ 이 3 를분기점으로플랩에서래그모우드로 tw 바뀌는것을알수있다. 7 6 5 4 3 2 1 15 3 45 6 75 9 1 3L Fig. 5 Natural frequencies vs. ply angle for θ = 45. 7 6 5 4 3 2 1 15 3 45 6 75 9 1 3L Fig. 6 Natural frequencies vs. ply angle for θ = 9. 4. 결론 본연구에서는정교한구조모델을이용한복합재료상자형보의동적해석을통해적층각, 일괄피치각, 선형비틀림, 초기플랩각이진동특성에미치는영향을고찰하였다. 적층각의증가에따라전체적으로진동수가감소하였고, 일괄피치각의변화는플랩과래그모우드에는영향을미치나비틀림모우드에는거의영향을주지않았다. 초기플랩각의변화는그영향이매우미비하였고, 선형비틀림각의변화는비틀림모우드를비롯한모든모우드에영향을끼치고있음을알수있었다. tw tw 7 6 5 4 3 2 1 4F 1 15 3 45 6 75 9 3L Linear twist angle (deg) Fig. 7 Natural frequencies vs. linear twist angle. 후기 본연구는 2 년도과학기술부국가지정연구실사업 (2-N-NL-1-C-25) 의지원으로수행된연구결과의일부이며, 지원에감사드립니다. 참고문헌 (1) Hodges, D. H., Review of Composite Rotor Blade Modeling, AIAA Journal, Vol. 28, No. 3, pp. 561-565, 199. (2) Bauchau, O. A. and Hong, C. H., Nonlinear Composite Beam heory, ASME Journal of Applied Mechanics, Vol. 55, pp. 156-163, 1988. (3) Stemple, A. D. and Lee, S. W., A Finite Element Method for Composite Beams Undergoing Large Deflection with Arbitrary Cross-sectional Warping, International Journal of Numerical Method in Engineering, Vol. 28, No. 9, pp. 2143-216, 1989. (4) Giavotto, A., Borri, M, Mantegazza, P. and Ghiringhelli, G., Anisotropic Beam heory and Applications, Computers and Structures, Vol. 16, No. 1-4, pp. 43-413, 1983. (5) Atilgan, A. R. and Hodges, D. H., Unified Nonlinear Analysis for Nonhomogeneous Anisotropic Beam with Closed Cross Sections, AIAA Journal, Vol. 29, No. 9, pp. 1573-1579, 199. (6) Cho, M. H. and Lee, I., Aeroelastic Stability of Hingeless Rotor Blade in Hover Using Large Deflection heory, AIAA Journal, Vol. 32, No. 7, pp. 1472-1477, 1994. (7) Jeon, S. M., Cho, M. H. and Lee, I., Static and Dynamic Analysis of Composite Box Beams Using Large Deflection heory, Computers and Structures, Vol. 57, No. 4, pp. 635-642, 1995.