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운도 함
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1 한국소음진동공학회논문집제 권제 5 호, pp. 46~4, 0. DOI : /KSNVE 테더가있는인공위성의비선형동역학해석 Nonlinear Dynamic Analysis of a Tethered Satellite 이규호 * 정원영 ** 정진태 Kyuho Lee, Wonyoung Jung and Jintai Chung (0 년 월 7 일접수 ; 0 년 3 월 8 일심사완료 ) Key Words : Nonlinear Dynamics( 비선형동역학 ), Tethered Satellite( 테더가있는인공위성 ), Time Integration ( 시간적분법 ) ABSTRACT The purpose of this study is to analyze nonlinear dynamics of a tethered satellite. The nonlinear equations of motion are derived by using Lagrange's equations with the polar coordinate system. In order to analyze the response of tethered satellite, time responses are computed by the Newmark s time integration method. This paper claims that the dynamic behavior of the system is changed by the effect of length of tether, mass ratio of satellites. * 기호설명, : 질점인공위성간의질량비 C : 테더가있는인공위성의질량중심 G : 만유인력상수 (G = Nm /kg ) L : 테더의길이 M e : 지구의질량 (M e = kg) m, m : 질점으로묘사된인공위성의질량 ψ : 지구와인공위성의근점각 r : 지구중심과질량중심사이의거리 : 인공위성의자전각. 서론 근래에들어인공위성이우주공간에서수행하는기능이다양해지고복잡해짐에따라우주공간에서인공위성의기하학적형상변화에따른구조물의 교신저자 ; 정회원, 한양대학교기계공학과 jchung@hanyang.ac.kr Tel : (03) , Fax : (03) * 한양대학교일반대학원기계공학과 동적안정성및동적거동에그관심이모아지고있다. 인공위성은지상의로켓에탑재되어발사되고로켓과분리되어우주공간의궤도에안착하고, 주어진임무를수행하기위해서태양전지판과안테나의전개과정 (deployment) 을거치며중력구배안정화에사용되는테더 (tether) 또한전개하여임무를수행한다. 최근 0년사이테더를이용한인공위성시스템에대한많은실험과연구가활발히진행되었다. 테더는우주선과인공위성혹은분리되어있는두개이상의서로다른구조물을기계적으로연결하는긴케이블을지칭한다. 이러한기본적인역할이외에도운동량과전기역학적에너지의전달, 유체및물질의이송, 인공위성의자세제어를위한중력구배안정법등에사용되어그중요성이날로커지고있다. 해외에서는테더와인공위성혹은우주선에대해서근래에들어많은연구가진행되어왔다. Misra 와 Modi () 가인공위성과관련하여테더의전개와복구의메커니즘에대한초기아이디어를정리하여발표하였다. 이들연구그룹은테더의길이가일정하다고가정하고두개의본체를강체로모델링한인공위성의동역학을해석하였다 (). 또한, 테더의횡방 46/ 한국소음진동공학회논문집 / 제 권제 5 호, 0 년

2 테더가있는인공위성의비선형동역학해석 향으로의심한진동, 테더의말단질량의자세와전개 / 복구에수반되는동적불안정을제어하기위한다양한방법들이제안되었다 (3~6). 국내에서는과학기술위성및다목적실용위성의개발과더불어위성의동적해석에대한연구가폭넓게진행되고있다. 그러나대부분의연구가인공위성의자세제어및구조체의진동실험과관련되어진행되고있으며테더를가지는인공위성에대한논의는인공위성전체시스템을고려하기보다는인공위성을구성하는부품인태양전지판, 힌지부등에대한논의가주를이루고있다. 이연구에서는앞서강체로모델링된인공위성시스템을질점으로묘사하고테더를가지는인공위성의모델을 Lagrange 방정식의이론에기초하여지배방정식을유도하였다. 또한비선형방정식에적합한시간적분법을이용하여동적거동을분석하였다. 질점으로묘사된두개의인공위성의질량비와테더의전개가전체동적거동에미치는영향을고려하였으며질량비가고정되어있을때테더의길이가동적거동에미치는영향에대하여고찰하였다.. 테더시스템의지배방정식유도 적으로증가하며시간에따른테더의길이변화는미리주어져있다고가정하였다. 또한테더인공위성시스템의자전각도변화 는공전궤도평면상에존재한다고가정하여면내각도변화만을고려한 3자유도 차원모델을수립하였다. 따라서이연구에서는인공위성질량중심과지구중심과의거리 r, 공전각도 ψ, 자전각도 의일반좌표에의해지배방정식을유도하였다.. 테더가있는인공위성의지배방정식유도 Lagrange 방정식에의해시스템의지배방정식을유도하기위하여앞서정의한일반좌표에의해서운동에너지와위치에너지를표현하였다. 운동에너지는속도벡터로표현가능하고위치에너지는위치벡터에의해나타낼수있다. 질점으로묘사된각인공위성의위치벡터는다음과같이표현할수있다. r = ( r αlcos ) er αlsine ψ () r = ( r αlcos ) er αlsine ψ () m α =, m m m α = m m (3). 지배방정식유도를위한모델수립테더에의해연결되어있는두개의인공위성의모델은 Fig. 과같다. 해석의용이성을위하여테더의질량은고려하지않았으며각인공위성은질점으로가정하였다. 또한테더를갖는인공위성시스템의질량중심 C는공전궤적평면상에존재한다고가정하였다. 테더의길이 L은시간에따라비례 여기서 r, r 는인공위성의위치벡터를의미하고 과 는전체질량에대한각인공위성의질량비를식 (3) 과같이나타낸다. e r 과 e y 는질량중심의반경방향과접선방향의단위벡터를나타낸다. 식 (), () 의위치벡터를시간에대하여미분하여속도벡터를구할수있으며이는식 (4), (5) 와같이표현할수있다. v= { r α[ L cos L( ψ )sin ]} er { rψ α [ L sin L( ψ )cos ]} eψ v = { r α[ L cos L( ψ )sin ]} er { rψ α[ L sin L( ψ )cos ]} eψ (4) (5) Fig. Simplified model of tethered satellite 인공위성모델을질점으로가정하였기때문에운동에너지는식 (6) 을이용하여구할수있다. 또한중력퍼텐셜에너지는식 (7) 과같이표현할수있다. 한국소음진동공학회논문집 / 제 권제 5 호, 0 년 /47

3 이규호 정원영 정진태 T = mv v mv v (6) V= GMm/ R GMm / R (7) e e R = r = r α L α Lrcos (8) R = r = r α L α Lrcos (9) 여기서 R, R 는지구중심에서인공위성까지의거리를나타낸다. 식 (6), (7) 을식 (0) 과같이표현될수있는 Lagrange 방정식에대입하여비선형지배방정식을유도할수있다. d T T V = Qk qk = r, ψ, dt q k qk qk (0) Lagrange 방정식으로부터얻어진테더가있는인공위성의비선형지배방정식은식 ()~(3) 과같다. r rψ αgm ( r α Lcos )/ R ( cos )/ = 0 3 e 3 αgm e r αl R () ( r αα L ) ψ αα L () ( rr αα LL ) ψ αα LL = 0 L( ψ ) L ( ψ ) GM r sin / R GM r sin / R = 0 e 3 3 e 3. 테더가있는인공위성의동적응답분석 (3) 3. Newmark 알고리즘을이용한시간적분법이연구에서는식 ()~(3) 의비선형방정식의시간응답을구하기위하여 Newmark 알고리즘을이용하였다. Newmark 알고리즘에적용하기위하여식 ()~(3) 의비선형방정식을행렬-벡터방정식으로다시표현하면다음과같이쓸수있다. Mxx ( ) Nxx (, ) = 0 (4) 같이나타낼수있다. { r ψ } x = (5) 0 0 M = 0 r αα L αα L (6) 0 L L { N N N r ψ } Nxx (, ) = (7) N r = rψ T αgm ( r α Lcos ) e 3/ ( r α L αlrcos ) α GM ( r α Lcos ) ( r L Lrcos ) e 3/ α α ψ ( αα ) ψ αα (8) N = rr LL LL (9) GM r sin N = L ( ψ ) ( r L Lrcos ) e 3/ α α GM r sin ( r L Lrcos ) e 3/ α α (0) 벡터방정식으로표현된지배방정식을시간적분법에적용하여질량비의변화, 테더길이의변화에따른동적응답을구하였다. 이연구에서는 Newmark 알고리즘을사용하였으며식 (7) 의 matrix-vector방정식을시간 t = t n 에서의변위와속도로변환가능하며식으로표현하면이와같다. Md ( ) a Nd (, v ) = 0 () n n n n 수치적분알고리즘을수행하기위하여변위, 속도그리고가속도의초기값이주어져야하며다음의식으로정의될수있다. d0 = x (0), v0 = x (0), a0 = M x(0) N x(0), x (0) ( ) ( ) () Newmark 알고리즘에서속도와변위의예측변수 d n 와 v n 는다음과같이주어지며 x가변위벡터, M은질량행렬을의미하고 N은비선형벡터를의미한다. 식으로표현하면아래와 d = d Δ t v ( / β ) Δt a, n n n n v = v ( γ ) Δt a n n n (3) 48/ 한국소음진동공학회논문집 / 제 권제 5 호, 0 년

4 테더가있는인공위성의비선형동역학해석 여기서 Δt는시간간격의크기이고 β와 γ 는 Newmark 알고리즘의수치적인계수들이다. 이연구에서는 β =/4, γ =/인 trapezoidal rule을사용하였으며변위와속도의 correctors는다음과같이주어진다. d = d β Δt a, vn = v n γ Δt an (4) n n n 여기서 d n 과 v n 은우리가식 (3) 을통해이미알고있으며 d n, v n 그리고 a n 은변위, 속도, 가속도를의미한다. 테더를통해물질을이송하는인공위성의동적응답은각각의시간간격에따라 Newton- Raphson method를통해새로운동적응답의가속도값이계산된다. a n 을구하기위한반복과정은다음과같이주어진다. Fig. Dynamic response of the mass center with various length of tether a = a Δa (5) ( i ) ( i) ( i) n n n J Δ a = M( d ) a N( d, v ) f () i () i () i () i () i () i n n n n n n n (6) i는각각의시간에서반속되는횟수를의미하며자 코비안행렬 J 은다음의식으로표현할수있다. () i n J Nd (, v ) Nd (, v ) () i () i () i () i () i () i n n n n n ( n ) γ t β t = M d Δ Δ () i () i vn dn (7) 이와같은방법을통해인공위성의질량비의변화, 테더의길이의변화에따른동적응답을구하였다. Fig. 3 Dynamic response of the orbit angle with various length of tether 3. 테더의길이에따른동적거동분석테더의양끝단에위치한질점인공위성의질량비는 :로가정하고테더의길이를 0 3 m, 0 4 m, 0 5 m으로변화시키면서질량중심의거리, 시스템의공전각그리고자전각의변화를관찰하였다. 초기위치와 r 0 와각속도 ψ 0 는원궤도운동을하는조건에서시뮬레이션을수행하였다. 해석결과테더의길이가 0 3 m일경우에는질량중심의변화가보이지않는다. 즉, 초기치로주어진지구중심과질량중심간의거리가변하지않는다. 이런경우에는인공위성의궤적이일정궤도를운동하면서변화가거의존재하지않음을알수있다. Fig. 4 Dynamic response of the pitch angle with various length of tether 한국소음진동공학회논문집 / 제 권제 5 호, 0 년 /49

5 이규호 정원영 정진태 하지만테더의길이가 0 5 m인경우에는인공위성시스템의질량중심의거리변화가뚜렷하게나타남을알수있다. 이와같은결과는테더의길이가길어질수록인공위성시스템의거동이불안정하다는사실을보여주고있다. 테더의길이에따른공전각을나타낸것은 Fig. 3 인데해석결과에서알수있듯이테더의길이에따른공전각의변화는존재하지않음을알수있다. 그리고결과에서알수있듯이공전각속도를의미하는공전각의기울기가일정함을확인할수있다. 테더의길이에따른인공위성의질량중심에서자전각의변화를 Fig. 4에도시하였다. 결과에서알수있듯이테더의길이가 0 3 m, 0 4 m인경우자전각의변화는매우작은것을알수있다. 하지만테더의길이가 0 5 m인경우그변화폭이큼을알수있다. 질량중심에서의궤적의변화를나타내는 Fig. 와자전각의변화를나타내는 Fig. 4의결과를비교하면, 두결과의주기가유사하여상관관계가있음을유추할수있다. 이러한점으로미루어지구중심과인공위성질량중심간의거리 r의변화는자전각 의변화와상관관계가있을것으로예상할수있다. Fig. 5 Dynamic response of the radius with the mass ratio 3.3 질량비의차이에따른동적거동분석테더의길이를시간에대해일정하게증가하도록변화시키면서말단질량간의질량비에따라지구중심과인공위성질량중심간의거리 r과자전각 의변화를관찰하였다. 말단질량간의질량비의차이가커지면테더시스템의질량중심이변하게된다. 힘의평형을이루며지구주위를공전하는인공위성과같은시스템에있어이러한질량중심의변화는동적거동에커다란영향을미치게된다. 따라서질량비의변화에따른동적응답을구하고분석하는것은테더가있는인공위성의설계시매우중요한인자로작용할수있다. 질량간의질량비가커질수록즉, 한쪽의질량이다른쪽의질량보다클경우인공위성시스템의질량중심까지의거리변화의폭이줄어드는것을 Fig. 5의결과를통해확인할수있다. 이러한결과는인공위성간의질량비의차이에의하여시스템의전체궤적에변화가발생한다는것을의미한다. 질량비의변화에따라살펴보면테더의전개에의하여질량중심은아래쪽으로이동하는데 Fig. 6 Dynamic response of the orbit angle with the mass ratio Fig. 7 Dynamic response of the pitch angle with the mass ratio 40/ 한국소음진동공학회논문집 / 제 권제 5 호, 0 년

6 테더가있는인공위성의비선형동역학해석 그거리변화의폭이커질수록시스템은불안정함을의미한다. 따라서테더가전개하는방향과각인공위성의질량비는밀접한관계를가지고있으며시스템의설계시중요한변수가된다. 질량의비에따라테더의길이가증가하는동안의공전각의변화는 Fig. 6을통해알수있다. 질량비가 :인경우에는테더의길이가증가함에따라공전각속도에변화가생김을알수있다. 이러한각속도의변화는정지위성같은한지역에국한되어사용되는위성에는적합하지않다. 그러나질량비가 0, 0이됨에따라각속도는일정해지는것을확인할수있다. 테더를이용한인공위성은초기에인공위성의자세제어를위한중력안정화기법에의하여고안되었다. 우주에서물체의자세는질량관성모멘트가최소가되는축이지구중심을향한다. 초기조건에의해움직이는자전각은시간이지남에따라 0에수렴하는것을 Fig. 7을통해알수있으며이연구에서자전각이 0이된다는것은테더를갖는인공위성의질량중심과테더축이일치한다는것을의미하며이는중력구배안정화기법을만족한다는사실을의미한다. 4. 결론이연구에서는 3자유도의 차원평면운동을하는테더를갖는인공위성의비선형지배방정식을구하고시간적분법을통한동적응답을구하여테더의길이, 질량비의변화에대한거동을분석하였다. () 테더의길이별응답특성결과테더의길이가길수록지구중심과질량중심의거리 r은주기를갖으며변한다. () 지구중심과질량중심의거리 r과인공위성의자전각 는밀접한관계가있다. (3) 질량비가클수록테더의길이변화에대한지구중심과질량중심과의거리 r의변화가둔화된다. (4) 질량비가클수록공전각속도의변화가줄어들어정지궤도를유지할수있다. (5) 테더의길이가증가함에따라자전각 는지 구중심을향하며이는중력구배안정화기법을만족한다. 후기이논문은 00년정부 ( 교육과학기술부 ) 의재원으로한국연구재단의지원을받아수행된연구임 ( ) 참고문헌 () Misra, A. K. and Modi, V. J., 98, Dynamics and Control of Tether Connected Two-body Systems-a Brief Review, 33rd Congress of the International Astronautical Federation, pp. 473~54. () Misra, A. K., Nixon, M. S. and Modi, V. J., 00, Nonlinear Dynamics of Two Body Tethered Satellite Systems: Constant Length Case, Journal of Astronautical Science, Vol. 49, No., pp. 9~36. (3) Modi, V. J., Pradhan, S. and Misra, A. K., 997, Controlled Dynamics of Flexible Orbiting Tethered Systems: Analysis and Experiments, Journal of Vibration and Control, Vol. 3, No. 4, pp. 459~ 497. (4) Krupa, M., Kuhn, A., Poth, W., Schagerl, M., Steindl, A., Steiner, W., Troger, H., Wiedermann, G., 000, Tethered Satellite Systems, European Journal of Mechanics A-Solids, Vol. 9, pp. S45~S64. (5) Djebli, A., El Bakkali, L. and Pascal, M., 00, On Fast Retrieval Laws for Tethered Satellite Systems, Acta Astronautica, Vol. 50, No. 8, pp. 46~470. (6) Kumar, K. D. and Kumar, K., 999, Satellite Pitch and Roll Attitude Maneuvers Through Very Short Tethers, Acta Astronautica, Vol. 44, No. 5-6, pp. 57~65. (7) Yoo, H. H. and Lim, H. S., 006, Dynamic Analysis of an Impulsively Forced Rotating Cantilever Beam, Transactions of the Korean Society for Noise and Vibration Engineering, Vol. 6, No. 3, pp. 6~3. 한국소음진동공학회논문집 / 제 권제 5 호, 0 년 /4

소성해석

소성해석 3 강유한요소법 3 강목차 3. 미분방정식의근사해법-Ritz법 3. 미분방정식의근사해법 가중오차법 3.3 유한요소법개념 3.4 편미분방정식의유한요소법 . CAD 전처리프로그램 (Preprocessor) DXF, STL 파일 입력데이타 유한요소솔버 (Finite Element Solver) 자연법칙지배방정식유한요소방정식파생변수의계산 질량보존법칙 연속방정식 뉴톤의운동법칙평형방정식대수방정식