25 강. 수열의극한참거짓 2 두수열 { }, {b n } 의극한에대한 < 보기 > 의설명중옳은것을모두고르면? Ⅰ. < b n 이고 lim = 이면 lim b n =이다. Ⅱ. 두수열 { }, {b n } 이수렴할때 < b n 이면 lim < lim b n 이다. Ⅲ. lim b n =0이면 lim =0또는 lim b n =0이다. Ⅰ 2Ⅱ 3Ⅲ 4Ⅰ,Ⅱ 5Ⅰ,Ⅲ 2 다음보기중옳은것을모두고르면? Ⅰ. lim = 이고 lim b n =0 이면 lim b n =0 이다 Ⅱ. lim( -b n )=0이면수열 {an } 과 {b n } 이모두수렴한다. Ⅲ. < b n < c n 이고 lim(c n - )=0이면수열 {bn } 은수렴한다. Ⅰ 2 Ⅱ 3 Ⅲ 4 Ⅱ, Ⅲ 5 모두옳지않다. 3 양수들로이루어진수열 {an } 에대하여다음 < 보기 > 중옳은것을모두고른것은? Ⅰ. 모든자연수 n 에대하여 + < 이면 lim =0 Ⅱ. 모든자연수 n 에대하여 + = 이면 lim =0 Ⅲ. 0<h < 일때모든자연수 n 에대하여 + < h 이면 lim =0 Ⅰ 2 Ⅱ 3 Ⅲ 4 Ⅰ, Ⅲ 5 Ⅱ, Ⅲ
4 무한수열 { }, {b n } 에대하여다음중옳은것을모두고르면? Ⅰ. { } 이수렴하고 { b n } 이발산하면 { b n } 은발산한다. Ⅱ. { } 이발산하고 { -b n } 이 0에수렴하면 { b n } 은발산한다. Ⅲ. { }, {b n } 중하나만발산하면 { b n } 은발산한다. Ⅰ 2 Ⅱ 3 Ⅲ 4 Ⅰ, Ⅱ 5 Ⅱ, Ⅲ 5 두개의수열 { }, {b n } 에대하여다음명제중옳은것은? 이수렴하면, a 은발산한다. n 2 lim =0이면무한급수 은수렴한다. 3 lim( -b n )=0이면 lim, lim b n 이존재하고서로같다. 4 모든자연수 n 에대하여 0< <이면 lim a a 2 a 3 =0이다. 5 a 이수렴하고, n b 이발산하면 n b n 은발산한다. 6 수열및무한급수에대한보기의설명중옳은것을모두고르면? ( 단, α, β 는실수 ) Ⅰ. < b n 일때 lim = α, lim b n =β라하면 α < β Ⅱ. < b n 일때 = α, b n =β라하면 α < β Ⅲ. = α, b n = β이고 α < β이면 lim < lim b n 이다. Ⅰ 2 Ⅱ 3 Ⅲ 4 Ⅰ, Ⅱ 5 Ⅱ, Ⅲ
7 무한급수 ( -3) 이 2 에수렴할때, 다음중옳은것을모두고른것은? Ⅰ. 2( -3)=4 Ⅱ. lim =3 Ⅲ. 은발산한다. Ⅰ 2 Ⅱ 3 Ⅲ 4 Ⅰ, Ⅱ 5 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ 8 무한등비수열 { } 에대하여옳은것을 < 보기 > 에서모두고른것은? Ⅰ. 무한등비급수 < 보기 > 이수렴하면 a 2n 도수렴한다. Ⅱ. 무한등비급수 a 이발산하면 n a 도발산한다. 2n Ⅲ. 무한등비급수 이수렴하면 ( + 2 ) 도수렴한다. Ⅰ 2 Ⅱ 3 Ⅰ, Ⅱ 4 Ⅰ, Ⅲ 5 Ⅱ, Ⅲ 9 다음 < 보기 > 중에서참인명제를모두고르면? Ⅰ. lim 0이면 은발산한다. < 보기 > Ⅱ. -<r 일때, Ⅲ. k = r n 은수렴한다. (a 2k - +a 2k )=α 이면 k =0 a k = α 이다. Ⅳ. a, n b n 이각각 α, β 에수렴하면 ( + b n ) 은 α+β 에수렴한다. Ⅰ, Ⅱ 2 Ⅱ, Ⅲ 3 Ⅲ, Ⅳ 4 Ⅰ, Ⅲ 5 Ⅰ, Ⅳ
0 다음보기의극한에대한성질중옳은것을모두고르면? Ⅰ. lim ( -b n )=0 이면 lim Ⅱ. < b n 이면 lim <limb n = lim b n Ⅲ. >0, + < 3 이면 lim =0 Ⅰ 2 Ⅱ 3 Ⅲ 4 Ⅰ, Ⅱ 5 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ 무한수열 {an }, {b n } 에대하여다음중옳은것을모두고르면? Ⅰ. { a 2 n } 이수렴하면 {an } 도수렴한다. Ⅱ. {an } 이발산하고 { +b n } 이 0에수렴하면 {b n } 은발산한다. Ⅲ. { }, {b n } 중하나만수렴하면 { b n } 은발산한다. Ⅰ 2 Ⅱ 3 Ⅲ 4 Ⅰ, Ⅱ 5 Ⅱ, Ⅲ 2 극한에대한다음설명중옳은것은? 보 기 Ⅰ. lim 이수렴하면, lim =α 또는 - α이다. Ⅱ. lim ( -b n )=0 이면 lim b n = 이다 Ⅲ. lim( +b n ) 과 lim ( -b n ) 이모두수렴하면 lim 과 lim b n 도수렴한다. Ⅰ 2 Ⅱ 3 Ⅲ 4 Ⅰ, Ⅲ 5 Ⅱ, Ⅲ
3 무한수열의극한에대한다음 < 보기 > 의설명중옳은것을모두고르면? <b n lim < lim b n lim =α lim = α lim =-α lim( -b n )=0 { } {b n } Ⅰ, Ⅱ2 Ⅰ, Ⅲ3 Ⅱ, Ⅲ4 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ 5 옳은것이없다. 4 다음보기중옳은것을모두고르면? Ⅰ. 수열 { -b n 2} 과 {b n } 이수렴하면 { } 이수렴한다. Ⅱ. lim b n =0 이면 lim =0 또는 lim b n =0이다. Ⅲ. 수열 { } 과 {b n } 이발산하면 { b n } 도발산한다. Ⅰ 2 Ⅱ 3 Ⅲ 4 Ⅰ, Ⅱ5 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ 5 다음 < 보기 > 중옳은것을모두고르면? Ⅰ. 상수 α 에대하여 lim a 2 n = α 2 이면 lim = α 또는 lim α n = -α 이다. Ⅱ. 상수 α 에대하여 lim ( - b n )=0이고 lim = α 이면 lim b n = α 이 다. Ⅲ. 수렴하는두수열 { }, {b n } 이모든자연수 n 에대하여 b n 이면 lim lim b n 이다. Ⅰ 2 Ⅱ 3 Ⅰ, Ⅱ4 Ⅰ, Ⅲ5 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ
6 각항이 0 또는 인수열 {an } 에대한보기의설명중옳은것을모두고르면? Ⅰ. lim 이수렴하면극한값은반드시 0 또는 이다. Ⅱ. lim 이발산하면진동한다. Ⅲ. lim =0이면 은수렴한다. Ⅰ 2 Ⅰ, Ⅱ 3 Ⅰ, Ⅲ 4 Ⅱ, Ⅲ 5 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ 7 다음중극한에대한성질로옳지않은것을고르면?( 단 k 는상수 ) lim 이수렴하면 lim k 도수렴한다. 2 lim, lim b n 이수렴하면 lim b n 도수렴한다. b 3 lim, lim b n 이수렴하면 n lim 도수렴한다. 4 이수렴하면 k 도수렴한다. 5, b n 이수렴하면 ( +b n ) 도수렴한다. 8 < 보기 > 의무한급수중에서수렴하는것을모두고른것은? Ⅰ. Ⅱ. Ⅲ. n 2 n + n ( n +) n + + n Ⅰ 2 Ⅱ 3 Ⅰ, Ⅱ 4 Ⅰ, Ⅲ 5 Ⅱ, Ⅲ
( 정답 ) Ⅰ. 참 Ⅱ. ( 반례 ) a, b n = n + n lim =limb 이다. 참 Ⅲ. 반례 : 수열 { } 이, 0,, 0,, 수열 {b n } 이 0,, 0,, 0, 이면 lim b n =0 ( 수렴 ) 이지만 lim 0, n 이면 < b n 이지만, lim b n 0 이다. 거짓 n 2 ( 정답 ) 5 Ⅰ. an =n 이고 b n = n 이면 lim b 이다 Ⅱ. an =n, b n =n+ n 이라하면 { } 과 {b n } 모두발산한다. Ⅲ. an =n, b n =n+ n, c n=n+ 2 n 라하면 lim(c n - )=0이지만 {bn } 은발산한다. 3 ( 정답 ) 3 Ⅰ. a+ n 이면 + < 그러나 lim a 이므로 Ⅰ. 는거짓 Ⅱ. + = 2 에서 log an+ = 2 log log =( loga )( 2 )n- lim log =0 lim a 따라서 Ⅱ. 는거짓이다. Ⅲ. < h - < h 2-2 < <h n - a 이므로 lim lim h n - a =0 한편 >0 이므로 lim 0 lim =0 따라서 Ⅲ. 는참이다.
4 ( 정답 ) 2 Ⅰ. an =(-) n 이라하면 an 2=이므로 2 { } 은수렴하지만 { } 은발산한다. 따라서 Ⅰ. 는거짓이다. Ⅱ. {bn } 이수렴한다면, ( +b n )-(b n )= 도수렴한다. 이것은가정에모순이므로 {bn } 은발산한다. 따라서 Ⅱ. 는참이다. Ⅲ. an =(-) n, bn = n 이라하면 {b n } 하나만수렴한다. 그러나 lim b n =0이므로 {an b n } 은수 렴한다. 따라서 Ⅲ. 는거짓이다. 5 ( 정답 ) 6 ( 정답 ) 2 Ⅰ. α β( 거짓 ) Ⅱ. ( 참 ) Ⅲ. lim = lim b n =0이므로 ( 거짓 ) 7 ( 정답 ) 5 Ⅰ. 2( -3)=2 ( -3)=4이므로참이다. Ⅱ. ( -3) 이수렴하므로 lim ( -3)=0 lim =3이므로참이다. Ⅲ. lim 0이므로 은발산한다. 8 ( 정답 ) 등비수열 의첫째항을, 공비를 이라고하자. Ⅰ. 무한등비급수 이수렴하면 또는 이다. 이때 또는
이므로 도수렴한다. 따라서 ( 참 ) Ⅱ. 무한등비급수 이수렴하면, 또는 이므로 또는 이다. 따라서, 이수렴한다. 대우명제가참이므로 ( 참 ) Ⅲ. 이수렴하면, lim 이므로 lim 따라서 lim 은발산한다. ( 거짓 ) 9 ( 정답 ) 5 Ⅰ. 동치인대우를증명한다. lim = lim (S n - S n - )=S-S =0 Ⅱ. ( 반례 ) r = 인경우 = lim 이수렴하고, 합을 S, 제 n 항까지의부분합을 S n 이라하면 참 Ⅲ. ( 반례 ) :, -,, -, 일때, -+-+ 0 이다. Ⅳ. ( +b n )= lim = lim ( n a k + n k = k =b k ) = lim n a k + lim k = n k = (a k + b k ) k n b k = = + b n = α + β n = lim n =( 발산 ) k = k = (a 2k - + a 2k )= k = (+(-))=0 이지만 0 ( 정답 ) 3 Ⅰ. 수열 {an } 과 {b n } 이수렴한다는보장이없으므로거짓이다. Ⅱ. < b n 이면 lim lim b n Ⅲ. 0< < ( 3 ) n - lim =0 a 이므로 0 lim lim ( 3 ) n - a
( 정답 ) 2 Ⅰ. 옳지않다. ( 반례 ) : = n, b n =(-) n 일때, b n = n (-)n 이므로수렴. Ⅱ. b n = -( -b n ) 이고 lim ( -b n )=0에서 lim 이발산하면 lim b n 도발산한다. Ⅲ. ( 반례 ) = n 이면 2 lim =0이고 b n = n 이면 lim b n =로발산하지만 lim b n = lim n 2 n = lim n =0 ( 수렴 ) 따라서옳은것은 Ⅱ이다. 2 ( 정답 ) 3 Ⅰ. 반례 an =(-) n Ⅱ. 반례 an = n, b n= n 2 Ⅲ. an = 2 {(+b n )+( -b n )} b n = 2 {(+b n )-( -b n )} 이고수렴하는수열의합, 차그리고상수배는수렴하므로수열 { } 과 {b n } 은수렴한다. 3 ( 정답 ) 5 Ⅰ. = n+, b n = n 이면모든 n 에대하여 < b n 이다. 그런데 lim =lim 따라서거짓 Ⅱ. =(-) n 이면 lim = lim 따라서거짓 Ⅲ., 이면 n + =0, lim (-) n = 이므로수렴하지만 lim b n =lim n =0 이므로 lim =limb n =lim(-) n 은진동한다.
lim lim 이다 그런데, 수열 과 은발산한다. 따라서거짓 4 ( 정답 ) lim = α, lim b n = αβ, lim b n = β 이면 lim a 2 n = α 2 이다. Ⅰ. { b n } 이수렴하면 { b 2 n} 도수렴한다. 따라서 ( - b 2 n)+b 2 n = 도수렴한다.( 참 ) Ⅱ.,,, 이면 lim b n =0 이지만, 수열 과 은모두 발산한다.( 거짓 ) Ⅲ. ( 반례 ) =(-) n, b n =(-) n 이면 b ( 거짓 ) 5 ( 정답 ) 2 Ⅰ.( 반례 ) = (-) n 이라하면 lim a 2 이지만 lim 은발산한다. ( 거짓 ) Ⅱ. - b n = c n 이라하면 lim = α, lim c n =0 lim b n = lim ( - c n )= lim - lim c n = α -0 = α ( 참 ) Ⅲ. ( 반례 ) a - n, b + n 이라하면모든 n 에대하여 b n 이지만 lim = lim b 이성립한다. ( 거짓 ) 따라서옳은것은 Ⅱ 뿐이다. 6 ( 정답 ) 5 수열 {an } 의각항이 0 또는 이므로 Ⅰ. 수열 {an } 이수렴하면 lim =0 또는 lim a Ⅱ. 수열 {an } 이발산하면 0과 의값이무한히나타나므로진동이다. Ⅲ. lim =0이면수열 {an } 중에서 인항이무한개일수없으므로 은수렴한다.
7 ( 정답 ) 3 3 an = n, b n =2 이면수열 { }, {b n } 은수렴하지만 b n lim = lim2n=이므로 b n 은발산한 다. 8 ( 정답 ) 2 첫째항부터제 n 항까지의부분합을 S n 이라하면 Ⅰ. lim Ⅱ. S n = n n 2 n + = 이므로 2 k = Ⅲ. S n = n =- n + k = k ( k +) = n k =( k - k + ) n 은발산 2 n + lim n S ( 수렴 ) k+ k + = k n (- k+ k +) = = n +- lim n S n =( 발산 ) lim lim lim lim lim lim lim k ± lim lim lim ± lim ± lim lim > lim < < lim lim lim lim
0 lim lim lim lim lim lim lim lim
lim lim lim lim lim 02 lim lim lim lim lim lim 0 02