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절대수학 검은 대장간 인문 Blacksmith Day 1 최석호 1. 그림과 같이 A B C D E의 다섯 개의 영역에 빨강, 노랑, 파 랑, 초록의 네 가지 색으로 색칠을 하려고 한다. 네 가지 색 중 한 색 은 두 번 사용하고 나머지 세 가지 색은 한 번씩만 사용하여 칠하는 데, 인접한 영역에는 서로 다른 색을 칠하기로 할 때, 색칠하는 방법 의 수를 구하시오. [2등급 150초] 답 : 2. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 A B C A 에 A C 을 빗변으로 하는 직각이등변삼각형 A C B 을 이어 붙여서 만든 도형을 이라 하자. 도형 에 정사각형 A B C A 를 이어 붙이고 A C 을 빗변으로 하는 직각이등변삼각형 A C B 를 이어 붙여서 만든 도형을 라 하자. 도형 에 정사각형 A B C A 을 이어 붙이고 A C 를 빗변으로 하는 직각 이등변삼각형 A C B 을 이어 붙여서 만든 도형 을 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 얻은 도형 의 둘레의 길이를 이라 할 때, lim 의 값은? [2등급 150초] 1 2 3 4 5 답 : 4 1

3. 원 위의 점 P 가 있다. 점 P 에서의 접선이 축과 만 나는 점을 Q 라 하고 인 점을 R라 하자. 점 P의 좌표를 라 하고, OPQ 의 넓이를, PRQ 의 넓이를 라 할 때, lim 의 값은? (단, 점 P는 제사분면 위의 점이다.) [2등급 120초] 1 4 2 5 3 답 : 4 4. 그림과 같이 한 변의 길이가 m인 정사각형 모양을 이어 만든 도로망이 있다. 이 도로망을 따라 동현이는 A지점에서 B지점을 향 해, 다현이는 B지점에서 A지점을 향해 각각 최단거리로 이동하다가 두 사람이 어느 한 지점에서 만나게 되면 두 사람은 처음 출발했던 지점으로 각각 최단거리로 되돌아오기로 하였다. 다현이가 동현이의 두 배의 속력으로 이동할 때, 두 사람이 위와 같은 방법으로 이동하 는 모든 경우의 수는? [2등급 150초] 1 2 3 4 5 답 : 4 2

5. 주머니에 부터 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 개의 구슬 이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 구슬을 꺼낼 때 구슬에 적힌 수에 따라 아래 표에 적힌 이동 방향으로 바둑돌을 그림의 선분 을 따라 한 칸씩 움직이고, 이동할 곳이 없으면 제자리에 멈춰 있기 로 한다. 구슬에 적힌 숫자 이동 방향 현재 점 P의 위치에 바둑돌이 있다. 세 개의 구슬을 차례로 꺼내어 바둑돌을 위의 규칙에 따라 이동시켰을 때, 이 바둑돌의 위치가 출발 후 처음으로 다시 점 P에 있게 될 확률은? (단, 꺼낸 구슬은 주머니 에 다시 넣지 않는다. [1등급 180초] 1 2 3 4 5 답 : 1 6. 어느 자격증의 필기시험 응시자의 점 수 분포는 평균 점, 표준편차 점인 정 규분포를 따르고 최저 합격자 점수는 점이라고 한다. 이 시험의 응시자 중 명을 임의로 추출했을 때, 합격한 사람이 명 이상 포함되어 있을 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3등급 120초] P Z 1 2 3 4 5 답 : 1 3

7. 그림은 다음과 같은 규칙으로 제 행에 개의 바둑돌을 놓은 것 이다. (가) 제행에는 검은 돌, 제행에는 흰 돌을 놓는다. (나) 각 행에 놓은 바둑돌은 좌우대칭이 되도록 한다. (다) 각 행에서 두 검은 돌 사이에는 흰 돌을 두 개 놓는다. (라) 각 행에서 흰 돌은 세 개 이상 연속되지 않게 놓는다. 제 행에 놓인 검은 돌의 개수를 이라 할 때, 의 값은? [3등급 120초] 1 2 3 4 5 답 : 5 Blacksmith - Day 2 1. 반지름의 길이와 색이 모두 다른 나무 원판 개가 있다. 개의 원판의 중심이 일치하도록 원판을 쌓으려고 한다. 그림은 위에서 내 려다봤을 때 원판 개가 보이도록 원판 개를 쌓은 한 가지 예이다. 이와 같이 위에서 내려다봤을 때 원판 개가 보이도록 원판 개를 쌓는 방법의 수를 구하시오. [2등급 150초] 답 : 50 4

2. 그림과 같이 길이가 인 선분 AB를 지름으로 하는 반원을 이 라 하자. 선분 AB의 삼등분점 중 점 A와 가까운 점부터 차례로 P P 라 하고, 반원 에서 길이가 인 선분 P P 를 지름으로 하 는 반원을 잘라내어 만든 도형을 라 하자. 남은 선분 AP 과 P B 의 삼등분점 중 점 A와 가까운 점부터 차례로 P, P, P, P 이라 하고, 도형 에서 길이가 인 선분 P P 와 P P 을 지름으로 하는 두 반원을 잘라내어 만든 도형을 이라 하자. 이와 같은 방법으로 반원들을 잘라내는 과정을 계속하여 얻어진 번째 도형을 이라 하 고 그 둘레의 길이를 이라 하자. lim 일 때, 의 값을 구 하시오. (단, 는 실수이다.) [2등급 120초] 답 : 3. 폐수처리장에서는 물속의 오염된 물질을 걸러내기 위하여 흡착제 를 사용하는데 흡착제의 무게를 g, 흡착된 물질의 양을 g, 흡착 이 일어난 후 용액 속에서 흡착물질의 평형농도를 mgl라 할 때, 다음 식이 성립한다. log log log (단, 은 양의 상수이다.) 두 개의 흡착제 A B의 무게를 각각,, 흡착된 물질의 양을 각각, 라 하면, 이다. 이때, 흡착 제 A를 이용했을 때의 평형농도는 흡착제 B를 이용했을 때의 평형 농도의 몇 배인가? [2등급 120초] 1 4 2 5 3 답 : 4 5

4. 그림과 같이 서로 접하고 크기가 같은 원 개와 이 세 원의 중심 을 꼭짓점으로 하는 정삼각형이 있다. 원의 내부 또는 정삼각형의 내 부에 만들어지는 개의 영역에 서로 다른 가지 색을 모두 사용하여 칠하려고 한다. 한 영역에 한 가지 색만을 칠할 때, 색칠한 결과로 나 올 수 있는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [3등급 120초] 1 2 3 4 5 답 : 2 5. 가 각각 하나씩 쓰여 있는 장의 카드가 있다. 이 중에서 장 이상의 카드를 동시에 택하여 카드에 쓰여 있는 모든 수의 합을 구하려고 한다. 예를 들면, 이다. 이때, 나올 수 있는 서로 다른 합의 개수는? [1등급 150초] 1 2 3 4 5 답 : 3 6

6. 자연수 에 대하여 점 P 이 축 위의 점일 때, 점 P 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 점 P 의 좌표는 이다. (나) (1) 점 P 을 지나고 축에 평행한 직선이 직선 와 만나는 점을 A 이라 한다. (2) 점 A 을 지나고 축에 평행한 직선이 직선 와 만나는 점을 B 이라 한다. (3) 점 B 을 지나고 축에 평행한 직선이 축과 만나는 점 을 C 이라 한다. (4) 점 C 을 축에 대하여 대칭이동한 점을 P 이라 한 다. 점 P 의 좌표를 이라 할 때, lim 의 값은? [2등급 150초] 1 2 3 4 5 답 : 5 7. 그림과 같이 좌표평면에서 직선 위를 움직이는 점 P 와 원 위를 움직이는 점 Q 에 대 하여 행렬 를 로 정의하자. 행렬 의 역행렬이 존재하지 않도록 하는 두 점 P Q 에 대하여 선분 PQ 의 길이가 최소일 때, 다 음 중 행렬 과 같은 행렬은? [2등급 120초] 1 2 3 4 5 답 : 4 7

Blacksmith - Day 3 1. 그림과 같이 직각이등변삼각형에 내접하는 정사각형을 만들고, 그 정사각형에 내접하는 원을 만들어 원에 어둡게 색칠한다. 이와 같은 작업을 한없이 계속할 때, 어두운 부분의 넓이의 합은 다 음 중 어느 것의 어두운 부분의 넓이에 한없이 가까워지는가? (단, 각각은 위와 합동인 직각이등변삼각형에 내접하는 정사각형, 원 또는 반원이며, 반원의 중심은 그림과 같이 삼각형의 변 위에 있다.) [2등급 120초] 답 : 4 2. 그림과 같은 도로망이 있다. A지점을 출발하여 B지점으로 갈 때, 반드시 C지점을 거쳐서 지나가는 경우의 수는? (단, 지나간 곳은 다 시 지나지 않는다.) [2등급 150초] 1 2 3 4 5 답 : 5 8

3. 표본공간 의 부분집합인 두 사건 에 대하여 P PB, P P PP 가 성립할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, P 이고 은 의 여사건이다.) [2등급 150초] ㄱ. P P ㄴ. P P ㄷ. 두 사건 와 가 서로 독립이면 P 이다. 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 답 : 5 4. 개의 바둑돌을 화살표를 따라 시계 방 향으로 바깥에서 안쪽으로 차례로 정사각형 모양으로 나열해 놓은 것을 이라 한다. 다 음은,,,, 를 차례로 그린 것이다.,,,, 의 순으로 차례로 바둑 돌을 놓을 때, 번째 바둑돌은 의 위로 부터 번째, 왼쪽으로부터 번째에 놓이게 된다. 이때, 의 값을 구하시오. [2등급 150초] 답 : 5. 문자 가 개, 문자 가 개 있다. 이 개의 문자를 다음 그림 과 같이 부터 까지 번호가 붙어 있는 빈칸에 나열할 때, 문자 가 홀수 번째 칸-짝수 번째 칸-홀수 번째 칸-짝수 번째 칸을 번갈 아가며 나열되도록 하려고 한다. 예를 들면,, 와 같이 나열되어야 한다. 이렇게 나열하는 방법의 수는? [1등급 150초] 1 2 3 4 5 답 : 2 9

6. 좌표평면에서 중심이 이고 반지름의 길이가 인 원을 라 하 자. 양수 에 대하여 를 반지름의 길이가 인 원 중에서, 원 와 한 점에서 만나고 동시에 축에 접하는 원의 개수라 하자. 보기에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [2등급 150초] ㄱ. ㄴ. lim ㄷ. 구간 에서 함수 의 불연속점은 개이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 답 : 4 7. 개의 각 면의 눈의 모양이 다음과 같은 주사위가 있다. 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 에서 이 주사위를 던져서 나오는 눈의 수의 크기만큼 꼭짓점 A에서 출발하여 변을 따라 A B C D A 의 순서로 계속 움직인다. 이때, 주사위를 세 번 던져서 다시 꼭짓점 A에 도달할 확 률은? [2등급 150초] 1 4 2 5 3 답 : 4 10

Blacksmith - Day 4 1. 오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이 가 인 정팔면체 ABCDEF의 꼭짓점 A 위에 개미 한 마리가 있다. 이 개미는 매 초 만큼 정팔면체의 모서리 위를 움직이 는데, 한 꼭짓점에 도착했을 때 진행할 다 음 모서리를 택할 확률은 그 꼭짓점에서 만나는 네 모서리에 대하여 서로 같다고 한다. 꼭짓점 A에서 출발한 개미가 초 후 다시 꼭짓점 A에 도착할 확률이 이라 할 때, 의 값은? (단, 개미가 모서리 위에서 진행 방향을 바꾸는 일은 없다.) [1등급 180초] 1 2 3 4 5 답 : 5 2. 그림과 같이 에서 까지 개의 자연수를 피라미드 모양으로 배열하였 다. 제 행에 개의 수를 임의로 나열 하여 제 행에 나열된 수 중 최대의 수 를 라고 하자. 이때, 일 확률은 이다. 이때, 의 값을 구하여라. (단, 이고 는 서로소인 자연수이다.) [2등급 150초] 답 : 3. 다음과 같은 규칙으로 제행에 개의 자연수를 나열한다. (가) 제행에는 을 나열한다. (나) 제행의 첫 번째 수는 제행에 있는 모든 수의 평균 과 같다. (다) 제행의 수는 차례로 공차가 인 등차수열을 이룬다. 제행 제행 제행 제행 제행 제행에 있는 모든 자연수의 합은? [2등급 150초] 1 2 3 4 5 답 : 4 11

4. 실수 전체의 집합에서 정의된 연속함수 의 그래프의 일부가 그림과 같다. 실수 전체의 집합에서 함수 를 라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [2등급 150초] ㄱ. ㄴ. 함수 는 개구간 에서 감소한다. ㄷ. 에서 방정식 의 모든 실근의 합은 이 다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 답 : 4 5. 한 번 던질 때마다 등이 보일 확률이 로 같은 두 개의 윷가락과 그림과 같은 말판 을 이용하여 말을 다음과 같은 규칙으로 이 동시킨다. (가) 말은 A에서 출발하여 화살표 방향으로 움직인다. (나) 두 윷가락을 동시에 던져 등이 보이는 윷가락의 개수가 이면 진행 방향으로 말을 각각 칸, 칸, 칸 옮긴 다. (다) 말이 B에서 멈추면 다음 번에는 D 방향으로 이동하고, C에 서 멈추면 다음 번에는 A방향으로 이동한다. 단, B C에서 멈추지 않으면 C D 방향으로 각각 이동한다. 예를 들어, 두 개의 윷가락을 동시에 던지는 시행을 번 반복하여 등 이 보이는 개수가 차례로 이면 말은 B에 도착한 후 D 방 향으로 움직이고, 등이 보이는 개수가 차례로 이면 말은 C 에 도착한 후 A방향으로 움직인다. 두 개의 윷가락을 동시에 던지는 시행을 번 반복하여 말이 P에 도착하였을 때, 말이 C를 지나왔을 확률은? [1등급 210초] 1 2 3 4 5 답 : 1 12

6. 길이가 모두 같은 막대를 그림과 같이 연결하여 입체 조형물을 만들었다. A지점에서 출발하여 막대를 따라 최단거리로 B지점으로 가는 방법의 수를 구하여라. (단, 막대의 두께는 무시한다.) [2등급 150초] 답 : 7. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형을 넓이가 같은 개의 정사각형으로 나누고 반지름의 길이가 인 사분원 개의 외부(어두 운 부분)를 잘라낸 후 남은 도형을 이라 하자. 에서 한 변의 길 이가 인 정사각형 개를 각각 넓이가 같은 개의 정사각형으로 나 누고 반지름의 길이가 인 사분원 개의 외부(어두운 부분)를 잘라 낸 후 남은 도형을 라 하자. 에서 한 변의 길이가 인 정사각 형 개를 각각 넓이가 같은 개의 정사각형으로 나누고 반지름의 길 이가 인 사분원 개의 외부(어두운 부분)를 잘라낸 후 남은 도형 을 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 도형을 이라 하고 그 넓이를 이라 할 때, lim 의 값은? [2등급 150초] 1 2 3 4 5 답 : 4 13

Blacksmith - Day 5 1. 정사면체 T 의 모든 모서리의 삼등분점을 잡는다. T 의 각 꼭짓 점에서 가까운 삼등분점 개와 그 꼭짓점을 모두 이어서 만든 사면 체 개를 잘라내어 팔면체 T 를 만든다. 다시 팔면체 T 의 모든 모 서리의 삼등분점을 잡는다. T 의 각 꼭짓점에서 가까운 삼등분점 개와 그 꼭짓점을 모두 이어서 만든 사면체 개를 잘라내어 이십면 체 T 을 만든다. 이와 같은 방법으로 다면체 T T T 을 만들 때, 다면체 T 의 면 의 개수는? [2등급 150초] 1 2 3 4 5 답 : 5 2. 한 모서리의 길이가 인 정육면체 ABCD -EFGH 위에 동점 P가 있다. 점 P 는 한 번 이동할 때마다 한 꼭짓점에서 그 꼭짓점과 이웃한 세 꼭짓점 중 임의의 한 점 으로 이동한다. 예를 들어 점 P가 점 A에서 이동할 때는 세 점 B D E 중 한 점으로 이동하고, 이 세 꼭짓점으로 이동할 확률은 각각 이다. 이와 같은 방법으로 점 P가 점 A에서 출발하여 세 번 이동할 때, 두 점 A P 사이의 거리가 일 확 률은? [1등급 150초] 1 2 3 4 5 답 : 1 14

3. 정육면체 두 개 A B와 정사면체 C가 있다. 정육면체 A의 각 면에는 P Z 의 수가 적혀 있고, 정육면체 B의 각 면에는 의 수가 적혀 있으 며, 정사면체 C의 각 면에는 의 수가 적혀 있다. 정육면체 A를 번 던져 밑 면에 놓인 수를 차례로, 정육면체 B <표준정규분포표> 를 번 던져 밑면에 놓인 수를 차례로 라 하고 정사면체 C를 번 던져 밑면에 놓인 수를 차례로,, 라 할 때, 이들 개의 수를 성분으로 하는 순서쌍( ) 을 원소로 갖는 집합을 라 하자. 집합 에서 개의 순서쌍을 임의 로 추출할 때, 성분 중에 이 한 개 이상인 순서쌍이 개 이상일 확률 을 라 하자. 이때, 의 값을 구하시오. (단, 표준정규분포를 이용한 다.) [2등급 150초] 답 : 4. 한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC가 있다. 양수 에 대하여 점 P 을 다음 규칙 에 따라 정한다. (가) 점 P 은 꼭짓점 A이다. (나) 점 P 은 점 P 에서 정삼각형 ABC의 변을 따라 시계 반대 방향으로 만큼 이동한 점이다. 집합 를 P 은 자연수라 할 때, 다음 중 옳은 것을 모두 고른 것은? [2등급 150초] ㄱ. 이면 점 P 은 꼭짓점 C이다. ㄴ. 이면 변 CA 위에 의 원소가 무수히 많다. ㄷ. 이면, 변 AB 위에 의 원소가 무수히 많다. 1 ㄴ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄴ, ㄷ 답 : 2 15

5. 한 개의 동전을 한 번 던지는 시행을 번 반복한다. 각 시행에서 나온 결과에 대하여 다음 규칙에 따라 표를 작성한다. (가) 첫 번째 시행에서 앞면이 나오면, 뒷면이 나오면 를 표시한 다. (나) 두 번째 시행부터 (1) 뒷면이 나오면 를 표시하고, (2) 앞면이 나왔을 때, 바로 이전 시행의 결과가 앞면이면. 뒷 면이면 를 표시한다. 예를 들어 동전을 번 던져 앞면, 뒷면, 앞면, 앞면, 뒷면이 나오면 다음과 같이 표가 작성된다. 한 개의 동전을 번 던질 때 작성되는 표에 표시된 의 개수를 확 률변수 라 하자. P 의 값은? [1등급 150초] 1 2 3 4 5 답 : 2 6. 실수 에 대하여 함수 를 다음과 같이 정의한다. lim (단, 은 자연수) 이때, 의 그래프의 개형으로 옳은 것은? [2등급 150초] 답 : 3 16

7. 평면 위에 평행한 두 직선 과 직선 위의 서로 다른 세 점 P Q R가 있다. 직선 위에 세 점 P Q R에서 각각 하나의 선분 으로 직선 위의 점을 연결할 때, 세 선분이 교차하지 않는 경우의 수를 구하려고 한다. 예를 들어, 그림과 같이 직선 위에 두 점이 있을 때, 구하는 모든 경우의 수는 (가지)이다. 직선 위에 개의 점이 있을 때, 위와 같이 세 선분이 교차하지 않는 모든 경우의 수를 구하시오. [2등급 150초] 답 : Blacksmith - Day 6 1. 오른쪽 그래프와 연결 상태가 같은 그래프 만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [2등급 150초] 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 답 : 2 2. 그림과 같이 축구공 개, 농구공 개, 배구공 개, 야구공 개와 테니스공 개가 있다. 이 공들을 서로 다른 개의 바구니에 개씩 나누어 담는 경우의 수 는? (단, 테니스공은 서로 구별되지 않는다.) [2등급 150초] 1 2 3 4 5 답 : 5 17

3. 에서 연속인 함수 의 도함수 의 그래 프는 오른쪽 그림과 같다. 옳은 것만 을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [2등급 120초] ㄱ. lim ㄴ. 구간 에서 의 최솟값은 존재하지 않는다. ㄷ. 구간 에서 는 개의 극값을 갖는다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 답 : 3 4. 길이가 cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm인 빨대가 각각 개씩 있다. 이 빨대를 개 이상 이어 붙여서 cm의 빨대를 만드는 방법은 아래와 같이 가지이다. 이때, 이 빨대를 개 이상 이어 붙여서 cm의 빨대를 만드는 방법 의 수는? [2등급 150초] 1 2 3 4 5 답 : 3 18

5. 이상 이하의 모든 실수값을 취하는 연속확률변수 에 대하 여 함 수 를 P 라 하면 함수 의 그래프 는 다음 그림과 같다. 확률변수 의 확률밀도함수를 라 할 때, 함수 의 그래 프와 축 및 두 직선, 으로 둘러싸인 영역의 넓이는? [1등급 180초] 1 2 3 4 5 답 : 5 6. 그림과 같이 등분된 원판의 각 영역에 의 번호가 적혀 있다. 이 원판에 화살을 네 번 쏠 때, 짝수가 적힌 영역을 맞히 는 횟수를, 홀수가 적힌 영역을 맞히는 횟수 를 라 한다. 확률변수 일 때, 옳 은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, 쏜 화살은 반드시 원판 위의 한 숫자가 적힌 영역을 맞힌다.) [2등급 150초] ㄱ. PZ P Z ㄴ. 의 평균은 보다 작다. ㄷ. 의 분산은 의 분산과 같다. 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄴ, ㄷ 답 : 5 19

7. 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위 의 점 A, B 을 지나고 직선 (은 자연수)에 접하는 원이 있다. 이 원의 중심의 좌표를 라 할 때, lim 의 값은? (단, 원 의 중심은 제사분면 위에 있다.) [3등급 90초] 1 2 3 4 5 답 : 2 Blacksmith Day 7 1. 그림과 같이 이웃한 두 교차로 사이의 거리가 모두 인 바둑판 모 양의 도로망이 있다. 로봇이 한 번 움직일 때마다 길을 따라 거리 만 큼씩 이동한다. 로봇은 길을 따라 어 느 방향으로도 움직일 수 있지만, 한 번 통과한 지점을 다시 지나지는 않 는다. 이 로봇이 지점 O 에서 출발하 여 번 움직일 때, 가능한 모든 경 로의 수는? (단, 출발점과 도착점은 일치하지 않는다.) [2등급 150초] 1 2 3 4 5 답 : 3 20

2. 수열 은 첫째항이 이고 공비가 인 등비수열이다. 자연수 에 대하여 세 점 A, B, C 을 꼭짓점으 로 하는 삼각형 A B C 의 세 변 위의 점 중에서 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수를 이라 하자. 예를 들어, 이다. lim 일 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 서로소 인 자연수이다.) [2등급 120초] 답 : 3. 가로의 길이가 이고 세로의 길이가 인 직사각형에서 그림과 같 이 가로의 폭 가 직사각형의 가로의 길이의, 세로의 폭 가 직 사각형의 세로의 길이의 인 모양의 도형을 잘라내어 얻은 개 의 직사각형을 R 이라 하고, 그 개의 직사각형의 넓이의 합을 S 이 라 하자. R 의 각 직사각형에서 가로의 폭이 각 직사각형의 가로의 길이의, 세로의 폭이 각 직사각형의 세로의 길이의 인 모 양의 도형을 잘라내어 얻은 개의 직사각형을 R 라 하고, 그 개 의 직사각형의 넓이의 합을 S 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 R 의 개의 직사각형의 넓이의 합을 S 이라 할 때, S 의 값은? [2등급 120초] 1 2 3 4 5 답 : 2 21

4. 그림과 같이 두 점 A, B 에 대하여 선분 AB의 중점 을 P, 선분 OA의 중점을 P, 선분 OP 의 중점을 P, 선분 P P 의 중점을 P,, 선분 P P 의 중점을 P 이라 한다. 점 P 이라 할 때, lim 의 값은? [3등급 120초] 1 4 2 5 3 답 : 2 5. 집합,, 에 대하여 조 건 (가)를 만족시키는 모든 함수 중에서 임의로 하나를 선 택하고, 조건 (나)를 만족시키는 모든 함수 중에서 임의로 하나를 선택하여 합성함수 를 만들 때, 이 합성함수의 치역이 일 확률은 이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 서 로소인 자연수이다.) [2등급 150초] (가) 의 임의의 두 원소 에 대하여 이면 이다. (나) 의 치역은 이다. 답 : 6. 부터 까지의 자연수가 하나씩 적힌 개의 공이 들어 있는 주머 니가 있다. 이 주머니에서 임의로 개씩 공을 꺼내는 시행을 반복하 여 꺼낸 공에 적힌 수를 모두 더하여 그 합이 의 배수가 되면 이 시행을 멈추기로 한다. 시행을 멈출 때까지 꺼낸 공의 개수를 확률변 수 라 할 때, P 의 값은? (단, 개의 공은 크기와 모양이 서로 같고, 꺼낸 공은 다시 집어넣지 않는다.) [2등급 150초] 1 2 3 4 5 답 : 4 22

7. 그림과 같이 중심이 O 이고, 반지름의 길이가 인 반원 위의 점 P 에 대하여 직선 OP 와 반지름의 길이가 인 반원과의 교점을 각 각 Q 라 한다. (단, ) 점 P P P P P 의 좌표의 평균이, 표준편차가 일 때, 점 Q Q Q Q Q 의 좌표의 평균과 표준편차의 곱은? [2등급 150초] 1 2 3 4 5 답 : 1 Blacksmith Day 8 1. 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형의 각 변을 삼등분하여 한 변의 길 이가 인 정사각형 개를 만들었다. 이들 개의 정사각형 중 개의 정사각형을 택하여 검은 색을 칠할 때, 칠할 수 있는 방법의 수 를 구하시오. (단, 큰 정사각형을 시계 방향 으로 회전하여 같은 위치의 정사각형들이 색 칠되어 있으면 색칠하는 방법이 같은 것으로 본다.) [2등급 150초] 답 : 23

2. 그림과 같은 비행장에 비행정이 출동 대기하고 있다. 비행정은 좌 우측에 있는 신호등에 따라 출동을 하는데, 파란색 불이 켜지면 파란 색 불이 켜지면 파란색 불이 켜진 쪽 가장 밖의 비행정이 출동하고 한 대의 비행정이 출동하면 모든 신호등이 빨간색 불로 바뀌었다가 분 후 네 개의 신호등 중 어느 한 개에 파란색 불이 다시 켜진다. 이 비행장에서 대기 중인 대의 비행기가 출동하는 순서만을 생각할 때 가능한 경우의 수를 라 하자. 이때 의 값을 구하시오. [2등급 150초] 답 : 3. A고등학교 학생의 몸무게는 평균이 kg, 표준편차가 kg인 정규분포를 이 룬다고 한다. 적재중량이 kg 이상이 되면 경고음을 내도록 설계되어 있는 엘리베이터에 A고등학교 학생 중 임의 추출한 명이 탑승하였을 때, 경고음이 울릴 확률은? [2등급 120초] P Z 1 3 5 2 4 답 : 3 24

4. 에서 함수 의 그 래프가 그림과 같을 때, 함수 을, 한다. 와 같이 정의하기로 이때, lim 의 그래프의 개 형으로 알맞은 것은? [1등급 150초] 답 : 1 25

5. 아래 그림과 같이 A지점에서 B지점까지 가는 도중에 개의 초 소 가 설치되어 있다. 이때, 갈림길에 있는 초소 에서 주어진 과제를 해결하면 그림과 같이 방향으로 가고, 해결하지 못하면 방향으로 간다고 한다. 또, 갈림길이 아닌 곳에 있는 초소 에서 주어진 과제를 해결하면 통과 하지만 해결하지 못하면 그 자리에 머무르게 된다. 각각의 초소 에서 주어진 과제를 해결할 확률이 모두 씩일 때, A지점에서 출발하여 B지점에 도착할 확률은? (단, 진행은 화살표 방 향으로 한다.) [2등급 180초] 1 2 4 5 3 6. 개의 자연수로 이루어진 수열 중 어느 한 항을 제외하여도 나머지 개의 항을 합이 같은 두 그룹으로 나눌 수 있 다고 한다. 일 때, 그 값이 홀수인 것을 보기에서 있는 대로 고 른 것은? [1등급 180초] ㄱ. ㄴ. ㄷ. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄷ 답 : 5 26

7. 포물선 위에 점 A 이 있다. 점 P가 점 A에서 포 물선을 따라 원점 O 로 한없이 가까이 갈 때, APO 의 크기의 극한값은? [3등급 90초] 1 3 5 2 4 답 : 3 Blacksmith Day 9 1. 그림과 같이 정오각형의 각 꼭짓점에 를 나열해 놓았다. 각 꼭짓점 을 택하는 확률이 같다고 할 때, 이들 개의 점 중에서 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형 에 대하여 확률변수 를 다음과 같이 정의 한다. (가) 예각삼각형이면 세 꼭짓점에 있는 수 중 가장 작은 수를 확률변수 라 한다. (나) 둔각삼각형이면 세 꼭짓점에 있는 수 중 가장 큰 수를 확률변수 라 한다. 이때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [2등급 150초] ㄱ. P ㄴ. P P ㄷ. E 1 ㄴ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄴ, ㄷ 답 : 아몰랑 2. 이차정사각행렬 에 대한 설명으로 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [2등급 150초] ㄱ. 이면 이다. ㄴ. 의 역행렬이 존재하지 않으면 를 만족하는 실수 가 존재한다. ㄷ. 의 역행렬이 존재하지 않으면 중 적어도 하나는 역행렬이 존재하지 않는다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 답 : 4 27

3. 부터 까지의 자연수 중에서 서로 다른 개의 수를 선택할 때, 개의 수 중에서 두 번째로 작은 수가 인 경우의 수를 라 하 자. 예를 들어, 은 선택된 개의 수 중에서 보다 작은 수가 한 개이고 보다 큰 수가 개인 경우의 수이므로 이다. 보기에 서 옳은 것을 모두 고른 것은? [1등급 180초] ㄱ. C C ㄴ. ㄷ. C 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 답 : 3 4. 의 그래프가 오른쪽 그림 과 같을 때, 보기 중 극한값이 존재하 는 것을 모두 고른 것은? [2등급 150초] ㄱ. lim ㄷ. lim ㄴ. lim ㄹ. lim 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄹ 5 ㄷ, ㄹ 답 : 1 5. 그림과 같이 영식이와 미영이는 각자 자기 쪽에 있는 세 개의 상 자에 이 쓰여진 공을 한 개씩 집어넣은 후 가운데 장막을 걷 어내 서로 마주보는 상자에 들어 있는 공에 쓰여 있는 숫자를 비교하 여 큰 숫자가 쓰여 있는 공이 들어 있는 상자의 개수가 많은 쪽이 이 기는 게임을 한다. 위와 같은 과정을 한 번의 대결이라 하고 승자가 나올 때까지 계속 재대결을 하여 첫 승자가 나오면 게임은 종료된다. 이와 같이 게임이 종료될 때까지 계속 대결을 할 때, 번 이상 대결할 확률은? [1등급 180초] 1 4 2 5 3 답 : 4 28

6. 닫힌 구간 에서 정의된 함수 의 그래프가 그림과 같다. 다음 보기의 함수 중에서 닫힌 구간 에서 연속인 것을 있는 대 로 고른 것은? [2등급 180초] ㄱ. ㄴ. ㄷ. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄷ 답 : 2 7. 흰 바둑돌과 검은 바둑돌이 있다. 이 바둑돌 개를 일렬로 나열 하되, 흰 바둑돌끼리는 이웃하지 않도록 나열하는 방법의 수를 이 라 하자. 예를 들면, 이다. 이때 의 값을 구하시오. [2등급 150초] 답 : Blacksmith DAY 10 1. 그림과 같이 정사각형 모양으로 배열된 개의 원형탁자와 세 가지 색 빨강, 파랑, 노랑 보자기가 각각 장씩 있다. 이 장의 보자기로 탁자를 하나씩 덮을 때, 어떤 행 과 어떤 열에도 같은 색이 놓이지 않도록 덮는 방법의 수는? [2등급 150초] 1 3 5 2 4 답 : 4 29

2. 그림과 같이 의 번호가 붙 은 세 개의 전구가 있다. 이 세 개의 전구에 모두 불이 들어오면 폭죽이 터진다고 한다. 주사위를 던져서 으 로 나눈 나머지가 인 눈이 나오면 전구 1에 불이 들어오고, 나머지 가 인 눈이 나오면 전구 2에 불이 들어오고, 나머지가 인 눈이 나 오면 전구 3에 불이 들어온다. 한 번 불이 들어온 전구는 꺼지지 않 고, 폭죽이 터지면 주사위를 더 이상 던지지 않는다고 하자. 번째 주사위를 던졌을 때, 폭죽이 터질 확률은? [2등급 150초] 1 2 3 4 5 답 : 2 3. 개 팀으로 구성된 축구 동호회가 해마 다 친선 경기를 한다. 오른쪽 그림과 같은 형태로 시합을 할 때, 특정한 두 팀 A B 가 결승에서 만날 수 있도록 대진표를 작성 하는 모든 방법의 수를 구하시오. [2등급 150초] 답 : 18 4. 어떤 학생이 계발활동 시간에 목걸이를 만들고자 한다. 그림과 같 이 세 종류의 인조 보석,, 을 사용하여 처음에는 개, 개, 개를 꿰고 난 뒤, 다음 규칙을 순서대로 반복한다. Ⅰ. 는 바로 전 단계에 꿴 의 개수보다 개 더 많이 꿴다. Ⅱ. 는 바로 전 단계에 꿴 의 개수보다 개 더 많이 꿴다. Ⅲ. 는 Ⅰ과 Ⅱ에서 꿴 과 의 개수를 더한 만큼 꿴다. 인조 보석 개를 사용하여 목걸이를 만들었을 때, 목걸이에 있는 의 개수를 구하시오. [2등급 180초] 답 : 30

5. 민영이는 K 은행의 아름다운통장에 년 초부터 년 초까 지 매년 초에 만 원씩 적립한 후 년 말에 이 통장에 있는 모든 돈을 찾아서 년 초에 미래연금통장에 입금하여 년 말부터 년말까지 매년 만 원식 연금을 받으려고 한다. 두 개의 통장 모두 연이율 로 년마다 복리로 계산할 때, 의 값은? (단, 로 계산하고, 년 말에 마지막으로 연금을 받고 나 면 미래연금통장의 잔액은 원이다.) [2등급 180초] 1 2 3 4 5 답 : 3 6. 그림과 같이 삼차함수 가 극댓값 과 극솟값 을 가지며, 이다. 이때, 의 값은? [3등급 120초] 1 3 5 2 4 답 : 3 7. 그림과 같은 두 개의 도로망이 있다. 이차정사각행렬 의 성분 를 P 지점에서 도로망을 따라 Q 지점까지 최단 거리로 가는 방법의 수) 로 정의하자. 다음 중 R 지점에서 도로망을 따라 S 지점까지 최단 거리로 가는 방 법의 수와 같은 것은? (단, 모든 도로는 서로 평행하거나 수직이다.) [1등급 150초] 1 행렬 의 성분 2 행렬 의 성분 3 행렬 의 성분 4 행렬 의 성분과 성분의 곱 5 행렬 의 성분과 성분의 곱 답 : 2 31

Blacksmith DAY 11 1. 중심이 원점 O 이고 반지름의 길이가 인 원의 내부에 임의의 점 P를 잡을 때, 선분 OP 의 길이를 확률변수 라 하자. 이때, 확률변 수 의 기댓값 E의 값은? [2등급 150초] 1 2 3 4 5 답 : 2 2. 그림과 같이 원점 O 와 점 A 에 대하여 제사분면 위에 OA 를 한 변으로 하는 정삼각형 OA A 을 만들고 A A 을 로 내분하는 점을 B 이라 한다. 또 OA A 밖에 A B 을 한 변으로 하는 정삼각형 A B A 를 만들고 A A 를 로 내분하는 점을 B 라 한다. 이와 같은 과정을 한없이 반복하면 점 A 은 점 에 한 없이 가까워진다. 이때 의 값을 구하시오. [3등급 120초] 답 : 3. 오른쪽 그림과 같이 삼각형 ABC의 밑변 BC의 길이를 이라 하고 선분 AB AC를 각각 등분한 점을 A 부터 차례로 B B B B 및 C C C C 이라 할 때, lim B C B C B C 의 은? [3등급 120초] 값 1 4 2 5 3 답 : 3 32

4. 전체집합 의 두 부분집합 가 다음 두 조건을 만족한다. (가) (나), 이때, 두 집합 의 순서쌍 의 개수를 구하시오. (단, 는 집합 의 원소의 개수이다.) [2등급 150초] 답 : 5. 어느 도시락 가게는 점심 시간에 임박하여 주문이 한꺼번에 몰리 기 때문에 그 전에 미리 도시락을 만들어 놓고 주문에 대비를 하며, 이 도시락 가게의 점심 주문량이 개( )일 확률 은 각각 이라고 한다. 도시락 개를 만드는 데 원의 비용 이 들고 이를 개에 원에 판매를 하며 팔고 남은 도시락은 자 선 단체에 무료로 준다고 한다. 하루에 준비한 점심 도시락의 개수가 개 ( )일 때, 그날 도시락을 판매하여 생긴 이 익을 확률변수 라고 하면 확률변수 의 평균 E가 최대가 되 는 은, 개가 있다. 이때 의 값은? [1등급 245초] 1 2 3 4 5 답 : 2 33

6. A B C 세 사람은 아래와 같은 규칙으로 전자우편을 보내기로 하였다. ㄱ. A는 B에게만 보낸다. ㄴ. B는 A와 C 모두에게 각각 한 통씩 보낸다. ㄷ. C는 A와 B 모두에게 각각 한 통씩 보낸다. 아래 그림과 같이 B부터 전자우편을 보내기 시작할 때, [단계], [ 단계], [단계]에서 A가 받은 전자우편의 개수를 각각 라 할 때, 의 값을 구하시오. (예를 들면, 이며, 전자우편의 개 수와 용량은 제한하지 않는다.) [1등급 150초] [1단계] [2단계] [3단계] 답 : 7. 각 면에 이 적혀있는 주사위 A와 각 면에 다음 조건을 만족하는 자연수 이 적혀있는 주사위 B 가 있다. (가) (나) 갑은 주사위 A를 던지고, 을은 주사위 B를 던져서 큰 수가 나오는 사람이 이기는 것으로 정할 때, 을이 이길 확률을 라 하자. 이때, 의 값을 구하시오. [2등급 150초] 답 : 34