[ 국제캠퍼스실험 ] 물리진자, 비틀림진자 Objective 회전운동과연관되어주기운동을하는물체의운동을관찰하고진동주기를측정한다. Theory ----------------------------- Reference -------------------------- Young & Freedman, University Physics (14 th ed.), Pearson, 2016 14.6 Physical Pendulum (p.475~477) 9.4 Energy in Rotational Motion (p.307~312) 9.5 Parallel-Axis Theorem (p.312~313) 14.4 Application of SHM Angular SHM (p.471) ----------------------------------------------------------------------------- 물체는복원토크에의해평형상태를중심으로진동하게된다. 토크 ττ zz 가 sin θθ 에비례하기때문에이운동은단순조화운동이아니다. 하지만 θθ 가작을경우 sin θθ θθ 로근사할수있으므로, 식 (1) 을다음과같이간단하게표현할수있으며, 물체는근사적으로단순조화운동을한다. ττ zz = (mmggdd)θθ (2) 1. 물리진자 (Physical Pendulum) 모든질량이한점에모여있는이상적인단진자 (simple pendulum) 와는달리, 보다현실적이고사실적인형태로주기운동을하는물체를물리진자 (physical pendulum) 라고한다. 그림 1 은시계의추와같이불규칙한형태를가진물체의운동을나타내고있다. 물체는점 OO 를축으로마찰이없이진동한다고가정한다. 평형상태에서물체의무게중심 (center of gravity) 은회전축의연직아래방향에위치한다. 점 OO 에서무게중심까지의거리를 dd, 회전축에대한물체의관성모멘트를 II, 총질량을 mm 이라고하면, 물체가평형상태에서각도 θθ 만큼기울어질경우, 다음과같이무게 mmgg 에의한복원토크 (restoring torque) 가작용한다. ττ zz = (mmgg)(dd sin θθ) (1) 그림 1 물체에작용하는복원토크는 θθ 가아니라 sin θθ 에비례한다. 하지만 θθ 가작을경우 sin θθ θθ 이므로이운동은근사적으로단순조화운동이다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 1 / 12
회전운동에대한운동방정식은 ττ zz = IIαα zz 이므로다음의식이성립한다. 그런데모든물체는질량중심이아닌임의의축을중심으로회전시킬수있으며, 회전축이바뀌면관성모멘트가 달라진다. 그림 3 과같이질량 MM 인물체가임의의축을 (mmggdd)θθ = IIαα zz = II dd2 θθ dddd 2 dd 2 θθ dddd 2 = mmggdd θθ (3) II 중심으로회전할때의관성모멘트가 II PP 이고, 이축에평행하면서질량중심을지나는축에대한관성모멘트를 II cm 라고하면, 두축사이의수직거리가 dd 일때다음의관계가성립한다. 식 (3) 은용수철의단순조화운동방정식 aa xx = (kk mm)xx 와동일한형태이며, (kk mm) 을물리량 (mmggdd II) 로대치하여다음과같이각진동수와주기를구할수있다. II PP = II cm + MMdd 2 (6) 이를평행축정리 (parallel-axis theorem) 라고한다. ωω = mmggdd II TT = 2ππ II mmggdd (4) (5) 따라서그림 4(a) 의길이 LL 인막대형물리진자의주기 TT 는식 (5), (6) (mm = MM) 및 II cm = (1 12)MMLL 2 로부터다음과같이구할수있다. 그림 2 는다양한강체의질량중심을지나는축에대한관성모멘트이다. 사각판형강체의질량중심에대한관성모멘트는그림 2(b) 와같이 II cm = (1 12)MM(aa 2 + bb 2 ) 이지만, TT = 2ππ LL2 + 12dd 2 12ggdd (7) aa bb(= LL) 일경우에한해근사적으로그림 2(a) 와같이 II cm = (1 12)MMLL 2 로표현할수있다. 또한그림 4(b) 의반경 RR 인원판형물리진자의주기 TT 는식 (5), (6) (mm = MM) 및 II cm = (1 2)MMRR 2 로부터다음과같다. TT = 2ππ RR2 + 2dd 2 2ggdd (8), 그림 2 다양한강체의관성모멘트 그림 3 평행축정리 그림 4 다양한물리진자 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 2 / 12
비틀림진자에서는회전축에대한관성모멘트가 II 인원판강체에탄성체가복원토크 (restoring torque) ττ zz 를가하게된다. 만약, 복원토크가평형상태로부터의각변위 (angular displacement) θθ 에비례한다면 ττ zz = κκκκ 가된다. 여기에서 κκ 를비틀림상수 (torsion constant) 라고한다. 강체의회전운동에대한뉴턴의제 2 법칙, ττ zz = IIαα zz = IIdd 2 θθ/ddtt 2 로부터운동방정식은다음과같다. κκκκ = IIII or dd 2 θθ dddd 2 = κκ II θθ (9) 그림 5 길이가 50cm 인막대형물리진자가질량중심으로부터거리가 dd 만큼떨어진점을회전축으로진동할때의주기 TT 의변화를나타낸그래프. dd 14.4 cm 인위치에서주기가최소가된다. 이식은단순조화운동방정식 aa xx = (kk mm)xx 와동일한형태로 xx 를 θθ 로, kk mm 를 κκ II 로대치하여얻을수있다. 따라서비틀림진자의각진동수와주기는 ωω = kk mm 와 TT = 2ππ mm kk 을수정하여다음과같이유도할수있다. ωω = κκ II (10) TT = 2ππ II κκ (11) 그림 6 반경이 10cm 인원판형물리진자가질량중심으로부터거리가 dd 만큼떨어진점을회전축으로진동할때의주기 TT 의변화를나타낸그래프. dd 7 cm 인위치에서주기가최소가된다. 2. 비틀림진자 (Torsion Pendulum) 진동운동에서복원력은다양한형태로작용할수있다. 그림 7 과같이철사형태의탄성체와원판형강체로구성된진동계는비틀림진자의한종류이다. 이진자는탄성체의비틀림에대한탄성력이복원력으로작용하여평형상태를중심으로진동운동을한다. 그림 7 비틀어진철사 (steel wire) 의탄성이각변위 θθ 에비례하는복원토크를가한다. 따라서이운동은단순조화운동이다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 3 / 12
Equipment 1. 실험장비 장비수량용도및비고 컴퓨터및소프트웨어데이터분석 : Capstone 1 각종센서에서측정한데이터를표시하고분석한다. 인터페이스장치 1 각종센서를연결하여물리량을측정한다. 힘센서 1 50N ~ 50N 범위의힘의세기를측정한다. 회전운동센서 1 회전각, 각속도, 각가속도등회전운동의물리량을측정한다. 또한, 직선운동을회전운동으로변환하여변위, 속도, 가속도등직선운동의물리량을측정할수있다. 막대형물리진자 1 길이가 500mm, 폭이 20mm 인막대형태의물리진자이다. 막대중심으로부터 60, 100, 144, 190, 230mm 인위치에고정할수있는구멍이있다. 원판형물리진자 1 반경이 100mm 인원판형태의물리진자이다. 원판중심에서 30, 50, 70, 90mm 인위치에고정할수있는구멍이있다. 상단클램프하단클램프 1 set 탄성체인철사를고정하여비틀림진자를구성한다. 상단클램프는회전운동센서의회전축에삽입하여고정하고, 하단클램프는지지막대에고정한다. 철사 (3 종 ) ( 케이스포함 ) 1 set 비틀림진자를구성하는철사형태의탄성체이다. 철사의직경은각각 0.8, 1.2, 1.6mm 이다. 원판강체 1 비틀림진자를진동시키는실린더형강체이다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 4 / 12
장비수량용도및비고 A 형베이스지지막대 (600mm) 1 set 실험장비를다양한방법으로고정한다. 줄자 1 길이를측정한다. 실 / 가위공용비틀림진자의비틀림상수를측정할때사용한다. 전자저울공용 0 ~ 2200.00g 범위의질량을 0.01g 단위로측정한다. 2. 주요장비기능및작동원리 (1) 힘센서 (Force Sensor) 힘의크기를측정하는센서이다. 내부에내장된로드셀에압력이나힘이작용하면변형이발생하고, 그변형에따라전기저항이바뀌게된다. 힘센서는전기저항의변량을이에상응하는전압수치로출력하며, 인터페이스에서힘의크기로변환하여표시한다. 회전운동센서의측정원리는포토게이트와동일하다. 센서에는작은포토게이트와고리형태의피켓펜스가내장되어있는데, 회전축이회전하면검은밴드가순차적으로포토게이트의적외선을차단하게된다. 이신호의상태와시간간격을감지하여회전축의각도, 각속도, 각가속도등을측정할수있다. (2) 회전운동센서 (Rotary Motion Sensor) 내부에내장된피니언 (pinion, 톱니바퀴 ) 과별도의랙 (rack, 톱니막대 ) 를사용하거나, 외부에부착하는도르래를적절히활용하면직선운동을회전운동으로바꿀수있다. 따라서변위, 속도, 가속도를측정하는데활용할수도있다. 회전축의회전각도를측정하여, 물체의변위, 속도, 가속도, 각속도, 진자의주기등다양한물리량을측정하는데활용할수있다. 회전운동센서에는 3 단도르래가포함되어있으며, 도르래의직경은각각 10mm, 29mm, 48mm 이다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 5 / 12
Procedure 실험 1. 막대형물리진자 (3) 프로그램을설정한다. (1) 실험장비를구성한다. 1 회전운동센서가인식되었는지확인한다. 회전운동센서의회전축이수평이되도록고정한다. 2 [Rotary Motion Sensor] 의 [Sample Rate] 을 100.00 Hz 로설정한다. (1 초당 100 회측정한다.) (2) 막대형물리진자를설치한다. 막대형물리진자의무게중심에서 230mm 거리에있는고정점을회전운동센서의회전축에고정한다. ( 그림의고정볼트를사용하여고정한다.) 3 [Graph] 를생성한후, yy 축을 [Rotary Motion Sensor] 의 [Angle(rad)], xx축을 [Time(s)] 으로설정한다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 6 / 12
(4) 데이터측정을시작한다. 측정시작시점의센서회전축의상태를 0 로인식하므로, 측정시작후진자를진동시킨다. 1 진자가움직이지않는평형상태에서 [Record] 를클릭하여측정을시작한다. 2 진자를 5 이내의각도에서진동시킨다. 3 5 개이상의기준점에서시간을측정한후주기의평균값을계산하고이론값과비교한다. 1 2 3 4 5 TT average (s) TT theory (s) tt nn (s) TT = tt nn tt nn 1 (s) 3 5~6 회진동후 [Stop] 을클릭하여측정을종료한다. (5) 진동주기를확인한다. 1 진동주기의측정기준점을정한다. ( 예를들어, 상승곡 선이 0 일때의시간을기준점으로정한다.) TT = 2ππ LL2 + 12dd 2 12ggdd LL = 500mm dd = 230, 190, 144, 100, 60mm (7) 2 [Show coordinate ] 을사용하여시간을확인한다. ( 정확히 0 의측정점이없으면, 가장가까운두점을측정한후선형관계로가정하여시간을계산한다.) (6) 고정점을변경하여실험을반복한다. 막대중심으로부터각각 dd = 230, 190, 144, 100, 60mm 거리에있는모든고정점에대하여순서 (4)~(5) 를반복한다. (7) TT-dd 그래프를작성한다. 순서 (6) 의결과를정리하여주기 TT 와거리 dd 의관계를나타내는그래프를작성하고, 이론의 [ 그림 5] 와비교한다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 7 / 12
실험 3. 비틀림상수 질문 물리진자의고정점이점점중심으로이동하면어떤현상이관찰되는가? 만약지속적으로증가하거나감소하지않는다면주기가최소가되는고정점의위치는어디인가? 식 (7) 에서 TT 가최소가되는 dd 를구하면실험결과와일치하는가? (1) 실험장비를구성한다. 토의 질문 물리진자의진폭이증가할경우, 진자의주기는어떻게변할것으로예상되는가? 그이유는무엇인가? 토의 1 하단클램프를지지막대의아래쪽에고정한다. 실험 2. 원판형물리진자 2 회전운동센서의회전축을수직방향으로향하게한후지지막대의위쪽에고정한다. 원판형물리진자를사용하여, [ 실험 1] 과동일한방법으로실험을반복한다. 3 상단클램프의가이드핀을센서회전축의홈에맞춰삽입한후고정볼트로고정한다. 4 철사를상단 / 하단클램프에고정한다. 철사를고정볼트에밀착시킨후볼트를조여준다. 5 회전운동센서와힘센서를인터페이스에연결한다. TT = 2ππ RR2 + 2dd 2 2ggdd (8) RR = 100 mm dd = 90, 70, 50, 30 mm 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 8 / 12
6 실을회전운동센서의도르래에연결한다. (2) 프로그램을설정한다. 1 회전운동센서를설정한다. - 회전운동센서를선택한후설정 ( ) 아이콘을클릭한다. - [Large Pulley (Groove)] 를선택한다. - [Change Sign] 은센서측정값의부호를변경한다. 측정값의부호는센서설치상태, 회전방향에따라바뀔수있다. 측정시각도가음의값으로표시되면이항목을체크한다. Caution 도르래가센서회전축에서빠졌을때, 회전축과도르래의요철부분을확인하여결합한다. ( 억지로밀어넣으면도르래가파손된다.) 2 힘센서를설정한다. Caution - 힘센서아이콘을선택한후설정 ( ) 아이콘을클릭한다. - [Change Sign] 을체크한다. ( 초기설정에서는당기는힘이음의값으로표시된다.) 실이센서회전축에감겨서축을고정하는스냅링에엉켰을때, 무리해서잡아당기면스냅링이벌어져센서가파손될수있다. 최대한주의해서실을풀어주고, 만약스냅링이벌어지거나빠지면즉시사용을중단하고센서를교체한다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 9 / 12
3 수식을설정한다. (4) 측정을시작한다. 아래와같이토크 ττ 수식을정의한다. 힘 FF 는힘센서의측정값을가져와야하므로 [Force(N)] 를입력한다. 회전축으로부터의거리 rr(= 24mm) 은도르래 3 단의반경이다. 회전운동센서도르래와평행한방향으로힘센서를천천히당긴다. 그래프에서회전각도가음의값으로나올때에는순서 (2)-1을참고하여설정을변경한다. 4 그래프를생성한다. xx 축을비틀림각도 [Rotary Motion Sensor Angle(rad)], yy 축을토크 ττ ( 순서 3에서설정한이름 ) 로설정한다. (5) 데이터를분석한다. 그래프를분석하여철사의비틀림상수 κκ 를결정한다. (3) 힘센서의영점을조정한다. 1 [Select range(s) ] 를사용하여적절한범위를선택한다. NOTE 측정을시작하기전에힘이작용하지않는상태에서힘센서의 [ZERO] 를눌러영점을조정한다. ( 영점이지속적으로조금씩변하므로자주눌러주는것이좋다.) 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 10 / 12
2 [Select curve fits ] 에서 [Linear: mt+b] 을선택하여지정한범위의그래프의기울기를확인한다. 비틀림상수 κκ 는 ττ-θθ 그래프의기울기와같다. (2) 실험장비를구성한다. [ 실험 3] 에서구성한장비에서힘센서를연결한실을제거하고, 원판강체를회전운동센서의도르래위에고정한다. ( 도르래없이회전축에직접고정할경우원판강체가헛돌거나강체중심의고정부가찌그러져파손되므로주의한다.) (6) 다른철사의비틀림상수 κκ 를측정한다. 철사를변경하여순서 (4)~(5) 를반복하고, 각각의비틀림상수를측정하여기록한다. (3) 프로그램을설정한다. 프로그램설정및실험방법은 [ 실험 1] 과동일하다. 단, 진자가빠르게진동하므로 [Sample Rate] 을 200.00 Hz 또는 500.00 Hz 로설정한다. 실험 4. 비틀림진자 (4) 데이터를측정하고결과를분석한다. (1) 원판강체의관성모멘트를계산한다. 측정을시작한후원판강체를 120~180 돌려주고살짝놓는다. 5~6 회진동후측정을종료한다. 원판강체의반경과질량을측정한후, 관성모멘트 II 의이론값을계산한다. ( 형태가완전한실린더형강체는아니지만, 실린더형강체의관성모멘트 II = (1 2)MMRR 2 와거의동일하다.) 측정결과로부터주기를확인하고, 다음의수식과비교하여결과를분석한다. TT = 2ππ II (11) κκ (5) 철사를변경하여실험을반복한다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 11 / 12
Result & Discussion 조교의안내에따라실험결과를정리하고분석한후결과보고서를작성한다. End of LAB Checklist 실험을완료하면반드시실험장비를정리한후조교의확인을받고퇴실한다. 실험용컴퓨터에저장한실험데이터파일을모두삭제하고휴지통을비운다. 컴퓨터를끈다. 각종볼트를분실하지않도록주의하고, 그림을참고하여적절한위치에끼워놓는다. 철사 (3 종 ) 가휘어지지않도록주의하고, 케이스에넣어서보관한다. 실과가위는강의테이블에있는바구니에보관한다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 12 / 12