교재 Ÿ 노병준, 박종호공저, Essential 유체역학, 2006, 동명사 참고도서 Ÿ Ÿ 조강래, 유정열, 강신형공역, Frank M. White 유체역학, 7 판, 2012, McGraw-Hill Korea 김찬중저, 길잡이유체역학, 2009, 범한서적 선수과목

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1 유체역학 1 (2015 년 2 학기 ) 2015 년 2 학기유체역학 ( 배주찬 )

2 교재 Ÿ 노병준, 박종호공저, Essential 유체역학, 2006, 동명사 참고도서 Ÿ Ÿ 조강래, 유정열, 강신형공역, Frank M. White 유체역학, 7 판, 2012, McGraw-Hill Korea 김찬중저, 길잡이유체역학, 2009, 범한서적 선수과목 Ÿ 공업수학 : 벡터, 미분, 적분 Ÿ 물리학 : 운동이론 - i -

3 수업진행 Ÿ 강의식 ( 교재위주 ) 평가 Ÿ 퀴즈 ( 매주실시 ) : 15% Ÿ 과제 ( 교재연습문제 ) : 15% Ÿ 출석 ( 태도포함 ) : 10% Ÿ 기말시험 : 60% - ii -

4 강사소개 Ÿ 배주찬 : 공학학사 / 석사 / 서울대기계공학과 - 공군사관학교교수부 ( ) - 대우기획조정실, 대우엔지니어링 ( ) - 울산대학교기계공학과교수 ( ) - 국방과학연구소연구원 ( ) - ( 현 ) 한국화이바설계기술센터센터장 (2014-) - 연세대학교겸임교수 (2012- ) - 충남대학교겸임교수 / 위촉강사 (1999- ) > (blog) Lecture Note 매주 update... > (cafe) > ( ) everbjc@hanmail.net > (TEL.) iii -

5 강의범위 ( 유체 1) ( 유체 2) 01. 서론 02. 유체의성질 03. 유체정역학 04. 비점성유체의유동 05. 점성유체의유동 06. 운동량이론 07. 층류유동 08. 난류유동 09. 경계층이론 10. 차원해석과상사율 11. 관로유동 12. 수로유동 13. 압축성유동 14. 유체계측 - iv -

6 1 장서론 - 1 -

7 1.1 ~ 1.4 유체 물질의분류 > 고체 (solid) : 전단력이작용하면변형은되더라도그힘을버틸수있는물질을말함. * 전단력에대해유한하게변형함. > 유체 (fluid) : 전단력이작용하면버티지못하고변형을계속하는물질을말함. * 전단력에대해무한히변형함. 아스팔트는고체 / 유체양면성을가진물질임. * 힘이짧은시간동안작용하고제거되면고체의성질을가짐 * 힘이긴시간동안작용하면유체의성질을가짐 - 2 -

8 유체의분류 > 액체 : 용기에담으면자유표면을가지는유체를말하며, 유한한체적을가짐. > 기체 : 용기에담으면자유표면이존재하지않는유체를말하며, 체적은용기전체에균일하게팽창함. [ 연속체 ] * 물체를작은요소로무한히나누어도각요소가전체의물성을그대로유지하는물질을말함. * 물질이원자로이루어진불연속적인미시구조를갖고있다는점은무시함. * 물체가차지하고있는공간내에물질이균일한상태로분포되어있다고가정함. ( 에너지, 운동량등의물리량들이극소의극한에서도그대로유지됨 ) * 따라서연속체역학의해석에서미분방정식사용이가능함. [ 희박기체 ] * 분자상호간거리가물체의크기에비해무시할수없는기체를말함. * 기체는보통의압력에서는연속체로간주함. ( 매우낮은압력에서는부적절함 ) - 3 -

9 Ÿ 성질에따른유체의분류 > 점성유체 (viscous fluid) : 점성이있는유체를말하며, 실제유체 (real fluid) 는모두점성유체임. > 비점성유체 (inviscid fluid) : 점성이없는유체를말하며, 이상유체 (ideal fluid) 또는완전유체 (perfect fluid) 라고도부름. > 뉴턴유체 (Newtonian fluid) : 응력 (stress) 이변형률속도 (strain brate) 와선형적관계애있는유체를말함. > 비뉴턴유체 (non-newtonian fluid) : 응력이변형률속도와비선형적관계에있는유체를말함. ( 그림 1.1) (cf) 고체역학에서의 Hook 의법칙과유사하나변형률대신에변형률속도를연관시킨점이다름. > 압축성유체 (compressible fluid) : 체적탄성계수가큰유체를말함. > 비압축성유체 (incompressible fluid) : 체적탄성계수가작은유체를말함. * 체적탄성계수 (bulk modulus of elasticity) : - 4 -

10 유체역학 (fluid mechanics/fluid dynamics)(p.3) : 힘의작용으로발생하는유체연속체의운동에대한역학을유체역학이라함. > 유체정역학 (fluid statics) vs 유체동역학 (fluid dynamics) : 유체가정지되어있는냐또는운동하고있느냐에따른정의임. > 수력학 (hydraudynamics) vs 기체역학 (gas dynamics) : 유체가물이냐또는기체이냐따른정의임. > 유체공학 (fluid engineering) : 순수기초이론에응용분야를포함시켜유체공학이라함. > 전산유체역학 (CFD computational fluid dynamics) : 수치계산을사용하여해석하는유체역학을말함. > 유변학 (Rheology, 流變學 ) : 모든유동은유변학범주에속하나, 특별히비뉴턴유체의운동을다루는학문분야을말함

11 유체역학의역사 > 고대이집트, 메소포타미아, 인도 : 관개수로 > Archimedes (B.C.220) : 부력 (buoyancy)... 왕관의부피 > Newton(1642~1727), Bernoulli( ), Euler(1707~1783) : 이론식정립... 비점성유체, 층류유동 > Reynolds(1883) : 난류유동개념정립 > Prandtl(1875~1953) : 경계층유동개념정립 > Riemann(1826~1866) : 충격파 (shock wave) 소개 > Mach(1838~1916) : 초음속유동 (supersonic flow) 연구 - 6 -

12 > CFD(Computational Fluid Dynamics) > 계측장치의개발 : LDV(laser Doppler velocimeter) : PIV(particle image velocimeter) : PDA(particle dynamic analyzer) - 7 -

13 1.5 단위 (p.6) Ÿ 차원 (dimension) * 물리량의성질을표현하기위해사용되는물리적인변수 * 기본차원 (base dimension) : 공학적으로 7 개 ( 시간, 길이, 질량, 온도, 전류, 물질량, 광도 ) * 파생차원 (derived dimension) Ÿ 단위 (unit) : 인위적으로정한차원이크기 * 지구둘레 /40,000 * 1 발바닥길이 * 1 손가락마디길이 * 1 한걸음길이 * 선박이한시간동안지구원주각의 1 (1/60도) 지나는속도 * 물 를 1 (1R) 높이는데필요한열량 ( : British thermal unit) * 물 을 1 (1K) 높이는데필요한열량 - 8 -

14 Ÿ 단위계종류 > meter계 ( 한국, 프랑스 ) : MKS계 ( ) : CGS계 ( ) : SI계 (System International d Unites 국제단위계 ) ( ) * 1960년 40개국과학자들채택, 미국기계학회 (ASME), 부터모든논문 SI 단위로제출규정 > foot-pound계 ( 미국, 영국 ) : USCS계 (United States Customary System 미국관습계 )... : BG 계 (Britsh Graivitational System 영국중력계 )... : EE 계 (English Engineering Unit 영국공학계 ).... : FBS 계 ( ) > MLT 계 : 기본차원으로길이, 질량, 시간사용 > FLT 계 : 기본차원으로길이, 무게, 시간사용 > 공학단위 (engineering unit) : 힘의단위로, 사용 - 9 -

15 Ÿ 기본차원단위계 (unit system)( ) 차원 SI 단위 foot-pound 단위 기본차원 1. 시간 2. 길이 3. 질량 4. 온도 (Kalvin) (Rankin) 5. 전류 (ampere) 6. 물질량 7. 광도 (candela) Ÿ 파생차원정의 ( ) * 힘 * 압력 * 에너지 * 동력 * 점도

16 Ÿ 단위환산 ( ) 중력가속도 m/s 2 ft/s E E+01 길이 m ft in E E E E E E E E E+00 질량 kg lbm slug E E E E E E E E E+00 힘 N=kg.m/s 2 kgf lbf=slug.ft/s 2 lbm.ft/s E E E E E E E E E E E E E E E E

17 압력 Pa=N/m 2 kgf/cm 2 lbf/ft 2 psi=lbf/in 2 atm E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+00 1 bar=1 E5 Pa, 1atm=760mmHg=760torr 에너지 J=N.m=kg.m 2 /s 2 kgf.m lbf.ft=slug.ft 2 /s 2 lbm.ft 2 /s 2 cal Btu E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+00 동력 HP W=J/s=kg.m 2 /s 3 kgf.m/s lbf.ft/s cal/s Btu/s E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E

18 비열 J/kg.K=m 2 /s 2.K kcal/kg.k=btu/lbm.r kgf.m/kg.k lbf.ft/slug.r=ft 2 /s 2.R lbf.ft/lbm.r E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+00 절대점도 Pa.s=N.s/m 2 =kg/m.s kgf.s/m 2 lbf.s/ft 2 =slug/ft.s lbm/ft.s E E E E E E E E E E E E E E E E+00 1P(Poise)=1g/m.s=0.1kg/m.s 동점도 m 2 /s ft 2 /s E E E E+00 1St(Stokes)=1cm 2 /s= m 2 /s 열전도도 W/m.K cal/s.cm.k Btu.ft/hr.ft 2.R E E E E E E E E E+00 대류열전달계수

19 W/m 2.K cal/s.cm 2.K Btu/hr.ft 2.R E E E E E E E E E+00 기체상수 J/mol.K E+00 ft.lbf/lbmol.r E+03 Planck 상수 J.s E-34 Stefan-Boltzmann 상수 W/m 2 k 4 Btu/hr.ft 2.R 4 cal/s.cm 2 K E E E-12 온도 K R T(K) T( ) /9 T(R) 5/9 (T( ) ) T(K) T( ) 5/9 T(R) /9 (T( ) - 32) 9/5 T(K) 9/5 (T( ) ) T(R) T( ) /5 (T(K) )+32 9/5 T( ) + 32 T(R) T( ) (1K 온도차이 ) = (1.8R 온도차이 )

20 [QUIZ] 개미다리는가늘지만코끼리다리는굵다. 그이유는? 코끼리 * ( 응력 )~( 무게 )/( 단면적 ) ( 응력-코끼리 )/( 응력-개미 ) 개미 [QUIZ] 살아있는개미를사람의키높이에서떨어뜨려도개미는죽지않는다. 그이유는? 공기의저항은 에 비례한다. * ( 공기의저항력 )~( 무게 ) 개미 개미 개미 개미 개미 개미 개미 개미 개미 개미 ( 는크기가작을수록증가 ) [QUIZ] 표면을통한외부로의단위시간당열전달은 로알려져있다. 정상인간에비해 1/100 로축소한인간이 정상인간과동일한체온을유지하기위해서는하루에몇끼의식사가필요할까? 는일정하다고가정하라. * ( 섭취에너지 )~( 소모에너지 ) ( 식사횟수 )( 위체적 )~( 열전달량 ) 하루 소인 정상소인 정상

21 [ 예제 1.1] 1000 중량의물체 (a) SI 단위질량은? (b) 달에서의무게를 Newton 으로얼마? ( 달의중력가속도 ) (c) 중량의힘이가해지면이물체에작용하는가속도는? (a) 질량은 (b) ( 달에서의무게 ) ( 질량 )( 달의중력가속도 ) = ( )( ) = (c) ( 가속도 ) ( 힘 )/( 질량 ) / [ 예제 1.2] at BG 단위로환산? ( ) *

22 [ 예제 1.3] 다음물리량을 MLT 계와 FLT 계로표시하라. (a) 모멘텀 = 힘 길이 (b) 밀도 = 질량 / 부피 (c) 압력 = 힘 / 면적 (d) 운동량 = 질량 속도 (a) (b) (c) (d)

23 2 장유체의성질

24 2.1 물리량의정의 (p.15) > 질량 (mass) : *, [ 공학단위 : ] * 질량의형태는바뀔수있지만창조되거나파괴될수없다 : 질량보존의법칙 (law of conservation of mass) *, > 밀도 (density) : *, [ 공학단위 : ] * 밀도는압력과온도의함수이다. ( 그림 2.1~2.2 온도, 압력에따른물의밀도변화 ) * 표준대기압, kgm at 15 o C

25 > 비체적 (specific volume) : > 비중량 (specific weight) : > 비중 (specific gravity) : 표준대기압 수은공기휘발유동물성기름바닷물사해 약 1/1000 약 0.7 약 0.9 약 1.03 약

26 [ 예제 2.1/p.17] (a) slug-foot 단위로 (b) 단위로 (a) (b) [ 예제 2.2/p.18] 일때공기의밀도는? 단공기의기체상수는 이다. * [ 예제 2.4/p.19] 인디젤유의비중, 비체적및비중은? * * * 표준대기압

27 [ 예제 2.5/p.19] 인대기압에서공기의밀도및비체적? * * [ 예제 2.6/p.19] 체적이 0.84 인압력공기탱크에공기가가득채워지면게이지압력으로 50 가된다. 이때탱크내에있는 공기의무게는? 단온도는 70 이고대기압은 14.7 이다. *

28 2.2 압력과응력 (p.20) > 응력 (stress) * 단위면적당작용하는힘 : [ ] * 응력에는수직응력 (normal stress) 과전단응력 (shear stress) 이있다. > 압력 (pressure) * 단위면적당수직으로작용하는힘 : [ ] * 압력의단위

29 > 표준대기압 * 표준대기압 : 표준중력가속도상태에서 에서의수은주높이가 인압력 : = = = * 계기압력 (gage pressure) : 국소대기압에대한상대압력 * 절대압력 (absolute pressure) : 완전진공에대한상대압력 (= 계기압력 + 대기압 )

30 [ 예제 2.7] 면에 가작용한다. (a) 이힘의수직성분과전단성분을계산하라. (b) 각면에발생하는수직응력과전단응력을계산하라. (a) 수직 ; 전단 (b) 수직응력 수직 면적 전단응력 전단 면적

31 2.3 점성 (p.21) > 점착조건 (no-slip condition) * 고체표면위에서유체입자는미끄럼이없다. > 뉴턴의점도법칙 (Newton s law of viscosity) * 유체입자사이에속도차가존재하여마찰력을발생하는성질을점도라한다. : 뉴턴의점도법칙 (Newton s law of viscosity) (1687 년 ) - [ ], [ ] 동역학점도, 절대점도, 점도 (dynamic viscosity, absolute viscosity, viscosity) - [ ], [ ] 동점도 (kinematic viscosity)

32 * 점성에따른유체의분류 : : 뉴턴유체 비뉴턴유체 그림 2.4, 2.5 : 일반적으로 [ 예제 2.8 / Coutte Flow] 작은간격 의두평판사이에점성계수 인유체가채워져있고위평판이속도 로움직일때 (a) 유동의속도분포? (b) 전단응력분포? 단압력은어느곳에서나일정하다고가정한다. (a) 간격이작으면유동의전단응력은일정하다고볼수있다. 즉, 속도에대하여 의경계조건이성립하므로 (b)

33 [ 예제 2.9/p.28] 좁은간격 의평행평판의상판이 의속도로이동하고있다. ( 평판사이의유동은 Coutte유동가정 ) 액체의점성계수, 비중 일때 (a) 액체의절대점도를 으로, (b) 액체의동점도를 로, (c) 상판의전단응력을 으로, (d) 하판의전단응력을 으로계산하라. (a) (b) (c) (d)

34 [ 예제 2.10/p.29] 무게 25 널판경사 20 경사면 의속도로슬라이딩. 널판과경사면사이에 의기름막존재. 널판과경사면사이의간격? * 물체의슬라이딩방향분력 sin sin * 널판이작용하는전단력 널판 * 기름막이전달받는전단력 널판 [ 예제 2.11/p.30] SAE 30 오일 ( ) 이 유동할때발생하는전단응력? * Coutte 유동가정 :

35 [ 예제 2.12/p.30] 베어링 (, ), 축 (, ), 윤활유 ( ) 일때 베어링의구동동력? * ( 축동력 )=( 전단력 )( 축원주속도 ) 1( 축원주속도 )=( 축반경 )( 축각속도 ) 2( 전단력 )=( 전단응력 )( 축접유면적 ) : 축원주속도 : 전단응력 : 축접유면적 축동력 [ 예제 2.13/p.31] 간격 인두벽사이에글리세린 ( ) 이 의압력구배에의해 의속도분포로유동한다. (a) 벽에서 12mm 떨어진곳에서의속도와전단응력? (b) 벽면에서의 전단응력과속도? (a) (b) ;

36 [ 예 2.14/p.31], 인두원통사이에기름이채워져있다. 안쪽의원통을 40rpm 으로회전시키기위한 구동토크가 이라면기름의점성계수는? 단원통의길이는 이다. * (method 1) : ( 구동토크 )=( 전단응력 = 점도 X 속도기울기 )( 작용면적 )( 원통반경 ) 점도 =( 구동토크 )/( 속도기울기 )/( 작용면적 )/( 원통반경 ) : 원통원주속도 : : 속도기울기 : : 작용면적 : 점도 * (method 2) 곡률고려 ( ) 여기서 이므로 적분하면

37 [ 예제 2.15/p.33], 인베어링에 축이 400rpm 으로회전하고있다. 베어링유의점성계수 일때마찰손실동력은? * ( 마찰손실동력 )=( 마찰응력 )( 마찰면적 )( 베어링회전속도 ) : : :

38 2.4 압축성 (p.34) > 압축률 (compressibility) : > 체적탄성계수 (bulk modulus of elasticity) : [] * : ( 약 10 기압 ) 의압력변화에대해서 0.05% 의체적변화 : 물이 1% 정도수축하려면약 200 기압필요 * 표준대기압 표 2.3~2.5 : 액체의체적탄성계수

39 [ 예제 2.16/p.34] 압력에서 체적을가지는기체가 압력에서 의체적이되었다. 이 기체의체적탄성계수는? * 2.5 기체의변화 (p.36) > 등온변화 (isothermal change) : > 단열변화 (adaibatic change) : where... 비열비 (ratio of specific heats)

40 2.6 표면장력 (surface tension)(p.42) * 표면장력 : 자유표면에있는분자들끼리의인력의총합력 > 얇은막의표면장력 : [ ] 막의양면고려 > 물방울의표면장력 : 내부압력이높음에도물방울이터지지않는이유 > 비누방울의표면장력 : 비누방울의내면및외면의양면고려

41 2.7 모세관현상 (p.44) > ( 응집력 < 부착력 ) 관내면상승 & 아래로볼록 ( 물 ) > ( 응집력 > 부착력 ) 관내면하강 & 위로볼록 ( 수은 ) 2 > 모세관현상에의한상승높이 : cos cos 표 2.9~2.11 : 액체의표면장력

42 [ 예제 2.21/p.46] 에서물방울내부압력 가외부압력 보다 더크다면물방울의직경은? 믈의 표면장력은 이다.( 표 2.10) * [ 예제 2.22/p.47] 반지름 인비누방울의내. 외부에작용하는압력차는얼마인가? 단표면장력은 이다. * [ 예제 2.23/p.47] 안지름 인유리관을물에세우는경우와수은에세우는경우모세관내의액체의높이는? 단유리와의 접촉각과표면장력은다음과같다. ; * cos cos cos cos

43 [ 예제 2.24/p.47] 물에유리관을수직으로세워물의높이가 이하가되게하려면유리관의내경은? * cos cos cos 2.8 증기압 (vapor pressure)(p.48) > 비등 (boiling), 증발 (evaporation) * 액체가기체로상변화하는현상 * 물은대기압에서 100 되면비등 * 저압에서는비교적저온에서도발생 ( 고산에서밥이설익는현상 ) > 증기압 (vapor pressure) * 주어진온도의액체가비등하게되는압력 * 물 100 의증기압 * 물 10 의증기압

44 [ 캐비테이션 (cavitation)] * 유체유동시압력이증기압이하가되면가열하지않더라도낮은온도에서비등하여공기방울이발생하는현상을캐비테이션이라한다. * 표면장력으로방울내부는고압상태를유지한다. * 방울이고체벽면에부딪혀부서지면방울내부의고압으로고체면에손상을초래한다. * ( 예 : 고속회전수차의날개손상 ) 캐비테이션현상캐비테이션손상

45 3 장유체정역학

46 3.1 개론 * 유체요소들사이에상대적운동이없는유체의역학 * 전단응력없고, 압력과중력만작용 3.2 정지유체내의압력 (p.54) > 파스칼의정리 (theorem of Pascal) * 유체의압력은임의의면에수직으로작용한다 * 유체내부의임의의한점의압력은모든방향에서같다. * 밀폐용기의유체에가한압력은같은크기로모든방향으로전달된다. : 정지유체내의동일수평에있는임의의두점에서의압력은크기가같다

47 [ 예제 3.1/p.56] 인두실린더의연통에서큰피스톤위에있는 의중량을올리기위해 작은피스톤에작용해야하는힘? 큰피스톤을 올리려면작은피스톤은얼마나내려야하나? (a) (b) [ 예제 3.2/p.57] *, [Taylor 급수 ] : 좌표 에서의값 를사용하여 만큼떨어진좌표에서의값 을다음과같이표시할수있다. : IF [ 예 ] 를테일러급수로전개하면 ; :

48 3.3 유체정역학의기본방정식 (p.58) > 비압축성유체 * 힘이평형 ( 및 방향은서로상쇄되므로 방향만고려 ) : * IF THEN : 정지유체내에서의압력은오직중력의방향에대해서만변화 ( 압력변화의원인은중력 )

49 > 압축성유체 :, ( 이상기체가정 ) * 등온변화 (isothermal change): * 단열변화 (adibatic change) : * 폴리트로피변화 : [ 예제 3.3/p.59] 민물및바닷물깊이 에서받는각각의압력은? * 민물 민물 * 바다 바다 [ 예제 3.4/p.59] ( 깊이의물 ) + ( 깊이의비중 0.8 의기름 ) 밑바닥에서받는게이지압력? *

50 3.4 기압계 (barometer)(p.66) (Fortin 형기압계 ) (Aneroid 기압계 ) Ÿ

51 3.5 압력계 (pressure gauge)(p.68) 액주식 탄성식 분동식 스트레인게이지 압전형압력변환기전위차계압력변환기 반도체형압력계 단관형 (piezometer) U자관형 (manometer, U-tube) 경사관형 (manometer, inclined) 부르돈관형멤브레인형벨로우즈형다이아프램형금속저항체반도체스트레인형용량형

52 > 피에조미터 : > U자관마노메터 (1) pipe : > U 자관마노메터 (2) : > 경사마노메터 : sin... 눈금확대

53 [ 예제 3.7/p.70] = 물, = 수은, 일때 * [ 예제 3.8/p.70] ( 그림 3.13) 물 기름 수은 * ; [ 예제 3.10/p.72] ( 그림 3.14) 원심펌프의흡입압력? *

54 [ 예제 3.11/p.73] 수평면과경사 10 도의물이들어있는 U 자관 : 20mm 수주차이읽음 : 압력차이는? 한쪽압력이다른쪽 압력의 3배가되는경우의각각의압력은? ( 단, ) (a) ( 수직높이차이 ) sin (b) 를위의식에대입, [ 예제 3.12/p.77] ( 그림 3.21)? * [ 예제 3.13/p.77] ( 그림 3.21) *

55 3.7 잠긴평판에작용하는유체의압력 수평평판 (p.79) > 전압력 : > 압력중심 = 圖心

56 경사평판 (p.81) > 전압력 : sin ( sin ) sin sin where sin ; > 압력중심 * 축에대한모멘트평형을취하면 ; : sin ( sin ) sin sin where : 관성모멘트 (moment of inertia)

57 * 도형의관성모멘트 ( ) 사각형 ( ) 삼각형 원 반원 圖心 ( ) 밑변으로부터 중심선으로부터 관성모멘트 ( ) > 압력중심 * 축에대한모멘트평형을취하면 ; : sin sin where sin c.p where

58 폭 의수직평판 (p.79) > 전압력 : where > 압력중심 * 경사평판의식에,, 를대입하면 ; > 압력중심 * 경사평판의식에 를대입하면 ;

59 [ 예제 3.15/p.83] ( 그림 3.26) (a) 수문을열기위한힘? * : : ( ) [ 예제 3.16/p.83] ( 그림 3.27) (a) 전압력 (b) 압력중심깊이 (c) 수문여는힘 (a) (b) ( ) (c)

60 [ 예제 3.17/p.84] ( 그림 3.28) (a) 전압력 (b) 압력중심 (a) (b) ( ) ( ) [ 예제 3.18/p.85] ( 그림 3.29)? * : * * :

61 [ 예제 3.19/p.86] ( 그림 3.30) * 공기에작용하는압력을액체의높이로환산하여압력의기준점을먼저설정해야한다. 에해당하는액체의깊이는, 으로부터. 따라서, * ( 도심깊이및전압력 ) ; * ( 압력중심 ) * ( 모멘트평형 )

62 [ 예제 3.20/p.87] ( 그림 3.31)... 해수의비중 =1.025 * ( 전압력 ) * ( 압력중심 ) * ( 모멘트평형... 밑면중심축 )

63 곡면판 (p.88) : y : * 정지유체에잠겨있는곡면에작용하는힘의연직분력은 곡면이떠받고있는유체의무게와같고, * 방향은연직하방을향하며, 작용선은떠받고있는액체 부분의중심을지난다. y > 위에액체가없는곡면에작용하는전압력 * 압력은표면위에액체가있는경우와같다. 총수직힘은자유표면과곡면사이의체적 ' 에포함되는액체의무게와같다

64 [ 예제 3.21/p.89] ( 그림 3.33) * * [ 예제 3.22/p.89] ( 그림 3.34) * ( 각유체층의도심에작용하는압력 ) * ( 전압력 )

65 3.8 부력 (buoyancy)(p.90) :... principle of Archimedes * 부력의크기는물체가유체속에잠긴체적에해당하는유체의무게와같고 ( 배제된유체의무게와같고 ), 그방향은수직방향이다. * 물체가떠있는경우 : 공기중에서물체무게 = 부력 * 물체가잠긴경우 : 공기중에서물체무게 = 부력 + 액체속에서의물체무게 (W )

66 [ 예제 3.23/p.91] 지름이 이고길이가 인통나무가깊이 로바닷물에잠겨있다. 이통나무가받는부력은? * ( 부력 )=( 배제된유체의무게 )=( 해수의비중량 )( 배제된부피 ) : cos cos : sin sin : 大 A C O B [ 예제 3.24/p.92] 잠수부가 50gal 기름통에공기를가득채워서바다밑바닥에있는앵커를인양한다. 바닷물속에서앵커의무게는 400lb이다. 대기중에서빈통의무게는 50lb라면공기로채워진이통이앵커에매여있을때잠수부가앵커를인양하는데필요한힘은? * ( 인양소요힘 )+( 통의부력 )=( 통의무게 )+( 앵커의무게 ) : 통 : 통속의공기의무게 :

67 3.9 부력을받는물체의안정도 (a) 안정평형 (stable equilibrium) (b) 불안정평형 (unstable equilibrium) (c) 중립평형 (neutral equilibrium) (a) (b) (c)

68 > 잠겨진물체의안정도 (p.93) (a) 중심G가부심B보다아래 : 복원 - 안정평형 (b) 중심G가부심B보다위 : 전복 - 불안정평형 (c) 중심G가부심B와동일 : 중립 - 중립 (a) (b) Þ

69 > 부체의안정도 (p.94) * 유체내에잠긴물체의경우는부력중심 (B) 은고정되어있지만부양체의경우잠긴부분의위치에따라부심이이동한다. * 한유체속에잠겨있는물체가안정할조건은반드시물체중력중심이부력중심보다아래에위치하는것이었으나, 부양체의경우는반드시이조건을필요로하지않는다. ( 넓은블록 ) ( 안정 ) ( 좁은블록 ) ( 불안정 )

70 * 배가기울때부심 에서 으로이동할때이동한부심의연직선과중심선이만나는점 ( ) 을경심 ( 傾心 metacenter) 이라하고, 중심과경심의거리 을경심높이라한다. : 경심 = 중심 중립평형 : 경심이중심보다위 안정 : 경심이중심보다아래 불안정

71 3.10 운동유체의상대적평형 > 상대적평형relative equilibrium) * 유체가고체처럼분자사이에상대속도가없이운동할때유체는상대평형을이룬다고말하고, 유체내에서의압력분포를정역학적입장에서계산할수있다. * 다만정지유체에서와다른것은등가속도의경우가속도에의한 body force가부가된다는점이다. * 등가속유체유동은상대적평형상태이다

72 선형등가속도유동 (p.98) :, :, : 0 > 압력분포 * 뉴턴의제 2 운동법칙을적용하면 ; ( 방향 ) : ( 방향 ) : ( 방향 ) :

73 > 자유표면의식 ( ) : 또는 tan : [ 예제 3.26/p.101] 두껑이없는수조에서수직상방으로 6 의가속도가작용하고있다면깊이 2m 에서받는압력은? *

74 [ 예제 3.27/p.102] ( 그림 3.44) 가속도? 정지상태및가속상태에서점 의압력? * ( 가속도 ) tan : tan, tan : : tan, * ( 정지상태 A 점압력 ) : cos cos * ( 가속상태 A 점압력 ) : cos

75 [ 예제 3.28/p,103] 그림 (3.45) 흘러넘친물의양은? * ( 수면경사각 ) tan tan * ( 넘친물의양 ) tan

76 회전등가속도유동 (p.104) :, :, : > 압력분포 * 뉴턴의제 2 운동법칙을적용하면 ; ( 방향 ) : ( 방향 ) : ( 방향 ) :

77 > 자유표면의식 ( ) :

78 [ 예제 3.29/p,105] 밀폐된용기내에공기를강제회전시키면거리 에서의압력은얼마? * 암의의 점에서의에대한압력의기울기 ; 1 * 작동유체가공기이므로압축성을고려 ; * 2 1; 2 3 * 등온과정으로가정하고 3 식을 점과 ( ) 점사이에대해적분 ; ln exp ln

79 4 장비점성유체의유동

80 4.1 비점성유체의유동 개론 (p.119) * 유체정역학 * 유체동역학 4.2 유체의유동구분 (p.119) 정상균일유동 (steady and uniform flow) 비정상균일유동 (unsteady and uniform flow) 정상불균일유동 (steady and nonuniform flow) 1 차원유동 (one-dimensional flow) 2 차원유동 (two-dimensional flow) 3 차원유동 (three-dimensional flow)

81 4.3 유체입자의가속 (p.123) Ÿ 유선을따른유동의가속도 : * : 실질가속도또는전가속도 (substantial or total acceleration) * : 순간가속도 (temperal acceleration) * : 대류가속도 (convective acceleration) * 정상유동 ( ) 의가속도는 0이아니다

82 Ÿ 가속도표시의일반화 : V s V V V V V V V V V V V V V V

83 [ 예제 4.1/p.124] 직경 인두평행평판이속도 로서로접근. 두판사이거리가 일때윗판끝부분에서발생하는 (a) 대류가속도? (b) 순간가속도? * 끝부분의유출속도를 라고하면, 평판이압착하는유량은틈 를통해유출되는유량과같아야한다. 즉, : ( 평판이압착하는유량 ) : ( 반경 에서틈 를통해유출하는유량 ) * 따라서반경 에서의속도는 (a) 대류가속도 (b) 순간가속도 ( 적용 ) [ 예제 4.2/p.125] 상류속도 의공기가반경 인구주위를통과한다. 상류의한점 에서하류방향으로 를잡으면거리 의증가에따른속도 으로변하고있다. 공기가구의중심위치 를지나는순간의가속도는? * 이므로

84 [ 예제 4.3/p.126] 점차축소관에서유량은 로계산된다. 시간 초일때유동방향으로 A-A 단면에서의속도기울기는 이다.,, 이고, 1 차원유동이라고가정하면 일때 A-A 단면에서의 (a) 유속 (b) 순간가속도 (c) 대류가속도? * * (a) 유속 (b) 순간가속도 (c) 대류가속도

85 4.4 Lagrange 방법과 Euler 방법 (p.127) Ÿ 라그랑주 (Lagrange) 방법 : 입자의궤적을추적하며속도와가속도를묘사 * 동일한입자가서로다른위치로시간에따라운동하는것관찰 * ( 예 ) 보트를타고가는사람이보트의속도를관찰 Ÿ 오일러 (Euler) 방법 : 유동장내의한공간을설정하여입자들이그공간을지나가는이력을추적하여속도와가속도를묘사 * 동일한위치에서서로다른입자가시간에따라운동하는것을관찰 * ( 예 ) 강가에서있는사람이보트의속도를관찰

86 [QQQ] Euler 속도장이 로주어졌을때 (a) 가속도장을구하라 (b) 에서가속도는얼마인가 (c) Lagrange 방법으로접근했을때같은결과를얻는다는것을증명하라 (d) 에서입자는원점 에위치할때 1 초 후의입자의위치는? (a) (b) (c) Let, then ln 이므로 이고따라서 Euler 방법과동일한결과 (d)

87 Ÿ 유선 (stream line) * 어느한순간에모든위치에서의속도에접하는선들의집합을유선이라한다. * 운동하는유체의순간적인방향을나타내는데편리하다. * 유선을따른호의길이 가국소의순간속도벡터 의접선이 라면다음이성립한다. * 유선은모든곳에서속도와평행하므로유체는유선을통과할수 없음. Ÿ 유관 (stream tube) * 유선의다발을유관이라한다. * 유관내의유체는그내부에한정되며유관의경계를통과할수없다. * 유선과유관은특정시간에그순간의속도장에대해서정의된다

88 Ÿ 유적선 (pathline) * 한유체입자가얼마의시간동안운동한실제궤적을유적선이라한다. * 유적선은유동장을따라운동하는유체입자의궤적을추적하기때문에 Lagrange 개념이다. * 그러므로유적선은, 얼마의시간동안추적한유체입자의물질위치벡터와일치한다. Ÿ 유맥선 (streakline) * 유동장의어떤정해진점을주어진순간보다더일찍지나간유체입자들의궤적을유맥선이라한다.. * 실험을통하여얻을수있는가장일반적인유동형태 * 유동장에작은관을삽입하고추적유체 ( 예를들어물유동인경우염료, 또는공기유동인경우연기 ) 를연속적으로주입할때관찰되는형태가유맥선이다. 번호는연속적으로분출된입자표시

89 Ÿ 유선, 유관, 유적선, 유맥선 * 상류에서분출된색깔을입힌유체에의해생성된유맥선. 정상유동 이므로, 유맥선은유선및유적선과동일하다. * 유선 (streamline), 유적선 (pathline) 및유맥선 (streakline) 은정상유 동에서는일치하지만, 비정상유동일경우에는크게다를수있다. * 유선 (streamline) 은어느주어진시간에서의순간적인유동형태인반면, 유적선 (pathline) 및유맥선 (streakline) 은시간이력 (time history) 을가지는유동형태라는것이큰차이점이다. * 유맥선 (streakline) 은시간적분 (time-integtated) 한유동의순간적인스냅사진이다. * 유적선 (pathline) 은일정시간동안노출하여촬영한한입자의궤적이다

90 4.5 유동함수 (stream function)(p.129) : 2 차원비압축성유동에대한유동함수 > 정의 :, > 의미 : * 유선의정의 에서 이므로 ; along a strem line * 두유선함수의차이는두유선사이를유동하는체적유량율이다

91 [QQQ] 속도가 인유동장의 (a) 유동함수는? (b) 좌표 (3,5) 와좌표 (7,5) 사이를지나는유량은? (a) (b)

92 4.6 회전유동과비회전유동 (p.131) 각속도 (angular velocity, rotation) * 2차원평면좌표 에서 의속도로유동하는유체입자가아래그림과같이 시간동안위치 에서 으로이동변형되었다고가정한다. * 좌표

93 * 좌표

94 * 변형후선분의길이... if... if * 변형각 tan... if is small tan... if is small * 축에대한각속도... 각속도 : 반시계방향을 (+)

95 * 축에대한각속도 ( 같은방법으로 ) * 각속도벡터 와도 (vorticity) curl

96 * 비회전유동 (irrotaional flow) : * 회전유동 (rotational flow) : forced vortex free vortex

97 4.7 연속방정식 (continuity equation)(p.133) 1 차원유동의연속방정식 (p.133) : FOR incompressible flow [ 예제 4.4/p.134] 안지름 20 인관유동 ; 공기의절대압력 147, 온도 20, 유량 1.2 관내유동을균일분포유동으로가정하여유속을구하라. * [ 예제 4.5/p.135] 안지름 16 인관유동에서물의유속 20 ; 안지름 30 인곳에서의유속은? * [ 예제 4.6/p.135] 안지름 600 관유동 ; 공기의절대압력 313, 온도 34, 유량 일떼관내의 평균유속은? *

98 [ 예제 4.7/p.135] 유량 를단면적 인사각관으로유동시키고있다. 동일한유량을 2 배로증속하여 원형관으로유동시키려면관의지름을얼마로하여야하는가? * 사가관의유속을 라고하면두관에서유량 은같으므로

99 3 차원유동의연속방정식 (p.136) > ( 질량변화 )=( 유입질량 )-( 유출질량 ) * ( 질량변화 ) * ( 유입질량-유출질량 ) V... divergence

100 Ÿ Euler 의연속방정식 : Ÿ V 비압축성유체의연속방정식 : V ( 비교 )

101 [ 예제 4.8/p.139] 2차원비압축성유동에서, 는연속방정식을만족하는가? * ; 연속방정식을만족하지않음 [ 예제 4.9/p.140] 비압축성정상유동에서 의속도는연속방정식을만족하는가?, * 연속방정식을만족함 [ 예제 4.10/p.140] 2 차원유동에서유동함수는연속방정식을만족하는가? *, 연속방정식을만족함

102 Ÿ 원통좌표계에서의연속방정식 (p.140) : * 비압축성유체의경우 :

103 4.8 Euler 의운동방정식 (equation of motion)(p.142) * 방향에대해운동방정식을적용하면 ; : ( : 질량력 body force) * 및 방향에대한운동방정식도동일하게구하면 ; * 방향의가속도는 으로부터다음과같이표시된 다

104 * 방향의가속도도다음과같이표시된다. * 이가속도를운동방정식에대입하면다음의 Euler 방정식을얻는다. : : :

105 4.9 Bernoulli 방정식 (p.144) Ÿ 손실없는전에너지 (total energy) 관점 * 유관의단면 (1) 에서단면 (2) 로손실이없는유동을가정한다. * ( 전에너지 )=( 압력에너지 )+( 운동에너지 )+( 위치에너지 ) 이므로 ; : : 수두 (head) : 수두 (head) Ÿ 손실있는전에너지관점 * 전에너지손실수두 (total enehead loss) 라고표시하면 ;

106 Ÿ Euler 방정식으로부터유도 * 질량력 (body force: ) 무시하고비압축성 2 차원정상유동을가정하면 ; : : * * 유선의정의 에서 이므로 ; 3 *

107 * 3+4 along a stream line * Let ; along a stream line along a stream line [H.W.] Newton 의운동방정식으로부터유도 (p.147)

108 [ 예제 4.11/p.148] 수평관을이용하여송수 ; 입구,, ; 출구 (a)? (b)? * ( 연속방정식 ) (B 방정식 ) 2 unknowns, 2 eq

109 [ 예제 4.12/p.149] 경사원형관 ;,, ;,,? ; 단관내은물이흐르고유량 이며마찰손실은없음. * ( 연속방정식 ) (B 방정식 ) 1 unknown, 1 eq

110 [ 예제 4.13/p.150] 수평면과 30 도기울어진길이 직관의, ; 물의입구유량 (a) 출구속도? (b) 입구의압송압력은? ( 단마찰손실은없다고가정 ) * ( 연속방정식 ) (B 방정식 ) sin 1 unknown, 1 eq

111 [ 예제 4.14/p.151], 로유지되고있는공기탱크에수평으로관이부착되어공기를분출 ; 관의직경, 노즐직경 일때 (a) 관내의압력은? (b) 분출유량은? ( 단공기의온도는탱크에서의온도로 일정하다고가정 ) * * [(0) 탱크내부 -(1) 관 -(2) 노즐 ] ( 연속방정식 ) (B 방정식 ) 3 unknowns, 3 eqs

112 [ 예제 4.15/p.152] 역 U manometer 에서액주차 ( 연속방정식 ) (B 방정식 ) (U 마노미터 )

113 [ 예제 4.16/p.153] 오리피스하류의출구 ( ) * [(1) 탱크 -(O) 오리피스 -(2) 출구 ]... 오리피스에서손실이있음에주의!!! ( 연속방정식 ) (B 방정식 ) 2 unknowns, 2 eqs

114 [ 예제 4.17/p.154] oil ( ), 일때 * ( 연속방정식 ) (B 방정식 ) 1 unknown, 1 eq

115 [ 예제 4.18/p.155] siphone : (B 방정식 ) 2 unknowns, 2 eqs

116 [ 예제 4.19/p.157] siphone :, ;, (B 방정식 ) 2 unknowns, 2 eqs

117 [ 예제 4.20/p.157] 제반손실무시 ; 분출높이 (B 방정식 ) 2 unknowns, 2 eqs

118 4.10 Bernoulli 방정식의응용 Tank Orifice(p.159) > 유동손실무시할경우 : (,,, ) (Torricelli 식 ) > 유동손실고려할경우 : : 속도계수 : 수축계수 (vena contracta 효과 ) : 유량계수

119 잠수오리피스 (submerged orifice)(p.162) : (,, )

120 [ 예제 4.21/p.162] 물이담긴탱크옆면에 의구명이뚤림 ; 물분출속도가 일경우물의높이는? 단속도계수 이다. * 수면 (1)- 구멍 (2) 유선에대해 (B 방정식 ) 1 unknown, 1 eq

121 [ 예제 4.22/p.163] ;, (B 방정식 ) 1 unknown, 1 eq. [ 예제 4.23/p.163] 물탱크 - 잠수오리피스 - 물탱크 ; 오리피스분출유속? ( 속도계수무시 ) * 오리피스왼쪽지점 (1)- 오리피스오른쪽지점 (2) 유선에대해 ; (B 방정식 ) 1 unknown, 1 eq

122 [ 예제 4.24/p.164] * 탱크내부 (1)- 오리피스출구 (2) 유선에대해 (B 방정식 ) 공기 1 unknown, 1 eq

123 탱크오리피스유량계산 (p.165) : > 원형오리피스의자유분사 :,,

124 [ 예제 4.25/p.166] 물탱크의수면으로부터 의깊이에있는지름 의오리피스에서대기중으로유출되는유량은? ( 일정수면, 속도계수, 수축계수 ) * * *

125 [ 예제 4.26/p.167] 수조 ( 밑면, 높이 ) 의밑면으로부터 높이옆면에난지름 의구멍에서 물이 의속도로유출 : 이순간수면의높이는? 유출량은? ( ) * 높이탱크내부 (1)- 구멍출구 (2) 유선에대해 (B 방정식 ) 1 unknown, 1 eq

126 [ 예제 4.27/p.167] 수면의높이 에서 까지하강하는데걸리는시간? * ( 수면 T)-( 오리피스 (2)) 유선에대해 (B 방정식 ) 1 unknown, 1 eq

127 [ 예제 4.28/p.168] 수두 인 의오리피스에서 100 초동안 207 의물분출 ; 수평으로 나갔을때 수직으로 하강 ; * 수평및수직이동거리로부터 계산 ; * 한편 * 이결과로부터 * 또한 임으로

128 오리피스유량계 : (,,, ) (, ) where... 유동계수 (flow coefficient)

129 [ 예제 4.29/p.171] 유량? ( 단오리피스계수유동계수 ) * 오리피스의전 (1)- 후 (2) 유선에대해 (B 방정식 ) 1 unknown, 1 eq ( 비교 ) 오리피스유량계산식 ; where... 유동계수 (flow coefficient)

130 Pitot tube : (, ) where : 피토관계수 그림 4.35, 4.36, 4.37, 피토관의변형

131 [ 예제 4.30/p.175] 피토관과 U 자관을이용하여공기의속도를측정하는식을유도하라. (U 자관에는비중이 1 인물을사용 ) ( 피도관정체압력 ) ( 마노미터 ) 여기서 피토관상수로서피토관직경이 이상인경우 이다. 즉 where 단위 :

132 [ 예제 4.31/p.176] 피토관 : * 예제 4.30 으로부터, 로두면 ; 물

133 Venturi meter : ( ) ( )

134 [ 예제 4.32/p.177] ventury meter : ( 단유량계수 =0.65) (B 방정식 ) 1 unknown, 1 eq. for, ( 비교 ) venturi meter 의유량계산식 ; ( 그림 4.41)

135 노치 (notch) 와위어 (weir)(p.178) * 많은유량계측 * 3각노치 =V형노치 * 큰 4각노치 = 위어 > 가정 (1) 노치상류유체유동속도균일, 평행 ( 배플의목적 ) : 압력은 에의해결정 (2) 노치통과유동은노치평면에수직이고평행 (3) 내프상의압력은대기압 (4) 점성및표면장력무시 baffle

136 Ÿ 4 각위어 : (,, 적용하면 ) where... by T. Rehbock

137 Ÿ 3 각위어 : (,, 적용하면 ), tan tan ( ) tan tan tan

138 [ 예제 4.33/p.182] 폭 인 4 각위어에서넘쳐흐르는물의높이를측정한결과 였다. 유량게수가 0.61 일때 유량을구하라. * 4각위어의유량계산식적용 ; [ 예제 4.34/p.182] V- 노치의각이 90 인 3 각위어에서유량이 이로흘러넘치고있다. 이때넘치는물의높이를구하라. 단유량계수는 0.65 이다. * 3각위어의유량계산식적용 ; tan tan tan

139 5 장점성유체의유동 (viscous fluid flow)

140 5.1 개론 (p.193) Navier-Stokes 방정식을다룬다. 5.2 Reynolds 의실험 (p.193) * 액체의종류에관계없이동일한층류및난류관찰

141 5.3 Reynolds 수 (p.195) 레이놀드수의정의 : where for 원통관직경 for 평판길이 ( 국소레이놀즈수 ) > 수력직경 ((hydraulic diameter) 또는상당직경 (relative diameter), 단면적 : 接水길이 * 레이놀드수의정의의길이차원으로사용 * ( 예 ) 가로, 세로 인직사각형의경우 ;

142 모멘트 (moment)( ) 토크 (torque) 힘의모멘트 단면 1 차모멘트 ( 면적모멘트 ) 1st moment of area (moment of area) ( 도심 ) 단면 2 차모멘트 2nd moment of area ( 관성모멘트 ) (moment of inertia) 관성모멘트 moment of inertia * 운동에너지 * 회전운동에너지 * 각운동량 (angular momentum)

143 좌표계 (coordinate system)( ) 좌표축 rectilinear ( 직선 ) curvilinear ( 곡선 ) (1) Cartesian CS (1) (plane) polar 좌표계 ( 극좌표계 ; ) ( 데카르트좌표계, 직각좌표계 ; ) = rectangular CS (2) cylindrical (polar) CS ( 원통좌표계 ; ) orthogonal( 직교 ) = rectangular Cartesian CS (3) spherical (polar) CS ( 구좌표계 ; ) = rectilinear Cartesian CS = homogeneous 좌표계 non-orthogonal( 비직교 ) (1) oblique 좌표계 ( 경사좌표계 ) 본강의에서특별한단서가없으면데카르트좌표계적용

144 5.4 유체가받는힘과응력 (p.195) * 유체에작용하는힘 : 질량력 (body force) 과표면력 (surface force) 두가지가있다. 질량력 (body force) * 점성을무시한 Euler 방정식은유체에작용하는힘을가속도에의한질량력 ( 예 : 중력 ) 과압력에의한표면력만고 려한것이다. (Euler 방정식 ) ( 표면력 ) ( 질량력 )

145 표면력 (surface force) * 표면력은다음과같이 9 가지성분을가진다. (tensor) : where

146 Ÿ Stress tensor 가 symmetric 임을증명 ( ) * angular momentum 의정의 : * angular momentum theorem : (1-the torque applied to the particle) (2-the change rate of angular momentum) * 평면에각운동량이론을적용하면다음을얻는다. 1 * 2 (1) (2) IF THEN SO (unphysical)

147 Ÿ 표면력성분 > 성분 : > 성분 * 위와같이하면다음을얻는다

148 5.5 변형과응력 (p. 199) 4 가지유동의형태 1. displacement of location 1 translation ( 병진 ) : 2 rotation( 회전 ) : 2. deformation of shape 1 linear deformation(dilataton)( 팽창 ) : 2 angular deformation(distortion)( 전단 ) :

149 전단변형 * 평면에서의전단변형을생각하자. * 전단변형은 pure shearing으로서 no change of volume, no rotation이다. * rate of local distortion은다음과같이표시된다. : : * rate of total distortion (rate of shearing) in plane 은다음과같이표시된다

150 * 및 평면에에서의전단변형도같은방법으로유도하고각평면에대하여뉴턴의점성법칙을적용하면다음을 얻는다 : : :

151 수직변형 * 방향으로의수직변형을구하면다음과같다. : : * rate of elongation in x-direction 은다음과같이표시된다. : * 같은방법으로 rate of elongation in y-, z-direction 도다음과같이표시된다. :, * 비압축성뉴턴유체에대해서수직응력 는변형율속도의함수로다음과같이표시된다. ( 세부유도과 정은대학원에서, 여기서는정성적으로이해 ) : :

152 : where : 2nd vicosity coefficient [ volumetric dilatation ]

153 [ mechanical pressure, bulk viscosity ] where : bulk viscosity (volume viscosity) : 1 st viscosity, dynamic(absolute) viscosity : 2 nd viscosity : mechanical pressure : hydrostatic pressure (incompressible flow) : thermodynamic pressue (compressible flow) [ Stoke s assumption ] (NOTE : invalid for hypersonic flow)

154 5.6 Navier-Stokes 방정식 변형과응력의관계정리 divergence of surface stress ( 표면력의다이버전스 ) normal stress ( 법선력 ) shear stress ( 전단력 ) ( )

155 Navier-Stokes 방정식 Euler 방정식 에서 대신에 대입 IF * in vector form, V V V V V where V V

156 IF, V V * (In Cartesian coord.)

157 * (In cylindrical coord.)

158 IF, V V V

159 연속방정식 > IF V

160 [ 예제 5.1/p.207] 평행평판사이에유동하는유체의다음에대한식을나타내어라. (a) 유속 (b) 유량 (c) 전단응력분포 > 연속방정식및 NS 방정식적용 ; : 조건 -1. 정상유동 차원유동 :, : : O O : :

161 1 (a) 유속 * 식 1 적분 * BC 적용 :, (b) 유량 * 속도적분 (c) 전단응력 * 뉴턴의점성법칙적용 :

162 [ 예제 5.2/p.209] 두원형평판이평행하게놓여있다. 두평판사이에점성계수, 밀도 인액체가채워져있다. 상부에 있는원판을힘 로누를때일정한속도 로하강한다. (a) 반지름방향압력분포식? (b) 힘 의계산식? (c) 윗판이높이 까지내려오는데걸리는시간? > 원통좌표계연속방정식및 NS 방정식적용 * 조건 1. 준정상상태가정 : 2. 원통좌표계 :, 3. 가속도성분무시 ( 低 Reynolds 수 ) : O 1 * NS 방정식적용 : 무시 O O O

163 : : 무시 무시 2015 년 2 학기유체역학 ( 배주찬 ) 2 (a) 압력분포식 * 식 1 을식 2 에대입하면 * BC 적용, 을적용하면 * 속도를적분하면

164 3 * 반경 에서의유량 를원판의하강속도 로표시하면 4 * 식 3 을식 4 와등치시키면 : * BC ( 게이지압력 ) 을적용하면... -방향의압력분포무시 4 (b) 힘 의계산식 * 압력을면적에대하여적분하면 5 (c) 하강시간 * 임을적용하여식 5 를다시쓰면

165 [ 예제 5.3/p.212] NS 방정식으로부터베르누이방정식유도

166 [ 예제 5.4/p.213] 액체막의두께가 인완전히발달된층류가경사진평판을따라흘러내리고있다. (a) 이유동장을모사할수있는연속방정식과 NS 방정식을간소화하여라. (b) 속도분포, 전단응력분포, 체적유량, 평균속도에대한식을구하라. (c) 유동층에수직한단위폭에대한유량과액체층류막두께 와의관계식을구하라. (d), 유동장의폭, 수평과경사각이 일때체적유량을계산하라. > 연속방정식및 NS 방정식적용 * 조건 -1. 정상유동 차원유동 :, -3. (a) 지배방정식간소화 * 연속방정식 : * NS 방정식 : O

167 : O : sin 1 cos (b) 속도분포, 전단응력분포, 체적유량, 평균속도 * 식1을적분하고 BC, sin 속도 : 을적용하면 전단응력 : sin 유량 ; sin

168 평균속도 : sin (c) 막두께와유량의관계식 : 5 sin

169 6 장운동량이론 (momentum theory) * 운동량이론은대상이고체이든유체이든관계없이적용되는원리 * 고체운동과유체유동에대하여검사체적관점에서관찰

170 현상을관찰할때사용하는두가지관점 (1) 계 (system) : 입자또는입자의집합을설정하여그궤적을추적하는경우, 입자또는입자의집합을말한다. : 닫힌계 (closed system) 라고도부른다. : Lagrange 방법이이에속한다. (2) 검사체적 (control volume) 또는제어체적또는열린계 (open system) : 공간에창을설정하여그창의내부의변화와경계면을통과하는현상을추적하는경우, 그창을말한다. : 열린계 (open system) 라고도부른다. : Euler 방법이이에속한다. 검사체적의성질 (1) 내부 (inner), 외부 (outer), 경계 (boundary) 로공간이명확하게구분되고경계면을검사표면 (control surface) 이라함. ( 검사표면의미소면적 A 의방향은외향법선 (outward normal) 을陽으로하며, 따라서 A 임 ). (2) 검사체적의체적현상에는질량 ( 질량생성 / 소멸 ), 내부에너지, 중력등이있다. (3) 검사체적의표면현상에는압력, 질량유출 / 유입, 열유출 / 유입등이있다

171 현상을관찰할때사용하는두가지좌표계 (1) 관성좌표계 (inertial coordinates frame) : 관찰에사용하는상대좌표계가절대좌표계에대해고정되어있거나또는등속도로이동하는좌표계 : ( 예 ) 정지또는등속으로운전하는지하철내의벌의움직임을관찰하기위하여지하철을검사체적으로설정하는경우. (2) 비관성좌표계 (noninertial coordinates frame) : 관찰에사용하는상대좌표계가절대좌표계에대해가속도를가지고이동하는좌표계 : ( 예 ) 가속도를받고있는위성발사체내의벌의움직임을관찰하기위하여발사체를검사체적으로설정하는경우 검사체적을설정할때특별한단서를붙이지않으면관성좌표계를적용하는것을의미함

172 강체에대한운동량이론 (momentum theory) Ÿ 운동량정의 : M V Ÿ 뉴턴의제 2 법칙 : M F V * 미소한시간구간 을생각하면 : M F M M M F where F I : 충격량 (impulse) * 외부에서작용하는힘이없으면 : M M : 운동량보존

173 [ 예 ] 단위길이당질량이, 전체길이가 인쇠사슬이마찰이없는수평면에그림과같이놓여있다. 쇠사슬의한쪽끝을누르고있는손을놓는순간쇠사슬은자신의무게에의해운동하게된다. 쇠사슬이수평면을완전히벗어날때의속도를구하라. > 강체의 MT 적용 : M F * 시간 에서길이 만큼낙하한다고하면 * * 이므로 * 초기조건 :, 을적용하면

174 [ 예 ] 질량 인공이속력 로오른쪽방향으로운동하다가충격에의해운동방향이각도 만큼바뀌어 의속도로운동하였다. 이때공에작용한충격량은? > 강체의 MT 적용 : M M F F M M * M * M cos sin 이므로 F cos sin cos sin

175 [ 예 ] 질량 의총알이 의속도로운동하다가속도 로운동하는질량 의나무토막에박힌후한덩어리로 계속운동할때최종속력 를구하라. 모든운동은직선상에서일어난다고가정한다. > 운동량보존적용 : M M * * 이므로

176 계와검사체적의관계 ( 검사체적이고정되어있는경우 ) * 어떤물리량 에대한시스템이시간 에실선으로있다가시간 에점선으로이동했다면그동안의 의 변화량은다음과같이표시된다. : system at system at * lim을취하면 CONTROL VOLUME ( 검사체적이고정되어있는경우 )

177 고정검사체적에대한운동량이론 * 계와검사체적의관계에서 대신 M V 대입 : M F M M M where M V M V M V

178 이동검사체적에대한운동량이론 * 검사체적의절대속도 : V * 물체의검사체적에대한상대속도 : V * 물체의절대속도 : V V V < 뉴턴의 2 법칙적용 : M F V V V V V V M V V

179 * 여기서, 계와검사체적의관계로부터, M * F M M M M 이므로 M M V where M V M V, M V * 등속이동검사체적의경우다음과같이단순화된다. F M M M... 고정검사체적에대한식과동일한형태

180 운동량이론의적용 1. 유체의유동에서는특정한유체입자의운동을추적하는것이어려우므로반드시검사체적을이용하여운동량의 출입을고려하여야한다. 2. F 는검사체적내의유체에작용하는압력, 중력, 전단력, 기타외력의합이다. 3 운동량이론은검사체적의설정에따라세형태로구분하여적용한다. (1) 고정 : F (2) 등속 ( 비가속 ) 이동 : F (3) 가속이동 : F M M M M M M M M M V 4. 입구와출구가다수가있고힘도여러종류 ( 예 : 압력, 전단력, 중력, 외력등 ) 로작용할경우정상상태고정검사 체적에대한운동량이론은다음과같이표시된다. F V V

181 [ 예 ],, ; 수레를고정시키기위햐여필요한힘은? 단수레의질량은 으로서검사체적내의물의질량은이에비해무시한다. > 고정검사체적에대한 MT 적용 ( 시간에대한검사체적내운동량변화없음 ) : M F M M * * * * * * MT 적용 외력 ( 수레를고정할힘 ) 은 방향으로작용함. 추력 ( 물이수레를미는힘 ) 은 방향으로작용함

182 [ 예 ],, ; 수레가마찰이없는평면위를 로이동하는경우, 물이 수레에작용하는힘은? 단수레의질량은 으로서검사체적내의물의질량은이에비해무시한다. > 등속이동검사체적에대한 MT 적용 ( 시간에대한검사체적내운동량변화없음 ) * : M F M M * * ; * * * MT 적용 외력 ( 수레에작용하는저지력 ) 은 방향으로작용함. 추력 ( 물이수레를미는힘 ) 은 방향으로작용함

183 [ 예 ],, ; 수레는마찰이없는평면위에서가속된다. 정지상태에서시간 초가 지난후에수레의속도는? 단수레의질량은 으로서검사체적내의물의질량은이에비해무시한다. > 수레의속도로가속이동하는검사체적에대한 MT 적용 ( 시간에대한검사체적내운동량변화없음 ) : F M M M V * * * * * * * MT 적용

184 * 초기조건 을적용하면 * (NOTE) 되면더이상힘이작용하지않으므로더이상의가속은없음

185 Propeller... method 1 * 오른쪽그림과같이프로펠러전후로두개의검사체적을설정함 ( 오른쪽방향을 의양의방향으로설정, 프로펠러항공기가 의속도로비행 ). * 위치 (1) 은프로펠러로부터충분히거리가멀어압력은대기압이며 ( ), 항공기에대한 공기의상대속도는 임. * 위치 (2) 및위치 (3) 은프로펠러직전및직후로서압력은프로펠러로터 (rotor) 에서공급되는에너지때문에상승하고 ( ), 공기의상대속도 ( 프로펠러가회전하면서발생시키는 방향의속도 ) 는이두위치에서동일함 ( ). * 위치 (4) 는프로펠러로부터충분히거리가멀어압력이 로팽창하고, 속도는더증가하여 가됨

186 Ÿ BE 을이용한프로펠러압력상승계산 * 유선 (1)-(2) 에 B.E 적용 ( 중력효과무시 ) : [ note :, ] 1 * 유선 (3)-(4) 에 B.E 적용 ( 중력효과무시 ) : [ note :, ] 2 * 식 1 식

187 Ÿ MT 를이용한프로펠러압력상승계산 > 추진기속도로이동하는 (1)-(2) 구간검사체적에 MT 적용 ( 시간에대한검사체적내운동량변화 없음 ) : M F M M * [ note : ] 4 * * [ note : ] * * MT 적용

188 > 추진기속도로이동하는 (3)-(4) 구간검사체적에 MT 적용 ( 시간에대한검사체적내운동량변화 없음 ) * [ note : ] 6 * * * [ note : ] * MT 적용 7 > 프로펠러압력상승 * 식 7+ 식 5 : [7 ] + [5 ]

189 Ÿ 프로펠러통과유속 * 식 3 식 8 : [3 ][8 ] : Froude 이론 9 Ÿ 프로펠러추력 > (1)-(4) 구간을검사체적으로설정하고이검사체적을정지시키기위한힘을 이라고하면, 은 다음과같이구해진다. : M F M M * [ note : ] * *

190 * * MT 적용 [ note : 8 ] 10 [ note : 추력은유체에작용하는힘의반대방향 ] Ÿ 프로펠러추진동력 (power) * 항공기추진동력 : 추력 비행속도 : [ 10 ] * 손실동력 : 출력에기여하지못하고소멸되는프로펠라상류속도와하류속도의차이에기인하는동력 : * 프로펠러이론효율 : Froude 효율

191 Propeller... method 2 > 추진기속도로이동하는 (1)-(4) 구간 검사체적에 MT 적용 ( 시간에대한검사체적내 운동량변화없음 ) : M F M M * [ note : ] * * * MT 적용 : > 동력 * 프로펠러가유체에가한원동력 :

192 - 프로펠러를통과하는동안의운동에너지증가율 : - 상기의두크기는동일 * 항공기의추진동력 : 추력 비행속도 : * 효율 항공기추진동력 : 프로펠러원동력

193 풍차 (windmill) * 위치 (1) 은블레이드로부터충분히거리가멀어압력은대기압이며 ( ), 공기는 의속도로풍차로진입함. * 진입한공기는위치 (2) 와위치 (3) 사이에위치한풍차에에너지를전달하면서압력은하강하고 ( ), 공기의속도 ( 블레이드가회전하면서발생하는 방향의속도 ) 이두위치에서동일함 ( ). * 위치 (4) 는프로펠러로부터충분히거리가멀어압력이 으로회복되고속도는감소하여 가됨. > (1)-(4) 구간의고정검사체적에 MT 적용 ( 시간에대한검사체적내운동량변화없음 ) : M F M M * *

194 * * * MT 적용 : * 공기가풍차에전달하는구동동력 : 이것은검사체적을통과하는동안감소된운동에너지율 과동일함. * 공기가지니고있는운동에너지율 : ( note : 블레이드단면적으로유입되는 속도의공기의운동에너지율 ) * 효율 :

195 Jet propulsion(p.248) * 제트엔진은엔진에흡입된공기를압축기에서충분히압축한후연소실에서연소시켜고온고압의연소가스를얻고, 연소에너지중일부는압축기를돌리는데사용하고나머지는노즐로분사하여추력을얻는다 ( 연소기가프로펠러기능을대신 ). > 고정검사체적에대한 MT 적용 ( 시간에대한검사체적내운동량변화없음 )- 연료질량고려 : M F M M * ( 입구와출구의압력은대기압가정 ) * 공기흡입유동질량 * 연료유동질량 * 공기흡입속도 * 연소가스분출속도 *

196 * * MT 적용 : 추력 는외력 의반대방향임. 외력 ( 엔진을고정시킬힘 ) 은 방향으로작용함. 추력 ( 연소공기가엔진을미는힘 ) 은 방향으로작용함. * 추력 : ( 추력 는외력 의반대방향 ) * 유효동력 : 추력 비행속도 : * 손실동력 :

197 * 이론효율 : 연료의질량을무시할경우 : 위의식에서 로두면

198 Rocket(p.251) (EX) Let the rocket motor be mounted on a test stand.. The liquid oxygen and hydrocarbon fuel are stored in the tanks as indicated.. The pressure of the combustion gases at the nozzle exit plane is equal to ambient pressure surrouding the test stand.. Determine the rocket thrust assuming one dimensional steay flow. * Thrust : the negative direction of the force necessary to hold the rocket in place. > 고정검사체적에대한 MT 적용 ( 시간에대한검사체적내운동량변화없음 ) : F M M M * ; ;

199 (EX) The ambient pressur surrounding the test stand is reduced to tosimulate actual flight conditions. Determine the rocket thrust in this case. > 고정검사체적에대한 MT 적용 ( 시간에대한검사체적내운동량변화없음 ) : F M M M * ; ;

200 (EX) Let us examine the cas of rocket moving vertically against the earth s gravity field.. : mass flow rate of the entire exhaust gases ; constant. : mass of the rocket,. : velocity of the rocket. : relative velocity of the exhaust gas to the rocket. : pressure at the exit plane. : ambient pressure. : exit area. : drag force acting to the rocket > 로켓의속도로가속이동하는검사체적에대한 MT 적용 ( 시간에대한검사체적내운동량변화없음 ) : F M M M V *

201 * * * > MT 적용 * drag 및중력 (g) 의영향을무시하고 가일정하다고가정하면 * at 라고하면 ln ln

202 ln... rocket equation where : characteristic velocity : total propellant mass consumed during the burn

203 각운동량원리 (angular momentum theory) Ÿ 각운동량의정의 H r M r V Ÿ 각운동량이론 * 각운동량을미분하면 H r r V V V r V V r a r F T H T r V where T : torque (cf) M F V... 선형운동량이론 (linear momentum theory) * IF T 의경우 H ( 각운동량보존 conservation of angular momentum)

204 [ 예제 6.1/p.223] 지름이 인분류 ( 물 ) 이 의속도로고정평판에대하여 각도로충돌하면, 평판에 수직으로작용하는힘은? > 고정검사체적 MT 적용 ( 시간에대한검사체적내운동량변화없음 ) : F M M M * * * * * cos * * sin sin * > 방향적용

205 : > 물이평판에수직으로작용하는힘 :

206 [ 예제 6.2/p.223], 노즐단면적 ; 제트가바리케이드에수직으로작용하는힘? > 고정검사체적 MT 적용 ( 시간에대한검사체적내운동량변화없음 ) : M F M M * * * * * * > 방향적용 : > 제트가바리케이드에수직으로작용하는힘

207 [ 예제 6.3/p.225],, ; 제트가베인에작용하는힘? > 고정검사체적 MT 적용 ( 시간에대한검사체적내운동량변화없음 ) : M F M M * * * * * cos cos * * sin sin > 방향적용 :

208 > 방향적용 :

209 [ 예제 6.4/p.225] 60 베인 ;,, owing to friction; 중력무시 : 제트가베인에 작용하는힘? > 고정검사체적 MT 적용 ( 시간에대한검사체적내운동량변화없음 ) : F M M M * * * * cos cos * * sin sin * > 방향적용 :

210 > 방향적용 : > 합력 : tan

211 [ 예제 6.5/p.228] 165 베인 ; 베인이동속도 ; 의제트류에의해베인이받는힘? 얻는동력? > 등속이동검사체적 MT 적용 ( 시간에대한검사체적내운동량변화없음 ) : F M M M * * * * * * * cos cos sin sin * > 방향적용 :

212 > 방향적용 : > 동력 :

213 [ 예제 6.6/p.229] 150 베인, 이동속도 ; 베인류단면적, 분사유량 : 베인에서얻을수있는동력? 분사류의운동에너지? TEXT 오퓨 > 등속이동검사체적 MT 적용 ( 시간에대한검사체적내운동량변화없음 ) : F M M M * * * * * * * * cos cos sin sin *

214 > 방향적용 : > 방향적용 > 동력 > 에너지 : : :

215 [ 예제 6.7/p.230] 마차질량,, ; 마차의속도를시간의함수로표시하라. > 마차속도로가속이동하는검사체적 MT 적용 ( 시간에대한검사체적내운동량변화없음 ) : F M M M V * * * * * * cos * * sin *

216 > 방향적용 ; * 초기조건 적용하면

217 [ 예제 6.8/p.234] 인 90 엘보우에압력 인물이흐르지않고있다. 이엘보를고정하는데 필요한힘? ( 물과엘보의무게는무시 ) > 유동이없으므로압력을고려한힘의평형을생각하면됨. > 방향 : > 방향적용 : > 합력 :

218 [ 예제 6.9/p.235], 인 45 곡관에서, 으로물이흐르고있다. 마찰이없다고가정하고이곡관에작용하는순수한수평력을구하라. > 고정검사체적 MT 적용 ( 시간에대한검사체적내운동량변화없음 ) : F M M M * cos * sin * * * * * * cos * sin

219 * BE에서 계산 : > 방향적용 : cos > 방향적용 : sin > 합력 : : tan

220 [ 예제 6.10/p.236] 90 축소엘보에물이유동하고있다.,,,, ; 엘보지지힘? > 고정검사체적 MT 적용 ( 시간에대한검사체적내운동량변화없음 ) : M F M M * * * * * * *

221 > 방향적용 ; : > 방향적용 ; :

222 [ 예제 6.11/p.237] 제트엔진시험 :,,,,, ; 이엔진의추력은? > 고정검사체적 MT 적용 ( 시간에대한검사체적내운동량변화없음 ) : M F M M * 1 * * * > 방향적용 ; :

223 [ 예제 6.12/p.239] XXX Just Read!!!

224 [ 예제 6.13/p.241] 단면적, 높이, 비어있을때무게 인콘테이너가저울에놓여있다. 상부에서물이흘러 들어와양측의동일한노즐을통하여분출되고있다. 정상유동상태에서수면의높이가 이고입구와출구의압력이 대기압인경우저울의눈금은? 단, 이다. > 고정검사체적 MT 적용 ( 시간에대한검사체적내운동량변화없음 ) : M F M M * tan * * * > 방향적용 :... 저울의눈금 TEXT 오퓨

225 [ 예제 6.14/p.242] 용량이 인탱크에 15, 절대압력 800kPa 의공기가채워져있다. 에서공기는단면적이 의노즐을통하여 의속도로분출되고있으며, 이때의밀도는 이었다. 에서탱크의 나머지상태들은일정하다고가정하고밀도의순간변화율을구하라. * 탱크내의공기의질량 : V tank * 탱크내의공기의분출유량 : : V V

226 [ 예제 6.15/p.246] 프로펠러지름 인비행기가 의속도로 인잔잔한공기속을비행하고있다. 비행기를지나는평균유속이 일때비행기의추력과효율을구하라. * 프로펠러통과유속 : 1 * 추력 : 2 * 효율 : ( 유량 )

227 [ 예제 6.16/p.247] 비행기가 로정지상태에있는공기중을날고있다. 지름 의두프로펠러를통하여 인공기를 로유동시키고있을때 (a) 이론효율, (b) 추력, (c) 프로펠러전후에서의압력차, (d) 필요한이론동력을구하라. * 프로펠러통과유속 : 1 * 추력 : 2 * 효율 : 3 * * * (a) 3 (b)

228 [ 예제 6.17/p.248] 의물이축방향으로펌프임펠러에유입되고있다. 입구에서의유속은축류이고균일유동이다. 반지름방향의깃 (blade) 에대한상대속도는 로서물이 3500rpm 으로회전하고있는임펠러로부터나오고있다. 이때 (a) 임펠러출구의폭 (b) 임펠러에가해진토크 (c) 소모마력을구하라. > 유량과속도로임펠러폭계산 > MT : : F M M M * * *

229 [ 예제 6.18/p.250] 배행기의속도가 인터보제트기에서흡입되는공기량은 이고, 연소되는연료의양은 이다. 이때추진력이 일때배기가스의분사속도는얼마인가? * F V V TEXT ERROR! [ 예제 6.19/p.250] 비행기가공기와연료의비율을 20:1 로소모하면서후미분출구로 로가스를분출하고있다. 비행속도가 일때기계적인효율을계산하라. * * 연료량을무시할경우

230 7 장층류유동 (laminar flow)

231 7.1 개론 (p.267) 층류유동 * 유체입자가유적선을그리며유동할때서로다른유선을가로지르지않고자기유선을따라유동하는유체입자의흐름 * 매우낮은유속에서볼수있는현상 * 점성력 (viscous force) 이관성력 (inertia force) 을충분히이길수있는상태에서발생

232 7.2 수평원형관내의층류유동 (p.268) 완전전개영역, 완전발달영역 (fully developed region) : > 입구길이 (entrance length) : ( 100 for 2,000) : ( 25 for 100,000)

233 Hagen-Poiseulli 법칙 * 원형관입구로부터거리가충분히떨어져있어한단면의속도분포가일정한영역 ( 완전전개영역 fully developed region) 을생각하자. * 반경두께가 이고길이가 인작은환형관을검사체적으로설정하고힘의평형을적용한다. 이때한단면에서압력은일정하다고가정한다 ( ). :

234 * 속도분포는축대칭이고, 따라서 에서변곡점을가지므로 이고 임을적용하면 이다. * 그리고뉴턴의점성법칙으로부터 의식을적용하면다음을얻는다. : * 경계조건 at 적용하면다음을얻는다

235 * 검사체적을흐르는유동율 를구하여적분하면원형관단면을흐르는유량 를유도할수있다. : ( Hagen-Poiseuille 법칙 ) * 이유량 를사용하여평균속도 를다음과같이구할수있다. : * 속도분포식을사용하면최대속도 max 를다음과같이평균속도의 2 배인것을알수있다. : max

236 Ÿ Navier-Stokes 식에서유도 ( ) * 원통좌표계에서의속도 를사용하여연속방정식및 N-S 방정식을사용한다. * 먼저원형관유동은축대칭이고정상유동이므로다음이성립한다. : : * 완전전개된영역이므로 방향의속도성분 만존재한다. : : * 연속방정식 에위의식을적용하면다음을얻는다. : * 또한 이므로 는 만의함수이다. 즉, :

237 * 이상의고찰을 N-S 방정식에적용한다. : : :

238 * 중력의영향을무시하면, 이되고, 또한축대칭으로 이므로 이고, 따라서 N-S 방정식은다음과같이정리된다. : * 축대칭조건으로부터얻어지는 적용하면 이다. * 표시의편의상, 로치환하면힘의평형으로얻은식과동일하다

239 7.3 경사진원형관내의층류유동 (p.271) * 반경두께, 길이 의검사체적을생각하자. * 경사가있으므로유체의자중 ( 중력 ) 을고려하여야하며, 자중은연직하방으로 의크기로작용하고, 방향으로작용하는분력은 sin 가된다. * 이검사체적에힘의평형을적용하면다음을얻는다. : sin sin sin sin * 속도분포는축대칭이고, 따라서 에서변곡점을가지므로 이고 임을적용하면 이다. * 뉴턴의점성법칙으로부터 의식을적용하면다음을얻는다. ( 이므로 )

240 : sin sin * 경계조건 at 적용하면다음을얻는다. : sin * 여기서 sin 을대입하여위의식을고쳐쓰면 : * 검사체적을흐르는유동율 를구하고적분하면원형관단면을흐르는유량율 를유도할수있다. : ( 압력에너지 + 위치에너지 ) 합의기울기정도에따라유동율이결정됨!!! [H.W.] Navier-Stokes 식에서유도

241 [ 예제 7.1/p.273] 점성계수가 이고밀도가 인기름이지름 이고길이가 인 관내를유동하고있다. (a) 이관이수평으로놓여있을때유량이 가되기위해서는관로입구와출구의압력차이는얼마가 되어야하는가? (b) 또입구와출구의압력이 라고하면 (a) 에서와동일한유량을유동시키기위해서는관료가얼마의경사각도로 설치되어야하는가? (a) (b) sin sin sin TEXT ERROR

242 [ 예제 7.2/p.274] 원형관내에비중량, 점성계수 인유체가유동하고있다. 유동방향, 유량, Reynolds 수를구하라. > 유동방향 : * * > 유량 단면 (2) 에서단면 (1) 로유동 : > Reynolds 수 :

243 [ 예제 7.3/p.275] 경사진원형관을통해, 인기름을유동시키기위하여입구 (1) 과출구 (2) 에 각각 의압력이작용하고있다. 정상층류유동으로가정하여유동방향을결정하고, (1) 과 (2) 사이에서발생하는손실압력수두, 유량, 유속, Reynolds 수를구하라. > 유동방향 : * * sin 단면 (1) 에서단면 (2) 로유동 > 손실압력수두 : > 유량 : > 유속 : > Reynolds 수 :

244 7.4 평행평판사이의층류유동 수평고정평행평판 * 고정된평행한두평판사이의정상층류유동에대해고찰한다. *, 인완전전개유동을가정한다. * 거리, 두께, 길이 유동폭 인검사체적을생각하고, 힘의평형을적용하면다음을얻는다. : * 경계조건, 적용하여적분하면 ;

245 * 따라서최대속도는다음과같다. max * 한편유량율은다음과같이구해진다. * 유량율을사용하여평균속도를다음과같이얻을수있다. max

246 응용 : 좁은환형관 * 의경우, 평행평판의 를 로치환하여평행평판의식을근사적으로사용할수있다. 즉, [ 예제 7.4/p.279] 유압기계가 55 에서게이지압력 로작동하고있다. 여기서사용된기름의비중과점도는, 이고, 피스톤의지름과길이는각각, 이며, 피스톤과실린더벽간의간격은 이다. 압력이낮은측의게이지압력이 일때누설되는기름의양을구하라. > 환형관유동을평판사이유동으로가정 ( ) :

247 수평이동평행평판 * 윗평판이 의속도로이동하고아래평판은고정되어있는경우를고찰한다. * 힘의평형은수평고정평판과동일하며, 다만속도에대한경계조건만상이하다. 즉, : * 경계조건, 적용하여적분한다. * 따라서유량율은다음과같이얻어진다. * 이유동에서 인경우를 Coutte flow라한다. : : 선형속도분포

248 경사고정평행평판 * 수평고정경사평판에서 body force 를추가로고려한다. 즉, : sin sin

249 sin 2015 년 2 학기유체역학 ( 배주찬 ) * sin 이므로 * 경계조건, 적용하여적분한다. * 속도분포를사용하여유량율을구하면다음과같다

250 경사이동평행평판 * 윗평판이 의속도로이동하고아래평판은고정되어있는경우를고찰한다. * 힘의평형은경사고정평판과동일하며, 다만속도에대한경계조건만상이하다. 즉, sin * 경계조건, 적용하여적분한다

251 [ 예제 7.5/p.284] 컨베어벨트장치를바다표면의기름과같은오염물질을끌어올리기위하여배에설치하였다. 먼저, 본장치를작동하여무한히끌어올릴수있을만큼기름이바다표면에두껍게깔려있다고가정하고, 벨트는정상속도 로 운동하며, 균일한기름의두께를유지하며끌어올린다고가정한다. 여기에서 와 를항으로하는벨트의단위폭에대한기름의운반량을구하라. 단기름의점성과비중량은각각 라한다. > 그림에서힘의평형방정식을세워유도 ; ( 좌표계는그림과같이설정 ) : sin sin sin * 뉴턴의점성법칙적용 sin sin * 경계조건, 적용 sin

252 * 속도를면적에대해적분 : sin sin * 는 의함수이며 일때최대유량을가짐. : max sin when sin

253 [ 예제 7.6/p.285] 한쪽평판이운동을하고있다. 속도분포식과유량및판에발생하는전단응력을구하라. 단유체의점성계수, 밀도는 이다. > 경사이동평판에대한속도및유량에대한식적용 > : : * (1) 과 (2) 에서의압력수두의기울기 tan : cos > 속도분포 : > 유량 : > 전단응력 :

254 [ 예제 7.7/p.287] 비압축성점성뉴턴유체가정상층류유동을하고있으며, 수직벽면을따라균일한두께 로흘러내리고 있다. 유체가대기에접해있으며압력기울기가없을때속도분포식을구하라. > 그림에서힘의평형방정식을구하고뉴턴의점성법칙을적용 * 방향의단위깊이당힘의평형방정식적용 ( 압력기울기가없음에유의 ) : * 뉴턴의점성법칙적용 * 경계조건, 적용

255 7.5 Stokes 법칙 * 전단력 관성력인유동에서관성력을무시할수있는유동을 creeping flow 라한다. * creeping flow 가되기위해서는 이어야한다. * 球주위의유동이 creeping flow 일때그항력은다음과같이표시된다. Stokes law where : 정지유체에대한구의속도 : 구의직경

256 끝