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3 프로그램개요 1. 주제소개본프로그램은중학교 1학년의자유학기제에서프로젝트협동학습과문제해결학습으로진행할수있는융합교육프로그램이다. 중학교수학에서다루는정수, 유리수, 무리수, 실수와 2015개정교육과정에서초등학교급에서중학교과정으로이동한분수 ( 유리수 ) 의사칙연산에대한이해를도모할수있도록, 각수들과이들의연산에서나타나는관계를탐구하여반복적으로나타나는규칙 ( 패턴 ) 을귀납적으로찾아보도록하였다. 또한발견한이규칙 ( 패턴 ) 으로학습자들이간단한활동으로자연현상을탐구하고, 색으로표현하거나큐브모형으로직접구성해보는과학활동으로연결하였고, 기술-공학을활용하여시각적으로확인할수있는무늬를만들어보도록하였다. 학습자들이여러가지규칙 ( 패턴 ) 으로만든다양한무늬를배경으로하는의상을디자인함으로써과학, 수학의원리를공학적으로풀어내고, 이를미술적으로표현하는창의적이고융합적인사고력을기를수있다. 본프로그램의내용은중학교교육과정상에제시된내용요소및성취기준을기반으로하여과학, 미술, 수학, 공학의일부내용을선정하였다. 중학교교육과정은자연현상과사물에대하여호기심과흥미를가지고, 교과의핵심개념에대한이해와탐구능력의함양을통하여, 개인과사회의문제를융합적이고창의적으로해결하기위한소양을요구하고있다. 본프로그램의자유학기제적용을통하여중학교학생들은규칙을찾고공학의방법으로, 미술표현방법으로나타내고최종적으로수학 과학을주제로내용을통합하는융합활동을경험할수있다. 2. STEAM 요소 가. 관련교과 과학 : 물질의상태변화 정보 : 문제해결과프로그래밍 미술 : 체험 / 사회 : 사람이만든삶터, 도시 수학 : 도형의닮음 자기닮음의프랙탈도시탐구 1

4 나. 단계요소 본프로그램의진행단계는자기닮음의프랙탈도시라는주제하에크게현장수업적용의효과성을위하여 2영역의 7개차시로구성되어있다. 제 1영역인눈송이모델링은자기닮음도형의일종인코흐눈송이를공학적소재를통해만들어보는활동에서과학교과의내용인물질의상태를도입하여프로그램을전개하고있다. 제 2영역인프랙탈도시만들기에서는자기닮음의성질과엑셀의 3차원차트기능을활용하여도시모형을구성하거나주어진도시모형에서모델링한수치로표현하는활동을전개하고있다. 숫자들을일정한규칙에따라그림으로나타내는활동과본프로그램의주활동중에하나인규칙을추측하는활동은학생들의미적감각을발현할수있는좋은기회와함께귀납적 실험적사고를기를수있는좋은계기가될것이다. 상황제시 - 먼저상황제시를통해학습동기와학습목표를인식하게하였으며자기닮음도형 (1 차시 ) 을주제로문제로의접근을시도했다. 창의적설계 - 창의적설계및제작과정 ( 개념형성 ) 에서는 내안에나있다 (2차시), 자기닮음도형만들기 (3차시), 물분자모양만들기 (4차시), 내안에내가또있다 (5차시), 내안의나를확장하기 (6차시) 수업을통해감성적체험과정의산출물을만들기위해높은수준의개념과과학적방법, 아이디어를갖을수있도록했다. 감성적체험 - 감성적체험단계에서는자기닮음도형을이용하여프랙탈도시만들기 (7차시) 로창의적인팀프로젝트산출물을만들도록했다. 이단계에서는감성적체험 ( 지적인희열 ) 을통해작은성공의기회를갖게했다. 2 자기닮음의프렉탈도시탐구

5 3. 차시구성 구분 소요시간 수업개요 ( 학생활동내용 ) [ 도형의닮음과자기닮음 ] 학습목표 렌즈의원 관련교과성취기준 과학 평가 관찰평가 준비물볼록렌즈, 대상의확대와축소 리탐구를통 [9 과 06-03] 여러가 - 사진기와 오목렌즈, 1 차시 준비 20 - 렌즈의원리탐구를통해 사진기와 현미경의 원리를 이해한다. 닮음의성질 - 확대와축소에따른도형의 닮음을이해한다. - 닮음도형의중심을탐구하 고도형의닮음조건을스스 해사진기와현미경의원 리를이해할수있다. 닮음도형의중심을탐구하고도형의닮 지거울과렌즈를통 해나타나는상을관 찰하여상의특징을비교하고, 평면거울에서상이생기는원리를설명할수있다. 현미경의원리를탐구하는토의활동의참여를관찰한다. 수행평가 사진기, 간단한현미경, 자연속의거미줄, 닮음도형교구 수업 45 로알아낸다. 실생활문제의해결 ( 감성체험 ) - 사진기의렌즈원리를실생활에적용해보고, 거미줄의닮음도형성질을탐구한다. [ 내안에나있다!] 음조건을말수있다. 거미줄의 닮음도형성 질을설명할수있다 자연에서 수학 [9수04-13] 도형의닮음의의미와닮은도형의성질을이해한다. 수학 -닮음도형의중심탐구와거미줄의닮음도형탐구과정을평가한다. 관찰평가 PC 또는 자연에서찾는자기닮음 자기닮음무 [9 수 04-13] 도형의 - 자연에서나 스마트폰, 준비 10 - 자연에서나이테와지층, 무지개, 나뭇잎, 앵무조개, 해안 늬를관찰하고그특징을 닮음의의미와닮은도형의성질을이해 이테, 앵무조개등반복 나이테사진, 선등의반복무늬를관찰한 설명할수있 한다. 무늬를관찰 지층사 다. 다. 미술 하는과정을 진, 무 시어핀스키삼각형에서규칙 시어핀스키 [6 미 02-04] 조형원 평가한다. 지개사 찾기 삼각형에서 리 ( 비례, 강조, 반복, 수행평가 진, 나 2 차시 - 자기닮음도형인시어핀스키 자기 닮음의 통일, 균형, 대비, 대 - 시어핀스 뭇잎, 삼각형이만들어지는원리를찾 원리를 설명 칭, 변화등 ) 의특징 삼각형의원 앵무조 수업 45 아본다. 다양한자기닮음도형만들기 할수있다. 나만의다 을탐색하고, 표현의도에적합하게활용 리탐구와자기만의닮 개샘플, 해안선 ( 감성체험 ) 양한자기닮 할수있다. 음 도형을 지도등 - 다양한자기닮음도형만들어 음도형을만 창의적으로 보고그원리를발표한다. 들수있다. 만들어보는 과정을평가 한다. 자기닮음의프랙탈도시탐구 3

6 구분 소요시간준비 10 수업개요 ( 학생활동내용 ) [Fractal Tool 를이용한자기닮음도형만들기 ] 학습목표 자기닮음 도형의표현 관련교과성취기준 정보 [9정03-01] 실생활 평가 수행평가 -Fr act al 준비물 Fractal Tool, NCTM TOOLS 에대해서 알아 도구인 문제상황에서문제 Tool 을이용 PC 또는 보기 Fractal Tool 의현재상태, 목표 하여각자의 스마트폰 - 자기닮음도형의표현도구 의 사용법을 상태를이해하고목 방식과규칙 인 Fractal Tool 에대해조사하 배워서 적용 표상태에도달하기 대로자기만 고알아본다. 할수있다. 위해수행해야할 의닮음도 다양한자기닮음도형 만들 F r a c t a l 작업을분석한다. 형을만드는 3 차시 수업 45 기 - 자기닮음도형의표현도 Tool 을이용하여각자의 미술 [9 미 01-04] 미술과 과정을평가한다. 구인 Fractal Tool 의사용법 방식과 규칙 다양한분야의융합 을배워서적용해본다. 대로자기닮 방안을모색할수 자신만의자기닮음도형만들 음도형을만 있다. 기 ( 감성체험 ) 들수있다. - Fractal Tool 을이용하여각 자의방식과규칙대로자기닮음 도형을만들어본다. [ 고체상태의물분자모양만들기 ] 물질의 상 과학 수행평가 물질의 물질의상태 태변화를분 [9 과 05-02] 여러가 - 물질의상 상태변 준비 10 - 물질의상태변화를분자 자 모형으로 지물질의상태변 태 변화를 화탐구 모형으로설명할수있는탐 설명할수있 화를관찰하고, 상 분자모형으 자료, 분 구활동을실시한다. 다. 태변화시나타나 로 설명할 자모형, NCTM TOOLS 로자기닮음 F r a c t a l 는현상을입자모 수 있는지 Fractal 도형 ( 코흐의눈송이 ) 만들기 Tool 로 자기 형으로설명할수 평가한다. Tool, 4 차시 - Fractal Tool 로코흐의눈송이모양들을만들어본다. 만의여러형태의눈송이 있다. 정보 -Fr act al Tool 로여러 PC 또는스마트폰 나만의자기닮음도형만들기 모양을 만들 [9 정 03-01] 실생활 형태의눈송 수업 45 ( 감성체험 ) 어보고, 그만 문제상황에서문제 이모양들을 - Fractal Tool 로여러형태의 든방법을설 의현재상태, 목표 만드는과정 눈송이모양들을만들어보고, 명할수있다. 상태를이해하고목 을평가한다. 만든방법을설명할수있게 표상태에도달하기 한다. 위해수행해야할 작업을분석한다. 4 자기닮음의프렉탈도시탐구

7 구분 소요시간준비 10 수업개요 ( 학생활동내용 ) [ 내안에내가또있다!] 두개의표에서관계알아보기 학습목표 관련된두 자료를분석 관련교과성취기준 과학 [9과24-02] 과학을 평가 수행평가 -두자료를 준비물관련성과규칙 - 제시된두자료의관련성과 하여그규칙 활용하여우리생활 비교하고분 을갖고 규칙을탐구한다. 을말할수 을보다편리하게 석하여 그 있는자 규칙을적용해서다양한디자 있다. 만드는방안을고안 관련성과규 료제시, 인만들기 원리와 규 하고그유용성에 칙을 찾는 Fractal - 규칙을적용해서다양한디자 칙을 이용하 대해토론할수있 과정을평가 Tool, 5 차시 수업 45 인을만들기만들어본다. 내안에내가또있다 ( 감성체험 ) 여자신만의 다양한디자 다. 정보 한다. -자신만의디 PC 또는스마트폰 - 내안에나있다 의규칙을 인을만들수 [9 정 03-01] 실생활 자인을 만들 이용해서다양한디자인을만들 있고, 이를설 문제상황에서문제 고, 그원리 고그원리를설명할수있다. 명할수있다. 의현재상태, 목표 와규칙을설 상태를이해하고목 명하는 과정 표상태에도달하기 을평가한다. 위해수행해야할 [ 내안의나를확장하기 ] 관련된 세 작업을분석한다. 과학 수행평가 관련성 세개의표에서관계알아보기 자료를 제시 [9 과 24-02] 과학을 - 세자료를 과규칙 준비 10 - 제시된세자료의관련성과규칙을탐구한다. 하여그규칙과원리를탐 활용하여우리생활을보다편리하게 비교하고분석하여 을갖고있는자 규칙적인패턴찾기 구할수있도 만드는방안을고안 그 관련성 료제시 - 규칙을적용해서다양한디자 록한다. 하고그유용성에 과 규칙을 ( 3 가지 인을만들기만들어본다. 원리와 규 대해토론할수있 찾는 과정 자료 ), 6 차시 내안의나확장하기 ( 감성적체험 ) 칙을이용하 여자신만의 다. 정보 을다. 평가한 Fractal Tool, - 규칙을이용해서다양한디 다양한 디자 [9 정 03-01] 실생활 - 자신만의 PC 또는 수업 45 자인을만들고그원리를설명할수있다. 인을만들수있고, 세포설 문제상황에서문제의현재상태, 목표 디자인을만들고, 그 스마트폰 - 과학자피르호가모든세포 을자기닮음 상태를이해하고목 규칙을 설 는세포에서생성된다 ( 세포설 ) 원리로 설명 표상태에도달하기 명하는 과 는주장을자기닮음도형의 할수있다. 위해수행해야할 정을 평가 원리로설명해보자. 작업을분석한다. 한다. 자기닮음의프랙탈도시탐구 5

8 구분 소요시간 준비 10 수업개요 ( 학생활동내용 ) [ 프랙탈도시만들기 ] 세개의표에서관계알아보기 학습목표 관련된세 자료를제시 관련교과성취기준 과학 [9과24-02] 과학을 평가 수행평가 -세자료를 준비물관련성과규칙 - 세개의제시된자료를분 하여그규칙 활용하여우리생활 비교하고 을갖고 석하여그규칙을탐구한다. 을말할수 을보다편리하게 분석하여 있는자 규칙을적용하여입체로만들기 있다. 만드는방안을고안 그 관련성 료제시 - 세개의제시된자료에서 원리와 규 하고그유용성에 과 규칙을 ( 3 가지 찾은규칙을적용하여입체로 칙을 이용하 대해토론할수있 찾는 과정 자료 ), 만들어본다. 여입체모양 다. 을 평가한 Fractal 프렉탈도시만들기 ( 감성적체험 ) 을 디자인하 정보 : 엑셀활용 다. Tool, - 자신만의프렉탈도시를만 고만들수 [9 정 03-01] 실생활 - 자신만의 PC 또는 들어본다. 있다. 문제상황에서문제 디자인으로 스마트폰 7 차시 수업 45 자신만의프렉탈도시 의현재상태, 목표상태를이해하고목 입체를들고, 만그 를 구안하고 표상태에도달하기 규칙을 설 만들수있다. 위해수행해야할 명하는 과 작업을분석한다. 정을 평가 사회 한다. [9 사 ( 지리 )08-01] 세 - 자신만의 계적으로 유명하거 플렉탈 도 나매력적인도시의 시를 설계 위치와특징을조사 하고 만드 한다. 는 과정을 평가한다. 4. 교육과정분석및평가계획 가. 교육과정분석수학 ( 수학과교육과정에서닮음도형, 프랙탈 ) 과정보 ( 정보과교육과정에서문제해결과프로그래밍 ), 예술 ( 미술과교육과정에서자신과주변대상, 환경, 현상의관계를탐색 ), 과학, 기술 가정교과의내용을수평적, 수직적으로융합하여교육프로그램으로제시하고자하였다. 과학 : [9과05-02] 여러가지물질의상태변화를관찰하고, 상태변화시나타나는현상을입자모형으로설명할수있다. [9과06-03] 여러가지거울과렌즈를통해나타나는상을관찰하여상의특징을비교하고, 평면거울에서상이생기는원리를설명할수있다. 6 자기닮음의프렉탈도시탐구

9 [9과24-02] 과학을활용하여우리생활을보다편리하게만드는방안을고안하고그유용성에대해토론할수있다. 수학 : [9수04-13] 도형의닮음의의미와닮은도형의성질을이해한다. 미술 : [9미01-04] 미술과다양한분야의융합방안을모색할수있다. 정보 : [9정03-01] 실생활문제상황에서문제의현재상태, 목표상태를이해하고목표상태에도달하기위해수행해야할작업을분석한다. 사회 : [9사( 지리 )08-01] 세계적으로유명하거나매력적인도시의위치와특징을조사한다. 나. 평가계획 연번 평가기준 평가방법 1 각행에서나타나는패턴을찾을수있는가? 관찰평가 2 행과열의차를이용하여규칙적인무늬를표현하는가? 수행평가 3 세수의합을이용한디자인을할수있는가? 관찰평가 4 적극적인자세로활동에참여하는가? 자기평가 5. 학생생활기록부예시자료 교과학생생활기록부기재예시자료기재상황예시 과학 수학 정보 여러가지물질의상태변화를관찰하고, 상태변화시나타나는현 상을입자모형으로설명할수있음. 과학을활용하여우리생활을보다편리하게만드는방안을고안하 고그유용성에대해토론함. 자연관찰에흥미가많고실험기구를능숙하게잘다루고주위현 상에대하여흥미와호기심이많으며탐구능력이우수함. 도형의닮음의의미와닮은도형의성질을이해함 규칙과패턴을찾는능력이뛰어나고귀납적사고능력이탁월함. 실생활문제상황에서문제의현재상태, 목표상태를이해하고목 표상태에도달하기위해수행해야할작업을분석하며작품제작 활동에열정적임 탐구활동수행중에서유의미한결과를발견한경우뛰어난성취를보이거나스스로원리를발견한경우여러가지제작활동에적극적으로참여할경우 자기닮음의프랙탈도시탐구 7

10 자기닮음의프랙탈도시탐구 아름다운프랙탈도시를구성하여서로스토리텔링할수있다. 대상의확대와축소에대해서설명할수있다. 자연에서자기닮음과관련된내용을찾아서말할수있다. NCTM TOOLS를이용하여나만의눈을만들수있다. 도시에서자기닮음성질을찾을수있다. 아름다운도시를자연의자기닮음성질을이용하여설계할수있다. 8 자기닮음의프렉탈도시탐구

11 나무로만든러시아전통인형인마트로시카 (Matriochka) 는인형몸체속에조금더작은또다른닮은인형이들어가있는상자구조로되어있다. 즉, 큰인형안에직은다른닮은인형들이있는마트로시카는하나가닮은여러개로번져나가는형태를통해 다산과풍요 를상징하고있으며, 오늘날에는 끊임없이이어지는행운 을상징하는인형으로여겨진다. 마트로시카와같은자기닮음의형태는고사리와같은식물의잎이나하늘에서내리는눈의결정모양과같은자연현상에서도찾을수있다. 즉, 정육각형모양으로이루어진눈의결정은잘게쪼개도정육각형모양으로구성되어있다. 이와같이부분과전체가닮음모양을하고있는것을프랙탈이라고부른다. 1970년대수학자만델브로트에의해프랙탈의개념이도입된후, 프랙탈의어느부분을확대해도전체와닮은성질인자기유사성과이성질이무한히반복되는것을의미하는순환성이라는속성은자연계많은대상에서나타나며더나아가프랙탈개념이그것들을분석하는도구로서떠오르고있다. 예를들어, 프랙탈차원은소수차원의개념으로프랙탈도형이얼마나복잡한가를나타내주는것으로도형이공간을복잡하게채워갈수록차원이높아지게된다. 간단한프랙탈도형인시어핀스키삼각형은삼각형의각변의중점을서로연결하여네개의작은삼각형으로나눈뒤에가운데있는작은삼각형을지우는과정을되풀이하는도형이고, 아래의코흐곡선은정삼각형의각변을삼등분한뒤에가운데조각을한변으로하는정삼각형을그리는과정을되풀이하는도형으로눈송이의모양이나울퉁불퉁한해안선의모습을나타내기도한다. 시어핀스키삼각형 코흐곡선 자기닮음의프랙탈도시탐구 9

12 Ⅰ 도형의닮음과자기닮음도형 생각열기 대상의확대와축소 생각펼치기 확대와축소에따른도형의닮음 생각다지기 실생활문제의해결 10 자기닮음의프렉탈도시탐구

13 1. 눈송이모델링 1 차시도형의닮음과자기닮음도형 생각열기대상의확대와축소 다음그림을보고, 물음에답해보자. [ 그림 1] 볼록렌즈 [ 그림 2] 오목렌즈 렌즈는빛의굴절을이용한도구로렌즈의모양에따라 [ 그림 1] 과같은볼록렌즈와 [ 그림 2] 와같은오목렌즈로구분한다. 이두렌즈의개략적인모양, 상의모습, 특징에대해서 간단히설명해보자. [ 풀이 ] 모양상의모습특징 볼록렌즈 렌즈의가장자리보다가운데부분이두껍다. 멀리에서보면실제보다작으며거꾸로선상이다. 가까이에서보면실제보다크고바로선상이다. 평행하게광축에들어온빛을한점에모으는특징이있다. 오목거울과성질이비슷하다. 원시교정용안경, 굴절망원경, 현미경등에이용한다. 오목렌즈 렌즈의가운데부분보다가장자리가두껍다. 위치에관계없이실제보다작으며바로선상이다. 평행하게광축에들어온빛을퍼지게하는특징이있다. 볼록거울과성질이비슷하다. 근시교정용안경등에이용한다. 자기닮음의프랙탈도시탐구 11

14 사진기를이용하면실제대상인물체를축소해서보여준다. [ 그림 1] 과같은볼록렌즈를 사용하는사진기의렌즈에의한상의작도원리를말해보자. [ 풀이 ] 광축에나란하게입사한빛은렌즈를통과한후에초점을지난다. 그렇지만, 렌즈중앙을향해입사한빛은그대로직진한다. 그리고렌즈의초점을향해입사한빛은렌즈를통과하여굴절한후에광축에평행하게나아간다. 사진기와는다르게현미경을이용하면작은세포를적당한크기로확대해볼수있다. 그렇지만, 사진기와같이 [ 그림 1] 과같은볼록렌즈를사용하는현미경은초점거리가짧은대물렌즈를물체가까이에두고대상을 1차로확대한뒤이상을다시접안렌즈로확대하는원리이다. 현미경을사용하여잎의단면에서각세포의모양과배열된모습을간단히말해보자. [ 풀이 ] 얇고납작한세포가위아래가장자리에서표피를이루고있다. 위쪽표피의아래에는길쭉한모양의초록색을띤세포가배열되어있으며, 그아래에는역시초록색을띤세포가불규칙하게배열되어있다. 잎의중앙에는원형으로된여러개의관이모인잎맥이있다. 12 자기닮음의프렉탈도시탐구

15 생각펼치기 확대와축소에따른도형의닮음 다음그림을보고, 물음에답해보자. 한도형을확대또는축소하면모양은같지만크기가다른닮은도형을그릴수있다. 예를들어 [ 그림 1] 에서정사각형사각형ABCD는다른사각형 EFGH를 2배만큼확대한것으로서로닮은도형이다. 서로닮은도형인사각형ABCD와사각형EFGH에서대응하는선분의길이의비인닮음비는 : 이다. 또한, 이때, 닮음두도형은대응하는선분의길이의비는일정하고, 대응하는각의크기는서로같다. [ 그림 1] 사각형 ABCD ~ 사각형 EFGH 다음두사면체는서로닮은도형이다. 닮음비를구 하고, 입체도형의닮음성질에대해서말해보자. [ 풀이 ] 평면도형과같이입체도형에서도일정한비율로확대또는축소하여모양은같지만크기가다른두도형을서로닮은도형이라고한다. 두닮은입체도형에서는대응하는모서리의길이의비는닮음비로일정하고, 대응하는면은서로닮은도형인성질을갖는다. 또한, 그림에서두사면체의닮은비는 1:2이다. 다음두닮음도형에서닮음의중심을찾아보고, 닮음의 중심에대해서알아보자. 자기닮음의프랙탈도시탐구 13

16 [ 풀이 ] 그림과같이두닮은도형의대응점끼리이은직선이모두한점 O를지나고, 이점 O 에서두닮은도형의각대응점까지의길이의비가모두같을때, 이들두도형은닮음의위치에있다고한다. 그리고, 점 O를닮음의중심이라고한다. 즉, 어느한점을중심으로닮은두도형중에서어느한도형을일정한비율로확대또는축소하여다른도형을얻을수있을때, 두도형은닮음의위치에있다고하고, 중심이된점을두닮은도형의닮음의중심이라고한다. 그림에서보듯이닮음의중심은닮은도형의밖에있을수도있고, 반대로도형의안에있을수도있다. 삼각형의닮음조건 3 가지를알아보자. [ 풀이 ] 삼각형의모양은세변이나세각의크기중에서일부만알아도하나로결정되는성질 이있다. 즉, 세쌍의대응하는변의길이의비와각의크기를모두비교하지않아도두 삼각형이닮음인지아닌지를알수있다. 이때, 어느두삼각형이닮음이되도록하는 각의크기와변의길이에대한조건을삼각형의닮음조건이라고한다. 약어 그림 설명 SSS 세쌍의대응하는변의길이의비가같으면두삼각형은닮음이다. 즉, 두삼각형와 이조건 을만족하면, 삼각형와 닮음이다 SAS 두쌍의대응하는변의길이의비가같고, 그끼인각의크기가같으면두삼각형은닮음이다. 즉, 두삼각형 와 이조건 이고 을만족하면, 삼각형와 은닮음이다. ASA 두쌍의대응하는각의크기가각각같으면두삼각형은닮음이다. 두삼각형 와 이조건 을만족하면, 삼각형와 닮음이다 14 자기닮음의프렉탈도시탐구

17 생각다지기 실생활문제의해결 다음그림을보고, 물음에답해보자. 세평행선 이임의의다른두직선과만날때, 평행선사이에는성질 이성립한다. 즉, 평행선사이에있는선분의길이의비는같다. ( 기호로표현하면 이면 이다.) [ 그림 1] 선분의길이의비 사진기의렌즈에의한상의작도원리와삼각형의 닮음조건을이용하여사진기렌즈에서학생까지의거 리를구해보자. [ 풀이 ] 렌즈에서양쪽으로만들어진두삼각형은서로닮음이므로, 사진기렌즈에서학생까지의 거리를 라고하면 3:168=5:이다. 따라서, 으로 이다. 다음그림과같이자연계의거미줄에서삼각형모양과평행선을찾을수있다. 거미가사냥과이동등을위해서만드는거미줄에서 AB : BC :일때, A B : B C 를구해보고, 성질에대해서말해보자. [ 풀이 ] 평행선사이에있는선분의길이의비는같다. 따라서, AB : BC : 일때, A B : B C : 이다. 자기닮음의프랙탈도시탐구 15

18 다음그림에서 ABC 의어느두변의중점을찾아연결하고, 이선분과대응하는변과의관계에대해서알아보자. [ 풀이 ] ABC 에서두변 AB, AC 의중점을각각 M, N 이라고하자. 그러면 ABC 와 AMN 에서 AB : AM AC : AN : 이고, A 는공통인각이므로 ABC AMN 이다. 이때, 두닮음삼각형에서대응하는변의길이의비는같으므로 BC MN 이다. 다음그림에서 PQRS 는평행사변형임을증명해보자. ( 단, 점 P, Q, R, S 는변 AB, BC, CD, DA 의중점이다.) [ 풀이 ] ABCD 의대각선 AC 를그으면 ABC 에서점 P, Q 는각각변 AB, BC 의중점이므로, 삼각형의중점연결정리에의하여 P Q // AC, P Q AC 이다. 또한, ACD 에서점 S, R 는각각변 AD, DC 의중점이므로 SR // AC, SR AC 이 다. 즉, PQ // SR, P Q SR 임을알수있다. 따라서사각형 PQRS 는평행사변형이다. 오늘활동을통해서여러분이공부한내용을정리하고, 느낀점을적어봅시다. 오늘의활동 느낌및소감 오늘의활동 느낌및소감 볼록렌즈와오목렌즈에대한이해 확대와축소에따른도형의닮음에대해서알아보는활동 다양한문제해결활동 과학에서배운렌즈에서상의작도원리를실생활상황에적용해 융합적으로문제를해결하는활동이재미있었다. 16 자기닮음의프렉탈도시탐구

19 Ⅱ 내안에나있다! 생각열기 자연에서찾는자기닮음현상 생각펼치기 시어핀스키삼각형에서규칙찾기 생각다지기 다양한자기닮음도형만들기 자기닮음의프랙탈도시탐구 17

20 2 차시내안에나있다! 생각열기 자연에서찾는자기닮음현상 자기닮음 ( 내안에나있다 ) 에대한내용을보고, 다음물음에답해보자. 자연은복잡해보이지만나뭇가지, 식물의잎, 손가락의지문등에서알수있듯이일정한자기닮음의규칙성을지니고반복되는구조를지니고있다. 자기닮음이란미세한부분이번체의모양과유사한형태를가지면서무한히되풀이되는형태를말한다. 눈의결정, 꽃, 조개껍데기등과같은자연의여러현상중에서자기닮음의구조를발견할수있다. 사진은나무단면의나이테를찍은것이다. 사진처럼주변에서볼수있는자연물중에서동일한모습이반복되어무늬를만드는것은어떤것이있는지찾아서발표해보자 ( 집필진촬영자료 ). [ 풀이 ] 예 지층 무지개 반복되는모양과특징 나란한층들이반복되어지층을이룬다. 아치형의모양이반복되어무지개를형성한다. 18 자기닮음의프렉탈도시탐구

21 나뭇잎이 붙어있는 세 종류의 사진을 비교하여 그 차이점을 써보자(집필진 촬영 자료). 가. 아카시아 나. 향천 다. 고사리 [풀이] 아카시아는 잎 가장자리가 둥글고 줄기의 양쪽에 하나의 잎들이 마주보며 붙어있지만 향천이나 고사리는 줄기에 또 다른 줄기가 마주보며 붙어있고 그 줄기에 잎들이 붙어있 는데 전체 모습과 하나의 잎 모습이 유사하다 주변의 자연물이나 현상 중에서 자기 닮음의 성질을 가지는 것들을 찾아서 발표해 보자. [풀이] 예 닮음의 모양과 특징 구름 커다란 뭉게구름은 자세히 보면 작은 물방울들이 뭉쳐져 있음. 번개 불규칙하게 뻗어가는 번개는 자세히 봐도 불규칙한 모양이 반복됨 눈 결정 고사리 잎 육각형의 눈 결정은 자세히 보면 모서리가 불규칙함 고사리 잎은 뾰족한 돌기들이 잎 가장자리에 나있으며 전체적으로 도 뾰족한 모습이 반복됨 자기 닮음의 프랙탈 도시 탐구 19

22 사진은앵무조개의외형과단면의모습이다. 어떤모양이반복되는지설명해보자 ( 집필진촬 영자료 ). [ 풀이 ] 시계반대방향으로나선을그리는모습이계속반복된다. 사진은우리나라서해안갯벌에나타난물길을인공위성에서찍은것이다. 왼쪽의사진과 왼쪽한부분을확대한오른쪽사진을비교하여그모습을설명해보자 ( 구글지도검색자료 ). 확대 [ 풀이 ] 왼쪽사진의물길모습이오른쪽확대한사진에도비슷하게나타난다. 20 자기닮음의프렉탈도시탐구

23 생각펼치기 시어핀스키삼각형에서규칙찾기 자기닮음도형인시어핀스키삼각형에대해서알아보고, 각단계가만들어지는원 리를찾아보자. 0 단계 1 단계 2 단계 3 단계 자기닮음의성질을지닌시어핀스키삼각형에서단계별로만들어지는작은색칠된삼각형 들의개수를생각해보자. 단계 개수 1 [ 풀이 ] 각변의중점을이어서삼각형을만드는규칙이다. 단계 개수 시어핀스키삼각형에서단계별로만들어지는색칠된작은삼각형한개의넓이를생각해 보자. 단계 한개의넓이 1 자기닮음의프랙탈도시탐구 21

24 [ 풀이 ] 각단계마다서로닮은두삼각형의닮음비는 1:2 이므로, 넓이비는 1:4 이다. 단계 개수 1 시어핀스키삼각형에서단계별로만들어지는작은삼각형의개수와한개의넓이를이용해 단계별색칠된전체작은삼각형들의넓이의합을생각해보자. 단계 개수 1 한개의넓이 1 단계별넓이합 1 [ 풀이 ] 단계별로만들어지는작은삼각형의개수와한개의넓이를곱하면색칠된전체 작은삼각형들의넓이의합을구할수있다. 단계 개수 한개의넓이 1 단계별넓이합 1 다음도형의 0 단계에서 1 단계에적용된규칙을말해보고, 2 단계와 3 단계를만들어보자. 0 단계 1 단계 2 단계 3 단계 22 자기닮음의프렉탈도시탐구

25 [ 풀이 ] 각단계에서정사각형의한변의길이는이전단계에서한정사각형의변의길 이를 3 등분한것이다. 0 단계 1 단계 2 단계 3 단계 위의도형에서단계별로만들어지는작은색칠된사각형들의개수를생각해보자. 단계 개수 1 [ 풀이 ] 단계 개수 위의도형에서단계별로만들어지는색칠된작은사각형한개의넓이를생각해보자. 단계 한개의넓이 1 [ 풀이 ] 단계 개수 1 자기닮음의프랙탈도시탐구 23

26 위의도형에서단계별로만들어지는작은사각형의개수와한개의넓이를이용해단계별 색칠된전체작은사각형들의넓이의합을생각해보자. 단계 개수 1 한개의넓이 1 단계별넓이합 [ 풀이 ] 단계별로만들어지는작은정사각형의개수와한개의넓이를곱하면색칠된전 체작은정사각형들의넓이의합을구할수있다. 단계 개수 한개의넓이 1 단계별넓이합 1 24 자기닮음의프렉탈도시탐구

27 생각다지기 다양한자기닮음도형만들기 자기닮음의성질을이용하여 0 단계의정사각형에서각자의방식과규칙대로자기닮음도 형을만들고, 아래에만든방식과규칙을쓰고그림으로나타내보자. 0 단계 1 단계 2 단계 3 단계 [ 풀이 ] 각단계에서정사각형의각변을 3 등분하여다음단계의작은정사각형들을만드 는규칙이다. 즉, 다음과같은자기닮음도형을만들수있다. 0 단계 1 단계 2 단계 3 단계 본인이만든자기닮음도형을보면서단계별개수를생각해보고, 아래의표에나타내보자. 단계 개수 1 [ 풀이 ] 단계 개수 자기닮음의프랙탈도시탐구 25

28 본인이만든자기닮음도형을보면서단계별도형한개의넓이를생각해보고, 아래의표 에나타내보자. 단계 한개의넓이 1 [ 풀이 ] 단계 개수 1 본인이만든자기닮음도형을보면서단계별작은도형의개수와한개의넓이를이용해 단계별색칠된전체작은도형의넓이를생각해보고, 아래의표에나타내보자. 단계 개수 1 한개의넓이 1 단계별넓이합 [ 풀이 ] 단계별로만들어지는작은정사각형들의합은전체의넓이와같다. 따라서각단 계의정사각형들의넓이의합은모두 1 이다. 단계 개수 한개의넓이 1 단계별넓이합 1 26 자기닮음의프렉탈도시탐구

29 오늘활동을통해서여러분이공부한내용을정리하고, 느낀점을적어보자. 오늘의활동 느낌및소감 오늘의활동 느낌및소감 자연에서찾는자기닮음 ( 내안에나있다 ) 현상에대한이해 시어핀스키삼각형에대해서알아보는활동 자신만의자기닮음도형을만드는활동 자연에도자기닮음현상을찾을수있고, 이를수학적으로탐색할 수있다는것에서융합적사고를할수있었다. [ 읽고생각하기 ] 인체에서도프랙탈원리가발견되다! 프랙탈이자연뿐만아니라인체에서도발견되고있다. 파킨슨병환자의불안정한걸음걸이, 심장의불규칙한박동, 그리고우울증환자의뇌파가프랙탈구조를갖고있어서조만간프랙탈은인체질환의조기진단과치료에활발히활용될전망이다. 최근파킨슨병환자들의걷는양상을프랙탈모델로분석할수있는휴대용기기를만들고그연구내용을미국 신경공학지 온라인판에게재했다. 파킨슨병환자의특이한보법을분석한결과몇분동안관찰한걸 < 심장의구조프랙탈모형 > 음걸이양상이하루종일관찰한양상과유사하다는, 즉프랙탈패턴이관찰된다는점은이미알려져있었다. 연구진은환자의몸에센서를부착해걷는속도와보폭등에관한데이터를모으고이를컴퓨터로분석하는장치를개발했다. 또불규칙한정도에따라값이증가하는프랙탈지수를걸음걸이에대해계산했다. 그결과파킨슨병환자의경우이지수가 1.48로, 1.3의값을갖는정상인에비해높게나타났다. 이연구결과를이용하면환자들의증세가심해지는정도를객관적인수치로표시할수있다. 이에따라약을투여할시간을조절할수있어약복용에따른부작용을줄이는데도움을줄전망이다. 참고 : LG사이언스랜드, 자기닮음의프랙탈도시탐구 27

30 [ 고사리의자기닮음탐구 1) ] 양치식물중고사리는눈으로보기에도놀라울정도로확연히자기닮음을띠고있다. 눈으로만고사리의자기닮음을확인하는데그치지않고직접고사리잎을따와서프랙탈차원을구해보자. 1. 고사리잎의채취및프랙탈차원산정을위한가정여러가지의다양한크기의고사리를채취하여고사리의잎을관찰한결과고사리중앙부분의가지가먼저자라고중앙부분이어느정도자라난뒤곁가지들이밑에서부터자라남을알수있다. 2. 고사리의길이비, 개수비의측정을통한프랙탈차원의산정프랙탈차원을산정하기위해차수간의길이비와개수비를측정해야하는데, 1차가지 ( 곁가지 ) 와 2차가지 ( 중앙의긴가지 ) 의개수비와길이를측정하여비값을구한다. 곁가지의길이는각각의곁가지의길이를측정하여평균값을사용한다. < 학교주변에서채집한고사리사례 > (1) 닮음의개수비 (1차가지 : 2차가지 ) 43 : 1 (2) 1차가지 ( 곁가지 ) 의길이 : 3.83cm( 평균값 ) (3) 2차가지 ( 중앙의긴가지 ) 의길이 : 36.2cm < 탐구1> 1차가지측정자료밑부분윗부분좌 우 (4) 고사리의프랙탈차원구하기 고사리의프랙탈차원은 1.67 이다. (5) 고사리의프랙탈차원이가지는의미설명하기 걸리버여행기 에서걸리버는자신의키보다 12분의 1밖에안되는소인국에가게되었다. 소인국사람은걸리버에게옷과음식을제공하는데어느정도의옷감과식량을준비해야할까? 단지소인국사람이소비하는양의 12배만큼만해주면될까? 문제는그렇게간단하지않다. 우선옷감은 12배가아니라 12 12배만큼준비해야한다. 그리고식사량은 배가되어야한다고저자인스위프트는말한다. 이처럼옷감과식사량의계산법이달라진것은차원이다르기때문이다. 옷감의양은평면적인 2차원적이고, 음식은밥그릇에담겨진밥을보면알수있듯이 3차원적이다. 그래서걸리버의몸의표면적은소인국사람보다 12 12배넓고, 몸의부피는 배가되어야한다. 이처럼차원이다르면그의양, 즉면적이나부피를나타내는수치역시달라져야한다. 결국고사리의경우에도고사리의크기가커짐에따라필요한에너지량을계산하는데프랙탈차원이유용하게쓰일수있다. 1) 본탐구는 제 46 회과학전람회 의경남과학고김민수와손상현의 자기닮음현상에나타나는규칙성의해석과그회절에관한연구 를바탕으로탐구활동지를제작하였다. 28 자기닮음의프렉탈도시탐구

31 반복의역사에숨은과학 - 프랙탈 프랙탈은나뭇잎이나해안선, 강하구의모양등세부구조가끊임없이전체구조를되풀이하고있는현상을말한다. 나무는자라면서큰줄기에서잔가지로뻗고, 잔가지는더작은가지로뻗어나간다. 이런패턴은줄기끝부분까지수차례반복된다. 흥미롭게도프랙탈이란개념을만드는데영감을준것이바로해안선이다. 1967년프랑스의수학자베노이트만델브로트박사는과학잡지 사이언스 에 영국을둘러싸고있는해안선의총길이는얼마인가 라는제목의글을발표했다. 그는이글에서영국해안선의길이는어떤잣대로재느냐에따라달라질수있다는재미있는주장을제기한다. 예로기린과생쥐가해안선을따라달리기를한다고가정해보자. 생쥐는걸음폭이짧아세세한곳까지일일이거쳐가야하는반면, 기린은걸음폭이길어생쥐가한참을돌아돌아간길을단번에성큼성큼지나갈수가있다. 그래서생쥐의입장에선 1km나되는먼길이기린에겐채 100여 m도되지않는짧은거리가될수있는것이다. 또한만델로브는해안선이아주복잡한구조를지니고있는것처럼보이지만, 단계적으로확대해들여다보면마치나뭇가지처럼비슷한모양이계속반복된다는사실을발견했다. 그는이런구조를 쪼개다 라는뜻의그리스어 프랙투스 (Fractus) 에서 프랙탈 이라고부른다. 이같은현상은파도, 구름, 암석, 강, 나무등자연계곳곳에서쉽게찾아볼수있다. 파도를생각해보라. 물밀듯몰아쳐매우복잡해보이는파도이지만, 그내면을뜯어보면그렇지않다. 파도의어느한부분을확대하면전체모습과흡사하고, 전체를축소하면또어느한부분인듯보인다. 한마디로말해서전체와부분의구조가같은것이다. 자연계뿐만이아니다. 이러한징후는사회와역사속에서도뚜렷이나타난다. 흔히우리는역사는반복된다는말을하곤한다. 작은단위로보면저마다의논쟁거리로혼란스러워만보이는역사이지만, 큰줄기로보면오묘하게도일정한주기와패턴을갖고비슷한유형의사건들이과거와현대를오가며이어진다. 사람의됨됨이나조직문화는어떨까? 굳이전체를세세히파악하지않더라도, 우리는한가 지행동만보고서그사람의인격적소양이나조직 < 강과해안선의프랙탈 > 의유연성같은큰틀을어느정도예측할수있다. 하나를보면열을알수있다 는속담은 부분은전체이다 라는프랙탈의기본원리와일치하는셈이다. 무질서하게나열돼있는것처럼보이지만사실그흐름하나하나가정교하게짜여있는자연현상에서우리는통계학적인자연원리를알아야한다. 출처 : KISTI의과학향기 ( 자기닮음의프랙탈도시탐구 29

32 Ⅲ Fractal Tool 를이용한자기닮음도형만들기 생각열기 Fractal Tool 에대해서알아보기 생각펼치기 다양한자기닮음도형만들기 생각다지기 자신만의자기닮음도형만들기 30 자기닮음의프렉탈도시탐구

33 3 차시 Fractal Tool 를이용한자기닮음도형만들기 생각열기 Fractal Tool 에대해서알아보기 공학도구인 Fractal Tool 에대해서알아보고, 다음물음에답해보자. Fractal Tool은자기닮은도형을간단히그려주고, 그성질을파악할수있도록도와주는프로그램이다. 이프로그램은사용법이간단한것이장점으로, 그림과같이 [1단계] 에서를누르면 [2단계] 가되고, [2단계] 에서를누르면 [3단계] 가된다. 이 Fractal Tool은 nctm.org/activity.aspx?id=3513 에서자유롭게활용가능하다. 다음그림은자기닮음도형의표현도구인 Fractal Tool 로만든시어핀스키삼각형이다. Fractal Tool 의명령어상자인 서말해보자. 를누르면서변화되는시어핀스키삼각형의모양에대해 [0 단계 ] [1 단계 ] [2 단계 ] [ 풀이 ] 시어핀스키삼각형은하나의정삼각형에서시작해서, 이정삼각형의세변의중점을이으면원래의정삼각형안에작은정삼각형이만들어지고, 만들어진이작은정삼각형을제거한후에, 위의과정을남은정삼각형들에대해서도무한히반복해서실행하는방법으로만들어진다. 이때만들어진시어핀스키삼각형은처음정삼각형의둘레의길이를 1이라할때, 다음단계에서의변의길이의합은이전단계의 1.5배가된다. 따라서이를무한대반복하면길이는한없이커지게된다. 반면에시어핀스키삼각형의넓이는처 음정삼각형의넓이를 1이라할때, 다음단계에서의넓이의합은이전단계의 배로감소한다. 따라서이를무한대반복하면넓이는한없이작아지게된다. 자기닮음의프랙탈도시탐구 31

34 자기닮음도형을만드는과정에서공학적도구인 Fractal Tool 를사용할때의편의성에대 해서말해보자. [ 풀이 ] 공학도구인 Fractal Tool은프랙탈도형의자기닮음의성질을탐구하고, 프랙탈도형을만드는규칙을시각적으로파악하는데도움을준다. 또한, 그림을실제로그리지않고, 자동화된절차를통해그려줌으로써그림을그리는데요구되는시간과노력을프랙탈의개념과성질의탐구에집중할수있도록해준다. 32 자기닮음의프렉탈도시탐구

35 생각펼치기다양한자기닮음도형만들기 다음그림은 Fractal Tool 로만든자기닮음도형이다. 주어진 과정에따라자기닮음도형을만들어보고, 그과정에서쓰 였던도구상자들에대해서실행형태를설명해보자. 과정 ⓵ 를누르면백지화면이나타난다. Now가선택돼있다. ⓶ Now에형을만든다. 을눌러서사각 ⓷ Next 를누른다. ⓸ 한다. 를눌러서 Now 를크게 ⓹ Now 에 을눌러서사각 형을만든다. 와를눌러서크기를조정한다. ⓺ 에서를눌러다음단계를만든다. 를눌러보자. [ 풀이 ] 를누르면초기화면이나타난다. (Initial) 은만들어진프랙탈의 0단계를보여준다. (Now) 와 (Next) 는프랙탈을만드는과정에서사용하는도구로, Now는현재단계의프랙탈도형을, Next는다음단계의프랙탈도형을말한다. 자기닮음의프랙탈도시탐구 33

36 생각다지기 자신만의자기닮음도형만들기 Fractal Tool 을이용하여각자의방식과규칙대로자기닮음도형을만들어보자. 0 단계 1 단계 2 단계 3 단계 [ 풀이 ] 0 단계 1 단계 2 단계 3 단계 본인이만든도형을보면서단계별개수를생각해보자. 단계 개수 1 [ 풀이 ] 단계 개수 1 1+1=2 1+2= =4 34 자기닮음의프렉탈도시탐구

37 본인이만든도형을보면서단계별도형한개의넓이를생각해보자. 단계 한개의넓이 1 [ 풀이 ] 단계 개수 1 본인이만든도형을보면서단계별작은도형의개수와한개의넓이를이용해단계별색 칠된전체작은도형의넓이를생각해보자. 단계 개수 1 한개의넓이 1 단계별넓이합 1 [ 풀이 ] 단계별로만들어지는작은정사각형들의합은전체의넓이와같다. 따라서각단 계의정사각형들의넓이의합은모두 1 이다. 단계 개수 1 1+1=2 1+2= =4 한개의넓이 1 단계별넓이합 1 자기닮음의프랙탈도시탐구 35

38 오늘활동을통해서여러분이공부한내용을정리하고, 느낀점을적어보자. 오늘의활동 느낌및소감 오늘의활동 느낌및소감 Fractal Tool로시어핀스키삼각형등의다양한프랙탈도형을만들어보는활동 Fractal Tool의명령어습득활동 Fractal Tool로자신만의자기닮음도형을만드는활동 공학도구인 Fractal Tool을이용해서다양한프랙탈도형을만들어보고, 이를통해서자기닮음현상을탐구하는과정에서융합적사고를할수있었다. 36 자기닮음의프렉탈도시탐구

39 Ⅳ 고체상태의물분자모양만들기 생각열기 물질의상태 생각펼치기 Fractal Tool로자기닮음도형 ( 코흐의눈송이 ) 만들기 생각다지기 나만의자기닮음도형만들기 자기닮음의프랙탈도시탐구 37

40 4 차시고체상태의물분자모양만들기 생각열기 물질의상태 어떤물질의상태를나타낸아래표에서, 다음물음에답해보자. 구분고체액체기체 분자배열모형 ( 가 ) 분자배열 매우규칙적임 ( 나 ) ( 다 ) 분자사이의거리 매우가까움 비교적가까움 ( 라 ) 분자사이의인력 매우강함 ( 마 ) 거의작용하지않음 위의빈칸에들어갈알맞은것을생각해보자. [ 풀이 ] 구분고체액체기체 분자배열모형 분자배열 매우규칙적임 약간흐트러짐 매우불규칙적임 분자사이의거리 매우가까움 비교적가까움 매우멀리떨어짐 분자사이의인력 매우강함 고체보다약함 거의작용하지않음 다음은어떤물질의상태변화를나타낸표이다. 빈칸에들어갈알맞은것을생각해보자. 상태변화융해, 기화, 승화 ( 고체 기체 ) 응고, 액화, 승화 ( 기체 고체 ) 배열변화점점불규칙적으로변함 [ ( 가 ) ] 부피변화 분자사이의거리가멀어져서부피가 [ ( 나 ) ] 함 분자사이의거리가가까워져서부피가감소함 인력변화인력이약해짐인력이 [ ( 다 ) ] 해짐 질량변화모든상태변화에서 [ ( 라 ) ] 가변하지않으므로질량은일정함 38 자기닮음의프렉탈도시탐구

41 [ 풀이 ] 상태변화 융해, 기화, 승화 ( 고체 기체 ) 응고, 액화, 승화 ( 기체 고체 ) 배열변화 점점불규칙적으로변함 점점규칙적으로변함 부피변화 분자사이의거리가멀어져서분자사이의거리가가까워져서부피가 [ 증가 ) ] 함부피가감소함 인력변화 인력이약해짐 인력이 [ 강 ] 해짐 질량변화 모든상태변화에서 [ 분자수 ] 가변하지않으므로질량은일정함 분자모형은눈으로볼수없는분자를설명하기위한것이다. 분자모형을나타낼수있는 것들에대해서말해보자. [ 풀이 ] 분자모형을나타낼수있는모형으로사용하는것은일반적으로공, 구슬등이다. 분자모형은어떤특성을가져야할지를생각해보자. [ 풀이 ] 쉽게깨지거나. 변형되지않고, 같은종류의분자는같은모양으로나타내어야한다. 고체상태의물분자구조를그려보고, 각상태 ( 액체, 기체, 고체 ) 에따른물분자구조에대해 서말해보자. 자기닮음의프랙탈도시탐구 39

42 액체상태기체상태고체상태 [ 풀이 ] 물분자는두개의수소와한개의산소원자로이루어진다. 고체, 액체, 기체상태에따라분자의구조가다르게나타난다. 고체상태의물분자는 6각형모양을가진다. 또한, 닮음도형으로이루어지는것을알수있다. 물분자모형고체상태 40 자기닮음의프렉탈도시탐구

43 생각펼치기 Fractal Tool 로자기닮음도형 ( 코흐의눈송이 ) 만들기 코흐의눈송이에대해서알아보고, 다음물음에답해보자. 수학자인코흐 (Koch) 에의해만들어진자기닮음도형으로눈송이와유사한모양이라고해서 코흐의눈송이 라고불리어진다. 이코흐의눈송이는수학적으로유한한넓이를갖지만단계가커질수록둘레의길이는무한히커지는성질을가지고있으며, 굴곡진해안선을표현하는데쓰이기도한다. 코흐의눈송이를그리는수학적절차는다음과같다. ⓵ 정삼각형을린다. 그 ⓶ 정삼각형의각변을 3 등분하여가운데의 을삭제하고, 그부분의바깥쪽에같은길이를두변으로하는정삼각형을그린다. ⓷ 만들어진각변에대해서앞서의과정 ⓶ 를반복한다. 위의절차와 Fractal Tool 을이용하여두가지방법으로코흐의눈송이를만들어보자. 첫번째로 Fractal Tool 의메뉴상자에있는코흐의눈송이를직접그려주는명령어 이용하여다음과같은방법으로만들수있다. 그림을보고간단히방법을말해보자. 를 [1 단계 ] [2 단계 ] [3 단계 ] 자기닮음의프랙탈도시탐구 41

44 [ 풀이 ] 명령어를클릭한후에 [1 단계 ] 에서를누르면 [2 단계 ] 가되고, 다시 [2 단 계 ] 에서를누르면 [3 단계 ] 가된다. 두번째로 Fractal Tool에서일반적인도형을그릴수있도록초기화면을나타내주는명령어를이용하여다음과같은방법으로코흐의눈송이를만들수있다. 사용한명령어의쓰임을간단히말해보자. ⓵ 를클릭한후에직선을그린다. ⓶ Next 를선택한다. ⓷ Next 에을그린다. ⓸ 만든다. 를눌러서다음단계를 ⓹ 만든다. 를눌러서다음단계를 ⓹ 만든다. 를눌러서다음단계를 [ 풀이 ] 를누르면초기화면이나타난다. 는다음단계를보여주는명령어이다. (Now) 와 (Next) 는프랙탈을만드는과정에서사용하는도구로, Now는현재단계의프랙탈도형을, Next는다음단계의프랙탈도형을말한다. 42 자기닮음의프렉탈도시탐구

45 코흐의눈송이에서다음빈칸에알맞은수를써보고, 구한방법을말해보자. 단계 선분의길이한개의넓이 단계별넓이합 [ 풀이 ] 단계별로만들어지는작은정사각형들의합은전체의넓이와같다. 따라서각단 계의정사각형들의넓이의합은모두 1 이다. 단계 선분의길이 1 한개의넓이 0 단계별넓이합 0 자기닮음의프랙탈도시탐구 43

46 생각다지기나만의자기닮음도형만들기 Fractal Tool 로여러형태의눈송이모양들을만들어보고, 만든방법에대해서말해보자. [ 풀이 ] 1 단계 (Now) 에서육각형으로시작해서 Next 에만들기를원하는프랙탈도형을 구성한다. 다음은 Fractal Tool 로만든여러형태의눈송이모양들이다. Fractal Tool 로눈송이모양의프랙탈도형을만들어보고, 규칙을찾아보자. 단계 닮음도형의 모양 도형의개수 도형의넓이 44 자기닮음의프렉탈도시탐구

47 [ 풀이 ] 처음단계의정육각형이계속해서규칙적으로늘어나는자기닮음도형이다. 단계 닮음도형의 모양 도형의개수 1 1+2= = =10 도형의넓이 눈이많이내리는알라스카지역에사는에스키모인들은눈을부르는이름의종류가수십가지라고한다. 왜이렇게눈을부르는용어들이많은걸까? 이는에스키모인들이본눈의모양이한가지가아니고다양하기때문일것이다. 눈의결정은어떤모양을하고있는가알아보자. [ 풀이 ] 기둥판나뭇가지 모양 눈의결정을이루는기본형태는육각형모양이다. 그럼에도눈의모양이각기다른이유를 말해보자. 자기닮음의프랙탈도시탐구 45

48 [ 풀이 ] 눈의결정은빙정핵을중심으로성장한다. 그런데성장하는과정에서공급되는수증기의 양과대기의온도에따라눈의모양이각기다르게결정된다. 포근한날과추운날에내리는눈의모양이각기다른이유를말해보자. [ 풀이 ] 일반적으로눈은구름속에있는얼음알갱이에수증기가달라붙으면서만들어진다. 우리가겨울에주변에서볼수있는눈송이들은이렇게만들어진결정들이하늘에서내려오면서엉겨붙어모양을이룬것들이다. 예를들어포근한날에는함박눈이내리는것은하늘에서눈이떨어질때에따뜻한날씨에조금녹으면서서로잘엉겨붙기때문이고, 추운날에는잘엉기지않기때문에가루눈이주로내린다. 눈이녹지않고계속쌓여만들어지는두꺼운얼음덩어리를무엇이라하는지말해보자. [ 풀이 ] 눈이쌓여서오랜세월이지나면단단하게굳어지면서얼음이된다. 이얼음은중력으로인해서낮은지역으로천천히흘러서이동하게되는데, 이처럼낮은곳으로흐르는두꺼운얼음덩어리를빙하라고한다. 다음은빙하가만들어지는과정이다. 빈칸에알맞은용어들을말해보자. [ ( 가 ) ] 이쌓임 눈이다져져굳어짐 [ ( 나 ) ] 가갇힘 [ ( 다 ) ] 덩어리가되어낮은곳으로흐름 46 자기닮음의프렉탈도시탐구

49 [ 풀이 ] [ 눈 ] 이쌓임 눈이다져져굳어짐 [ 공기 ] 가갇힘 [ 얼음 ] 덩어리가되어낮은곳으로흐름 빙하를통해알수있는사실들을말해보자. [ 풀이 ] 빙하에도나무의나이테와같은흔적이있다. 이는빙하가형성될때여름과겨울에눈이녹았다가쌓였다가하는과정이반복되면서만들어진것으로나무의나이테와같이이흔적을통해빙하가만들어진시기를측정할수있다. 얼음덩어리인빙하는물보다가벼워물위에뜨는데, 이는바다를떠다니는빙하에서알수있다. 빙하속에담겨있는기포를통해서눈이내리던시기에공기중에있었던이산화탄소와메테인등을분석하여과거대기성분이나기온의변화여부를추정할수있다. 빙하에포함되어있는화산재나꽃가루등의성분분석을통해서화산활동여부를판단하거나그시기의식물분포상태와같이과거의여러사실들을추정할수있다. 오늘활동을통해서여러분이공부한내용을정리하고, 느낀점을적어보자. 오늘의활동 느낌및소감 오늘의활동 느낌및소감 물질의상태에대해서알아보는활동 물분자의상태, 눈송이, 빙하에대해서알아보는활동 Fractal Tool로다양한눈송이모양을만드는활동 눈의생성과정과다양한눈송이모양에대해서알아보고, 공학도구인 Fractal Tool을이용해서눈송이모양을만들어보는활동에서융합적사고를할수있었다. 자기닮음의프랙탈도시탐구 47

50 눈송이관찰하기 프랙탈의구조로정교한대칭을이루는작은눈송이결정의현미경사진을보노라면, 누구나쉽게자연의경이를느낄만하다. 그림은한밤중에허공에서떨어지는눈송이의다양한모양과크기를고속촬영카메라로촬영한것이다. 이러한눈송이의아름다운모습은 17세기케플러나데카르트같은눈썰미뛰어난자연관찰자들에의해멋진눈결정의연구물과그림으로남겼다. 19세기이래사진의발명과망원경의발전이후에는더욱생생한눈결정의영상이우리눈을즐겁게한다. 눈결정 관찰의역사와자료만을따로모은누리집도있고, 눈결정이어떻게형성되는지에관한흥미로운연구보고도종종나온다. 그런데허공에서떨어지는눈송이를오랜동안관찰해온관찰자들은조금다른얘기를한다. 완벽한구조와대칭의육각형눈송이결정은흔히사진영상에서볼수있지만자연상태에서는아무때나쉽게볼수있는게아니란다. 눈송이의관찰자인미국유타대학대기과학자팀개러트 (Tim Garrett) 교수연구팀은 이처럼 ( 흔히눈송이를대표하는 ) 완벽하게대칭적인육각형눈송이는아름답기는하지만자연상태에서는극히드물어, 많아야 1000번중에 1번나타날것 " 이라고말한다. 이팀은유타주알타 (Alta) 지역의고산지대에관찰용고속촬영카메라들을설치해두고서눈송이의모양, 크기, 낙하속도의데이터베이스를몇년째축적하고있는중이다. < 하늘에서떨어지는눈송이사진 > ( 출처 < 데카르트가남긴눈송이그림 > 실제로이들이누리집에공개하고있는수많은눈송이사진을보면, 그야말로들쭉날쭉, 삐뚤빼뚤, 울퉁불퉁, 제멋대로생긴눈송이들로가득하다. 대중적으로널리알려진눈송이사진과이들이촬영한눈송이사진이크게다른이유와관련해, 이들은 " 전통적으로사진들에서우리가보는눈송이는현미경으로관찰하기좋은특정유형들이며, 또한카메라초점을제대로잡고빛을제대로비춘상태에서촬영하기때문일것 " 이라고말한다. 이들은허공의눈송이들이레이더의마이크로파통신에어떻게영향을끼치는지예측하는시뮬레이션모델을정교화하기위해서, 미항공우주국 (NASA) 과미육군등의지원을받아서몇년째눈송이의데이터수집을계속하고있다. 떨어지는눈송이를적외선센서로감지하는순간여러각도로고속촬영하는특별한카메라 ( 다각도눈송이카메라 :MASC) 를개발한연구팀은자연상태에있는눈송이모양, 크기, 낙하속도의데이터베이스가강설량을예측하고레이터통신영향을분석하는시뮬레이션모형을개선하는데좋은자료가될것이라고기대하고있다. 출처 : 사이언스온 ( 48 자기닮음의프렉탈도시탐구

51 Ⅴ 내안에내가또있다! 생각열기 두개의표에서관계알아보기 생각펼치기 규칙을적용해서다양한디자인만들기 생각다지기 나만의자기닮음도형만들기 자기닮음의프랙탈도시탐구 49

52 2. 프랙탈도시만들기 5 차시내안에내가또있다! 생각열기 두개의표에서관계알아보기 다음두개의표를만든규칙에대해서알아보고, 다음물음에답해보자. 다음그림과같이왼쪽표는 9개의칸으로구성되어있다. 그리고, 오른쪽표는크게가로와세로의개수가왼쪽표와같게 9개로구성되어있는데, 그각각은또한 9개의칸으로구성되어있다. 그런데, 왼쪽표만을이용해서만들어진것이오른쪽표이다. 즉, 두개의표는서로관련성을가지고있다. 그관련 ( 규칙 ) 에대해서생각해보자 위의두개의표를보면서관계를생각해보면다음과같다. 먼저왼쪽표를한줄로나타내면다음 1과같다 그리고, 다음 2 는 1 의숫자들과처음왼쪽표의숫자들을곱하여나열한것이다 이후다시재배열하면처음오른쪽표의모양이나온다. 즉위의왼쪽표에있는숫자들만 을가지고, 일명내안에내가있는규칙으로오른쪽표를만든것이다. 위의과정을도표로 나타내면다음과같다 자기닮음의프렉탈도시탐구

53 규칙을발견했나요? 그렇다면내안에내가있는규칙에따라아래의표를완성해보자 [ 풀이 ] 왼쪽표를한줄로나타내고처음왼쪽표의숫자들을곱하여나열한이후다시재배열 하면오른쪽표의모양이나온다. 즉왼쪽표에있는숫자들만을가지고, 일명 내안에 내가있다 는규칙으로오른쪽표를만든것이다 내안에나있다 의규칙을다시한번더정리해보자. [ 풀이 ] 왼쪽표를한줄로나타내고처음왼쪽표의숫자들을곱하여나열한이후다시재배열하면오른쪽표의모양이나온다. 즉왼쪽표에있는숫자들만을가지고, 일명 내안에내가있다 는규칙으로오른쪽표를만든것이다. 자기닮음의프랙탈도시탐구 51

54 생각펼치기규칙을적용해서다양한디자인만들기 내안에나있다 의규칙을적용해서만든오른쪽표에서 0 보다큰수에색을칠 해보자 [ 풀이 ] 1 표를채우기 보다큰수에색칠하기 이와같은도형을시어핀스키사각형이라고하고, 자기닮음도형의 1 단계와 2 단계에 해당한다. 52 자기닮음의프렉탈도시탐구

55 생각다지기나만의자기닮음도형만들기 왼쪽표를 0 과 1 의숫자로채우고, 내안에나있다 의규칙과일정한룰에따라색을칠해서 자기닮음도형형태로자신만의무늬를만들어보자. [ 풀이 ] 예상되는자기닮음형태에따른무늬로다음과같은기하학적문양을들수있다 자기닮음의프랙탈도시탐구 53

56 오늘활동을통해서여러분이공부한내용을정리하고, 느낀점을적어보자. 오늘의활동 느낌및소감 오늘의활동 느낌및소감 내안에나있다의규칙을이해하는활동 규칙을적용해서다양한디자인을만들어보는활동 나만의자기닮음도형을만드는활동 내안에나있다의규칙을이용해서다양한디자인을만들어보고, 이를통해서자기닮음의문양들을탐구하는과정에서융합적사고를할수있었다. 54 자기닮음의프렉탈도시탐구

57 Ⅵ 내안의나를확장하기 생각열기 세개의표에서관계알아보기 생각펼치기 규칙적인패턴찾기 생각다지기 나만의자기닮음도형만들기 자기닮음의프랙탈도시탐구 55

58 6 차시내안의나를확장하기 생각열기 세개의표에서관계알아보기 다음내용에따라아래물음에답해보자. 다음그림은세개의표에서 1 단계 를이용해서 2 단계와 3 단계를만드 는과정을나타낸것이다. 1단계 2단계 단계 내안에나있다 의규칙을확장한세개의표사이의관계에대해서정리해보자. 56 자기닮음의프렉탈도시탐구

59 [ 풀이 ] 위의세개의표를보면서관계를생각해보면다음과같다. 먼저 1 단계의표를한줄 로나타내면다음 1 과같다 그리고, 다음 2 는 1 의숫자들과처음왼쪽표의숫자들을곱하여나열한것이다 이후다시재배열하면처음 2 단계표의모양이나온다. 1 3 단계는 2 단계표의가로와세로의각 3 개씩 9 개의사각형에대해서 1 과 2 의과정을 다시반복하여만든표이다. 자기닮음의프랙탈도시탐구 57

60 생각펼치기규칙적인패턴찾기 위의생각열기 에서찾은세개의표사이의관계를다음의 1 단계와 2 단계, 3 단계에적 용해서 3단계의표에들어갈알맞은수를찾고, 규칙에따라적절한색을칠해보자. 1단계 2단계 단계 58 자기닮음의프렉탈도시탐구

61 [ 풀이 ] 3단계는 2단계표의가로와세로의각 3개씩 9개의사각형에대해서 내안에나있다 의규칙을다시반복하여만든표이다 자기닮음의프랙탈도시탐구 59

62 생각다지기나만의자기닮음도형만들기 다음 1단계에서 2단계와 3단계를만들어보고, 만든자기닮음도형의성질을찾아보자. 1단계 2단계 단계 60 자기닮음의프렉탈도시탐구

63 [ 풀이 ] 2 단계는 1 단계표를한줄로나타내고처음 1 단계표의숫자들을곱하여나열한 이후다시재배열하면 2 단계표의모양이나온다. 2 단계 단계는 2 단계표의가로와세로의각 3 개씩 9 개의사각형에대해서 내안에나있다 의 규칙을다시반복하여만든표이다 위의자기닮음도형을만드는과정에서단계별로색칠한칸의개수를구해보자. 그리고규 칙을찾아보자. 단계 개수 자기닮음의프랙탈도시탐구 61

64 [ 풀이 ] 각단계마다 5 배씩늘어나는규칙이있다. 단계 개수 5 5 5= =125 각자의방식대로 1 단계를만들어보고, 이에따라 2 단계와 3 단계를구성해보자. 1 단계 2 단계 3 단계 62 자기닮음의프렉탈도시탐구

65 [ 풀이 ] 1단계를다음과같이구성한다면 2단계는아래와같이그려진다. 1단계 2단계 또한, 2단계표의가로와세로의각 3개씩 9개의사각형에대해서 내안에나있다 의규 칙을다시반복하여만든 3단계는다음과같다. 2단계와마찬가지로맨마지막에위치 한작은사각형도색깔이칠해진다 자기닮음의프랙탈도시탐구 63

66 본차시에서내안의나를확장하는형태로위의 [ 표 ] 들을구성한것과같이과학자인피르 호는모든세포는세포에서생성된다는세포설을주장하였다. 세포의기본구조인핵, 세포 막, 세포질, 미토콘드리아에대해서알아보자. [ 풀이 ] 세포의기본구조와기능은대체로다음과같다. 핵 : 대부분의모양이구형이며세포에서생명활동의중심이되는곳으로대체로하나의세포에한개씩들어있다. 세포막 : 세포의안과밖의경계를이루며세포의형태를유지하는세포전체를둘러싸고있는얇은막으로물질의출입을조절한다. 세포질 : 핵이외의세포내부를채우는부분으로엽록체, 미토콘드리아, 액포등의세포소기관과여러가지물질이들어있다. 미토콘드리아 : 동물세포와식물세포에서모두볼수있는세포소기관으로영양소를분해하여에너지를방출하기때문에세포내의발전소역할을한다. 동물세포와식물세포의구조를비교하여다음 [ 표 ] 에정리해보자. 구분 핵 세포질 세포막 엽록체 세포벽 액포 동물세포식물세포 [ 풀이 ] 핵, 세포질, 세포막, 미토콘드리아가있는동물세포와마찬가지로식물세포에는 이들과함께엽록체, 세포벽이있으며, 액포가발달해있다. 구분 핵 세포질 세포막 엽록체 세포벽 액포 동물세포 식물세포 엽록체 : 광합성이일어나며, 핵보다작은알갱이모양이다. 세포벽 : 세포를유지하고보호하며, 세포막바깥쪽에위치하는두껍고단단한막이다. 액포 : 물, 당, 색소, 노폐물등이들어있는주머니모양의얇은막이다. 64 자기닮음의프렉탈도시탐구

67 오늘활동을통해서여러분이공부한내용을정리하고, 느낀점을적어보자. 오늘의활동 느낌및소감 오늘의활동 느낌및소감 내안의나를확장하여세개의표에서관계를알아보는활동 세개의표사이의규칙에따라적절한색을칠해디자인으로완성해보는활동 자신만의자기닮음도형을만드는것과세포설에대한탐구활동 내안의나를확장하여세개의세개의표사이의규칙에따라적절한색을칠해디자인으로완성해보고탐구하는과정에서융합적사고를할수있었다. 자기닮음의프랙탈도시탐구 65

68 Ⅶ 자기닮음도형을이용하여프랙탈도시만들기 생각열기 세개의표에서관계알아보기 생각펼치기 규칙을적용하여입체로만들기 생각다지기 나만의자기닮음도형만들기 66 자기닮음의프렉탈도시탐구

69 7 차시자기닮음도형을이용하여프랙탈도시만들기 생각열기 세개의표에서관계알아보기 다음내용에따라아래물음에답해보자. 자기닮음은일종의프랙탈디자인이라고할수있다. 프랙탈디자인은부분과전체가같은모양을이루고있는자기닮음과기본도형이끊임없이반복되는순환성을통해전체구조를완성한다. 자연계의대상들은어떻게보면불규칙하고복잡해보이지만, 이가운데에서프랙탈디자인과같은규칙과질서를찾을수있다. 이는예술적감성의측면인디자인에자연현상을표현하는수학 과학적원리가담겨있음을알려주는것이다. 위의 6차시에서다룬 내안의나를확장하기 단원의표를만드는공학적방법을알아보자. 윈도우에기본으로내장된엑셀프로그램을활용하면자동으로표를만들수있다. 다음의예를통해서 1단계에서엑셀을이용하여 2단계와 3단계를만드는방법에대해알아보자. 1단계 2단계 3단계 자기닮음의프랙탈도시탐구 67

70 [ 풀이 ] 1) 1 단계도형 1 A1 에서 C3 에는모두 1 이입력되어있고, B2 셀에만 0 이입력되어있다. 2) 2 단계자기닮음도형 1 E1 에서 G3 을선택하여 =$A$1*A1 을입력하고, + 를누른다. 2 H1 에서 J3 를선택하여 =$B$1*A1 을입력하고, + 를누른다. 3 K1 에서 M3 를선택하여 =$C$1*A1 을입력하고, + 를누른다. 4 E4 에서 G6 를선택하여 =$A$2*A1 을입력하고, + 를누른다. 5 H4 에서 J6 를선택하여 =$B$2*A1 을입력하고, + 를누른다. 6 K4 에서 M6 를선택하여 =$C$2*A1 을입력하고, + 를누른다. 7 E7 에서 G9 를선택하여 =$A$3*A1 을입력하고, + 를누른다. 8 H7 에서 J9 를선택하여 =$B$3*A1 을입력하고, + 를누른다. 9 K7 에서 M9 를선택하여 =$C$3*A1 을입력하고, + 를누른다. 2 단계를만드는다른방법을표로나타내면다음과같다. 순 입력셀 입력 셀선택 이후 1 E1 =$A$1*A1 E1 : G3 2 H1 =$B$1*A1 H1 : J3 3 K1 =$C$1*A1 K1 : M3 4 E4 =$A$2*A1 E4 : G6 선택한셀까지 5 H4 =$B$2*A1 H4 : J6 마우스로그래 6 K4 =$C$2*A1 K4 : M6 그한다. 7 E7 =$A$3*A1 E7 : G9 8 H7 =$B$3*A1 H7 : J9 9 K7 =$C$3*A1 K7 : M9 3) 3 단계자기닮음도형 1 O1 에서 W9 을선택하여 =$A$1*E1 을입력하고, + 를누른다. 2 X1 에서 AF9 을선택하여 =$B$1*E1 을입력하고, + 를누른다. 3 AG1 에서 AQ9 을선택하여 =$C$1*E1 을입력하고, + 를누른다. 4 O10 에서 W18 을선택하여 =$A$2*E1 을입력하고, + 를누른다. 5 X10 에서 AF18 을선택하여 =$B$2*E1 을입력하고, + 를누른다. 6 AG10 에서 AQ18 을선택하여 =$C$2*E1 을입력하고, + 를누른다. 7 O19 에서 W27 을선택하여 =$A$3*E1 을입력하고, + 를누른다. 8 X19 에서 AF27 을선택하여 =$B$3*E1 을입력하고, + 를누른다. 9 AG19 에서 AQ27 을선택하여 =$C$3*E1 을입력하고, + 를누른다. 위의표와같은방법으로 3 단계를만드는방법도간단히나타낼수있다. 순 입력셀 입력 셀선택 이후 1 O1 =$A$1*A1 O1 : W9 2 X1 =$B$1*A1 X1 : AF9 3 AG1 =$C$1*A1 AG1 : AQ9 4 O10 =$A$2*A1 O10 : W18 선택한셀까지 5 X10 =$B$2*A1 X10 : AF18 마우스로그래 6 AG10 =$C$2*A1 AG10 : AQ18 그한다. 7 O19 =$A$3*A1 O19 : W27 8 X19 =$B$3*A1 X19 : AF27 9 AG19 =$C$3*A1 AG19 : AQ27 68 자기닮음의프렉탈도시탐구

71 엑셀을다루기위해서요구되는기본적인명령어들에대해서조사하고말해보자. [ 풀이 ] 엑셀은 행 과 열 을기반으로한 셀주소 를가지고있는데, 세로를기준으로 1행, 2행, 3행등으로행이결정되고, 가로는 A열, B열, C열등으로열이결정된다. 예를들어 A10은 A열 10행에있는셀을말하는데, 이셀주소를기준으로모든수식, 함수가계산되고참조된다. +는연속되지않는범위에데이터를복사하는단축키이다. 사용방법은결과를나타낼셀을선택하고수식을입력한다음단축키를누르면된다. 다음은이외의간단한엑셀명령어들이다. 명령어입력내용 수학연산자 셀참조 함수 더하기 (+) 빼기 (-) 곱하기 (*) 나누기 (/) A10 A10,A20 A10:A20 B15:E15 A10:E20 A V E R A G E MAX MIN =10+5 =10-5 =10*5 =10/5 열 A 행 10 에있는셀 ( 단독 ) 셀 A10 및 A20 ( 건너떨어져있는 2 셀 ) 열 A 에서행 10 부터행 20 까지의셀범위 ( 건너뛰지않는연속된행 ) 행 15 에서열 B 부터열 E 까지의셀범위 ( 건너뛰지않는연속된열 ) 열 A 부터열 E 까지에서행 10 부터행 20 까지의셀범위 ( 건너뛰지않는연속된열과행 ) 평균가장큰수가장작은수 자기닮음의프랙탈도시탐구 69

72 생각펼치기규칙을적용하여입체로만들기 위의생각열기에서다룬자기닮음도형을엑셀의조건부서식기능을이용하여색칠하는방법을알아보자. 색칠한자기닮음도형 [ 풀이 ] 엑셀의조건부서식을이용하여 0 과 1 을나타내는셀에각각색칠한다. 1 마우스를드래그하여데이터전체를선택한후에, 홈메뉴에서조건부서식을선택한다. 2 조건부서식의하위메뉴에서색조를선택하고, 서식의스타일을 2 가지색조로입력한다. A1 에서 C3 의셀의값을변경해보자. 70 자기닮음의프렉탈도시탐구

73 1단계가다음과같을때, 확장된 내안에나있다 의규칙에따른 2단계와 3단계의모양을예측해보고, 실제로엑셀을활용하여구해보자. 1단계 2단계 단계 자기닮음의프랙탈도시탐구 71

74 [ 풀이 ] 위의단계를엑셀로구한자기닮음도형그림은다음과같다. 색칠한자기닮음도형 2단계의자기닮음도형의모양을그대로이용하여만든입체도형에서정면, 위쪽, 오른쪽에서보았을때 2단계의모양과같은모양이되도록쌓기나무로완성해서그려보고, 필요한쌓기나무조각의개수를구해보자. 2단계정면위쪽오른쪽 자기 닮음도형 조각의개수 [ 풀이 ] 2 단계정면위쪽오른쪽 자기 닮음도형 조각의개수 자기닮음의프렉탈도시탐구

75 생각다지기나만의자기닮음도형만들기 1단계가다음과같을때위의규칙에따라 2단계와 3단계의모양을예측해보고, 엑셀로구해보자. 1단계 2단계 단계 자기닮음의프랙탈도시탐구 73

76 [ 풀이 ] 내안에나있다 의규칙으로엑셀에값을일력한후에, 다음과같이엑셀의조건부서식 을이용하여 0 보다큰값만을나타내는셀에각각색칠한다. 1 마우스를드래그하여데이터전체를선택한후에, 홈메뉴에서조건부서식을선택한다. 2 조건부서식의하위메뉴에서 셀강조규칙 의 보다큼 을선택하고, 서식지정에 0 을입력한후확인을누른다. 위의단계를엑셀로구한자기닮음도형의최종단계는다음과같다. 74 자기닮음의프렉탈도시탐구

77 위에서구한디자인을엑셀의차트기능을활용하여다양한형태의그림으로나타내보자. [ 풀이 ] 다음그림은엑셀의 3차원차트기능을활용하여다양한형태 ( 프랙탈도시 ) 로나타낸것이다. 순색칠한자기닮음도형프랙탈도시 1 2 위의그림 1( 프랙탈도시 ) 은엑셀의 3차원세로막대형차트기능을이용하여만든디자인이다. 2단계에서 3차원세로막대형차트로만든입체도형에대해서정면, 위쪽, 오른쪽에서보았을때를쌓기나무로간단하게만들어보고, 형태에대해서설명해보자. 2단계정면위쪽오른쪽 자기 닮음도형 자기닮음의프랙탈도시탐구 75

78 [ 풀이 ] 높은고층빌딩들로이루어진프랙탈도시이다. 2 단계정면위쪽오른쪽 자기 닮음도형 1 단계가다음과같을때, 위의규칙에따라 2 단계와 3 단계의모양을예측해보고, 엑셀로 구해보자. 1 단계 2 단계 단계 76 자기닮음의프렉탈도시탐구

79 [ 풀이 ] 내안에나있다 의규칙에따라위의단계를엑셀로구한자기닮음도형그림은 다음과같다. 위의엑셀자료를 3 차원세로막대형차트기능을이용하여만든디자인 ( 프랙탈도시 ) 을만 들어보자. [ 풀이 ] 프랙탈도시 3 차원세로막대형차트기능은세개의축에서계열및항목간의값을비교하는그래 프이다 자기닮음의프랙탈도시탐구 77

80 각단계가다음과같을때, 프랙탈도시의모양을예측해보고, 엑셀의차트로그려보자. 단계 [ 풀이 ] 높은고층빌딩들과빈공간이여유로움을느끼게하는프랙탈도시이다. 78 자기닮음의프렉탈도시탐구

81 1 단계가다음과같은정수로되어있을때, 엑셀로최종 3 단계와프랙 1 단계 탈도시의모양을구해보자. [ 풀이 ] 지상과지하에빌딩이있는프랙탈도시이다. 3 단계프랙탈도시 본인이 1 단계의수를입력하여규칙에따라 3 단계의모양을예측해보고, 엑셀로프랙탈도 시의모양을구해보자. 1 단계프랙탈도시 자기닮음의프랙탈도시탐구 79

82 1 단계프랙탈도시 [ 풀이 ] 예를들어 1 단계가 의형태로서로대칭을이루는경우에 3단 계와프랙탈도시의모습은다음과같다. 3 단계프랙탈도시 80 자기닮음의프렉탈도시탐구

83 엑셀을이용하여다음과같은프랙탈도시를디자인할수있는 1 단계를예측해보자. 프랙탈도시 1 1 단계 프랙탈도시 2 1 단계 자기닮음의프랙탈도시탐구 81

84 [ 풀이 ] 엑셀의차트에서막대의높이는데이터의값에의해서결정된다. 따라서, 막대의 높이와 내안에나있다 의방법을역으로적용해서 1 단계의수들을추정할수있다. 프랙탈도시 1의 1단계 프랙탈도시 2의 1단계 다음은위에서추정한 1 단계에따른프랙탈도시의모습이다. 원래의프랙탈도시와합 동은아니지만, 유사한모습을띠고있다. 프랙탈도시 1 의추정 프랙탈도시 2 의추정 오늘활동을통해서여러분이공부한내용을정리하고, 느낀점을적어보자. 오늘의활동 느낌및소감 오늘의활동 느낌및소감 내안의나를확장하여세개의표에서관계를알아보고엑셀로구성하는활동 엑셀로적절한색을칠해디자인으로완성해보는활동 엑셀의차트기능을활용해서자기닮음문양과프랙탈도시를디자인하는활동 내안의나를확장하여세개의표에서관계를알아보고엑셀의조건부서식으로색을칠하고, 엑셀의차트기능을활용해서자기닮음문양과프랙탈도시를디자인하는활동에서수학과공학의융합적활용에대해서배울수있었다. 82 자기닮음의프렉탈도시탐구

85 부록 Fractal Tool 의활용 fractal-snowflake-generator 로눈결정만들기심화학습지. 3개의표에의한다양한디자인 자기닮음의프랙탈도시탐구 83

86 Fractal Tool 의활용 01 웹주소 y.aspx?id= 코흐눈송이만들기 1 코흐눈송이를클릭하고플러스 (+) 키를누른다. 84 자기닮음의프렉탈도시탐구

87 02 프랙탈나무만들기 1 프랙탈나무를클릭하고플러스 (+) 키를누른다. 02 정사각형프랙탈만들기 1 정사각형프랙탈을클릭하고플러스 (+) 키를누른다. 자기닮음의프랙탈도시탐구 85

88 02 시어핀스키삼각형만들기 1 시어핀스키삼각형을클릭하고플러스 (+) 키를누른다. 86 자기닮음의프렉탈도시탐구

89 fractal-snowflake-generator 로눈결정만들기 01 다운로드웹주소 al-snowflake-generator/1.4/ 02 눈결정찾아보기 (1) General Properties에서 1 Number of rays 는 3이다. 그림에서 3개의가지가있다. 2 Complexity 는 1이다. 03 눈결정찾아보기 3 Complexity 를 2 로변경해보자. 두개의가지가나타난다. 자기닮음의프랙탈도시탐구 87

90 04 눈결정찾아보기 (2) Sub-ray Proprrties에서 1 Scaling을 50% 로조정해보자. 2단계에서나타나는가지의길이가 50% 가된다. 2Position은 50 이다. Number of rays의 50% 에위치한다. 3 Angle 는 60 도이다. 05 눈결정찾아보기 4 Number of rays 를 4 로고쳐보자. 06 눈결정찾아보기 (3) Numberof rays 4, 1 Complexity 1 88 자기닮음의프렉탈도시탐구

91 07 눈결정찾아보기 2 complexity 2 08 눈결정찾아보기 2 complexity 3 09 눈결정찾아보기 2 complexity 4 자기닮음의프랙탈도시탐구 89

92 10 눈결정찾아보기 2 complexity 5 11 눈결정규칙성찾기 (1) Number 3 1 단계별길이 단계별 그림 Number of ray complexity 단계 n 부분가지 0 3*2 3*2*2 3*2*2*2 3*2*2*2*2 3*2*2*2*2*2 부분가지규칙부분가지한개의길이 추가되는길이 자기닮음의프렉탈도시탐구

93 심화학습지. 3 개의표에의한다양한디자인 단계별프랙탈도형 1 단계에서네개의모양에대한표 1 단계 2 단계 3 단계 자기닮음의프랙탈도시탐구 91

94 1 단계에서다섯개의모양에대한표 1 단계 2 단계 3 단계 92 자기닮음의프렉탈도시탐구

95 1 단계에서여섯개의모양에대한표 1 단계 2 단계 3 단계 자기닮음의프랙탈도시탐구 93

96 1 단계에서일곱개의모양에대한표 1 단계 2 단계 3 단계 94 자기닮음의프렉탈도시탐구

97 1 단계에서여덟개의모양에대한표 1 단계 2 단계 3 단계 자기닮음의프랙탈도시탐구 95

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99 - 이보고서는 2017 년도교육부의재원으로한국과학창의재단의지원을받아수행된성과물임 - This work was supported by the Korea Foundation for the Advancement of Science and Creativity(KOFAC) grant funded by the Korea government(moe)

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