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1 전자기학 도함수와미분법 도함수의응용 Prof. Jae Young Choi 전자기학 (015 Fall) Prof. Jae Young Choi

2 미분을배우는이유

3 영화속의미분과적분 스피드 3

4 3.1.1 함수의극한 극한 f(a) 의존재성과무관하게 a 의부근에있는 에서함수 f() 가정의될때 a f() L 이면, 가 a 에가까워질수록함숫값 f() 는 L 에수렴한다. lim f ( ) L a 극한 극한의유형 (a) f() 가 = a 에서정의되는경우 (b) f(a) = L 인경우 (c) f(a) L 인경우 (d) f() 가 = a 에서정의되지않는경우 4

5 함수의그래프를이용하여극한 lim f( ) 를구하라 (a) f ( ) 1 (b) f ( ) 1 (c) f ( ) 1 (d) f ( ) y y1 y 1 1 y 1 1 y 1 1 y y y 1 1 (1, ) (1, ) (1, ) (1, ) lim f( ) 1 lim f( ) 1 lim f( ) 1 lim f( ) 1 5

6 좌극한과우극한 a 의구분 (1) < a, a 인경우 () > a, a 인경우 lim f ( ) L a a 1 lim f ( ) L 좌극한 우극한 y 1 0 [Note] lim f ( ) L a lim f ( ) lim f ( ) L a a - 1 6

7 함수 f() = 에대하여 = 0 에서극한을구하라. < 0 이면함수 f() = = - > 0 이면함수 f() = = 이므로 lim f ( ) lim( ) lim f ( ) lim lim f ( ) lim

8 발산 (1) a일때, f() > 0, f() 이면, f() 는 로발산한다. () a일때, f() < 0, f() 이면, f() 는 - 로발산한다. (3) a + 일때, f() > 0, f() 이면, f() 는 로발산한다. (4) a - 일때, f() > 0, f() 이면, f() 는 로발산한다. lim f( ) a lim f( ) a lim f( ) a lim f( ) a lim f( ) a lim f( ) a lim f( ) a lim f( ) a lim f( ) a lim f( ) a 이경우 = a 는함수 f() 의수직점근선된다. 8

9 무한대에서의극한 (1) 일때, f() L 이면, f() 는무한대에서 L 로수렴한다. () - 일때, f() L 이면, f() 는음의무한대에서 L 로수렴한다. lim f ( ) L lim f ( ) L (3) 일때, f() > 0, f() (f() < 0, f() ) 이면, f() 는무한대에서 (- ) 로발산한다. lim f( ) (4) - 일때, f() > 0, f() (f() < 0, f() ) 이면, f() 는음의무한대에서 (- ) 로발산한다. lim f( ) 1 lim 1 1 lim 1 (1), () 의경우 y = L 은함수 f() 의수평점근선이된다. 9

10 다음함수의음의무한대와양의무한대에서극한을구하라. 1 (1) y () y e 1 (1) 1 1 lim lim 0이므로 1 1 1/ 1 1 1/ lim lim 1, lim lim / 1 1 1/ () 자연지수함수의성질에의하여 lim e 0, lim e

11 5. 극한의성질 [ 정리 3-1] ( 기본극한 ) 임의의상수 k 에대하여다음이성립한다. (1) lim k k () a lim a a [ 정리 3-] ( 극한의성질 ) lim f ( ) L, lim g( ) L 1 a a (1) () (3) (4) (5) a lim f ( ) g( ) L L a 1 lim f ( ) g( ) L L a lim kf ( ) kl 1 a 1 lim f ( ) g( ) L L 1 f( ) L1 lim L 0 a g( ) L 가존재한다면다음이성립한다. f() : 다항함수 lim f ( ) f ( a) a n n n n n lim f ( ) lim f ( ) f ( a), lim a a a a f ( ) f ( a) f(), g() : 다항함수 lim, ga ( ) 0 a g( ) g( a) 11

12 lim f 3, lim g 일때, 다음극한을구하라. 1 1 (1) lim f g () lim f g 1 1 f (3) lim f g (4) lim 1 1 g (1) lim f g lim f lim g () lim f g lim f lim g (3) lim f g lim f lim g f lim f (4) lim 1 g lim g 1 1

13 [ 정리 3-3] ( 압축정리 ) a 를포함하는근방에서 (a 는제외가능 ) f() g() h() 이고 lim g( ) L 이면, 이다. a lim f ( ) lim h( ) L a a [ 정리 3-4] ( 합성함수의극한 ) 두함수 f(), g() 에대하여 lim f ( ) b, lim g( ) g( b) 이면다음이성립한다. a b lim g f ( ) g lim f ( ) g( b) a a X f Y y=f() g Z z=g(f()) g f : X Z, g f g f y z (gof)() = g(f()) 13

14 양의실수 에대하여 - sin 와 1 - cos 가성립한다. 이사실을이용하여다음이성립함을보여라. (1) lim sin 0 () lim 1 cos (1) lim 0이므로 lim 0 이고 - sin 이므로 lim 0 lim sin lim 0 lim sin 0 () cos 의정의로부터 cos 1 이므로 0 1 cos 이므로 lim 0 0 lim 1 cos lim 0 lim 1 cos

15 3.1.3 지수함수와로그함수의극한 lim a lima 0 lim a lim e lima lime 0 0 lim log 0 lim log a a lim log 0 a lim ln 0 lim log a limln

16 3.1.3 지수함수와로그함수의극한 h h a 1 e 1 lim ln a, lim 1 h0 h h0 h h a 1 t 1 lim lim lim h0 h t0 log t 0 a 1 1 a t 1 1 t log t 1 lim t0 1/ t 1/ t log at 1 lim log at 1 t0 1 1 ln a 1/ t log lim t 1 log a e a t0 h t a h a t 1 log 1 h 0 t 0 h e 1 lim ln e 1 h0 h 16

17 다음극한을구하라. (1) lim e e e () lim 1 0 1/ 1 (3) lim ln 1 (4) limln( 1) ln( ) (1) lim lim 1 lim e 0 0 e 1 e 1 1e () lim lim 0 1 /, 0 1/ t e e t t t 1/ 1/ / 1 (3) lim ln 1 lim ln 1 ln lim 1 ln e (4) lim 1 1 (1 / ) ln( 1) ln( ) lim ln ln lim ln lim ln 1 ( /) 17

18 3.1.4 삼각함수의극한 sin lim 1 0 부채꼴의호의길이와넓이우극한 0 < < p/이면삼각형 AOB, 부채꼴 AOB, 직각삼각형 AOC의넓이삼각형 AOB 부채꼴 AOB 직각삼각형 AOC 호의길이 : l : pr : p l r sin sin tan ; sin cos 호의넓이 : 1 1 S : pr : p S r rl 0 < < p/에서 sin > 0, cos > 0이므로양변을 sin 로나누고, 역수를취하면 1 sin 1 ; cos 1; lim cos 1, lim 1 1 sin cos 0 0 sin lim 1 0 압축정리에의하여이다. 좌극한 - p/ < < 0 에대하여 = - t 라하면, 0 - 이면 0 < t < p/, t 0 + 이다. sin sin t sin t sin t lim lim lim lim 1 0 t0 t t0 t t0 t sin lim

19 cos 1 lim 0 0 cos 1 cos 1 cos 1 lim lim 0 0 cos 1 cos 1 1 lim 0 cos 1 sin 1 sin sin cos 1 lim lim 0 0 cos 1 cos 1 sin sin lim lim lim 0 cos cos tan lim 1 0 tan sin 1 lim lim 0 0 cos sin 1 lim lim 0 0 cos 11 1 [Note] sin a sin a lim alim a 0 0 a tan a tan a lim alim a 0 0 a 19

20 3.1.5 함수의연속성함수 y = f() 에대하여 (1) f(a) 가존재 lim f( ) () 가존재 a f(a) y y = f() (3) lim f ( ) f ( a) a 일때, 함수 y = f() 는 = a에서연속이라한다. = a에서불연속인경우 a f(a) 가존재안함 lim f( ) 가존재안함 a a lim f ( ) f ( a) 0

21 3.1.5 함수의연속성

22 폐구간 [a, b] 에서의연속성 (1) (a, b) 에서연속 () 우측연속 : (3) 좌측연속 : lim f ( ) f ( a) a lim f ( ) f ( b) b 이면, 함수 f() 는폐구간 [a, b] 에서연속이라한다. 연속함수 : 정의역안의모든 에서연속인함수 [ 정리 3-5] ( 연속성의성질 ) f(), g() 가 = a에서연속이면다음함수들도 = a에서연속이다. (1) f() + g() () f() - g() (3) k f() (4) f() g() (5) f() /g() 단, g(a) 0

23 [ 정리 3-6] ( 합성함수의연속성 ) 함수 g 가 = a 에서연속이고함수 f 가 = g(a) 에서연속이면함성함수 f(g()) 는 = a 에서연속이다. [ 정리 3-75] ( 폐구간에서의연속성 ) (1) 최대 최소정리 : 함수 f() 가폐구간 [a, b] 에서연속이면, 이구간에서 f() 는반드시최댓값과최솟값을갖는다. () 중간값정리 : 함수 f() 가폐구간 [a, b] 에서연속이고 f(a) f(b) 이면, f(a) < k < f(b) 인상수 k 에대하여 f(c) = k 를만족하는 c 가개구간 (a, b) 안에적어도하나존재한다. 3

24 물리학 - 상대성이론 상대성이론에서정지상태에서물체의질량을 m 0, 빛의속도를 c 라할때, 속도 v 로움직이는물체의질량은다음과같이표현된다. m m 0 1 v/ c 이물체의속도가빛의속도에가까워지는경우에, 물체의질량은다음과같이무한히증가한다. lim m lim vc vc m 0 1 v/ c 4

25 3..1 도함수의정의 미분계수 의증분 : 가 a에서 b까지변화한크기, D = b a y의증분 : 가 a에서 b까지변함에따라 y가변한크기, Dy = f(b) f(a) 평균변화율 : Dy f ( b) f ( a) D b a, 그래프위의두점 P(a, f(a)), Q(b, f(b)) 를지나는직선의기울기 순간변화율 : b a(d 0) 일때, 평균변화율의극한을나타내며, f (a) 로표시함. f Dy f ( a h) f ( a) f ( b) f ( a) '( a) lim lim lim D0D h0 h ba b a 평균변화율 순간변화율 5

26 3..1 도함수의정의 순간변화율 : b a(d 0) 일때, 평균변화율의극한을나타내며, f (a) 로표시함. f Dy f ( a h) f ( a) f ( b) f ( a) '( a) lim lim lim D0D h0 h ba b a

27 좌측미분계수 : 우측미분계수 : f f ' ' ( a) lim h0 ( a) lim h0 f a h f a h f a h f a h ' ' [Note] y = f() 가 = a에서미분가능하기위한필요충분조건은 f( a) f( a) 이다.

28 도함수 : f() 의미분가능한임의의점 에서의미분계수 f '( ) lim h0 f h f h 또는 f '( ) lim z f z z f f() y Q 1 P T f() y P Q 1 T Q y = f() y = f() f D Q 0 D 0 D (a) 좌측도함수 (b) 우측도함수 8

29 [ 정리 3-8] ( 미분가능성과연속성 ) y = f() 가 = a 에서미분가능하면 = a 에서연속이다. 역은성립하지않는다.

30 [ 정리 3-8] ( 미분가능성과연속성 ) y = f() 가 = a 에서미분가능하면 = a 에서연속이다. 역은성립하지않는다. 도함수 : f() 의미분가능한임의의점 에서의미분계수 f '( ) lim h0 f h f h 또는 f '( ) lim z f z z f f() y Q 1 P T f() y P Q 1 T Q y = f() y = f() f D Q 0 D 0 D (a) 좌측도함수 (b) 우측도함수 30

31 3.. 미분법 [ 정리 3-9] ( 거듭제곱함수의미분법 ) 상수 c 와자연수 n 에대하여다음이성립한다. dc d (1) 0 () d d n n n1 [ 정리 3-10] ( 기본미분법 ) 두함수 f() 와 g() 가미분가능하면다음이성립한다. ' (1) kf ( ) kf '( ) () (3) f ( ) g( ) ' f '( ) g( ) f ( ) g'( ) (4) f ( ) g( ) ' f '( ) g'( ) ' f ( ) f '( ) g( ) f ( ) g'( ) g, ( ) 0 g ( ) g ( ) [Note] f ( ) g( ) h( ) ' f '( ) g'( ) h'( ) f ( ) g( ) h( ) ' f '( ) g( ) h( ) f ( ) g'( ) h( ) f ( ) g( ) h'( ) 31

32 다음함수의도함수를구하라. (1) f ( ) p () f ( ) 3 (3) f ( ) 1 (4) f ( ) (1) f '( ) 0 () f '( ) 3 d d 3 (3) 1 4, 3 1 f ( ) g( ) ' f '( ) g( ) f ( ) g'( ) d d d 3 d 3 f '( ) 1 1 d d (4) f '( ) ' ' ' f ( ) f '( ) g( ) f ( ) g'( ) g, ( ) 0 g ( ) g ( ) 3

33 [ 정리 3-11] ( 음의정수지수에대한도함수 ) 자연수 n에대하여다음이성립한다. d 1 d n n1 n n n d d n1 [ 정리 3-1] ( 합성함수의미분법 ; 연쇄법칙 ) 두함수 y = f(u) 와 u = g() 가미분가능하면합성함수 y = f(g()) 도미분가능하고, 다음이성립한다. dy d dy du du d f ' g( ) g'( ) [ 정리 3-13] ( 역함수의미분법 ) 미분가능한함수 y = f() 의역함수 = f -1 (y) 가존재하고 f () 0 이면, 역함수는미분가능하고다음이성립한다. d 1 1 dy dy / d f '( ) 33

34 [ 정리 3-1] ( 합성함수의미분법 ; 연쇄법칙 ) 두함수 y = f(u) 와 u = g() 가미분가능하면합성함수 y = f(g()) 도미분가능하고, 다음이성립한다. dy dy du f ' g( ) g'( ) d du d 34

35 35

36 [ 정리 3-13] ( 역함수의미분법 ) 미분가능한함수 y = f() 의역함수 = f -1 (y) 가존재하고 f () 0 이면, 역함수는미분가능하고다음이성립한다. d 1 1 dy dy / d f '( ) 36

37

38 다음함수의도함수를구하라. 1 (1) f ( ) () f ( ) d (1) f ( ) 4 이므로 f '( ) 4 4 d () u = 라하면 y u이고 이므로 dy du 1 du, 1 u d dy dy du d du d u 38

39 함수 f() =, 0 에대하여다음물음에답하라. (1) 역함수 = f -1 (y) 를구하라. () [ 정리 3-14] 를이용하여역함수의도함수 d/dy 를구하라. (3) (1) 에서구한역함수의도함수를이용하여 (f -1 ) (9) 를구하라. 1 dy dy y (1) 0에서 y = 이라하면, y 이므로 d d y () f () = 이므로 f 1 '( y) f '( ) y 1 1 (3) (1) 에서구한도함수로부터 ( f 1 )'(9)

40 음함수의미분 음함수개념복습

41 음함수의미분 합성함수미분개념복습

42 음함수의미분

43 음함수의미분

44 음함수의미분법 방정식 f(, y) = 0 에대하여 y 를 의함수로간주할때, dy/d 를구하는방법 1 y 를 의함수로간주하고, 양변을 에관하여미분한다. dy 항을한쪽변으로모아서정리한다. d dy 3 에관하여방정식을푼다. d d f y d (, ) 0 dy g(, y) h(, y) d dy h(, y) d g(, y) y = 0 에서 y 를 의함수라할때, = 1 에서접선의방정식을구하라. d d dy dy dy y 0 0; y 1 0; y 1; 1 d d d d d y 주어진방정식 y = 0 에서 = 1 이면 y = 1 또는 1 접선의기울기 : dy 1 1 dy 1 1, d y d y 1 1 y1 y1 y1 y1 접선의방정식 : 1 1 y ( 1), y ( 1) 44

45 [Note] 음함수의미분법을이용하면, 유리수 r 에대하여 ( r ) = r r-1 이성립하는것을알수있다. 일반적으로실수 a 에대하여 ( a ) = a a-1 이성립한다. 매개변수방정식의미분법 [ 정리 3-14] ( 매개변수방정식의미분법 ) 매개변수방정식 = f(t), y = g(t) 가각각미분가능하고 f (t) 0이면다음이성립한다. dy dy / dt g'( t) d d / dt f '( t) = t + t, y = t t 3 일때, dy/d 를구하라. d dt dy 1 t, 1 3t dt dy dy / dt 1 3t d d / dt 1 t 45

46 고계도함수 계도함수 : 3 계도함수 : n 계도함수 : y'', f ''( ), d y d f d,, f ( ), D f ( ) d d d y''', f '''( ), d y d f d 3,, f ( ), D f ( ) d d d n n n ( n) ( n) d y d f d n y, f ( ),,, f ( ), D f ( ), n n n d d d n 4 y = m, m 은자연수일때, n 계도함수를구하라. y m y m m y m m m m1 m m3 ', '' 1, '' 1, m k 1 3 4, 1 1 (4) ( ) y m m m m y m m m m k mk y ( m) mk m! mm 1m m k 1 k m ( k) y m! k m 0 k m m 번미분하면상수항만이남으므로상수항을미분하면 0 이됨 46

47 3..3 지수함수와로그함수의미분법 지수 로그함수의미분법 h a 1 t 1 lim lim lim h0 h t0 log t 0 a 1 1 a t 1 1 t log t 1 lim t0 1/ t 1/ t log at 1 lim log at 1 t0 1 1 ln a 1/ t log lim t 1 log a e a t0 복습 h t a h a t 1 log 1 h 0 t 0 f ( ) a 의도함수 f( ) log a 의도함수 f h a a a '( ) lim lim h0 h h0 h a 1 a lim h0 h a ln a a h h 1 d dy y y y log a a, a ln a dy y d d / dy a ln a ln a 1 1 f ( ) l n f '( ) ln e f ( ) e f '( ) e ln e e 1

48 다음함수의도함수를구하라. (1) y 3 () y e e 1 (3) y log 3 (4) y ln 1 d (1) y' 3 ln 3 3 d e e e1 e e1 () y' ' e e ' e e e e e ln 1 ' 1 (3) y log 3 y' ln 3 ln 3 ln 3 1 (4) y ln ln 1 ln ' 1 ' 1 1 y'

49 3..4 삼각함수와역삼각함수의미분법 삼각함수의미분법 f ( ) sin 의도함수 sin h sin f '( ) lim h0 h ( h) ( h) sin cos lim h0 h h h sin cos lim h0 h sin( h /) h lim lim cos h0 h / h0 1cos cos f( ) tan 의도함수 a a sina sin cos sin f( ) cos sin sin 'cos sin cos ' f ( ) tan f '( ) cos cos cos sin 1 sc e cos cos ' f ( ) f '( ) g( ) f ( ) g'( ) g, ( ) 0 g ( ) g ( ) 의도함수 cos h cos f '( ) lim h0 h ( h) ( h) sin sin lim h0 h h h sin sin ( 1)lim h0 h sin( h /) h ( 1)lim lim sin h0 h / h0 ( 1) sin sin a a cosa cos sin sin cot ' cosec cos ec ' coseccot sec ' sec tan 49

50 .4 역삼각함수 삼각함수는주어진정의역에서일대일대응함수가아니므로역함수를갖지않는다. 그러나이삼각함수들을일대일대응함수가되도록정의역을제한하면역함수를갖는다. 역사인함수 p p 에서 y = sin : 일대일대응함수 역함수 = f -1 (y) 가존재 = f -1 (y) = sin -1 y 로나타냄. arc-sine y 로읽는다. y = sin = sin -1 y, p p 주치 삼각함수가역함수를갖도록제한된영역 [Note] = sin y와 y = sin -1 에대하여 (1) sin(sin -1 ) =, () sin -1 (sin y) = y, p p y 50

51 역코사인함수 0 p 에서 y = cos : 일대일대응함수역함수 = f -1 (y) 가존재 = f -1 (y) = cos -1 y로나타냄. arc cosine y로읽는다. y = cos = cos -1 y, 0 p 주치 [Note] = cos y와 y = cos -1 에대하여 (1) cos(cos -1 ) =, () cos -1 (cos y) = y, 0 y p 51

52 역탄젠트함수 p p 에서 y = tan : 일대일대응함수 역함수 = f -1 (y) 가존재 = f -1 (y) = tan -1 y 로나타냄. arc tangent y 로읽는다. y = tan = tan -1 y, p p 주치 [Note] = tan y와 y = tan -1 에대하여 (1) tan(tan -1 ) =, - () tan -1 (tan y) = y, p p y 5

53 sin, sin cos, sin tan 3 1 를구하라. 1 1 sin 라하면, p p 에서 sin 1 을만족하는 를구하는것과 동일하고, 따라서 = - p/4이다. cos 라하면, 주치 0 p에서 cos 이므로다음그림과같다. 3 3 sin cos 1 1 sina tan 1 라하면, p p 5 에서 tan 이므로다음그림과같다. 1 동일하고, 따라서 = p/6 이다. sin tan 5 1 sina

54 역시컨트함수 y = sec = sec -1 y, 0 p, p 주치 역코시컨트함수 y = cosec = cosec -1 p p y,, 0 주치 역코탄젠트함수 y = cot = cot -1 y, 0 < < p 주치 54

55 역삼각함수의미분법 f ( ) sin 1 의도함수 sin cos 1 f ( ) cos 1 의도함수 1 p p y sin sin y, y d cos y 1 sin y dy d sin d y cos cos y, 0 y p d cos d 1 d sin y 1 cos dy y f ( ) tan 1 의도함수 1 p p y tan tan y, y d sec y 1 tan y 1 dy d tan d tan sec cot 1 1 cos ec sec 1 1 ' 1 ' 1 '

56 환경공학 - 소음 우리가귀로듣기에매우약한소리의강도는 1KHz 에서 I 0 = 10-1 watt/m 이다. 강도 I 인소리의소음 (db) 은 L = 10log 10 (I/I 0 ) 로정의한다. (1) 락음악의소음은 10dB 이고잔디를깍는기계의소음이 106dB 일때, 이기계에대한락음악의소음의강도에대한비를구하라. () 정상적인대화수준의소음인 50dB 로측정되는순간의소음의변화율을구하라. (1) 락음악과잔디를깍는기계의소음을각각 I 1, I 라하면, I1 I 10 log10 10, 10 log I I 0 0 I 1 I1/ I 0 I 1 I log 10 log10 log10 log I I / I0 I0 I0 () L = 50 인경우의소음 I 에대한공식 : I I L 50 10log10 50; 10 ; I 10 I0 10 I I I I dl d log10 I log10 I0 di di ln 10 I 8 dl dl db di di 7 ln ln 10 watt /m L50 I

57 3.3.1 함수의극대와극소 증가상태 : 충분히작은 h > 0 에대하여, f(a - h) < f(a) < f(a + h) 일때, 증가상태 감소상태 : 충분히작은 h > 0 에대하여, f(a - h) > f(a) > f(a + h) 일때, 감소상태 f (a) < 0 f (a) > 0 [ 정리 3-15] ( 함수의증감판정법 ) 함수 f() 가 = a 에서미분가능할때, (1) f (a) > 0 이면 f() 는 = a 에서증가상태이다. () f (a) < 0 이면 f() 는 = a 에서감소상태이다. 57

58 극댓값 : 구간 I 안의 a에대하여 f() f(a) 일때, = a에서극대, 극댓값 f(a) 극솟값 : 구간 I 안의 a에대하여 f() f(a) 일때, = a에서극소, 극솟값 f(a) y f (a)=0 극대 E f (c) 극대 f (b)=0 극소 극소 E f (d) 0 a b c d [ 정리 3-15] 함수 f() 가 = a 에서극값을가지면 f (a) = 0 이거나 f (a) 가존재하지않는다. [Note] = a 를임계점이라한다. 58

59 [ 정리 3-16] (1계도함수극값판정법 ) 함수 f() 가임계점 = a를포함하는적당한구간에서미분가능하고, (1) = a의좌우에서 f () 의부호가 + 에서 로변하면, = a에서극댓값 f(a) () = a의좌우에서 f () 의부호가 -에서 + 로변하면, = a에서극솟값 f(a) (3) = a의좌우에서 f () 의부호가변하지않으면, 극값을갖지않는다. f() = 의극값을조사하라. 임계점 : f () = 3 = 0; /3 f () f() 극대 3 / 극소

60 3.3. 함수의볼록성과극대 극소 아래로볼록 : 구간 I에서 f () 가증가할때, 이구간에서아래로볼록 위로볼록 : 구간 I에서 f () 가감소할때, 이구간에서위로볼록 변곡점 : y = f() 위에서볼록성이변하는점 f ()>0 f ()=0 f ()<0 f ()<0 f ()=0 f ()>0 a b a b [ 정리 3-17] ( 볼록성판정법 ) 함수 f() 가어떤구간 I 에서 계도함수가존재할때, 이구간에서 (1) f () > 0 이면, 구간 I 에서아래로볼록이다. () f () < 0 이면, 구간 I 에서위로볼록이다. (3) = a 에서변곡점을갖는다면, f (a) = 0 이거나 f (a) 가존재하지않는다. 60

61 [ 정리 3-18] (계도함수극값판정법 ) 함수 f() 에대하여 f (a) = 0이고, a를포함하는적당한개구간에서 f () 가존재할때, (1) f (a) > 0이면, 극솟값 f(a) 를갖는다. () f (a) < 0이면, 극댓값 f(a) 를갖는다. f() = e - sin, 0 p 에대하여 (1) 임계점 () 변곡점 (3) 볼록성 (4) 극값 (5) 최댓값, 최솟값 (6) 그래프 (1) 임계점 : f () = e - (cos - sin ) = 0 ; cos - sin = 0 ; tan = 1 ; p 5p, 4 4 () 변곡점 : f () = -e - cos = 0 ; cos = 0 ; p 3p, p p/ 3p 3 p/, e,, e 61

62 0 p ''( ) 0 p 3p f ''( ) 0 3p p f ''( ) 0 (3) 볼록성 : f : 위로볼록 : 아래로볼록 : 위로볼록 (4) 극값 : f '' p /4 p /4 e 0 f p /4 p /4 e e f '' 5 /4 e 0 f 5 /4 5 p /4 p p (5) 최댓값, 최솟값 : f(0) = 0, f(p) = 0, 극값 극댓값 : 극솟값 : e p /4 e 5 p /4 p /4 e 0 e 5 p /4 y π 4 5 p /4 : 극댓값 : 극솟값 f() = e - sin π p p /, e 5π 4 3π 3 p, e 3 p / π 6

63 3.4.1 평균값정리 [ 정리 3-19] (Rolle의정리 ) 함수 y = f() 가다음조건을만족한다고하자. (1) f() 는폐구간 [a, b] 에서연속 () f() 는개구간 (a, b) 에서미분가능 (3) f(a) = f(b) 그러면 f (c) = 0을만족하는 c가개구간 (a, b) 안에적어도하나존재한다. [ 정리 3-0] ( 평균값정리 ) 함수 y = f() 가다음조건을만족한다고하자. (1) f() 는폐구간 [a, b] 에서연속 () f() 는개구간 (a, b) 에서미분가능 그러면 f ( b) f ( a) f '( c) b a 를만족하는 c 가 개구간 (a, b) 안에적어도하나존재한다. 63

64 함수 f() = 에대하여다음물음에답하라. (1) 폐구간 [-1, 1] 에서롤의정리를만족하는 c 를구하라. () 폐구간 [-1, 3] 에서평균값정리를만족하는 c 를구하라. (1) 함수 f() = 은폐구간 [-1, 1] 에서연속이고개구간 (-1, 1) 에서미분가능하다. 또한 f(-1) = f(1) = 1 이므로롤의정리를만족한다. 이때 f (c) = c 이므로 f (c) = 0 을만족하는 c 는 c = 0 이다. () 함수 f() = 은폐구간 [-1, 3] 에서연속이고개구간 (-1, 3) 에서미분가능하다. 따라서 f() 는평균값정리를만족한다. 이때 f (c) = c 이므로다음을만족하는 c 는 c = 1 이다. f(3) f( 1) 3 ( 1) f '( c) c 64

65 3.4. 평균값정리를이용해근삿값구하기평균값정리로부터 f(b) = f(a) + f (c)(b - a), a < c < b 이제 b = a + h, = (c - a)/(b - a) 라하면, 0 < < 1, c = a + h이고 f(a + h) = f(a) +h f (a + h) h 0이면 a + h a이므로 f(a + h) f(a) +h f (a) [ 정리 3-] ( 근사식 ) (1) (1+) n 1+ n () sin (3) cos 1 (4) tan -1 (5) ln(1+) (6) e 1+ 65

66 소수점이하네자리에서의근삿값을구하라 f ( ) 라하면 f '( ) 이고, a = 7, h = -0.5 라하면 6.5 f 7 ( 0.5) f (7) ( 0.5) f '(7)

67 3.4.3 로피탈의정리 [ 정리 3-3] (L Hospital의정리 ) 함수 f(), g() 가 a를포함하는구간에서미분가능하고 g (a) 0이라하자. (1) () lim f ( ) 0,lim g( ) 0 a a lim f ( ),lim g( ) a a f( ) 일때, 가존재한다면, 이다. lim a g ( ) f ( ) f '( ) lim lim a g( ) a g'( ) [Note] (1) 0, 형태의부정형은 0/0, / 형태로변경 () 0 0, 0, 1 형태의부정형은자연로그를취하여 0/0, / 형태로변경 67

68 다음극한을구하여라. 1 1 (1) lim () lim 0 sin 0 sin (1) 1 1 sin cos 1 lim lim lim 0 sin 0 sin 0 sin cos sin 0 lim 0 0 cos sin () f() = sin 이라하면, ln ln f ( ) ln sin cosec ln 1/ sin lim ln f( ) lim lim lim 0 0 cos ec 0 cos ec cot 0 cos sin sin sin lim lim lim tan 0 cos ln 1 lim f lim sin r 1 cosec y 0 y sin cos co t y 0 y sin 68

69 3.4.4 미분 y 평균값정리로부터 f(+δ) = f() + f () Δ y f ( ) 의미분 : d = Δ ( 변화율이극소이므로 ) ( D, f ( D)) y의미분 : f(+δ) - f() = dy = f () Δ = f () d Δy dy (, f ( )) dy Dy D d [ 정리 3-3] ( 미분공식 ) 0 D d( kf ) kf '( ) d '( ) '( ) '( ) ( ) ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) '( ) g ( ) d f g f g d d f g f g f g d f g f g d d f / g, g( ) 0 69

70

71