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가영 왕
8 years ago
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1 SeoulTech UCS Lab st 현대암호학 제 6 장 공개 키 암호 박 종 혁 교수 Tel: jhpark1@seoultech.ac.kr

2 1절 키 배송 문제 2절 공개 키 암호 3절 정수론 4절 RSA 5절 RSA에 대한 공격 6절 다른 공개키 암호 7절 공개 키 암호에 관한 Q&A 2

3 제1절 키 배송 문제 1.1 키 배송 문제란? 1.2 키의 사전 공유에 의한 키 배송 문제의 해결 1.3 키 배포 센터에 의한 키 배송 문제의 해결 1.4 Diffie-Hellman 키 교환에 의한 키 배송 문제의 해결 1.5 공개 키 암호에 의한 키 배송 문제의 해결 3

4 1.1 키 배송 문제란? 키 배송 문제(key distribution problem) 대칭 암호를 사용하려면 송신자와 수신자가 대칭키를 사전에 공유 해야 하는 문제 대칭 키를 보내지 않으면 밥은 복호화할 수 없다 안전하게 키를 보내는 방법은? 4

5 키 배송 문제를 해결하기 위한 방법 키의 사전 공유에 의한 해결 키 배포 센터에 의한 해결 Diffie-Hellman 키 교환 공개 키 암호에 의한 해결 5

6 키를 보내 버리면 도청자 이브도 복호화 가능 6

7 1.2 키의 사전 공유에 의한 키 배송 문제의 해결 키 사전 공유 안전한 방법으로 키를 사전에 건네주는 것 직접전달은 안전 이메일/일반메일 등은 위험 인원이 많아지면 관리 해야 할 키 수 증가 7

8 사원 1000명 회사 1000명의 사원 한 사람 한 사람이 자신 이외의 999명과 통신할 가능성이 있다고 하면, 통신용 키는 1인당 999개가 필요 회사 전체로 필요한 키의 수 = 49만 9500개 현실적이지 못하다 8

9 1.3 키 배포 센터에 의한 키 배송 문제의 해결 키 배포 센터(key distribution center; KDC) 암호 통신 때마다 통신용의 키를 키 배포 센터에 의뢰해서 개인과 키 배포 센터 사이에서만 키를 사전에 공유 키 배포 센터의 역할을 하는 컴퓨터를 지정 구성원 전원의 키를 보존 9

10 앨리스가 밥에게 암호 메일 보내기 (1/2) 1. 앨리스는 키 배포 센터에 밥과 통신하고 싶다 고 신청한다. 2. 키 배포 센터는 의사난수 생성기를 써서 세션 키(K)를 만든다. 이것은 앨리스와 밥이 이번 통신만을 위한 일시적인 키이다. 3. 키 배포 센터는 데이터베이스로부터 앨리스의 키(KA)와 밥의 키(KB) 를 꺼낸다. 4. 키 배포 센터는 앨리스의 키를 써서 세션 키를 암호화(CA = EKA(K)) 해서 앨리스에게 보낸다. 5. 키 배포 센터는 밥의 키를 써서 세션 키를 암호화(CB = EKB(K))해서 밥에게 보낸다. 10

11 앨리스가 밥에게 암호 메일 보내기 (2/2) 6. 앨리스는 키 배포 센터로부터 온 세션 키(앨리스의 키로 암호화되어 있음)를 복호화(K=DKA(CA))해서 세션 키를 얻는다. 7. 앨리스는 세션 키를 써서 밥에게 보낼 메일을 암호화(C=EK(M))해서 밥에게 보낸다. 8. 밥은 키 배포 센터로부터 온 세션 키(밥의 키로 암호화되어 있음)를 복 호화(K=DKB(CB))해서 세션 키를 얻는다. 9. 밥은 세션 키를 써서 앨리스에게 온 암호문을 복호화(M=DK(C))한다. 10.앨리스와 밥은 세션 키를 삭제한다. 11

12 키 배포 센터에 의한 키 배송 12

13 키 배포센터의 문제점 구성원 수 증가시 키 배포 센터의 부하 키 배포 센터의 컴퓨터가 고장시 조직 전체의 암호 통신 마비 키 배포센터가 공격의 대상이 될 수 있다 13

14 1.4 Diffie-Hellman 키 교환에 의한 키 배송 문제의 해결 Diffie-Hellman 키 교환 암호 통신을 원하는 두 사람이 있다면 어떤 정보를 교환한다 이 정보는 도청자 이브에게 노출 되어도 무방 두 사람은 교환한 정보를 가지고 동일한 키를 각각 생성할 수 있다 하지만 도청자 이브는 같은 키를 만들 수 없다 14

15 1.5 공개 키 암호에 의한 키 배송 문제의 해결 (1/2) 공개 키 암호 대칭 암호 암호화 키 와 복호화 키 동일 공개 키 암호 암호화의 키 와 복호화 키 다르다 암호화 키 를 가지고 있는 사람이라면 누구든지 암호화 할 수 있음 하지만 암호화 키 를 가지고 있어도 복호화할 수는 없다 복호화 할 수 있는 것은 복호화 키 를 가지고 있는 사람 뿐임 15

16 1.5 공개 키 암호에 의한 키 배송 문제의 해결 (2/2) 수신자는 미리 암호화 키 를 송신자에게 알려 준다. 이 암호화 키 는 도청자에게 알려져도 무방 송신자는 그 암호화 키 로 암호화해서 수신자에게 전송 암호문을 복호화할 수 있는 자는 복호화 키 를 가지고 있는 사람(수신자)뿐 이렇게 하면 복호화 키 를 수신자에게 배송할 필요가 없음 16

17 공개 키 암호를 이용한 키 배송 17

18 제2절 공개 키 암호 2.1 공개 키 암호란? 2.2 공개 키를 사용한 통신의 흐름 2.3 여러 가지 용어 2.4 공개 키 암호로도 해결할 수 없는 문제 18

19 2.1 공개 키 암호란? 공개 키 암호(public-key cryptography) 암호화 키 와 복호화 키 가 분리 송신자는 암호화 키 를 써서 메시지를 암호화하고, 수신자는 복호화 키 를 써서 암호문을 복호화 19

20 공개키 암호의 암호화 송신자가 필요한 것은 암호화 키 뿐 수신자가 필요한 것은 복호화 키 뿐 도청자에게 알려지면 곤란한 것은 복호화 키 암호화 키 는 도청자에게 알려져도 무방 20

21 공개키의 의미 공개 키(public key) 암호화 키 는 일반에게 공개해도 무방 수신자에게 메일로 전달해도 무방 신문의 광고란에 실어도 무방 간판으로 해서 길가에 세워도 무방 Web 페이지를 통하여 전 세계에서 읽을 수 있도록 해도 무방 도청자 이브에게 공개 키가 도청되는 것을 신경 쓸 필요가 없다 21

22 개인키의 의미 개인 키(private key) 복호화 키 는 미공개 이 키는 본인만 사용 개인 키는 다른 사람에게 보이거나, 건네주거나 해서는 안 됨 개인 키는 자신의 통신 상대에게도 보여서는 안 됨 22

23 공개키-개인키 쌍 키 쌍(key pair) 공개 키와 개인 키는 둘이 한 쌍 공개 키로 암호화한 암호문은 그 공개 키와 쌍이 되는 개인 키가 아 니면 복호화할 수 없다 수학적인 관계 키 쌍을 이루고 있는 2개의 키는 서로 밀접한 관계 공개 키와 개인 키 쌍은 별개로 만들 수 없음 23

24 공개키 암호의 역사 Whitfield Diffie 와 Martin Hellman(1976) 공개 키 암호의 아이디어를 발표 암호화 키와 복호화 키의 분리성 공개 키가 어떠한 특성을 갖추고 있어야 하는지를 제시 Ralph Merkle 와 Martin Hellman(1977) 배낭(napsack) 암호 Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman(1978) 공개 키 암호 알고리즘 RSA 발표 24

25 2.2 공개 키를 사용한 통신의 흐름 앨리스가 밥에게 메시지 보내기 (1) 밥은 공개 키/개인 키로 이루어진 한 쌍의 키(K B(pub) /K B(pri) )생성 (2) 밥은 자신의 공개 키(K B(pub) )를 앨리스에게 전송 (3) 앨리스는 밥의 공개 키를 써서 메시지(P)를 암호화 (C=E(K B(pub),P)) (4) 앨리스는 암호문(C)을 밥에게 전송 (5) 밥은 자신의 개인 키(K B(pri) )를 써서 암호문을 복호화 (P=D(K B(pri),C)) 25

26 공개 키를 사용한 메시지 전송 26

27 2.3 여러 가지 용어 대칭 암호(symmetric cryptography) 동일키 사용해서 암호화와 복호화 수행 암호화와 복호화가 마치 거울처럼 대칭 키: 비밀키(secret key)라고 함 비대칭 암호(asymmetric cryptography) 대칭 암호와의 대비 암호화와 복호화에 다른 키 사용 키: 개인키(private key)와 공개키(public key) 27

28 2.4 공개 키 암호로도 해결할 수 없는 문제 공개 키의 인증에 관한 문제 입수한 공개 키의 진위를 판단할 필요 중간자공격(man-in-the-middle attack) 공개 키 암호의 속도 대칭 암호에 비해 처리 속도가 몇 백 배나 늦음 28

29 제3절 정수론 3.1 솟수와 서로소 3.2 모듈러 연산 3.3 페르마와 오일러의 정리 3.4 이산대수 29

30 3.1 소솟수와 서로소 약수(divisors) 어떤 수 m에 대해서 a=mb라면 b 0 일때 b는 a를 나눈다=> 약수 여기서 a, b, m은 정수 나눗셈에서 나머지가 없을 때 약수라고 함 예) 24의 양의 약수 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 30

31 약수(계속) 만약 a 1 이라면, 그때 a= 1 만약 a b 이고 b a 라면, 그때 a= b 어떠한 0이 아닌 b도 0을 나눈다 만약 b g이고 b h라면, 그때 임의의 m과 n에 대해 b (mg+nh) 만약 b g라면, 그때 g는 어떠한 정수 g1에 대해 g=b*g1을 만족 만약 b h라면, 그때 h는 어떠한 정수 h1에 대해 h=b*h1을 만족 또한 mg+nh = mbg1 + nbh1 = b*(mg1+nh1) => b는 mg+mh 를 나눈다 31

32 약수(계속) 예) b=7; g=14; h=63; m=3; n=2 만약 b g이고 b h라면, 그때 임의의 m과 n에 대해 b (mg+nh) 7 14와 7 63에 대해서 7 (3*14+2*63) mg+nh = mbg1 + nbh1 = b*(mg1+nh1) g = b*g1, g1= g/b = 2 h = b*h1, h1= h/b = 9 (3*14+2*63) = 7*(3*2+2*9)계산 가능 이 계산은 7 7*(3*2+2*9))가 성립함 32

33 솟수(prime numbers) 정수 p>1이 만약 단지 약수들로서 1과 p만을 가진다면 p는 솟수 이다. 266페이지 표 미만의 솟수 참조 어떠한 정수 a>1은 다음과 같은 유일한 방법으로 인수분해 가능 a = p 1 1 p 2 2 p t t p t > p t-1 > > p 1 는 솟수, i > 0 예) 91 2, 3, 4, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 7* = 7*11 2 *12 33

34 솟수(계속) 만약 P가 모든 솟수들의 집합이라면 어떤 양의 정수는 다음의 형태 에서처럼 유일하게 표시될 수 있다 a = ㅠ p ap, 여기서 ap >= 0 a의 어떤 특별한 p 값에 있어서 멱 지수 ap의 대부분은 0 예) 3600 => 2 4 * 3 2 *

35 솟수(계속) 정수 12 {a2 = 2, a3 = 1} => 2 2 *3 1 정수 18 {a2 = 1, a3 = 2} => 2 1 *3 2 두수의 곱셈은 해당하는 멱 지수를 더하는 것과 같다 12*18 = (2 2 *3 1 )*(2 1 *3 2 ) = (2 3 *3 3 ) = 216 이러한 솟수들의 관점에서 a b의 의미는??? 35

36 솟수(계속) 이러한 솟수들의 관점에서 a b의 의미는??? p k 형태를 가지는 어떠한 정수는 단지 그것보다 작거나 같은 지수를 가지 는 솟수 p j, 단 j<=k 에 의해 나누어 질 수 있다 즉, 모든 p에 대해 a b -> a p <= b p 예) a=12, b=36 12 = 2 2 * = 2 2 *3 2 a 2 = 2 = b 2 a 3 = 1<=2 = b 3 36

37 서로소(relatively prime number) 어떤 두 수가 공통적인 소인수를 갖지 못할 때 두 수를 서로소 라고 한다. 공통적인 소인수 => 최대 공약수 => GCD 양의 정수 c가 다음의 조건을 만족한다면 c는 a와 b의 최대 공약수 c는 a와 b의 약수 a와 b에 대한 어떠한 약수는 c의 약수 GCD(a,b)= max[k, 이때 k는 k a이고 k b] 37

38 서로소(계속) 암호학에서 요구하는 최대 공약수는 양수 GCD(a,b)=GCD(a,-b)=GCD(-a,b)=GCD(-a,-b)=GCD( a, b ) GCD(60,24)=GCD(60,-24)=12 모든 0이 아닌 정수들은 0을 나누기 때문에 GCD(a,0)= a 모든 정수의 솟수 표현법을 이용하면 최대 공약수 결정이 쉬워짐 300 = 2 2 *3 1 * = 2 1 *3 2 GCD(300,18) = 2 1 *3 1 *5 0 = 6 38

39 서로소(계속) 8과 15는 서로 소인가? 8은 약수로 1, 2, 4, 8 가짐 15는 약수로 1, 3, 5, 15 가짐 => 동일한 약수를 가지지 못하므로 서로 소임 39

40 3.2 모듈러 연산 어떤 양의 정수 n과 어떤 정수 a가 주어지고, 만약 a를 n으로 나 눈다면 다음과 같은 관계를 가지는 몫 q와 나머지 r을 얻는다 a = qn + r 0 <= r < n q = a/n a r mod n => 여기서 x 는 x보다 작거나 또는 같은 가장 큰 정수 r n a 0 n 2n qn (q+1)n 40

41 예제) a = qn + r a=11, n=7 11 = 1*7 + 4 = 4 mod 7 4 = 11 mod mod 7 a= -11, n=7-11 = 2*7-3 = 3 mod 7 3 = -11 mod mod 7 41

42 합동 (a mod n) = (b mod n), 두 정수 a와 b는 modulo n에 대해 합 동 a b mod n 으로 표기 a 0 mod n 이라면 그때 n a 이다 모듈러 연산자의 특성 1. 만약 n (a-b) 라면, a b mod n 2. (a mod n) = (b mod n)은 a b mod n 3. a b mod n은 b a mod n 을 의미 4. a b mod n과 b c mod n 은 a c mod n 을 의미 42

43 1. 만약 n (a-b) 라면, a b mod n n = 5, a = 23, b = = 15 = 5*3 이기 때문에 23 8 mod 5 43

44 모듈러 산술 연산 mod n 연산 정수들의 범위 => {0, 1,, (n-1)}으로 표현가능 즉, 이러한 집합의 범위 내에서 산술 연산이 가능 모듈러 연산의 특징 1. [(a mod n)+(b mod n)] mod n = (a+b) mod n 2. [(a mod n)-(b mod n)] mod n = (a-b) mod n 3. [(a mod n)*(b mod n)] mod n = (a*b) mod n 44

45 예제) a = 11, b = 15, n = 8 1. (a + b) mod n = ((11 mod 8) + (15 mod 8)) mod 8 = mod 8 = 10 mod 8 = 2 2. (a - b) mod n = ((11 mod 8) - (15 mod 8)) mod 8 = 3-7 mod 8 = -4 mod 8 = 4 3. (a * b) mod n = ((11 mod 8) * (15 mod 8)) mod 8 = 3 * 7 mod 8 = 21 mod 8 = 5 45

46 지수 연산 => 곱셈의 반복으로 수행가능 예) 11 7 mod = 121 = 4 mod = 4 2 = 3 mod = 11*4*3 = 2 mod 13 46

47 모듈러 연산의 속성 교환법칙 (w+x) mod n = (x+w) mod n (w*x) mod n = (x*w) mod n 결합법칙 [(w+x)+y] mod n = [w+(x+y)] mod n [(w*x)*y] mod n = [w*(x*y)] mod n 분배법칙 [w*(x+y)] mod n = [(w*x)+(w*y)] mod n 항등원 (0+w) mod n = w mod n (1*w) mod n = w mod n 덧셈에 대한 역원 (-w) 47

48 3.3 페르마와 오일러의 정리 페르마 정리(Fermat Theorem) 만약 p가 소수라면 a는 p에 의해 나누어지지 않는 양의 정수이다. 그때 a p-1 1 mod p 가 성립한다 48

49 예제) a=7, p= 19 a p-1 1 mod p 7 2 = mod = mod = mod = mod 19 a p-1 = 7 18 = 7 16 * 7 2 7*11 1 mod 19 49

50 페르마의 다른 유용한 형태 만약 p가 솟수이고 a가 양의 정수라면 a p a mod p 가 성립한다 예) a=3, p=5, 3 5 = mod 5 예) a=10, p=5, 10 5 = mod 5 0 mod 5 50

51 오일러 정리 오일러의 Totient 함수 정수론에서 오일러의 totient 함수는 (n)라고 표기된다 (n): n보다 작고 n과 서로 소인 양의 정수의 개수 n (n)

52 오일러 정리 오일러 함수의 특성 (1) = 1 솟수 n에 대해서 (n) = n-1 솟수 p와 q에 대해서 n=pq (n) = (pq) = (p)* (q) = (p-1)(q-1) 52

53 오일러 정리 오일러 정리 서로소인 모든 a와 n에 대한 관계를 나타낸다 a (n) 1 mod n a=3; n=10; (10) = 4; 3 4 = 81 1 mod 10 a=2; n=11; (11) = 10; 3 10 = mod 11 오일러 정리의 추가적인 특성 a (n)+1 a mod n 53

54 3.4 이산대수 다음과 같은 등식을 고려해 보자 y = g x mod p g, x 그리고 p가 주어진다면, y를 계산하는 것은 쉬운 문제이다. 최악 의 경우, 반복적인 곱셈과정을 x번 수행해야만 하며, 효율적인 계산을 위한 알고리즘이 존재한다. 그러나 y, g 그리고 p가 주어진다고 하더라도 x를 계산하는 것은 매우 어려운 문제이다. 그 어려움은 RSA알고리즘을 풀기 위해 요구되는 인 수분해의 어려움과 같은 어려움을 가진다. 54

55 RSA 알고리즘 예 암호화와 복호화 : 평문 메시지 M = 19 일 경우 암호문 : 19 5 = 66 mod 복호문 : = 19 mod 암호화 복호화 평문 = = 119 나머지 : 66 암호문 = = 119 나머지 : 19 평문 19 KU = 5, 119 KR = 77,

56 제4절 RSA 4.1 RSA란 무엇인가? 4.2 RSA에 의한 암호화 4.3 RSA에 의한 복호화 4.4 키 쌍의 생성 4.5 구체적 계산 56

57 4.1 RSA란 무엇인가? RSA는 공개 키 암호 알고리즘의 하나 RSA 이름 개발자 3명의 이름 Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman의 이니셜 (Rivest-Shamir-Adleman) 응용 공개 키 암호 디지털 서명 키 교환 57

58 58

59 4.2 RSA에 의한 암호화 RSA에서 평문도 키도 암호문도 숫자로 변환한 뒤 실행 RSA의 암호화는 다음 식으로 표현 암호문 = (평문) E mod N (RSA에 의한 암호화) 59

60 E와 N은 무엇일까? (E, N): 공개 키 E와 N이라는 한 쌍의 수를 알면 누구라도 암호화를 행할 수 있다 E와 N이 RSA 암호화에 사용되는 키 E와 N은 면밀한 계산을 통해 생성 60

61 4.3 RSA에 의한 복호화 복호화도 간단하다 평문 = (암호문) D mod N (RSA의 복호화) 61

62 D와 N은 무엇일까? (D, N): 개인 키 D와 N이라는 한 쌍의 수를 알면 누구라도 복호화를 행할 수 있다 D와 N이 RSA 복호화에 사용되는 키 D와 N도 면밀한 계산을 통해 생성 E와 D는 밀접한 연관관계 62

63 RSA의 암호화 복호화 키 쌍 공개 키 개인 키 수 E와 수 N 수 D와 수 N 암호화 복호화 암호문 = (평 문) E mod N (평문을 E제곱해서 N으로 나눈 나머지) 평 문 = (암호문) D mod N (암호문을 D제곱해서 N으로 나눈 나머지) 63

64 RSA의 암호화와 복호화 64

65 4.4 키 쌍의 생성 1. N을 구한다 2. L을 구한다(L은 키 쌍을 생성할 때만 등장하는 수이다) 3. E를 구한다 4. D를 구한다 65

66 N 구하기 큰 소수를 2개 준비 (p와 q) N = p q (p, q는 소수) 66

67 L 구하기 L 은 RSA의 암호화나 복호화에 사용안함 키 쌍을 만들 때 임시로 사용 L = lcm(p-1, q-1) (L은 p-1 과 q-1의 최소공배수) 67

68 E 구하기 다음 두 식을 만족하는 수 E를 하나 찾아낸다 1 < E < L gcd(e, L) = 1 (E와 L은 서로 소) 68

69 D 구하기 다음 두 식을 만족하는 수 E를 하나 찾아낸다 1 < D < L E D mod L = 1 69

70 RSA 키 쌍 생성 (1) N을 구한다 의사난수 생성기로 p와 q를 구한다 p와 q는 소수 N = p q (2) L을 구한다 L = lcm(p-1, q-1) L은 p-1과 q-1의 최소공배수 (3) E를 구한다 1<E<L gcd(e, L) = 1 E와 L과의 최대공약수는 1(E와 L은 서로 소) (4) D를 구한다 1<D<L E D mod L = 1 70

71 RSA 키 쌍 71

72 4.5 구체적 계산 구체적인 수를 써서 RSA의 키 쌍 생성 암호화 복호화를 실제 로 구현 너무 큰 수(p와 q)를 사용하면 계산이 힘들기 때문에 작은 수를 이용하여 계산 72

73 RSA 예 p 와 q 선택하기 2개의 소수 p=17, q=19 선택 N 구하기 N = p q = = 323 L 구하기 L = lcm(p-1, q-1) = lcm(16, 18) = 144 (16과 18의 최소공배수) E 구하기(선택하기) gcd(e, L) = 1 이 되는 수 E 를 선택하자. E가 될 수 있는 수는 다음과 같은 수이다. 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 우리는 E=5를 선택(다른 수를 선택해도 무방) D 구하기 E D mod L = 5 29 mod 144 = 145 mod 144 = 1 이므로 D=29 73

74 RSA 예 공개 키: (E, N) = (5, 323) 개인 키: (D, N) = (29, 323) 74

75 암호화 평문은 N=323 보다 작은수 예로 평문=123이라 하고 암호화를 해보자 평문 E mod N = mod 323 =

76 복호화 암호문 D mod N = mod 323 =

77 mod 323의 계산 29= = = = = mod 323 = mod 323 = 16 (1) mod 323 = mod 323 = 191 (2) mod 323 = mod 323 = ( mod 323) ( mod 323) (225 9 mod 323) mod 323 = mod 323 = mod 323 = 123 따라서 mod 323 =

78 제5절 RSA에 대한 공격 5.1 암호문으로부터 평문 구하기 5.2 전사 공격 5.3 E와 N으로부터 D 구하기 5.4 중간자 공격 78

79 해독자(공격자)가 가진 정보 암호 해독자가 알고 있는 것 암호문 : 도청해서 구한다 E와 N : 공개 키로서 공개 암호 해독자가 모르는 것 평문 : 지금부터 해독하려고 하는 내용 D : 개인 키 중 적어도 D는 모름 기타 : 키 쌍을 만든 p, q, L을 모름 79

80 5.1 암호문으로부터 평문 구하기 암호문 = (평문) E mod N 에서 평문을 구하려면 이산 대수 문제를 풀어야 함 이산 대수 문제는 매우 곤란 현재까지 아직 이산 대수를 구하는 빠른 방법을 알지 못함 80

81 5.2 전사 공격 전사공격(brute-force attack) D의 후보가 되는 수를 순서대로 모두 시도해서 복호화 해본다 D의 비트 수가 크면 클수록 어려워진다 비트 수가 충분히 크면 전사공격으로 수 D를 찾아내는 것은 현실적 으로는 불가능 RSA에서는 p와 q의 비트 수로서 512 비트 이상을 사용 N은 1024 비트 이상을 이용 E나 D는 N과 같은 정도의 크기로 할 수 있으므로 D를 찾으려면 1024 비트 이상의 전사공격이 필요 현실적으로 불가능 81

82 5.3 E와 N으로부터 D 구하기 E D mod L = 1 L은 lcm(p-1, q-1)이므로 E로부터 D를 계산할 때는 p와 q를 사용 암호해독자는 p와 q를 전혀 모름 해독자는 D를 구할 수 없음 RSA의 안전성을 위해 소수 p와 q를 암호 해독자가 모르게 해야 함 82

83 N의 소인수 분해 N = p q라는 관계식을 공격자는 알고 있고 N은 공개되어 있다 N으로부터 p와 q를 구할 수는 없는 것일까? p와 q는 소수이기 때문에 N으로부터 p와 q를 구한다는 것은 자 연수 N을 소인수분해하는 것 83

84 소인수 분해 큰 수를 고속으로 소인수분해 할 수 있는 방법이 발견되면 RSA 를 깰 수 있다 그러나 현재 큰 수의 소인수분해를 고속으로 행하는 방법은 아 직 발견되지 않았다 소인수분해를 간단히 수행하는 방법이 존재하는지의 여부도 아 직 모른다 학생들도 한 번 시도해보기 바란다 84

85 P 와 q 추측하기 소인수분해를 하지 않아도 p와 q가 암호 해독자에게 알려질 가 능성은 있다 p와 q는 의사난수 생성기로 생성하기 때문에 의사난수 생성기 의 품질이 나쁘면 p와 q를 암호 해독자가 추측할 수 있다 난수 생성기가 강력해서 암호 해독자가 추측할 수 없어야 한다 85

86 기타 공격 N을 소인수분해 해서 p와 q를 구할 수 있으면 D를 구할 수 있다 D를 구하는 것 이 N을 소인수분해 하는 것 과 수학적 같 은지 아닌지가 증명되어 있지 않다 N을 소인수분해 하지 않아도(p와 q를 몰라도) E와 N으로부터 D를 구하는 방법이 있을 수 있다 86

87 5.4 중간자 공격 중간자(man-in-the-middle) 공격 RSA를 해독하는 게 아니다 기밀성을 침해하는 공격 공격자 맬로리가 송신자와 수신자 사이에서 송신자에 대해서는 수신자처럼, 수신자에 대해서는 송신자처럼 행세하는 공격 87

88 중간자공격 절차 (1/3) 1) 앨리스는 밥의 공개 키 요청 2) 맬로리는, 앨리스의 요청을 도청 3) 밥은 자신의 공개 키(KB(pub))를 앨리스에게 전송 4) 맬로리는 밥의 이 메일이 앨리스에게 도달하지 못하도록 하고, 밥의 공개 키를 보존 5) 맬로리는 자신의 공개 키(KM(pub))를 밥의 공개키라고 속여서 앨리스에게 전송 88

89 중간자공격 절차 (2/3) 6) 앨리스는 자신의 메시지(P)를 밥의 공개 키(실은 맬로리의 공 개 키)로 암호화( C=E(K M(pub), P) ) 7) 앨리스는 암호화한 메시지(C)를 밥에게 전송 8) 맬리로는 앨리스의 암호 메일을 갈취해서 자신의 개인키 (KM(pri))로 복호화( P=D(KM(pri),C) ) 하고 평문(P)을 확보 89

90 중간자공격 절차 (3/3) 9) 맬로리는 앨리스 행세를 하며 위조 메일( P )을 만들고 위의 단계 (4)에서 보존해 둔 밥의 공개 키(K B(pub) )를 써 서 이 위조 메일을 암호화(C = E(K B(pub, P ) )하여 밥에 게 전송 10) 밥은 받은 암호 메일(C )을 자신의 개인 키로 복호화화하 고 메일( P )을 읽게 된다 90

91 맬로리에 의한 중간자 공격 91

92 제6절 다른 공개키 암호 6.1 ElGamal 방식 6.2 Rabin 방식 6.3 타원곡선 암호 92

93 6.1 ElGamal 방식 ElGamal 방식은 Taher ElGamal에 의한 공개 키 알고리즘 RSA는 소인수분해의 어려움을 이용 ElGamal 방식은 이산 대수를 구하는 것이 어렵다는 것을 이용 ElGamal 방식 암호화에서는 암호문의 길이가 평문의 2배 가 되어 버린다는 결점 GnuPG에서 사용 93

94 6.2 Rabin 방식 Rabin 방식은 M. O. Rabin에 의한 공개 키 알고리즘 Rabin 방식은 mod N으로 평방근을 구하는 것이 어렵다는 사실 을 이용 Rabin 방식 공개 키 암호의 해독은 소인수분해 정도로 어렵다는 것이 증명 94

95 6.3 타원곡선 암호 타원 곡선 암호(elliptic curve cryptosystems; ECC)는 최근 주 목받고 있는 공개 키 암호 알고리즘 RSA에 비해 키의 비트 수가 적다 타원 곡선 위에 곱셈을 정의하고, 이 곱셈의 역연산이 어렵다는 것을 이용 95

96 제7절 공개 키 암호에 관한 Q&A 7.1 공개 키 암호의 기밀성 7.2 공개 키 암호와 대칭 암호의 키 길이 7.3 대칭 암호의 미래 7.4 RSA와 소수 7.5 RSA와 소인수 분해 7.6 RSA의 비트 길이 96

97 7.1 공개 키 암호의 기밀성 의문: 공개 키 암호는 대칭 암호보다도 기밀성이 높은가? 답: 이것만으로는 답할 수 없다. 왜냐 하면 키의 비트 길이에 따 라 기밀성의 정도는 변화하기 때문 97

98 7.2 공개 키 암호와 대칭 암호의 키 길이 의문: 1024비트 길이의 키를 갖는 공개 키 암호와, 128비트 길 이의 키를 갖는 대칭 암호에서는 비트 길이가 긴 공개 키 암호 쪽이 안전한가? 답: 아니다. 공개 키 암호의 키 길이와, 대칭 암호의 키 길이는 직접 비교할 수 없다. 98

99 전사 공격에 대한 같은 강도를 갖는 키 길이 비교 대칭 암호의 키 길이 128비트 112비트 80비트 64비트 56비트 공개 키 암호의 키 길이 2304비트 1792비트 768비트 512비트 384비트 99

100 7.3 대칭 암호의 미래 의문: 공개 키 암호가 생겼기 때문에 앞으로 대칭 암호는 사용 할 필요가 없는가? 답: 아니다. 일반적으로 같은 정도의 기밀성을 갖는 키 길이의 경우, 공개 키 암 호는 대칭 암호보다도 몇 백 배나 느리다 공개 키 암호는 긴 메시지를 암호화하기에는 적합하지 않다 목적에 따라 대칭 암호와 공개키 암호 두 가지 모두 사용 100

101 7.4 RSA와 소수 의문: RSA의 키 쌍을 모두가 자꾸 만들어 가면 그 사이 소수가 없어져 버리는 것은 아닐까? 답: 그럴 염려는 없다. 512비트로 표현할 수 있는 소수의 수는 대략 으로 전 우주에 존재하는 원자의 개수보다도 많은 수 이다 101

102 7.5 RSA와 소인수 분해 의문: RSA로 암호화할 때 큰 수를 소인수분해 할 필요가 있는 것일까? 답: 아니다. RSA의 암호화에서도, 복호화에서도, 그리고 키 쌍 의 생성에서도 큰 수를의 소인수분해를 할 필요는 없다. 102

103 7.5 RSA와 소인수 분해 의문: RSA를 해독하는 것은 큰 수를 소인수분해 하는 것과 같은 것인가? 답: 같은 것인지 아닌지 아직 모름 분명히 소인수분해를 고속으로 할 수 있다면 RSA는 해독된다 RSA를 해독하려면 소인수분해를 꼭 해야 한다는 것이 증명된 것은 아님 어쩌면 소인수분해를 하지 않아도 해독할 수 있는 방법이 발견될지 도 모름 103

104 7.6 RSA의 비트 길이 의문: 소인수분해 되지 않기 위해서 N은 몇 비트 길이가 필요한가? 답: 아무리 비트 수가 커도 언젠가는 소인수분해 된다 104

105 512비트 수 하나 인수분해하기 512비트로 주어진 한 수는 1999년 8월에 소인수분해 9주간의 사전 계산과 5.2개월간에 걸친 292대의 컴퓨터에 의한 계산이 필요 이만큼의 컴퓨터 자원과 시간을 들여서 겨우 1개의 수를 소인수 분해 할 수 있었다 105

106 640비트 N RSA사가 제시한 640비트 N(193자리 10진수) 는 일에 인수분해 되었다 106

107 704비트 N RSA사가 제시한 704비트 N(212자리 10진수) 는 아직 인수분해 되지 않았다 상금은 3만불. 한 번 시도해보길 107

108 Q & A 108

109 Thank You! 109

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PowerPoint Template SeoulTech UCS Lab 2013-2 st 암호이론및정보보호실무 제 9 장공개키암호 2013. 10. 14 강원민 Email: wkaqhsk0@seoultech.ac.kr 목차 1. 공개키암호시스템의원리 2. RSA 알고리즘 3. Diffie-Hellman 알고리즘 2 공개키암호시스템의원리 공개키암호시스템의원리 1. 암호화 / 복호화에사용되는키가서로다르다