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1 신임회장 인사 대한수학회 100년을 향하여 김도한(대한수학회 회장) 존경하는 대한수학회원 여러분께 드립니다. 기축년 새해를 맞이하여 회원 여러분의 가정에 만복이 깃들기를 바라며 대한수학회의 발전을 위하여 그 동안 성원해 주신 회원 여러분께 머리 숙여 감사드립니다. 1946년 10명도 안 되는 수학분야의 이학사를 포함하여 50여명의 수학자와 물리학자로 시작한 우리 수학회는 이제 2500여명의 대식구로 늘었습니다. 지난 60년 동안 여러 회원님들의 끊임없는 사랑과 각고의 노력으로 우리 수학계는 장족의 발전을 하여 왔습니다. 특히 2년 전 국제 수학연맹에서 2등급에서 4등급으로 상향 조정된 이후 자신감을 얻은 우리 수학계는 ICM 2014 유치를 위하여 많은 노력을 기울여 과학계에서는 처음으로 2년 연속 유치 예산을 지원받았습니다. 그리고 많은 회원들께서 소중한 기부금을 내어 주신 것이 유치위원회에 큰 힘이 되었으며, 현재 이번 2월 말에 한국을 방문하는 국제수학연맹 회장, 부회장, 총무로 이루어진 실사단의 실사를 받기 위하여 만반의 준비를 갖추고 있습니다. 또한, 통폐합 위기에 몰렸던 국가수리과학연구소도 500명 이상의 회원들이 서명에 참여하여 정부 당국의 신뢰를 얻을 수 있었고 이후 정책 연구과제인 국가차원의 수학연구체계 발전방안 연구 를 수행하면서 슬기롭게 대처할 수 있었습니다. 앞으로 국가수리과학연구소는 개방형 사업을 비롯하여 여러 회원들의 의견을 수렴한 여러 가지 연구 사업을 통하여 더욱 더 발전할 것으로 굳게 믿고 있습니다. 이번 20대 신규 임원진은 지난 1월 12, 13일 이틀간 팀워크를 위한 임원 전략 워크샵 을 가지고 수학회의 연속성을 위하여 수학회 활동의 지향점과 여러 가지 주요과제들에 관하여 토론하였으며, 앞으로 2년간의 사업 추진방향 및 내용들을 정리하였습니다. 지난 수학회 집행진에서 노력을 경주했던 국가 차원에서의 수학의 정체성, 대학에서의 수학과의 존재성 확립, 수학 교육의 내용과 질, 수학의 연구 환경 개선 등은 2 대한수학회소식 제 123호

2 수학계 전체가 힘을 모아 풀어 나아가야 할 과제입니다. 이제 정책 연구를 통하여 다시 한 번 열정을 가지고 도전할 것입니다. 또한 이를 위한 지속적인 도전과 함께 선거 공약인 풀뿌리 운동, 국제화 운동, 소통의 운동으로 더욱 활기찬 수학회를 만들겠습니다. 지난 수년간 키운 우리 수학계의 성취와 자신감 을 바탕으로 더 큰 꿈을 키우기 위하여 다음 사항들을 실천하고자 힘쓰겠습니다. 첫째로 수학회의 풀뿌리인 분과와 지부가 함께 균형 발전하여야 수학 분야의 선진국이 될 수 있다는 믿음 으로 분과와 지부의 학술 및 (영재) 교육 활동을 최대한 지원하겠습니다. 여러 회원의 다양한 의견을 적 극적으로 수렴하고 각 수학 및 과학 관련 단체와의 네트워크 활동을 강화하여 연구비 정책, 수학교육 정 책, 학회지 정책에 관한 수학계의 의견을 결집하고 실질적으로 정책 수립에 반영되도록 노력하겠습니다. 특 히 중요한 과제인 풀뿌리 연구비 확대는 기과협을 중심으로 계속 추진하겠습니다. 풀뿌리 개인연구비는 이미 2008년 3700억원에서 2009년 5000억원으로 40% 정도 증액되었고 2012년도에 1조 5천억원으로 증액한다는 정부 계획이 실현될 수 있도록 노력하겠습니다. 풀뿌리 개인 연구 과제도 2012년도에 11,500 과제로 정부 계획에 잡혀 있지만, 기과협의 목표인 이공계 교수 3만 명의 1/3 이상이 연구비를 받을 수 있는 10,000과제 이상이 되도록 노력하겠습니다. 둘째로 수학계의 기존 활동 영역을 뛰어 넘어 국제 영역으로 확장하고자 노력하겠습니다. 2014년 ICM 유치를 목표로 정말 열심히 뛰어왔습니다. 앞으로도 국제교류 활동을 증진하며 국제 수학계에 우리 수학의 발전상을 적극적으로 알리겠습니다. 이번 12월에 미국수학회와 공동학술회의를 개최하고 ICM 유치 지원 예 산으로 G-KMS 국제학술회의를 계속 지원하겠습니다. 또한 KIAS, 국가수리과학연구소, BK21 수리과학사 업단과 협조하여 분야 별로 대규모 국제적인 학술회의를 유치하고, 한국수학관련단체총연합회 등과 협력 하여 세계수학교육대회(ICME)를 후원하는 등 국제적인 역량을 대폭 강화하겠습니다. 셋째로 회원 여러분의 마음과 의견을 성실하게 반영할 수 있는 조직으로 학회를 운영하겠습니다. 회원 여러분의 참여를 위한 인터넷 시스템을 지원하고, 특히 우리 수학회의 당면 과제 및 주요 사업의 진행 상황을 정기적인 학회장 보고를 통하여 회원님들께 계속 자세히 알려 드리겠습니다. 끝으로 대한수학회의 100년사 준비를 하겠습니다. 지난 60년간의 발전상을 자료로 정리하여 그 성과를 홍보하고 함께 홍보 대중화 위원회를 만들어 수학의 대중화가 이루어지도록 실천하겠습니다. 그리고 향후 40년의 발전 계획과 비전을 세워 나가며 그 비전을 이루기 위한 노력을 회원 여러분과 함께 경주해 나가 겠습니다. 회원 여러분! 저와 모든 임원, 사무직원들은 앞으로 2년 연임 기간 중에도 회원 여러분의 기대에 부응하여 수학계의 발전을 위해 사심 없이 최선을 다 할 것 입니다. 언제나 따뜻한 애정을 가지고 지켜 봐 주시기 바라고 다소 부족한 점이 있더라도 격려해 주시며 학회 활동에 대하여 지속적으로 도와주실 것을 간곡히 부탁드립니다. 고맙습니다. 2009년 1월 대한수학회장 김도한 드림 2009년 1월호 The Newsletter of the KMS 3

3 원로수학자 와의 대화 소중한 만남 윤옥경 선생님 대담 : 노유미(시립인천대학교), 이승훈(영동대학교) 지난 10월 17일, 서울대학교 수리과학부 명예교수 이신 윤옥경 선생님을 수학회 사무실에서 뵈었다. 인터뷰가 끝난 후 요즘 신문에 연재된 스도쿠( 數 獨 ) 문제를 보여 주시며 마방진에 관한 책을 준비하신다고 하셨다. 퇴임 후 근황은 어떠신가요? 서울대학교 수학연구소에서 김성기 교수와 함께 Web Work(SNUME) 주말과제 문제를 작성합니다. Web Work는 학과목의 주말과제인데 인터넷 사이트에 학번을 입력하면 문제가 뜹니다. 학번에 따라 같은 유형의 문제라도 계수가 다른 문제들이 뜨기 때문 에 부정행위를 방지합니다. 이를 위해 랜덤 넘버를 산출하는 방법을 이용합니다. 답은 세 번까지 입력 할 수 있고 맞으면 합격이 되는데, 조교들이 이를 해당 과목의 과제 점수로 냅니다. 미적분학 및 연습, 고급수학 및 연습, 인문사회계열을 위한 수학, 경영 인을 위한 수학 등 기초과목들에 적용하고 있는데 앞으로 미분방정식, 선형대수, 공업수학 등 과목에 적용하려고 합니다. 성공하면 대외적으로 판매할 수도 있겠지요. 그 이외에는 정기적으로 친구들과 함께 주중엔 북한산 등반을, 주말엔 산림욕을 합니다. 하산 후엔 약주도 하고요, 담배는 10년 전에 끊었습니다. 학창 시절과 재직시절에 대하여 말씀해 주시겠습니까? 1950년 6월 19일에 서울대학교에 입학하여 26일에 개강을 했습니다. 그 날 오전 물리 강의를 두 시간 동안 듣고 오후엔 피난을 갔습니다. 그 해 12월에 해군사관학교에 입학하여 54년 4월에 이학사 (군사학)로 졸업하며 해군 소위가 되었습니다. 삼 사관 학교는 전시에는 3년제이고 평시에는 4년제입니다. 서울로 환도하며 교수들이 서울로 가는 바람에 내가 55년에 중위가 되면서 수학강의를 했습니다. 56년 부터 2년간 서울대학교 대학원 석사과정에 군위탁 연구생으로 있었습니다. 66년에 제대하여 교관 (조교수)이 되었고, 서울대학교에는 68년에 교양 학부 전임강사로 부임해서 94년에 퇴임했습니다. 75년에 구제( 舊 制 )에 따른 이학박사가 되었습니다. 특별히 수학을 전공하신 동기가 있으신가요? 국민학교에는 늦게 입학했습니다 (서울보다 2년 늦음). 국민학교 2학년 때 일본인 선생님이 쯔루가 메산(학, 거북이 계산)이라는 학의 다리 수와 거북 이 다리 수를 이용하여 몇 마리인지를 알아내는 응 용문제를 내셨습니다. 덕분에 산수를 잘 하기로 소 문이 났었고, 암산도 잘 했습니다. 요즘 중, 고등학 교 과정인 경기공업중학교에 1회로 입학했고, 2학 년 때 해방이 되었습니다. 허식 선생님이 담임이셨 는데 3학년 때 1학년 학생들을 지도하게 하셨습니 다. 일본 책의 연습문제를 풀었고 2학년 땐 미분방 정식 서적을, 3학년 땐 함수론과 다변수함수론(다 케우치( 竹 內 ) 저) 서적을, 4학년 땐 해석개론(다카 기( 高 木 ) 저) 서적을 보았습니다. 5학년 때 경남중 학교로 전학하여 거기서 졸업했습니다. 학창시절이나 재직시절 동안 특별히 기억나시는 일이 있으신가요? 학창시절엔 연구생 때 미분기하학을 열심히 했던 기억뿐입니다. 75년 교양학부 전임이었을 때 관악산 으로 이전하면서 강의시간표를 작성했습니다. 단과 대학들이 종합캠퍼스로 이전하면서 통합시간표를 짜는데, 2월 5일이 되었는데도 강의목록도 없고 4 대한수학회소식 제 123호

4 연락이 안 되는 교수님들도 계셔서 개강을 한 학기 연기하는 것까지 고려했을 정도였습니다. 3월 15일 까지 기한을 얻어 교무과 직원과 함께 퇴근도 못하며 작성했습니다. 이건 프로그램으로 되는 것이 아니고 수작업을 해야 합니다. 수수께끼 같아요. 예를 들면 체육과목 등을 첫 시간에는 넣지 않는다던가 하는 등 과목별 조화도 필요합니다. 강의실과 실험실이 제대로 구분이 되지 않은 경우도 있었고요. 1학기 내내 교정을 보아 2학기 때는 제대로 정비했습니다. 이 일로 문교부 장관 표창을 받았습니다. 대한수학회에서 활동하셨던 일을 소개해 주시겠습니까? 박을룡 선생님 요청으로 총무를 76년~77년 동안, 재무를 78년~79년 동안 맡았습니다. 79년 3월부터 1년 동안 미국에 안식년을 가 있는 기간이 겹치지요. 총무를 맡는 동안 홍성대 선생에게서 정석 초판 교정 사례로 500만원을 기부 받았는데 이를 기회로 재무까지 시키더군요. 대한수학회 사무실이 서울대 수학과 도서실 코너에 있었는데, 모금운동을 벌여서 마포에 사무실을 냈지요. 임정대 교수께서 회장이고 홍성대 사장이 기부를 했습니다. 수학 올림피아드를 위해 활동하셨던 일을 소개해 주시겠습니까? 유네스코 교육 산하단체 주최로 1959년에 루마 니아에서 제 1회 대회가 개최된 국제수학올림피아 드는 동구권에서 국가들이 주로 참가했는데, 이후 인도, 미국 등이 참가했습니다. 88년에 오스트레일 리아에서 개최되었을 때는 아시아의 자유진영 국가 들에게 초청장을 보냈습니다. 문교부에서는, 참여 하려면 학생 사전교육 등에 1억이 든다는 수학회의 자문을 듣고 참가를 거부했는데, 수학회 회장이던 김종식 선생이 과기처, 대우건설의 김우중 회장, 홍성대 선생 등에게서 기부를 받아서 겨울학기와 여름학기 사전교육을 실시하여 88년부터 참여했습 니다. 이 후 과기처에서 과학 재단의 기금으로 교육 비용을 부담합니다. 출전 때마다 단장은 출제위원이고, 부단장은 학생 관리를 맡는데 첫 회에는 장건수 단장, 최영한 부단장이었고, 불란서에서 열린 다음 회에는 불어권 에서 유학한 김하진 선생이 부단장이었습니다. 그 다음 회는 북경, 헬싱키, 러시아, 베트남 등에서 열렸습니다. 우리나라는 출전 첫 해(88년)에는 22등, 다음 회(89년)에는 28등, 그 다음 회(90년)에는 32 등을 했습니다. 이 때 북한과 일본은 처녀 출전하여 각각 19등과 20등을 하였습니다. 일부러 신문사에 특필하게 했는데 여기에 자극받아 당시 정원식 문교부 장관이 중 고등학생 수학과학 경시대회를 열었습니다. 문교부 주최, 서울대학교 사범대학 과학 연구소 주관이었습니다. 선발된 학생들을 대상으로 대한수학회에서 겨울학기와 여름학기 교육을 실시 했습니다. 95년 이후엔 교육도 많이 했고, 7등 정도의 상위권에 들어 왔습니다. 이 후 우리나라가 물리, 화학, 정보 올림피아드에 참가하게 되었지요. 임정대 회장, 장건수 총무 때, 김하진 선생과 함께 독일에서 열린 올림피아드(1989년)에 참가하였 고, 2000년에 개최될 국제수학올림피아드를 우리나 라에서 개최하는 것이 통과되었습니다. 올림픽 개 최에 고무된 분위기에서였지요. 2001년 대회는 미 국이 이미 선점했었습니다. 미국은 세기 시작 해를 중요하게 생각했으니까요. 독일 대회 때 자문위원 (Advisory Board)이던 오스트레일리아의 오하로랑 교수가 주관하여 IMO 개최 전에 아시아태평양 수 학올림피아드(APMO, Asian Pacific Mathematics Olympiad)를 열었고, 미국, 일본, 러시아 등이 참 가했습니다. 각 국에서 지정된 날에 시험을 치르는 방 식이었습니다. 우리나라는 올림피아드에 88년부터 참가하여 20 년이 되는데 성공적이라고 자평합니다. 대한수학회의 사전교육은 학교 정규과정에서 배우지 못하는 부분을 보충해 줍니다. 동구권에서는 자본이 들지 않으니 수학 영재교육을 하였고 이 후 물리와 화학에도 확장 시킵니다. 폴란드는 확률론 등 수학이 아주 강해요. 우리나라도 올림피아드 참가 학생 중 수학 전공으로 뛰어난 학생들이 많고, 이젠 필즈 메달리스트도 기대해 봅니다. 한편으로 올림피아드 참가는 영재교육 열풍을 불러 일으켰지요. 영재의 대중화가 되었는데 영재교육은 선발과정부터 문제가 있습니다. 중고등학교 수학경시 대회에 대해 말씀해 주셨는데 대학생 수학 경시대회는 어떻게 시작되었나요? 미국에 안식년을 다녀와서 80년~82년 동안 서울 대학교 자연대학 학생담당 학장보를 맡았습니다. 학생들이 데모하는 대신 공부하게 하는 방안으로 대학생 수학 경시대회를 열었습니다. 예산은 문교부에서 지원받아 서울대학교 자연대학 학생과 주최로 했는데 이 후에 전국 각 대학 주최로 돌아가게 하였습니다. 마지막으로 후학에게 남기실 말씀이 있으십니까? 수학 공부 열심히 하고 다른 데에 신경 쓰지 마세요. 수학 공부가 생활화 되어야 합니다. 국제 흐름에 밝아서 다른 나라의 연구동향을 잘 알아야 합니다. 우리 세대는 전쟁을 겪었지만 지금은 좋은 세상입니다. 2009년 1월호 The Newsletter of the KMS 5

5 수학사 소개 대한수학회에서는 2014년에 개최될 ICM을 유치추진하고 있습니다. 이 시점에서 주변에서 쉽게 찾기 어려운 한국 수학사를 대한수학회 회원들께 소개하여 세계 수학사 속의 한국 수학사를 살펴보고 재조명할 수 있는 기회를 마련하고자 2009년도 1월호 소식지부터 수학사 소개 라는 코너를 신설하였습니다. 수학사 소개 코너를 통하여 수학에 대한 많은 관심을 갖게 되는 계기가 되길 바랍니다. 한일전통수학과 창조성의 비교 김용운 (한양대학교) 5세기 초 오진( 応 神 )시대 이래 고대일본의 산학 천문제도는 줄곧 한반도의 영향을 받아 왔다. 또한 한일의 기초어 특히 수사, 연산에 관한 용어는 공통조어를 가졌음이 명백하다 (김용운, 한국어 는 신라어 일본어는 백제어 ). 이러한 사실은 한일의 사고법, 특히 수학에 있어서의 창조성이 매우 가까운 것임을 시사한다. 그러나 17세기 이후의 일본산학( 和 算 )에 반영되어있는 일본인의 사고방식은 조선산학의 사고방식과 큰 차이가 있다. 본 논문에서는 한일수학사의 비교를 통해 동일했던 한일수학이 전혀 다른 것으로 나뉘어진 이유, 한일 수학 패러다임의 차이와 그 창조성에 대해 고찰한다. 1. 고대 한일수학 신라는 AD251년 공( 工 ),서( 書 ),산( 算 )에 뛰어난 부도( 夫 道 )를 관사( 官 史 )로 임명했다는 기록이 있으며, 특히 백제는 AD260년에 산사( 算 士 )의 임명을 제도화 하고 있다. 백제와 고구려에서는 신라보다 먼저 정규적으로 산학관리가 임명되고 있었다. 일본은 효도쿠( 孝 德 )2년(AD646) 서( 書 ), 산( 算 )에 밝은 자에게 회계 재무를 맡겼다는 기사가 있다. 이것은 신라의 부도( 夫 道 )와 같이 제도적인 임명은 아니었던 것으로 보인다. 일본산학의 제1기는 백제로부터의 유입에서 시작한다. ( 일본서기 ) ⑴ 오진( 應 神 )천황15년, 백제인 아직기( 阿 直 岐 ), 태자의 사부( 師 傅 )가 됨. ⑵ 오진천황16년, 백제인 왕인( 王 仁 ), 논어 천자문을 전하고 태자의 사부( 師 傅 )가 됨. ⑶ 게이타이( 繼 體 )천황7년(513), 백제로부터 오경 박사( 五 經 博 士 ) 단양이( 段 楊 爾 )를 파견. 10년, 오경박사를 교체시킴. ⑷ 긴메이( 欽 明 )천황14년(553), 백제로부터 의박사 역박사( 易 博 士 ) 역박사( 曆 博 士 )의 정기교체 및 점무( 占 莁 ), 역서 그 외 각종 약재를 요청함. 15년, 倭 조정 측 요청에 의해 백제는 역박사( 易 博 士 ) 시덕( 施 德 )과 왕도량( 王 道 良 ) 및 역박사( 曆 博 士 ) 고덕( 固 德 )과 왕보손( 王 保 孫 )등을 교체시킴. ⑸ 스이코( 推 古 )천황10년(602), 백제의 승려 권륵 ( 勸 勒 )이 역서( 曆 書 ) 및 천문서( 天 文 書 ), 방술둔 갑서( 方 術 遁 甲 書 ) 등을 전해 학생에게 가르침. 6 대한수학회소식 제 123호

6 ⑹ 긴메이( 欽 明 )천황(629~641), 두( 斗 ) 승( 升 ) 근( 斤 ) 량( 兩 ) 등의 도량형제도를 정립함. 이상의 기록 중에서 특히 역( 曆 ), 천문( 天 文 ), 도량형 ( 度 量 衡 )에 관한 부분은 명백히 수학에 관련된 것임. 관계는 험악했으므로 일본이 신라에서 받아들인 것은 아닐 것이며, 백제의 영향을 받은 것으로 보인다. 4. 조선시대의 수학 2. 율령제의 산학제도 신라는 통일 이후 (669년), 고구려 백제 등의 산학제도를 흡수하고 당의 제도를 참고하여 정비했다. 삼국사기( 三 國 史 記 ) 권38에는 산학박사 조교에 관한 정원수 및 교육연한 자격 교과목 등에 관한 항목이 명기되어 있다. 즉 산학박사 또는 조교를 한 명 두고 철술( 綴 術 ), 삼개( 三 開 ), 구장 ( 九 章 ), 육장( 六 章 ) 을 교수하였다. 신라의 산학교과는 고려왕조에 들어와서 다소 수정되었다. 신라의 산학교과목이 구장 철술 육장 삼개 인 것에 비해 고려의 산학교과목은 구장 철술 사가( 謝 家 ) 삼개 로 바뀌어 육장 대신에 사가 가 포함되어 있다. 원래 철술은 당나라의 산학제도에 속해있던 것이었으나 수서( 隋 書 ) 율력지( 律 曆 志 )에 따르면 원주율 계산에 관한 것으로 그 내용이 너무도 난해하여 배우려는 사람이 없어 폐지했다 고 한다. 3. 일본 한편, 요로우율령( 養 老 律 令 )에 포함되어있는 일본 산학제도는 경학( 經 學 ), 서( 書 ), 산( 算 ), 음( 音 )의 4과목 으로 구성되어 있으며, 대학에 산학박사( 算 博 士 ) 2명과 산학생( 算 生 ) 30명을 두고 그 입학자격을 5위 이상의 관료자제와 동서사부의 자손으로 규정하며 7, 8위 관료의 자제도 지원할 수 있다고 명시하고 있다. 다이호령( 大 寶 令 )과 요로우령( 養 老 令 )에는 중국의 산학과목을 그대로 채택하고 있다. 일본의 산학 교과서는 손자산경( 孫 子 算 經 ), 구장산경( 九 章 算 經 ), 해도산경( 海 島 算 經 ), 철술( 綴 術 ), 삼개 중차( 三 開 重 差 ), 주비산경( 周 髀 算 經 ), 구사( 九 司 ), 오조산경( 五 曹 算 經 ) 으로 구성되어 있었다. 그 중 육장, 삼개, 구사 는 당나라 명산과 ( 明 算 科 )에는 없었던 것이다. 이 중 육장, 삼개 는 신라의 제도에 포함되어 있는데 당시 신라와 일본의 10세기 일본에서는 중앙통치가 무너지고 무가정치 ( 武 家 政 治 )로 전환되는 즈음해서, 왕조제(율령제) 하에 개설된 산학제도가 유명무실한 것이 된다. 한편 한국의 고려왕조에서는 과거제도를 실시하고 그와 더불어 수학제도는 더욱 확고해졌다. 그러는 동안 일본은 무사단( 武 士 團 )에 의해 전국이 각 지방으로 분할되면서 산학연구가 조직적으로 행해 지는 일은 없었다. 신라의 산학제도는 거의 그대로 고려로 이어 졌으나 조선시대에 획기적으로 개량되었다. 특히 세종대에 산학이 정비되었다. 세종의 기본 정책은 조선의 자주적인 유교적이상국가의 건설이다. 천문관측과 作 曆 은 종래의 중국중심이었던 것을 조선의 지리적 위치를 중심으로 삼기 위해 칠정산 내외편( 七 政 算 內 外 篇 )을 편집한다. 여기에는 수학이 필요했다. 세제( 稅 制 ), 전제( 田 制 )의 정비에 따른 계산문제 등 세금의 시책에도 수학적 지식이 대대적 으로 필요했다. 세종실록의 세종5년(1423), 12년 (1430), 13년(1431), 15년(1433)의 기록에 의하면 적극적인 산학진흥정책을 취하여 산법교정소( 算 法 校 正 所 ), 습산국( 習 算 局 ) 등이 설치되었으며 세종자신 또한 산학학습에 힘을 쏟았다. 그리고 세종20년, 잡과십학( 雜 科 十 學 )에 관한 교육과정에 제정된 산학 교과내용은 신라의 영향을 받은 고려대( 高 麗 代 )의 것을 완전히 새롭게 하여 상명산( 詳 明 算 法 ) 양휘산 ( 楊 輝 算 法 ) 계몽산( 算 學 啓 蒙 ) 오조산( 五 曹 算 ) 지산 ( 地 算 )의 다섯 과목이 채택되었다. 이것은 교과목이자 동시에 교과서명이기도 했다. 당시 천문학 천문제도 등도 정비되었는데 그러한 것은 산학 진흥정책과 깊은 관계가 있다. 산학교수( 算 學 敎 授 ) 별제( 別 提 ) 산사( 算 士 ) 계사( 計 士 ) 산학훈도( 算 學 訓 導 )의 지위가 확정되어 있었다. 이 시점에서 제도화된 산학이 그 후의 기본적인 틀이 되어갔다. 신라왕조 이래 끊이지 않고 조선왕조 말기까지 일관해서 관영( 官 營 )과학의 한 분야로서 산학이 2009년 1월호 The Newsletter of the KMS 7

7 계승되어왔으나 조선산학의 내용은 조선이 독자적 으로 새롭게 한 것이다. 이러한 사실은 중국이나 일본산학 역사의 맥이 때때로 끊긴 것과 비교할 때 극히 대조적이다. 조선은 산학제도를 끝까지 고수 했다는 점에서도 세계 유일한 나라였다. 5. 조선산학의 패러다임 조선의 산학자를 크게 분류하면 사대부(관료학자), 계몽가(실학자), 중인(기술관리으로 나눌 수 있다. 산학자들의 산학관( 算 學 觀 )도 각 부류에 따라서 각각의 특징이 있다. ⑴ 사대부 산학자 이 배경에는 고전적인 육예( 六 藝 : 禮 樂 射 御 書 數 ) 사상이 있으며 세종(재위 )자신도 산학의 연구 이유를 다음과 같이 서술하고 있다. 산학지식은 왕의 교양으로서 반드시 필요하다고는 할 수 없다. 그러나 수학은 성인의 뜻에 근접하는 학문이다 여기서 말하는 성인 의 뜻에는 고전적 율역지( 律 曆 志 )사상이 내포되어 있다. 세종이 연구한 것은 산학계몽 이었으며 세종이 언급한 말의 첫 부분, 즉 행정 측량의 기술은 주로 중인(기술관리)이 연구 했다. 그러나 주자학적 신념에 얽매인 사대부는 고전 적인 수리관( 數 理 觀 )에 기초를 둔 산학에 전념했다. 그것은 실용적인 산학과 전통적인 수리사상에 담긴 형이상적인 관념이 분리되지 않는 형태로 나타난다. 사대부 출신 산학자의 대표적 인물로 최석정( 崔 錫 鼎 : 1645~1715)을 들 수 있다. 그는 현대의 총리 격인 영의정도 지냈다. 그는 산학서 구수략( 九 數 略 ) 을 저술했으며, 그 내용은 로마의 보에티우스(Boethius, 480~524)에 필적한다. 사원수학으로 알려진 보에 티우스의 수학은 신학적 형이상학적인 수 이론이 중심을 이루고 있으며, 현실적인 문제를 도외시하고, 특히 수론( 數 論 )은 신학적인 삼위일체설에 근거한 수의 분류를 주제로 하고 있다. 최석정의 경우에는 물론 피타고라스 혹은 기독교적인 수 관념의 영향은 없다. 그러나 역사상( 易 思 想 )과 동양적인 고전수학에 근거하여 보에티우스와 같은 수론( 數 論 )을 전개시킨 것이 흥미롭다. 양자 모두 당대의 대귀족이며 형이 상학적인 경향이 짙었다. 구수략( 九 數 略 ) 의 서문에는 수원제일( 數 原 第 一 ) 을 내걸고 있는데 數 生 於 道 太 一 者 數 之 始 也, 大 極 者 道 之 極 (수는 도에서 났으며 태일은 수의 시작이며 태 극은 길의 끝이니라) ( 구수략 九 數 略 갑) 와 같이 수의 본원, 즉 수의 존재론적 기초를 논하고 있으며, 이어서 수명( 數 名 ) 수상( 數 象 ) 수기( 數 器 ) 수법( 數 法 )을 설명하며 형이상학적인 독단론을 전개 한다. 또한 구수략( 九 數 略 ) 의 각 장을 음양사상과 결부시켜 구장분배사상( 九 章 分 配 四 象 ) 과 같은 과장된 명목으로 분류한다. 太 陽 ( 日 ), 一, 方 田 太 陰 ( 月 ), 二, 栗 米 少 廣 小 揚 ( 星 ), 三, 商 攻 衰 分 盈 不 足 小 陰 ( 辰 ), 四, 均 輪 勾 股 方 程 예를 들어 方 田 章 은 승법( 乘 法 )이기 때문에 태 양에 속하고 栗 米 章 은 나누기( 除 法 )이기 때문에 태 음에 속하며 또한 少 廣 章 은 가장 심오하여 태음에 속한다 역사상( 易 思 想 )과 중국수학의 연계는 마방진 ( 魔 方 陣 ) 연구에 있어서는 성공했다고 할 수 있다. 원래 중국수학의 마방진( 魔 方 陣 )은 하도( 河 圖 ) 낙서 ( 洛 書 )등 역사상( 易 思 想 )에서 발생했다. 그 때문에 고전적인 수학관으로 볼 때 마방진 연구는 극히 자연스러운 과정이다. 예를 들어, 오행설에 따르면 6은 물( 水 )을 나타낸다. 이 때문에 육각형 등을 보다 복잡한 형태로 표현하는 마방진( 魔 方 陣 )을 제작하 는 등 독창적인 결과도 탄생하였다. 여기에서는 양휘산법( 楊 輝 算 法 ) 의 영향을 엿볼 수 있다. 최석정( 崔 錫 鼎 )의 학풍은 다소 형태가 바뀌기는 했으나 귀족사대부들 사이에서 끊이지 않고 이어져 내려왔다. 그 예로 최한기( 崔 漢 綺 :1803~1879)를 들 수 있다. 조정( 朝 廷 )의 중추부에서 활약했다는 것도 최석정( 崔 錫 鼎 )과 공통된 점이다. 그러나 한편 으로는 수학자로서 저술활동도 왕성했으며 한국 사상사에서는 가장 뛰어난 경험론자 중 한 명이었 다는 점에서 주목을 받고 있다. 수학자로서는 습산 진벌( 習 算 津 筏 ) 을 저술했다. 그러나 그 내용은 오히려 복고적이었다. 세종, 최석정, 최한기는 각자 시대는 다르지만 그 수학관은 공통적으로 형이상학적인 경향이 강했 으며 그것이 유교적 교양이 깊이 베인 왕후귀족들 의 수학의 한계이기도 했다. 8 대한수학회소식 제 123호

8 ⑵ 실학자로서의 산학 한편, 귀족(양반)출신의 실학자는 계몽운동을 전개한 학자들이었고 그 성격상 백과사전적인 지적 활동이 주류를 이룬다. 그러한 활동의 한 부분으로 수학의 중요성이 강하게 인식되었다. 이러한 흐름은 일본 실학자와 프랑스 혁명기의 계몽운동가와도 많은 공 통점을 찾아볼 수 있어 매우 흥미롭다. 황윤석( 黃 胤 錫 : )은 실학운동가의 대표적 인물이며 이수신편( 理 藪 新 編 ) 이라는 방대한 백과 사전과 같은 저서를 남겼다. 주자학 음양오행설 천문 음악 언어 수양 처세에까지 이르는 내용을 지닌 저서 중에서 특히 산학입문( 算 學 入 門 ) 과 산학본원( 算 學 本 原 ) 이 수학에 관련된 책이다. 산학입문 의 내용은 산학계몽( 算 學 啓 蒙 ), 상명 산법( 詳 明 算 法 ) 등 중국계 산서( 算 書 )를 비롯해 당시 청나라에서 발행된 산서를 소개하고 있으며 산학본원 에서는 전통적인 천원술( 天 元 術 )과 유럽의 방정식론인 차근법( 借 根 法 )과의 관계를 논하는 등 수학론이라 할 만한 경향을 나타내고 있다. 그러나 황윤석의 산학은 하나의 망라주의( 網 羅 主 義 ) 라고도 할 수 있을 것이다. 홍대용( 洪 大 容 :1731~1783)은 대표적인 실학자 이며 우주론에 독자의 견해를 주장하고 사설 천문대를 설치할 정도로 과학에 강한 관심을 가졌던 인물이다. 황윤석과 마찬가지로 백과사전적 저서를 남겼다. 그 중에는 수학에 관련된 주해수용( 籌 解 需 用 ) 이 포함되어 있다. 전통적인 중국수학을 소개하면서도 특히 음률 천문 역학( 曆 學 )등과의 관계에서 산학의 역할을 논하고 있어, 프랑스 계몽가와 조선 실학자들 사이에는 확실히 합리성 중시, 실학(실사구시)경향, 수학중시와 같은 공통점은 있었다. 그러나 전자에게는 근대산업화를 향한 태동이 있었으며 적어도 군사 과학의 발달이 그것을 지지하고 있었다. 반면, 그 당시의 조선에는 그러한 산업 기술에 관한 것이 전무했다. 실학파는 실사구시( 實 事 求 是 )를 내걸었으나 그 대상은 겨우 천문학에 관련된 분야로 수학의 실용성에 관심을 가지는 정도에 그쳤다. ⑶ 중인계층 신라의 산학제도는 고려 조선까지 관영( 官 營 )이라는 의미에서 실질적으로는 거의 변하지 않은 채 계승 되었다. 그것은 각 왕조의 행정제도가 본격적으로 변하지 않은 탓이다. 고려 이후 과거( 科 擧 )제도의 도입에 의해 기술관료로서의 산학자에 대한 시험제도가 실시 되어왔고 조선시대에 들어와서는 한층 정비되었다. 특히 기술직을 담당했던 것이 중인이다. 중인이란 양반(귀족)과 상인(평민)의 중간에 속한다는 의미이다. 이 제도는 동양문화권 중에서도 조선에만 있었다. 조선의 헌법 경국대전( 經 國 大 典 ) 에는 음양과 및 천문학은 본학(서운관, 즉 천문 역산을 담당하는 부서) 학생만이 응시할 수 있다고 규정되어 있다. 이와 같이 기술관료는 사실상 특수계층 출신에 의해 독점된 집단을 형성했다. 즉, 중인은 주로 양반의 서자출신에 의해 구성되었으며 중인계급을 고정화함으로써 폐해가 발생했던 것은 사실이다. 특수집단의 점유물이 된 산학은 비판하거나 새로운 발전을 하기가 어려워 경색된다. 한편 그로 인해 정권교체 등에 의한 영향도 적어, 기술이 거의 세습의 형태로 전승되었다. 이것은 산학시험, 즉 취재( 取 才 )라 불린 산학관리 자격시험의 합격자 명부와 인사카드를 합한 주학입격안( 籌 學 入 格 案 ) 이 현존하고 있어 15세기 말부터 19세기 말에 이르는 약 400년간에 걸쳐 배출 된 1627명의 명부에서 이들의 혈연관계, 출신분야 등을 알 수 있었기 때문 이다. 이에 따르면 205명을 제외한 나머지 모두가 산학과 관계된 가문 출신이었다. 특히 산학에 관해 서는 시대가 내려갈수록 제도가 광대해지는 경향을 보였다. 조선시대 산학자의 활동분야는 흔히 알려져 있는 것 이상으로 넓었던 것으로 보인다. 임진왜란, 병자호란 등 빈번히 겪은 외세침략 등의 난리 속에서 그 명맥을 유지해론 것은 이렇듯 확고 한 중인집단이 존재하였기 때문이다. ⑷ 중인산학자(기술관리) 홍정하( 洪 正 夏 :1684~)는 조부 아버지 외조부, 장인까지 모두 산학자인 전형적인 중인 산학자이다. 저서로는 구일집( 九 一 集 ) (천지인, 8권)이 있다. 그 내용은 산학계몽( 算 學 啓 蒙 ) 을 골격으로 한 구장산술( 九 章 算 術 ), 상명산법( 詳 明 算 法 ) 등 에서 문제를 뽑아 수치를 변형시킨 형태로 다루고 있다. 이 책의 부록으로 중국(청)의 역산가 하국주 ( 何 國 柱 )와의 산학시합에 관한 기록이 있다. 조선 시대의 산서( 算 書 )는 모두 한문으로 쓰여져 있으며 그 체재도 교과서적이었으나 예외적으로 이와 같은 2009년 1월호 The Newsletter of the KMS 9

9 기록도 남아 있어 당시의 중국과 한국의 산학계의 상황을 알 수 있다는 점에서 귀중한 자료를 제공 하고 있다. 1713년 5월 29일 홍정하는 친구 유수석( 劉 壽 錫 )과 함께 외교사절단의 일원으로 한국을 방문했던 하국주를 방문했다. 에도시대의 조선통신사와 마찬가지로 당시의 외교사절은 일종의 문화과시를 목적으로 하고 있었기 때문에 일류 학자를 동반하는 것이 관례였다. 상사아제도( 上 使 阿 齊 圖 ) 는 하국주의 산학실력을 높게 소개하고 있는데, 그는 조선 산학자들에게 산학문제를 내고 풀이를 묻는 산학시합을 벌였다. 거기서 유수석과 하국주는 산학실력을 겨루었다. 이 내용을 정리하면 다음과 같은 점을 명확히 알 수 있다. 1 조선의 중인산학자는 중국수학계의 정보가 거의 없었다. 고위관료 특히 외교관이 중국수학계의 비교적 새로운 정보를 입수했던 것과는 대조적 이다. 당시의 조선산학자 사회가 폐쇄적인 경향이 있었던 것일까? 2 중국에서는 당시 잊혀졌던 천원술( 天 元 術 )의 전통이 중인 산학자들에 의해 계승되고 있었다. 중국에서는 천원술뿐만 아니라 산목( 算 木 )에 의한 계산법마저도 소멸되었었다. 이 사실은 오구라 긴노스케( 小 倉 金 之 助 )가 민중들 사이에 주산이 보급되었으나 산목에 의한 계산법은 잊혀져 천원술의 흔적이 사라지기에 이르렀다. ( 수학사 연구 )고 지적한 문장 그대로의 현상이었다. 3 중국에서는 이미 산학계몽 이 소실되었으나 하국주는 그것이 조선에 남아있음을 깨닫고 귀국했을 것으로 보인다. 이러한 사실이 후년, 잊혀졌던 천원술을 복원하는 계기가 되었을 것 이다. 한국 수학자는 정통성에 대한 집착이라 할까 본고장 중국에서 조차 망실한 철술( 綴 術 )을 고려 시대 때까지 정식교과목으로 삼은 책도 보존하고 산학계몽( 算 學 啓 蒙 ) 과 함께 천원술을 끝까지 보존한 것은 눈 여겨 볼 필요가 있다. ⑸ 중인과 사대부 수학자의 합동작업 위에서 서술한 바와 같이 조선시대 산학자들은 사대부, 실학자, 중인으로 이루어져 있으며 각각 독자적인 학풍을 지니고 있었으나 말기에 이르러 사대부와 중인산학자가 공통된 수학관을 갖게 된다. 계몽운동가와 중인의 현실감각이 미묘하게 겹치게 되었기 때문으로 보인다. 뒤늦은 감이 없지 않지만 수학을 역학적인 시각에서 탈피시키고자 하는 움직임이 나타난다. 이러한 경향은 당연히 계급을 무시하고 수학만을 가지고 연계를 형성하기 때문에 귀족과 중인의 협동연구를 가능케 한다. 남병철( 南 秉 哲 ), 남병길( 南 秉 吉 )은 형제이며 둘 다 양반(귀족)출신의 고관 과학자였다. 또한 이들은 원주율의 계산 그리고 삼각급수의 적극적 연구 등 무한수열에 관심을 보이고 있다. 특히 남병길 (1820~1869)과 산학자 이상혁( 李 尙 爀 : 1810~?)은 협동연구를 했다. 이상혁은 천문관(서운정)으로 출사하여 역산 천문과 관련된 저서도 남겼다. 수학자로서는 익산( 翼 算 ), 산술관견( 算 術 管 見 ), 무이해( 無 異 解 ) 등 종래의 실용을 중심으로 한 수학서에서는 볼 수 없었던 이론수학을 전개했다. 여기서 유럽계 기하학 삼각법 등을 연구한 새로운 수학이 싹트기 시작한 것이다. 이들의 활동은 조선 산학이 보수일변도가 아닌 스스로의 발전 가능성을 가지고 있었음이 엿보이는 귀중한 일이다. 6. 일본산학과의 비교 ⑴ 주판( 算 盤 ) 도요토미 히데요시( 豊 臣 秀 吉 )는 모리 시게요시 ( 毛 利 重 能 )를 중국 또는 조선에 파견하여 수학을 익히게 했다는 말이 전해진다. 히데요시가 조선을 침략했을 때, 그가 전진기지로 삼았던 나고야성 ( 名 護 屋 城 )에 있었던 마에다번( 前 田 藩 )에 일본 최고 ( 最 古 )의 주판이 있으며 제작법을 보더라도 조선에서 제작되었을 가능성이 크다. 모리 시게요시는 산법통종( 算 法 統 宗 ) 을 가지고 돌아갔다고 전해진다. 산법통종 에는 주판의 사용법과 그에 따른 나누기의 설명이 자세하게 수록 되어있다. 모리 시게요시는 (주판)나누기 천하제일 ( 割 算 の 天 下 一 ) 로 칭하며 할산서( 割 算 書 ) 를 저술 했다. 모리 시게요시의 제자인 요시다 미츠요시( 吉 田 光 由 )는 산법통종 을 바탕으로 진겁기( 塵 劫 記 ) 를 저술했다. 한편, 조선의 산학제도에 산법통종 은 포함되어있지 않았다. 그러나 조선시대에 가장 많이 유포된 산서는 산법통종 이다. 원래 중국에서 건너온 주판은 일본에서의 내용과 10 대한수학회소식 제 123호

10 한국에서의 내용이 크게 달라진다. 산법통종 에는 주판의 그림이 실려 있는데 그 그림에 따르면 윗알은 2알이다. 조선 말기까지 한국 내에서 사용되던 것은 이와 같은 것이다. 그러나 한국사대부(학자 관료) 사이에서는 상업활동을 천하게 여겨 주판이 널리 보급되지 않았다. 사대부 수학자 최석정은 주판을 배척하고 있을 정도이다. 반면, 일본에서는 주판이 크게 발달하여 오늘날과 같이 윗알 1개, 아래알 4개로 개량되었다. 이것은 도쿠가와 시대에 상업이 발달하면서 서민교육의 3가지 주요과목인 읽기 쓰기 주판(よみ かき そろばん) 으로 자리 잡았기 때문일 것이다. 조선 시대의 한국에서 유학중심의 교육이 이루어진 것과는 큰 차이가 있다. 사용되던 산목을 붓으로 쓰게 되면서 방서술( 傍 書 術 )이 발명되었고 숫자계수를 갑 을 병으로 대신 하여 기호대수학으로 비약시켜 원리에 이르게 되었다. 즉 산목을 문자로 변화시키는 과정에서 기호화시켜 발전한 것이 일본산학( 和 算 )의 특징이라 할 수 있다. 방서술이란 단순히 산목을 붓으로 대신 쓰는 데에서 시작한 것이다. 그러나 그 후 엄청난 일을 야기한 기호대수학과 같은 연산을 얼마든지 되풀이할 수 있다. 삼각형에 내접하는 무한의 원수열 또는 원에 내접하는 정다각형의 변을 늘리고 그 합의 계산도 가능하다. 일본산학은 드디어 무한수열을 계산할 수 있게 되었다. 엄격한 의미의 해석적 방법은 아니지만 일본산학자들이 미적분의 한 치 앞까지 도달할 수 있었던 것은 사실이다. ⑵ 천원술( 天 元 術 ) 히데요시( 秀 吉 )의 군사는 조선판 산학서를 거의 대부분 일본으로 가져갔다. 그 중 일본산학에 가장 큰 영향을 끼친 것이 산학계몽( 算 學 啓 蒙 ) 이었다. 이 책은 원( 元 )의 주세걸( 朱 世 傑 )이 저술한 것으로 중국에서는 소실되었다. 조선에서는 이 책이 정규 산학제도에 채용되었었기 때문에 수 차례에 걸쳐서 인쇄되었다. 이 책에는 천원술( 天 元 術 )이 포함되어 있다. 천원술은 고차원정수계수방정식을 산목( 算 木 ) 으로 풀어내는 것으로 기계적 대수학이라고도 불린다. 서양의 Horner의 근사풀이( 近 似 解 )와 구조적으로 일치하며, 적어도 서양보다 500년 앞서 중국에서 발명되었다. 고차방정식을 산목으로 푸는 것은 논리적으로는 정연한 것이다. 그러나 실제로 산목을 병렬하여 계산하는 것은 매우 번잡한 일이었다. 실제 조선초기 산학자들 중에는 전 왕조( 高 麗 朝 ) 산학자는 몰랐던 천원술을 자신들이 다룰 수 있음을 크게 자랑스러워하는 자도 있었다. 중국에서는 천원술의 맥이 끊겼다. 산학계몽 이 소실된 탓도 있을지 모르나 천원술에 관심을 갖지 않게 되었기 때문인 것만은 확실하다. 이러한 사실은 이미 설명한 바와 같이 조선을 방문한 청( 淸 )의 외교사절단의 일원이었던 역산가( 曆 算 家 ) 하국주 ( 何 國 柱 )와 조선 산학자와의 사이에서 있었던 수학 논의에 명백히 기록되어 있다. 세키 다카카즈( 関 孝 和 )는 조선판 산서( 算 書 )를 옮겨 쓰는 일로부터 연구를 시작했다. 천원술에서 7. 일본산학( 和 算 )의 패러다임 모리 시게요시( 毛 利 重 能 )가 천하제일의 (주판) 나누기 지도자( 天 下 一 割 算 指 南 ) 라는 간판을 내걸었던 것은 잘 알려져 있다. 오다 노부나가( 織 田 信 長 )의 정책과 전국시대 이후의 분업사상의 영향으로 각 분야별로 천하제일을 목표로 하는 풍토가 조성되었다. 천하제일의 무술인, 천하제일의 가마제조인, 천하제일의 다도가, 천하제일의 예의범절인, 천하 제일의 도장장인 등 거의 모든 분야에서 일본제일 ( 日 本 一 )이 탄생했다. 이러한 가치관은 일본의 원형이 아닐까 싶을 정도로 뿌리 깊은 전통을 지닌다. 예를 들어 표음문자에 대해 말하자면, 가타카나, 히라 가나, 변체가나 와 같이 3종류씩이나 만들어낸 것은 그러한 사고법에서 나온 것이라 할 수 있을 것이다. 또한, 일본식 한자인 국자( 國 字 - 畑 畠 働 辻 )가 만들어졌고 현재도 쓰이고 있다. 이것은 헤이안시대 ( 平 安 時 代 )의 신찬자경( 新 撰 字 鏡 ) 에 이미 400 개나 기록되어있다. 이러한 경향 때문에 산학에 여러 개의 유파가 형성되었다. 외국인들은 거의 구별해낼 수 없는 하나의 일본산학에서 關 流 最 上 流 宅 間 流 三 池 流 등 많은 파가 형성되었다. 즉 T. 쿤의 말을 빌리자면 같은 패러다임 속에서 형성된 유파인 것이다. 그러나 유파의 존재는 경쟁을 촉진하여 유제( 遺 題 ) 또는 산액( 算 額 )을 통해 문제를 내고 나아가 그 해법이 도출되면 다른 문제를 내는 것과 같은 형태로 일본 2009년 1월호 The Newsletter of the KMS 11

11 산학의 내용은 풍부해졌다. 일본산학자들 중에는 꼭 무사수업을 하는 것처럼 여기저기를 유랑하며 실력을 겨루는 자도 있었다. 이러한 경쟁은 일본산학의 내용을 더욱 실용성을 무시하는 경향으로 끌고 가게 된다. 가령 원주율을 소수점 이하 50단위까지의 계산 하거나 혹은 몇 백차의 고차방정식 해법의 도출, 삼각형에 내접하는 무한원열 연구 등이 좋은 예이다. 이것은 파벌을 세우고( 立 派 ) 경쟁하고자 하는 정신을 취미화했기 때문인 것으로 보인다. 이에 탄생한 것이 無 用 의 用 의 철학이다. 아이다 야스아키( 會 田 安 明 )는 실용성이 없는 점에 초점을 맞추어 연구하는 일을 강조하고 있다. 본래 동양수학은 실용성에서 출발했으나 진정한 수학은 자유로워야 한다고 했다. 조선의 실학자는 성리학의 사고관에서 벗어나기 위해 실사구시( 實 事 求 是 ) 를 취했으나 일본산학자는 그 반대로 산학이 취미이기에 오히려 신용성을 무시 하는 미를 추구하고 무용의 용( 無 用 의 用 ) 을 내세 웠다. 아이다 야스아키는 스스로 실용성에 집착하지 않는 문제에 관심을 가지는 것을 자랑스러워했다. 일본수학의 제1인자 세키 다카카즈( 関 孝 和 )의 수학 관도 마찬가지로 무용의 용 을 중시한다. 일견 그것은 유럽의 주지주의적 수학 경향과 일치하며 수학의 본질은 자유에 있다 고 외쳤던 집합론의 창시자 G. 칸토르의 사상을 연상시킨다. 그러나 일본산학자들이 주창하는 자유 자재의 의의는 간토르의 자유와는 다소 차이가 있다. 세키 다카카즈, 아이다 야스아키의 자유 자재는 산학의 아름다움의 극을 추구하고, 실용성을 무시하여 자유무애의 경지에 이른다고 하는 일본적 수업주의( 修 業 主 義 ) 이다. 다도 화도 유도 등 모든 유예( 遊 藝 ) 기술에도 그러한 정신이 깃들어있다. 한편, 칸토르는 주지 주의는 지적대상이 되는 것에 대해서는 기존의 패러다임에 얽매이지 않고 자유롭게 새로운 대상을 택할 수 있다고 생각했다. 그러한 시각으로 보면, 일본산학은 취미적인 것으로 생각할 수 있다. 시인과 일본산학자의 정신적 경향이 같았던 것도 우연이 아니다. 산학자의 대부분이 와가( 和 歌 )나 하이쿠( 俳 句 )에 관심을 갖게 된다. ( 三 上 義 夫 著, 平 山 諦 下 平 和 夫 大 矢 真 一 編 문화사상으로 보는 일본의 수학 ) 또한 시모다이라 가즈오( 下 平 和 夫 )는 다음과 같이 말하고 있다. 일본전체가 미친 것 같이 和 算 (일본산학)에 심 취하여, 어떤 자는 그저 가르치는 것뿐만이 아니라 생활까지 돌봐주고 있다. 이것 참, 화산도락( 和 算 道 樂 )이라 할만도 한 짓을 하여 자신의 생활이 파탄 이 나는 자들마저 있었다. ( 일본산학의 역사 ) * 주: 도락( 道 樂 )은 취미, 놀이 8. 단순화와 종합화 사고 조선의 산학자들이 전통과 주자학적 신념에 충실 했던 반면 일본산학자들의 태도는 그와 정반대였다. 그들은 사상성에 얽매이는 일은 전혀 없었다. 마치 10집의 원칙을 무시하고 주판의 윗알과 아래알을 손쉽게 하나씩 버려 개량한 것과 마찬가지로, 산목 ( 算 木 ) 대신 그림으로 대체하고 필산법( 筆 算 法 )으로 개정해 나가는 것에 대해 조금의 망설임도 없었다. 조선산학자가 산목을 고집한 것과는 정반대의 태도 이다. 수를 문자로 대체시킨 것이 서양의 대수학이다. 산목을 필산으로 대체한 것은 연단술( 演 段 術 )이며 기호대수학이라 할 수 있다. 일본산학 연구자 미카미 요시오( 三 上 義 夫 )는 이러한 일본산학의 특징을 단순화를 존중하는 정신 으로 표현하고 있다. 또한 나카무라 하지메( 中 村 元 )는 일본불교의 특징을 단순화 하는 것 이라 설파했다 ( 일본인의 사유방법 ). 이것은 가나( 假 名 )의 창조법, 주판의 개량법, 그리고 현재 개량공학의 사고와도 일치한다. 한편, 조선의 산학자들은 유교의 전통, 즉 음양론 ( 陰 陽 論 )적 사고를 고집했다. 조선의 산학자들이 천원술( 天 元 術 )을 고집한 이유 중 하나에는 주자학의 영향이 있었다. 중인을 포함하여 조선산학자는 모두가 유학의 교양을 지니고 있었다. 특히 역( 易 ) 철학은 태극에서 음양, 사상( 四 象 )으로 발전하여 삼라 만상을 설명하고 여기서 천원( 天 元 )의 하나( 一 ) 는 곧 태극으로 간주된다. 조선산학자는 천원술을 풀면서 역( 易 )철학을 실천하는 기분이었을 것으로 예측된다. 그러나 그 틀 속에서 창조성이 발휘된다. 예를 들어 한글의 창제, 복식부기 등의 발명이 있다. 한글은 음운을 모음(양)과 자음(음)으로 분석하여 그것을 통합하는 분석과 종합, 어떤 의미에서는 데카르트 적인 과학정신이라고도 할 수 있다. 한국의 복식부기 ( 複 式 簿 記 )는 사개송도치부법( 四 介 松 都 治 簿 法 ) 이라는 12 대한수학회소식 제 123호

12 이름으로 잘 알려져 있다. 그것은 금전의 출입을 음양으로 나눔으로써 자연히 수입, 지출로 기록했다. 나아가 물품의 입출을 고려해 사상( 四 象 )으로 나누는 음양론적인 사고를 바탕에 두고 있다. ( 尹 根 鎬, 四 介 松 都 治 簿 法 의 硏 究 ) 송도는 고려의 수도, 즉 현재의 개성이었다. 개성상인이라고 하면 필경 일본의 오오미( 近 江 ) 상인에 필적하는 한국에서 가장 상인활동이 왕성했던 사람들이다. 그들은 고려시대부터 주로 인삼무역 등을 하며 활동했다. 사개송도치부법의 내용은 현재의 복식부기 구조와 완전히 일치하며 그것이 고려말기나 조선초기부터 사용되었고, 조선말기의 것은 현존하고 있다. 일본에 복식부기가 보급된 것은 후쿠자와 유키치( 福 沢 諭 吉 )가 소개한 후이다. 주판을 개량한 일본인이 어째서 부기를 발명하지 않았던 것일까? 또한 그 반대로 복식부기를 발명한 한국인은 왜 주판을 개량하지 않은 것일까? 필자의 답은 패러다임의 차이에 따른 것 이다. 오오미( 近 江 ) 주판과 개성부기 가나( 仮 名 )와 한글 의 대조는 그 상징이다. 한국인의 창조 방식은 일본인의 단순화 와는 반대로 종합적이며 그 창조성은 주로 음양론적인 발상 위에 한국적인 실정에 적응하는 것을 만들어 냈다. 또한 이미 만들어진 것, 예를 들어 가나에 가까운 것을 만들어내었음에도 불구하고 정통성에 어긋나는 것은 버렸다. 반면에 일본인은 전통이나 사상( 思 想 )을 무시하고 외래문물의 단순화에 정진 하는 과정에서 창조성을 발휘했다. 한일의 패러다임은 각각 다음과 같이 대조적이었다. 산학자의 신분 산학의 목적 후계자 발전방법 일본 신분에 관계없음 취미 無 用 의 用 사제관계 유파 경쟁, 산액 유제 (문제계승) 사대부 형이상학적 전통적 한국 이상 단순화 정통철학의 구현 제도 막부번 왕조 중인 현실적 실용 세습 시험 전통적 기술의 숙련 ⑷ 한국산학( 韓 算 ), 일본산학( 和 算 )은 모두 서양 수학의 도입과 함께 소멸했다. 고대의 산학제도와 한일의 수사 등을 통해서 본 양 국민의 사고법은 거의 차이가 없었다. 그러나 근세에 이르러 이와 같이 다른 양상을 띄게 된 것은 봉건제 왕조제 (중앙집권제)라는 사회제도와 그 속에서 형성된 패러다임의 차이 때문이다. ⑸ 수학이 사상철학에 얽매이면 발전에 한계가 있다. 일본산학( 和 算 )은 조선산학에서 파생되었으나 무사상, 무용지용으로 서양산학의 틀을 벗어 발전 할 수 있었다. [인용문헌] 9. 결론 한일수학사를 비교하면 다음과 같이 총괄된다. ⑴ 한국의 산학은 신라 고려 조선시대까지 일괄 하여 왕조체제 하에서 존속되었다. ⑵ 일본의 산학은 고대와 근세가 완전히 단절된다. 고대의 산학은 거의 백제계의 것이며 근세의 일본산학( 和 算 )은 산목( 算 木 )을 필산( 筆 算 )으로 대체함에 따라 독자적으로 발전한다. ⑶ 한일의 근세산학에 가장 영향을 끼친 것은 중국의 산서 산학계몽( 算 學 啓 蒙 ), 양휘산법( 楊 輝 算 法 ), 산법통종( 算 法 統 宗 ) 등으로 공통적이었으면서도 1. 김용운, 김용국, 한국수학사, 열화당, 김용운, 김용국, 중국수학사, 대우학술총회 민음사, 加 藤 平 左 衛 門 (Kato Heizaemon), 日 本 算 学 史 ( 上, 下 ), 槇 書 房 (maki Pub.co), 下 平 和 夫 (Kazuo Simodaira), 和 算 の 歴 史 (History of wasan)( 上, 下 ), 富 士 短 期 大 学 出 版 部 (Fujicollege), 小 倉 金 之 助 (Kinnosuke Ogura), 数 学 史 研 究 (1,2), 岩 波 書 店 (Yuwanami Pub.), 三 上 義 夫 (Yosio Mikami), 文 化 史 上 より 見 たる 日 本 の 数 学, 恒 星 社 (Koseisha), 년 1월호 The Newsletter of the KMS 13

13 ICME 12 준비경과보고 조승제 (서울대학교, ICME12 국제프로그램위원회 위원장) 신현용 (한국교원대학교, ICME12 조직위원회 위원장) 국제수학교육위원회(ICMI, International Commission on Mathematical Instruction)는 대한민국 서울을 2012년 열리는 제 12차 국제수학교육대회 (ICME 12, 12 Th International Congress on Mathematics Education)개최 장소로 결정하였습니다. 한국수학계와 수학교육계가 2005년부터 2년간에 걸쳐 중국, 남아프리카공화국과 함께 벌린 치열한 유치노력의 결과입니다. Ⅰ. ICME 소개 국제수학교육대회(ICME)는 수학교육과 관련된 국제대회 중 규모가 가장 큰 학술대회로서 전 세계 수학교육학자, 수학자, 수학교사는 물론이고 수학 교육에 관심 또는 관련이 있는 개인이나 단체들이 4년마다 한 곳에 모여 다양한 종류의 학술 활동을 벌이는 수학교육의 최대 축제입니다. ICMI가 주최 하는 ICME에는 보통 명의 학자 또는 교육자들이 모입니다. 역대 대회의 연도, 개최지, 개최국은 다음과 같 습니다. ICME 1, 1969, Lyon (France) ICME 2, 1972, Exeter(UK) ICME 3, 1976, Karlsruhe(Germany) ICME 4, 1980, Berkeley(USA) ICME 5, 1984, Adelaide(Australia) ICME 6, 1988, Budapest(Hungary) ICME 7, 1992, Qubec(Canada) ICME 8, 1996, Sevilla(Spain) ICME 9, 2000, Tokyo(Japan) ICME 10, 2004, Copenhagen(Denmark) ICME 11, 2008, Monterrey(Mexico) ICMI는 1908년 로마에서 결성되었고 1952년 이후 UNESCO산하 조직인 국제수학연맹(IMU, International Mathematical Union)의 산하단체이나 IMU로부터 재정적으로나 행정적으로 자치를 인정 받고 있습니다. ICMI에는 현재 72개국이 가입되어 있습니다. 14 대한수학회소식 제 123호

14 Ⅱ. ICM 과 ICME Ⅳ. ICME 12의 기대 효과 IMU가 주관하고 Fields 메달이 수여되는 ICM (International Congress of Mathematicians)도 매 4년마다 개최됩니다. ICM과 ICME는 교대로 2년 마다 열립니다. 인 해에는 ICM이 열리고 인 해에는 ICME가 열립니다. 우리나라가 유치한 ICME 12 는 2012년에 개최되며, 우리나라 수학계가 앞으로 유치하려고 하는 ICM은 2014년에 개최되는 것입니다. Ⅲ. 우리나라의 ICME 유치노력 ICME 4부터 참석을 시작한 한국의 수학교육계는 1996년, 가까운 장래에 ICME를 한국에 유치하자 는데 의견을 모으고 이를 위한 준비를 시작하였 습니다. 먼저, ICMI 한국지부(KSICMI, Korea Sub-commission of ICMI)를 결성하고, 한국수학 교육자들의 적극적인 국제적 활동 내용을 ICMI 본부에 수시로 알렸습니다. 특히, KSICMI는 중국과 일본과의 긴밀한 유대가 중요하다는 판단 하에, 1998년 동아시아 ICMI-지역회의(ICMI-EARCOME, ICMI East-Asia Regional Conference on Mathematics Education)를 창설하고 그 첫 번째 대회(EARCOME 1)를 한국에서 개최하였습니다. 그 후 EARCOME은 싱가폴(EARCOME 2), 중국 (EARCOME 3), 말레이시아(EARCOME 4) 등에서 개최되었으며 EARCOME 5는 2010년에 일본에서 개최될 예정으로 있습니다. 우리나라가 창설한 국제대회가 지속되고 있음에 자부심을 느낍니다. KSICMI는 현재 대한수학회, 한국수학교육학회, 대한수학교육학회, 대한수리논리학회, 한국수학사 학회, 한국여성수리과학회, 한국초등수학교육학회, 한국정보보호학회, 한국산업응용수학회, 한국수리 생물학회 등과 상호 긴밀하게 협조하며 활동을 하 고 있습니다. ICME 12의 유치의 의의와 효과로서 다음을 들 수 있습니다. 1. 국제적 효과 (1) 국제협력증진 우리나라 수학교육 연구의 새로운 전기를 마련 할 수 있습니다. 외국의 앞선 연구 동향과 연구 방법론을 직접 접함으로써 국제협력을 증진하고 우리나라 수학교육관련 학자들의 연구 수준을 국제적 수준으로 향상시킬 수 있습니다. 외국 수학 교사들의 강의와 워크샵에 참여함 으로써 수학 교사들의 전문성과 현장 연구능력을 크게 신장시킬 수 있습니다. 우리나라 수학교사의 국제적 활동을 크게 활성화 할 수 있습니다. 우리나라 수학교사의 교과내용 (수학) 전문성은 국제적으로도 탁월하다고 인정받고 있습니다. 짧지 않은 기간을 통한 심도 있는 국제적 교류와 활동을 통하여 수학교사들은 국제적 감각을 익히고 국제적 활동에 관한 자신감을 얻을 수 있습니다. 이러한 계기는 곧 우리나라 수학교사들의 활발한 국제적 활동을 유발할 것입니다. (2) 우리나라의 소개 TIMSS 와 PISA를 통해 보여준 우리의 우수한 수학교육 수준을 외국에 알림으로써 우리 교육 수준을 전 세계에 알릴 수 있을 뿐 아니라 세계 수학교육계 학자들과의 토론 및 교류 활동을 통해 우리 수학교육의 수준의 향상을 가져올 것입니다. 우리나라를 직접 외국에 홍보할 수 있는 기회를 가질 수 있습니다. 3000여명의 외국 학자들이 서울을 방문함으로써 우리 서울의 위상을 높일 수 있고 우리의 문화의 우수성을 만방에 알릴 수 있습니다. 한편, 대회 중간 하루에 걸쳐 실시 되는 여행에는 한국의 주요 관광지를 비롯한 다양한 테마 여행이 개발될 것입니다. 이 기회를 통하여 외국의 참가자들은 우리나라 곳곳의 아름다움을 접하게 될 것입니다. 2009년 1월호 The Newsletter of the KMS 15

15 (3) 국제적 기여 ICME 12 집행경비를 투입하여 저개발국가의 영향력 있는 수학교육자 또는 수학자와 수학교사를 다수 초청함으로써 우리나라가 국제수학교육에 구체적이고 적극적으로 기여할 수 있는 기회가 될 것입니다. 대회 기간 중에 수학교육 서울 선언 등을 공포하여 우리나라를 세계 수학교육의 중심으로 자리매김할 수 있을 것입니다. 2. 국내적 효과 4. 미래로 향하여 동서양의 문화를 토대로 새로운 교육 패러다임을 제시하고 논의하는 장을 제공할 수 있습니다. Ⅴ. 잔치 한마당 ICME 12는 전에 개최된 대회의 형식을 취할 것입니다. 그러나 전에 시도된 적이 없는 특별한 활동도 계획하고 있습니다. (1) 수학교육환경 개선 및 연구의 활성화 우리나라의 수학교육환경을 개선하고, 수학교육 연구를 활성화시킴과 동시에 그 수준을 향상시킬 수 있습니다. (2) 수학교육교실의 변화 수학교사들이 좀 더 수학을 잘 가르칠 수 있게 하기 위하여 교사들이 연구할 수 있도록 유도할 수 있습니다. (3) 수학에 대한 국민들의 이해 증진 일반 국민들의 수학 및 수학교육에 대한 이해를 증진시킬 수 있습니다. 즉, 수학의 대중화에 기여 할 수 있습니다. 대규모 국제대회를 유치함으로써 그리고 대회기간 중 다양한 수학 관련 문화 행사를 개최함으로써 우리나라 대중들과 학생들에게 수학의 중요성을 알릴 수 있는 계기를 만들 수 있으며 나아가 자연계 기피 현상을 완화할 수 있습니다. 3. 북한을 국제무대로 안내 북한을 대회에 참가시킴으로 민족화해의 무드를 조성하고 세계평화를 증진시키는데 도움이 될 수 있습니다. 우선, 앞에서 언급하였듯이 수학교육 서울선언 을 구상하고 있습니다. 전 세계 수학교육자가 모두 모여 수학교육 전반에 관하여 논의하는 이 기회를 통하여 전 세계 수학교육자들이 공감할 수 있는 국제적인 선언을 하여 수학과 수학교육에 대한 국제적 관심을 유도하고자 합니다. 한편, 우리나라에도 마찬가지이지만 수학자 중에는 음악에 탁월한 재능을 가진 사람이 많습니다. 대회 기간 중 밤 시간을 이용하여 Nights for Mathematical Music(가칭) 을 개최하여 한국수학자에 의한 풍물놀이를 선보이는 등 세계 수학자들의 음악적 끼를 발산할 수 있는 기회를 마련할 것입니다. 이 대회 공식 사이트인 년 2월 1일 개통되었습니다. 앞으로 유익한 콘텐츠를 계속 제공하며 한국어와 영어는 물론이고 중국어, 일본어, 그리고 스페인어로도 서비스되고 있습니다. 명실 공히, ICME 12는 교육적으로는 물론이고 학술적, 문화적, 그리고 외교적 등 모든 면에서 의미 있고 흥겨운 잔치가 될 것입니다. 대한수학회 회원님들의 지속적이고 적극적인 관심과 협조를 부탁드립니다. 감사합니다. 16 대한수학회소식 제 123호

16 전공소개 부동점 이론과 그 응용 조열제 (경상대학교) 비선형 해석학에서 부동점 이론과 그 응용은 아주 중요한 연구 분야 중에 하나이며, 최근에 그 응용은 수학 및 응용과학의 여러 분야에서 많이 나타나고 있다. 부동점 이론은 위상수학적인 측면에서 접근하 는 방법과 해석학적으로 접근하는 방법으로 나눈다. 위상적인 측면에서는 간단히 소개하고, 이 글에서는 해석적인 측면에서 최근에 연구되고 있는 여러 가지 결과들과 그 응용문제들을 소개하고자 한다. I. 위상수학적인 측면 1912년에 Brouwer[3]는 다음의 부동점정리 (fixed point theorem)를 증명하였다. 정리 B. -단체( -simple)에서 그 자신에로의 연속 사상은 부동점을 갖는다. 정리 B는 위상수학에서 가장 잘 알려져 있으며 아주 유 용한 정리들 중에 하나이다. 이 정리에서 -단체 대신에 단위 구 또는 의 컴팩트 볼록 부분집합 (compact convex subset)을 바뀌어도 정리 B는 성립한다. 이 정리 이후 많은 학자들이 여러 가지 방 법으로 정리 B를 증명하였으며 일반화시켰다. 특히, 1929년에 Knaster, Kuratowski와 Mazurkiewicz[19]는 Sperner[39]의 조합 보조정리(combinatorial lemma)를 이용하여 정리 B를 증명하였다. 다음의 정리들은 모두 정리 B와 서로 동치이다. 1904년: Bohl의 비 수축 정리(non-retraction theorem) 1928년: Sperner의 조합 보조정리(combinatorial lemma) 1929년: Knaster, Kuratowski와 Mazurkiewicz의 정리 1930년: Schauder의 부동점정리 1934년: Leray-Schauder의 부동점정리 1937년: von Neumann의 교집합정리(intersection theorem) 1941년: Bolzano-Poincare-Miranda의 중간값정리 1941년: Kakutani의 부동점정리 1950년: Bohnenblust-Karlin의 부동점정리 1952년: Fan-Glicksberg의 부동점정리 1960년: Kuhn의 cubic Sperner 보조정리 1961년: Fan의 KKM 정리 1961년: 볼록 집합의 Fan의 기하학적 및 단면(section) 성질 1966년: 볼록 단면을 갖고 있는 Fan의 정리 1966년: Hartman-Stampacchia의 변분부등식(variational inequality) 1967년: Browder의 변분부등식 1968년: Fan-Browder의 부동점정리 1969년: Fan의 최근접 정리(best approximation theorem) 1972년: Fan의 최대최소 부등식(minimax inequality) 1984년: Fan의 부합 정리(matching theorem) 이러한 정리들은 퍼텐셜 이론(potential theory), 내적 공간에서 pontrjagin 공간 또는 Bochner 공간의 연구, 작용소 이델(operator ideals), 함수 대수 (function algebra), 조화 해석학(harmonic analysis), 자유 경계문제(free boundary problem), 볼록 해석학(convex analysis), 게임 이론(game theory), 수리 통계학(mathematical statistics), 근사이 론(approximation theory), 최적화 이론(minimization theory), 제어 이론(control theory) 등에 응용되고 있음을 많은 논문에서 볼 수 있다. 최근에 Fan[9]-[13], Horvath[16], [17], Lassonde [20], [21] 및 Park[27]-[33] 등을 비롯하여 많은 2009년 1월호 The Newsletter of the KMS 17

17 학자들이 이러한 정리들을 위상벡터공간(topological vector space), 볼록 공간(convex space), -공간, 일반화된 볼록 공간(generalized convex space) 등에서 개선하고, 확장 및 일반화하는 많은 결과들을 발표하고 있다. 위상수학적인 측면에서의 부동점 이론에 관한 역사적인 더 많은 정보와 최근의 결과들을 참고하려면 Park[29]와 Lee[22] 등에 의해서 출판한 Lecture Notes Series Antipodal Points and Fixed Points (서울대학교 수학연구소 및 대역해석학 연구센터)와 박사학위논문(Theory of Generalized KKM Maps on Generalized Convex Spaces)을 참고하기 바란다. II. 해석적인 측면 을 선형 노름 공간(linear normed space), 의 폐 볼록 부분집합(closed convex subset), 을 비선형 사상(nonlinear mapping)이라 하자. 다음 부등식을 만족하는 이 존재할 때, 사상 을 축소 사상(contractive mapping)이라 한다. 일 때, 사상 을 비 확장사상(nonexpansive mapping)이라 한다. 또, 다음 조건을 만족하는 실 수 열 이 존재할 때, 사상 을 점근적인 비 확장사상(asymptotically nonexpansive mapping)이 라 한다. 점근적인 비 확장사상은 1972년 Goebel과 Kirk[14]에 의해서 처음으로 소개되었으며, 그들은 가 고르게 볼록인 Banach 공간(uniformly convex Banach space) 의 유계(bounded)이고 폐 볼록 부분 집합이고, 사상 가 점근적인 비 확장사상이면, 사상 는 부동점(fixed point), 즉 을 만족하는 가 존재하며, 사상 의 부동점들의 집합 이 폐집합이고 볼록 집합임을 증명하였다. 그 후에 많은 학자들이 이들의 정리를 여러 가지 방법으로 확장 하고 개선하여 왔다. 1893년 Picard[34]는 다음의 정리를 증명하였다. 정리 P. 함수 가 폐구간 에서 연속이고 개구간 에서 미분가능이라 하자. 모든 에 대 해서 을 만족하는 실수 이 존재하 면, 다음과 같이 정의된 수열 은 방정식 의 해에 수렴한다. 을 이 정리 이후 1922년에는 Banach가 거리공간에서 정리 P와 유사한 다음 정리를 소개하였다. 이 정리를 Banach의 부동점정리 라 부른다. 정리 B. 을 완비거리공간, 을 축소 사상이라 하자. 그때 는 유일한 부동점 을 갖 는다. 더욱이, (A) 로 정의된 수열 은 의 부동점 에 수렴한다. 여기서 로 정의된 수열 을 Picard의 반복수열 이라 한다. 그 후 많은 학자들에 의해서 정리 B는 비선형작용소 방정식, 미분 및 적분방정식, 변분부등식 및 상보성 문제 (complementary problem) 등에 응용되고 있으며, 최근에 여러 가지 방법으로 정리 B는 개선되고, 확장 되고, 일반화되고 있다. 최근에 많은 학자들에 의해서 Picard 반복수열 보다 일반적인 형태의 반복수열을 소개하여 이 수열들이 주어진 사상의 부동점이나 어떤 방정식의 해에 강 및 약 수렴함을 보였다. 특히, 다음과 같이 정의된 반복수열 은 아주 중요하다. (B) : Mann의 반복 수열 (1953), 여기서 은 적 당한 조건을 만족하는 수열이다. (C) β β : Ishikawa의 반복수열 (1974), 여기서 β 은 적당한 조건을 만족하는 수열이다. (D) β γ ν β γ : Xu의 오차 항을 갖는 Ishikawa 반복수열(1998), 여기서 수열 은 유계이고, 수열 β γ β γ 는 조건 β γ β γ 와 적당한 조건을 만족한다. (E) β β : Schu의 수정된 Ishikawa 반복수열 (1991), 여기서 β 은 적당한 조건을 만족하는 수열이다. 18 대한수학회소식 제 123호

18 (F) : Xu와 Ori의 반복수열(2001), 여기서 은 적당한 조건을 만족하는 수열이고, 은 개의 비 확장사상이다. 이 것을 다음과 같이 나타낼 수도 있다. 여기서 ( )이다. (G) 이 외에도 많은 학자들이 여러 가지 공간에서 많은 양의 반복수열(explicit iterative sequence)과 음의 반복수열(implicit iterative sequence)을 소개하였다. 1967년 Browder[4]는 다음의 강 수렴정리를 증명하였다. 정리 B. 을 Hilbert 공간 의 유계이고 폐 볼록 부분집합이고, 을 비 확장사상이라 하자. 원소 을 고정하고 을 다음과 같이 정의 하면, 는 에 아주 가까이에 있는 의 부동점에 강 수렴한다. 1980년 Reich[37]는 정리 B를 Banach 공간에서 증명하였다. 특히, 1967년 Halpern[15]는 정리 B에 착안하여, 다음과 같이 정의된 양의 반복수열(explicit iterative sequence)을 이용하여 다음의 정리를 증명하였다. 정리 H. 을 Hilbert 공간 의 유계이고 폐 볼록 부분집합이고, 을 비 확장사상이라 하자. 을 θ θ 로 정의된 수열이고, 반복수열 을 다음과 같이 정의하자. (H) 그때 (H)에 의해서 정의된 수열 은 에 가장 가까이에 있는 의 부동점에 수렴한다. 더욱이, Halpern은 다음을 증명하였다. 수열 은 다음 제어조건을 만족한다고 하자. (C1) (C2) (또는 ) Halpern의 반복수열이 Hilbert 공간 의 모든 폐 볼록 부분집합과 모든 비 확장사상 에 대해서 강 수렴하려면, 수열 은 제어조건 (C1)과 (C2)를 만족해야한다. 그러나 Halpern 반복수열 의 제어수열 이 조건 (C1), (C2)을 만족하면, Halpern 반복수열 이 강 수렴하는가? Halpern의 이 문제는 지금도 풀리지 않는 문제(open problem) 로 남아 있다. 최근에 많은 학자들이 Halpern 문제의 부분적인 해를 구하였다. (1) 1977년 Lions[23]은 다음의 제어조건 하에서, (C1) (C2) (C3) Halpern의 반복수열 이 강 수렴 정리를 증명하였다. (2) 1980년 Reich[37]는 제어수열 이 ( )으로 정의된 경우에 Halpern의 반복수열 의 강 수렴성에 대해서 연구하였다. 그러나 Lions와 Reich의 제어조건은 정의된 수열 은 배제되었다. (3) Lion과 Reich가 로 정의한 제어수열 을 1992년 Wittmann[41]에 의해서 개선하였다. 즉, 제어수열이 다음의 제어조건 하에서 Halpern의 반복수열 이 주어진 사상의 부동점에 강 수렴하는 것을 보였다. (C1) (C2) (C3) (또는 ) (4) 1997년 Shioji와 Takahashi[38]는 Hilbert 공간 에서 Wittmann의 결과들을 Banach 공간으로 확장시켰다. (5) 2002년 Xu[42]은 다음의 제어조건 을 소개하여 Lions과 Reich의 결과를 개선시켰다. (C5) (또는 ) 더욱이 고르게 매끄러운 Banach 공간(uniformly smooth Banach space)에서 Halpern의 반복수열 의 강 수렴함을 증명함으로써, 으로 정의된 수열 에 대해서 가능하게 하였다. 로 2009년 1월호 The Newsletter of the KMS 19

19 (6) 2005년 Cho[7] 등에 의해서 다음의 제어조건 (C6)을 생각하여 고르게 매끄러운 Banach 공간에서 의 강 수렴 정리를 증명하였다. Halpern의 반복수열 (C6) σ 이다. Halpern의 반복수열을 여러 가지 방법으로 수정 및 개선하였다. 이렇게 하여 만들어진 수열을 복합 알고리듬(hybrid algorithm) 또는 CQ-방법 이라 한다. σ, (1) 2003년 Nahajo와 Takahashi[26]가 Hilbert 여기서 (7) 2006년과 2007년 Chidume와 Chidume[5], Suzuki[40]는 제어조건 (C1), (C2)하에서 다음과 같이 정의된 반복 수열 을 사용하여 Halpern이 제시한 문제의 부분적인 해를 찾았다. λ λ 여기서 C는 Banach 공간 의 폐 볼록 부분집합이고, 는 비 확장사상이며 λ 이다. (8) 2008년 역시 Chidume와 Souza[6]는 제어조건 (C1), (C2) 하에서 다음과 같이 정의한 반복수열 을 이용하여 Halpern이 제시한 문제의 부분 해를 δ δ 는 반사적인 Banach 공간(reflexive space) 의 폐 볼록 부분집합이고, 는 강 유사-축소사상(strictly pseudocontractive mapping)이다. 강 유사-축소사상 사상들의 집합은 비 확장사상들의 집합의 진부분집합이다. 앞에서 소개한 여러 가지 제어조건들 사이의 관계를 살펴보면 다음과 같다. (a) 조건 (C5)은 조건 (C3)보다 약한 조건이다. (b) 극한 하면, 그때 는 의 폐 볼록 부분집합이고 는 에서 위로의 거리 사영(metric projection)이다. 더욱이, 제어수열 이 1로부터 위로 위계이면, 위에 이 정의된 수열 에 강 수렴(strong (d) 수열 공간 에서 비 확장 사상의 반군(semi-group)에 대한 Mann 형의 복합 알고리듬 을 다음과 같이 소개하였다. 여기서 (a) 모든 이 조건 (C4)를 만족하면, (C5)을 이 감소수열이고, 조건 (C1)을 는 조건 (C4)을 만족한다. Ⅲ. Hilbert 공간에서 복합 알고리즘 제어조건 (C2) 때문에 Halpern의 반복수열이 주어진 축소사상의 부동점에 천천히 수렴함은 잘 알려진 사실이다. 그리하여 Halpern의 반복수열의 수렴 비를 개선하기 위해서 많은 학자들에 의해서 에로의 사상들의 집합 가 다음의 조건을 만족할 때, 비 확장 사상의 반군이라 한다. (b) 모든 (c) 모든 조건 (C4)과 (C5)는 서로 비교 불가능하다. (c) 조건 (C6)은 특별한 경우로 조건 (C3), (C4), (C5)를 포함한다. 20 대한수학회소식 여기서 이 존재하고 조건 (C1)을 만족 만족한다. 그러나 일반적으로, 여러 가지 예를 통해서 만족하면, 소개하였다. convergence)함을 증명하였다. 그들은 또 Hilbert 구하였다. 여기서 Banach 에 대해서 공간 에서 주어진 비 확장사상 다음과 같은 Mann 형의 복합 알고리듬 을 에서 에 대해서 에 대해서 에 대해서 이다. 이다. 이다. (d) 모든 에 대해서 는 연속이다. 더욱이 그들은 리졸번트 작용소(resolvent operator)를 이용하여 Hilbert 공간 에서 단조 작용소 (monotone operator) 의 영점(zero point) 존재성을 보이기 위하여 다음과 같은 근접점 알고리 듬(proximal point algorithm) 을 소개하였다. 여기서 을 의 리졸번트 작용소라 한다. 제 123호

20 (2) 2006년 Martinez-Yanes와 Xu[25]은 Hilbert 공간 에서 정의된 비 확장사상 에 대해서 Halpern 형의 복합 알고리듬 을 다음과 같이 소개하였다. 여기서 는 Hilbert 공간 의 폐 볼록 부분집합이 고 는 에서 위로의 거리 사영이다. 더욱이, 그들은 수열 이 제어 조건 (C1)을 만족하면, 위에서 정의된 수열 은 에 강 수렴함을 증명하였다. (3) 2006년 Kim과 Xu[18]은 Hilbert 공간 에서 점근적인 비 확장사상 에 대한 Halpern 형의 복합 알고리듬 을 다음과 같이 소개하였다. 여기서 는 의 유계이며 폐 볼록 부분집합이고, θ 이며, 는 에 서 위로의 거리 사영이다. 더욱이 그들은 수열 이 조건 (C1)을 만족하면, 위에서 정의된 수열 은 에 강 수렴함을 보였다. (4) 그 외에도 많은 학자들에 의해서 많은 복합 알고리듬들은 Hilbert 공간에서 소개하였다. Ⅳ. Banach 공간에서 복합 알고리듬 최근에 많은 학자들이 Hilbert 공간 에서의 복합 알고리즘을 Banach 공간 로 확장하였으며, 이러한 복합 알고리즘들이 주어진 비선형사상의 부동점 등에 강 및 약 수렴함을 증명하였다. 실제로, 가 Hilbert 공간 의 폐 볼록 부분집합 이고 가 에서 위로의 거리 사영이면, 는 비 확장사상이다. 이것은 Hilbert 공간들의 특성들을 설명하는데 유용하게 쓰이지만, 일반적인 Banach 공간에 대해서는 그렇지 못하다. 이런 점을 극복하기 위해서 Alber[1]가 Banach 공간에서 일반화된 사영 (generalized projection) Π 을 소개하였다. 물론 이 사영은 Hilbert 공간에서의 거리 사영과 유사하다. θ 을 Banach 공간, 을 의 쌍대 공간(dual space)라 하고, 을 의 폐 볼록 부분집합, 을 비선형사상이라 하자. 사상 이 다음 식을 만족할 때, 을 정규화된 쌍대사상(normalized duality mapping)이라 한다. 정규화된 쌍대 사상 와 Banach 공간 의 기하 학적 성질은 다음과 같다. (a) 모든 에대해서 이다. (b) 모든 에 대해서 이다. (c) 가 Hilbert 공간이면, (:항등함수)이다. (d) Banach 공간 가 매끄럽기 위한 필요충분 조건은 가 일가 함수이다. (e) Banach 공간 가 균등하게 Gateaux 미분 가능한 노름을 갖고 있으면, 는 의 유계인 부분 집합 위에서는 균등연속(uniformly continuous)이다. (f) Banach 공간 가 균등 볼록이면, 는 순 볼록이다. (g) 모든 Hilbert 공간은 균등 볼록이다. (h) 모든 균등하게 매끄러운 Banach 공간은 반사적 이고, 균등하게 Gateaux 미분 가능한 노름을 갖고 있다. (i) Banach 공간 가 균등 볼록이고 균등하게 매끄러우면, 도 정규화된 쌍대 사상이며, 의 유계인 부분집합 위에서는 균등연속 이다. Alber[1]은 다음과 같이 정의된 Lyapunov 함수 φ 을 소개하였다. 즉, φ 여기서 는 정규화된 쌍대사상이다. Lyapunov 함수의 몇 가지 성질들을 소개하면, 다음과 같다. (a) Hilbert 공간에서는 φ 이 성립한다. (b) 다음과 같은 조건을 만족하는 사상 Π 을 일반화된 사영(generalized projection) 이라 한다. Π 여기서 는 다음의 최적화 문제(minimization problem)를 만족하는 해이다. φ φ 실제로, Banach 공간 가 반사적이고, 순 볼록이고 매끄러우며, 가 의 폐 볼록 부부집합이면, 이러한 가 존재한다. (c) Hilbert 공간에서는 Π 이다. 2009년 1월호 The Newsletter of the KMS 21

21 (d) 가 매끄럽고, Banach 공간 의 폐 볼록 부분 일 때, 다음이 성립한다. 집합이고 Π 여기서 는 Banach 공간 는 일가 쌍대사상이며, 수열 각각 가 원소 의 폐 볼록 부분집합이고, 과 제어 조건 (C1)을 만족 한다. 더욱이, 그들은 에 약 수렴하고 은 β 가 평등연속이면, 위에서 정의한 반복수열 은 Π 에 강 수렴 함을 증명하였다. 을 만족하는 수열 을 포함할 때, 을 사상 의 점 근적인 부동점(asymptotic fixed point)이라 부른다. 앞으로 의 점근적인 부동점들의 집합을 로 나타낸다. Lyapunov 사상 φ 의 성질들과 집합 을 이용하여, 상대적인 φ 비확장 사상 (relatively φ nonexpansive mapping), 상대적인 점 (relatively asymptotically 근적인 비확장 사상 nonexpansive mapping), φ 비확장 사상 (φ nonexpansive mapping), 준- φ 비확장 사상 (quasi- φ nonexpansive mapping), φ 점근적인 비 확장 사상 ( φ asymptotically nonexpansive (quasimapping), 준- φ 점근적인 비확장 사상 φ asymptotically nonexpansive mapping) 등을 정의할 수 있고, 이들의 예들도 찾을 수 있다. 최근에, 많은 학자들이 Lyapunov 사상 φ 의 성질들을 이용하여, Banach 공간 에서 여러 가지 복합 알고리즘을 소개하였다. (3) 2007년 Plubtieng와 Ungchittrakool[35]는 에서 두개의 상대적으로 비확장 사상 Banach 공간 에 대한 복합 알고리즘 같이 소개하였다. β φ Π 여기서 수열 γ β γ φ 은 만족하며, 수열 을 다음과 β 을 γ 는 조건 δ 을 만족한다. 더욱이, 그들은 위에서 δ 정의한 반복수열 은 사상 와 의 공통부동점에 강 수렴함을 보였다. (4) 최근에 많은 학자들에 의해서 일반화된 CQ- (1) 2005년 Matsushita와 Takahashi[24]은 Banach 공간 E에서 상대적인 비확장 사상 에 (relatively nonexpansive mapping) 을 소개하였다. 대해서 다음과 같은 복합 알고리즘 Ⅴ. 평행이론에 응용 을 Banach 공간이고, φ φ Π (2) 2007년 Qin과 Su[36]은 Banach 공간 에서 상대적인 비확장 사상 에 대해서 Matsushita와 Takahashi[27]보다 일반적인 복합 을 다음과 같이 소개하였다. 알고리즘 22 대한수학회소식 β φ Π 을 의 쌍대공간이며, 의 폐 볼록 부분집합이라 하자. 2변수 함수 와 모든 만족하는 에 대해서 을 찾는 문제를 평행문제 (equilibrium problem)라 한다. 에 강 수렴함을 증명하였다. 을 을 여기서 는 Banach 공간 의 폐 볼록 부분집합 이고, 수열 는 을 은 만족한다. 그때 위와 같이 정의된 반복수열 Π 방법들이 소개되고 있다. β φ φ 평행문제 (A)를 만족하는 해들의 집합을 하자. 사상 와 모든 에 대해서 라 하면, 그때 위한 필요충분조건은 모든 라 이기 에 대해서 이 성립한다. 즉, 는 변분부등식 의 해이다. 평행문제는 변분부등식 및 상보성 문제, 물리학, 최적화문제, 게임이론, 제어 이론 등에서 다루는 문제들과 밀접한 관련이 있다. 2변수 함수 위해서 에 대한 평행문제를 풀기 가 다음 조건들을 만족한다고 가정하자. (A1) (A2) 제 123호

22 (A3) (A4) 모든 에 대해서, 는 볼록이 고 하반연속(lower semi-continuous)이다. (A1)-(A4)에 관한 보조정리([1], [2], [8])와 Lyapunov 사상 φ 의 성질들을 이용하면, 다음 의 결과들을 얻을 수 있다. 정리 4.1. 을 균등 볼록이고 균등하게 매끄러운 을 의 폐 볼록 부분집합이라 Banach공간이며, 는 조건 (A1)-(A4)을 하자. 2변수 함수 만족하고, 을 폐사상이고 준- φ-비 확장 이라 하자. 사상이며, 그 때 다음과 같이 정의된 복합 알고리즘 은 여기서 Π β 정규화된 쌍대 사상이고, 은 β γ 에 대해서 다음 조건을 만족한다. (a) β γ (b) β 정리 4.1에서 사상 에 대해서 Hilbert 공간 수열 어떤 γ 가 항등 함수 이고 이고, 모든 이면, γ 에서 다음의 따름정리를 얻는다. 따름정리 4.2. ([26]) 을 Hilbert 공간 의 을 축소사상 폐 볼록 부분집합 이라하자. 이고 이라하면, 다음과 같이 정의된 복합 알고리즘 은 에 강 수렴한다. 여기서 수열 은 을 만족한다. 다음은 복합 알고리즘의 약 수렴(weak convergence)에 관한 정리를 소개한다. 2009년 1월호 가 에 약 스타(weakly star) 수렴한다)이면, 다음과 알고리즘 은 점 β 여기서 γ 이고, Π 같이 정의된 복합 에 약 수렴한다. 어떤 에 대해서 이며, 수열 은 다음 조건을 만족한다. β β γ γ β γ 정의역(domain) 치역(range) φ Π 는 에 약 수렴하면, Ⅵ. 변분부등식 및 최적화 문제에 응용 γ φ 이 (weakly sequentially continuous, 즉 수열 (a) (b) 에 강 수렴한다. Π 는 정리 4.2에서 주어진 정리 4.3. 조건을 만족하고, 이 라 하자. 그때 다음과 같이 정의된 hybrid 알고리즘 은 정규화된 쌍대사상 가 약 점열 연속 을 과 갖는 다가사상(multi-valued mapping) 가 다음 조건을 만족할 때, 을 단조사상(monotone mapping)이라 한다. 즉, 모든 에 대해서 모든 에 대해서 을 만족하는 을 극대 단조(maximal monotone)라 한 단조사상 다. 단조사상 의 영점(zero point)들의 집합을 로 나타낸다. 여러 가지 보조정리와 Lyapunov 함수 φ의 성질 들을 이용하면, 다음의 정리를 얻을 수 있다. 정리 5.1. 가 균등 볼록 및 균등적으로 매끄러운 Banach 공간이라 하자. 가 비 확장사상이고 약 점열 연속이며, 가 인 극대 단조사상이라 하자. 그때 다음과 같이 정의된 복합 알고리듬 은 에 강 수렴한다. ϕ ϕ ϕ ϕ The Newsletter of the KMS 23

23 여기서 수열 은 어떤 δ 에 대해서 δ 을 만족하고, 수열 을 은 만족하며, 수열 은 을 만족한다. 다음과 같이 정의된 사상 는 극대 단조 가 성립한다는 것은 잘 사상이고, 알려진 사실이다. 정리 5.1에서 주어지 복합 알고리듬으로부터 가 Hilbert 공간이고, 등을 적당하게 정의하면, 여러 학자가 소개한 복합 알고리듬 들을 얻 가 고유(proper) 볼록 및 함수 하반 연속이라 하자. 그때 의 열미분(subdifferential) 을 다음과 같이 정의한다. 임의의 에 대하여 여기서 의 열미분 알려져 있다. 은 극대 단조사상임은 잘 정리 5.1을 이용하면, 다음과 같은 최적화 문제 (minimization problem)와 변분부등식에 응용문제를 생각할 수 있다. 정리 5.2. 조건을 모두 만족한다고 하고, 함수 에 강 수렴한다. φ φ φ φ 을 Banach 공간이라 하자. star) 위상에 관해서 사상 선분을 따라서 연속일 때, 의 약 스타(weak 사상 (hemi-continuous)이라고 한다. 부분집합이라 하고, 상이라 하자. 원소 을 가 에 있는 는 반-연속 의 폐 볼록 을 반-연속인 단조사 가 다음을 만족할 때, 을 변분부등식의 해(solution of the variational inequality)이라 한다. 앞으로, 에 대한 변분부등식의 해들의 집합을 로 나타낸다. 점 에서 에 대한 정규 콘(normal cone)을 로 나타낸다. 즉, 24 대한수학회소식 을 의 폐 볼록 을 반-연속인 단조 부분집합이라 하자. 사상이라 하자. 그때 다음과 같이 정의된 복합 알고 리듬 은 에 강 수렴한다. φ φ φ φ 은 정리 5.1에서 가 고유 볼록 및 하반 연속이라 하자. 그때 다음과 같이 정의된 복합 알고리듬 은 은 정리 5.1에서 주어진 조건들을 모두 만족하고, 을 수 있다. 주어진 정리 5.3. [참고 문헌] 1. Ya. I. Alber, Metric and generalized projection operators in Banach spaces: properties and applications, in: A. G. Kartsatos (Ed.), Theory and Applications of Nonlinear Operators of Accretive and Monotone Type, Marcel Dekker, New York, 1996, E. Blum, W. Oettli, From optimization and variational inequalities to equilibrium problems, Math. Stud. 63 (1994) L. E. J. Brouwer, Uber Abbildungen von Mannigfaltigkeiten, Math. Ann. 71(1912), F. R. Browder, Convergence of approximants to fixed points of nonexpansive nonlinear mappings in Banach spaces, Arch. Ration. Mech. Anal. 24(1967), C. E. Chidume, C. O. Chidume, Iterative approximation of fixed points of nonexpansive mappings, J. Math. Anal. Appl. 318(2006), C. E. Chidume, G. De Souza, Convergence of a Halpern-type iteration algorithm for a class of pseudo-contractive mappings, Nonlinear Anal. 69(2008), Y. J. Cho, S. M. Kang, H. Y. Zhou, Some control conditions on iterative methods, Commun. on Appl. Nonlinear Anal. 12(2005), P. L. Combettes, S. A. Hirstoaga, Equilibrium 제 123호

24 programming in Hilbert spaces, J. Nonlinear Convex Anal. 6 (2005) Ky Fan, Fixed pointsand minimax theorems in locally convex topological linear spaces, Proc. Nat. Acad. Sci. 38(1952), Ky Fan, Minimax theorems, Proc. Nat. Acad. Sci. 39(1953), Ky Fan, Convex sets and their applications, Argone Nat. Lab. Appl. Math. Div. Summer Lecture, Ky Fan, A generalization of Tychonoff's fixed point theorem, Math. Ann. 142(1961), Ky Fan, Extensions of two fixed point theorems of F.E. Browder, Math. Z. 112(1969), K. Goebel, W. A. Kirk, A fixed point theorem for asymptotically nonexpansive mappings, Proc. Amer. Math. Soc. 35(1972), B. Halpern, Fixed points of nonexpanding maps, Bull. Amer. Math. Soc. 73(1967) C. D. Horvath, Contractibility and generalized convexity, J. Math. Anal. Appl. 156(1991), C. D. Horvath, Extension and selection theorems in topological spaces with a generalized convexity structure, Annal. Fac. Sci. Toulouse 2(1993), T. H. Kim, H. K. Xu, Strong convergence of modified Mann iterations for asymptotically nonexpansive mappings and semigroups, Nonlinear Anal. 64(2006), B. Knaster, K. Kuratowski, S. Mazurkiewicz, Ein Beweis des Fixpunksatzes fur -Dimensionale Simplexe, Fund. Math. 14(1929), M. Lassonde, On the use of KKM multifunctions in fixed point theory and related topics, J. Math. Anal. Appl. 97(1983), M. Lassonde, Sur le principe KKM, C. R. Acad. Sci. Paris 310(1990), W. B. Lee, Theory of Generalized KKM Maps on Generalized Convex Spaces, Ph. D. Thesis, Seoul National University, P. L. Lions, Approximation de points fixes de contractions, C.R. Acad. Sci. Paris Ser. A-B 284 (1977), S. Matsushita, W. Takahashi, A strong convergence theorem for relatively nonexpansive mappings in a Banach space, J. Approx. Theory 134 (2005), C. Martinez-Yanes, H. K. Xu, Strong convergence of the CQ method for fixed point iteration processes, Nonlinear Anal. 64 (2006), K. Nakajo, W. Takahashi, Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroups, J. Math. Anal. Appl. 279 (2003), S. Park, Generalized Fan-Browder fixed point theorems and their application, Collection of Papers Dedicated to J. G. Park, 1989, S. Park, The Brouwer and Schauder fixed point theorems for spaces having certain contractible subsets, Bull. Korean Math. Soc. 30 (1993), S. Park, Eighty years of the Brouwer fixed point theorem, Antipodal Points and Fixed Points (by J. Jaworowski, W. A. Kirk, and S. Park), Lect. Notes Ser. 28, RIM-GARC, Seoul Nat. Univ., 1995, pp S. Park, Ninety years of the Brouwer fixed point theorem, Vietnam J. Math. 27(1999), S. Park, New subclasses of generalized convex spaces, Fixed Point Theory and Applications (Y. J. Cho, Ed.), Nova Sci. Publ., New York, 2000, S. Park, Coincidence theorems for admissible multifunctions on generalized convex spaces, J. Math. Anal. Appl. 197 (1996), S. Park, Foundations of the KKM theory on generalized convex spaces, J. Math. Anal. Appl. 209 (1997), E. Picard, Sur l application des méthodes d approximations successives à l étude de certaines équations différentielles ordinaires, J. Math. 9 (1893), S. Plubtieng, K. Ungchittrakool, Strong convergence theorems for a common fixed point of two relatively nonexpansive mappings in a Banach space, J. Approx. Theory 149 (2007), X. Qin, Y. Su, Strong convergence theorems for relatively nonexpansive mappings in a Banach space, Nonlinear Anal. 67 (2007), S. Reich, Strong convergence theorems for resolvents of accretive operators in Banach spaces, J. Math. Anal. Appl. 75(1980), N. Shioji, W. Takahashi, Strong convergence of approximated sequences for nonexpansive mapping in Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 125(1997), E. Sperner, Neuer Beweis fur Invarianz der Dimensionszahl und Gebietes, Abh. Math. Seminar Univ. Hamburg 6(1928), T. Suzuki, A sufficient and necessary condition for Halpern-type strong convergence to fixed points of nonexpansive mappings, Proc. Amer. Math. Soc. 135(2007), R. Wittmann, Approximation of fixed points of nonexpansive mappings, Arch. Math. 58 (1992), H. K. Xu, Another control condition in an iterative method for nonexpansive mappings, Bull. Austral. Math. Soc. 65 (2002), 년 1월호 The Newsletter of the KMS 25

25 학교탐방 강원대학교 수리정보학부 수학전공 ( [학과 소개] 강원대학교 수리정보학부 수학전공은 1978년에 신설인가를 받았고, 1979년에 이공대학이 공과 대학과 자연과학대학으로 분리 되는 과정에서 자연 과학대학 수학과로 소속이 변경되었다. 그리고 1999년에는 학과 통폐합이라는 전국적인 분위기 속에서 정보통계학과와 수학과를 합쳐 수리정보학부 수학전공이 되었다. 그러나 학부로서의 역할은 형식적인 것 밖에 없었고, 실제적인 운영은 예전의 학과 체제와 다를 바가 없었다. 최근 강원대학교 자연과학대학에서는 다시 학과체제로 돌아가려는 움직임이 있다. 이것은 최초에 학부제를 실시한 것이 해당 학과의 철학이 없이 시류를 따라 실시한 것이었고, 다시 학과체제로 돌아가려는 것도 철학이 없이 시류를 따르는 것이기 때문에, 학부제를 가장 먼저 채택하여 대학으로부터 지원까지 받은 학부가 가장 먼저 학과체제로 돌아가자 주장하는 기현상을 보이고 있다. 한편, 수리정보학부는 2학기를 마친 학생들이 자신의 희망에 따라 수학전공, 정보통계전공으로 나뉜다. 이때 수학전공에서 4명, 정보통계전공에서 4명 모두 8명이 학생에게 교원자격증을 신청할 수 있는 자격이 주어진다. 최근 수치해석분야로 2007년 9월에 표재홍 박사, 2008년 3월에 김광연 박사가 수학과 교수진에 합류하여 교육 및 학생지도에 노력하고 있고, 매주 1회 외부 강사를 초청하여 콜로퀴엄을 열어 연구능력 강화와 대학원생 지도에 노력하고 있다. 1987년 석사학위과정, 1990년 박사 학위과정을 신설하여 강원지역 수학 연구 및 교육에 선도적인 역할을 담당해 오고 있고, 많은 졸업생 들이 수학의 발전을 위하여 많은 분야에서 활약하고 있으며 현재 대학원 재학생은 12명(석사과정 6명, 박사과정 6명)이다. 대부분의 학생들은 각종 연구비, 장학금 및 TA와 조교를 함으로써 경제적 지원을 받고 있고, 또한 학과에서 지원해주는 각종 학회 참석 및 매주 수학과 초청 세미나를 통해 인적 교류와 학문적 발전을 이루고 있다. 대표적으로 수치해석 연구실에서는 수치계산을 위한 쿼드코어 중앙처리장치 기반의 계산전용 컴퓨터 및 자신의 개인별 최첨단 WorkStation 컴퓨터에서 프로젝트를 수행하고 있고, Fluid Dynamics, Adaptive Method, Corner Singular Function Method 및 물리학과와 연계한 초음파를 이용한 Non-linear Westervelt Equation의 연구를 진행하고 있으며, MATLAB, ALBERTA와 같은 수치계산 전용 프로 그램을 확보하여 시뮬레이션을 하기 위한 최적의 조건을 가지고 있다. 그리고 현재 더 나은 계산 환경을 위해 다중 병렬 중앙연산처리장치를 가진 계산용 컴퓨터를 설치 중에 있어 앞으로 연구 환경이 더 좋아질 것이라 기대하고 있다. 그러나 사회 전반 적인 변화로 학생들의 관심은 수학보다는 취업에 집중되고 있고, 더욱 학생들의 관심은 수업의 내용 보다는 학점취득에 있기 때문에 교육의 질 저하가 우려할 수준이 되어가고 있다. 26 대한수학회소식 제 123호

26 일시 내용 수학과 신설인가 이공대학에서 자연과학대학 분리로 수학과는 자연과학대학에 소속됨 제1회 신입생 입학 대학원 수학과 석사과정 신설 대학원 수학과 박사과정 신설 정보통계학과와 통합하여 수리정보학 부 신설, 수학전공으로 변경 [특성화 활동] 우리 수학과의 교육목표는 현대사회의 각 분야 에서 필요로 하는 고급 수학 인재를 육성하는 것 이다. 이를 위해서 수학과 전공교육은 논리적이고 체계적인 사고 능력을 갖추고, 수학 주요 분야에 대한 탄탄한 기초지식을 습득하게 하는 데에 중점을 두고 있다. 교양과정 운영은 신입생을 대상으로 도구과목으로서의 미분적분학에 대한 수학능력을 예측하는 시험을 치루어 학생들을 두 그룹으로 나누고, 수학능력이 부족한 그룹의 미분적분학을 6시간을 운영한다. 또한 미분적분학의 평가는 전 수강생을 대상으로 시험 출제에서부터 학점 부여 까지의 과정을 학과에서 관리하여 학업 성취도 평가에 공정성과 객관성을 확보하는데 노력하고 있다. 한편, 외부강사의 수업준비와 연구환경을 보조 하기 위하여 외래강사 연구실을 확보하고 있으며 학진 등재후보 논문집 Koran Journal of Mathematics를 발행하는 대한수학회 경기강원지부 사무소가 있어 수학 발전에 기여하고 있다. [교육과정의 특징] 본 학과 교육과정은 고등미분적분학, 선형대수, 확률론 세 과목만을 전공필수로 했다. 이것은 수업의 다양성과 학생 스스로의 진로선택을 돕기 위한 것 이다. 그리고 각 학년의 수준에 맞추어 수업이 진행 되고 있어서 학생들이 전공학습을 하는데 큰 어려움 없이 진행되고 있다. 여기에 복수전공제도와 전과제도가 있어서 자신이 원하는 공부를 폭넓게 할 수 있다. 배움터를 시작으로 2학년에 진학하여 전공을 선택한 수학전공 학생들을 위한 전공자 환영회, 교수님과 학생이 하나 될 수 있는 연합 M.T, 스승의 날 행사와 1년에 한번 수학과 학생들을 위한 학과축제, 졸업생 환송회, 그리고 1, 2학기 개강 종강총회 등 학생들 간의 친밀도를 높이기 위한 여러 행사를 기획, 주최 할 뿐만 아니라 단대축제와 대학축제 등의 많은 행사에 학생들의 참여를 유도하고, 수학 영어 외 스터디 모임을 학과의 도움을 받아 지원해 주고 있다. 또한 학우들의 복지와 여가활동을 위해 학우들의 의견에 귀를 기울이고, 사물함 관리와 강의실 청소 등을 하고 있다. 학생회 행사 중 가장 중요한 행사는 학년 초에 실시하는 연합 M.T.이다. 이 연합 M.T.는 1박 2일로 진행되고, 수학과 구성원 모두가 등산으로 시작하는 수학과의 가장 큰 행사 이다. 2008년에는 명지산을 등산했다. [동아리 소개] 밴드를 결성해 매년 두 차례의 실내공연을 하는 음사랑, 축구 동아리 바람, 여학생들만으로 구성된 발야구 동아리 발바리 가 주로 활동하고 있으며 그 중 음사랑 은 아래와 같은 화려한 경력을 지니고 있다. 일 시 내 용 음사랑 수학과 과 동아리 승인 잣불가요제 참가 -동상수상 잣불 대동제 잣불 누리 공연 자연대 동아리 문화제 공연 잣불 가요제 대상 수상 대동제 100인 가요제 대상 수상 잣불가요제 금상 수상 잣불 가요제 대상 수상 막국수 축제 게스트 잣불가요제 게스트 잣불가요제 게스트 [학생회 소개] 학생회의 2008학년도 행사에는 새내기 새로 2009년 1월호 The Newsletter of the KMS 27

27 [교수 소개] 김광연 수치해석, 응용수학, 유한요소법, 유한체적법 김명환 연산자론 김준기 수치해석 민원근 대수적 위상수학, 퍼지위상수학 박영호 부호론, 암호학 박종안 사상도이론 및 비확대 사상 박춘기 함수해석학, 벡터측도 오재필 Stochastic Analysis, 금융수학 정필웅 미분기학학, 통일장론, 기하학, 수학교육 표재홍 수치해석, Computational Fluid Dynamics [주소] 강원도 춘천시, 강원대학교 자연과학대학 수리정보학부 수학전공 [전화] [팩스] 서평 참여 안내 대한수학회에서는 국내에서 출판되는 수학관련 도서를 체계적으로 수집하고 관련 학자들의 서평을 소식지에 게재함으로써, 국내 수학관련 도서의 출판을 널리 홍보하고 건전한 비평문화를 정착하는 데에 기여하고자 합니다. 회원 여러분은 여러 가지 방법으로 서평에 참여하실 수 있습니다. 1. 수학관련 교재나 도서를 집필하시거나 번역하신 분께서는 2권을 학회로 보내 주십시오. 편집위원회에서 적절한 분에게 서평을 의뢰하고 나머지 한권은 학회 자료실에 보관하겠습니다. 2. 이미 서평이 실린 도서에 대한 저자 혹은 다른 이의 반론을 환영합니다. 3. 회원 여러분께서 강의에 사용하셨거나 읽으신 책에 대한 서평을 투고하실 수 있습니다. 이 경우, 책을 같이 보내주시면 서평과 함께 검토하고 책은 돌려 드리겠습니다. 학회에 미리 연락을 주시면 투고요령을 보내드리겠습니다. 4. 가급적이면, 권당 서평내용을 A4 용지 2매 이내로 해 주시면 고맙겠습니다. 5. 서평 원고는 담당위원인 전남대학교 오춘영 또는 학회사무국 보내주시기 바랍니다. 대한수학회소식 편집위원회 28 대한수학회소식 제 123호