-빛은물질파 (mechanical wave) 와같이매질을필요로한다고생각 -태양에서지구사이에도투명한매질이존재할것이라고가정 - aether 라는매질이우주공간을채우고있다고생각 - aether 의존재를확인하는실험이이루어졌으나모두실패 - aether 는존재하지않는다는결론에도달 -빛이전자기파의일종이므로매질이없이도진공속으로전파 - aether 의존재를측정한 Michelson 간섭계실험
- aether wind 의속도는지구상에서의위치에따라다르므로각위치에서빛의속도를측정하여측정가능 -그러나지구의공전속도는빛의속도에비해아주작으므로위치에따른빛의속도의차이는측정불가능 -1881년 Michelson은 aether wind 의속도측정을가능하게하는간섭계 (interferometer) 를개발 -빛가르기 (beam splitter) 에의해갈라진빛이거울 M 1 과 M 2 에서반사된후합쳐져간섭무늬로관찰
- 빛이거울 M 1 으로이동할경우빛의속도는 c-v - 빛이거울 M 1 에서빛가르기쪽으로이동할때의속도는 c+v - 거울 M 1 으로이동하여거울에서반사된후빛가르기로다시돌아오는데걸리는시간은 - 빛이거울 M 2 쪽으로이동하여거울에서반사된후빛가르기로돌아오는데걸리는시간 - aether wind 의이동이빛의진행방향에대해수직이므로빛의속도의크기는 - 빛이 M 2 에서반사되어빛가르기로돌아오는데걸리는시간은
- 빛이수직과수평으로이동하는데걸리는시간의차이는 - aether wind 의속도 v 는빛의속도에비해아주작으므로 에서 - 실험장치를 90 로회전시키면두거울의역할이바뀌게된다. - 거울 M 1 이수직방향의거울이되고거울 M 2 가수평방향의거울 - 두경로에따른빛의이동시간의차이는
- 간섭계를 90 회전시킴에따른두경로의총시간의차이는 - 시간차이에따른경로차이는 -90 회전에의해이동하는간섭무늬의수는 -Michelson의실험 ; 빛의파장 =550nm, 길이 L=11m -지구의공전속도 ; 3 10 4 m/s, 이를 aether wind 의속도 v로가정할경우간섭무늬의이동개수는 0.4로계산 -실험에서무늬가이동하는수는 <0.01보다작음이관찰되었다. -실험오차의범위에서 aether wind 의속도를 0
-관성계는 Newton의법칙이만족되는계로정의 -가속되지않는계로서정지해있거나일정한속도로움직이는계 -어떤계에대해일정한속도로움직이는계또한관성계 -Newton의상대성원리에의하면모든관성계에서이루어지는역학실험은동일한결과를도출 -정지한계에서실행한역학실험의결과와관성계에서실행한역학실험의결과는동일해야한다.
- 원점이 O' 인관성계는원점이 O 인관성계에대해일정한속도 u 로 xx 방향으로움직이고있다. - 두관성계의좌표사이에는 Galilean 변환 - 두좌표계에서관찰되는물체의속도는
- 속도 20m/s 로달리는버스안에서버스의진행방향으로 2m/s 의속력으로공을던진다고할때 도로에서있는사람이관찰하는공의속력은 -Galilean 변환을빛의경우에적용시키면문제가발생 - 속도 u 로움직이는계에서발사한빛을정지계에서관찰하는경우 Galilean 변환에서는 v=c+u -Maxwell 방정식으로설명되는전자기파는어떤관성계에서관찰해도 c=3 10 8 m/s 의속도를가진다. - 빛의속도가관찰하는계에무관하게불변이라는여러실험결과에배치되는결론 -Galilean 변환을유도하는데일상에서는명백한 t=t 이라는가정을한것에서부터발생 - 속도가빛의속도에가까운물체를기술할때는 -O' 좌표계에서의속도계산에서는
첫째, 물리법칙들은모든관성계에서동일하다. 둘째, 진공상태에서빛의속도는어떠한관성계에도동일하게 c=3 10 8 m/s 로관찰된다. 이는빛의원천이움직이거나관찰자가움직이는데관계없이항상성립된다.
-Newton 역학에서는시간이일반적인개념 - 어떠한관성계에서측정한시간이나시간간격도동일하다는것 -Einstein 의상대성원리에의하면시간과시간간격은측정하는관성계에따라다르다.
-열차의양끝에동시에번개가떨어져열차안의 A' 과 B' 지점, 열차밖의 A와 B 지점에번개의자국 -열차는일정한속도 u로움직이고있다. -관찰자 O' 은 A' 과 B' 의중간지점에있고, 관찰자 O는 A와 B의중간에있다. -관찰자 O는양끝의번개에서발생한빛이동일한거리를이동하여관찰자 O에게관측 - 관찰자 O는번개가 A와 B 지점에동시에떨어지는것을관찰 -관찰자 O' 는 u의속도로오른쪽으로이동하므로 B ' 에서발생한빛이 A' 에서발생한빛보다먼저도착 -A' 번개에서발생한빛이이동하는거리가 B' 에서발생한빛보다길기때문이다. -따라서관찰자 O' 은 B' 에먼저번개가떨어지고 A' 에는나중에번개가떨어졌다는결론에도달한다. -한관성계에서동일한시간에일어난사건이다른관성계에서볼때는동일한시간에일어나지않는다 -동시성은절대적인개념이아니라상대적인개념 -시간간격과길이는절대적인것이아니라상대적인것
시간지연
- 기차안에있는관찰자 O' 이천정에고정되어있는거울쪽으로레이저빛을발사한다 ( 사건 1). - 빛은거울에서반사된후관찰자 O' 으로되돌아온다 ( 사건 2). - 관찰자 O' 과거울사이의거리는 d 이다. - 두사건의시간간격을관찰자 O' 은로관측 -관찰자 O는기차가일정한속도 u로오른쪽으로움직이므로빛이거울에도달할때거울은원래의위치에서만큼이동한뒤이다. -관찰자 O에게는빛이수직거리인 d보다먼거리를이동한후거울에도달하는것으로보인다. -관찰자 O에게는빛이거울에도달할때까지이동한거리는이다.
- 에대해서풀면을얻고을이용하면 -관찰자 O' 은 O' 에고정된하나의시계로두사건을관측 -관찰자 O는빛이 O' 를떠나는위치와빛이다시 O' 로되돌아오는위치에놓인두개의동기화된시계를가지고두사건을관측 -시계가고정된위치에존재하는것은하나의관성계에서뿐이다. - 수많은다른관성계에서시계는움직이고있다. -고정된위치에있는하나의시계로두사건사이의시간간격을측정한것이더기본적인시간간격이된다. -이러한관점에서고유시간 (proper time) 은이다.
-u<c 이므로이고이다. - 정지한계에서측정한시간간격이움직이는계에서측정한시간간격보다길다는것을의미한다. - 정지한계에있는관찰자는운동하고있는계의시계가천천히가고있음을관측하게된다 ( 시간지연 ). -u>c 가만족되면제곱근이허수가되므로어떠한관찰자도빛의속도이상으로운동할수없음도보여준다.
시간지연의예 -대기권에서발생하여지표로날아오는 muon의수명 (life time) -정지계에서붕괴하는 muon의수명은 2.2μs로관찰 -이는대기권에서형성된 muon이빛의속도로지표로다가오는경우 680m 이동하는데걸리는시간 -위와같은계산에의하면 muon은지표까지도달하지못한다. -실제로는많은 muon이지표에서관측된다. -속도가 0.99c라면지표에서관측하는 muon의수명은 15.6μs -Muon의붕괴되기전의평균이동거리는 4,630m이므로지표에서관측이가능
( 예제 1) 우주선이지구에대해아래와같은속도로움직일때우주선에서의 1 시간은지구에서는얼마 나될까? (a) 500m/s (b) 0.8c (c) 0.998c ( 답 ) (a) (b) 1.67 hr (c) 15.8 hr ( 예제 2) 지구에서 30 광년떨어져있는별에우주선안의시간으로 6 년만에도착하려면우주선의속 도는얼마여야할까? ( 답 ) ( 예제 3) 우주선에서의시간간격이지구에서의시간간격의 1/3 이되려면우주선의지구에대한속도 는얼마여야하나? ( 답 )
길이축소 (Length Contraction) -두점사이의거리도관성계에따라달라진다. -정지계에대해속도 u로움직이는기차안에두개의거울이거리 L 만큼떨어져기차의운동방향으로놓여있다 -두거울사이를빛이반복적으로이동하고있다 - 기차안의관찰자 O' 가관측하는빛이거울사이를 왕복하는데걸리는시간은이다.
-기차바깥의관찰자 O가관측하는빛의왕복운동은빛 (photon) 이왼쪽거울을출발하여오른쪽거울에도착하는동안오른쪽거울은만큼이동한다. -따라서빛이오른쪽거울에도달하기까지이동한거리는이다. -빛의속도는 c, 이동시간이이므로이다. - 두식을조합하면빛이왼쪽거울에서오른쪽거울까지이동하는데걸리는시간은이다. - 오른쪽거울에서반사된빛이왼쪽거울쪽으로이동하는동안오른쪽거울은만큼이동한다. - 따라서빛이왼쪽거울에도달하기까지는거리만큼이동해야한다. - 빛의속도는 c 이고이동시간이이므로이다. - 두식을조합하면빛이오른쪽거울에서왼쪽거울로돌아오는데걸리는시간은이다.
- 빛이왼쪽거울에서오른쪽거울까지한번왕복하는데걸리는시간은 - 와의관계는이고이므로 -L 은움직이고있는계에있는물체를관찰자 O' 이관측한길이로서고유길이 (proper length) 이다. - 고유길이는관찰자에대해정지하고있는물체를측정한길이 - 길이 L 은정지하고있는관찰자가움직이는물체를관측한길이
-정지계에서움직이는계에있는물체의길이를관측하면움직이는계에서관측하는길이 ( 고유길이 ) 보다배만큼짧아보인다. -길이수축은대칭적이다. -움직이는계에서정지계에있는물체의길이를관측할때에도배만큼짧아보인다. Muon 붕괴의예에서고유시간과고유길이 -Muon과함께움직이는관찰자는고유시간으로 muon의수명을관측한다 (2.2μs). -정지계의길이수축이관측된다 (680m). -지표에있는정지계의관찰자는 muon의이동거리를고유길이로관측한다 (4,630m). -움직이는물체의시간지연이관측된다 (15.6μs). -결과적으로정지계에있어서나 muon과같이움직이는계에있어서나 s=vt의관계는모두만족된다.
( 예제 1) 지구에서측정한정지한우주선의길이가 100m 이었다. 이우주선이지구를지나갈때지 구에서측정한우주선의길이는 60m 이었다. 이우주선의속도를구하라. ( 답 ) ( 예제 2) 지구의관찰자가볼때 muon 은 10,000km 를 0.998c 의속도로움직였다. Muon 에붙어있는 관성계에서볼때 muon 이이동한거리는얼마인가? ( 답 ) Muon 에서볼때지구관성계는 0.998c 로다가온다. ( 예제 3) 지구에대해 0.9c 의속도로움직이고있는우주선의길이를우주비행사가측정하니 50m 이었다. 지구에서볼때이우주선의길이는얼마인가? ( 답 ) 우주비행사가측정한길이는고유길이이다. 지구에서본우주선의길이는
변환 -정지계와정지계에대해 xx 방향으로일정한속도 u로움직이는두관성계사이의좌표변환 -y와 z방향으로는운동을하지않으므로 y =y, z =z 이다. -x방향으로는 O' 계가 O계에대해속도 u로움직이고있으므로 x=x +ut를얻는다. -x 를 O계에서보면길이수축이일어났으므로 x 은으로치환되어야한다. - 따라서 x 와 x 의좌표변환은이고, x 에대해정리하면
- 시간 t 과 t 의변환 -O' 에서보면 O 는 -u 의속도로움직이므로이다. - 을위식에대입하면서을얻는다. -t 에대해정리하면 -O 와 O 계사이의 Lorentz 변환은
- 관성계의속도 u 가빛의속도에비해아주작을경우 γ=1 이되고 Galilean 변환과동일하게된다. - 시간의경우에도 t =t 이된다. - 그러나속도가광속에가까워지면상대론적인고려를해주어야한다. - 두사건사이의거리와시간차이에대한표현
-O' 에대한 O 의관계식은 O 와 O' 을바꾸고속도 u 를 -u 로치환하면된다. - 동시성의경우움직이는관성계에서는동시에일어난사건에대해정지계에서는동시에일어나지 않았다고관찰 -O' 계에서두위치에서동시에일어난사건 ( ) 에대해 O 계에서는이다. - 따라서 O' 에서동시에일어난사건을 O 에서는동시에일어나지않았다고관찰한다.
-시간지연은 O' 계의동일한위치 ( ) 에서발생한두사건의시간간격이 O계에서관찰한시간간격보다작다. -O계에서볼때 O' 계의시간이늦게간다는것이다. - 에서이므로을얻는다. - 이므로로시간지연이관찰된다. -O' 계의시계가 O 계의시계보다늦게가는시간의지연 - 시계가고정되어있는계 (O') 에서의시간간격이어떤다른계에서측정한시간간격보다작다. - 시계가고정되어있는계에서측정한시간간격을고유시간이라부르고로표현한다. - 시간지연은로표현한다.
-길이수축은 O계에서관찰한물체의길이는 O' 계에있는관찰자가측정한값 ( 고유길이 ) 보다작다. -O계에서의길이측정은동시 ( ) 에물체의양단의위치를관측하는것이므로에서이다. 즉, 로표현된다. -γ>1이므로정지한계에서측정한길이 L은움직이는계에서측정한길이 L 보다짧다. -물체가정지해있는계 (O') 에서측정한길이가가장길다. 이를고유길이 ( ) 라고부른다. -길이수축은로표현된다.
- 역변환은 O 와 O' 계의속도를바꾸고속도 u 를 -u 로치환 -v c 인경우위식들의분모는 1 이되고, Galilean 변환으로환원된다. - 이면으로광속은불변임이확인된다.
( 예제 1) 두우주선이반대방향으로움직이고있다. 지구에서관찰한두우주선 A 와 B 의속도는각각 0.7c 와 0.8c 이다. A 에대한 B 의속도를구하라. ( 답 ) 지구를 O 계라고하고우주선 A 에붙어있는계를 O' 계라고하자. 그러면우주선 A 에대한우주선 B 의속도는 로주어진다. 여기서 u=0.7c( 멀어지고 ), v=-0.8c( 다가오고 ) 이다. 따라서우주선 A 에서볼때우주선 B 의속도는이다. 즉, 다가오고있다.
( 예제2) 지구에대해속도 0.9c로어떤우주선이지나가고있다. (a) 우주선에대해 0.5c의속도를가진미사일을우주선의정면으로발사했다고하자. 이미사일을지구에서보면그속도는얼마가될까? (b) 우주선에서빛을발사했다고할때지구에서관측한빛의속도는얼마가될까? ( 답 ) (a) 지구가 O계이고우주선이 O' 계이다. 지구에서대한미사일의속도는이다. 여기서 v =0.5c, u=0.9c이므로지구에서볼때미사일의속도는 v=0.97c이다. (b) 위식에서 v =c, u=0.9c이므로 v=c이다. 빛의속도는변하지않는다.
( 예제 ) 지구에대해속도 0.5c인우주선 A가지구에대해속도 0.7c인우주선 B를뒤따라가고있다. 상대속도는얼마인가? ( 답 ) 지구를 O계라고하고우주선 A를 O' 계라고하자. 우주선 A에대한우주선 B의속도는로주어진다. 여기서 v=0.7c, u=0.5c 이므로우주선 A에서볼때우주선 B의속도는 v =0.31c이다. 따라서두우주선의상대속도는 0.31c이다. Galilean 변환에서는상대속도가 0.2c이다.
-물리법칙들은모든관성계에서동일하게성립되어야한다. -관성계사이의변환은 Lorentz 변환을따른다. -물리법칙은 Lorentz 변환에대해불변 (invariant) 이어야한다. -Newton계에서의운동량, 에너지의정의등은 Lorentz 변환에대해불변이어야한다는원칙을만족하지못한다. -Lorentz 변환에대해불변인상대론적인운동량과에너지등이새로정의되어야한다. -상대론적인물리량의정의들은속도가빛의속도에비해아주작은경우 Newton 계에서의정의들로환원되어야한다.
-Newton 계의운동량정의인은 Lorentz 변환에대해불변이아니다. -Lorentz 변환에변하지않는운동량의정의는에서 dt 대신에를사용하면된다. - 는움직이는물체에고정된시계에의해측정한시간으로모든관성계에서보아도동일한시간을나타낸다. - 이므로상대론적운동량의정의는로주어진다. - 상대론적질량을와같이정의하면와같이 Newton 계의운동량형태를가진다. - 물체의속도가빛의속도가되면상대론적질량은무한대가된다. - 이를통해모든물체의속도는빛의속도보다작아야한다고해석할수있다.
- 물체의운동에너지는주어진일과같다는일 - 에너지정리에서 - 부분적분을이용하여위식을적분하면 - 따라서상대론적운동에너지는로표현된다.
- 물체의속도가빛의속도에비해아주작은경우 - 상수항인은정지질량 (rest mass) 이라고부른다. - 항은속도에관련되어있고, 운동에너지와포텐셜에너지를합친총에너지에해당한다. - 상대론적인에너지와운동량은각각, 이므로이성립된다. - 질량이없는물체 ( 광자와중성미자등 ) 는이다. - 질량이 0 이되는입자들은항상빛의속도로움직인다.
( 예제 1) 속력이 0.9c 인우주선에 60kg 인사람이타고있다. 지구에서볼때이사람의질량은얼마일까? ( 답 ) ( 예제 2) 속도가 0.9c 인전자의운동에너지와총에너지를구하라. ( 답 ) 전자의정지질량은이다. 총에너지는이다. 운동에너지는이다. ( 예제 3) 양성자를 0.5c 에서 0.9c 로가속시키는데드는에너지를구하라. ( 답 ) 0.5c 와 0.9c 에대한 γ 값은각각 1.154, 2.294 이다. 따라서 0.5c 에서 0.9c 로가속시키는데 드는에너지는이다.
- 빛의 Doppler 효과에서는관찰자나광원의상대적인운동에도 불구하고항상빛의속도는 c 라는점이음파의경우와다르다. - 광원이관찰자에게로속도 v s 로다가오는경우 - 관찰자의위치에서는파장이짧아진다. - 관찰자의관성계에서볼때빛의파장은 -T o 는관찰자의관성계에서의시간이다. - 관찰자는광원의시간연장을관측하므로 - 관찰자가관측하는파장과광원의파장사이의관계는
-광원이멀어지는경우는위식에서부호를바꾸면된다. -광원과관찰자가다가가면파장이짧아지는청색편이효과가발생한다. -반대로광원과관찰자가멀어지면파장이길어지는적색편이효과가발생한다. -빛의경우광원과관찰자의운동방향을구별할필요가없다. -상대적인운동이중요하다. ( 예제 ) 우주선이노란색 (550nm) 의별을향해날아가고있다. 이별의색이푸른색 (450nm) 로 보이기위해달려야하는우주선의속도는얼마인가? ( 답 ) 에서이므로 v=0.2c 이다.
-특수상대성이론은일정속도로움직이는관성계사이의상대성이론 -일반상대성이론은일정하게가속되는비관성계에서의상대성이론 -등가원리에의하면일정한가속계와일정한중력은동일하다. -일반상대성이론은중력에관련된상대성이론이라할수있다.
-바깥을볼수없는우주선안에서시계를떨어뜨리는실험 -시계가바닥으로떨어지는것을보고어떤행성 ( 중력이있는 ) 에착륙해있는것으로판단한다. -우주선이일정하게가속할때에도시계를떨어뜨리면중력이있는경우와동일한실험결과를얻을수있다. -따라서중력과일정가속도는동일한효과를준다.
-시계를떨어뜨렸을때시계가떨어지지않고공중에떠있는경우 -우주선안의사람은중력이없는우주공간에있다고판단 -우주선이행성의중력에의해자유낙하하는때에도동일한결과 -따라서이경우에도중력과일정가속도는동일한효과를준다. -위실험결과들은중력계와가속계를구별할수없다는것을나타내고있다.
-우주선에아주작은창이있어빛이그창을통해들어오는경우 -중력이없는우주공간에있는경우창으로들어오는빛은직진한다. -등가원리에따라정지해있는경우와자유낙하를하는경우는같으므로동일하게빛의직진을관찰. -우주선이일정하게가속하는경우빛이통과하는동안우주선은움직이므로, 빛이곡선의경로를따라움직이는것을관찰된다. -등가원리를적용하면가속계와중력계는동일하므로중력이미치는공간에있는우주선에서는빛이휘는현상을관찰된다. -이는빛이중력이있는공간을지날때휘어지는현상을잘설명한다.
-일반상대성이론에의하면중력에의해시공간은휘어진다. -중력을만드는질량이존재하는주위의공간은휘어지게된다. -빛이휘어져전파되는것같이보이지만실제로는빛은중력에의해휘어진공간에서가장빠른길을선택한것이다.
-우주선의바닥에서발사한레이저빛을천정에서관찰하는경우 -우주선이위로가속되는순간에레이저에서빛이발사된다. -우주선이위로움직이므로천정에있는사람은도플러효과를관찰한다. -관찰자가빛의원천에서멀어지므로파장이길어진다 (red shifted). - 천정에서레이저빛이발사되고바닥에서그빛을관찰하는경우 - 관찰자가빛에가까워지므로파장이짧아진다 (blue shifted).
-등가원리를적용하면가속계에서관찰되는위의 Doppler 효과는중력이존재하는행성에멈춰있는우주선에서도동일하게만족된다. -지표에서레이저빛이발사된다고할때지상에있는관찰자는지구중력에의해파장이길어진파를관찰하게되고 (red shifted) 반대로지상에서레이저빛을쏘면지표에있는관찰자는파장이짧아진파 (blue shifted) 를관찰하게된다. -이를중력적색편이 (gravitational red-shift) 라고부른다.
-높은탑안의천정과바닥에동일한레이저가각각설치되어있다. -천정에있는관찰자는아주정확한진동수측정기를가지고있다. -1초동안측정기를작동하여천정에있는레이저의진동수와바닥에서올라오는레이저의진동수를측정한다. -바닥에서올라오는빛은적색편이된다. -천정에있는레이저의진동수가바닥의진동수보다크게관찰된다. -천정에있는사람은천정에있는시계가바닥에있는시계보다빠르게간다고결론을내린다. -바닥에서의시간이천정에비해천천히간다는것을의미한다. -이를중력시간지연 (gravitational time dilation) 이라부른다. -중력시간지연은바닥과천정에있는사람모두시간지연에대해의견이일치한다. -중력시간지연은중력을주는물체가까이에있는경우시간이느리게간다는것을의미한다.
Δt' = The change in time in the gravitationally influenced reference frame Δt = The change in time in a reference frame an infinite distance from any mass c = The speed of light G = The gravitational constant M = The mass of the object being approached r = The distance from the object being approached
(Ex) Let's say a spaceship is approaching the black hole in Messier 87. How close to this black hole must the spaceship get to experience time twice as slowly? This black hole weighs around 6.6 billion times as much as our sun, which weighs 1.989 x 10 30 kg. (Ans) The black hole weights: M = 1.989 x 10 30 x 6,600,000,000 = 1.3127 x 10 40 kg. c = 3 x 10 8 m/s G = 6.673 x 10-11 N m 2 kg -2 Δt = 1, Δt' = 0.5 r = 2GM/[c 2 {(Δt'/Δt) 2-1}], hence we have r = 2.599x10 13 m This is roughly 6 times the distance between Earth and Neptune.