TECHNICAL REPORT 제어 시스템의 안정성 기준 전자 분야에 있어서 오실레이터는 자체적으로 사인파 신호를 발생시킬 수 있는 회로이다. 다양한 회로 구성에서 오실레이터를 동작시키는 것은 전자 회로에 내재된 잡음 레벨을 포함한다는 뜻이다. 전원 인가 시 잡음 레벨이 증가하면서 발진이 시작되며 자체적으로 유지된다. CHRISTOPHE BASSO ON Semiconductor 그림 1과 같이 블록의 조립에 의해 이루어진 구성은 이번 제어 시스템 배치와 매우 유사한 형태이다. Vout(s)[1 G(s)] Vin(s) (2) 따라서 이와 같은 시스템의 전달 함수는 다음과 같이 된다. 여기서의 여자 입력은 잡음이 아닌, 오실레이터를 구동시 키기 위한 입력 변수로서의 전압 레벨 Vin이다. 복귀 경로는 G(s) 블록으로 구성되며, 직접 경로는 전달 함수 로 구 성된다. Vout(s) Vin(s) 1+G(s) (3) 이 식에서 G(s) 곱셈은 루프 이득이라고 하며 T(s)로 시스템을 분석하기 위해 입력 변수 대비 출력 전압으로 표 시한 전달 함수를 작성해 본다. 표시하기도 한다. 이 시스템을 지속적인 오실레이터로 변환시키기 위해서는 Vout(s) ε(s) [Vin(s) G(s)Vout(s)] (1) 식 (1)과 Vout(s) 인수를 확장하면 다음과 같이 된다. 입력 신호가 사라진 경우에도 출력 신호가 반드시 존재해야 한다. 이와 같은 목표를 달성하려면 식 (4)와 같은 조건이 충 족되어야 한다. Vin(s) lim ε(s) Vin(s) Vout(s) Hin(s) 1+G(s) (4) Vin이 사라진 상태에서 이 방정식을 만족시키기 위해서는 몫이 무한대가 되어야 한다. 몫이 무한대가 되기 위한 조건 은 특성 방정식 D(s)가 으로 되어야 한다. G(s) 1 G(s) (5) 여기서 이 조건을 만족시키려면 G(s)가 1이 되어야 그림 1. 오실레이터는 에러 신호가 반대편 출력 신호의 변화를 가져오지 않는 제어 시스템이다 5 한다. 다르게 말하면, 루프 이득의 크기는 1이 되어야 하며, 그 부호는 마이너스가 되어야 한다. 사인파 신호의 부호 변
경은단순히 18 의위상역전이다. 이 2개의조건은수학적으로다음과같이표시할수있다. G(s) =1 (6) argg(s)=-18 (7) 이 2개의식이정확하게충족되면정상상태발진을위한조건이갖춰진것이다. 이것은 1921년, 동일한이름의독일물리학자에의해발표된소위 Barkhausen 기준이라고한다. 실제로컨트롤루프시스템에서수정신호는출력에영향을끼치지못하지만, 여자신호로동상의정확히동일한양을반환시킨다. 보데선도에서, (3.6) 과 (3.7) 은 -db 축을통과하는루프이득곡선을포함하며, 바로이지점에서 18 의위상지연으로영향을받는다. 주파수대비루프이득의허수및실수부분을표시하는나이퀴스트 (Nyquist) 분석에서는이지점이 -1, j 좌표에해당된다. 그림 2는발진을위한조건인이들 2개의곡선을나타낸것이다. 시스템이이값에서약간이라도편향되면 ( 예를들면온도변화, 이득변화 ) 출력발진은 으로지수함수적으로감소하거나상부 / 하부전원공급기레일에도달할때까지의진폭으로수렴된다. 오실레이터의경우, 설계자는광범위한동작조건에서발진조건들을만족시키기위해가능한한이득마진을감소시키고자노력한다. 안정성기준 지금까지제어시스템의목적은오실레이터를만들려는것이아니라는것을이해할수있었다. 우리가원하는것은속도, 정밀성및발진없는응답을가진제어시스템이다. 따라서발진이나수렴조건이되는구성은피해야한다. 그방법중하나는, 시스템이반응하는주파수범위내로제한하는것이다. 정의에의해폐루프에서입력대비출력이 3dB 떨어지는지점의해당주파수가주파수범위또는대역폭으로된다. 폐루프시스템의대역폭은시스템이입력에대해만족스럽게반응하는주파수범위라고할수있다 ( 즉, 설정포인트를따르거나효과적으로교란을거부하는범위 ). 나중에설명하겠지만, 설계단계에서는폐루프대역폭을직접컨트롤하지않지만오픈루프분석에해당되는파라미터인크로스오버주파수 fc는컨트롤한다. 양쪽변수는때로동일한값으로근사치를갖기도하며, 이것은단한가지경우에만옳다는것을알수있다. 그러나이들은서로멀리떨어진값이아니며, 이두개의용어는논의하에상호교환해서사용할수있다. 여기까지봤을때오픈루프이득은제어시스템에서중요한파라미터라는것을알수있을것이다. 이득이존재할경우 ( 즉, T(s) > 1), 시스템은동적인폐루프상태로동작하 EE db 36 6. 4 18 3. T(1kHz) =db 2-1, j -18-3. -2 ω m T(ω) -36-6. T(1kHz)=-18-4 e T(ω) 1 1k 1k 1k 1M 1M -4. -2. 2. 4. 그림 2. 발진조건은보데도면또는나이퀴스트도면으로표시할수있다 전자기술 213 1 51
제어시스템의안정성기준 며입력교란을보상하거나설정값변경에반응할수있다. 그러나시스템반응에는한계가있다. 시스템은교란신호에포함된주파수에서이득을제공해야한다. 설정포인트변경의교란이너무빠른경우, 여자신호의주파수성분이시스템의대역폭이상이되어이주파수에서는이득이없게되며, 시스템이느려지고반응하지못할뿐만아니라변하는파형에루프가반응하지않는것처럼동작한다. 그렇다면무한대역폭시스템은필요한것인가? 답은 그렇지않다 이다. 왜냐하면대역폭을증가시키는것은깔때기의직경을넓히는것과같아서더많은정보를수집하고입력되는교란에대해더빨리반응하겠지만, 한편으로시스템은잡음과기생데이터, 경우에따라컨버터에의해자체적으로발생한 ( 예를들면스위칭전원공급장치의출력리플 ) 것과같은신호도수용하게되기때문이다. 이와같은이유로대역폭은애플리케이션이실제요구하는범위로제한하는것이필수적이다. 너무넓은대역폭을채용하는것은시스템의잡음면역성에해로울수있다 ( 예를들면, 외부기생신호에대한견고성 ). 대역폭제한 제어시스템의대역폭을어떻게제한할것인가? 보상블록 G를통한루프이득곡선을그림으로써가능해진다. 이블록은특정주파수 fc 이후에서루프이득크기 T(fC) 가 4 18 2-2 -4 9-9 -18 m=9 f C =6.5kHz T(s)=-18 1 1 1k 1k 1k 1M 그림 3. 이예에서 -db 크로스오버지점은 6.5kHz 에있으며전체위상지연은 9 의위상여유를제공한다 떨어져 1 또는 db를통과하도록한다. 앞에서설명한바와같이, 이는루프가폐쇄되었을때제어시스템의대략의대역폭이된다. 이현상이생기는주파수를 fc로표시하며크로스오버주파수라고한다. 이것은견고한시스템을획득하기위해충분한것일까? 아니다. 여기서는또다른중요한파라미터를확인할필요가있다. T(s) 의위상은그크기가 1일때 -18 보다작아야한다. 실험에의하면, 크로스오버주파수에서루프위상이 -18 이하인경우안정적인상태로수렴하는응답을구했다. 이는명백하게바람직한제어시스템의특성이다. 크로스오버시 -18 에서떨어져있도록보장하기위해서는보상기 G(s) 가루프인수를조절하여선택된크로스오버주파수에서위상여유 PM 또는 φm을구축하도록해야한다. 위상마진은외부교란이나피할수없는생산분포에도불구하고, 루프이득의변화로인해안정성이위험에빠지는것을막도록보장하는설계또는안전한계로생각할수있다. 나중에설명하겠지만, 위상여유는시스템의과도응답에도영향을미친다. 따라서이와같은선택은안정성에대한고려뿐만아니라원하는과도응답의종류에도의존한다. 위상여유는수학적으로다음과같이정의한다. φm=18+ T(fC) in degrees (8) 여기서 T는종속플랜트 H와보상기 G 이득으로이루어진오픈루프이득을나타낸다. 일반적으로보상된루프이득곡선은그림 3과같으며, 크로스오버주파수는 6.5kHz 를나타낸다. 이지점에서 T(s) 의위상은 -9 이다. 6.5kHz 주파수의 -18 에서시작하여 + GM=45dB 방향으로인수파형을지날때까지각도를계산하면, 이예에서의위상마진은 9 가된다. 이것은극히강건한시스템으로, 무조건적안정상태라고말할수있다. 이는크로스오버지점주변의웬만한루프이득의 52
변화에도불구하고위상여유가너무작은주파수를교차할가능성이없다는의미이다. 위상여유가 3 에근접할정도로너무작은경우, 이한계아래에서는시스템이수용할수없는 Ringing Response가발생한다. 이러한이유로, 3 에비해추가적인여유를부여하기위해서학교에서는 45 가한계라고배운것이다. 나중에우리는이수치에분석적인원인이있다는것을알수있을것이다. 이득여유와조건부안정성 그림 4는다른일반적인보상컨버터의주파수응답으로서 -db 크로스오버지점과함께위상여유를나타내고있다. 우리는경험적으로컨버터를구성하는요소들이제품수명기간에걸쳐변동을나타낸다는것을알고있다. 이변동은자연적인생산분포 ( 예를들면로트별허용오차의영향을받는저항또는콘덴서 ) 와관련된다. 컨버터의동작조건환경도부품에영향을미친다. 이와같은변수들중에는온도가중요한역할을하며수동또는능동부품파라미터에영향을미친다. 이것은예를들면콘덴서또는인덕터등가직렬저항 (ESR), 옵토커플러전류전달비 (CTR), 또는 2극트랜지스터의베타와같다. 이러한변동은영향을받는파라미터에따라루프이득을상승또는감소시켜영향을끼친다. 이득곡선이변동되면 -db 크로스오버주파수는컨버터에다른대역폭을가진 새로운값으로변화된다. 이와같은변경 4 18 하에서컨버터안정성은어떻게영향을받을까? 2 9 위상여유가작은지점에서새로운크로 스오버가발생한다면오버슈트가더이상수용할수없도록과도응답을저하시킬 -2-9 수있다. 따라서설계자로서는 -18 한계에도 -4-18 달하는주파수에서이와같은확산이갑자기이득을증가시키지않도록보장할책임을갖게된다. 즉, 식 (9) 와같이정의되는충분한이득이필요해진다. GM= 1 T(fπ) 이것은정확히 -18 또는라디안인 ( 그림 1에서 1MHz) 주파수지점에해당한다. 그림 4는선택된부품에서생산분포에의한 ±1dB의일반적인이득변동을나타낸다. 이것은크로스오버주파수를 1.5kHz에서 3kHz로이동시킨다. 이지역에서의위상여유는이론에의한안전수치인 7 에서 45 로변한다. 그렇다면최악의경우는무엇일까? 이는발진조건과일치하는전체위상지연이 18 인새로운크로스오버주파수가발생할때이다. 이조건이 1MHz에서발생하며 35dB의플러스이득변화가있다는것을나타낸다. 대형이득은없음 다행스러운점은, 35dB 의편차가현대전자회로에서는거의발생하지않는다는것이다. 이전에증폭기나서보매커니즘이진공관기반회로에의해구동될때에는전원인가시간중의웜업동안대량의루프이득변동이발생했다. 따라서안정성에위험이될수있는 2차지점을제한하기위해이득규정이필요하다. 전체위상지연이 -18 에도달하는주파수의루프이득곡선에서식별되는이이득여유는그림 3에 GM으로표시했다. 루프이득이외부파라미터에대해극도로민감성을 +1dB -1dB f C =6.5kHz m=7 m=9 m=45 1 1 1k 1k 1k 1M GM=35dB 그림 4. 루프이득은온도와같은외부파라미터에민감성을보일수있다. 변동이발생하면위상여유는항상안전한계내에있어야한다 (9) EE 전자기술 213 1 53
제어시스템의안정성기준 db 4 2-2 -4 18 9-9 -18 Shift by 25dB New f C after the shift m=18 f C =1kHz m=8 1 1 1k 1k 1k 그림 5. 이예에서이득이 25dB 아래로이동하면위상여유가 18 밖에되지않는지점에서곡선이 db 축을통과한다. 이와같이낮은위상여유는대량의오버슈트에영향을받아큰발진반응을나타낼수있다. 이는조건부안정성의경우이다 게낮은위상여유를나타내는컨트롤시스템이될수있다. 이것은발진반응을초래하여오버슈트사양을초과하게될수도있다. 이와같은종류의시스템은조건부안정이라고한다. 다행히도이전에언급한대로이득의 25dB 변동은흔치않으며, 이러한시스템은이이득여유에서강건한것으로간주된다. 그러나최종사용자가조건부설계는수용할수없으며, 크로스오버주파수이하의모든지점에서위상여유가 6 이상이되도록사양에명백히요구한설계도보았다. 이경우, 어떤동작조건에서도크로스오버아래에서위상여유가감소된지역이없도록컨버터를보상하는것이필수적이다. 안정또는불안정? 4. 18 2. -2. -4. 9. -9. -18-2dB -1dB m < 45 m f C =1kHz m=5 1 1 1k 1k 1k 그림 6. 위상지연이 18 이상이지만이득이 1 이상인지역은문제되지않으며, 반응은수용가능하다 나타내지않는한, 현대의전자회로에서 1dB을초과하는이득여유라면일반적으로충분하다. 그림 5는이득이동의다른예이다. 이는 1kHz에서 8 의위상여유를나타내는다른보상컨버터이다. 지금까지논의한것에따르면, 이득변경이발생할수있다는것을알고있고, 이는이득곡선을위 / 아래로이동시킬수있다. 여기서는위상여유가 18 까지작아지는곳에서약 2kHz의지역을확인할수있다. 2-25dB의이득감소가있는경우, 약 2kHz에서위험하 크로스오버이전에위상이 -18 아래로떨어지는시스템을불안정한시스템으로믿는경우가가끔있다. 이러한반응을그림 6에나타낸다. 위상곡선은 1kHz 이후급격히떨어지고 1.5kHz에서수kHz 동안 -18 한계를통과한다. 그다음에다시올라가 1kHz 에서 5 의위상여유를제공한다. 단순하게 db에서 (3.7) 을충족시키지않으므로이시스템은안정적이다. 기억할것은 (3.3) 의분모를취소하려면이득크기가정확히 1이고위상지연이 18 또는그이상이어야한다는것이다. 그래프에서는이조건이그림의어느곳에서도만족되지않는다는것을알수있다. 그러나루프가높은조건이라는것을주목할필요가있다. 이득이수데시벨감소하면위상여유는 45 이하로된다. 추가로 1dB가감소하면이번에는발진조건을만족시키는위상여유 의위험지역에들어가게된다. 이기사는 Artech House, Inc. 와의협의하에 Christophe Basso 가저술한 Designing Control Loops for Linear and Switching Power Supplies : A Tutorial Guide( 선형및스위칭전원공급장치를위한제어루프설계 ) (c) 212 중에서일부발췌한내용입니다. 54