Chapter 6 선형변환은무질서한과정과공학제어시스템의설계에관한연구에사용된다. 또한전기및음성신호로부터의소음여과와컴퓨터그래픽등에사용된다. 선형변환 Liear rasformatio 6. 6 변환으로서의행렬 Matrices as rasformatios 6. 변환으로서의행렬 6. 선형연산자의기하학 6.3 핵과치역 6.4 선형변환의합성과가역성 6.5 컴퓨터그래픽 si R = si cos si H = si cos cos si cos P = si si 함수 (fuctio 가무엇이었더라? 변환 (trasformatio image( 상, 像 입력과출력이모두벡터인함수 가 를 w로보낸다 라고읽는다 w = ( 정의 6..: 주어진가능한입력집합 D에대해, 함수 (fuctio f는 D의각입력과유일한출력을연관시키는규칙이며, 집합 D는 f의정의역 (domai 이라고한다. 입력 (iput 을 로표시할때대응하는출력 (output 은 f( 로표시한다. 또한출력은 에서 f 의값 (value 또는 f 에의한 의상 (image 이라하고, f 가 를 f( ( 로보낸다또는사상한다 (map 고말한다. 출력은하나의문자 y로표시하고 y = f ( 라고쓴다. 의정의역전체에걸쳐서산출한모든출력 y 의집합은 f 의치역 (rage 이라고한다. 예제. 비례변환 는 R 의벡터 =( =(, 를 R 의벡터 =( =(, 로사상하는변환 여러가지표현하는방법 : If =( =(-,3, (=( =(-,6 ( = (, = (, (, (, =( =(- 3 의상 ( 像 (, 3 = (, 6 (, 3 (, 6 Ch6.-3 Ch6.-4
예제 3. 행렬곱셈의변환 = 3 5 4 선형계와변환과의관계 는 R 안의 벡터 를 R 3 안의 3 열벡터 로보내는변환 예 : 표시법 : 성분형태표시법 : 괄호표기법 : ( = 4 = 3 3 9 = 5 = 5 3 4 3 4 = 5 3 4 (, = (, 5, 3 4 = 의상 ( 像 3 Ch6.-5 변환 가 R 을 R m 으로보낸다? 만일 가정의역이 R 이고, 치역이 R m 인변환이면 : R R m 변환 는점들을점으로사상또는벡터를벡터로보내는변환이다. 3 예제 : : R R 예제 3: : R R 공변역 (codomai R 은 의정의역이나 R m 은 의치역이아닐수도있다. 공변역으로부르는집합 R m 은상 (image 벡터가위치하는공간을나타내며, 의치역보다클수있다. 연산자 (operator : R 일반적으로보내는것을강조하기위해 R 변환 를 R 위의연산자로본다. 이면공간 R 자체로 Ch6.-6 행렬변환 (Matri rasformatio 선형변환 (Liear rasformatios 행렬변환 가 m 인행렬이고, 가 R 의열벡터이면 : R 의벡터를 R m 의벡터로보내는변환 행렬연산자 (matri operator 가 정방행렬일경우 : R R m ( = : R R 영변환 (Zero rasformatio ( = = : m 인영행렬인경우 : R 안의모든벡터를 R m 안의영벡터로보내는변환 항등연산자 (Idetity Operators I : 항등행렬인경우 I : R 안의모든벡터를그자신벡터로보내는변환 I ( = I = Ch6.-7 선형 (Liear 의의미의미 : 라틴어 liearis 에서유래 선 ( 線 에속하는, 선의 자극, 힘, 또는투입에비례하여응답하는 선형방정식 : 변수가 승거듭제곱으로만존재하는대수방정식 즉, 선형 (liear 이라는용어는세가지의미. 기하학적 ( 대상의형식을기술. 연산적 ( 함수또는변환이투입에대해반응하는방법을기술 3. 대수적 ( 방정식의형식을기술 Hooke s Law: y( 스프링의길이 는 ( 추의무게 에정비례 (directly proportioal 한다 y=k 로표현 y = f (, f ( = k k: 비례상수 Ch6.-8
Hooke 법칙은선형인데 두가지특징 y = k y = f(. 동차성 (homogeeity. 가산성 (additivity i i f ( c = k ( c = c ( k = cf ( f = k ( = k k = f ( f ( 투입이변하면산출도같은인수만큼변한다. ( f 더해진두개의투입에대한산출은대응하는산출을더한것과같다. 정의 6..: R 의모든벡터u와 v, 그리고모든스칼라 c에대해 m 아래두가지특성이성립하면함수 : R R 을 R 부터 R m 까지의선형변환 (liear trasformatio 이라한다. (i c ( u = c ( u ( 동차성 (ii ( u v = ( u ( v ( 가산성 m= 인경우선형변환 를 R 상의선형연산자 (liear operator 라한다. 동차성과가산성을결합한조건 c ( v cv = c( v c( v 중첩의정리 (superpositio priciple ( cv c v L c v = c ( v c ( v L c ( v k k k k Ch6.-9 Ch6.- 예제 7: 행렬변환 : R R 증명 : ( 정리 3..5 에서 (cu = c (u (uv = u u v m 는선형변환이다. 따라서, ( cu = ( cu = c ( u = c ( u ( u v = ( u v = u v= ( u ( v 그러므로, 행렬변환 m : R R 는선형이다. 예제 8. 비선형변환 ( (,, =,, 3 3 ( ( c ( u = cu (, cu, cu = cu, cu, cu = c u, u, u = c( u ( cu c( u 3 3 3 u v = 3 3 = ( 3 3 u v = ( 3 ( 3 = ( 3 3 ( ( u v, u v, u v ( u v,( u v,( u v ( ( u, u, u v, v, v u v, u v, u v ( u v ( u ( v Ch6.- Ch6.-
선형변환의특성들 정리 6..3 : R R m 이선형변환이면다음이성립한다. (a ( = (b (c ( u = ( u ( u v = ( u ( v 예제 9. 평행이동은선형이아니다 ( =, Ch6.-33 모든선형변환은행렬변환이다?? R 에서 R m 으로의모든행렬변환은선형변환이다. ( 예제 7 : R R m 이선형변환이면 R 안의모든벡터 ( 열벡터 에대해서 ( (=를만족시키는유일한 m 행렬이존재한다. 벡터 를표준단위벡터의선형결합으로표시하면 = = = e e e M M M M L L 중첩원리에의해.. ( = ( e ( e L ( e ( = [ ( e ( e L ( e = 여기서, M = [ ( e ( e L ( e Ch6.-44 정리 6..4: : R R m 은선형변환이고벡터들은열형식으로표시된다고하자. e, 은 R 의표준단위벡터이고, 는 R e, K, e 의 임의의벡터이면 ( 는다음과같이표현할수있다. 여기서 이된다. ( = [ ( ( L ( = e e e 표준행렬 (stadard matri 행렬 를변환 의표준행렬이라한다. 는 에대응하는변환이다. 는 에의해표현된변환이다. 는변환 이다 [ = [ ( e ( e L ( e 이다. ( = [ 참고 : 표준단위벡터의상을알면, 표준행렬 [ 를구할수있다. 선형변환 : R R m 은표준단위벡터에서의값으로완전히결정됨을알수있다. Ch6.-55 선형변환의표준행렬? 예제. 척도구성연산자에대한표준행렬 ( = 이변환은선형이다. 표준행렬 : 확인을해보면.. = ( e ( e L ( e = [ [ 선형변환 의표준행렬 Ch6.-66
변환 : R R m 이선형일필요충분조건 R 의벡터 = w= (,,, L 에대한상을 w = a a L a w = a a L a M M M M w = a a L a m m m m 필요충분조건은 w = (,,, w w L w m 라하면 와w 를연결시키는방정식이선형방정식이되는것이다. Ch6.-77 예제. 선형변환의표준행렬 다음변환 3 : R R 가선형임을보이고, 표준행렬을찾아라. (,, = (, 3 3 이변환은선형이다 : 표준행렬 = = [ ( e ( e ( w = w = 3 ( e = (,, = (, ( e = (,, = (, ( e 3 = (,, (,, = (,(, [ e3 확인을하면, [ 3 = = = 3 3 Ch6.-88 가장중요한선형연산자? 원점에대한회전 R 또는 R 3 에서 회전 ( 回轉, rotatio 반사 ( 反射, Reflectio 정사영 ( 正射影, Orthogoal Projectio R 의벡터 를원점에대해 만큼회전시키는연산자 (: R R 이변환은선형변환이다 동차성 (Homogeeity 가산성 (dditivity R si = si H cos si = si cos cos si P = si si Ch6.-99 Ch6.-
회전연산자의표준행렬 si R = [ ( e ( e = si 이회전에의한벡터 =(,y 의상 : si R= = si y 원점을지나는직선에대한반사 축양의방향으로각이 되고원점을지나는직선에대해벡터 를반사시키는연산자 반사연산자의표준행렬 π ( π ( cos cos cos si H = [ ( e ( e = = si si si cos 예제. =(, 를원점에대해 = π/6 (=3 만큼회전한상 (image R π 6 3 3.37 = = 3 3.37 이반사에의한벡터 =(y =(,y y,y 의상 cos si H= si cos y Ch6.- Ch6.- y 좌표계에서기본적인반사 예제 3. 반사연산자 양의 축과의각이 = π/6 (=3 이며, 원점을지나는직선에대한반사에의한벡터 =(, 의상을구하라. 3 3.37 Hπ 6 = = 3 3.37 Ch6.-3 Ch6.-4
원점을지나는직선위로의정사영 (orthogoal projectio R 의벡터 를원점을지나는직선위에수직으로사영 (projectio 하는연산자 y 좌표계에서기본적인정사영 정사영연산자의표준행렬 P ( = H P = H = H I= ( H I P = ( H I ( cos si cos si P = si = ( cos si si 이정사영에의한벡터 =(,y 의상 P = si si y cos si cos H P Ch6.-5 Ch6.-6 예제 4. 정사영연산자 양의 축과의각이 = π/ (=5 이며, 원점을지나는직선위로의벡터 =(, 의정사영을구하라. P π P π π ( 3 cos si π 6 6 4 = = si π ( cos π 6 6 3 4 3 4 ( 3 3 4.8 = = 3 ( 3 3.3 4 4 단위정사각형의변환 (rasformatio of the Uit Square 단위정사각형 : e 과 e 를이웃한변으로하는정사각형이고, 그꼭지점은 (,, (,, (,, (, 이다. Ch6.-7 Ch6.-8
거듭제곱수열 선형변환의연속적인적용이벡터에어떤영향을줄것인가?,,, L,, L k 예 : 34 = 3 5 = 5.5. 3 35.35 4 44.44 =, =,,, = = =.5..8. 타원을이룬다. Ch6.-9