유체역학 (Fluid Mechanics) 소 속 건설환경공학과 교과목명 유체역학 교과목코드 60907A(01) 강의학기 2013년 1학기 수강학년 2,3,4학년 수강학생 38 명( 화 6, 수 1-2) 담당교수 윤여진 연 락 처 건양대학교건설환경공학과

유체역학 (Fluid Mechanics) 소 속 건설환경공학과 교과목명 유체역학 교과목코드 60907A(01) 강의학기 2013년 1학기 수강학년 2,3,4학년 수강학생 38 명( 화 6, 수 1-2) 담당교수 윤여진 연 락 처 건양대학교건설환경공학과

2013-1 학기강의내용 구분교육주제단위수업목표단위수업내용 1주차 단위와차원 - 유체역학의이론적배경 - 물리량에대한단위와차원해석 2주차 차원해석 - 질량, 힘, 밀도, 단위중량, 운동량, 수압, 유량등 3주차 점성 - 뉴우튼점성법칙, 점성계수와동점성계수 4주차 표면장력 - 표면장력과모세관상승고 - 수시 1차시험 5주차 정수역학 - 정수역학기본원칙 - 수시 2차시험 6주차 액주계문제 - 액주계종류에따른압력구하기 - 등압면을이용한방법과차례대로압력구하는법 - 수시 3차시험 7주차 평면수압 - 평면에작용하는수압 - 연직평면에작용하는수압 8주차 경사/ 곡면수압 - 경사평면과곡면에작용하는수압 9주차 부체의안정 - 부체의안정, 중립, 불안정조건 - 수시 4차시험 10주차 11주차 12주차 13주차 14주차 15주차 - 보강주 16주차 기말고사 - 기말고사 - 1 -

수리학 ( 水理學, Hydraulics) 물에관한역학중에서주로건설공학에관한분야로물의정지운동의기초이론외에 댐의수압, 하천의홍수, 하상의세굴, 배수관의유량, 우물의양수량, 하수의침전, 오수의처리, 항만의해일, 수압관의수격압등넓은응용범위를포함하며각종구 조물의설계기준으로사용된다. - 5 -

일상에서의 수리학 사례 - 6 -

제 1 장. 물의기본성질 1. 유체의분류 1) 점성의유무에따른분류 - 점성유체( 실제유체, real fluid) 유체가흐를때유체의점성때문에유체분자간혹은유체와경계면사이에 전단응력이발생하는유체 점성을고려한유체, 즉 인유체, 층류와난류로구분 - 비점성유체(inviscocid fluid) 유체가흐를때점성이전혀없어서전단응력이발생하지않는유체 점성을무시하는경우, 즉 인유체 2) 압축의유무에따른분류 - 압축성유체(compressible fluid) 일정한온도하에서압력을변화시킴에따라체적이쉽게변하는유체 유체중기체가압축성유체 - 비압축성유체(incompressible fluid) 압력의변화에따른체적의증감이대단히적은유체 유체중액체가비압축성유체 - 7 -

3) 이상유체( 완전유체, ideal fluid) - 유체가흐를때점성이전혀없어서전단응력이발생하지않으며압력을가 하여도압축이되지않는유체 - 즉, 비점성, 비압축성인가상적인유체( 완전유체혹은이상유체) 물의성질 - 물은형태를가지지않고, 다. 높은곳에서낮은곳으로흐르며부피는변화하지않는 - 물은항상일정한밀도를유지하고있어균일하고연속적이다. 유체(fluid) = 액체( 물) + 기체( 공기) = 비압축성유체 + 압축성유체 유체의성질 - 유체는일정한형상을가지지않는다. - 유체는아무리작은전단력에의해서도연속적으로끊임없이변형된다. - 인장력에대해서는유체는저항하지않는다. - 압축력을가하면액체는압축되지않지만, 기체는상당히압축된다. - 액체는자유표면을갖지만, 기체는갖지않는다. - 8 -

2. 단위와차원 2.1 단위(unit) : 물리적인양의크기를표시하는일정한기준량 MKS 단위계( 공학단위계) m ( 길이) kg( 질량) sec( 시간) 힘의기본단위 N (Newton) 사용 [FLT] sec CGS 단위계( 절대단위계) cm ( 길이) g( 질량) sec( 시간) 힘의기본단위 dyne 사용 [MLT] sec sec sec SI 단위계( 국제단위계, the international system of Units) - 미터제를기준으로하여 MKS 단위사용( 세계적추세) - 한국산업규격(KS) 에도이제도채택사용 - SI 단위에서는질량의단위에 kg 을사용하고, 물체에작용하는중량의단위에는 N 을사용하여나타낸다. 지구의중력가속도 g 에구애받지않는우주시대의단위 이다 1 kg 중 = 1kg 9.8m/sec 2 = 9.8 kg m/sec 2 = 9.8 N ( 중 ) - 9 -

1 g 중 = 1g 980cm/sec 2 = 980 g cm/sec 2 = 980 dyne < 표 1> SI 단위계의단위량 양 단위의 명칭 단위기호정의 2 힘 (Force) Newton N 1N=1kg m/sec 압력, 응력 Pascal Pa 1Pa=1N/ m2=1kg/m sec 2 에너지, 일 Joule J 1J=1N m=1kg m2/sec 주파수 (Frequency) Hertz Hz 1Hz=1/sec 동력 (Power) Watt W 1W=1J/sec 2 2.2 차원(Dimension) - 역학적인양의크기를표시하는데있어기본적인물리량에의한방정식형태로 표시하여문자로나타냄 - 단위의대소에관계없이공통된 3개의기본단위로표시 - MLT 계 ( 절대단위계) CGS M( 질량) L( 길이) T( 시간) g cm sec - FLT 계 ( 공학단위계) MKS F( 힘) L( 길이) T( 시간) kg m sec - MLT와 FLT의상호교환가능 - 차원은공학에서매우중요한의미 - 이에대한완전한이해가없는경우물리량계산에착오, 단위환산혼란 - 물리량에대한방정식을이해, 이를차원으로바꾼후다시단위로환산시키는방법숙달 - 10 -

Newton 의운동법칙을이용한차원해석 - 모든차원해석의기본으로매우중요 힘 F = ma Report #1) - Newton 의제 1,2,3 법칙에대하여설명하여라. - 100cm/sec 의속도는몇 kh/hr 에해당하는가? - 11 -

3. 유체의물리적성질 3.1 질량과중량 1) 질량(mass, m) - - 물체가갖고있는고유한물질의무게 단위 MLT계 g, kg 사용 FLT계 sec why? 2) 중량(weight, W, F) - - 지구로부터그물체에작용하는중력의크기 중량과질량의관계 g : 중력가속도 sec sec - 차원해석 W = F = [MLT -2 ] 공학단위 1kg을 dyne 으로표시하여라. 공학단위의 1kg 은 1kg 의중량이므로 1kg=1,000g 980cm/sec 2 =0.98 10 6 g cm/sec 2 =0.98 10 6 dyne 2 ( 1 dyne=1g cm/sec ) 3) 밀도(density, ρ ) - 물체의단위체적당질량의크기(= 비질량(specific mass)) m : 질량 : 체적(volume) - 12 -

- 단위 - 표준대기압(1 기압) 하의물의밀도는 3.98 약 4 에서최대이며순순한물의경 우 실용적으로편리 - 온도에따른밀도의변화는온도변화에따른물의체적변화의미 < 표 2> 물의온도와밀도의관계(1 기압) 온도 ( ) 0( 얼음) 0( 물) 4 10 15 20 30 50 밀도 0.9167 0.9999 1.0000 0.9997 0.9991 0.9982 0.9957 0.9881 - 절대단위 - 공학단위, 중력단위 - MLT 계 [ML -3 ] - FLT 계 [FL -4 T 2 ] why? 4) 단위중량(specific weight, ) 혹은비중량 - 단위체적당무게( 물체중량의크기) 중량 - 용적 - 표준대기압(1 기압) 하의물의단위중량은 3.98 에서최대 - 순수물의경우 - 실용상단위중량담수의경우 해수의경우 - 13 -

5) 비체적 - 단위질량당체적( 절대단위) - 단위중량당체적( 공학단위, 중력단위) # 종합적인문제에서는일반적으로질량의개념이보급되어있지않기때문에 CGS의질량대신힘 F 를사용하는공학적단위가편리 6) 비중(specific gravity, G) - 물의단위중량혹은밀도에대한어떤물체의단위중량혹은밀도의비율 - 일반적으로비중에단위를붙이면밀도또는단위중량이된다. - 비중은무차원 - 물의경우 물 물체의밀도물체의단위중량 물의밀도물의단위중량 ex) 어느유체의비중이 3.0 일때, 이유체의비체적은얼마인가? ( 95) ex) 체적이 4 m3, 중량이 12 ton 인액체의비중은? - 14 -

유체역학에서취급하는주요물리량의차원 물리량 MLT FLT 물리량 MLT FLT 길이 L L 질량 M FL -1 T 2 면적 L 2 L 2 힘 MLT -2 F 체적 L 3 L 3 밀도 ML -3 FL -4 T 2 시간 T T 운동량, 역적 MLT -1 FT 속도 LT -1 LT -1 비중량 ML -2 T -2 FL -3 각속도 T -1 T -1 점성계수 ML -1 T -1 FL -2 T 가속도 LT -2 LT -2 표면장력 MT -2 FL -1 각가속도 T -2 T -2 압력강도 ML -1 T -2 FL -2 유량 L 3 T -1 L 3 T -1 일, 에너지 ML 2 T -2 FL 동점성계수 L 2 T -1 L 2 T -1 동력 ML 2 T -3 FLT -1-15 -

7) 점성(dynamic viscosity) μ - 판의면적 : A - 판에작용하는힘의크기( 마찰력의크기) : F - 판의이동속도 : V - t 는매우작음 - 평판에접해있는물의속도 = 평판의속도 - Newton 의점성법칙( 마찰법칙) : 층류에적용됨 - 16 -

- 액체가흐르고있을경우그한단면에있어서의유속은각지점에차이 - 유속이빠른부분은느린부분을전방으로잡아당기는작용 - 유속이느린부분은빠른부분을후방으로잡아당기는작용 - 이와같은작용은그면에따라서마찰저항, 즉전단응력이생기므로일어남 - 이러한액체의성질을점성 - 마찰저항의원인이되는유체의성질 - 운동하고있는유체내부의속도의차가있을경우그사이에존재하는유체입자들은이상대속도에저항하여유체의흐름을균일한속도로만들려고내부적으로조절작용--> 이점성으로인하여유체내부에전단응력이생김 - μ의단위 : poise( 포아즈) ( sec) CGS 1 poise ; 의전단응력이작용할때의점성계수값 - μ 의차원해석 MLT 계 [ML -1 T -1 ] - 17 -

FLT 계 [ FL -2 T] - 유동계수(coefficient of fluidity) = ( 점성계수의역수) - 물의점성계수 μ 와온도( ) T 와의관계식( 95) (0 < T < 50 ) 온도 ( ) 0 4 10 15 20 30 40 μ(g/cm s) 0.0179 0.0156 0.0131 0.0113 0.0101 0.0080 0.0066 υ( cm2/s) 0.0179 0.0156 0.0131 0.0144 0.0102 0.0081 0.0066 - 실무에서의응용을위해 대신 사용 - ( 동점성계수, coefficient of kinemativ viscosity) - 단위 stokes sec sec - 18 -

문제 - 차원해석 MLT 계 [L 2 T -1 ] why? 1) 속도분포 =0.2327 kg sec/ m2) FLT 계 [L 2 T -1 ] 일때바닥에서 0.5m 떨어진곳의전단응력은? ( 단 μ 문제 2) 간격 0.5cm 의평행판사이에 μ=0.04 poise 의액체가가득차있다. 한쪽의 평판은고정, 다른쪽의평판은 3m/sec 의속도로움직이고있을때판에작 용하는전단응력을구하라. 문제 3) 으로주어질때, 벽면에서 12cm 떨어진곳의속도구배는? 문제 4) 15.3 poise 를 g sec/ cm2으로환산하여라. ( 단 1 dyne.sec/ cm2=1 poise) 문제 5) 3mm 간격을가진 2장의평행한유리판사이에물을채우고 1장의유리판을 고정시키고나머지 1장을 0.5m/sec 의속도로평행이동시킬때유리판단위 면적에걸리는전단력을구하라.( 단유리판사이의속도분포는직선이고 ν =1.15 10-6 m2/sec) 문제 6) 유수중에서 1cm 간격을가진평한 2면의유속차가 0.5cm/sec 였다. 전단력 은? ( 단 μ=1.55 10-5 g.sec/ cm2) 문제 7) 30 인물의 μ=7.995 10 로하면동점성계수 ν 는? -3 poise 이다. 같은온도의물의 ρ=0.9957g/ cm3으 -5 문제 8) μ=2.35 10 g.sec/ cm2인유체의단위중량 w=1.2g/ cm3이다. 동점성계수는? 문제 9) 5kg 의힘을 dyne 으로표시하면? 문제 10) 절대단위로 1,500 g.cm/sec 2 을공학단위로표시하면? 문제 11) 공학단위로 1.5kg/ cm2인압력강도를절대단위로표시하면? - 19 -

-5 문제 12) μ=2.35 10? g.sec/ cm2인유체의단위중량이 1.2 g/ cm3이다. 동점성계수는 - 20 -

문제 13) 직경 30cm, 길이 1.2 m 인원주의중량이 59.35kg 일때단위중량은? 반경 2m 4m 전체면적은? - 21 -

3.2 물의압축성(compressibility) - 일반적으로물체에힘( 외력) 을가하면변형, 로돌아옴.( 탄성) 힘제거하면변형이없어지고원상태 - 물이압력을받으면체적이감소, 압력제거시원상태 - 물은약간의압축성가지며온도, 압력, 공기량에따라다르지만일반적으로작아 서압축성무시 - 용기에물넣어수면에판자띄워밀폐, 위에서압력으로누르면물은압축, 부피 감소 - 물의평균압축율은 10 에서 1 기압의압력( ) 하에서 정도 ( 의압력증가시물의부피는 0.005% 만큼감소) - 압력변화에대한물의부피변화는매우작아수리학문제에서비압축성간주 - 고압관수로내의급격한압력변화문제취급시에는물의압축성고려 - 온도일정시압력 p 일때체적 인물이압력 dp 만큼증가시체적이 d 만큼수축했다고하면 - 22 -

평균체적율 (-) 의미 : 압력과물의부피는반비례관계 - C ; 압축율 MLT 계 [M -1 LT 2 ] why? FLT 계 [F -1 L 2 ] - E ; 체적탄성계수 = MLT 계 [ML -1 T -2 ] why? FLT 계 [FL -2 ] - 23 -

문제 1) 물을처음용적으로부터 2.5% 축소시키는데 의압력이필요시 C=? 문제 2) 물의 일때물의체적을 1% 감소시키려면얼마의압력을 가해야하나? 문제 3) 물을처음용적으로부터 4% 축소시키는데필요한압력을구하여라. ( 단, ) 문제 4) 물을축소시키는데필요한압력이 이고압축율 일때처음용적으로부터몇 % 축소되었나? 문제 5) 압축율 인유체의부피를 2% 감소시키는데 의압력을가했다면이유체의체적탄성계수는? 문제 6) 20 의물을처음용적으로부터 2% 감소시키는데필요한압력은? ( 단 ) 문제 7) 20 의물을처음용적으로부터 1% 축소시키는데필요한압력은? ( ) 문제 8) 10 의물의용적을 1% 축소시키는데필요한압력은? ( 단 ) 문제 9) 온도가 10 정도에서 200m 깊이에있는물의실제압축율은? - 24 -

3.3 표면장력과모세관현상( 물에작용하는힘) (1) 표면장력(surface tension) - 응집력(cohesion) 어떤물질내에서로인접하고있는동일분자들이서로잡아당겨엉키려는힘 - 부착력(adhesion, adhesive force) 서로다른분자사이( 유체+ 고체) 에작용하는힘 - 표면장력 액체의입자는응집력에의해서로잡아당겨그표면적을최소로하려고하는 힘. 이힘을표면장력이라한다. ( 가느다란철사, 바늘을물위에놓으면) 단위, ( 단위길이당힘, 공학단위) 혹은 sec ( 절대단위) MLT 계 [MT -2 ] why? FLT 계 [FL -1 ] - 25 -

- 하나의물방울에서반구의평형상태를생각해보면 반원에작용하는압력 = 구둘레에작용하는표면장력 - 비눗방울 ; 공기와닿는면이안과밖에서 2면 - 26 -

문제 1) 10 인물방울의지름이 3mm, 그내외부의압력차는? ( 단 ) 문제 2) 직경 5mm 의물방울이공기와접하고있다. 물방울내부의압력이대기압보 다 크다면표면장력은? 문제 3) 직경 1mm 의물방울이공기와접하고있다. 이물방울의내외부의압력차이 는? ( 단 ) - 27 -

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(2) 모세관상승고(capillary action) ; 물속에가는관을세우면액체가이관을따라상승또는하강하는현상 - 부착력과응집력에의한표면장력때문에발생 - 물의응집력 물과유리관사이의부착력, 관내수면하강( 수은) 접촉각, h 0 - 물의응집력 물과유리관사이의부착력, 관내수면상승( 물) 접촉각, h 0 물의무게 = 표면장력의수직성분 h 부분의물의무게 = 유리관주변에작용하는표면장력의연직성분( 상승, 하강) cos - 모세관상승고(h) 는관지름에반비례하고, 표면장력에비례 - 유리관과물접촉시 θ=0 이면 - 30 -

- 접촉각접촉물질 - 물과유리사이 8-9 - 물과미끈한유리 0 - 수은과유리 130-150 T 문제 1) 정지하고있는물속에지름 2mm 의유리관을세울때모세관현상으로물이 관내로 15.28mm 가올라갔을때표면장력은? ( 단 θ=0 ) 문제 2) 정지물속에지름 5mm 의유리관을세울때모세관상승고는? ( 단, θ=8 ) 문제 3) 안지름 2mm 의유리관을세웠을때모관상승고는? ( 단, θ =5 ) 문제 4) 정지유체중에 1mm 와 5mm 인 2 개의유리관을세우면두관의수위차는? ( 단, θ=0 ) 문제 5) 내경 5mm 의관을정수중에똑바로세우면모세관상승고는? ( 단, θ=9, ) 문제 6) 내경 6mm 의유리관을물속에세웠더니물이 5.5mm 올라왔다. θ=5 였다면 T 는? ( ) 문제 7) 정지하고있는물속에지름 4mm 의유리관을세우면모세관상승고는? ( 단, θ=0 ) - 31 -

- 2 개의연직평판을세우는경우 표면장력의수직성분 = 물의무게 cos 즉, 동일의연직평판과유리관을동시에세운경우평판의간격을유리관직경 과동일하게한다면유리관의모관상승고는평판의 2 배가된다. 문제 1) 간격 d=4mm, 폭 b=10mm 인유리판사이에서발생하는모세관상승고는? ( 단, θ=8 ) - 32 -

제 2 장. 정수역학(Hydrostatics) - 정지하고있는물에관한역학을연구하는분야 - 정수압(Hydrostatic pressure) : 정지상태의유체속에작용하는물의압력 - 정수중에는마찰력또는전단응력이작용하지않는다. - 상대속도가없으면마찰력은존재하지않는다. - 표면장력을받고있는수면을제외하고유체는인장력을받아정지하고있을수 없으므로일반적으로정지하고있는수중에작용하는힘은압력뿐이다. - 정수압의강도는단위면적당의힘의크기로표현 - 물을완전유체로보았을시응집력, 부착력, 점성은존재하지않느다. - 물을완전유체로한경우다음과같은법칙이적용 1 정수중의임의의한점에작용하는정수압의강도는모든방향에대하여동일하 다.( 증명) 2 정수중의임의점이받는정수압의강도는수심에비례한다.( 증명) : 물의단위중량 : 수심 3 정수압의강도는단위면적에작용하는크기로표시한다. - 33 -

P : 정수압 P : 전수압 A : 단면적 4 정수중에물체에작용하는정수압의방향은물체표면에수직으로작용한다. - 34 -

증명) 정수중의임의점이받는정수압의강도는수심에비례 - 35 -

증명) 정수중한점이있어서정수압의강도는모든방향에동일 - 36 -

- 수면에서 h 깊이의정수압강도 1 절대압력 (absolute pressure) ; 수면에작용하는대기압고려 : 대기압 2 계기압력 (gauge pressure) ; 대기압 p o = 0 으로한압력, 주로공학에서사용 - 표준대기압 지구표면을둘러싸고있는약 1,500km 두께의공기층의무게에의하여지구 표면이받는압력 대기압의압력강도는장소( 위치), 때, 온도에따라다르다. 보통 1기압 이론상 1기압은위도 45, 해면( sec ) 에서단위면적(1 ) 을가진 온도 0, 높이 760mm 의수은기둥( ) 의무게와같다. 공학에서 의압력을 1 기압( 공학기압) 이라한다. 문제 1) 수심 3,000m 의해저에있어서정수압은? ( 단해수의비중인 1.025) 문제 2) 10m 깊이바다속에서작업하는잠수부는몇기압의압력을받나? ( 단, 해수 의단위중량은, 대기의압력은 1 기압으로한다) 문제 3) 잠수함이해면하 200m 인곳에있을때선체가받는수압강도를 으로 계산하여라. ( 단해수의비중은 1.025) - 37 -

- 서로혼합하지않는액체가층으로구성. 해수면으로부터 5m 깊이에압력은? h=2m 지점의압력 m3 m2 h=4m 지점의압력 m2 h=5m 지점의압력 m2 바닥(h=7m) 에서의압력 m2-38 -

- 그림과같이원통형의용기바닥에길이 1.2m 까지는비중이 1.35 인액체를넣고, 그위에는 1.5m 까지의깊이로비중 0.95 의액체를넣을때벽면에서의압력분포 를구하라. 1 두액체의경계 n-n 면에서의압력은 m2 cm2 2 바닥면에서의 A-A 압력은? cm2-39 -

문제 1) 액체표면에서 50cm 깊이의점에있어압력강도가 이면이액체 의비중은? 문제 2) 압력 은수은주얼마정도정도의깊이에서일어나는압력인가? ( 단수은의단위중량은 ) 문제 3) 액체표면으로부터깊이 1.2m, 압력이 일때이액체의밀도는? 문제 4) 바닷속 20m 의압력은? ( 단비중은 1.025) - 40 -

Pascal 의원리( 압력의전달및측정) 정지된물속의한점에압력을가하면그압력은물속의모든곳에동일하게작용 - - 판과용기사이의마찰력무시 판의무게생략 - 병속에물가득넣고마개위에서 P 로누르는경우마개의단면적 a 라할때 마개밑면에작용하는수압의강도 는 P - 이보다 h의깊이에있는 B점의수압강도는 - P에서 P+ P 증가시키면 A점의압력이 만큼증가 B점의압력이 만큼증가 P - 여기서도압력의증가는, 즉 - B 점의위치는임의점이므로압력의증거는용기속에모든점에대하여같다. - 41 -

수압기의원리(1796 Bramach 고안) 파스칼의원리이용 - P, P 작용시켜평형이이루어지려면파스칼의원리에의해 P P 여기서 : h : 마개의단면적 두뚜껑의높이차 P P : 마개밑면의압력강도 - 마개에작용하는힘이충분히크면 는미소하므로생략하여 P P 혹은 P P - 의비율을매우크게하면적은힘 P 를매우큰힘 P 와평행시킬수있 다. - 42 -

문제 1) 그림과같은 U 자관에단면 A 1 과 A 2 의지름을 2cm, 10cm 의원형피스콘으 로하여 P 1 =2kg 의하중을가할때 P 2 에는얼마정도의하중이필요한가? ( 단 H=0 으로한다) 문제 2) 그림과같은 U자관의한쪽에물체 C를얹고그상부를고정벽에접촉시켜 A 에하중 P 1 을작용시킬때물체 C 의응력을구하는식을유도하여라. ( 단, A, B 의지름을 d 1, d 2, 물체 C 를 d 3 의원주체라한다 ) - 43 -

문제 3) 상기그림에서 d 1 =2cm, d 2 =20cm, d 3 =10cm, P 1 =1 ton 시원주 C에응력은? 문제 4) d 1 =3cm, d 2 =45cm, d 1 에 d 1 = 이 45cm 움직일때 d 2 가움직인거리는? 20kg 의힘이작용시 d 2 에받는힘을구하라. 또 문제 5) U자관단면 a 1 의지름이 30cm 일때단면 a 2 의지름 d 2 는? ( 단 P 1 은 2,000kg 이고 P 2 는 4,000kg) - 44 -

액주계 - 자유수면을가지는물의경우수면하임의점에서정수압은수심에비례하므로쉽 게구할수있다. - 관로나밀폐된용기내의압력을측정하기위해서는별도의계기필요 - 기본원리 수압의강도는수두에비례하므로밀폐된용기또는관내의수압은여기에수두 계를세웠을때수면이올라간높이 h 를측정하여구함. - 경사액주계 압력의변화가적은경우, 관내의수압이클때는 h 없어 U 자관사용 압력측정의정도를높이기위해사용 가크게되므로매우긴유리관이필요하여실용성이 - 45 -

액주계문제해결 ⅰ) 등압면( 동일유체 2 점의압력은같다) 이용하여풀이 ⅱ) 차례대로방향성을가지고풀이 ⅰ) ( 위에서실린압력이누르는모양) ⅱ) 대기압 최종압력 ( 위로올라갈수록압력은감소(-)) ⅰ) 대기압 진공 ⅱ) 대기압 진공 - 46 -

U자형액주계 - 관속의압력이클때사용 - 관속의압력이클때는액주계의유리관이길어지므로 U자형유리관속에는비중이큰수은을사용하여유리관의길이를짧게한다. ⅰ) ⅱ) 최종압력 - 47 -

ⅰ) ⅱ) 최종압력 올라가면압력이줄어듬 - 48 -

ⅰ) ⅱ) 대기압 압력증가 압력감소 - 49 -

ⅰ) 대기압 ⅱ) - 50 -

ⅰ) 등압면이용 ⅱ) - 51 -

역 U자형액주계 - 관속의압력차가작을때사용 - 관속의압력차가작을때는유리관속의액체의수두차가작아지므로비중이물보 다작고물과잘섞이지않는벤젠을사용하여수두차를크게한다. ⅰ) 등압면이용 ⅱ) - 52 -

ⅰ) ⅱ) - 53 -

시차액주계 - 두관또는두용기의압력차측정시사용 ⅰ) ⅱ) - 54 -

문제 1) 그림(1) 과같은수압계에서 H=6cm, 10cm, 20cm 를측정하였을때압력을 구하라. ( 단 ) 문제 2) 그림(2) 와같은수압계의관을 θ 만큼기울게하고물기둥의길이 l 를측정 할때압력은? 문제 3) 물의단위중량, 벤젠의단위중량, h 1 =300mm, h 2 =150mm, h 3 =500mm 일때 A점과 B 점의압력차이는? ( 단 kg/ cm2으로계 산 ) - 55 -

문제 4) 수은비중 13.6 가름비중 0.7 일때 x ( 표면차이) 는? 문제 5) A점과 B 점의압력차이는? ( 단수은의비중은 13.6) 문제 6) A 점의압력은? ( 단 의비중은 0.9) - 56 -

문제 7) A점과 B 점의압력차이는? ( 단수은의비중 13.6) 문제 8) A 점의압력은? ( 단수은의비중 13.6) 문제 9) A점과 B 점의압력차이는? ( 단기름의비중은 0.8) - 57 -

문제 10) A 점의압력은? ( 단수은과기름의비중은 13.6과 0.8) 문제 11) A점과 B 점의압력차이는? ( 단벤젠의비중은 0.9 수은의비중은 13.6) - 58 -

문제 12) A점과 B 점의압력차이는? ( 단수은의비중은 13.6 벤젠의비중은 0.9) 문제 13) 그림에서 x 는? ( 단해수의비중은 1.025 수은 13.596 벤젠 0.88) - 59 -

문제 14) A 점의압력은? ( 수은비중 13.6) 문제 15) m점과 n 점의압력차이는? ( 수은의비중은 13.6) 문제 16) 액주계의높이차이가 40cm 이었다면두수조의수면차 h 는? - 60 -

문제 17) h=25cm, H=40cm A점과 B 점의압력차이는? 문제 18) A점과 B 점의수압차이는? ( 단수은의비중은 ) 문제 19) 수압 P 는? - 61 -

문제 23) P 점의수압은? ( 단수은비중은 0.95) - 62 -

평면에작용하는정수압 1) 면에작용하는압력의성질 - 유체내부혹은액체속에잠겨져있는물체면에서깊이 h 방향은면에직각작용 에있어서의수압은 2) 수평한평면에작용하는수압 평면이물속에수평으로놓여있다면단위면적당압력은 이다. 평면의면적을 A라하면전수압 P 여기서전수압의작용점은평 면의도심이된다. 전수압은평면을바닥으로하는수면까지의연직물기둥의무게와같다. - 63 -

전수압 P의작용점은평면의도심 G 에작용하고이작용점을수압의중심 (center of pressure) 이라한다. 작용점 : 전체면에작용하는힘을하나로대표할수있는점. 수평인경우는 도심점 문제 1) 수면하 3m 인점에평판(2m 3m) 을수평으로놓을때평판이받는전수압을 구하라. 문제 2) 폭 2m, 길이 3m 의구형평판이수면하 1.5m 깊이에수평으로놓여있을때 한쪽에작용하는전수압을구하라. - 64 -

3) 연직평면에작용하는수압 전수압의크기 ( P) - 면적 A의평면형이수면에연직인위치에있을때수압을구해보면사다리꼴 - 수심 z 에높이 dz의미소면적 da를생각하면 da에작용하는전수압 dp는 P - 전면적 A에작용하는전수압은전면적 A에대하여적분을하면되므로 P 즉 P =( 도심에대한수압강도) ( 평면의면적) 여기서 : 수면에관한면적 A의 1 차모멘트, 평면도심의수 심 h G 에면적 A를곱한값 - 65 -

전수압의작용수심 ( ) - 전수압이작용하는점 C를압력의중심이라하며 C점까지의수심 hc는전수 압의수면에관한모멘트를취해서구함 P P (1) : 평면의수면에관한단면 2차모멘트 - 평면도심 G를통과하는단면 2차모멘트를 라하면 가되므로 (1) 에대입 P P - 66 -

- 대표적인단면의성질 - 67 -

문제 1) 그림과같은평판에작용하는수압의크기와작용점위치 는? ( 단폭은 3m) 문제 2) 그림과같은 2 등변삼각형판에작용하는수압과작용점은? 문제 3) 그림과같은 2m 2m 1m 의콘크리트블록이바닥에가라앉아있을때, 면 A 및측면 C 에작용하는전수압은? - 68 -

문제 4) 그림과같은 3 각형판에작용하는전수압과작용점의위치는? 문제 5) 그림과같은원형수문에작용하는전수압과작용점의위치는? 문제 6) 폭 3m, 수심 6m 의수로를가로막은판에작용하는전수압과작용점은? 문제 7) 직경 1.5m의원형판이 4.5m 의수중에수평으로있을때판의윗면에작용하 는전수압과작용점은? 문제 8) 폭 1m, 수심 1.5m 의수로를직경 1m 의원주를세워서막았을때원주에 작용하는전수압과작용점은? - 69 -

문제 9) 그림과같은원형밸브의 O 점둘레의회전모멘트는? 문제 10) 수면으로부터 3m 깊이에중심이있는원형판을연직으로세웠을때이판에 작용하는수압이 9.42 ton 이었다. 판의직경은? 문제 11) 수면으로부터 5m 되는곳에중심이있는원형판을연직으로세웠을때이 판에작용하는수압의작용점이 5.2m 였다. 이판의직경은? 문제 12) 폭 4m 의구형판으로수심 5m 의물을연직으로가로막았을때, 이연직 판에작용하는전수압과작용점은? 문제 13) 그림과같은 2 등변삼격형판에작용하는전수압과작용점은? - 70 -

문제 14) 그림에서삼각형판에작용하는전수압과작용점은? 문제 15) 그림과같은원형판에작용하는전수압은? 문제 16) 그림에서합력의크기 P는? ( 단 B=2m) 또한합력의작용점 는? - 71 -

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4) 경사진평면에작용하는전수압과작용점 전수압의크기 P P sin ( 경사일때) ( 연직일때) 여기서 sin 즉, 경사평면이라할지라도전수압의크기를구하는식은연직평면의경우와동일한형태이다. 전수압의작용수심 P P - 74 -

P sin 혹은 sin sin 문제 1) 그림에서전수압의크기와작용점은? 문제 2) 그림에서원형판에작용하는전수압은? - 75 -

문제 3) 그림에서삼각형판에작용하는수압의작용점은? 문제 4) 그림에서원형판에작용하는전수압의크기와작용점은? - 76 -

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5) 곡면에작용하는수압 전수압 P는수평분력 ( P ) 와연직분력(P ) 로분해 1 수평방향분력 ( P ) ; 곡면의수평투영면에작용하는수압과동일 P ( 수압의크기) 여기서, : A : 수면에서수평방향투영면의도심까지거리 수평방향투영면의면적 P 는곡면 AB를수평투영면 A'B' 에작용하는수압과같으므로폭을 b 라하면 단면적 A=A'B' b 인연직평면에작용하는수압과같다. 작용점은투영면을수직한평면으로볼때의작용점과일치 2 연직방향분력 ( P ) ; 곡면을바닥으로하는물기둥의무게 P ( 수압의크기) : 곡면을바닥으로하는물기둥의부파 작용점은물기둥의무게중심통과 - 78 -

5-1) 수평방향중복 5-2) 연직방향중복 P = 물기둥 DCBF의무게 - 물기둥 EABF의무게 P P P P - 79 -

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6) 원관에작용하는수압 - - - 원관에수압이작용인장응력발생원관내에작용하는정수압은모든방향에대하여동일한조건이되므로반원에대한힘의평형상태를생각하면 증명1) 관의응력 = 관벽에작용하는수압 P 여기서, 이므로 ( P 이므로 ) - 주장력공식( 관의직경과수압이결정되면그때의관두께구할수있다) - 관에작용하는가능한허용압력 증명 2) P 단위길이 P P ( ) P 이인장력 T 에대하여강관이안전하면되므로응력을 σ, 허용응력을 라하면 - 81 -

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문제 1) 안지름 2m 의강관이있다. 이강관에 p=10kg/ cm2의수압이작용시강관의 두께는? ( 단 cm2 ) 문제 2) p=15kg/ cm2의수압을받는지름 1,000mm 의강관두께는? cm2 문제 3) 그림과같은원판의두께가 8mm 라면 C 점의허용응력은? 문제 4) 지름 50cm, 두께 0.5cm 의원형파이프에단위면적당내부압력이 p=10kg/ cm2일때원응력은? 문제 5) 지름 50cm 인원관의두께가 5mm 일때원관의내부압력은? ( cm2 ) 문제 6) 어느도시의상수도도수관으로 800mm 의동관을포설하고자계획하였다. 댐과정수장의수위차가 80m 이고물의압력을 p=5kg/ cm2, 관두께의여유를 2mm 로하였을때제작한관의두께는? ( cm2 ) 문제 7) 관경 1.2m 의관에 p=15kg/ cm2의수압을가진물을통수시킬때관의두께는? ( cm2 ) 문제 8) 정수압 9kg/ cm2인곳에포설해야하는관의두께는? ( 단, 지름은 1,000mm 이 고 cm2 ) - 83 -

부체와안정 (floating body) - 물속에잠겨있는물체는그표면에정수압을받는다. - 물체에작용하는수압의수평분력은물체의수평방향의투영면에작용하므로이것 은항상평형을이루고있다. - 따라서정수압은연직분력만생각하게된다. - 물체의상면 ABC에작용하는하향의전수압은물기둥 EABCF의무게와같으며 하면 ADC에작용하는상향의전수압은물기둥 EADCF 의무게와같다. - 따라서이물체에작용하는연직방향의수압의합계는 B= 수주 EADCF의무게 - 수주 EABCF의무게 - 즉물체 ABCD의체적과같은물의무게로서상향작용하며이것을부력이라한다. - 부력 여기서 : 수중부분의물체의체적 - 84 -

- 용어정의 부심 (center of buoyancy) 부력의작용선은부체가배제한물의무게중심을통하는점, 부력의중심, 수면하체적의중심 흘수 (draft) 부양면에서부체의가장깊은점까지의수심 부양면 (plane of floatiation) 부체의일부가수면에있을때수면에의해절단되었다고생각되는단면 물체의무게와부력의관계 : 물체의공기중무게 : 물체의수중무게 : 물체의체적 : 물의단위중량 물체는침몰 물체는수중에정지, 혹일부. 전부가수중잠김 물체는부상 - 85 -

부체의안정 1 안정 중력과부력의우력 M 가부체를처음정지의위치로되돌아가게한다. 즉, 부력의 작용선과부체의중심선의교점을경심(M) 이라하면안정조건은 M 이무게중심 G 보다위에있을때이다. 경심고 2 중립 부체가정지상태에있다. 중립상태는 M과 G 가일치할때이다. 경심고 3 불안정 우력 M 가부체의경사를증대시켜불안정하게된다. 불안정조건은 M이 G보다아 래에올때이다. 경심고 : 수면하에있는물체의체적 : 단면 2차모멘트 : 부체가정지위치에있을때부심과중심과의거리 - 86 -

유체중에 球가유체로부터받는힘( 부력) 1) 연직방향 : 연직면에대한투영면적은모든방향에대하여좌우가동일 P P : 유체의단위중량 : 부체의체적( 배수용량) 즉 ( 아르키메데스의원리) 수중에서물체의중량은그물체가배제한물의무게즉부력( 배수량) 만큼가 벼워진다. 2) 수평방향의분력의합은 0 이다. ( ) - 87 -

문제 1) 직경 3cm, 길이 5m 의철봉의무게가 27.75kg 이다. 이철봉의해수중에서 의무게는? ( 단바닷물의비중은 1.025) 문제 2) 하천에서 18톤의하중을적재할수있는 15m 8m 의부교를바다에띄웠을 때하천에띄웠을때보다얼마의하중을더실을수있나 1.025)? ( 바닷물의비중은 문제 3) 비중 0.91 인얼음 1.5m3을바다에넣었을때이얼음의수면위에나온부피 는? ( 단바닷물비중은 1.025) 문제 4) 직경 1.5m, 높이 0.6m, 비중 0.8인원주를띄웠을때수면에서부심의위치 와경심고는? 문제 5) 60cm 60cm 1m 하는최소하중은 의목재각주가물에떠있을때이목재를물에잠기게? ( 단비중은 0.65) 문제 6) 6m 16m, 높이 3m 의콘크리트무게가 150 톤, 이콘크리트의흘수는? 문제 7) 상기문제에서전체체적( ) 는? 문제 8) 상기문제에서 는? 문제 9) 비중 0.85 인물체가바닥에떠있다. 수면위에나온용적이 3m3이면이물체 의부피는? 문제 10) 비중 0.9인빙산이비중 1.025 인해수에떠있다. 수면위에나온빙산의용 적이 180 m3이라면빙산전체의용적은? 문제 11) 단면적 4 cm2, 길이 2.5cm 인강철봉의무게가 7.85kg 이다. 이강철봉의수 중무게는? 그리고비중은? - 88 -

상대정지문제 1. 수평가속도를받는액체 - 물이들어있는용기를수평방향으로 α 인가속도로움직이는경우물통속의물 은중력가속도 g 를받는동시관성때문에 α와크기가같고방향이반대인힘 을받게됨 - 이때수면은 g 와 α의합성가속도로직각 - 즉 X = - α, Y=0, Z=-g 이므로등압면은 Xdx + Ydy + Zdz =0에서 - 이식을적분하면 -αx - gz + c = 0 - 여기서 C 는적분상수, 수면의중심을좌표의원점이라하면 X=0, Z=0 이므로 C=0 평형표면식 - 89 -

- 수면경사각 tan - 물이쏟아지지않고최대로달릴수있는가속도를구하면 tan 여기서 H : 수조의높이 h : 수심 b : 수조의길이 - 90 -

문제 1) 그림과같은수조차로 10 m3의물을운송하고자한다. 물이넘치지않을최대 가속도는? ( 단폭은 2.5m) 문제 2) 높이 2m, 길리 4m, 너비 3m 의직사각형수조에수심 1m 까지물을넣어서 수평가속도를가할때물이넘치지않게하려면 α는? 문제 3) 그림과같은길이 1.2m, 깊이 1.2m 의수조차에저면으로부터 0.9m 인높이 에물을넣었을때수평방향으로어느정도의가속도를가하면물이쏟아지지 않고최대로달릴수있는가? - 91 -

문제 4) 그림과같은수조차가 sec 으로달릴때수위상승높이는? 문제 5) 그림과같은폭 2m 인수조차가 sec 으로주행시 AB판에작용하는 전수압 P 과 P 는? 문제 6) sec 으로일정하게달리고있는열차속에물그릇을놓았을때이 물이수평으로기울어지는각도는? 문제 7) 폭 2.2m, 길리 3.8m 의물통을 5톤트럭에싣고 5m3의물을운반하고자한 다. 이트럭의최대가속도는 sec 일때물통의정확한높이는? 문제 8) 6m3을운반하는폭 2m, 길이 4m 인수조차의적당한높이는? ( 단 sec ) - 92 -

2. 연직가속도를받는액체 풀이 1) 1 에서 X=0, Y=0, Z=-(g+ α) 이므로 적분하면 이고수면을좌표의원점이라하면 C=0 2 수면으로부터의깊이는 h 라하면 z=-h 이므로 즉연직상향의가속도를받는수압은정수압 ( ) 보다 만큼더크다. 만일연직하향의가속도로운동한다면 즉정수압보다 만큼작아지며연직하향의가속도 α가중력가속도 g 와같다면 p=0 이되어물속에서압력이작용하지않는다. - 93 -

풀이 2) - 수조에연직방향의가속도가작용 - 수조정지시물은 (-g) 의중력가속도만큼받음 - 수조를연직상향(+) 으로 α의가속도작용시물은 (- α) 의가속도를받아 z 방향 으로 (-g) 와 (- α) 의가속도받음 - x, y 방향으로운동이없으므로 X=0, Y=0, Z =-( α+g) - 정지유체의평형조건식 dp= ρx+ydy+zdz dp= ρ(-g- α)dz - 적분하면 p=- ρ(g+ α)z+c - 이고수면을좌표의원점이라하면 C=0 - 수면으로부터의깊이는 h 라하면 z=-h 이므로 - 즉, 연직상향의가속도를받는수압은정수압( ) 보다 만큼더크다. - 94 -

문제 1) 용기에물을넣고 sec 의가속도로상방향으로운동시킬때 A점에 서의정수압의강도는? 문제 2) 용기에물을넣고 sec 의가속도로하방향으로운동시킬때 A점 (h=2m) 에서의정수압의강도는? 문제 3) 그림과같은직경 2m 인원형물통을연직상방향으로 sec 의가속 도로끌어올릴때물통의바닥에작용하는수압은? 문제 4) 직경 1m 인원통형수조에 1.6m 깊이로물을넣고 sec 로연직상 방으로끌어올릴때이물통의밑바닥에서의압력은? - 95 -

제 3 장. 동수역학(Hydrodynamics) 1. 흐름의특성과분류 (1) 흐름의특성 1 유선 (stream line) 유체가흐르는한순간에각유체입자의속도벡터를그릴때이속도벡터에 접선이되는가상의곡선 2 유관 (stream tube) 어느순간에유체내부에한개의폐곡선을생각하여이곡선상의각점을통 과하는유선을그으면다발의유선에의해관이생김 3 유적선 (path line) 유체입자의운동경로, 정류인경우유선과일치 - 96 -

각종용어정의 - 유적(cross sectional area of flow) : A 적 수로단면중유체가접하고있는부분, 혹은한단면에서유체가흐르고있는단면 - 윤변(wetted perimeter) : P 유적중에유체가접하고있는길이 - 경심(hydraulic radius) : R 유적을윤변으로나눈값. 일명평균수리심(hydraulic mean depth), 또는동수반경 ( 사각형수로) 하천폭이수심에비해대단히넓은자연하천에서는, 만관인원관에서는 - 97 -

문제 1) 안지름 200mm 의관속을평균유속 30cm/sec 로물이흐를때유량은? 문제 2) 폭 100cm 의콘크리트수로에유량 50 리터/sec 의물이흐를때, 수심이 40cm 일때평균유속과경심은? - 98 -

(2) 흐름의분류 1 시간과공간에따른분류 정류( 정상류) ; 한단면에서흐름특성( 유속, 유량, 밀도, 흐름방향등) 이시간에따라변하지않는흐름, 평상시하천의흐름 부정류 ; 한단면에서흐름특성이시간에따라변화하는흐름, 홍수시하천흐 름 등류 ; 정류중에서도어느순간에위치에따른흐름특성이일정한흐름 부등류 ; 정류중에서도어느순간에위치에따른흐름특성이달라지는흐름 - 99 -

2 점성력과관성력에의한관계 관수로흐름에서는압력에의해흐름이발생하고점성에의한마찰의주된영향을 받으므로점성력과관성력의관계가중요 (Reynolds Number) - 층류(laminar flow) 흐르는유체입자가자체의진로를따라일정하게흐르는흐름 - 난류(turbulent flow, eddy flow) 유체입자가다른입자와간섭하며교란되어흐르는흐름 층류저층 ( ) 난류흐름에서는유체입자가서로간섭하여흐르기때문에유속이대체로일정하나 벽면의마찰저항으로벽면근처에서유속이작게되어층류상태로흐르는층 - 100 -

Reynolds Number ; 이탈리아사람 Osborne Reynolds(1842-1912) 가 1883 년실험. 층류와난류의 두층의흐름은속도의대소정도가아니라관의안지름과물의점성에의해관계된다 는것을증명 관성력 점성력 층류 불완전층류( 과도상태) 난류 한계 Reynolds Number( 층류가되는조건) - 101 -

문제 1) 안지름 1cm 의관내를수온 20 의물이흐를경우유속은? ( 단, Re=2,000, 동점성계수 sec) 문제 2) 안지름 2cm 의관내를물이 25cm/sec 로유속을갖고흐를때흐름의상태 는? ( 단, sec) 문제 3) 지름 100mm 의관내를 2.5m/sec 의속도로물이흐르고있을때 Reynolds 수는? ( 단 sec) 또한동점성계수 sec의기름이관내 를흐를때 Reynolds 수는? 문제 4) 밀도, 점성계수 sec, 유속 10cm/sec, D=20mm 일때 Reynolds 수는? - 102 -

3 중력과관성력에의한관계 개수로흐름에서는중력에의해흐름이발생하고지배되므로중력과관성력의관계 가매우중요 (Froude Number) - 상류(subcritical flow) 유속이장파의전달속도보다작은흐름, 하류부의교란이상류측으로전달 - 사류(supercritical flow) 유속이장파의전달속도보다큰흐름, 하류부의교란이상류흐름에영향없음 - Froude Number 관성력 : 장파의전달속도중력 한계류 수심 : 한계수심(critical depth) 유속 : 한계유속(critical velocity) - 103 -

연속방정식 1 과 2간의체적은불변, 수류는연속하여흐르므로 1, 2를흐르는유량은불변이 다. 따라서 문제 1) 안지름 200mm 의관속을평균유속 30cm/sec 로물이흐를때유량은? 문제 2) 폭 100cm 의콘크리트수로에유량 50 리터/sec 의물이흐를때, 수심이 40cm 일때평균유속과경심은? 문제 3) d1=1m 인원통수조의측벽에서 d2=10cm 인관으로유출시 V2=2m/sec 였 다면유량 Q와수조측면이강하하는속도 V1 은? - 104 -

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운동량과역적 (1) 운동량방정식 수류가벽면에충돌할때수류와벽면사이에작용하는힘의관계를 2 법칙을적용시켜해석하면 Newton 의제 여기서 - 106 -