구분 : 수학 / 이차곡선대상 : 고등학교 1 학년 제목 : 이차곡선 : 항공기곡면설계 (Lofting) 이차곡선의정의 이차곡선 (Quadratic Curve) 는원뿔곡선 (Conic Curve) 라고불린다. 이는그리스수학자아폴로니오스 (Apollonios, BC 262~BC200) 의 < 원뿔곡선론 > 이란 8권의저서에서유래한다. 아폴로니우스는기하하적으로원뿔을사용하여이차곡선을정의하고그특징을자세히연구하였다. 우리가이차곡선중원 (Circle) 을제외한나머지이차곡선을일컫는용어인타원 (Ellipse, ' 부족하다 ' 는뜻의그리스어 ), 포물선 (Parabola, ' 일치한다 ' 는뜻의그리스어 ), 쌍곡선 (hyperbola, ' 초과한다 ' 는뜻의그리스어 ) 을바로아폴로니우스가만들었다. 아폴로니우스의원뿔곡선을설명하면아래와같다. 원 : 원뿔의바닥면과평행하게자를때나타나는곡선타원 : 원뿔을비스듬히자를때나타나는곡선. 단자르는각도는원뿔의빗면의각도보다는작다. 포물선 : 원뿔의빗면에평행하도록자를때나타나는곡선쌍곡선 : 원뿔의빗면의각도보다큰각도로자를때나타나는곡선 < 원뿔곡선의기하학적정의 > 아폴로니우스의원뿔곡선은데카르트 (Descartes, 1596~1650) 의좌표평면이기하학에도입되면서수식으로표현되게되었다. 그래서알게된사실은원뿔곡선은한개의수식으로표현할수있고그수식이이차식이라는것이었다. 그래서이후원뿔곡선은이차곡선이라고불리게된다. 아래의식은이차곡선의일반식이다. 이일반식은특정계수값을가지게되면우리가알고있는원, 타원, 포물선, 쌍곡선의수식으로바뀌 게된다. 아래는계수값에따라서일반적으로알려진이차곡선들의수식과어떻게대응되는지보여준다. 간단한유도과정을거치면주어진이차곡선들의수식으로바꿀수있는데여기서는생략한다.
원 : 타원 : 포물선 : 쌍곡선 : Ÿ 이차곡선의활용 - 항공기로프팅로프팅 (Lofting) 은항공기의외부형상을만들어내는과정을말한다. 그어원은선박을만들때배의주요선체나긴용골제작, 뼈대를만들기위해목재나목판에그림을그리던작업에서유래한다. < 선박로프팅의예 > < 항공기동체로프팅의예 > 긴배의선체나항공기동체형상을문제없이잘만들기위해서는동체를구성하는단면의모양과 그단면이놓일위치가서로잘맞아들어가야한다. 만약그렇지않을경우아래왼쪽그림과같이깨 끗하고예쁜유선형모양이아닌오른쪽그림과같이울퉁불퉁한모양이만들어지게된다.
< 로프팅결과잘된경우 ( 왼쪽 ), 잘못된경우 ( 오른쪽 ) > 로프팅을위해서는부드럽게연결된긴곡선을만들어야하고, 이렇게만들어진긴곡선을바탕으로주요위치에동체단면을만드는작업이필요하다. 컴퓨터를이용하여설계및도면작업을하는 CAD(Computer Aided Design) 프로그램이개발되기이전에는긴곡선의경우스플라인 (Spline) 이라고불리는나무나금속으로만들어진긴박판을이용하여만들었다. 우선스플라인을휘어서원하는곡선의모양을만든다. 그리고중간중간납으로된무거운추로모양을고정한다. 마지막으로스플라인을따라곡선을그렸다. 스플라인을고정된위치는따로표시가되어나중에필요할때다시그곡선을재현코자할때사용되었다. < 스플라인과고정추 > CAD 의경우스플라인을구현할수있는기능을제공한다. 아래 CAD 그림은스플라인기능을통해서 구현된곡선을보여준다.
< CAD 로구현된스플라인곡선 (CATIA V5) > 이렇게긴곡선이만들어진후동체단면을만드는작업이수행되는데, 옛날에는수많은시행착오를 거쳐서원하는결과를얻었기때문에시간과비용이많이소모되었다. 그래서이런시행착오를해결하 기위해체계적으로단면을구현할수있는방법이연구되었다. 그결과도입된것이바로이차곡선이다. 아래그림을보면일반적으로이차곡선의정의에서보던 원이나, 타원, 포물선, 쌍곡선의모양이아니다. 하지만이그림은일반적인이차곡선식이적용되는이 차곡선즉원뿔곡선 (Conic Curve) 이다. < 일반적인이차곡선의모양 > 이이차곡선을작도하기위해서는점 A, 점 B, 점 T, 점 M만있으면된다. 그리고이점 4개는쉽게만들수있다. 앞에서언급했듯이긴곡선의경우스플라인을통해서구현할수있다. 이러한스플라인을네개만들고, 단면위치를설정하면그단면과스플라인이만나는점 4개를구할수있다. 이후는아래와같이반복해서교점을구하면이차곡선을그릴수있다.
< 이차곡선작도법 > CAD 의경우이차식을이용하여이차곡선을구현한다. 아래그림은 CAD 에서원뿔곡선기능을통해 서구현된이차곡선을보여준다. < CAD 로구현된이차곡선 (CATIA V5) > 그리고이차곡선은다음과같은특징을가진다. 1. 점 A 와점 B 에서연결성을보장한다. 2. 점 A 와점 B 에서연속성을보장한다. 3. 점 M 을조정함으로써이차곡선단면을원, 포물선, 타원, 쌍곡선의형태로변경할수있다. : 원 : 타원 : 포물선 : 쌍곡선
여기서원의비율의경우소수점아래가무한하기때문에수학적인엄밀성을따질경우이론적인원 의작도가불가능하다. 하지만사람이인지할수있는오차나기계로구현될수있는오차보다작은오 차의경우무시할수있으므로실제로프팅에서는문제가되지않는다. 이차곡선의특징들은여러개의곡면을사용하여전체적으로부드럽게연결되는곡면들을구성하고자할경우도움이된다. 아래의그림에서앞쪽의노란색곡면은원의단면을가지는통형태의곡면이고, 뒤쪽의초록색곡면은포물선을단면으로가지는통형태의곡면이다. 이두개의곡면을부드럽게연결하고자할때이차곡선의특징을이용하면도움이된다. 즉시작부분은원의비율 (0.7071) 을가지는이차곡선의단면으로, 그리고끝부분은포물선 (0.75) 의비율을가지는이차곡선의단면으로구성한후, 가운데부분은이들비율사이의값들을차례로배치하여단면을구성하면그림의가운데부분과같은곡면을만들수있다. < 이차곡선의특성을이용한곡면생성 > 이차곡선을이용한로프팅방법은항공기설계에서유선형동체를쉽게구현할수있게해주었다. 그리고수학적으로쉽게정의할수이차식이기때문에 1970년대이후발달하기시작한 CAD 프로그램에바로적용이될수있었다. 이후컴퓨터의발전과다양한 CAD 기능의발전에힘입어이차곡선이아닌보다다양한형태의단면을사용할수있게되었지만, 아직도많은 CAD 프로그램에서이차곡선을이용한로프팅기능을제공하고있고, 이러한로프팅기능을통해아직도수많은항공기들이설계되고있다. 아래의그림은최신의 CAD 프로그램에서이차곡면생성기능을이용하여, 일일이단면을정의하지 않고자동으로이차곡선단면을적용하여곡면을설계하는것을보여준다. < 이차곡선을이용한로프팅기능 (CATIA V5) >
< 구현된이차곡선곡면 (CATIAV5) > [ 그림출처 ] Ÿ 원뿔곡선의기하학적인정의 : http://library.thinkquest.org/22584/tmh1200.htm Ÿ 선박로프팅의예 : http://clayton707.googlepages.com/frameloftingdiagram-drawingframetracings Ÿ 이차곡선작도법 : http://technology.calumet.purdue.edu/met/gneff/publications/ilin97/ilin97.html