. 소성역학의이해 참고서적. 고등고체역학과유한요소법 ( 전만수 ). 연속체역학에서유한요소법까지 ( 전만수외 )
- - 소성가공공정시뮬레이션기술의개요 전처리프로그램 (Preprocessor) CAD 입력데이타 DXF, STL 파일 유한요소솔버 (Fiite Elemet Solver) 자연법칙지배방정식유한요소방정식파생변수의계산 뉴톤의운동법칙평형방정식대수방정식 ( 속도, 정수압 ) 변형형상, 하중, 응력, 변형률속도, 유효변형률, 손상도. 소성유동선도등등 에너지보존법칙열전도방정식대수방정식 ( 온도변화율 ) 온도, 열전달율 출력데이타 후처리프로그램 (Postprocessor)
전처리프로그램 - 3 -
- 4 - 솔버의이론적배경과기계량의차원및상호관계 dui Velocit v i dt Strai rate-velocit relatio ( v v i, j j, i ) dvi Acceleratio a i dt Displacemet u u (, t) i i j Strai Strai rate Temperature T Damage D Microstructure M Strai-displacemet relatio ( u u i, j j, i ) Thermodamics First law Secod law 온도, 차유효변형률, 텐서량유효변형률속도, ( 스칼라량 ) 에너지, 동력 차텐서량 ( 벡터량 ) 변위, 속도, 힘 Stress Newto s law of motio Equatio of motio f v, j i i Equatio of equilibrium f Virtual work priciple Virtual work-rate priciple Miimum total potetial theorem Hamilto s priciple etc., j i Costitutive law Isothermal (,, D, M ), ect. Noisothermal ( T,,, ), ect. T Coupled aalsis 차텐서량 (Dadic) 응력, 변형률속도변형률
후처리프로그램 - 5 -
역학의 3 대요소 3 대요소 힘 변위 재료 물체와연속체 (Cotiuum), 물체의변형 고체 < 결정 > < 결정과경계 > < 연속체 (Cotiuum)> 강체 : 외력등에의한질점간거리의변화가없는것 탄성체 : 변형을일어나게하는외력이사라졌을때변형전의상태로돌아가는물체 소성체 : 변형을일어나게하는외력이사라져도변형전의상태로돌아가지않는물체 유체 ( 기체포함 ) - 6 -
역학의 3 대요소 힘 (Force) 힘 (Force) 내력 외력 작용과반작용의힘 표면력 하중, 반력 체적력 자중 (Gravit), 자력 (Magetic force) 변위 (Displacemet) 또는운동 (Motio) 강체운동 (igid-bod motio) 변형 (Deformatio) 재료 (Material) : 연속된질점 (Particle) 의집합으로가정 연속체 고체 강체 : 외력등에의한질점간거리의변화가없는것 탄성체 : 선형탄성 ( 후크법칙 ), 비선형탄성, 등방성 ( 일반금속 ) 및이방성 ( 복합재료 ) 소성체 : 항복이론, 등방성변형경화, 이방성변형경화 유체 ( 기체포함 ) 내력 : Iteral force, 외력 : Eteral force, 표면력 : Surface force, 체적력 : Bod force - 7 -
- 8 - 역학의제 요소 뉴톤의운동법칙 평형조건식 응력 평형방정식 평면응력 응력벡터와표면력 (Tractio) 벡터 Cauch s formula 좌표변환, Mohr 원, 고유치문제 정수압, 편차응력 응력불변치 유효응력 ( 상당응력 ) 항복이론 유동응력
뉴톤의운동법칙과평형조건식 뉴톤의운동법칙 제 법칙 제 3 법칙 하나의질점에작용하는모든힘의합 f 는그질점의질량 m과가속도 a의곱과동일하다. 즉, f ma이다. ( 가속도와질량과의관계 ) 두질점사이에작용하는두내력 ( 작용과반작용힘 ) 은크기가같고방향이반대이며, 작용선은동일하다. ( 작용과반작용의법칙 ) i F j i, j,,, 내력질점간에작용하는작용과반작용의힘힘외력하중, 반력 ( 표면력 ), 자중 ( 체적력 ) ( F i ) F i i j i i j i j (O) 3 (X) 5 무한대개의질점들의집합 F i : 질점 모든힘은 i 에작용하는외력의합 : j 번째절점에의하여 절점 i에부과된내력 한정벡터임 F A 3 3 3 r r r o r F F F F 5 F F 평형조건식 i j r i F i i ri F ri F ri i i j i i j i r F i i 평형조건식은물체전체계뿐만아니라물체로부터분리된 모든부분계에대해서성립해야함 F i 또는 F i i r F i 또는 M A 미분방정식 ( 평형방정식 ) 등으로수식화됨 - 9 -
- - 역학 6 개질점을이용한평형조건식유도배경설명 F A r 실제포인트수는무한대임 r F F F F F 3 4 5 6 F + + + + + = 3 4 5 6 F + + + + + = 3 3 3 34 35 36 F + + + + + = 4 4 4 43 45 46 F + + + + + = 5 5 5 53 54 56 F + + + + + = 6 6 6 63 64 65 F + + + + + = i ji F = = - 3 4 5 6 r F + r + r + r + r + r = 3 4 5 6 r F + r + r + r + r + r = 3 3 3 34 35 36 r F + r + r + r + r + r = 3 3 3 3 3 3 4 4 4 43 45 46 r F + r + r + r + r + r = 4 4 4 4 4 4 5 5 5 53 54 56 r F + r + r + r + r + r = 5 5 5 5 5 5 6 6 6 63 64 65 6 6 6 6 6 6 r F + r + r + r + r + r = i r F = r = -r i i j
- - 서브 - 시스템 (Subsstem) 평형조건식은임의의서브 - 시스템에대하여성립해야함 = 임의의미소면적 ( 체적 ) 에대하여성립해야함 => 응력정의
- - 응력벡터 θ P t A i si i A ( ) θ A θ 3 θ 9 P θ θ 6 P θ θ 45 3 P θ P P
- 3 - 응력벡터와응력벡터를이용한응력의정의 응력벡터 (Stress vector) F A ( ) ( ) ( ) ( ) t lim z A t i t j t k - ; 외향법선벡터 응력텐서 (Stress tesor) t () i i j k i j k z z t () i j
응력의정의 응력 ( 텐서 )(Stress tesor) z z z z zz z plae z z plae plae ii i i j positive face ( z face) ( face) egative z face z z z z z ( i j) : 전단응력,, : 법선응력 z egative face ( face) z z z z z z positive z face positive face ( + face) ( +z face) - 4 -
차원평면및 3 차원공간에서의응력성분 차원평면상에서의응력 3 차원공간상의응력 z z face zz 역학에서평면에서의점 역학에서공간에서의점 z z face z z face 평면응력 응력텐서의대칭성 z z z z z z z z zz - 5 -
봉, 축, 보에작용하는응력 봉의단축인장및압축 축의비틀림 보의굽힘 P A P T T z z z z z P A 3 ma r z r z z z Tr z J ma z z z Mb I VQ bi z z - 6 -
응력과응력벡터의관계 -Cauch s Formula(D) 평면응력의정의 : t z z z z z l si 평면응력조건하에서 Cauch s formula의유도 l l M ; l cos si l si cos ji ( ) ( ) F ; t l l cos l si t F ; t l l cos l si t ( ) ( ) ( ) i ji j j t z ( ) i z z z zz z l cos O ( ) t cosi si j = legth l width = 응력텐서는대칭텐서 - 7 -
- 8 - 응력벡터관련예제 예제 e e p e e e p e p e e e e 예제 3일경우 P 3 cose sie e e t ( ) a e a cos3 3 e (e)
경계치문제 p p e e e p e p S 5 S 4 S S 3 S V V - 9 -
- - 응력벡터의법선및접선성분과고유치문제 응력벡터의법선성분 고유치문제 (Eigevalue problem) t t Cauch's formula ( ) ( ) i ji j ( ) t t ( ) i ji j N i z z N z z zz z z N z z z z zz z t ( ) N i j
- - 주응력및주응력축과응력불변치 특성방정식과주응력및주응력축의방향 z N z N z z z zz N I I I,, 3 N N N 3 N 3 z, k,, 3 ( k) ( k) j k i ( i) ( j) 주응력 ( k ) : 주응력 k에대응하는주응력축의방향 z face z z zz z z face 응력불변치 (Stress ivariats) face = 3 I I ii zz 3 ii jj zz zz z z 3 3 I 3 zz z z z z zz 3
- - 유효응력또는상당응력 I 3 6 I 3 6 I J 3 I zz zz 6 6 6 z J 3 3 응력텐서의불변치 ( ) ( ) ( ) 6 3 3 편차응력텐서 ( ) 의 두번째불편치 평균응력과정수압 m ii / 3 I / 3 p = 유효응력 (Effective stress)/ 상당응력 3J 3 zz zz 6 6 z 6 z 3 3 편차응력텐서 m z m z z z zz m
- 3 - 평균응력과편차응력 평균응력과정수압 m ii / 3 I / 3 p 편차응력텐서 m z m z z z zz m 편차응력불변치 J J ( 3 ) J 3 3
- 4 - 좌표변환?
- 5 - 좌표변환 P A θ 6 A θ θ θ cosi si j A cos θ θ P 3 P P A A si A si si cos si θ P
모아원이용주응력및주응력축구하기 예제 4 a, b, ab 의계산 주어진값및조건 모아원 6 8 b 4 a 8 6 6.7 P si 63.43 P 3.7 c cos(8 8 ) a P 8 67.cos36.57 3.88 b 5 67.cos36.57 3.9 si 36.57 4. ab 67. c a 8 b 6 주응력의계산 c 7. c 7. 결과 b a 4. 3.9 7. 7. 8 3.88 주응력및주응력축 - 6 -
- 7 - 고유치문제로주응력과주응력축구하기 예제 8.4 의문제를고유치문제를이용하여주응력과주응력의방향을구하라 고유치문제와고유치 ( 주응력 ) 의계산 8 6 8 6 6 6 7. 7. 고유벡터 ( 주응력의방향 ) 의계산 i) 7.일때 8-7. 6 37. 6 6 7. ii) 7.일때 8 7. 6 6 37. 6 7..855.559.559.855
- 8-3 차원응력텐서의좌표변환 Coordiate Trasformatio z a a a3 z a a a3 z a a a 3 z a a a 3 z z z a3 a3 a 33 z z z a3 a3 a33 T T TT, T Trasformatio matri, T T Eigevalue problems Similarit trasformatio z z ' ' z ; z ' ' ' z z z z z z z z z ' z ' Eigevalues of :,, 3 Eigevalues of :,, 3 are idetical, i.e., 고유치동일 ; Stress is a tesor of order two,, ' 3 3 3 3 ' ' 3 a cos 3 3 Maimum Shear Stress ma mi 3 ma if 3
차원평면상의응력과평형방정식 두께 = 점 금형 금형 소재 3 F 미소면적 4 F F (, ) (, ) (, ) (, ) F F 4 F F F F F F 3 4 ; (, ) (, ) (, ) (, ) F ; Poit 3 F 3 F 4 F F F F (, ) (, ) (, ) A (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) 이차원평면에서 평형방정식,,. ; etc M A - 9 -
- 3 - 고등역학에서평형방정식의유도 평형방정식 S S' S' V ' t ds f dv ( ) i ds ji j V' i V' f ji, j i i dv f dv V S V < 연속체와부분계 > ji, j fi z f z z 또는 f z z z z z fz z 응력벡터의대칭성 S S V ds t f () t ds f dv t V dv i j k j k V i j k j k k pk p i j k f dv j pk, p k jk 또는 z i j k j k i j ji z z z
축대칭문제의업세팅공정중응력정보 p,, 3-3 -
파손원인분석 -Peak poit 에서금형구조해석결과의비교 Effective stress (Left) ad circumferetial stress (ight) at the possible die-fracture stroke 6mm C L C L 779MPa -8MPa 85MPa 87MPa (a) SCM435 (b) ESW5 eferece data 초경합금의압축강도가 683MPa인반면, 인장강도는 344MPa 이다. - 3 -
- 33 - 역학의제 요소 변 형 변위와변형 공칭변형률과진변형률 변형률 평면변형 변형률과변위의관계 주변형률, 변형률불변치, 유효변형률 변형률속도, 변형률속도와속도의관계 좌표변환 고유치문제 유효변형률속도 소성영역에서의유효변형률
- 34 - 변위와변형 변위장의예 : u, u, 3 금형의변형 4 8 4 5 ' 5 8 6 3 7 7 (, ) u u,, 6
,, 3 Metal flow - 35 - 축대칭문제의변형관련해석결과
단축인장및단축압축문제 P L L f L P 변형의정량화 - 변형률 e L 공칭변형률 Lf t l l e 진변형률 L L L L L ( ) L ( ) L L L ( ) 단면적 A Lf dl 단면적 A ( ) L i L i L Lf L l l l l( e) 차원평면변형문제 L L L deformed udeformed 변형률텐서 OC OC lim CO OC OE OE lim CO OE EOC z z z z zz - 36 -
변형 - 변위와변형률의관계 평면변형에서변위 - 변형률관계 변위 : ( u, u ) 3 차원공간에서변위 - 변형률관계 u u u zz z u u u u z z z u u u u z z z i, j j, i ji z deformed udeformed u u OC, OC, OE, OE u u lim( OC OC)/ OC lim CO u lim( OE OE)/ OE EO fied u u u u lim ( EOC EOC ) ( ) C, EO - 37 -
변형 - 주변형률, 유효변형률 고유치문제 변형률불변치 L i z z z z zz z z L L L 3 ii zz ii jj zz zz z z zz z z z z zz 특성방정식과고유치 L L L 3 3,, 3 주변형률 비압축성조건 L v 3 3 ii 편차변형률 m z m z z z zz m 일경우 : i ( k ) k j k i i i ; 주변형률축의방향 ( k) ( k) j k i 고유벡터 ( k) ( l) i i kl 주변형률축은직교함 유효변형률 3 3 zz zz 6 z - 38 -
t t 변형률속도의정의 L 변형의정량화 - 변형률속도 L L L t L L L t t L d dt dt L t t t t t t LL tt d dt, d dt zz zz d dt, d dt, d dt z z z z 예제 t. ( s) t. ( s).mm.mm 변형률속도 z z z z zz t dt d dt..... t. s - 39 -
- 4 - 변형률속도관련예제 미소시간 : 수축된량 : t Vt 변형률증분 : 변형률속도 : 속도성분 : / V t L V/ L v ( V / L) 변형률성분 : v / / V L
변형 - 속도와변형률속도의관계 변형률증분 변형률속도 v i 평면변형문제에서의속도장 : P u vt v v t v PP At t At tt t 와변형률속도의정의 t v v, v ( ) ( ) z v vit vjt z t ( vi, j v j, i ) t z j i v v i j d dt dt j i t 변형률속도 (Strai rate) dt 변형률속도 zz z z v v vz z v v v v z z vz v z v v i, j j, i - 4 -
변형 주변형률속도, 유효변형률속도 고유치문제 변형률속도불변치 L i z z z z zz z z L L L 3 ii zz ii jj zz zz z z zz z z z z zz 특성방정식과고유치 비압축성조건 편차변형율속도텐서 L L L 3 3,, i 3 고유벡터 주변형률속도 일경우 : ( k ) k j k i i i ; 주변형률속도축의방향 ( k) ( k) j k i ( k) ( l) i i kl 주변형률속도축은직교함 L v m 3 3 유효변형률속도 3 ii m z m z z z zz m 3 zz zz 6 z 유효변형률 ( ) 과유효변형률속도 ( ) 와의관계 dt dt t - 4 -
유효변형률관련예제 zz zz [( ) ( ) ( ) ] 3 zz zz 3 3 [() ( ) ( ) ] 3 zz zz zz A A Lf zz l, L L L f L A f f L A Lf zz l l L A A f - 43 -
- 44 - 역학의제 3 요소 재 료 재료의거시적거동특성 인장시험 공칭응력과진응력 진응력-진변형률곡선 후크법칙 항복이론 변형경화 소성유동법칙
- 45 - 재료의거시적거동특성 <SCM435> <ESW95> <ESW5>
온도에 따른 강의 연성의 변화 - 46 -
Flow stress Flow stress Flow stress 유동응력과온도및변형 ( 변형률, 변형률속도 ) 의관계,,,.5 T/T < 온도, 변형률, 변형률속도의영향 > m ( ) p d p d 변형의이상화 : Plastic strai- rate : Differece strai- rate d e e 탄소성:, : Elastic strai- rate 강소성: d Low temperature High temperature Strai < 고온과저온에서변형률의영향 > 강소성( igid plastic) 재료 : = p 강점소성( igid- viscoplastic ) 재료 : =, p p 강열점소성( igid- thermoviscoplastic ) 재료 : =,, T 변형저항의이상화 냉간소재의변형저항식의수식모델 Y, K b Y :, :, : 초기항복응력 K 강도계수 변형경화지수 p p Strairate 3 < 고온에서변형률속도의영향 > 점소성및열점소성재료의변형저항식의수식모델 C m, C m : 변형경화지수, m : 변형률속도경화지수, C : 고온강도계수 - 47 -
인장시험 인장시험 L f L e, t, e, t 의정의및관계 P 단면적 A L < 네킹발생이전 > P 단면적 A e, e A Lf t l l e L t L P P A A A A P P Lf e e A L e: egieerig t: true - < 공칭응력공칭변형률곡선 > e e < 인장시험의해석 > 단축인장시험에서후크법칙 E, E t t E, E, -, < 진응력진변형률곡선 > t N N =l(+ U) t - 48 -
Tesile load (N) True stress (MPa) - 49 - 냉간소재의진응력 - 진변형률곡선 Tesile load-elogatio curves 35 3 5 5 SCM435 ESW95 ESW5 True stress-strai curves 8 6 5 4 SCM435 ESW95 ESW5 4 6 8 Elogatio (mm).4.8..6 True strai (mm/mm) AFDEX/MAT
Egieerig stress (MPa) - 5 - 인장시험의해석결과 8 Eperimet (SCM435) Aalsis (SCM435) Eperimet (ESW95) Aalsis (ESW95) Eperimet (ESW5) Aalsis (ESW5) 6 4...3.4 Egieerig strai (mm/mm)
등방성재료에대한일반화된후크법칙 z z Small deformatio 중첩원리 isotropic z z E E E z v z v v z z z z z z z z i ( ) Poisso s ratio E zz v z T E v z T E z z v T E, z, z z G G G 열팽창계수 등방성재료에대한일반화된후크법칙 - 5 -
- 5 - 등방성재료의항복이론 Huber-vo Mises 항복함수 Tresca 항복이론 Y f J k k, k 3 3 3 Y zz zz 6 z z Y p p,, or,, Y Y T Y T f k Y ma k 유동응력 = 재료의물성치 인장시험 압축시험
등방성재료의항복궤적및항복곡면 Huber-vo Mises 항복함수 Y f J k k, k 3 f 6 f,, 3,, 3 k 3 3 k Tresca 항복이론 f Y k ma k 평면응력문제의항복궤적 3 차원문제의 vo Mises 항복곡면 Y ma Y Tesile test Y Torsio test 3 vo Mises Tresca 3 Y a),, 좌표계 3 b),, 3 좌표계 - 53 -
- 54 - 인장시험과항복이론 vo Mises 항복이론 (Huber-vo Mises) Y 에도달하였기 P 때문에항복이발생하였다는학설. 여기서 Y 는소재가탄성범위에서견딜수있는최대응력, 즉항복응력임 단면적 A Tresca 항복이론 P P A ma Y 이므로전단응력이소재가견딜수있는 최대허용치주장한학설 Y 에도달하였기때문에항복이발생하였다고 ma k Shear ield stress
- 55 - 평면응력 ( 3 ) 에서의항복궤적 Y Y Y ⅰ) ; ma Y Y ⅱ) ; ma Y Tresca ⅲ) ~~ 생략 vo Mises u Y E Y 비틀림시험시주응력증가방향 인장시험시파단점에서의응력상태
소성변형의정량화 - 인장시험과소성변형 3 3 z m 3 isotropic 3 3 3 3 m 3 3 3 3 3 3 3 : : : : zz zz zz : : zz costat - 56 -
소성유동법칙 비압축성재료의항복시변형률속도텐서는항복곡면에직교함 (Normalit, Drucker 의가설의결과 ) ii f f 또는 vo Mises 항복이론을따를경우 f pq k f f, 3 ii 3, 3J 3 3 3 klkl 3 zz z z zz z z Yield surface, f ( ) <Normalit> f pq pq k ( ip jq pq pq ipiq ) ( ) - 57-3 3 33
- 58 - 손상도 D d D d
Stregth coefficiet (MPa) - 59 - Acquisitio of Critical Damage Abrupt flow stress drop Variatio of stregth coefficiet with strai Abrupt chage of flow stress at the eckig poit 7 69 MPa 66 MPa 35 MPa 38 MPa 6 5 4 3..4.6.8..4 Strai (mm/mm) <Step 83> <Step 89> <Step 9> <Step 93>
Egieerig stress (MPa) - 6 - Critical Damage Value at the Iitial Crack Poit ma..548e+ ma..7e+ 66 MPa 35 MPa 38 MPa 5 Measured 4 Neckig poit Iitial crack poit <Damage> <Effective strai> 3 D F (a) At D 83> <Step 89> <Step 9> <Step 93> Fial fracture poit...3.4 Egieerig strai
Applicatio Eample - I - 6 -
Applicatio Eample - II - 6 -
마찰법칙과질량보존의법칙 특수경계조건 : 마찰 기타기하학적구속조건 : 질량보존의법칙 쿨롱 (Coulomb) 마찰법칙 : : 마찰계수(coefficiet of Coulomb frictio) : 마찰응력 ( 접선응력 ) t : 법선응력 일정전단마찰법칙 : t mk m : 마찰상수(Frictio factor) k Y 3 : 전단항복응력 법선응력에무관함 t 비압축성조건 ii ui, i v ii i, i 질량보존법칙 ( vi), i t 미끄러지지않을경우 : 또는 mk, t t 두물체의접촉면에서변위또는속도의접선성분이모두동일해야함 마찰의방향및접착조건 t g( vt ) o SC Strog for stickig t mkg( vt ) o SC Ver weak to stickig ( vt vt) gv ( t ) ta a - 63 -
- 64 - 열전달이론및법칙 Fourier 열전도법칙 에너지보존법칙 차원 T dt q k, k d, 3 차원 T, T q k q k, q T z k z q kt 열전도계수 열유동량 q T TT ( q q ) z ( q q ) z T ( qz z qz ) qgz c z t q q q Δ, etc. 열용량 q T q q Δ k 열대류법칙 qc h ( ) q T T 열방사법칙 q T T r 4 4 ( q ) T 고체의열전도방정식 T k k T k T q T g c z z t T 경계조건 o S T kt kt T T h T T o S 4 4, i i ( q ) q( q) q
- 65 - 탄성및소성역학문제와열전달문제의수식화 3 차원탄성역학문제의수식화 S S ti 평형방정식:, j 변위-변형률관계식 ( ui, j uj, i ) i i ui ( ) i j i o ti i V 3 구성방정식 ( 응력-변형률관계식 ) (3 ) at kk 4 경계조건 u u o S t t S VV P < 탄성역학문제의개념도 > f i S ui S 소성역학문제의강소성수식화 평형방정식:, j ii, i i vi ( ) ( ) i j i o ti i V 속도-변형률속도관계식 ( vi, j vj, i ) 3 구성방정식 ( 응력-변형률속도관계식 ) p 3 3 kl kl 3 5 경계조건 v v o S 4 비압축성조건: t t S v v o SC t gv ( t ) o SC 또는 t mkg( vt ) o SC ( vt vt) gv ( t ) ta a v f i < 소성역학문제의개념도 > 고체의열전달문제의수식화 S e Die 열전도방정식 : T ( kt, i ), i qg c t i V 경계조건 T T o S kt h ( T T ) o S T S S c c V St tii S vii V S T, i i q q q S q S ti t i kt T T h T T S 4 4, i i ( e ) e( e) o e
유동문제의약형 벌칙기법 Lagrage 변수법 연계해석 dv K dv t ds ds V V ii jj S i i S t t ti dv p iidv fiidv vi, iqdv tii ds ttds V V V V S S c ti c 열전달문제의약형 T ( c kt Q ) dv q h ( T T ) ds h ( T T ) ds V S e t 4 4 ( T T ) h ( ) e e T Te ds, i, i f c c q w S S c q 연계해석 q 평형방정식, g,,t 열전도방정식 T - 66 -