[ 국제캠퍼스실험전용 ] 일과에너지 Objective 물리학에서정의하는일의개념을이해하고, 실험을통해물체에작용하는힘이한일과물체의운동에너지의변화량사이의관계를확인한다. 또한, 실험결과로부터총역학적에너지가보존되는것을확인한다. Theory ----------------------------- Reference -------------------------- Young & Freedman, University Physics (14 th ed.), Pearson, 2016 6.1 Work (p.197~201) 6.2 Kinetic Energy and the Work (p.201~206) 6.3 with Varying Forces (p.207~213) 7.1 Gravitational Potential Energy (p.227~236) ----------------------------------------------------------------------------- 물체에작용하는힘의방향에대해물체가 φφ 의각도로이동한다면, 이동방향으로작용하는힘은 FF = FF cos φφ 이다. 따라서, 물체에한일은 WW = FFFF cos φφ 가된다. 이를벡터식으로표현하면다음과같다. WW = FF ss (2) 일의 SI 단위는줄 (joule,j) 이며, 1 J = 1 N m 이다. 물리학에서일 (Work) 이란물체에작용한힘의크기와힘의방향으로물체가이동한거리를곱한양으로정의한다. 즉, 그림 1 과같이물체에일정한크기의힘 FF 가작용하고, 힘이작용한방향으로물체가 ss 만큼이동하면, 이힘이한일 WW 는다음과같다. WW = FFFF (1) 그림 2 와같이질량 mm 인물체에일정한힘 FF 가작용하면, 물체는뉴턴의제 2 법칙 FF = mmaa xx 에따라일정하게가속한다. 물체가위치 xx 1 에서 xx 2 로이동할때, 속력이 vv 1 에서 vv 2 로변한다고하면, 물체의변위는 ss = xx 2 xx 1 이되고, 등가속도운동공식으로부터다음의식이성립한다. vv 2 2 = vv 2 1 + 2aa xx ss or aa xx = vv 2 2 2 vv 1 2ss (3) Fig. 1 The work done by a constant force acting in the same direction as the displacement Fig. 2 A constant net force FF does work on a moving body 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 1 / 13
식 (3) 에질량 mm 을곱하면다음의식을유도할수있다. FF = mmaa xx = mm vv 2 2 2 vv 1 2ss (4) FFFF = 1 2 mmvv 2 2 1 2 mmvv 1 2 (5) 식 (5) 의좌변항 FFFF 는물체에작용하는힘 FF 가한일 WW 와같다. 따라서힘이한일은물리량 (1 2)mmvv 2 을사용하여표현할수있으며, 이값을물체의운동에너지 (kinetic energy) KK 라고한다. KK = 1 2 mmvv2 (6) 식 (5),(6) 으로부터물체에작용하는힘이한일은물체의운동에너지의변화량과같다. 이를일 에너지정리 (work energy theorem) 라고한다. 그림 3(a), 3(b) 와같이물체가이동함에따라작용하는힘이변할경우, 힘이한일은그림 3(c) 와같이작은구간으로나누어계산할수있다. xx 의변위를 Δxx aa, Δxx bb, 로나누면, 구간 Δxx aa 에서한일은해당구간의평균힘 FF aaaa 가한일 FF aaaa Δxx aa 의근사값이다. 따라서구간 xx 1 ~ xx 2 에서일의총합은근사적으로다음과같다. WW = FF aaaa Δxx aa + FF bbbb Δxx bb + (8) 구간의간격을매우작게나누면, WW 는 FF xx 그래프와 xx 축사이의면적에근접하고, 이면적은 xx 1 ~ xx 2 에서함수 FF xx 의적분형태로표현할수있다. xx 2 WW = FF xx dddd (9) xx 1 WW = KK 2 KK 1 = ΔKK (7) 식 (6),(7) 에서운동에너지와일은동일한단위를사용함을알수있다. (1 J = 1 N m = 1 kg m 2 /s 2 ) 이와같이물체는작용한일에따라운동에너지를얻거나잃는다. 그런데, 물체에는운동에너지이외에도물체의위치와관계된잠재된에너지가저장되어있다. 이에너지는상황에따라운동에너지로전환된다. 이와같은에너지를위치에너지또는퍼텐셜에너지 (potential energy) 라고한다. 위치에너지의가장대표적인형태는물체의무게와높이에의해결정되는중력위치에너지 (gravitational potential energy) 이다. 그림 4 에서 yy 축을따라움직이는질량이 mm 인물체에작용하는힘은물체의무게 (weight) 이며크기는 ww = mmgg 이다. 물체가 yy 1 에서 yy 2 로아래쪽방향으로이동할때무게에의한일 WW grav 은다음과같다. WW grav = FFFF = w(yy 1 yy 2 ) = mmggyy 1 mmggyy 2 (10) 이와같이 WW grav 는물리량 mmggyy 로표현할수있다. 이값을중력위치에너지 UU grav 라고한다. Fig. 3 Calculating the work done by a varying force FF xx in the xx-direction as a body moves from xx 1 to xx 2 UU grav = mmggyy (11) 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 2 / 13
식 (10),(11) 로부터, 중력의작용에의한일을다음과같이정리할수있다. 이실험에서는그림 5 와같이정지한카트와질량추가추의무게 ww = mmgg 에의해일정한힘을받아가속한다. WW grav = UU grav,2 UU grav,1 = ΔUU grav (12) 물체에중력이외의힘이작용하지않는다면, 물체는지면에대해수직인 yy 축을따라이동한다. 높이 yy 1, yy 2 에서물체의속력을각각 vv 1, vv 2 라고하면, 식 (7) 및식 (12) 의 WW = ΔKK = KK 2 KK 1, WW = WW grav = ΔUU grav = UU grav,1 UU grav,2 로부터다음의식이성립한다. 질량 MM 의카트는줄의장력 FF TT 에의해 xx 1 에서 xx 2 로이동한다. 이때, 장력 FF TT 가일정하다면, 장력이카트에한일 WW TT 와카트의운동에너지의변화량 KK cart 는각각다음과같다. WW TT = FFFF = FF TT (xx 2 xx 1 ) = FF TT xx (16) KK cart = KK cart,2 KK cart,1 = 1 2 MM(vv 2 2 vv 2 1 ) (17) ΔKK = ΔUU grav or KK 2 KK 1 = UU grav,1 UU grav,2 (13) KK 1 + UU grav,1 = KK 2 + UU grav,2 (14) 1 2 mmvv 1 2 + mmggyy 1 = 1 2 mmvv 2 2 + mmggyy 2 (15) 또한, 중력이한일과질량추의위치에너지의변화량의관계및전체운동에너지의변화량은다음과같다. WW grav = FFFF = ww yy = ww xx = mmgg xx = ΔUU mass (18) KK system = 1 2 (MM + mm)(vv 2 2 vv 1 2 ) (19) 식 (14) 의운동에너지와위치에너지의합 EE = KK + UU grav 을계의총역학적에너지 (total mechanical energy of the system) 라고한다. 물체의위치 yy 1, yy 2 는임의의점이기때문에, 총역학적에너지는항상일정하다. 따라서, 다른외부의힘이작용하지않으면총역학적에너지는보존된다. 따라서, 식 (7) 과식 (12) 로부터다음의식이성립하며, 실험을통해이를확인할것이다. WW TT = KK cart (20) WW grav = ΔUU mass = KK system (21) Fig. 4 When a body moves vertically from an initial height yy 1 to a final height yy 2, the gravitational force ww does work and the gravitational potential energy changes Fig. 5 The cart moves while a constant force ww acts on the system. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 3 / 13
Equipment 1. 실험장비 장비수량용도및비고 컴퓨터및분석프로그램 (Capstone) 1 인터페이스의다양한기능을제어하며, 연결된센서에서출력되는계측값을표시하고분석한다. 인터페이스 1 다양한센서를연결하여물리량을측정한다. 힘센서 1 50N ~ 50N 범위의힘의세기를측정한다. 회전운동센서 1 회전각, 각속도, 각가속도등회전운동의물리량을측정한다. 또한, 직선운동을회전운동으로변환하여변위, 속도, 가속도등직선운동의물리량을측정할수있다. 트랙 ( 받침 2 개포함 ) 1 카트의직선운동실험을수행하기위한트랙및트랙의높이와수평을조정할수있는두개의트랙받침으로구성된다. 카트 1 볼베어링바퀴를사용하여트랙위에서마찰이거의없이움직일수있다. 자석 / 벨크로를사용하여완전탄성또는비탄성충돌실험을수행할수있다. 카트범퍼 2 카트가트랙끝에서이탈하지않게하며, 자석 / 벨크로가부착되어카트의완전탄성또는비탄성충돌실험을수행할수있다. 회전운동센서고정대 1 회전운동센서를트랙에고정할때사용한다. 힘센서고정대 1 힘센서를카트에장착할때사용한다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 4 / 13
장비수량용도및비고 추걸이 1 원통형추를걸수있는질량 5g 의추걸이이다. 추 2 20g 의질량을가진추이다. 실 1 추걸이와힘센서를연결한다. 원형수준기 1 트랙의수평상태를확인한다. 전자저울공용최대 2200g 의질량을 0.01g 단위로측정한다. 2. 주요장비기능및작동원리 (1) 힘센서 (Force Sensor) 원운동과구심력 실험매뉴얼을참고한다. (2) 회전운동센서 (Rotary Motion Sensor) 어있는데, 회전축이회전하면검은밴드가순차적으로포토게이트의적외선을차단하게된다. 이신호의상태와시간간격을감지하여회전축의각도, 각속도, 각가속도등을측정할수있다. 회전축의회전각도를측정하여, 물체의변위, 속도, 가속도, 각속도, 진자의주기등다양한물리량을측정하는데활용할수있다. 회전운동센서의측정원리는포토게이트와동일하다. 센서에는작은포토게이트와고리형태의피켓펜스가내장되 내부에내장된피니언 (pinion, 톱니바퀴 ) 과별도의랙 (rack, 톱니막대 ) 를사용하거나, 외부에부착하는도르래를적절히활용하면직선운동을회전운동으로바꿀수있다. 따라서변위, 속도, 가속도를측정하는데활용할수도있다. 회전운동센서에는 3 단도르래가포함되어있으며, 도르래의직경은각각 10mm, 29mm, 48mm 이다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 5 / 13
Setup Setup1. Equipment setup NOTE 부품을트랙에고정할때에는, 1 부품의凸과사각너트를트랙의凹에끼운다. 2 고정볼트를시계방향으로돌려단단히조인다. (1) 카트범퍼를설치한다. 트랙의좌측끝과우측끝에각각설치한다. 자석이보이는부분이트랙안쪽을향하게설치한다. ( 카트가범퍼에충돌할때반발하게한다.) (2) 회전운동센서고정대와회전운동센서를설치한다. 부품을트랙에서제거할때에는, 1 고정볼트를시계반대방향으로살짝풀어준다. 2 천천히부품을빼낸다. 분실을방지하기위해사각너트는볼트에서완전히풀리지않게되어있다. 만약무리한힘을줘서풀어내면너트를다시끼울수없으므로주의한다. (3) 트랙의수평상태를점검한다. 수준계를트랙위에올려놓은후트랙의수평을확인한다. 필요하면트랙받침의수평조정볼트를사용하여조정한다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 6 / 13
(4) 힘센서를카트에장착한다. Setup2. Software Setup (1) Capstone 프로그램을실행한다. (5) 카트와힘센서의질량을측정한다. 전자저울을사용하여카트와힘센서의질량을함께측정한다. ( 힘센서케이블의질량은측정하지않는다.) (6) 카트를트랙위에놓고, 트랙의수평을다시점검한다. 트랙에서카트가저절로움직이면트랙의수평을다시조정한다. 이때, 힘센서케이블의탄성이카트의운동에영향을주므로, 케이블의영향을최소화할수있도록적절히잡아주어야한다. (2) 힘센서를설정한다. 힘센서아이콘을선택한후 [Properties] 아이콘 ( ) 을클릭한다. 설정창메뉴에서 [Change Sign] 을체크한다. ( 힘센서는미는힘을양수, 당기는힘을음수로출력한다. 이실험에서는당기는힘을양수로표시해야하므로출력값의부호를바꾼다.) (7) 힘센서와회전운동센서를인터페이스에연결한다. (9) 실, 추걸이및질량추를설치한다. 추걸이가묶인실의반대쪽을힘센서에연결한다. 실을반경이가장큰도르래에걸어준다. 실이트랙과평행하도록회전운동센서위치를조정한다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 7 / 13
(3) 회전운동센서를설정한다. [Controls] 메뉴에서 [Recording Conditions] 을클릭한다. 회전운동센서아이콘을선택한후 [Properties] 아이콘 ( ) 을클릭하여다음을설정한다. [Linear Accessory] 는 [Large Pulley (Groove)] 를선택한다. (3 단도르래중직경이가장큰도르래를사용한다.) [Change Sign] 은상황에따라체크한다. ( 실험중속력이음수로나올경우에는이항목을체크하면부호가바뀐다.) [Start Condition] 을 [None] 으로설정한다. ( [Record] 버튼을누르면바로측정이시작된다.) [Stop Condition] 을다음과같이설정한다. [Condition Type] : Measurement Based [Data Source] : Position(m) [Condition] : Is Above [Value] : 0.5 위와같이설정하면, 다음그림과같이 [Record] 를클릭하는 xx 1 에서데이터측정이시작되며, 카트가 xx = 0.5m 이동하여 xx 2 에도달하면자동으로종료될것이다. (4) 측정자동완료조건을구성한다. 카트가 0.5m 이동하면자동으로측정이완료될수있도록구성한다. 이거리는실험환경에따라바뀔수있으므로, 추걸이가회전운동센서근처에서시작하여지면에닿기전까지의거리를측정하여적절히조절한다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 8 / 13
(5) 측정이정상적으로자동완료되는지확인한다. (7) 그래프를생성한다. 순서 (4) 의설정에의해다음과같이진행된다. 먼저실험진행전초기화면에서는 [Record] 아이콘을볼수있다. 우측 [Displays] 메뉴에서 [Graph] 아이콘을중앙페이지로드래그하여그래프를생성한다. [Record] 를클릭하면 [Stop] 버튼으로바뀌고, 초시계하단에 [Recording] 이표시되면서데이터측정이진행된다. 그래프상단의메뉴에서 [Add new plot area ] 를클릭하여 xx 축이동기화된그래프를추가한다. 카트가 0.5m 이동하면 ( 회전운동센서에서측정된변위값이 0.5m 가되면 ) 자동으로측정이종료된다. 각축의 <Select Measurement> 를클릭한후, xx 축으로 [Position(m)], yy 축으로각각 [Force(N)], [Velocity(m/s)] 를선택한다. (6) 단위시간당데이터측정횟수를설정한다 힘센서와회전운동센서모두 1 초에 50 회 (50Hz) 데이터를측정한다. [Controls] 메뉴의 [High Resolution Force Sensor] 와 [Rotary Motion Sensor] 를각각 [50.00 Hz] 로설정한다. 모든센서에대해동일한값으로설정해야한다. 만약다를경우, 이후과정에서그래프의면적을측정할때오류가발생한다. ( 면적이 0 으로나올것이다.) 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 9 / 13
Procedure (1) 실험장비를설치하고프로그램을설정한다. (5) 힘센서의영점을조정한다. [Setup] 을참고하여진행한다. (2) 힘센서가장착된카트의질량을측정하고기록한다. 줄을잡아서힘센서에힘이작용하지않는상태에서힘센서의 [ZERO] 버튼을눌러영점을조정한다. 전자저울을사용하여카트와힘센서의질량을함께측정한다. ( 힘센서케이블의질량은포함하지않는다.) MM = (kg) NOTE (3) 추의질량을결정하고기록한다. 추걸이의질량을포함하여기록한다. (mm hanger = 0.005kg) mm = (kg) 측정을시작하기전에힘이작용하지않는상태에서힘센서의 [ZERO] 버튼을눌러영점을조정한다. ( 금속으로된로드셀의변형에의한저항변화를감지하여측정하는방식인데, 온도변화등여러가지이유로조금씩지속적으로바뀌므로수시로눌러준다.) (4) 카트의출발위치를결정한다. 카트를트랙에놓은후, 추걸이가회전운동센서도르래근처에도달할때까지카트를뒤로당긴다. 반드시힘센서에힘이작용하지않는상태에서영점조정을해야한다. ( 줄을살짝잡아서장력이작용하지않게한후진행한다.) 장력이작용하는상태에서영점조정을하게되면, 장력이작용하는상태를기준 (0N) 으로상대적인차이를힘의크기로계산하기때문에잘못된결과가나오게된다. (6) 데이터측정을시작한다. [Record] 버튼을클릭하면데이터측정이시작된다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 10 / 13
(7) 카트를가만히놓는다. (8) 실험을반복한다. 추의무게에의해카트가천천히가속한다. 카트가적정거리를이동하면, 프로그램셋업순서 (4) 에서설정한조건에따라자동으로측정이중단된다. 추의질량을변경하여실험을반복한다. ( 질량계산시추걸이질량 mm hanger = 0.005kg 을포함 ) NOTE (9) 실험결과를분석한다. 힘센서케이블이카트의운동에영향을줄수있다. 이를최소화하기위해힘센서케이블을 30cm 이상길게잡고카트의운동을관찰하면서함께이동한다. 케이블을카트보다너무빨리또는늦게움직일경우, 케이블이카트를밀거나당기는현상이발생하여실험오차가커질수있다. 다음수식이성립함을실험결과를통해확인한다. WW TT = KK cart (20) WW grav = ΔUU mass = KK system (21) 다음과같이카트에일정한힘이작용하였는지확인한다. Fig. 5 Cart moves while a constant force ww acts on it. 식 (20), (21) 을확인하기위해, 실험결과그래프를분석하여다음식에해당하는값을찾는다. xx 2 WW TT = FFFF = FF TT (xx 2 xx 1 ) = FF TT xx (or FF TTxx dddd ) (16) xx 1 KK cart = KK cart,2 KK cart,1 = 1 2 MM(vv 2 2 vv 1 2 ) (17) WW grav = FFFF = ww yy = ww xx = mmgg xx = ΔUU mass (18) KK system = 1 2 (MM + mm)(vv 2 2 vv 1 2 ) (19) 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 11 / 13
1 그래프면적측정 그래프면적은 [Select range(s) ] 아이콘을사용하여측정할수있다. 해당아이콘을선택한후, 분석에필요한그래프범위를지정한다. [Display area ] 아이콘을클릭하면설정된범위에서그래프의면적을확인할수있다. MM mm 결과 비고 카트 / 힘센서의질량 추 / 추걸이의질량 xx 1 위치 1 ( 실험자가선택 ) xx 2 위치 2 ( 실험자가선택 ) vv 1 vv 2 xx yy WW TT KK cart ΔUU mass WW grav KK system 일 - 에너지정리 위치 1 에서의속력 위치 2 에서의속력 카트의변위 추의변위 줄의장력이한일 카트의운동에너지변화량 추의위치에너지변화량 추의무게가한일 계의운동에너지변화량 mm WW TT KK cart mm 1 mm 2 역학적에너지보존 mm WW grav (= ΔUU mass ) KK system 2 그래프좌표측정 mm 1 mm 2 그래프의좌표는 [Show coordinates ] 아이콘을사용하여확인할수있다. 질문 그림 5 에서질량추에는중력에의한무게와반대방향으로실의장력이작용한다. 이경우, 추에작용하는알짜힘 (net force) FF net 이질량추에한일 WW netff 와질량추의운동에너지의변화량 KK mass 및질량추의위치에너지의변화량 ΔUU mass 는각각수식으로어떻게표현할수있는가? 실험결과를사용하여분석하면질량추의역학적에너지는보존되는가? 만약보존되지않는다면원인은무엇인가? 토의 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 12 / 13
Result & Discussion 조교의안내에따라실험결과를정리하고분석한후결과보고서를작성한다. End of LAB Checklist 실험을완료하면반드시실험장비를정리한후조교의확인을받고퇴실한다. 실험용컴퓨터에저장한실험데이터파일을모두삭제하고휴지통을비운다. 컴퓨터와인터페이스를끈다. 트랙받침은트랙에조립한상태로보관한다. 회전운동센서고정대를그림과같이조립하여보관한다. 모든볼트류를분실하지않도록주의하고, 그림을참고하여적절한위치에끼워놓는다. 트랙받침, 카트범퍼, 회전운동센서고정대의고정볼트 / 사각너트는빠지지않게되어있으므로강제로빼지않는다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 13 / 13