ICM 특집 Fields Medalists 2010 1. Elon Lindenstrauss (Hebrew Univ. / Princeton Univ.) 에르고딕이론과정수론간의상호작용에르고딕이론은동역학계 (dynamical system) 가시간이지남에따라어떻게변하는지에대한이론이다. 거의모든점은주어진임의의집합으로결국돌아온다는회귀 (recurrence) 성질, 주어진임의의함수의시간에대한평균이공간에대한평균으로근접한다는에르고딕성질, 그리고임의의두집합에대해한집합이다른집합과만나는비율은두집합의측도 (measure) 의곱으로나타난다는 mixing 성질등과, 이들의극한에의근접속도등에대한연구가중심이된다. 때로는이러한 ergodicity 나 mixing등의성질이전혀관련이없어보이는다른분야의문제들을해결하는데결정적인단서가된다. 에르고딕이론과정수론과의연관성은 Weyl이정수론을천체역학및 perturbation 이론에응용한 1914년으로거슬러올라가나, 에르고딕이론중특히리군 와그부분군 의 의몫공간 에의작용을연구하는 homogeneous dynamics 를이용하여정수론의여러문제들 1) 을해결하게되면서많은 이들의주목을받게되었다. 린덴스트라우스 (Elon Lindenstrauss) 는이러한연관성을이용하여정수론의여러문제들, 그리고 quantum chaos라불리는동력학계의 unique ergodicity 추측의해결을향한큰발걸음을내딛었다. 린덴스트라우스가에르고딕이론을이용하여 ( 부분적으로 ) 해결한대표적인정수론문제인 Littlewood 추측과 quantum unique ergodicity 추측에대해살펴보자. 디오판틴근사 (Diophantine approximation) : Littlewood 추측일반적으로디오판틴근사는실수해를가지는주어진등식혹은부등식이정수해를가지는가하는문제이다. 린덴스트라우스가 Einsiedler, Katok과함께해결의전환점을찾은 Littlewood 추측은모든실수 에대해 에가장가까운정수점과의거리를 라하면, 모든실수 에대해 limin f n n n n 가성립할것이라는추측이다. Dirichlet 근사정리 ( ) 의일반화로얼핏쉬운문제로보일수있으나 80년간해결되지않으며악명높은문제로남아왔다. 린덴스트라우스는 에작용하는대각반군 (semigroup) 의궤도가유계가아님을이용하여, Littlewood 추측이성립하지않는점들의 Hausdorff 차원이 이됨을보였다 ([1]). 이는측도가 이라는것보다훨씬강한조건이다. 1) Minkowski 의수의기하학이나디오판틴근사, 예를들어 Margulis 가증명한 Oppenheim 추측 ( 부정형무리이차형식 (indefinite irrational quadratic form) 의정수값이임의의작은수를근사할수있을것이라는추측 ) 등이있다. 10 대한수학회소식제 133 호
Arithmetic quantum unique ergodicity 1991년 Rudnick 과 Sarnak 은 modular domain 과같은특정한상황에서는일반적인 chaotic billards 에서나타나는 strong scar라불리는현상 ( 심하게흥분된 (excited) 양자입자들이고전적인입자의주기적인경로 (periodic trajectories) 들에집중되는현상 ) 이일어나지않음을발견하고이에기초해충분히혼돈된계 (chaotic system) 에서는 strong scar가일어나지않을것이라는 quantum unique ergodicity(que) 추측을제시하였다 ([2]). QUE 추측은수학의다른분야들과밀접한관련이있는데, QUE 추측의기반이된 modular domain 의경우 QUE는일반리만가설에의해함의되며한편 Rudnick 은 holomorhic Eisenstein series가다른 moular form들과는달리해들이 weight 에대해고르게분포됨 (equidistribution) 을함의함을보였다. 린덴스트라우스는 Laplacian 의고유함수들의특정성질을규명함으로써 compact arithmetic surfaces에대해 QUE를해결하였다 ([3]). 린덴스트라우스의결과이후, Anantharaman([4]), Holowinsky 와 Soundararajan([5]for holomorphic analog) 의결과등이있으나, QUE는일반적인경우여전히미해결문제로남아우리의도전을기다리고있다. 린덴스트라우스의업적들은강력하고아름다우며린덴스트라우스는앞으로도왕성한연구를할것으로기대된다. [ 참고문헌 ] [1] M. Einsiedler, A. Katok, E. Lindenstrauss, Invariant measures and the set of exceptions to Littlewood's conjecture, Ann. of Math. (2) 164 (2006), no. 2, 513-560. [2] Z. Rudnick and P. Sarnak, The behaviour of eigenstates of arithmetic hyperbolic manifolds, Comm. Math. Phys. 161 (1994), 195 213. [3] E. Lindenstrauss, Invariant measures and arithmetic quantum unique ergodicity, Ann. of Math. (2) 163 (2006), no. 1, 165-219. [4] N. Anantharaman, Entropy and the localization of eigenfunctions, Ann. of Math. (2) 168 (2008), no. 2, 435-475. [5] R. Holowinsky, K. Soundararajan, Mass equidistribution for Hecke eigenforms, Ann. of Math. (2), 172 (2010), no. 2, 1517-1528. 서울대학교수리과학부임선희 2. Ng Bảo Ch u (Univ. Paris-Sud / Inst. for Advanced Study / Univ. of Chicago) I. Langlands reciprocity 정수방정식의공부는수학에서역사가가장깊은분야중에하나이다. Fermat의마지막정리에나오는방정식 처럼, 간단하게분석할수있어야할것같으면서도수백년, 때로는수천년에걸쳐서수학자들을애먹일수있는것이바로정수방정식이다. 2010 년 9 월호 The Newsletter of the KMS 11
정수방정식 에관한중요한정보가 -function 이라부르는복소변수함수 2) 속에숨어있다는철학은이제수학자들사이에비교적잘알려져있는것같다. 타원곡선방정식 는정수 의경우가가장유명할것이다. 그때는 와관련된대부분의중요한정보가 의 에서의값과관련있다는것이 Birch-Swinnerton-Dyer (BSD) 가설의핵심이다. 가령 의유리해가무한하게되는현상이 과동치관계라는주장도거기에포함돼있다. 지금에와서는 BSD 가설이 Deligne 가설, Beilinson 가설, Bloch-Kato 가설등으로일반화되어 1980년대이후로는이와관련된문제들이수론의굉장히활발한분야를이루고있다. 그러나이런가설들은하나같이 의자연스런해석적인성질을필요로한다는기묘한공통점을가지고있다. 는보통유한체 안에서방정식의해의개수를세어서만든함수 를소수 하나하나에대해서정의한다음에그것들의무한곱 으로정의하는함수이기때문에좋은성질을기대하기어려울텐데도, 이모든가설들은 가 entire function( 혹은 meromorphic function) 으로확장된다고가정하고시작한다. 가령타원곡선 의경우에 는 Re 가 보다큰영역에서만수렴하는데도 의 에서의값에관한 BSD 예상은 1960년대부터많은수학자에의해서열렬히연구되어왔다. ( 물론한동안은 analytic continuation 이알려진특별한경우들에연구가집중됐었다.) 그러던중결국 가일반적 으로도 entire function 이된다는사실이 Wiles, 그리고 Breuil-Conrad-Diamond-Taylor 에의해서 90년대중후반에야증명된것이다. 이런기이한상황에도불구하고 -function 들이 entire function 이되어야한다는믿음은정수론자들사이에서대단히확고히자리잡고있으며, 그런신념의체계적인표현을보통 Hasse-Weil conjecture 라고일컫는다. 방정식의 -function 과비슷한꼴의 -function 이나타나는또하나의중요한마당이 automorphic form, 혹은 automorphic representation 이론이다. 그경우에주어지는정보는정수방정식이아니고 reductive algebraic group ( 예를들자면 ), 의 adelic point로이루어진 topological group, 그안에 discrete subgroup으로살고있는유리수점들의 group 3), 그리고 Hilbert 공간 4) 에 가 right translation 으로작용할때그안에나타나는 irreducible representation 이다. 이런 를 automorphic representation 이라부른다 5). Automorphic representation 에다가 Langlands 이론에서는또다시복소변수함수 를대응시키고그역시 entire function 이되리라예상하고있다. 간단한예로 가 인경우에대부분의 는 Hecke algebra 의 eigenvector 가되는 holomorphic modular form 에대응시킬수있다. 그때 번째 Hecke operator 의 eigenvalue 를 라하면, 대부분 2) 여기쓰이는글자 의기원은잘모르겠다. Langlands 와는무관하다. 3) Adele 같은구조에익숙하지않은사람은 대신에 real group, 그리고 대신에 arithmetic group 에대해서생각해도무방하다. 4) 여기서 의 center 가 non-trivial split torus 를가지면약간의수정이필요하다. 5) 고전적인의미의 automorphic form 은 같은표현공간안에사는특수함수들인데많은경우에전체공간 를결정해버리는효과를가지고있기때문에전문가들은 automorphic representation 과 automorphic form 두단어를고의적으로혼동해서쓰기도한다. 12 대한수학회소식제 133 호
소수 에대해서 로정의하고, 는이번에도 같은무한곱으로정의한다. 그러나이경우에는이복잡한 -function 을표현하는편리한방법이여럿이기때문에그의해석적인성질도쉽게분석할수있다. 가령 꼴의 Mellin transform 표현은금방 analytic continuation을유도한다. 이런유형을따라서일반적으로도정의하는 automorphic -function 6) 는항상 entire function 이되고그사실의증명역시 topological group상의조화해석을통해서자연스럽게이루어져야한다는것이 Langlands 철학의기본적인신념중에하나이다. 그런반면 Langlands program 의주춧돌인 reciprocity conjecture 는 Hasse-Weil conjecture 의증명을주목적으로한다고볼수있는데, 그방법론으로써 ± ± ± 꼴의등식을예상하고있다. 즉, 방정식의 -function 이항상 automorphic -function 으로나타내지고, 들의 analytic continuation 은그런표현의부수정리로증명돼야한다는파격적인주장이다. Reciprocity conjecture 가증명된경우는아직도많지않은편인데 가 Shimura variety 를표 현하는방정식일때가가장체계적으로연구되어있고 7), Shimura variety 와직접적인관련이없는방향으로가장유명한결과는역시타원곡선의 -function 이 modular form의 -function 과같아진다는내용의 Wiles정리일것이다. 중요한점은지금까지 8) 방정식의 -function 의 analytic continuation 이증명된경우가전부다암시적으로라도 automorphic -function 과의등식을사용했었다는사실이고이런고찰이 Langlands 작전의원동력이된다는것이다. II. Langlands functoriality 앞에서설명했듯이 Langlands 의 reciprocity conjecture 는방정식을공부하는어려운문제의일부를 topological group상의조화해석문제로바꿀수있어야한다는주장이다 9). 그러나이방법론에서일어나는군들, 또그상에사는 automorphic form들사이에도난이도차이가상당히있다. 예를들자면원칙상쉬워야할 의 analytic continuation 도군 의구조에따라서증명되지않은경우가많다. 의해석학은구조가간단한 의경우에는원할만한성질이전부증명된상태지만, 일반적인 automorphic -function 은아직도굉장히많은어려움을제시한다. 이상황을수습하는작업에있어서여러다른군상의 automorphic form들사이에도긴밀한관계를지어줄수있다는사실이큰도움을준다. 고전적으로알려진예중에는 Saito-Kurokawa lifting 같은현상이대표적이다. 이때는 weight 인 holomorphic modular form 에다가 Siegel modular form 를대응시켜서 6) 정확히기술하자면약간의입력을더필요로한다. 를정의하기위해서는소위 Langlands dual group 의 algebraic representation 하나를정해주어야한다. Langlands dual group 은주어진이론에서굉장히중요한개념이지만이글에서는그에대한상세한기술을피하기로한다. 7) Shimura variety 는이미 reductive group 을이용해서만들었기에방정식의 -function 과 automorphic -function 의관계를찾기가비교적쉽다. 그러나여기서조금모호할수도있는 비교적 이란단어는상당히심각하게받아들여야한다. 8) Langlands 가설이나오기전의증명도포함한다. 9) 그러면서도 Langlands 자신은 reciprocity conjecture 가방정식의 -function 이론의시작점일뿐이라는사실을가끔강조한다. 2010 년 9 월호 The Newsletter of the KMS 13
라는등식을유용하게사용한다. 이런종류의 -function 사이의관계를포괄적으로설명하고자하는원리가 Langlands 의 functoriality 가설이다. 이깊고넓은가설을짧은지면상에서술하기어렵지만, 그의특별한경우중에 Jacquet-Langlands correspondence, Wiles의정리에서사용된 cyclic base-change 같은유명한결과들도들어있고현재토론토대학에서활약하는 Henry Kim 교수가증명한 automorphic -function 을 와 -function 으로가지고가는 symmetric power lifting도포함된다는사실을주시할만하다. Functoriality 가설로부터끄어낼수있는명제중에서가장중요한것은어쩌면임의의 automorphic -function 을 상의 automorphic -function 으로표시할수있다는예상이아닌가싶다. 이가설에는일반적인 automorphic -function 의해석적성질을 automorphic form의 -function 의성질로부터유도해야한다는일종의권장사항도들어있다. 상의 automorphic -function 을편의상 standard -function 이라지칭하기도하는데 Langlands 는 1978년헬싱키 ICM 강연에서 reciprocity conjecture 와 functoriality conjecture 를합쳐서다음과같이요약한적이있다 :...all evidence indicates that there are fewer -functions than the definitions suggest, and that every -function, motivic 10) or automorphic, is equal to a standard -function. 복잡한여러정리와가설을기억하기가귀찮은독자는 Langlands program 의핵심을위구절하나로기억하면편리할것이다. III. 응오 (Ngô Bảo Châu) 의업적 60년대이후로 functoriality 원리의여러특별사례가증명된복잡한역사에대해서거의언급하지못했지만현상황으로진전해서응오의업적에관해서몇마디하고자한다. Functoriality 를증명하는데사용되는가장기본적인도구는소위 Arthur-Selberg trace formula 라고하는정리인데이는 Poisson summation formula 의방대한일반화로생각할수있다. Arthur-Selberg 공식은 에작용하는적당한함수작용소, 즉 compact support 함수 가작용할때의 trace Tr 를 상의적분을가지고표현하는데 11) 그런적분의가장중요한요소가바로 -adic group 상의 orbital integral 이다 12). Trace formula 의정확한꼴은여기서다루지않겠지만 orbital integral 의모양은한번쯤들여다봐도좋을것이다 : 여기서 는한원소 에주어지는 의 conjugation action을따라서취한 orbit을지칭하고 는원소 의 centralizer 를말한다. Arthur-Selberg trace 공식이서로다른군상의 automorphic representation들을비교하는데도움을주는근본적인이유는 compact Lie group 의 character theory 와도유사하다고할수있다. 그때는물론군을고정시킨다음원소의 trace를가지고 representation 들을비교하곤한다. 여기서의상황은군을바꾸어나가는과정이주요점이기때문에더절묘한비교법을필요로하지만궁극적으로는공식의오른쪽에 13) 나오는적분들을서로다른군상에서계산 / 비교함으로서두군상의 10) 여기서 motivic -function 은 I 절에서다룬예처럼방정식에대응되는 -function 을말한다. 11) 사실은관심의대상이되는작용소들은대부분 trace class 가아니기때문에정확한서술은상당히복잡하다. 12) 여기에모든소수 가기여하는바가있고 보다큰 algebraic number field 로부터시작할때는다른 local field 들이등장한다. 14 대한수학회소식제 133 호
automorphic representation 들의공통된부분을찾고자하는것이다. 여기서상기할중요한점은 reductive group 의구조가 maximal torus 에주어진정보에의해서결정된다는 Lie 이론의사실이다 14). 가령 의모든 conjugacy class들은근본적으로 꼴의공간과대응관계가있다 ( 여기서 는 Weyl group을뜻한다 ). 따라서 와 의두 trace formula 를비교할때 와 사이의적당한관계를이용하는것이자연스럽다. 그런데여기서의외로까다로운점이대두된다. 정확히서술하자면 가일반적으로 conjugacy class들과대응관계가있는것이아니라, stable conjugacy class, 즉 의 algebraic closure 를취해준 상의 conjugacy class 들과대응된다는사실때문이다. 그래서 trace formula 역시 conjugacy class 위의적분이아니라 stable conjugacy class를따라서적분한꼴로표현하는것이좋을것이라는결론에곧다다른다. Trace formula 의 geometric side를 stable conjugacy 상의적분을써서다시표현하는데필요한조건들을 Langlands는 1979년파리강의록에서종합적으로서술했는데그중에서가장어려운부분이바로응오가증명한 기초보조정리 (fundamental lemma) 인것이다. 이름이보여주듯이본래착상으로는필요한공식이머지않아증명될쉬운사실일것으로예상했지만, 완전한증명은결국근 30년에걸쳐수많은수학자들의노력을기다려야했다. 이제응오의논문에서직접인용해보자 : 개의원소를가진체를 라놓고, 는 를 residue field로갖는 discrete valuation ring 이라하자. 는 위에사는 reductive group scheme으로서 Coxeter number가 char 보다작다고가정하자. κ ρ 가 endoscopic data 로주어졌을때그에딸린 endoscopic group scheme 을 라놓자. 그때다음과같이 orbital integral 과 stable orbital integral 사이에등식이성립한다 : 이등식에나오는기호들을더이상설명하지않는점을독자는양해주길바란다. 단지등식의어려움을짐작하기위해서 상의 orbital integral 이소위 endoscopic group 이라 (Langlands 가 ) 작명한전혀다른 group 상의 stable orbital integral 을이용해서표현된다는점은강조할만하다. 결국은 와 상의 automorphic form들을비교하고싶지만그과정에서이미많은 보조군 들 ( 즉, 와 의 endoscopic group들 ) 의역할이결정적이라는뜻이다. 한가지조심할점은이명제가기초보조정리그자체는아니고기초보조정리의변형으로서이명제가원래의기초보조정리를함축한다는사실또한증명을요하는데, 이는 Hales와 Waldspurger 에의해해결되어있었다 15). 기초보조정리를공략하던초반의관점은그것이 -adic 군 상의조합론적등식이란것이었고, 따라서군론, 조화해석, 조합론적사고를통해해결하려는시도가많았다. 이를통해몇몇특수한경우들에서증명을해내긴하였으나일반적인경우의증명은요원한상태였다. 그러던중 2004년에응오와그의지도교수 Laumon이 unitary group의기초보조정리를대수기하의강력한도구들을이용해해결하면서혁신적인방향을제시하였고, 응오는이를더욱발전시켜완전한증명을얻어낸것이다. 이후유사한테크닉으로 Laumon 은 Chaudouard 와함께 weighted fundamental lemma 라는더일반적인정리를증명했기때문에 Langlands 가오랜기간 13) 오른쪽에나오는복잡한 orbital integral 들의합을흔히 trace formula 의 geometric side 라부른다. 14) Automorphic form 의공부는특별한경우몇가지만으로도충분히일생을채울수있다. 그렇지만 functoriality 원리의거시적인이해는 algebraic group 의기초구조론을철저히습득하지않으면불가능하다. 15) 이와관련된결과중한줄기는수리논리에입각한원칙을이용해서도얻어낼수있음을 Cluckers 와 Loeser 가증명하였다. 2010 년 9 월호 The Newsletter of the KMS 15
강조해오던 stable trace formula 에필요한도구가전부정비되었다고볼수있다. 어떻게기초보조정리에대수기하가개입할여지가생겼는지는뒤에서조금더설명하기로한다. 기초보조정리에 endoscopic group들이등장하는현상의자연스런산물또하나는 Langlands functoriality 의중요한경우인 endoscopy 혹은 endoscopic transfer 가설이다. 그것은위와같이 의 endoscopic group 가주어지면 자체의 automorphic representation 하나마다 의 automorphic representation 가대응돼서 16) -function 사이의등식 이성립한다는주장이다. 그러니까 상의 automorphic form들을이해는데있어서여러보조군들이사용되지만거꾸로관심있는군 를더쉬운군 의 endoscopic group으로표현할수있을때마다 상의 automorphic form에대한새로운정보를얻을수있다는것이다. 깊이있는수학공식은양방향으로거듭응용되면서복잡한상호작용을초래하게되는흔한기현상을기초보조정리는다시금예증해준다고할수있다. 지금까지증명된 functoriality 의많은사례들을 endoscopy 가설은굉장히포괄적으로포함하고있다. 앞에서언급한 Jacquet-Langlands correspondence 도 endoscopy 의특별한경우고, Langlands 의 cyclic base-change 정리도 endoscopy 의한사례다. Wiles의정리가 Langlands reciprocity 의특별한경우인것을이미지적했지만, 증명과정에서결정적으로사용된 Langlands 의 cyclic base-change 가 endoscopy 의아주특수한예라는사실로부터도응오정리의깊 이와중요성을짐작할수있을것이다. 최근들어서는 endoscopy 의또한경우인 unitary group과 사이의 functoriality 를이용해서신석우 17), Sophie Morel 등이 reciprocity conjecture의사례를여러개만들어냈는데그들의결과는 Skinner 와 Urban 의 Iwasawa 이론에적용되어 BSD conjecture 의큰진전을이끌어내기도했다. 이런종류의연구는 functoriality 원리의전형적인강점을보여준다고할수있다. 이저자들은 unitary group의 automorphic -function = standard -function 꼴의등식을거듭이용하는데그로인해서좌측의긴밀한대수기하학적성질과우측의수월한해석학을절묘하게합성하는효과가나타난다 18). 이런결과들외에도 80년대이후로기초보조정리를가정하고시작한조건부정리들이많이있기때문에응오의업적은그파급효과가대단하다. 그렇지만여기서도조심할점은아직까지도기초보조정리의모든부대결과가선명하게기술된상태는아니라는것이다. Functoriality 증명의핵심도구인 stable trace formula 는기초보조정리가맞다는가정아래 Langlands, Kottwitz, Arthur 에의해전개되었기때문에응오의증명으로인해그사용이가능해졌지만그것을응용하는작업은아직도진행중이다. 어쩌면기초보조정리의가장폭넓은산물일수도있는 classical group에서 으로가는 functoriality 역시현재쓰여지고있는 Arthur의책에완전한증명이기술될것이라고기대하고있다. 이렇듯사연은복잡하지만중요한수학결과는한방향연구의끝을내는순간에비해서도앞으로의연구를활성화하는미래지향성이보다큰의미를갖기때문에응오의결과가현상황에서더욱값지지않은가싶다. 16) 일반적으로는소위 -packet' 사이의대응관계를이야기해야정확하다. 17) 둘째저자가자신의업적을언급하기민망해했지만첫째저자의판단으로과학적인객관성에입각하여이결과를거론하기로했다. 18) 주차이는 unitary group 이 Shimura variety 를 locally symmetric space 로가지고있지만 은 일때 locally symmetric space 가대수다양체일수없다는사실이다. 그런반면 은조화해석이가장쉬운군임을 이미지적한바있다. 16 대한수학회소식제 133 호
Langlands 자신은일반적인 functoriality 에대해서다시금생각할수있는정신적여유를응오의업적으로부터얻어냈다고기뻐하고있으며, 최근에는 beyond endoscopy 라는구호아래 endoscopy 에해당하지않는 functoriality 의일반적인경우들을증명하는방법을고안하고있다. 어쩌면결과그자체이상으로관심을끄는요소는응오의증명이물리학의양자장론에근원하는아름다운기하학적인구조를결정적으로사용하고있다는놀라운사실이다. algebraic curve 상의 principal bundle의 moduli space의 cotangent bundle에사는미분방정식인 Hitchin system이물리학자와기하학자들에의해서연구되던중응오는그런구조가 finite field 위에정의된경우에 Hitchin system 의 integral curve상의점의개수를세는문제가바로 orbital integral 을계산하는문제와동일하다는사실을발견했다. 이혁신적인관점은 orbital integral을완전히거시적산술기하의방법론, 즉 etale cohomology 와 perverse sheaf 이론을사용해서계산할수있게만들었다. Hitchin system은 4차원 Yang-Mills 이론으로부터 reduction 에의해서일어나기때문에이런 많은구성요소들의성공적인배합이학문의통일성을재증명하는현상이라고보는시각도적지않다. Hitchin system은 Beilinson 과 Drinfeld 가창조한 geometric Langlands correspondence 에서도 mirror symmetry 이론에근원한중요한역할을하는데이런수리물리적구조의산술적인본성에대한섬세한질문이정수론의중요한연구대상으로머지않아대두될것으로보여진다. 위에서술한요약은기초보조정리의깊은중요성을강조하면서도그결과의잠정적인실태또한이야기하지않을수가없었다. 심오하고광범위한 Langlands program 자체의결말은앞으로도수십년, 혹은수백년, 또는수학의발전역사에서가끔찾을수있는수천년의과업이되어버릴수도있기때문이다 19). 그러나현재는세계수론공동체가지난삼십여년동안의여러뛰어난수학자들의노력을일단락짓는응오의업적에대해서크나큰경의를표시하고있다. UCL, 포항공과대학교수학과김민형 IAS, MIT 수학과신석우 3. Stanislav Smirnov (Univ. de Genève) 통계물리의여러평면격자모델들의인터페이스는척도극한을가지며, 이극한이등각불변임이증명또는예측되어왔다. 스타니슬라프스미르노프 (Stanislav Smirnov) 는삼투 (percolation) 모델 ([1]), Ising 모델 ([2]) 의경우에이를증명한공로를인정받아 2010년필즈상을수상하였다. 증명의주된도구는 Schramm-Loewner evolution (SLE) 이다. 앞서 Werner 는 Lawler, Schramm 과 19) 그기간동안수많은변환과진화를겪을것이분명하고수백년동안잊혀졌다가재발견되는비극 - 낭만적인상황도상상해보면재미있다. 2010 년 9 월호 The Newsletter of the KMS 17
더불어 SLE 를이용하여만델브로예측 ([3], 평면 브라운운동의바깥경계의프랙탈차원이 4/3 임 ) 등을증명한공로로 2006 년필즈상을수상한바있다. 이용하여스미르노프가이끌어내었다. 삼투모델 : 정육각형격자구조를가지는벌집으로이루어진 ( 평면내의 ) 영역을고려하고, 영역내각격자가비워져있을사건이독립이며확률 로주어진다고하자. 물은비워져있는격자만통과할수있다고할때, 가작을수록물길은줄어들고 가클수록물길은늘어난다. 이모델은임계확률 에서상전이 ( 무한물길의존재성여부 ) 가일어난다는사실이알려져있다. 임계삼투모델에서밑변이 이고높이가 인직사각형 영역윗변 에물을부으면물이밑변 에도달할수있을까? 격자의너비가 으로갈때이사건의확률극한값을물리학자 Cardy 는등각장론을이용하여예측하였다 ([4] 에서필자는스미르노프의논문지도교수였던 Makarov 와함께이확률극한값을등각장론의상관관계함수로표현하였다.). 이확률의극한 (Cardy의공식 ) 은등각불변임이예측되었는데, 스미르노프가이를해결하였다. 직사각형 대신에이와등각동형인정삼각형 ( 는 위에있음 ) 에서 Cardy 의공식은매우간단하게표현되는데, 2006 년도아벨상을수상한 Carleson 이처음으로이를인지하였다. 의길이가 이고 의길이가 이면 Cardy 의공식은 가된다. 영역의경계는정육각형격자로둘러싸여있는데, 왼쪽경계는채워져있고오른쪽경계는비어있다고가정하자. 채워진격자를색칠하면다음그림의왼쪽과같다. 빈격자와채워진격자를분리하는경계선은격자의크기가 으로갈때수렴하고그극한확률곡선 ( 다음그림의오른쪽 ) 은등각불변이며 SLE (6) 로표현됨을 Cardy의공식을 등각불변이고영역마코프성질을만족하는확률곡선을적절히매개화하면, 이곡선외부에서정의된등각사상 의 에관한미분이 κ 을만족하게할수있는데, 이확률곡선을 SLE(κ) 곡선이라부른다 ( 는 차원표준브라운운동이다.). Ising 모델 : 금속의원자는초소형자석처럼자성을갖는데, 전자가원자핵주위를돌면서미세한자기장을형성한다. 이를수학적으로모형화한것이 Ising 모델이다. 이모델에서원자는평면위의격자점에놓이게되는데, N극의방향 ( 상, 하 ) 에따라이격자점에부호 (+,-) 가확률적으로부여된다. 삼투모델에서처럼, Ising 모델에서도상전이가일어난다. 금속에열을가하면가할수록원자들은더빨리진동하는데, 어느임계온도이상이되면금속은자성을잃게된다. 이임계온도에서격자크기가 으로갈때 Ising 모델이척도극한을갖고, 이척도극한의등각불변성을증명한것이스미르노프의주된업적중하나이다. [ 참고문헌 ] [1] S. Smirnov, Critical percolation in the plane: conformal invariance, Cardy's formula, scaling limits, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 333 (2001), no. 3, 239-244. [2] S. Smirnov, Conformal invariance in random cluster models. I. Holomorphic fermions in the Ising model, Ann. of Math. 18 대한수학회소식제 133 호
(2), to appear. [3] G. F. Lawler, O. Schramm, and W. Werner, The dimension of the Brownian frontier is 4/3, Math. Res. Lett. 8 (2001), no. 4, 401-411. [4] N. Kang and N. Makarov, Gaussian free field and conformal field theory, preprint. 서울대학교수리과학부강남규 4. Cédric Villani (Inst. Henri Poincaré) 지난 8월인도하이데라바드에서열린국제수학자대회에서수리물리학자인세드릭빌라니 (Cédric Villani) 교수가영예의필즈메달을수상하였다. Julie Rehmeyer 가작성한 ICM 공식수상업적소개란에보면 For his proofs of nonlinear Landau damping and convergence to equilibrium for the Boltzmann equation 을주요수상업적으로들고있다. 필자는아래에위의두가지업적에대하여간략하게설명하도록하겠다. 첫번째업적은볼츠만방정식의초기치가균형해인맥스웰리언에서멀리떨어져있을때시간이지남에따라볼츠만방정식의해가맥스웰리언으로수렴한다는것에관한내용이다. 볼츠만방정식은 1872년에오스트리아수리물리학자볼츠만에의해서가역시스템인뉴튼방정식으로부터유도된미분-적분방정식으로희박한기체 ( 예 : 성층권의대기 ) 의확률밀도함수의동력학을지배 하는방정식이다. 볼츠만은물리적엔트로피의음수에해당하는 H-범함수를이용하여볼츠만방정식의해를따라서 H-범함수가감소한다는것을보였다. 그런데 Poincaré 의 recurrence 정리에의하면해밀토니안시스템은시간이지남에따라초기상태근처로돌아와야하는데, 이는볼츠만의 H-정리에의하면볼츠만 H-범함수는시간에따라감소해야하므로초기상태로돌아올수없어서일견모순되어보인다 (Zermelo-Poincare 역설 ). 이러한반론에대하여볼츠만은해의맥스웰리언으로의수렴시간이, Poincaré 정리에의해서초기상태근처로돌아와야하는시간보다짧아서두이론사이에는모순이존재하지않는다고설명하였다. 볼츠만방정식의해의맥스웰리언으로의수렴성은엄밀한증명을필요로하는내용으로볼츠만이후로증명이안된상태로남아있었다. 1970년대일본수학자인 Ukai 교수가초기치가충분히정칙적이고맥스웰리언근처에가까이있을때해가맥스웰리언으로지수적으로수렴한다는사실을최초로증명하였다. 하지만그이후로초기치가맥스웰리언상태에서멀리떨어져있는경우볼츠만이예측한대로엔트로피만으로해가균형해로수렴할수있을지에대해서는미해결문제로남아있었다. 빌라니교수는 Laurent Desvillettes 교수와함께상대 H-범함수 (relative H-functional) 의미분시생기는음의항을상대 H-범함수로통제할수있다는사실을이용하여해의적절한 2010 년 9 월호 The Newsletter of the KMS 19
정칙성 가정하에 해가 맥스웰리언으로 수렴한다는 증가하지 않는 가역시스템에서도 플라즈마가 균형 사실을 엄밀히 증명함으로써 지난 140여 년간 미 해로 수렴할 수 있다는 사실을 보였는데 이를 해결로 남아 있던 문제를 해결하였다. Landau damping이라고 한다. 작년에 빌라니 교수 는 지도 학생이었던 Clement Mouhot 교수와 공 두 번째 업적으로 플라즈마 물리학의 기본 방정 동연구로 비선형 블라소브-포아송 방정식에서도 식인 블라소브-포아송 방정식의 비선형 Landau Landau damping이 성립한다는 사실을 증명하여 damping에 대한 증명을 들 수 있다. 플라즈마란 지난 55년간 미해결로 남아 있던 문제에 종지부를 이온과 전자, 그리고 전기적으로 중성을 띠는 입 찍었다. 자들로 이루어진 제4의 물질의 상태를 지칭하는 것으로, 특별한 경우에 플라즈마의 동력학은 블라 앞선 언급한 두 가지 결과 이외에도 빌라니 교 소브-포아송 방정식에 의하여 기술된다. 볼츠만 수는 Felix Otto 교수와의 공동연구로 기체 운동 방정식의 경우에는 입자들의 충돌을 지배하는 충돌 방정식의 엔트로피 이론을 Optimal mass transport 작용소의 특별한 구조가 H-범함수를 시간이 지남 이론에 적용하여 이전에 알려져 있던 많은 함수 에 따라 감소하게 하는 비가역성을 설명해주는 반 부등식 등에 새로운 해석과 방법론을 제시하였으 면에 블라소브-포아송 방정식은 볼츠만의 H-범함 며, 기하학자인 John Lott 교수와의 공동연구로 수가 시간에 따라 변하지 않는 가역시스템이다. Optimal mass transport 방법을 곡률 이론에 적 따라서 가역 시스템인 블라소브-포아송 방정식의 용하는 등 기하학의 새로운 이론을 전개하였다. 초기치가 공간 변수에 의존하지 않는 특별한 균형 물론 Villani 교수 연구의 모태가 된 기체 운동 해 근처에 있을 경우에 시간이 지남에 따라 해가 방정식에는 아직도 수학자들의 손길을 기다리는 균형해로 수렴할지는 분명치 않다. 하지만 1946년 많은 문제들이 남아있다. 끝으로 필자는 빌라니 에 구소련 물리학자인 Lev Davidovich Landau 교수의 필즈 메달 수상을 축하하며, 국내의 젊은 교수(1962년 노벨 물리학상 수상자)가 블라소브- 연구자, 대학원생들이 이 분야에 관심을 가질 수 포아송 방정식을 앞서 말한 균형해로 근사한 선형 있는 기회가 되기를 고대하며 글을 마치고자 한다. 시스템의 경우에는 전기장이 시간이 지남에 따라 감소할 수 있다는 사실을 보임으로써 엔트로피가 20 대한수학회소식 서울대학교 수리과학부 하승열 제 133호