한국전산유체공학회지제 14 권, 제 4 호, pp.1-6, 2009. 12 / 1 배플형상에따른교반기내부고체입자분포의비정상상태해석 김치겸, 1 이승재, 1 원찬식, 2 허남건 *3 TRANSIENT SIMULATION OF SOLID PARTICLE DISTRIBUTION WITH VARIOUS DESIGN PARAMETERS OF THE BAFFLE IN A STIRRED TANK Chi Gyeom Kim, 1 Seung-Jae Lee, 1 Chan-Shik Won 2 and Nahmkeon Hur *3 In the present study, numerical simulations were performed in a stirred solid/liquid system by using Eulerian multi-phase model. The transient flow field of liquid and distribution of solid particles were predicted in the stirred tank with pitched paddle impeller and baffles. The Frozen rotor method is adopted to consider the rotating motion of the impeller. The effects of number and width of baffles on the mixing time and the quality of solid suspension in the stirred tank are presented numerically. The result shows that the mixing time decreases as the width and number of baffles increase. The present numerical methodology can be applied to optimizing mixing condition of industrial mixer. Key Words : 이상유동 (Two-Phase Flow), 고체입자분산 (Solid Particle Suspended), 방해판 (Baffle), 교반용기 (Stirred Tank) 1. 서론 여러가지교반시스템중에서고체 / 액체교반은폴리머합성, 도료합성, 식품산업등여러가지산업에이용된다. 고체 / 액체시스템의효율적인교반을위하여교반기내부고체와액체의균일한혼합이필요하다. 이때배플은교반기내부에서회전유동을축방향유동으로변환시켜고체입자의효율적인혼합을유도하기때문에매우중요하다. 임펠러의회전은고체상과액체상사이의경계에서복잡한와류와운동량전달을야기한다. 고체 / 액체시스템은상대운동, 액체유동, 입자간의전달력과난류소산등다양한힘의영향을받기때문에교반기내부유동은매우복잡한 3차원유동특성을갖는다. 고체입자의균일한혼합을위한동력과회전속도의예측을위하여고체 / 액체교반시스템에서의유체역학과효접수일 : 2009 년 3 월 9 일, 수정일 : 2009 년 12 월 3 0 일, 게재확정일 : 2009 년 12 월 3 0 일. 1 정회원, 서강대학교대학원 2 정회원, 서강대학교기계공학과 3 종신회원, 서강대학교기계공학과 * Corresponding author, E-mail: nhur@sogang.ac.kr 율적인교반에대한관심이높아지고있다. 최근 PIV와 LDV 등을이용한고체 / 액체교반시스템에대한실험을수행함에따라효율적인교반을위한변수들과교반성능에대한평가가이루어지고있다. Armenante와 Nagamine[1] 은회전속도와임펠러의간격에따른고체 / 액체이상교반에대한실험적인연구를수행하였다. Sessiecq 등 [2] 은고체입자의분산에고체입자의밀도와회전속도가미치는영향을연구하였다. Wu 등 [3] 은여러가지임펠러형상에따른실험을수행하였다. 그들의결과는고체입자의분산과유동장에대해서임펠러의형상에따른영향들을보여준다. Angst 와 Kraume[4] 는내시경카메라를이용한실험에서물과유리입자의교반탱크의크기를다르게할때입자의분포를분석하였다. Biswas 등 [5] 은모래와물의교반에서배플의영향을조사하였다. 그러나대부분의실험에서고체입자의분산높이와경험식에관련된연구들이진행되었지만유동장에대한연구는부족하였다. 최근 CFD의발달로복잡한교반기형상의모델링및자세한유동장과고체입자의분산에대한연구가진행되고있다. Montante 등 [6] 은고체입자의분산과유동장에대하여실험과수치해석의결과를비교하였다. Bakker[7] 는 Eulerian-granular 모델의검증을위하여고체입자의분산을수치해석하였다.
2 / 한국전산유체공학회지김치겸 이승재 원찬식 허남건 Ochieng와 Lewis[8] 는실험과수치해석을이용하여물과니켈입자의교반에서고체입자의크기에따른영향을연구하였다. 위와같이고체입자의분산에대한많은연구들이수행되었지만다양한형상의교반탱크와임펠러에의한복잡한유동현상을산업현장에적용하기에는많은어려움이있다. 그래서다양한조건에서의교반유동의특성과고체입자의분산에대한연구가필요하다. 본연구를수행하기에앞서교반기유동특성에관한연구로임펠러의형상및자유표면의영향등에대해수치해석을수행하였다. 장재원과허남건 [9] 은 45 Pitched paddle 임펠러를갖는교반기의작동유체가 Newtonian 유체인물의경우에대해수치해석을수행하여교반기내부의유동특성을연구하였으며, 안익진등 [10] 은임펠러형상에따른교반기내유동특성을임펠러형상에따른자유표면와류거동에대하여수치해석을수행하였다. 그러나이와같은교반기형상에따른유동특성연구는실제산업현장에서많이쓰이는고체 / 액체이상 (two phase) 교반시유동특성을잘예측하지못하는단점이있다. 그에따라김치겸등 [11] 은고체입자의체적비율에따른임펠러의최적화된회전수를연구하였다. 본연구에서는기존선행연구를바탕으로시간에따른고체분산의질과교반시간에대한배플조건의영향을연구하였다. 2. 수치적모델 2.1 수치해석방법본연구에서는 Eulerian multi-phase method를이용하여배플이달린교반기내부의이상유동을해석하였다. Eulerian multi-phase method는고체 / 액체, 기체 / 액체등서로다른상을가진물질이같은검사체적 (control volume) 에있는경우체적분율 (volume fraction) 에따라각상에대하여지배방정식을계산한다. 상의경계에서발생하는상호작용에의한유체의운동을운동량방정식에추가항으로넣어계산하며, Eulerian multi-phase method의지배방정식은다음과같다 [12]. 여기서 는각상의체적분율을나타내며, 는밀도, 는평균속도를의미한다. 식 (2) 에서 와 은각각분자및난류응력, 는중력을의미한다. 또한 는단위체적당각상사이상호교환하는운동량의항이다. 지배방정식에쓰인하첨자 k대신 와 를사용하여각각연속상 (continuous phase) 과분산상 (dispersed phase) 을나타낸다. 체적분율의합은식 (3) 과같이항상 1을만족한다. 각상의내부힘 (internal force) 은 는분산되는상의입자간에작용하는힘으로다음과같이표현된다 [13,14]. max (4) 본연구에서는 max 으로설정하였는데, 이는구형강체입자의최대체적분율을나타낸다. (5) 각상의운동량은서로다른상으로의모든영향력의합과같은것으로나타나며, 2상에서연속상과분산상의운동량은크기가같고부호가반대이다 ( ). 식 (5) 와같이각상이교환하는운동량은항력 ( ), 가상력 ( ), 양력 ( ) 으로구성되는데, 분산상인고체입자의밀도는연속상인유체의밀도보다높으므로고체입자의항력계수에대한모델링이중요하며, 항력 ( ) 은항력계수 ( ) 가정해진후완전히정의된다. 유체내부의고체입자의분산을해석하기위하여구형입자의항력계수 ( ) 를고려함에있어식 (6) 과같은 Schiller-Naumann 방법을적용하였다 [12]. (6) (1) (2) (3) 여기서, 입자의레이놀즈수는다음과같이정의된다. 은 로정의되며, d 는입자의직경을의미하고, 는연속상의점도를의미한다. 2.2 해석모델과경계조건 (7)
배플형상에따른교반기내부고체입자분포의비정상상태해석제 14 권, 제 4 호, 2009. 12 / 3 Fig. 2 Local solid volume fractions in a vessel Fig. 1 Agitator geometry 본연구에서는 Angst와 Kraume[4] 의연구에사용한실험조건을이용하여수치해석을수행하고비교하였다. CFD 수치해석은 Fig. 1과같은 0.2 m 지름의교반기에서수행하였다. 6-blade pitched paddle 임펠러는유체를교반기바닥으로밀어내는유동을형성하며, 교반기내액체의높이는교반기의지름 (D) 과같다. 위의조건하에서배플의형상이고체입자의분산과교반시간에미치는영향을분석하기위해배플의폭과숫자를변화시키며연구를수행하였다. 임펠러회전속도는 419 rpm으로고정되어있다. 교반액체는물로하였고, 분산되는고체입자는직경이 200 μm 이고밀도가 2400 kg/m 3 의유리입자이다. 분산상의체적비율은전체교반기의체적의 5% 이며, 초기에고체입자는교반기의바닥에분포한다. 본연구에서는임펠러의회전을수치적으로모사하기위하여고정회전자방법 (Frozen Rotor Method) 을적용한비정상상태유동해석을수행하였다. STAR-CD 에서제공하는다중회전상대구조 (Multiple rotating reference frame) 방법중하나인다중회전구조음해법 (Implicit multiple rotating frame) 을사용하여유체의운동량보존식에생성항을더해줌으로써임펠러가회전하는효과를나타내었다. 이때유동속도가가장빠를것으로예상되는임펠러팁영역의속도를고려하여, CFL 수를 1 미만으로하기위해 time step을 0.00025초로설정하여해석을수행하였다. 또한교반기내부의유동이충분한정상상태로 도달할수있는시간인 12초까지해석시간을설정하였다. 교반기의벽은 No-slip 벽의경계조건이적용되고, 액체표면은대칭경계조건이적용되었다. 419rpm의회전속도에서고체입자의밀도가 2400 kg/m 3 일때의입자의분산정도를실험결과와비교하였고, 고체입자의밀도에따른교반기내분포에대하여해석하고, Table 1과같이배플의형상을변화시키면서수치해석을수행하였다. 본연구는상용코드인 STAR-CD V3.24[12] 를이용하여해석하였으며, 난류모델로써 k-ε 모델을사용하였다. AMD Opteron 64 bit processor 2.4 GHz 8 CPU 리눅스클러스터를이용하여병렬계산하였다. 유동의주기성을이용하여교반기의 1/2을모델링하였고 390,000개의계산격자를수치해석에이용하였다. 3. 수치해석결과 3.1 시간에따른유동장과고체입자분포의변화수치해석의방법에따른결과와실험을비교하기위하여 Angst와 Kraume[4] 의실험결과를이용하였다. Fig. 2는바닥에서부터 0.25D, 0.55D, 0.75D 의거리만큼떨어진위치에서 Table 1 Different baffle models Model No. The number of baffles The width of baffles 1 4 (90 intervals) 0.08D 2 4 (90 intervals) 0.04D 3 6 (60 intervals) 0.08D 4 6 (60 intervals) 0.04D
4 / 한국전산유체공학회지김치겸 이승재 원찬식 허남건 (a) 0.1 Sec (b) 1.0 Sec (c) 3.0 Sec. (d) 5.0 Sec (e) 8.0 Sec Fig. 3 Plot section of solid concentration distribution [m/s] (a) 0.1 Sec (b) 1.0 Sec (c) 3.0 Sec. (d) 5.0 Sec (e) 8.0 Sec Fig. 4 Plot section of velocity vector of liquid phase 반경방향으로평균한고체입자의체적분율을수치해석과실험결과로비교한그림이다. 0.25D와 0.55D의거리에서실험결과는수치해석의예측값과매우유사하다. 0.75D의거리에서의실험과수치해석의결과는전체적으로수치해석을통한예측값은실험결과와일치하며, 표면근처에서고체입자분포의불규칙성에기인하여약간의차이가발생하는점은자유표면의영향에기인한것으로예측된다. Fig. 3과 Fig. 4는각각고체입자체적분율과교반기내부의물의속도장의시간에따른변화를나타낸다. Fig. 3 (a) 는교반이시작되고 0.1초후의고체입자의분포를나타낸다. 바닥에침전되어있는고체입자들이교반기전체에아직퍼지지못하였기때문에연속상의속도장은 Fig. 4 (a) 와같이급격하게변하고불안정하다. 교반이시작되고 1초후에는 Fig. 3 (b) 와같이고체입자가교반기의벽을타고위로솟아오르는것을예 측할수있다. Fig. 4 (b) 는 pitched paddle impeller 의유동특성인축방향의회전유동이형성되는것을보여준다. 그러나연속상의회전유동은교반탱크의벽에미치지못한다. 3초후에 Fig. 3 (c) 에서보이는액체의속도장은교반기내부에서규칙적인축방향회전유동을나타내게된다. 고체입자의분포가변하더라도입자가퍼지는높이는계속유지된다. 3초후부터고체입자는유동이순환하는영역에서지속적으로분산된다. Fig. 5는높이에따라반경방향으로평균한고체입자의체적분율의분포를시간에따라나타낸그림이다. 교반초기에는바닥에집중적으로고체입자가분포하면서교반기전체에고르게고체입자가분포하지않지만, 교반을계속하면서교반기내부의고체입자분포가정상상태로안정화되는것을확인할수있으며, 정상상태까지도달하는데는약 10초가량의교반시간이필요한것을그림을통해알수있다.
배플형상에따른교반기내부고체입자분포의비정상상태해석제 14 권, 제 4 호, 2009. 12 / 5 Fig. 7 Influence of baffle design on suspension quality Fig. 5 Axial distribution of solid concentration in different time steps (=2400 kg/m 3 ) 였다. 본연구에서알수있듯이해석 case를추가함에따라원하는목적을달성하기위한최적교반조건을수치해석을통해예측할수있을것이다. 3.3 배플의형상에따른고체입자의분포배플의개수와폭에따른교반기내부고체입자분포의변화를예측하기위하여네개의서로다른배플모델에서고체 / 액체 2상교반유동을수치해석하였다. 수치해석모델은 Table 1과같은모델들을고려하였다. 수치해석결과를이용하여 Fig. 7과같이각모델들간의시간에따라교반기내부에퍼져있는고체입자의표준편차를비교하였다. 표준편차는교반기내부의고체입자의분산의질을예측하기위하여사용하였고, 계산방법은식 (8) 를따른다. Fig. 6 Axial distribution of solid concentration with various density of solid particles 3.2 고체입자의밀도에따른분포예측 동일한회전속도 (419 rpm) 에서고체입자의밀도 (1600, 2000, 2200, 2400 kg/m 3 ) 에따라고체입자의분포를수치해석을통해예측하였다. 정상상태교반에이를때까지교반시간과그때의입자의분포는수치해석을통해예측할수있다. Fig. 6은정상상태에서각고체입자의밀도가변할때높이에따라반경방향으로평균한고체입자의분포를나타낸그림이다. 각밀도에서정상상태에도달하기까지의시간은입자밀도가 1600 kg/m 3 일때 8초, 2000 kg/m 3 일때 9초, 2200 kg/m 3 일때 10초, 2400 kg/m 3 일때 11초가소요되었다. 밀도가커질수록정상상태에도달하는데긴시간이소요되었고밀도가낮을수록고체입자의체적분율은각높이에서고르게분포하 (8) 는교반기내부의 i-번째위치에서의고체입자의체적분율을나타내고, 는고체입자의평균체적분율을나타낸다. 앞에서언급한바와같이교반초기에고체입자들은바닥에깔려있다가상승하기때문에 3초이내의유동장은변화가매우심한불안정한상태가된다. 그러므로 Fig. 7에서보이는것처럼 3초이내의표준편차는불안정하다. 3초이후에유동장은축방향의회전유동을유지하면서고체입자가고르게퍼지기때문에, 12초까지표준편차는서서히낮아진다. 12 초후에각배플모델의표준편차는거의같다. 같은형상의교반기에서일단준정상상태에도달하면, 그후교반의질은배플의폭과숫자에의한영향을거의받지않는것을 Fig. 7을통해알수있다. 반면에준정상상태에도달하기까지의교반시간은배플의폭에의해영향을받는다. Fig. 7의배플의폭이 0.04D(Half Width) 인모델의표준편차그래프를보면고체입자의표준편
6 / 한국전산유체공학회지김치겸 이승재 원찬식 허남건 차가준정상상태의 5% 이내로도달하기위하여 10초가량의시간이필요한것을알수있다. 배플의폭이 0.08D(Full Width) 인경우에는 9초가량의시간이흐른뒤의표준편차가 0.04D의폭일경우와같은범위에접근한다. 배플의폭이절반으로줄어들때교반시간은 1초가량증가한다. 한편, 교반초기에고체입자의분산의질은배플의숫자에영향을받는다. 균일한교반상태에이르는시간이같더라도균일상태에이르기까지 6-배플모델의표준편차가 4-배플모델의표준편차보다작다. 균일한교반상태에이르기전에동일교반시간대에서의표준편차는배플의숫자가많을수록작아진다는것을보여주며, 이와같은경향은실험을통해얻은결과와유사하다 [15]. 배플의폭이같을때배플수에따른표준편차의변화는배플의폭이넓을수록더큰양상을보인다. 같은교반시간대에서배플의숫자와폭이증가함에따라표준편차는급격하게감소한다. 5. 결론본연구에서는 Eulerian multi-phase 방법을이용하여고체입자분포의시간에따른변화를수치해석을통해연구하였다. 임펠러의회전에의해발생하는축방향의유동은가라앉아있는고체입자의분산을유도한다. 그동안에고체입자의분포는준정상상태에이르게된다. 준정상상태에서고체입자의체적분율은실험결과와비교되었다. 교반기의표면근처에서의수치해석결과는실험결과와약간의차이가있었지만, 그아래위치에서수치해석의고체입자체적분율의예측은문헌에나온실험결과와잘일치하였다. 덧붙여서배플의숫자와폭이고체입자의분포가준정상상태에이르게될때고체분산의질에미치는영향이없다는것을확인하였다. 그러나배플의폭이넓어질수록교반시간은감소한다. 또한배플의숫자가증가할수록같은시간대에서교반의질을나타내는표준편차는급격하게감소한다. 후기본연구는중소기업청에서시행한중소기업선도형기술혁신개발지원사업 ( 과제번호 : S1029723) 의지원으로수행된결과입니다. 참고문헌 [1] 1998, Armenante, P.M. and Nagamine, E.U., "Effect of low off-bottom impeller clearance on the minimum agitation speed for complete suspension of solids in stirred tanks," Chemical Engineering Science, Vol.53, No.9, pp.1757-1775. [2] 1999, Sessiecq, P., Mier, P., Gruy, F. and Cournil, M., "Solid Particles Concentration Profiles In An Agitated Vessel," Trans IChemE, Vol.77, Part A, pp.741-746. [3] 2001, Wu, J., Zhu, Y. and Pullum, L., "Impeller Geometry Effect on Velocity and Solids Suspension," Trans IChemE, Vol.79, Part A, pp.989-997. [4] 2006, Angst, R. and Kraume, M., "Experimental investigations of stirred solid/liquid systems in three different scales: Particle distribution and power consumption," Chemical Engineering Science, Vol.61, No.9, pp.2864-2870. [5] 1999, Biswas, P.K., Dev, S.C., Godiwalla, K.M. and Sivaramakrishnan, C.S., "Effect of some design parameters on the suspension characteristics of a mechanically agitated sand-water slurry system," Materials and design, Vol.20, pp.253-265. [6] 2001, Montante, G., Micale, G., Magelli, F. and Brucato, A., "Experiments and CFD Predictions of Solid Particle Distribution in a Vessel Agitated with Four Pitched Blade Turbines," Trans IChemE, Vol.79, Part A, pp.1005-1010. [7] 2004, Bakker, A., Technical Note 253, Fluent Inc. [8] 2006, Ochieng, A. and Lewis, A.E., "CFD simulation of solids off-bottom suspension and cloud height," Minerals Engineering, Vol.19, No.2, pp.180-189. [9] 2000, 장재원, 허남건, 45 Pitched Paddle형교반기내부유동해석, 한국전산유체공학회추계학술대회논문집. [10] 2006, 안익진, 송애경, 허남건, 자유표면을고려한교반기내부의비정상유동해석, 한국전산유체공학회지, 제 11권, 제4 호, pp.9-13. [11] 2007, 김치겸, 원찬식, 허남건, 전산유체역학을이용한교반기내부의고체 / 액체다상유동해석, 한국전산유체공학회추계학술대회논문집. [12] 2004, STAR-CD Methodology Version 3.24, Computational Dynamics Ltd. [13] 1989, Bouillard, L.X., Lyczkowski, R.W. and Gidaspow, D., "Porosity distribution in a fluidised bed with an immersed obstacle," AIChE Journal, Vol.35(6), pp.908-922. [14] 1996, Witt, P.J. and Perry, J.H., "A study in multiphase modelling of fluidised beds," Computational Techniques and Applications: World Scientific Publishing Company. [15] 1997, Lu, W.-M., Wu, H.-Z. and Ju, M.-Y., "Effects of baffle design on the liquid mixing in an aerated stirred tank with standard Rushton turbine impellers," Chemical Engineering Science, Vol.52 pp.3843-3851.