84 Ò e#4# d jjm 극초음속희박유동해석을위한축대칭다화학종 GH 방정식의개발 ââä ä âõââ ãä EVELOPMENT OF AXISYMMETRIC MULTI-SPECIES GH EQUATION FOR HYPERSONIC RAREFIED FLOW ANALYSES J.W. Ahn 1 and C. Kim *2 Generalized hydrodynamic (GH) theory for multi-species gas and the computational models are developed for the numerical simulation of hypersonic rarefied gas flow on the basis of Eu's GH theory. The rotational non-equilibrium effect of diatomic molecules is taken into account by introducing excess normal stress associated with the bulk viscosity. The numerical model for the diatomic GH theory is developed and tested. Moreover, with the experience of developing the dia-tomic GH computational model, the GH theory is extended to a multi-species gas including 5 species; O 2, N 2, NO, O, N. The multi-species GH model includes diffusion relation due to the molecular collision and thermal phenomena. Two kinds of GH models are developed for an axisymmetric flow solver. By compar-ing the computed results of diatomic and multi-species GH theories with those of the Navier-Stokes equations and the DSMC results, the accuracy and physical consistency of the GH computational models are examined. Key Words : 전산유체역학 (CFD), 희박유동 (Rarefied Flow), GH(Generalized Hydrodynamic) 방정식, 다화학종유동, 극초음속 1. 서론 희박극초음속유동의해석은우주개발과극초음속항공기의개발에있어그중요성이날로높아지고있으나, 낮은밀도와분자간의충돌감소로인한비평형성이강하게나타나수치해석이쉽지않다. 희박유동의특성은높은 Knudsen 수로특징지을수있으며, 0.01보다작은 Knudsen 수영역에서도기존의 N-S(Navier-Stokes) 방정식은정확한해를도출할수없어여러가지대안이강구되어왔다. 대표적인희박유동해석자들은크게 BGK(Bhatnagar-Gross-Krook) 방정식, Burnett 방정식등을포함하는 ' 기체역학적 ' 접근방법 (gas-kinetic method) 과 DSMC(Direct Simulation Monte Carlo) 로대표되는 ' 분자동역학적 ' 방법 (molecular dinamic method) 의두가지로구분할수있다. 이들중기체역학적접근방법은전산유체역학의제반 1 학생회원, 서울대학교대학원기계항공공학부 2 정회원, 서울대학교기계항공공학부 * Corresponding author, E-mail: chongam@snu.ac.kr 수치기법을적용할수있어그구현이비교적간단하고또한계산효율이높다는장점이있으나, 정확도면에서분자동역학적방법에미치지못하는경우가많다. 후자의경우는가장정확한결과를도출한다는장점이있으나, 계산효율이낮아매우희박한유동에국한해사용이가능하며다수의 tuning parameter룰설정해주어야하므로정확한해를얻기위해많은경험이필요하다는단점이있다. 본연구의주제인 GH(Generalized Hydrodynamic) 방정식 [1-2] 도기체역학적방법에속하나, 유도단계에서부터열역학제2 법칙을엄밀히적용하여구한것으로, 비평형분포함수를평형분포함수와유사한지수함수형태로가정함으로써항상양의생성엔트로피를생성할수있도록고안되었다. GH 방정식은 Eu에의해단원자및이원자분자에관한단화학종 (single species) 기체방정식이유도된바있으며 [1-4], 단원자분자만을위한다화학종 (multi-species) 형태가유도된바있다 [1]. 이들중단원자및이원자분자의단화학종 GH 방정식은 Myong에의해수치기법으로구성되어2 차원유동문제를해석하는데적용된바있다 [4]. 이들단화학종 GH 방정식의수치기법은본저자들의이전연구에서축대칭형상으로확
jjm e#4# d 85 Ò 장되었으나 [5], 실질적인극초음속유동을위해서는화학반응 을고려한다화학종 GH 방정식의개발이필수적이라할수 있다. 다화학종 GH 방정식에는단원자 - 이원자분자간충돌 이고려되어야하며, 분자간충돌시소산 (diffusion) 에대한 모델링이필요하다. 본연구에서는단원자분자의다화학종 GH 방정식 [1] 과 이원자분자의단화학종 GH 방정식 [2,4] 을결합하여단원자 및이원자분자를모두포함하는다화학종 GH 방정식을유 도하였다. 다화학종 GH 수치기법은축대칭형상의다양한검 증문제에적용되었으며, 각기 N-S 방정식및 DSMC 의해석 결과와비교하여그정확성을평가하였다. 2. 지배방정식 축대칭형태의다화학종 GH 방정식은다음과같이나타낼 수있다. È È ÈÈâ Î âx\ â ž Þž âßè È âx\ Þ ¼ â ß Î åþ ¼ â ß\È⪠¼ æ â É á ì ì 위의지배방정식에서첨자는각각의화학종을지칭하고, 본연구에서는 Ï, Ï,,, 의다섯가지화학종이섞여있는공기를대상으로하였다. 위식에서 ì 은화학적확산계수, ì 는전체유체의분자량에대한 번째화학종의분자량비를각각나타낸다. 우변의 는화학반응으로인한각화학종의밀도변화를나타내는 source 항이다. 지배방정식은대체로 N-S 방정식과유사하나, 점성플럭스에 excess normal stress() 가포함되어있는점과응력텐서 ( ), 열전달벡터 (ª) 를별도의 GH 구성식을통해구해야한다는점에서차이가있다. 이들응력과열전달벡터등은비보존항이며, 각각은식 (2)~(5) 의 GH 구성식을통하여구할수있다. 화학반응은 N-S 방정식단계에서적용되었으며, GH 구성식은기본적인화학반응식을유지한채, 각화학종의응력, 열전달등을구하는방식으로구성되었다. (1) áà ÏÞ â ß ãxè ä ÞÏß à Ï ã È ä (2) à Ï ã \xè ÞÏß ä à Þß áà Ï È\ Ð â \x Ï Ï â Þ Ð â ßé xèâ Þß Ð ª áà È\Þ â ß à ª \xè à Þ â ßœ x Á à \x œ ì Þß à ª á x\þ â ß â x\þ â Þ ß à x\ ß Þ â ß à \xèà à ì x Áà Þß Þ à Î ì ß à ª í 식 (2)~(5) 에서첨자 와 는각각의화학종을의미하며, ì 는열확산계수, 는열전달계수와온도의곱이다. 는단위정사각행렬이며, Þß 는분자간충돌에의한소산항으로엔트로피증가에관련되며다음과같이정의된다. ƼÁ»Þß Þßá 식 (6) 에의해생성엔트로피는다음과같이도출된다. á ƼÁ»Þß (7) 위식에서 는 Boltzmann 상수이다. 식 (7) 을살펴보면, 는아래식 (8) 에서볼수있듯제곱근형태가되므로항상양의부호를가지며, hyperbolic sine 함수는언제나양의값을가지게되어생성엔트로피가항상양수임을알수있다. 이는 GH 방정식이갖는고유한특성으로, 열역학제 2법칙을충실히따르고있음을의미한다. 식 (6) 에서 는,, ª, 등의비보존변수 (nonconservative variables) 로된 1차 (3) (4) (5) (6) cummulant 이며다음과같이서술될수있다.
86 Ò e#4# d jjm ö Ï é áï Ï Ï â â ª ¼ \ª ½ â ¼\ ½ (8) Þß ½ á Î â «Ï à ã «È ÞÏß Ï ÞÏß ä à ã «\xè ä (13) 위식에서연산 šé 는행렬 š 와 의성분끼리의곱 (š ) 을모두더하는 double scalar product 이다. 는 bulk viscosity 를의미하며, 는 번째화학종과 번째화학종의 충돌에의한확산계수이다. 특히식 (5) 에서 는확산계수 ( ) 로구성된 5 5 행렬이며, 는다음과같이계산된다. á x â à x Á (9) Þß á à Þ «â ß é xè Î à «È\ â \x Þß á ª Î â «ª Î à «ª Å \xèâ Î «\ª (14) (15) 식 (2)~(5) 의 는확산플럭스벡터로식 (10) 과같이분자 의충돌에의한확산과열적확산의합으로정의된다. ì 는 번째화학종의열적확산계수를의미한다. ÞàÎß ª á x\ â «Þß Þ à Î ß à Å Î â «áà Þ à ì x Á ß (10) â x\þâ «ß (16) 서론에서밝힌바와같이, 다화학종 GH 방정식은단원자 분자와이원자분자의차이를구분하여각기다른특성을부여할수있어야한다. Eu에따르면, 단원자분자의경우 excess normal stress( ) 가 0이되므로 [1], 식 (1)~(5) 에서 를 0으로설정함으로써단원자분자를구분할수있다. GH 구성식에서 ãzä ÞÏß 연산은다음과같이정의된다 (ì 성분 ). ãxè ä ÞÏß Î á â Ï à Î (11) Ð ã\xè ä ÞÏß Î á Ï È ¼¾ â Ë ¼ ¼ È ¾ ˼ Î à Ð (12) GH 구성식 (2)~(5) 는 Eu 의단열가정 [1,4] 에의해좌변시 간미분항을 0 으로간주할수있다. 곧비보존변수는밀도, 속도, 온도등의보존변수보다빠르게평형상태에도달한다 고가정하여상대적으로시간미분항의크기가작아진다는의미이다. 단열가정을통해 GH 구성식은비선형대수방정식이된다. 무차원화된 GH 구성식은다음과같이표현된다. à x\þ «¼ â ß Î à ¼ \xèà ¼ «위식에서 와 Å 은각각 Schmidt 수와 Prandtl 수를의미하며첨자 0은 N-S 방정식의플럭스계산으로부터구한평형해를뜻한다. 은 ÞÒ à ÐßîÏ 로정의되며, 는분자의회전에너지와전체에너지의비율을의미하고œ ì îœ 와같이각에너지의정압비열의비로표현할수있다. 본연구에서는 Myong의견해 [4] 를따라 á íõ 의값으로설정하였다. 식 (13)~(16) 의 도무차원화해주어야하며결과적으로다음과같이표현된다. Ï á ã «¼ é ½ â ÞàÎß Å ª â â \ª ¼\ ½ (17) 식 (13)~(17) 의비선형대수방정식의해는수치적해석자를이용해구할수있다. 본연구에서는 Broydn의반복계산을이용한비선형방정식해석자를이용하여계산을수행하였다. 앞서밝힌바와같이단원자분자와이원자분자가섞여
jjm e#4# d 87 Ò 있는다화학종유동에서는이들분자의구분이필요하다. 이는두가지방향에서고려될수있다. 첫째, 단원자분자에서는 excess normal stress( ) 의값이 0이다. 둘째, 확산의영향에있어단원자- 단원자충돌, 단원자- 이원자충돌, 이원자- 이원자충돌이다르게설정되어야한다. 전자의경우는 GH 구성식에서단원자분자화학종의값을 0으로두어구현할수있다. 후자의경우는확산계수 ( ) 의값을각충돌쌍마다다르게설정해줌으로써해결할수있다. 참고문헌 [3] 을토대로하여, 본연구에서는단원자- 단원자충돌에 0.18, 단원자- 이원자충돌에 0.48, 이원자- 이원자충돌에 0.65의값을사용하였다. 다음으로 GH 수치기법의전체적인해석절차는다음과같이이루어진다. 먼저, 이전단계에서의물성치들 ( 밀도, 온도, 속도등 ) 을기반으로 N-S 방정식의점성플럭스를구한다. 이를초기조건으로활용하여비선형수치해석자를통해식 (13)~(17) 의구성방정식의해를구한다. 이들해는,, ª, 등의비보존항이며, 이를지배방정식에넣어최종적인플럭스를계산하고시간전진을시키게된다. 이러한 GH 구성식의해를구하는과정은 N-S 방정식의계산보다 2~3배의시간을소요하기는하나, Knudsen 수가증가하여도계산시간에큰변동이없고 Knudsen 수가작은경우에는 DSMC 보다효율적으로계산을수행할수있게된다. 3. 수치기법및경계조건 3.1 수치기법본연구에서는플럭스분할기법으로AUSMPW+ 기법을사용하였으며, 2계 MUSCL과 van Leer 제한자를사용하였다. 시간적분기법으로는LU-SGS를사용하였다. 화학반응이있는극초음속유동해석의특성상 CFL 수를크게줄수없으므로수렴성을높여줄필요가있다. 수렴성을높이기위하여본연구에서는 5가지의화학종 ( Ï, Ï,,, ) 의화학반응을위한 source 항을내재적기법으로처리하였으며, 보다빠른계산을위해 4단계다중격자기법을사용하였다. 또한후류가있는문제의경우수렴도가급격히저하되므로공간을분할하여병렬처리를수행함으로써전반적인계산시간의절감을이룰수있었다. 3.2 벽면경계조건고체벽면에서의미끄러짐현상 (velocity slip) 과온도불연속 (temperature jump) 은희박유동에서특징적으로나타나는현상으로, 이를적절하게반영하는것은플럭스의변화를예측하는것이상으로수치해의정확성에영향을주게된다. 이 러한고체벽면에서의불연속을반영하기위해본연구에서는 Langmuir의 slip 모델 [4] 과 Maxwell-Smoluchowski 모델 [6] 을사용하였다. Langmuir 모델은다음과같다. á âþî à ß (18) á âþî à ß (19) 위식에서첨자, 는각각벽면및벽면에서가까운유체의값을의미한다. 의값은다음과같은식으로구할수있다. áî â š á (20) (21) Ëà 식 (20) 에서 š 는유동영역의실효면적이고, 는슬립이일어나는벽면에서의potential parameter이다. 본연구에서는 á ÎíÐÏ î 의값을사용하였다. Maxwell-Smoluchowski 경계조건은다음과같다 [6]. Ï à à á (22) ÞÏ«îßÎîÏ à á Ï à ÏÞ à Îß â Î Z«ÞÏ«îß ÎîÏ (23) 는벽면에서의 accomodation parameter이며, 보통 0.2~0.8 의범위에서사용하게된다. Langmuir의경계조건은 tuning parameter가없이속도와온도가계산될수있다는장점이있으나, 벽면물성치와벽면에인접한유동의물성치의비율을결정하는방식이어서지나치게단순화된측면이있다. 반면 Maxwell-Smoluchowski 경계조건은벽면과벽면근처유동의속도및온도차이가속도구배및온도구배에의해결정되므로물리적특성을잘반영할수있다는장점이있다. 단, accomodation parameter의값이 tuning parameter로작용한다는점과이로인해수렴성이크게나빠질수있다는점을단점으로꼽을수있다.
88 Ò e#4# d jjm Fig. 1 Density(left, log-scale) and temperature(right) contours on the space shuttle nose geometry Fig. 3 Normalized temperature distribution on the symmetric axis of a space shuttle nose geometry 임을감안할때, 대부분의유체질량이물체표면에집중되고있음을알수있다. 이는높은희박도로인해충격파를미처형성하지못한채물체표면에도달하기때문이다. 정체유선상에서의무차원밀도 ( 로그척도 ) 와온도를 Fig. 2.,3에도시하였다. 두그림에서다화학종 GH 방정식의결과 Fig. 2 Log-scale density distribution on the symmetric axis of a space shuttle nose geometry 는 DSMC의결과와거의유사한분포를보이고있는반면, N-S 방정식의결과는상당한차이를보였다. 분포의기울기측면에서도다화학종 GH 방정식의결과가 N-S 방정식의결과에비해우수한것을볼수있다. 또한 Langmuir 경계조건보다 Maxwell-Smoluchowski 경계조건이더좋은결과를보여주었는데, 이는앞서 3.2절에서언급한바와같이 Maxwell-Smoluchowski 경계조건이 Langmuir 경계조건보다더물리적특성을잘반영하기때문으로보인다. 4. 수치해석결과및분석 4.1 스페이스셔틀앞전극초음속희박유동해석스페이스셔틀의앞전을모델로쌍곡선단면의축대칭형상에대한극초음속희박유동을해석하였다. 자유류조건은 M=25.3, Re=170, Kn=0.227, Tw=223K, T =560K이다 [7]. 스페이스셔틀앞전의형상은축대칭쌍곡면이며격자계는 51 81개의격자점을갖는정렬격자로구성하였다. Fig. 1. 에 N-S 방정식과 GH 방정식으로계산한밀도및온도분포를비교하여도시하였다. Fig. 1에서, 다화학종 GH 방정식의해가밀도및온도분포가더넓은영역에걸쳐퍼져있음을알수있다. 이는분자간충돌이충분치않은희박유동의특성상비평형효과가커져유동에급격한물성치변화가일어나기보다점진적으로변화가일어나기때문이다. 또한밀도분포가로그척도 4.2 구형상물체주위의극초음속희박유동해석구형상물체의후류해석을통해다화학종GH 방정식의정확도를검증하였다. 구형상문제의자유류조건은 M=11.25, Re=15.16, Kn=0.078, Tw=600K, T =22.8K이다 [8]. 후류가있는경우수렴성이좋지않은관계로, 97 161개의총격자수를갖는영역을 8개로분할하여병렬화를수행하였다. Fig. 4에구형상주변의밀도및온도분포를도시하였다. 다화학종 GH 방정식의결과가 N-S 방정식의결과보다더넓은영역에걸쳐밀도와온도가퍼져있음을알수있다. 이는앞서기술한바와같이희박유동의비평형성을반영하는데 GH 방정식이유리함을보여주는결과라고할수있다. 또한후류영역에서다화학종 GH 방정식은 N-S 방정식보다더낮은온도분포를보여주고있는데, 이것은밀도가낮은경우화학반응이더적은빈도로일어나발열반응으로인한온도증가가작음을반영하는것으로볼수있다.
jjm e#4# d 89 Ò N-S N-S GH GH Fig. 4 Density(left, log-scale) and temperature distributions around the sphere Fig. 6 Normalized temperature distribution along the symmetric axis of the sphere geometry. Fig. 5 Normalized density distribution along the symmetric axis of the sphere geometry 정확도를살펴보기위해정체유선상의밀도및온도분포를비교하였다. Fig. 5에밀도, Fig. 6에온도분포를도시하였다. 두그림을살펴보면, 다화학종 GH 방정식에 Maxwell-Smoluchowski 경계조건을사용한결과가DSMC 결과에가장근접하는분포를보여주고있음을알수있다. 다만분포의시작위치및최댓값은다소차이가존재하는데, 이는 GH 구성식의유도과정에서 Chapman-Enskog 확장의 1계근사값을도입한영향, 수치기법상의오차등을원인으로짚을수있을것이다. 대부분의기체역학적접근방법은정확도측면에서 DSMC와같은분자동역학적접근방법에미치지못하는근본적인원인도무시할수없을것이다. 결론적으로다화학종 GH 방정식은정성적으로 N-S 방정식보다물리적으로더타당한결론을도출하였고, 정량적으로는정확도측면에서개선해야할점이남아있다고할수있다. Fig. 7 Reentry body geometry 4.3 재돌입물체주위의극초음속희박유동해석재돌입물제주위에서발생하는높은희박도의유동을해석함으로써다화학종 GH 방정식의효용을검토하였다. 자유류조건은 M=23.47, Re=155.5, Kn=0.2238, Tw=1000K, T =211.1K이다 [9]. 재돌입물체의형상은 Fig. 7에도시한바와같으며, 격자계는 65 129개의격자점을갖는정렬격자를사용하였다. 역시후류유동이존재하여수렴성이좋이않은관계로 8개의영역으로나누어병렬화를수행하였다. Fig. 8과 Fig. 9에각각재돌입물체주위의밀도및온도분포를 N-S 결과와 GH 결과를비교하여도시하였다. 두그림에서도역시재돌입물체의앞쪽에서다화학종 GH 결과가밀도와온도의분포가넓게퍼져있음을확인할수있다. 또한후류부분에서 GH 방정식의결과가더낮은온도분포를
90 Ò e#4# d jjm Fig. 10 Normalized density distribution at the selected wake positions of the reentry body Fig. 8 Normalized density distribution around the reentry body Fig. 11 Normalized temperature distribution at the selected wake positions of the rentry body Fig. 9 Normalized temperature distribution around the reentry body 보이고있으며, 특히밀도가극히낮은뒷면의벽면부근에서 온도차이가심하게나고있음을알수있다. 이는벽면에서 의 slip 경계조건을동일하게적용하여도 N-S 방정식은경계 조건의영향을전체유동에전달하는데에불리함을나타낸다고볼수있을것이다. 보다정량적인비교를위하여후류부분특정위치에서의밀도및온도분포를비교하였다. Fig. 10와 Fig. 11에각각밀도와온도분포를도시하였다. 두그림에서도앞서와마찬가지로다화학종 GH 방정식의결과가 N-S 방정식의결과보다 DSMC의결과에더가깝게접근하고있음을확인할수있다. 특히 Fig. 11에서볼수있듯재돌입물체의뒷면표면근처에서는 DSMC와 N-S 방정식이전혀다른경향성을보이는것을알수있다. 곧, DSMC는벽면에가까워질수록온도가낮아지는데반하여, N-S 방정식은벽면에가까워질수록온 도가높아지고있다. 반면, GH 방정식의결과는벽면에가까워질수록온도가낮아지는경향이나타나DSMC와유사한경향을보여주고있다. 따라서, GH 방정식이 N-S 방정식보다물리적측면에서더부합하는성질을갖고있다고할수있을것이다. 한편, 다화학종 GH의결과에서도아직 DSMC 만큼의정확성을기하지못하는것도발견할수있는데, 이는앞서서술한바와같이 GH 구성식을유도하는과정에서 Chapman-Enskog 확장의 1계가정을도입한것이하나의이유가될수있을것이다. GH 방정식의정성적특성이 N-S 방정식보다뛰어남을전제로, 보다정확성이높은 GH 방정식의개발및이에상응하는높은수준의수치기법의개발이향후조속한시일내에이루어져야할것이다. Fig. 12는재돌입물체의표면을따라표면에서의압력계수를로그척도에따라도시한것이다. 그림에서알수있듯이, 재돌입물체의코너부분에서급격한압력의저하가일어나게된다. 이후후류에서는밀도와압력이급격히저하된상태이므로강한비평형성이나타난다. Fig. 12에서도 Maxwell-Smoluchowski 경계조건을사용한다화학종 GH 방정식이후류에서가장낮은압력분포를예측하고있으며, 이는 DSMC 결과에가장가까운결과임을알수있다. 압력분포가로그척도임을감안할때, 재돌입물체의뒷면에서 GH 방정식이 N-S 방정식보다훨씬정확성이높음을확인할수있다. 결론적으로희박극초음속유동의해석문제를통해다화학종 GH 방정식이정성적으로 DSMC에근접한결과를보여
jjm e#4# d 91 Ò 볼때보다정확성을높이기위한노력이필요함을확인할수있었다. GH 구성식의유도과정에서정확성을높이기위한노력이이루어지고향후보다좋은 CFD 기법의적용이이루어진다면, 본논문에서개발된다화학종 GH 방정식은극초음속희박유동해석자로서여러분야에서활용될수있을것이다. 후기본연구는 2008년도두뇌한국 21사업과항공우주신기술연구소의지원으로수행되었으며, 또한한국과학재단을통해교육과학기술부의우주기초원천기술개발사업 (NSL, National Space Lab) 의지원으로수행되었습니다 (S10801000121-08A0100-12110). Fig. 12 Log-scale pressure coefficient distribution on the reentry body surface 주고있으며희박유동의물리적특성을 N-S 방정식보다더 잘반영하고있음을확인할수있었다. 정량적측면에서다화 학종 GH 방정식은 N-S 방정식결과보다 DSMC 에가까운결 과를보였으나, 향후정확성의제고를위한여러가지개선점 이남아있음을알수있었다. 5. 결론 본논문에서는 Eu 의 GH 이론을토대로다화학종으로구 성된극초음속희박유동을해석하기위한기법을구현하였다. 기존의이원자분자기반의단화학종 GH 방정식과단원자 분자기반의다화학종 GH 방정식을결합하여이원자분자와 단원자분자를모두포함하는일반적인다화학종 GH 방정식 을유도하였다. 이과정에서이원자분자를위한 excess normal stress 를고려하고, 분자간충돌과열적원인으로초래 되는확산플럭스를고려하여 GH 구성식을유도하였다. 일반 적인다화학종 GH 구성식의해를구하기위한수치기법을 도입하고, 최종적으로축대칭형태의 GH 방정식을유도하였 다. 이러한축대칭다화학종 GH 방정식을기반으로극초음속 희박유동의해석을위한해석자를개발하였으며, 이를여러 검증문제에적용하였다. 스페이스셔틀앞전유동, 구형상 물체주위의유동, 재돌입물체주위의유동을해석한결과, 다화학종 GH 방정식은 N-S 방정식에비해 DSMC 에월등히 근접하는결과를도출하였다. 정성적으로희박유동의낮은밀 도와불충분한충돌로인한높은수준의비평형성을반영할수있었다. 정량적으로도다화학종 GH 방정식은 N-S 방정식보다우수한결과를보여주었다. 다만, DSMC 결과에비추어 참고문헌 [1] 1992, Eu, B.C., Kinetic Theory and Irreversible Thermodynamics, Wiley, New York. [2] 2002, Eu, B.C., Generalized Thermodynamics: The Thermodynamics of Irreversible Processes and Generalized Hydrodynamics, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. [3] 1970, Chapman, S. and Cowling, T.G., The Mathematical Theory of Nonuniform Gases, Cambridge University Press. [4] 2004, Myong, R.S., "A Generalized Hydrodynamic Computational Model for Rarefied and Microscale Diatomic Gas Flows," Journal of Computational Physics, Vol.195, pp.655-676. [5] 2007, 안재완, 이준석, 홍우람, 김종암, 이원자 GH 방정 식을통한극초음속희박유동해석, 2007 항공우주학회 춘계학술대회. [6] 1994, Beskok, A. and Karniadakis, G.E., "Simulation of Heat and Momentum Transfer in Complex Microgeometries," Journal of Thermophysics and Heat Transfer, Vol.8, No.4, pp.647-655. [7] 1995, Boyd, I.D., Chen, G. and Candler, G.V., "Predicting Failure of the Continuum Fluid Equations in Transitional Hypersonic Flows," Physics of Fluids, Vol.7, No.1, pp.210-219. [8] 1992, Dogra, V.K., Wilmoth, R.G. and Moss, J.N., "Aerothermodynamics of a 1.6-Meter-Diameter Sphere in Hypersonic Rarefied Flow," AIAA Journal, Vol.30, No.7, pp.1789-1794. [9] 1995, Dogra, V.K., Taylor, J.C. and Hassan, H.A., "Blunt Body Rarefied Wakes for Earth Entry," Journal of Thermophysics and Heat Transfer, Vol.9, No.3, pp.464-470.