집합 집합 오른쪽 l 3. (1) 집합 X 의각원소에대응하는집합 Y 의원소가단하나만인대응을 라할때, 이대응 를 X 에서 Y 로의라고하고이것을기호로 X Y 와같이나타낸다. (2) 정의역과공역정의역 : X Y 에서집합 X, 공역 : X Y 에서집합 Y (3) 의개수 X Y

Size: px

Start display at page:

Download "집합 집합 오른쪽 l 3. (1) 집합 X 의각원소에대응하는집합 Y 의원소가단하나만인대응을 라할때, 이대응 를 X 에서 Y 로의라고하고이것을기호로 X Y 와같이나타낸다. (2) 정의역과공역정의역 : X Y 에서집합 X, 공역 : X Y 에서집합 Y (3) 의개수 X Y"

영용 도
6 years ago
Views:

1 어떤 다음 X 대응 1. 대응 (1) 어떤주어진관계에의하여집합 X 의원소에집합 Y 의원소를짝지어주는것을집합 X 에서집합 Y 로의대응이라고한다. l (2) 집합 X 의원소 에집합 Y 의원소 가짝지어지면 에 가대응한다고하며이것을기호로 와같이나타낸다. 2. 일대일대응 (1) 집합 A 의모든원소와집합 B 의모든원소가하나도빠짐없이꼭한개씩서로대응되는것을집합 A 에서집합 B 로의일대일대응이라고한다. (2) X Y 라할때, 즉집합 X 의원소의개수가 개이고, 집합 Y 의원소의개수가 개일때, 집합 X 에서집합 Y 로의일대일대응의개수는 1. 1) 관계에의하여집합 X 의원소에집합 Y 의원소를짝지어주는것을 X 에서 Y 로의 ( ) 이라한다. 2. 2) 에 가대응하는것을기호로 ( ) 와같이나타낸다. 3. 3) 쓰시오. 4. 4) 그림의대응에서집합 X 의원소 에대응하는 Y 의원소를차례로, Y 일때, X 의원소 에 Y 의원소 를 는 의약수의개수이다. 인관계로대응시킬때, Y 의원소 에대응하는 X 의원소 를구하시오. X Y

2 집합 집합 오른쪽 l 3. (1) 집합 X 의각원소에대응하는집합 Y 의원소가단하나만인대응을 라할때, 이대응 를 X 에서 Y 로의라고하고이것을기호로 X Y 와같이나타낸다. (2) 정의역과공역정의역 : X Y 에서집합 X, 공역 : X Y 에서집합 Y (3) 의개수 X Y 일때, X Y 로의의개수는 개이다. (4) 함숫값 1 X Y 에서 X 의원소 에대응하는 Y 의원소 가있을때, 이대응관계를 와같이나타낸다. * 변수 에서 와 를 의변수라고한다. 2 함숫값 X Y 에서 X 의원소 에대응하는 Y 의원소 를 에서의함숫값이라고한다. (5) 치역 X Y 에서 의각원소에대응하는함숫값전체의집합을 의치역이라한다. 5. 5) X 의모든원소와집합 Y 의모든원소가하나도빠짐없이꼭한개씩 서로대응하는것이 X 에서 Y 로의 ( ) 이다. 6. 6) X 에서집합 Y 로의를기호 ( ) 와같이나타낸다. 7. 7) X Y 에서집합 X 를의 ( ), 집합 Y 를 의 ( ) 이라고한다. 8. 8) 그림과같이대응하는 X Y 에대하여 다음을구하시오. (1) 정의역 X Y (2) 공역 - 2 -

3 두 변 배포 * helpmemath 작성자 * 배포 * helpmem ath * 작성자 * 9. 9) 집합 X Y 일때, 집합 X 에서 Y 로의의 개수를구하시오. 10. 다음보기중집합 에서집합 로의인것을모두고르시오.10) < 보기 > * 11. 다음보기의그래프중인것을모두고르시오.11) < 보기 > 12. 다음보기중두집합, 에대하여 에서 로의 인것을모두고르시오.12) ㄱ. ㄷ. < 보기 > * ㄴ. ㄹ

4 X X 집합 13. 집합 와실수전체의집합 에대하여 에서 로의 두 g 가다음보기와같을때, 보기중두 g 가서로같은것을모두고른것은?13) < 보기 > ㄱ. g ㄷ. g ㄴ. g 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄷ 5 ㄴ, ㄷ ) Y 이고, X Y 일때, 다음물음에답하시오. (1) 정의역과공역을구하시오. (2) X Y 로의의개수를구하시오. (3) 인관계로대응시키면 에대응되는 의값을구하시오 ) Y 일때, 다음물음에답하시오. (1) 집합 X 에서집합 Y 로의일대일대응은몇가지를만들수있는가? (2) X Y 는몇가지를만들수있는가? ) X 는자연수 일때, 다음중인 것은? ( 단, X Y ) 의약수 ) 4 5 의배수 - 4 -

5 X X 정의역이 X X ), Y 는자연수 가있다. X Y 가 일때, 이의정의역과공역을원소나열법으로쓰시오 ) 에대하여다음함숫값을구하시오. (1) (2) (3) 일때, 의값 ) 이고, Y 인 X Y 에서 의약수의개수 ) 일때, 다음중옳은것을모두고르면? ) X Y 가 로정의되고 일때, 의값을구하시오 ) X, 공역이 Y 인 에서 의값을구하시오 ), Y 인 X Y 에서 일때, 의값을구하시오 ), Y 에대하여 X Y 에서 인관계에있을때, 다음을원소나열법으로나타내시오. (1) 정의역 (2) 공역 (3) 치역 ) X Y 의치역을 Z 라고할때, 다음중옳은것은? 1 X Z 2 Z X 3 X Y 4 Z Y 5 Y Z - 5 -

6 밑변의 집합 ) 길이가 cm, 높이가 cm 인삼각형의넓이를 cm 라한다. 에 를대응시킨를 라고할때, 다음물음에답하시오. (1) 를 에식으로나타내시오. (2) 정의역이 일때, 의치역을구하시오 ) X 에서의 의치역이 일때, 정의역 X 를구하시오. 27. 다음의정의역과치역을각각구하시오.27) (1) (2) (3) (4) 28. 두집합, 는실수 에대하여 에서 로의 의치역을구하시오.28) 29. 의치역이 일때, 정의역을구하시오.29) 30. 두집합, 에대하여 에서 로의의개수를구하시오.30) 31. 두집합 는정수에대하여 에서 로의 가 g 이다. g 일때, 실수 의곱 의값을구하시오.31) 32. 집합 에서실수전체의집합 로의두, g 에대하여 g가되도록하는집합 의개수를구하시오.32)( 단, ) - 6 -

7 변 배포 * helpmemath 작성자 * 여러가지 4. 여러가지 (1) 일대일와일대일대응 : 에서 1 일대일 : 임의의 에대하여 이면 인 * 일때일대일의개수는 개이다.( 단, 2 일대일대응 : 일대일이고치역과공역이같은 * 일때일대일대응의개수는 개이다. (2) 항등와상수 : 에서 1 항등 : 이고임의의 에대하여 인기호로는 를주로사용한다. 2 상수 : 치역의원소가하나인로 인 l 33. 다음보기의중일대일대응, 항등, 상수를각각고르시오.33) < 보기 > * 34. 집합 에대하여다음보기중집합 에서집합 로의 가일대일대응인것과항등인것을각각고르시오.. 34) ㄱ. ㄷ. < 보기 > ㄴ. ㄹ

8 배포 * helpmemath * 작성자 * 35. 아래보기의의그래프에대하여다음물음에답하시오. ( 단, 정의역과공역은실수전체의집합 )35) < 보기 > * (1) 일대일대응의그래프를고르시오.. (2) 항등의그래프를고르시오.. (3) 상수의그래프를고르시오 실수전체의집합 에서 로의의그래프중일대일대응의그래프인것은?36) 37. 두집합 에대하여 에서 로의의개수를, 일대일대응의개수를 라할때, 의값을구하시오.37) 38. 의대응관계가다음과같다. 다음보기중옳은것을모두고르면?38) < 보기 > ㄱ. 는상수이다. ㄴ. 는항등이다. ㄷ. 일대일대응인것은 2개이다. 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ - 8 -

9 39. 실수전체의집합에서정의된두 가있다. 는항등이고, 는상수이며, 이다. 이때, 두 의 그래프와 축으로둘러싸인부분의넓이를구하시오.39) 40. 집합 에서집합 로의 가일대일대응일대, 의값을모두구하시오. 40)( 단, 는상수 ) 41. 실수2 전체의집합 에서 로의 가 로정의되고일대일대응일때, 의값의범위를구하시오. 41) - 9 -

10 합성 5. 합성 1. 함성 : 두 의합성 는다음과같이정의한다. 2. 합성의성질 : 세 에대하여 1) 2) 3) 는항등 l 42. 두집합, 에대하여 두, 가다음그림과같이정의되어있을때, 합성, 에대하여다음을구하시오.42) (1) (2) 43. 실수전체의집합에서정의된두, 에 대하여다음을구하시오.43) (1) (2) (3) (4) (5) (6) 44. 세,, 에대하여 다음을구하시오. 44) (1) (2) (3) (4)

11 45. 에대하여 일때, 상수 의값을구하시오.45) 46. 일때, 의값을구하시오. 46) 47. 두 에대하여 일때, 양수 의값을구하시오.47) 48. 가 가유리수 가무리수 일때, 의값을구하시오.48) 49. 두 에대하여 이성립할때, 의값을구하시오.49) 50. 두, 에대하여다음을만족하는 를구하시오.50) (1) 를만족하는 (2) 를만족하는 51. 두, 에대하여, 를구하고 임을확인하시오.51) 52. 두 에대하여 가성립할때, 상수 의값을구하시오. 52) 53. 두, 가 를만족할때, 의값을구하시오. 53)( 단, )

12 ( 54. 세,, 에대하여, 를구하고 임을확인하시오.54) 55. 일때, 의값을구하시오.55) 56. 실수전체의집합에서정의된 가 을만족할때, 을구하시오.56) 57. 에대하여 를 로나누었을때의 나머지를구하시오.57) 58. 두, 의그래프가오른쪽그림과같을때, 의값을구하시오.58) 59. 오른쪽그림은두 와 의그래프이다. 합성 를, 를,, 를 로나타낼때, 의값은? 59) 단, 은자연수 )

13 배포 * helpmem ath * 작성자 * 역 6. 역 1. 역의정의 : 가일대일대응일때, 의원소 에대하여 가되는 를대응시키는를 의역라하고, 다음과같이나타낸다. 2. 역를갖기위한조건 : 일대일대응이어야한다. 3. 역구하는법 : 와 를바꾸어서 에대하여푼다. * 주의!!! 역를구할때는정의역과치역에주의한다. 의정의역은 의치역으로!!! 의치역은 의정의역으로!!! 4. 역의성질 : 1) 2) 3) 4) 5. 역의그래프 : 1) 와 는직선 에대하여서로대칭이다. 2) 와, 의그래프의교점은일치한다. * 와 의교점을구할때는 와 또는 와 의교점을구하면편할때가많다. l 60. 다음보기의중역가존재하는것을모두고르시오..60) < 보기 > *

14 배포 * helpmem ath * 작성자 * 61. 다음보기의가실수전체의집합 에서 로의일때, 역가존재하는것을모두고르면?61) ㄱ. ㄴ. ㄷ. < 보기 > * ` 변 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 62. 가오른쪽그림과같이정이될때, 다음값을구하시오.62) (1) (2) (3) (4) 63. 다음의역를구하시오.63) (1) (2) 64. 다음물음에답하시오.64) (1) 두 에대하여, 일때, 상수 의값을구하시오. (2) 의역를 라할때, 의값을구하시오

15 배포 * helpmem ath * 작성자 * 65. 두, 이고 일때, 의값을구하시오.65) ( 단, 는상수 ) 66. 와그역 가서로같을때, 상수 의값을구하시오.66) 67. 의역가 일때, 상수 의곱 를구하시오.67) 68. 실수전체의집합에서정의된일대일대응인세 에대하여 다음보기중옳은것을모두고른것은? ( 단, 는항등 )68) ㄱ ㄴ ㄷ * < 보기 > ㄹ 이면 1 ㄱ ㄴ 2 ㄴ ㄹ 3 ㄱ ㄴ ㄷ 4 ㄱ ㄷ ㄹ 5 ㄴ ㄷ ㄹ 69. 두, 에대하여 의 값을구하시오.69) 70. 두 에대하여 를만족하는상수 의값을구하시오.70) 71. 두 와일차 에대하여 일때, 를구하시오.71)

16 72. 세 에대하여 를만족할때, 의값을구하시오.72) 73. 에서 의그래프가그림과같고 일때, 의값을구하시오.73) 74. 의그래프가오른쪽그림과같다. 의 역를 라할때, 다음중 의그래프는?74) 에서정의된 와 의그래프가오른쪽그림과같다. 의역를 라할때, 의값은?75) 에대하여 의그래프와 그역 의그래프의교점의좌표가 일때, 상수 의합 의값을구하시오.76)

17 정답및풀이 1) 정답대응 2) 정답 12) 정답ㄱ ㄷ ㄴ 일때, 이므로가아니다. ㄹ 일때, 일때, 이므로가아니다. 따라서, 에서 로의인것은ㄱ ㄷ이다. 3) 정답 13) 정답 4 4) 정답 X Y ) 정답 (1) 정의역, 공역 (2) (3) 15) 정답 (1) (2) 16) 정답 1, 4 5) 정답 6) 정답 X Y 17) 정답정의역, 공역 18) 정답 (1) (2) (3) 7) 정답정의역, 공역 19) 정답 3, 4 8) 정답 (1) (2) 공역 : 20) 정답 9) 정답 개 21) 정답 10) 정답ㄱ ㄴㄷ 정의역의원소 에대응하는공역의원소가없으므로가아니다. ㄹ 정의역의원소 에공역의두원소 가대응하므로가아니다. 따라서 에서 로의인것은ㄱ ㄴ이다. 22) 정답 23) 정답 (1) (2) (3) 24) 정답 4 11) 정답ㄱ, ㄷ, ㅂ 주어진각그래프위에직선 ( 는상수 ) 를그어 교점이 개인것을찾는다. 25) 정답 (1) (2) 26) 정답 27) 정답풀이참조 (1) 정의역 : 인모든실수 치역 : 인모든실수 (2) 정의역 : 는모든실수 치역 : 는모든실수 (3) 정의역 : 는모든실수

18 치역 : 인실수 (2) 정의역 : 는모든실수 치역 : 인실수 28) 정답 이므로 따라서치역은 이다. 항등인것은ㄴ이다. (3) 상수는함숫값이일정하므로ㄱ이다. 36) 정답 3 치역과공역이같고, 치역의각원소 에대하여 축에평행한직선 와오직한점에서만나야하므로일대일대응의그래프인것은 3이다. 29) 정답 일때, 일때, 일때, 일때, 따라서, 정의역은 이다. 30) 정답 집합 의원소 에대응할수있는집합 의원소는 중하나이므로 가지그각각에대하여집합 의원소 에대응할수있는집합 의원소는 중하나이므로 가지그각각에대하여집합 의원소 에대응할수있는집합 의원소는 중하나이므로 가지따라서집합 의각원소에집합 의원소가하나씩만대응하도록대응시키는방법은 ( 가지 ) 따라서구하는의개수는 이다. 37) 정답. 이므로 38) 정답 2 ㄱ. 정의역과공역이같고,,, 이므로 는항등이다. ㄴ.,, 이므로 는상수이다. ㄷ. 일대일대응인것은, 의 개이다. 39) 정답 는항등이므로 는상수이고 이므로 따라서두의그래프는오른쪽그림과같으므로두 의그래프와 축으로 둘러싸인부분의넓이는 31) 정답 32) 정답 집합 의임의의원소 에대하여 이어야하므로 또는 또는 즉, 집합 는집합 의공집합이아닌부분집합이다. 따라서구하는집합 의개수는 33) 정답일대일대응은ㄱ ㄷ ㄹ, 항등는ㄱ, 상수는ㄴ이다. 34) 정답일대일대응 : ㄱ, ㄴ, 항등 : ㄱ 35) 정답 (1) ㄴ ㄷ (2) ㄴ (3) ㄱ (1) 정의역과공역이같고정의역의서로다른원소에대응하는함숫값이다르므로ㄴ ㄷ이일대일대응이다. (2) 임의의실수 에대하여 이어야하므로 40) 정답 또는 가일대일대응이면증가이거나감소이다. i 가증가이면그그래프의기울기 는 이어야하므로주어진정의역과공역에서일대일대응인 의그래프는 이어야한다. ᄀ ᄂᄀ, ᄂ에서 ii 가감소이면그래프의기울기 는 이어야하므로주어진정의역과공역에서일대일대응인 의그래프는 이어야한다. ᄃ ᄅᄃ, ᄅ에서, 그러므로 의값은 또는 이다. 41) 정답

19 주어진가일대일대응이되려면 ( 치역 )( 공역 ) 이고, 정의역의각원소에대응하는함숫값이서로달라야하므로일대일대응인는증가또는감소이다. 그런데 일때 은 값이증가할때 의값이증가하는형태로기울기가양수이므로 일때도 의그래프의기울기가양수이어야한다. 따라서 에서 45) 정답 이므로 에서 42) 정답 (1) (2) (1) (2) 43) 정답 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 이므로 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 44) 정답 (1), (2), (3), (4) (1) 를구하면 ᄀ ᄀ (2) 를구하면 ᄀ ᄀ (3) (4) 46) 정답 이므로 47) 정답 따라서 이므로 또는 그런데 이므로 48) 정답 은무리수이므로 은유리수이므로 49) 정답 이므로 에서, 이때, 이므로 50) 정답 (1) (2) (1) 이므로 는 ( ) 과 을주어진식에 대입하면 (2) 이므로 는 과 을주어진식에 대입하면 로놓으면 ᄀ

20 이를ᄀ에대입하면 대신 를대입하여 를구하면 51) 정답풀이참조 52) 정답 이때, 이므로 53) 정답 와 를각각구하면 이므로 이때, 이므로 ᄀ ( ᄀ ) 54) 정답풀이참조 55) 정답 에서 로놓으면, 이를 에대입하면, [ 다른풀이 ] 로놓으면 이를 에대입하면 또, 로놓으면 이를 에대입하면 56) 정답 이를 에서 로놓으면 에대입하면 이때, 대신 을대입하면 57) 정답 를 로나누었을때의나머지는

21 63) 정답 (1) (2) 58) 정답 의그래프를이용하여 축과점선이만나는점의 좌표를구하여표시하면위의그래프를이용하여 의값을구하면 이므로 59) 정답 5 의그래프를이용하여 축과점선이만나는점의 좌표를구하여표시하면오른쪽그림과같다. 60) 정답ㄱ ㄷ역가존재하려면가일대일대응이어야한다. 따라서일대일대응인것은ㄱ ㄷ이다. 61) 정답 1,, 의그래프가다음과같다. (1) 은실수전체의집합에서일대일대응이므로역가존재한다. 에서 를 에대한식으로나타내면 와 를서로바꾸면구하는역는 (2) 은 인범위에서일대일대응이므로역가존재한다. 또, 은 에서 이다. 에서 를 에대한식으로나타내면 이므로 와 를서로바꾸면구하는역는 64) 정답 (1) (2) (1) 에서역의정의에의해 이를 에대입하면 또, 이므로 (2) 의역가 이므로 (는상수0라하면 이므로 따라서 의값은 따라서집합 에서 로의일대일대응인것은 이므로역가존재하는것은ㄱ뿐이다. 62) 정답 (1) (2) (3) (4) (1) 는 의원소 2에대응하는 의값이므로 1이다. (2) 는 의원소 2에대응하는 의값이므로 3이다. (3) (4) 65) 정답 에서역의정의에의해 이를 에대입하면 이므로 이때, 이므로 (는상수 ) 라하면 66) 정답 는실수전체의집합에서일대일

22 대응이므로역가존재한다. 로놓고 를 에대한식으로나타내면 와 를서로바꾸면역는 이때, 이므로 ± ± 이를ᄀ에대입하면 ± ± 에서 의값을구하면 ±, 67) 정답 의역가 이다. 에서 를 에대한식으로나타내면 와 를서로바꾸면역는 이때, 이므로 68) 정답 2 ㄱ 일반적으로합성의교환법칙은성립하지않는다. ( 거짓 ) ㄷ ( 거짓 ) 따라서, 옳은것은ㄴ ㄹ이다. 69) 정답 라하면, 이므로 70) 정답 이므로주어진식을변형하면 이므로 ᄀ (는상수 ) 라하면 71) 정답 의역가존재하므로 에서 으로놓으면 와 를서로바꾸면 따라서 이므로 [ 다른풀이 ] 에서, 72) 정답 이므로 를구하면 에서 ( 는상수 ) 라하면 역의정의에의해 73) 정답 에서 이므로 [ 다른풀이 ] 주어진그래프에서 라하면 이므로주어진그래프에서 74) 정답 3 의그래프는 의그래프를직선

23 에대하여대칭이동한것이므로옳은것은 3 이다. 75) 정답 4 의그래프를이용하여 축과점선이만나는 점의좌표를구하여표시하면 오른쪽그림과같다. 이때, 이므로 ( 는상수 ) ( 값은 라하면 를만족하는 의 ( 는상수 ) 라하면 ( ) 를만족하는 의값은 76) 정답 의그래프와그역가 의그래프는직선 에대하여대칭이므로오른쪽그림과같다. 따라서두, 의그래프의교점의좌표는, 이므로

일반각과호도법 l 삼각함수와미분 1. 일반각 시초선 OX 로부터원점 O 를중심으로 만큼회전이동한위치에동경 OP 가있을때, XOP 의크기를나타내는각들을 ( 은정수 ) 로나타내고 OP 의일반각이라한다. 2. 라디안 rad 반지름과같은길이의호에대한중심각의 크기를 라디안이라한

일반각과호도법 l 삼각함수와미분 1. 일반각 시초선 OX 로부터원점 O 를중심으로 만큼회전이동한위치에동경 OP 가있을때, XOP 의크기를나타내는각들을 ( 은정수 ) 로나타내고 OP 의일반각이라한다. 2. 라디안 rad 반지름과같은길이의호에대한중심각의 크기를 라디안이라한 일반각과호도법 l 1. 일반각 시초선 OX 로부터원점 O 를중심으로 만큼회전이동한위치에동경 OP 가있을때, XOP 의크기를나타내는각들을 ( 은정수 ) 로나타내고 OP 의일반각이라한다. 2. 라디안 rad 반지름과같은길이의호에대한중심각의 크기를 라디안이라한다. 3. 호도법과육십분법 라디안 라디안 4. 부채꼴의호의길이와넓이 반지를의길이가 인원에서중심각이 인 부채꼴의호의길이를