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1 목 차 제 1 장운동과에너지 1. 운동의기술 (1) 케플러의법칙 (1) 벡터 (2) 만유인력의법칙 (2) 등속직선운동 (3) 등가속도직선운동 5. 충돌 (1) 반발계수 2. 중력장내의운동 (2) 충돌에서운동에너지의변화 (1) 중력장내의직선운동 (3) 평면상에서의충돌 (2) 포물선운동 (3) 저항과운동 6. 열현상과 기체 분자의 운동 (1) 열현상 3. 원운동과단진동 (2) 기체분자의운동 (1) 등속원운동 (2) 구심력 7. 열역학 법칙 (3) 원심력 (1) 열역학제1법칙 (4) 단진동 (2) 열역학제2법칙 (3) 열기관 4. 만유인력의법칙 제 2 장전기장과자기장 1. 전기장 (1) 전자기력 (1) 마찰전기 (2) 자기장에서운동전하가받는힘 (2) 정전기유도 (3) 자기장내에서대전입자의운동 (3) 쿨롱의법칙 (4) 전자기유도 (4) 전기장과전기력선 (5) 전위와전위차 4. 교류 (1) 교류 2. 직류회로 (2) 교류회로 (1) 축전기 (2) 기전력과내부저항 5. 전자기파 (3) 직류회로에서의전류와전압 (1) 전기진동 (2) 전자기파 3. 자기장 - 1 -

2 제 1 장운동과에너지 원자에있는전자로부터하늘에있는별에이르기까지우주의모든물체들은운동하고있어요. 지상에서는사람과자동차들이 하늘에서는새와비행기들이 바다에서는물고기와배들이 운동을이해하는것은우리주위의세계가어떻게되어가는지를알아보는첫걸음이랍니다. 1. 운동의기술 (1) 벡터물체의이동거리는그크기만으로간단히나타내면되지만, 변위는크기만으로는완전히나타낼수없고방향도함께나타내야한다는것을물리 Ⅰ의 1-1에서공부했어요. 이와같이크기뿐만아니라방향도함께나타내는물리량을벡터 (vector) 또는벡터량이라고합니다. 벡터량에는변위 속도 힘등이있습니다. 한편, 물리량에는길이 질량 시간 속력등과같이크기만으로완전하게나타낼수있는것도있지요. 이와같이크기만으로나타내는물리량을스칼라 (scalar) 또는스칼라량이라고합니다. 그러면벡터는어떻게표시할수있을까요? 벡터를그림으 로나타낼때에는그림 1-1 과같이화살표로크기와방향을 그림 1-1 벡터의표시 나타내면됩니다. 그리고기호로표시할때는 F 와같이볼드체문자로나타내거나 문자위에방향을뜻하는화살표를붙여서나타내면됩니다. F 와같이 벡터의합성 : 무거운물체를들때혼자서는힘이들지만친구와함께들면수월하지요? 이 와같이한물체에두힘이작용할때, 이두힘과같은효과를나타내는한힘을찾아내는방법 에대해알아볼까요? F 1 F 2 - F 1 F 2 F = F 1 + F 2 F = F 2 - F 1 ( 가 ) 두벡터의방향이같은경우 ( 나 ) 두벡터의방향이반대인경우 그림 1-2 나란한두벡터의합성 - 2 -

3 그림 1-2의 ( 가 ) 와같이두벡터 F 1 과 F 2 가같은방향으로한물체에작용할때, 두벡터의합은각벡터의크기를더한것과같고합벡터의방향은두벡터의방향과같습니다. 그리고그림 ( 나 ) 와같이두벡터의방향이반대인경우의합벡터의크기는큰벡터에서작은벡터를뺀것과같고, 방향은큰벡터의방향과같지요. 그러면나란하지않은두벡터는어떻게합하면될까요? 우선, 나란하지않은두벡터를합성하는방법을알아보기전에그림 1-3 에서와같이벡터의방향을나타내는화살표의화살부분을 머리 라하고, 시작점을 꼬리 라고부른다는것을기억하는것이좋겠네요. F 2 F 1 F 1 F = F 1 + F 2 F = F 1 + F 2 그림 1-3 벡터의머리와꼬리그림 1-4 나란하지않은두벡터의합성 F 2 ( 가 ) 평행사변형법 ( 나 ) 삼각형법 한편, 한점 O 에어떤각을이루고있는두벡터를합성하려면그림 1-4 의 ( 가 ) 와같이두벡 터 F 1 과 F 2 를이웃변으로하는평행사변형을그리면그대각선이합벡터 F = F 1 + F 2 입 니다. 이때합벡터 F 의크기는대각선의길이이며, 방향은대각선의방향이랍니다. 이와같은 합성방법을평행사변형법이라고합니다. 그리고그림의 ( 나 ) 와같이벡터 F 2 를평행이동시켜 벡터 F 2 의꼬리가벡터 F 1 의머리에오게하면 F 1 의꼬리에서 F 2 의머리를연결하는화살 표가합벡터 F 가됩니다. 다음에는벡터의차를구하는방법을알아볼까요? 한벡터 F 1 에서다른벡터 F 2 를뻴때에 - F 2 F = F 1 - F 2 F 1 F = F 1 - F 2 F 1 - F 2 F 2 ( 가 ) 평행사변형법 ( 나 ) 삼각형법 그림 1-5 벡터의차 - 3 -

4 는그림 1-5에서와같이벡터 F 2 와크기가같고방향이반대인 - F 2 를그려서벡터 F 1 과 합성하면됩니다. 즉 F 1 - F 2 = F 1 +( -F 2 ) 가됩니다. 벡터의분해 : 벡터의합성과는반대로한개의벡터를두 개이상의벡터로나누는것을벡터의 분해라고하며, 분해된 벡터를성분 벡터라고합니다. 벡터를분해할때주어진벡터 를대각선으로하는평행사변형을그리면, 이때생기는이웃 한두변이성분벡터입니다. 벡터 F 를그림 1-6 과같이직 각좌표계를이용하여서로수직인성분 F x 와 F y 으로분해하면매우편리해요. 그러면그림에서두성분벡터의크기를쉽게이해할수있을거예요. 이때각성분벡터의크기는각각 F x = F cos θ, F y = F sin θ 그림 1-5 벡터의분해 이고, 주어진벡터 F 의크기는벡터의성분으로 F = F 2 x + F 2 y 으로나타낼수있고, tan θ = F y F x 의관계가있음을알수있을겁니다. 어린아기가동쪽으로 10m 를똑바로걸어갔다가다시서쏙으로 5m 를똑바로걸어갔다면, 이어린 아기가이동한거리와변위는각각얼마일까요? (2) 등속직선운동 등속직선운동을알아보기전에속도와가속도에대해다시한번정리해보는것이좋겠네요. 속도는운동의빠르기를방향을함께나타내는물리량으로다음과같이나타냅니다. 속도 = 변위걸린시간, v = x t 속도의단위는 m/s, km/h 등을사용하지요, 속도는속력에방향을포함시켜나타낸물리량으로속도의방향은변위의방향과같아요. 속도의크기 ( 속력 ) 가같아도운동방향이다르면속도는달라진다는것을알고있겠지요? 그리고가속도는단위시간 (1초) 에대한속도의변화량으로정의하며다음과같이나타냅니다

5 가속도 = 속도의변화량걸린시간, a = v 2 - v 1 t 2 - t 1 = Δ v Δt 가속도는속도를시간으로나누었으므로가속도의단위는 m/s 2 (= m/s s) 을사용한다는것은기억하고있겠지요? 가속도역시방향이있는물리량 ( 벡터 ) 이며, 가속도의방향은속도의변화와같 은방향입니다. 백화점이나지하철에서층계나엘리베이터대신그림 1-5 와같은 에스컬레이터를이용해본경험이있을거예요. 에스컬레이터는일 정한속력으로직선경로를오르내리면서사람을연속적으로운반 하지요. 그림 1-6은수평면위에서직선운동을하는공을 0.5초의일정한시간간격으로찍은다중섬광사진입니다. 이사진에서왼쪽에있는공을기준으로하여각각의공의위치를측정해보면 각구간사이의거리가일정한것을알수있어요. 이때각구간사이의거리는같은시간간격 동안이동한거리이므로공의속력과같지요. 즉공은일정한속도로운동하고있다는것을알 수있습니다. 이와같이물체의속도가일정한운동을등속직선운동또는등속도운동이라고 합니다. 그림 1-5 등속직선운동하는에스컬레이터 단위 : cm 그림 1-6 등속직선운동하는공의다중섬광사진 그림 1-6을분석하여구한공의속력과시간사이의관계를그래프로나타내보면그림 1-7과같은그래프를얻을수있습니다. 등속직선운동에서는속력이일정하므로물체가이동하는거리는시간에비례하여증가합니다. 따라서물체가일정한속도 v 로운동하는경우시간 t 동안이동한거리 s 는 로구할수있겠지요? 이식은다시 s = vt (1-1) v = s t 나타낼수있으며, 이식으로물체의속도를구할수있습니다. 등속직선운동에서이동거리와시간의관계그래프는그림 1-7 의 ( 가 ) 와같이기울기가일정 - 5 -

6 ( 가 ) 이동거리 - 시간의관계그래프 ( 가 ) 속도 - 시간의관계그래프 그림 1-7 등속직선운동의그래프 한직선이되고, 이직선의기울기가속도를나타낸답니다. 그리고속도와시간의관계그래프는 그림 ( 나 ) 와같이시간축에나란한직선이되며, 이직선과시간축사이의면적이곧이동거리 를나타냅니다. 매끈한수평면에서드라이아이스통을운동시키거나, 무거운볼링공을마찰이거의없는레일위 에서굴릴때공의운동은등속도운동으로볼수있을까요? [ 예제 ] 1. 다음그림 ( 가 ) 는수평방향으로 4m/s의속력으로날아가고있는공이 A점을지난후 3초후에벽의한점 B에충돌한다음반대방향으로같은속력으로운동하는것을나타낸것이다. 그리고그림 ( 나 ) 는이공의운동을 v - t 그래프로나타낸것이다. 다음물음에답하시오. ⑴ 속도에서 (+) 와 (-) 는어떻게다른것일까? ⑵ 그림 ( 나 ) 에서 x 1 =12m는무엇을나타내는가? 또 x 2 =-12 m 는무엇을나타내는가? ( 가 ) 공의운동 ( 나 ) v - t 그래프 풀이 ⑴ 운동방향이서로반대임을나타낸다. ⑵ x 1 은점 A 에서부터충돌전까지공이이동한거리를나타내고, x 2 는공이벽과충돌한후 점 A 까지이동한거리를나타낸다. 공의총이동거리는 24 m 임을알수있다

7 (3) 등가속도직선운동높은곳에서손에들고있던물체를가만히놓으면그속도가점점빨라지는것을알수있어요. 이처럼우리주위에는순간마다속도가변하는운동이대부분인데, 그중에는속도가일정한비율로증가하거나감소하는운동이많이있지요. 그림 1-8은비탈면은굴러내려가는공의운동을일정한시간간격으로찍은다중섬광사진입니다. 이사진을보면같은시간동안에공이굴러간거리가점점길어지는데이것은공의속도가매순간마다점점빨라졌다는것을의미하고각순간마다거리의차를구해보면그값이일정한데이것으로가속도가일정하다는것을알수있겠지요? 그림 1-8 빗면을굴러내리는공의다중섬광사진 ( 시간간격 0.4초 ) 빗면을굴러내리는공의운동과같이가속도가일정한직선운동을등가속도직선운동이라 고합니다. 그러면등가속도직선운동은어떻게기술할수있을까요? 그림 1-9 에서처럼초속도 v 0 =4m/s로달리는자동차가점 A를지날때부터일정한가속도 a =2m/s 2 으로속도가증가되었을때 3초후의속도는얼마로되는지알아봅시다. 자동차가점 A를지나는순간을 t =0라고하면, 초속도 4m/s와가속되어증가된속도를 더해주면나중속도 v 를얻을수있겠지요? 즉, v =4 m/s+2 m/s 2 3s=10m/s 가됩니다. 이관계를다음과같이식으로나타낼수있어요. v = v 0 + at (1-2) 그리고 3초동안자동차가이동한거리 s 는그림 1-9에서보면 21 m 인것을알수있지요? 그림 1-9 등가속도직선운동을하는자동차 - 7 -

8 ( 가 ) 나중속도를구할수있다. ( 나 ) 이동거리를구할수있다.( 색칠한부분의넓이 ) 그림 1-10 등가속도운동의 v - t 그래프 이값은그림 1-10 의속도 v 와시간 t 사이의관계그래프에서구할수있어요. 즉자동차가 3 초동안이동한거리는그림 ( 나 ) 의그래프에서색칠한부분의면적과같으며이것은다음과같이식으로나타낼수있어요. s =4 m/s 3s m/s2 (3 s) 2 =21m 가속에의해증가한거리등속도운동으로이동한거리이관계를식으로나타내면 s = v 0 t at 2 (1-3) 이됩니다. 이것은그림 1-10 의 ( 나 ) 의사다리꼴의넓이와같다는것을쉽게알수있을겁니다. 식 (1-2) 와 (1-3) 에서 t 를소거하면다음과같은관계식을얻을수있어요. v 2 - v 2 0 =2as (1-4) 이식은속도와이동거리사이의관계를나타내는식이랍니다. 등가속도운동은 1638년갈릴레이가처음으로발견하였는데그는빗면을굴러내리는공이일정한시간간격동안이동한거리를정확히측정하여가속도가일정하다는것을알아내었답니다. [ 예제 ] 2. 초속도 4m/s 로운동하는자동차가등가속도로운동하여 10 s 후에속도가 30 m/s 로되었다 (1) 이자동차의가속도는얼마인가? (2) 또이자동차가 10 초동안이동한거리는얼마인가? - 8 -

9 풀이 식 (1-2) 에서 a = v - v 0 t = 30 m/s- 4 m/s 10 s 식 (1-4) 에서 s = (30 m/s)2 -(4 m/s) m/s 2 = 170 (m) = 2.6 (m/s 2 ) 등가속도직선운동은가속도가일정한운동이므로등가속도운동을하는물체의속도는일정한비율로증가하거나감소합니다. 이운동의가속도와시간사이의관계그래프 ( a - t 그래프 ), 속도와시간사이의관계그래프 ( v - t 그래프 ), 거리와시간사이의그래프 ( s-t 그래프 ) 를종합하여나타내면다음표와같습니다. 이표를참고하여등가속도직선운동의특성을자세히조사해보기바랍니다. 표 1-1 등가속도직선운동의 a - t, v - t, s-t 그래프 - 9 -

10 2. 중력장내의운동 (1) 중력장내의직선운동 중력은지구라는거대한물체와지구표면상에있는물체를사이에작용하는만유인력이며, 중력의방향은언제나지구의중심을향한다는것을기억하고있을겁니다. 이처럼중력이미치 는공간범위를중력장이라고합니다. 중력장내에서낙하하는물체의중력에의한가속도를중 력가속도라하며 g 는약 9.8 m/s 2 이라는것도잘알고있겠지요? 중력가속도는지구어디 에서도일정합니다. 중력에의해나타나는직선운동은크게세가지로나눌수있어요. 자유낙하운동과연직아 래로던진물체의운동그리고연직위로던진물체의운동이바로그것이지요. 그럼먼저자유 낙하운동에대해서살펴볼까요. 1 자유낙하운동 손에들고있던물체를가만히놓아낙하시킬때처럼, 물체가정지상태로부터중력만을받으 면서낙하하는운동을자유낙하운동이라고합니다. 자유낙하하는물체의속도는일정하게증 가합니다. 이것은물체가낙하하고있는동안에도중력이계속작용하기때문이지요. 자유낙하 운동은등가속도운동의대표적인예입니다. 그림 1-11 의 ( 가 ) 는자유낙하하고있는오렌지를 1/30 초간격으로찍은다중섬광사진입니 다. 이사진에서각순간에서의오렌지의위치를비교해보면낙하거리가일정하게커지는것을 ( 가 ) 오렌지의자유낙하운동 ( 시간간격 1/30 초 ) ( 가 ) 자유낙하운동에서시간에따른속도와낙하거리 그림 1-11 자유낙하운동 알수있어요즉자유낙하하는물체의운동은시 간이지남에따라물체의속도가일정하게빨라지 므로등가속도직선운동을한다는것을알수있 습니다. 자유낙하운동의시간에따른속도와낙하거리 의관계는그림 ( 나 ) 와같이나타낼수있어요. 즉 이그림에서와같이물체의처음위치를원점으로 할때, 원점에서연직아래쪽으로향하는초속도 v 0 는 0 이고가속도가 g 인등가속도직선운동인 것을알수있지요. 그러면등가속도직선운동의 식 (1-2), (1-3), (1-4) 에 v 0 =0 와 a = g 그리고 s = y 를대입하면다음과같은자유낙하운동의식을얻을수있어요

11 v = v 0 + at v = gt (1-5) s = v 0 t at 2 y = 1 2 gt 2 (1-6) v 2 - v 2 0 =2as v 2 =2gy (1-7) 자유낙하운동의식을그래프로나타내보면그림 1-12 와같이됩니다. 앞에서본등가속도 직선운동의그래프와거의비슷하다는것을쉽게알수있겠지요? 자유낙하운동은가속도가일정하므로가속도-시간 (g- t ) 그래프는 x 축과평행한직선이 그려집니다. 또속도-시간 (v-t ) 그래프는 v 0 =0이고 t 에대한일차함수이므로원점에서시 작하는직선이그려지고기울기는가속도 g 가됩니다. 그리고낙하거리-시간 ( y- t ) 그래프는 t 에대한이차함수이므로아래로볼록한그래프가됩니다. y ( 가 ) 가속도 - 시간그래프 ( 나 ) 속도 - 시간그래프 ( 다 ) 낙하거리 - 시간그래프 그림 1-12 자유낙하운동의그래프 [ 예제 ] 3. 그림과같이높이가 70.0 m 인기울어진탑위에서공을자유낙하시켰다. 다음물음에답하여라. (1) 1.0초, 2.0초후의공의높이는얼마인가? (2) 공이지면에도달하는데걸리는시간과지면에닿는순간의속도는각각얼마인가? 풀이 (1) 1.0초동안공이낙하한거리는식 (1-6) 에서 y = 1 2 gt 2 == m/s 2 (1.0 s) 2 =4.9m 이므로 1.0 초후의공의지면으로부터의높이는 70 m m =75.1 (m) 또 2.0 초동안공이낙하한거리는 y = 1 2 gt 2 == m/s 2 (2.0 s) 2 = 19.6 m 이므로지면으로부터의높이는 70 m m = 50.4 (m) (2) 공이지면에도달하는시간은 y = 1 2 gt 2 에서 t = 2y g = m 9.8 m/s 2 = 3.8 (s) 또, 공이지면에도달하는순간의속도는식 (1-5) 에서 v = gt = 9.8 m/s s = 37.2 (m/s)

12 2 연직아래로던진물체의운동물체를던진다는것은물체에저음속도가주어진다는것을말합니다. 물체를공중에서던지고나면그물체에는외부에서작용하는다른힘이없으므로단지중력에의하여만낙하하게되지요. 그러면연직아래로던진물체의운동은자유낙하운동과는어떤차이점이있을까요? 그림 1-13 과같이어떤높이에서물체에초속도를주어낙하시켜보면이물체는자유낙하운동에서와같이등가속도직선운동을하는것을쉽게확인할수있어요. 이때물체를아래로던졌기때문에 (+) 값의초속도 v 0 를갖게됩니다. 따라서연직아래로던진 물체의운동의식은자유낙하의식에초속도 v 0 만추가하면되 므로다음과같이나타낼수있습니다. 그림 1-13 연직아래로던진물체의운동 v = v 0 + gt (1-8) y = v 0 t gt 2 (1-9) v 2 - v 2 0 =2gy (1-10) 3 연직위로던진물체의운동 야구공을연직위로던져올리면얼마동안위로올라가다가다시지면으로떨어지게됩니다. 그림 1-14 연직위로던진물체의운동 야구공이이러한운동을하는이유는무엇일까요? 이경우는앞에서설명했던두가지경우와약간구별이됩니 다. 앞의두경우에서는물체의운동방향이기준위치에대해 아랫방향이므로이방향을 (+) 로생각하였습니다. 그러나연직 위로던진물체의운동에서는이와반대로위쪽방향을 (+) 로 생각합니다. 그러기때문에이경우에는중력가속도의부호가 바뀌게되는겁니다. 이경우에도힘을가해물체를던졌으므로초속도 v 0 가주어 집니다. 그러나앞의두경우와는달리물체의운동방향이기준 점의위쪽이므로위쪽방향을 (+) 방향으로잡으면중력가속도 의방향은 (-) 가됩니다. 연직위로초속도 v 0 로던져올린물체의운동은그림 1-14 와 같이위로올라가면서속도가점점느려지다가최고높이에이르

13 면 0이됩니다. 그리고물체는최고점에서순간적으로정지하였다가이때부터는자유낙하운동을하게됩니다. 그리고물체가기준점에도달할때는속도의크기는던질때의초속도와같지만방향이반대인 - v 0 의속도로떨어지게됩니다. 이것은물체가낙하하는동안중력이아랫방향으로작용하였기때문이지요. 따라서물체의가속도는 - g로생각할수있어요. 그러므로물체를던진위치를기준점으로하고초속도를 v 0, 시간 t 초후의속도를 v, 연직 거리를 y 라고하면연직위로던진물체의운동의식은 v = v 0 - gt (1-11) y = v 0 t gt 2 (1-12) v 2 - v 2 0 =-2gy (1-13) 이됩니다. 이운동에서가속도-시간 (g-t ), 속도-시간 ( v - t ), 위치-시간 ( y- t ) 사이의관계그래프를그리면그림 1-15 와같습니다. t 1 ( 가 ) 가속도 - 시간그래프 ( 나 ) 속도 - 시간그래프 ( 다 ) 위치 - 시간그래프 그림 1-15 연직위로던진물체의운동의그래프 가속도 g 는일정하며기준위치에대해음 (-) 의값을가지므로가속도-시간의관계그래프는그림 1-15( 가 ) 와같이음의값을갖는 x 축과나란한직선이됩니다. 그리고식 (1-11) 을약간변형하면 v =-gt+ v 0 가되므로, 속도-시간의관계그래프는그림 ( 나 ) 와같이기울기가 - g 로음의값을갖고, y 절편이 v 0 인직선이그려집니다. 이그래프에서알수있듯이물체가위 로올라갔다가다시내려왔을때의속도는던질때의속도와크기는같과방향이반대인 - v 0 가됩니다. 따라서물체가최고점에올라가는데걸리는시간을 t 1, 다시기준위치로왔을때의 시간을 t 2 라고하면 t 1 에서의속도는 0 이되므로 x 축과만나게되고, 물체는계속해서 t 2 까지 운동하게되므로그래프는 t 2 까지그려지게됩니다

14 한편, 식 (1-12) 을약간변형해보면 y =- 1 2 gt 2 + v 0 t 가됩니다. 이식을보면이차함수에 서최고차항의계수가음수이므로그래프는위로볼록한포물선의형태가되며, 물체가기준위치에서출발하였으므로변위는 0이되므로그래프의원점에서시작하게됩니다. 그리고속도가 0 이되는 t 1 이최고점이므로그래프의꼭지점이 t 1 에위치하게됩니다. 또한물체가시각 t 2 에기준위치로되돌아오므로 t 2 에서변위는 0이되며, 그래프는그림 ( 다 ) 와같이그려집니다. 그러면물체가최고점에도달하는데걸리는시간 t 1, 다시기준위치로돌아오는데걸리는 시간 t 2, 그리고최고점의높이 H 를구해볼까요? 먼저최고점에도달하는시간 t 1 은최고점에서의속도가 0 이라는점을이용하면 v =v 0 -gt 에서 v =0 이므로 t 1 = v 0 g (1-14) 가됩니다. 그리고물체가기준위치에돌아오는시간 t 2 는 v =v 0 -gt 에서 v=-v 0 이므로 기되네요. t 2 = 2v 0 g (1-15) 한편물체의최고높이 H 는 v =0 일때의높이이므로 v 2 - v 2 0 =-2gy 에서 y = H 로놓 고식을정리하면 이됩니다. H = v 2 0 2g (1-16) [ 예제 ] 4. 어떤물체를연직위로던졌더니그물체가올라간최고높이가 19.6 m 이었다. 다음물음에답 하여라. (1) 물체의초속도 v 0 는몇 m/s인가? (2) 이물체가높이 9.8 m/s 인곳을지날때의속도는 m/s인가? 풀이 (1) 최고점의높이 H = v 2 0 2g 에서 19.6 m = (2) v 2 - v 2 0 =-2gy 에서 v m/s 2 v 0 = 19.6 m/s v 2 - (19.6 m/s) 2 = m/s m v = 13.9 m/s

15 (2) 포물선운동야구경기에서타자가쳐낸공이포물선을그리면서날아가는것을보았을겁니다. 이처럼물체를공중에서수평으로던지거나비스듬히던져올리면초속도의방향과가속도의방향이같지않기때문에포물선운동을하게되는것입니다. 그러면포물선운동에대해알아볼까요? 1 수평방향으로던진물체의운동그림 1-16 의 ( 가 ) 에서공 A는자유낙하시키고동시에공 B는수평방향으로던진것을일정한시간간격으로찍은다중섬광사진이다. 이그림을보면중요한특징두가지를알수있어요. 하나는떨어지는모양새입니다. 공 A와같이자유낙하시킨경우나, 공 B와같이수평으로던진경우나같은시간동안아래로떨어진거리가같다는것입니다. 또다른하나는공 B가같은시간동안수평방향으로이동한거리가일정하다는것이지요. 즉수평방향으로던진공의운동은수평방향으로는등속도운동을하고연직아래방향으로는등가속도운동을한다는것을알수있습니다. ( 가 ) ( 나 ) 그림 1-16 수평방향으로던진물체의운동 수평방향으로던진물체가그림 ( 나 ) 의 P점에도달할때까지의시간을 t, P점에서의속도 v 의 x-성분과 y-성분을각각 v x, v y 라고하면 v x = v 0, v y = gt (1-17) 이므로시간 t 초후의속도 v 는다음과같이구할수있습니다. v = v 2 x + v 2 y = v 2 0 +(gt ) 2 (1-18) 또, 시간 t 동안물체가수평방향으로이동한거리 x 와연직방향으로낙하한거리 y 는각각

16 x = v 0 t, y = 1 2 gt 2 (1-19) 이고, 이식에서 t 를소거하면 y = g 2v 2 0 x 2 (1-20) 을얻을수있습니다. 이식을자세히살펴보면 y 는 x 의이차함수임을알수있어요. 즉수평 방향으로던진물체의운동경로는포물선임을알수있습니다. [ 예제 ] 5. 높이 490 m 인곳에서수평방향으로던진물체가던진곳에서수평방향으로 100 m 인곳에 떨어졌다면이물체가지면에떨어질때까지걸린시간은얼마인가? 또물체의초속도는얼마인가? 풀이 연직방향으로는자유낙하운동을하므로 y = 1 2 gt 2 에서 t = 그리고수평방향으로는등속도운동이므로 2y g = m 9.8 m/s 2 = 100s 2 =10(s) x =v 0 t 에서 v 0 = s t = 100 m 10 s =10(m/s) 2 비스듬히 위로 던진 물체의 운동 골프선수가공중으로멀리쳐낸공, 농구선수가골대를향해던진공, 축구선수가멀리차 올린공등은모두포물선을그리면서날아가는것을볼수있습니다. 이경우에는수평방향으 로던진물체의운동과어떻게다를까요? 그림 1-17과같이수평면과 θ의각을이루면서초속도 v 0 로던진물체의운동에대해알아 보기로하지요. 그림 1-17 비스듬히위로던진물체의운동

17 원점에서초속도 v 0 의 x- 성분과 y- 성분을각각 v 0x, v 0y 라고하면 v 0x = v 0 cosθ, v 0y = v 0 sinθ (1-21) 입니다. 이물체는수평방향으로는등속운동을하고, 연직방향으로는가속도가 - g 인등가속 도운동을하므로시간 t 초후의속도 v 의 x- 성분과 y- 성분을각각 v x, v y 라고하면 v x = v 0 cosθ, v y = v 0 sinθ - gt (1-22) 이됩니다. 따라서시간 t 초후의물체의속도 v 는다음과같이구할수있습니다. v = v 2 x + v 2 y, tan α = v y v x (1-23) 그리고시간 t 초후의물체의수평방향의위치 x 와연직방향의위치 y 는 x =v 0 cosθ t (1-24) y=v 0 sinθ t gt 2 (1-25) 이됩니다. 위의두식에서 t 를소거하면이물체의궤도의식을얻을수있습니다. y=tanθ x - g 2v 2 0cos 2 θ x 2 (1-26) 이식역시 y 가 x 의이차함수이므로물체의운동경로는포물선이라는것을알수있습니 다. 즉비스듬히위로던진물체의경우도포물선운동을합니다. 비스듬히위로던진물체가최고점에도달하는데걸리는시간을알아볼까요? 최고점에서는 수직성분속도 v y 가 0 이되므로최고점에도달하는시간을 t 1 이라하면 v y = v 0 sinθ - gt 에 서 v 0 sinθ - gt 1 =0 이되고이식을 t 1 에대해정리하면 t 1 = v 0sinθ (1-27) g 이됩니다. 그리고식 (1-26) 에 t 1 을대입하면최고점의높이 H 를구할수있으며그결과는 가됩니다. H = v 2 0 sin 2 θ 2g (1-28) 그러면비스듬히위로던진물체가최고점에올라갔다가다시기준위치로내려오는데걸리 는시간을 t 2 라고하면, 이는최고점에도달하는시간 t 1 의 2 배이므로 t 2 =2t 1 = 2v 0sinθ g (1-29) 가됩니다. 그러므로물체의수평도달거리 R 은식 (1-24) 의 t 에 t 1 을대입하여구할수있습

18 니다. R = v 0 cosθ t 2 = v 0 cosθ 2v 0sinθ g = 2v 2 0 cosθ sin θ g 여기서 2 cos θ sin θ =sin2θ 이므로 R = v 2 0 sin2θ g (1-30) 가됩니다. 이식에서 sin 2θ =1 이되는경우가최대가된다. 따라서 2θ =90, 즉 θ =45 인 경우가가장멀리나간다. 즉최대도달거리는 R max = v 2 0 g (1-31) 이됩니다. 물론초속도 v 0 가클수록, 중력가속도 g 가작을수록물체는더멀리도달됩니다. 공중으로비스듬히던진포물체가있다. 공기의저항을무시할때연직방향의가속도는얼마인 가? 또수평방향의가속도는얼마인가? 그리고속도가최소인곳은어디인가? [ 예제 ] 6. 물체를비스듬히위로던져올렸더니 4초후에물체를던진곳에서 39.2 m 떨어진같은수평면위에떨어졌다. 이물체의초속도는얼마인가? 풀이 (1) 수평방향속도는 x = v 0x t 에서 39.2 m = v 0x 4s이므로 v 0x = 9.8 m/s 이고수직방향속도는 v 0y = gt =9.8m/s 2 = 19.6 m/s이다따라서초속도 v 0 는 v 0 = v 2 0x + v 2 0y = (9.8 m/s) 2 +(19.6 m/s) (m/s) [ 예제 ] 7. 초속도 60 m/s 로수평면에대하여 30 의각으로공을던졌다. (1) 이물체가최고높이까지올라가는데걸리는시간과최고높이는각각얼마인가? (2) 이물체의수평도달거리는얼마인가? 풀이 (1) 공이최고높이까지올라가는데걸리는시간 t 1 은식 (1-27) 에서 t 1 = v 0sinθ g = 60 sin = 따라서최고높이 y 는식 (1-25) 에 t 1 을대입하면 = (s) y=v 0 sinθ t gt 2 =60 sin ( ) 2 = 45.9 (m) (2) 물체가다시지면에도달할때까지걸리는시간 t 2 는 t 2 =2t 1 이므로수평도달거리 x 는식 (1-24) 에서 x =v 0 cosθ t =60 cos = = 318 (m)

19 (3) 저항과 운동 놀이공원에있는자이로드롭을타본경험이있는지요? 무척아찔한느낌을받았을겁니다. 그림 1-18 은스카이다이버들이지상으로부터수천 m 높이에서뛰어내리면서멋진장면을펼치고있는모습입니다. 스카이다이버들의낙하운동속도를일정한시간간격으로측정해보면낙하산을펴기전에등속도로낙하하는구간이있다는것을알수있답니다. 이것은앞에서공부한자유낙하운동이나연직아래로던진물체의운동과는분명히다릅니다. 그까닭은무엇일까요? 자유낙하운동이나연직아래로던진물체의운동은공기의저항이없는이상적인상태에서의운동을생각한것입니다. 그림 1-18 스카이다이빙 그러나실제로물체가공기중에서낙하할때에는공기의저항이존재하게마련입니다. 이러한 저항의힘을저항력이라합니다. 우리는걸어갈때보다빠르게달릴때얼굴을스치는맞바람을느끼게되지요. 자전거를타고 달리거나자동차를타고창문을열면맞바람이더욱강해지는것을알고있을겁니다. 이맞바람 이앞으로나가는것은방해하는힘 ( 저항력 ) 이라고생각하면저항력은운동속도가빠를수록커 진다고말할수있겠지요? 따라서물체가 v 의속도로운동할때나타나는저항력 f 는비례상 수 k 를도입하여다음과같이나타낼수있어요. f = kv (1-32) 그러면물체가낙하할때는어떻게될까요? 앞에서낙하하는물체는모두연직방향으로중력 의영향을받아매초 9.8 m/s 씩속도가증가한다고하였습니다. 그러나실제의경우에는공기 에의한저항력을받으므로이것또한고려해주어야합니다. 이때저항력은물체의운동방향 과반대방향으로작용하므로 ( 그림 1-19 참조 ) 물체에작용하는힘은중력과공기의저항력의합 이므로다음과같이운동방정식을세울수있습니다. mg- kv = ma (1-33) 이식에서알수있는바와같이물체가받는힘은중력보다작아져앞에서살펴본자유낙하 운동에서의속도의크기보다작아지게됩니다. 예를들어비스듬히위로던진물체의운동의경 우에공기의저항을고려한다면속도의연직성분이작아져서물체는공기의저항이없을때보 다높이올라가지못할것이며, 따라서최고점에도달하는시간이짧아지게되고물체가최고점 에서다시기준위치로돌아오는데걸리는시간도짧아지게되므로수평도달거리도짧아지게

20 저항력의크기 종단속도 그림 1-19 저항력을받는물체의운동 될것입니다. 그렇다면지상 1000 m 상공에있는구름에서만들어져자유낙하하는빗방울이지면에떨어질때의속도에대해알아볼까요? 자유낙하공식에의해빗방울이지면에도달할때의속도를구해보면고속열차 (KTX) 의속도보다도빠른 140 m/s(500 m/h) 정도입니다. 만약빗방울이이렇게빠른속도로지면에내린다면지상의웬만한물체는파괴되어큰피해를입게될것입니다. 그러나실제로지면근처에낙하하는빗방울의속도는 1 10 m/s 정도라고합니다. 왜그렇까요? 빗방울이낙하하면속도가점점커지게되고따라서공기에의한저항력도점차커지게됩니다. 이때중력은일정하므로저항력이점점커져서중력과같아지는순간이되면물체에작용하는알짜힘은더이상존재하지않게되므로빗방울의가속도는 0이되겠지요? 이때부터빗방울은등속도운동을하게됩니다. 이때의속도를종단속도 (terminal velocity) v t 라고하며, 운동방정식은다음과같이됩니다. 즉 mg- kv t =0 이되므로종단속도 v t 는 v t = mg k 로나타내집니다. 즉종단속도는물체의질량이클수록커진다는것을알수있어요. (1-34)

21 3. 원운동과단진동 (1) 등속 원운동 놀이공원에가서큰원궤도를그리면서일정한속력으로돌아가는 우주관람차 ( 그림1-20) 나 회전목마 를타본경험이있는지요? 이들놀이기구와같이일정한속력으로원을그리면서회전하는물체의운동을등속원운동이라고합니다. 그러면등속원운동하는물체의운동은어떻게기술할수있는지알아볼까요? 그림 1-21의 ( 가 ) 는작은공을고정시킨원판을일정한 그림 1-20 우주관람차 속력으로회전시키고, 일정한시간간격으로빛을비추어찍은다중섬광사진입니다. 이사진에 서공은같은운동을주기적으로반복하는것을알수있겠지요? 즉등속원운동을하고있다는 것을알수있습니다. 등속원운동하는물체가원둘레주위를한바퀴회전하는데걸리는시간을주기 (period) 라 하며, 단위시간 (1초) 동안회전하는횟수를진동수 (frequency) 라고합니다. 주기 T 와진동수 f 사이에는다음과같은관계가있습니다. T = 1 f 또는 f = 1 T (1-35) 물체가반지름이 r 인일정한원궤도를따라등속원운동을하므로원둘레를한바퀴도는데걸리는시간, 즉주기 T 는다음과같이나타낼수있습니다. T = 2 πr v (1-36) ( 가 ) 등속원운동을하는공의다중섬광사진 ( 나 ) 등속원운동에서속력과각속도 그림 1-21 등속원운동

22 원궤도를회전하는물체가얼마나빨리회전하고있는지나타내려면속도와는다른새로운물리량이필요합니다. 그림 1-21의 ( 나 ) 와같이물체가얼마나빨리회전하는가는일정한시간동안에회전한각도로나타내면편리하겠지요? 이와같이단위시간동안에회전한중심각의크기를각속도라고합니다. 여기서각도의단위는라디안 (radian, rad) 이라는단위를사용합니다. 1 라디안 (rad) 은그림 1-23과같이원호의길이 s 가반지름 r 과같을때의중심각을말하며 1rad 57 18' 입니다. 그러면물체가원둘레를한바퀴회전하였을때의중심각은 2π rad이라는것을알수있겠지요? 만일어떤물체가시간 t 동안에각 θ만큼 회전하였다면각속도 ω 는 ω = θ t (1-37) 그림 래디안 이되며, 각속도의단위는 rad/s 를사용합니다. 그리고등속원운동하는물체의주기나진동수를알고있으면물체의각속도를알수있습니 다. 원운동하는물체는주기 T 동안에 2π (rad) 만큼회전하였으므로각속도는다음과같이 나타낼수있습니다. ω = 2 π T =2 π f (1-38) 식 (1-36) 과 (1-38) 에서물체의선속도 v 와각속도 ω 사이의관계를구해보면 v = rω (1-39) 이성립합니다. 이식에서물체가회전반지름이일정한원궤도를회전할때, 물체의선속도와각 속도는서로비례하고 ( v ω), 각속도는회전반지름에반비례하는것을 ( ω 1/r) 알수있을 겁니다. 이때물체의선속도의방향은그림 1-20 의 ( 나 ) 에서와같이항상원의접선방향이됩 니다. [ 예제 ] 8. 그림과같이길이가 60 cm 인실의한끝에작은구가매달려 2초동안에 1회전하는등속원운동을하고있다. 다음물음에답하여라. (1) 이구의각속도는얼마인가? (2) 이구의선속도의크기는얼마인가? 점 P에선속도의방향을그려보아라. 풀이 (1) 식 (1-38) 에서 ω = 2 π = 3.14 (rad/s) T 2 (2) 식 (1-39) 에서 v = rω = 0.5 m 3.14 rad/s = 1.57 (m/s) 그리고선속도의방향은 P점에서의접선방향이다

23 (2) 구심력 줄에공을매달고머리위로돌리면줄이팽팽해지면서공은원 운동을하게됩니다 ( 그림 1-24). 이때손을통해일정한힘으로줄 을잡아당기지않으면공은원운동을곧멈추게됩니다. 그러면어 떤힘때문에공이원운동을하게되는것일까요? 등속직선운동에서는속도의변화가없기때문에가속도가 0 이 지만, 등속원운동에서는속도의크기는변하지않지만매순간마다 방향이변하므로가속도를가지게됩니다. 그러면등속원운동에서 의가속도는어떻게나타낼수있을까요? 등속원운동을하는물체가그림 1-25 의 ( 가 ) 와같이시간 Δt 동안에점 A 에서점 B 로이동 하면서속도가 v 1 에서 v 2 로변했다고합시다. 이때그림 ( 나 ) 에서와같이점 A 에서의속도 v 1 과점 B 에서의속도 v 2 를한점 F 에평행이동시켜서 DEF 를그리면선분 DE 는속도의 변화량 Δv(=v 2 - v 1 ) 가됩니다. 그림에서 ABC 와 DEF 는닮은꼴삼각형이므로 Δv v = Δ l r 의관계가성립합니다. 여기서 Δl 은물체가시간 Δt 동안이동한거리이며 Δl = vδt 이므로, 이것을위식에대입하면 그림 1-24 공돌리기 Δv Δt = v 2 r = a (1-40) ( 나 ) 구심가속도의방향 ( 가 ) 등속원운동그림 1-25 구심가속도

24 로서가속도 a 를얻을수있습니다. 이식에 v = rω 를대입하면원운동을하는물체의가속도 는 가됩니다. a = v 2 r = v ω = rω 2 (1-41) 구심가속도를구하는방법은위와같이여러가지가있으며, 이들식에대한원리를이해하고 직접공식을유도해보면쉽게이해할수있습니다. 이때가속도의방향은 Δv 의방향과같고, 시간간격 Δt 를극히짧게하면 Δv 는 v 1 과직각을이루므로 Δv 는 r 과같은방향이됩니 다. 따라서가속도의방향은원의중심을향한다. 이가속도를구심가속도라고합니다. 물체를실에매달고돌려보면힘이드는것을알수있어요. 이것은돌이멀리날아가지못하 도록하면서줄을잡고있는손을중심으로원운동을유지시키기위한것입니다. 이때그림 1-24 에서와같이줄을원운동의중심쪽으로잡아당기는힘을구심력이라고합니다. 그러면구심 력은어떻게나타낼수있을까요? 식 (1-41) 을뉴턴의운동의제 2 법칙 니다. F =ma = mv 2 F =ma 에대입하면구심력의식은다음과같이정리됩 r = mvω = mrω 2 (1-42) 구심력의식 (1-42) 를좀더자세히살펴볼까요? 원운동하는물체의질량과반지름은일정하고, 물체의속력이나각속도가커질수록구심력은더큰값을갖게된다는것을알수있습니다. 그 런데등속원운동을하는경우에는물체의속력과각속도가일정하므로구심력또한일정한값 을갖게됩니다. 그리고그림 1-27 에서보는바와같이등속원운동을하는물체의가속도의방향은구심가속 도의방향과같이항상원의중심을향합니다. 그림 1-26 구심력 그림 1-27 구심력의방향

25 우리주변에는원운동을하는경우를흔히볼수있습니다. 원운동을할때필연적으로나타나 는힘이구심력입니다. 자동차도로에서커브를돌때에도구심력이중요한역할을하지요. 자동 차타이어와도로면사이의마찰력이구심력으로작용하지않으면자동차는커브를돌수없게 되거든요. 그러면커브길을도는자동차에작용하는구심력에대해알아볼까요? 그림 1-26 은질량 1200 kg 의승용차 가 25 km/h (7.0 m/s) 의속력으로반지름이 40 m 되는커브를돌고있는것을나타낸것이다. 이승용차가커브길 을안전하게돌기위해서는회전하는동 안원의중심방향으로구심력이일정하 게작용해야한다. 이때타이어와도로 면사이에작용하는마찰력이구심력을 제공한다. 그러면승용차가커브를돌 때필요한구심력은얼마나되는지구해 봅시다. 식 (1-42) 에서구심력은 F = mv 2 r = (1200 kg)(7.0 m/s) 2 40m = 1470 N 이라는것을알수있습니다. 그러면이때승용차에구심력을제공하기위해서타이어와도로 사이의정지마찰계수 μ 는얼마이어야하는지알아볼까요 ( 단, 도로는수평하다고가정합시다 )? 제 1 장 (2)-5 의여러가지힘과운동에서마찰력 F f 는수직항력 N 에비례하므로 F f = μn 이된다는것을공부하였습니다. 그러면마찰력 F f 는구심력 1470 N 과같고수직항력 N 은 승용차의무게 mg 와같으므로마찰계수 μ 는 임을알수있어요. μ = F f N = F mg = 1470 N (1200 kg)(9.8 m/s 2 ) = 만약타이어와도로면사이의정지마찰계수가이값보다크면승용차는안전하게커브를돌 수있지만, 만일마찰계수가이값보다작으면자동차는커브를안전하게돌지못하고도로를 이탈하여위험하게됩니다. 따라서커브길을안전하게운행을하려면충분히감속하여커브를돌 아야합니다. 그림 1-28 커브길을돌때의마찰력과구심력

26 (3) 원심력손잡이가달린물그릇에물을담아서돌려본경험이있는지요? 이때, 물그릇을천천히돌리면물이쏟아지지만, 빠르게돌리면물이쏟아지지않는것을알았을겁니다. 왜그럴까요? 1 관성력자동차를타고갈때정지해있던자동차가갑자기급히출발하면몸이뒤로젖혀지고, 달리던자동차가급히정차하면몸이앞으로쏠리는현상을경험해보았을겁니다. 누가뒤로잡아당기거나앞으로밀지않았는데도이런현상이일어나는것은관성때문이라는것을알고있을것입니다. 이처럼관성에의해서나타나는관성력에대해서알아봅시다. 기차가가속될때천장에매달려가지런히늘어져있는손잡이가그림 1-29와같이가속도의방향과반대방향으로기울어지게됩니다. 우선이것을그림 1-29의 ( 가 ) 와같이지면에서있는관측자가보면, 손잡이에중력 mg 와실의장력 T 의합력이작용하여기차와같은가속도 a 로운동하는것처럼보입니다. 즉관측자는손잡이와기차가일체되어있기때문에손잡이도기차와같은가속도 a 를갖으며이때손잡이에작용하는알짜힘은 F = ma가되는것이라고생각하게되는것입니다. 따라서기차밖에정지한관측자가생각하는손잡이의운동방정식은다음과같이나타낼수있습니다. ma = mg+ T (1-42) ( 가 ) 지면에정지한관측자가볼때 ( 나 ) 가속운동을하는관측자가볼때 그림 1-29 등가속도직선운동을하는기차안에서의관성력 그러나그림 1-29 의 ( 나 ) 와같이기차안에서손잡이를바라보는관측자는그렇게보지않습니 다. 즉기차와같은가속도로운동하는관측자가보면손잡이가연직선과 θ 만큼기울어진상태 로정지해있다고볼수있어요. 기울어진손잡이에작용하는분명히중력 mg 와장력 T 가서 로다른방향으로작용하고있는데도손잡이는기울어진상태로정지한상태를유지하고있는

27 것입니다. 이때는손잡이에중력과장력이외의힘이작용하여평형상태를유지하고있다고생 각하면됩니다. 즉가속도 a 의방향과반대방향으로어떤힘 F' 가손잡이에작용하여평형을 이룬다고생각할수있습니다. 따라서손잡이에작용하는힘은다음과같습니다. 식 (1-42) 와 (1-43) 을비교해보면 mg+ T+ F'=0 (1-43) F' 는 F' =-ma (1-44) 가된다. 이와같이가속도운동을하는좌표계 ( 또는기준계 ) 에서볼때작용하는것처럼보이는 가상적인힘을관성력이라고합니다. 관성력은가속도운동을하는물체를정지해있는물체와 같이취급하기위해서도입한가상적인힘이며, 좌표계가가속도 a 로운동할때, 그좌표계안에있는질량 m 인물체가받는관성력의크기는 ma이며방향은가속도의방향과반대방향입 니다. 이처럼보이지않는관성력을엘리베이터에서찾아볼수있습니다. 엘리베이터가갑자기올라 가기시작할때체중이무거워지는것을느낀경험이있을것입니다. 왜그럴까요? 엘리베이터가정지해있거나등속도운동을하는경 우에는사람에게작용하는힘은단지중력밖에없습니 다. 그러나그림 1-30 과같이엘리베이터가가속도운동 을하는경우에는다릅니다. 먼저그림 1-30 의 ( 가 ) 와 같이엘리베이터가위로가속도 a 로운동을하면엘리베이터에타고있는사람에게는관성력이엘리베이터의 운동방향과반대방향으로작용하게됩니다. 따라서이 사람은중력이외에관성력 ma을중력방향과같은방향으로받게되므로위에서눌리는듯한느낌을받게 됩니다. 반면에엘리베이터가그림 1-30 의 ( 나 ) 와같이갑자기가속도 에는체중이가벼워지는것을느끼는데, 이것은관성력 때문입니다. ( 가 ) 올라갈때 ( 나 ) 내려갈때 그림 1-30 엘리베이터내에서의 관성력 a 로아래로내려가기시작할때 ma 를중력방향과반대방향으로받기 2 원심력버스를타고가다가버스가커브길을돌때, 누가내몸을잡아당기는것도아닌데몸이바깥쪽으로쏠리는경험을해보았을겁니다. 이것은직선도로를달리는기차가가속하거나감속할때천장에매달려있는손잡이가앞뒤로기울어지는것과같은현상입니다. 그러나버스밖에있는사람이본다면이같은현상은느낄수없답니다

28 ( 가 ) 회전하는원판밖에서보았을때탄성력이구심력으로작용한다. ( 나 ) 회전하는원판위에서보았을때구심력 ( 탄성력 ) 이평형을이룬다. 그림 1-31 구심력과원심력의비교 그림 1-31과같이반지름이 r 인원판의중심에용수철의한끝을고정시키고, 그용수철다른끝에질량 m 인물체를매단다음원판을일정한속력 v로회전시키면용수철이원래의길이보다늘어나면서물체에는용수철이잡아당기는탄성력이작용하게됩니다. 그러면그림 1-31의 ( 가 ) 와같이원판의밖에서서원운동하는원판위의물체를바라보는경우에대해생각해볼까요? 이경우는매우간단합니다. 원판위의물체가원운동을하는것은용수철에서 mv 2 의탄성력이생겨서구심력의역할을하기때문에물체가원운동을하는것처럼 r 보이는것입니다. 이때물체에작용하는힘은단지구심력이되는용수철의탄성력밖에없어요. 다음에는그림 1-31의 ( 나 ) 와같이원판위에서서물체와같이원운동하는관측자가물체를바라보는경우에대해생각해봅시다. 이경우에는물체에탄성력과반대방향으로어떤힘이작용하여이들두힘이평형을이루기때문에용수철이늘어난상태로물체가정지해있는것처럼보이는것이라고생각할수있습니다. 즉, 구심력과크기가같은어떤가상적인힘이물체에작용해서평형상태를유지한다고생각하면됩니다. 따라서이경우에도관성력이작용했다고볼수있습니다. 이와같이원운동하는좌표계에서관찰할때물체에작용하는것처럼보이는관성력을원심력이라고합니다. 원심력은구심력과크기가같고방향이반대이군요. 여기서주의할점은원심력은구심력에대한반작용이아니고관성력이라는사실입니다. 따라서반지름 r 인원둘레를각속도 ω 로등속원운동하는질량 m 인물체에나타나는원심 력 F' 는 F' =-ma =-mrω 2 =- mv 2 (1-45) r 로나타낼수있어요. 자동차가커브를돌때자동차안에있는사람이바깥쪽으로몸이쏠리는것은원심력때문이며, 이힘은자동차밖에있는사람은느낄수없습니다

29 (4) 단진동진자시계의추는일정한시간간격으로끊임없이좌우로왕복운동을합니다. 또용수철의한끝을손으로잡고다른끝에물체를매단다음물체를놓으면그물체도일정한시간간격으로아래로내려갔다위로올라가는왕복운동을계속합니다. 그림 1-32와같이원판의한끝에작은구를매달고등속원운동을시킨다음옆에서구를보면구는일직선상에서위아래로일정하게왕복운동을하는것처럼보일것입니다. 즉, 원판의한끝에매달린구는원판의중심에서위아래로반지름 A 만큼떨어진곳까지직선으로상하운동을반복합니다. 이와같이일정한시간간격으로같은운동을반복하는주기적인운동을단진동이라고합니다. 따라서등속원운동은주기적으로왕복하는단진동임을알수있습니다. 그러면이러한단진동은어떻게나타낼수있을까요? 단진동은단진동하는물체의변위, 속도, 가속도등을고려하여나타낼수있습니다. 그림 1-33은원판의한끝에달린작은구가원점 O를중심으로반지름 A인원운동을하는것을옆에서보는경우를나타낸것입니다. 이구가원점 O에서출발하여각속도 ω 로시간 t 후에각 θ만큼회전하여 P 의위치까지왔을때의변위 x는다음과같이 그림 1-32 회전하는원판에달린작은구 나타낼수있습니다. x = A sin θ = A sin ωt ( θ = ωt) (1-46) 따라서변위 x와시간 t 사이의관계를그래프로나타내보면그림 1-33의오른쪽과같이사인 (sine) 곡선이됩니다. 이그래프에서변위 x의최대값은 A가됩니다. 이최대변위 A를단진동의진폭이라고합니다. 또구가원을한바퀴완전히회전하고다시원점으로돌아왔을때까지걸린시간, 즉좌우최대변위를한번왕복하는데걸리는시간 T 는단진동의주기입니다. 그리고구가좌우최대변위를단위시간에왕복하는횟수 f 를단진동의진동수라고합니다. 단진동의주기 T 와각속도 ω 및진동수 f 사이에는다음과같은관계가있어요. T = 2 π ω = 1 f (1-47) 따라서각속도는 ω =2πf (1-48)

30 평행광선 등속원운동 ( 앞에서볼때 ) 단진동 ( 옆에서볼때 ) 변위와시간사이의관계그래프 그림 1-33 단진동의나타내기 로나타낼수있으며, 이것을단진동의각진동수라고도합니다. 그러면단진동하는물체의속도는어떻게될까요? 등속원운동에서는속도의크기는일정하고방향은항상원의접선방향이라는것을알고있겠지요? 그러나단진동의속도는이와는다릅니다. 단진동은원운동하는물체의그림자의운동이므로단진동에서의속도는위쪽이아니면아래쪽이될것이라는것을쉽게예상하겠지요? 따라서원운동의속도와는다르게나타내야합니다. 즉, 원운동하는물체의속도벡터의연직성분이단진동의속도가됩니다. 그림 1-34와같이각속도 ω 로반지름 A 인원궤도를 등속원운동하는물체 P 의속도의크기식 (1-39) 에의해 v = Aω 입니다. 그림에서원운동하는물체 P 의속도 Aω 의연직방향성분이물체 P 의그림자인점 Q 의속도라는것을금방알수있겠지요? 물체 P 의그림자 Q 의속도는 v = Aω cos θ = Aω cos ωt (1-49) 그림 1-34 단진동에서의속도 입니다. 이식에서코사인 (cosine) 값이 +1서 -1 사이에서변하므로단진동에서속도의크기와방향이시간에따라주기적으로변한다는것을알수있습니다. 단진동하는물체의속도의크기는진동의중심을지날때 Aω 로가장빠르며, 양끝으로갈수록작아져서양끝에서는 0이됩니다. 단진동에서속도가계속변한다는것은가속도를가지고있다는의미합니다. 그러면단진동에서의가속도는어떻게나타낼수있을까요?

31 그림 1-35와같이등속원운동하는물체 P 의가속도는상원의중심을향하고, 그크기는식 (1-41) 에의해 Aω 2 입니다. 그런데단진동의가속도역시단진동의속도에서구한것과마찬가지로원운동에서의가속도벡터를분해하였을때, 연직성분이가속도의크기가됩니다. 따라서물체 P 의그림자점 Q 의가속도는 Aω 2 의연직방향성분이므로그림 1-35 단진동에서의가속도 a =-Aω 2 sinωt =-ω 2 x (1-50) 이식에서 (-) 부호는그림 1-35에서보는것과같이변위의방향과가속도의방향이서로반대임을나타내는것입니다. 이식에서알수있는것과같이단진동하는물체의가속도는변위에비례하고, 그방향은변위와반대방향으로항상진동의중심을향합니다. 단진동하는물체의가속도의크기는진동의중심 ( 기준점 ) 에서는 0이며, 양끝으로갈수록점점커져서양끝점, 즉최대변위에서는 Aω 로가장크게되어속도에서와는정반대가됩니다. 단진동에서가속도가있으면그가속도를생기게하는힘이있게마련입니다. 그럼이힘은어떤작용을할까요? 그림 1-36에서보는바와같이원운동하는물체의각위치에서의가속도벡터를조사해보면가속도의방향이항상진동의중심을향한다는것을알수있습니다. 이는물체가진동중심에서벗어나다른위치로가면마치용수철처럼다시원래의위치로되돌아가려고하기때문입니다. 즉, 물체를원래의위치로복원시키려는힘입니다. 단진동에서의이힘은복원력이라고합니다. 그림 1-36 단진동에서의복원력단진동하는물체의질량을 m 이라고하면물체에작용하는힘 F 는 F = ma =-m ω 2 x (1-51) 이됩니다. 여기서 mω 2 = k 로놓으면이식은다음과같이나타낼수있어요. F =-kx ( k 는비례상수 ) (1-52) 이식은바로용수철의복원력과같은형태임을알수있겠지요? 따라서단진동에서물체에작용하는힘은복원력임을알수있습니다. 다시말하면, 복원력이존재한다는것은물체가단진동을한다는것을말합니다. 물체가진동

32 중심에서벗어나면복원력이작용해서다시진동중심으로돌아가게하려고합니다. 그러나물체가진동중심에돌아왔어도관성에의해다시진동중심을지나진동중심에서멀어지게되고, 진동중심에서멀어지게되면물체에는다시진동중심으로되돌리려는복원력이작용하게되어서진동이계속되는것이지요. 그러므로어떤물체의운동이단진동인지아닌지를확인하기위해서는먼저그물체에복원력이작용하는지를확인해보아야합니다. 즉, 복원력은단진동의판단근가가되는것입니다. 또한, 단진동과같은반복적인형태의주기운동에서주기는매우중요합니다. 그이유는주기를알고있으면단진동하는물체가일정시간동안몇번이나똑같은형태의운동을반복하는지를금방알수있기때문이지요. 단진동에서의주기는등속원운동에서구했던주기의식을이용 하면쉽게구할수있습니다. 등속원운동에서의주기를나타낸식 T = 2 π ω 을잘알고있겠지 요? 이식에복원력에서의 mω 2 = k 를변형하여대입하면 T = 2 π ω =2 π m k ( k 는비례상수 ) (1-53) 을얻게됩니다. 이식에서단진동의주기의특성을알수있어요. 즉, 단진동의주기는물체의 질량 m 이클수록, 그리고복원력의비례상수 k 가작을수록길어집니다. [ 예제 ] 9. 질량이 1kg 인물체가단진동을하고있다. 단진동하는물체의속력의최대값이 0.8 m/s 이고, 진폭은 0.2 m 라고할때다음물음에답하여라. (1) 이단진동에대응하는원운동의각속도 ω 는얼마인가? (2) 이단진동의주기 T 는몇초인가? (3) 물체에생기는가속도의최대값은얼마인가? (4) 변위가 0.1 m 일때물체가받는힘은얼마인가? 풀이 (1) 원운동의속도는단진동에서최대속도와같다. v = Aω cos ωt 에서속도의최대값은 v = Aω 이다. ω = v A (2) T = 2 π ω = = 0.8 m/s 0.2 m =4(rad/s) 1.6 (s) cos ωt =1 일때이므로 (3) 가속도의크기는변위에비례한다. 그리고변위 x 가최대일때는변위가진폭 A 와같을때 이다. a = ꠐ -ω 2 x ꠐ = ꠐ ꠐ =3.2(m/s 2 ) (4) F =-m ω 2 x = = (N)

33 (5) 용수철 진자 우리생활주변에서볼수있는단진동으로는우선용수철진자를생각해볼수있습니다. 용 수철진자의운동이단진동인가를확인하려면먼저복원력이작용하는지확인하면됩니다. 그림 1-37은용수철의한끝을고정하고다 른끝에물체를매단다음용수철을늘렸다가 놓았을때물체가운동하는모습을나타낸것 입니다. 이그림을보면물체가기준점 B를중 그림 1-37 용수철에달린 물체의운동 심으로 A에서 C까지왕복운동을하는것을알수있는데, 이운동을단진동이라고할수있을 까요? 물체에복원력이작용하고있으면그물체는단진동을한다고하였습니다. 용수철을잡아 당기거나압축시켰다가놓으면용수철은원래의상태로되돌아가려는탄성력에의해서주기적인 왕복운동, 즉단진동을합니다. 이러한운동을하는진자를용수철진자라고합니다. 탄성한계내에서용수철을원래의길이에서 x 만큼늘이거나압축시켰을때용수철의탄성력 F 는 F =-kx (1-54) 가됩니다. 이것을훅의법칙이라고합니다. 여기서비례상수 k 를용수철상수 ( 탄성계수 ) 라고 하며, (-) 부호는탄성력 F 가변위 x 와반대방향으로작용하여원래의상태로되돌아가려는 복원력을의미합니다. 용수철상수가 k 인용수철에질량 m 인추를매달면, 추는그림 1-38의 ( 나 ) 와같이용수철 의탄성력과추에작용하는중력이평형을이루는 x 0 에서멈춘다. 이때는 kx 0 = mg 의관계가 성립합니다. ( 가 ) 원래길이 ( 나 ) 평형상태 ( 다 ) A 만큼당길때 ( 라 ) 변위가 x 일때 그림 1-38 용수철진자

34 평형을이루고있는추를그림 1-38의 ( 다 ) 와같이아래로 A 만큼잡아당겼다가놓으면추는평형위치 O를중심으로하여상하로진동하게됩니다. 추가평형위치에서 x 만큼떨어진곳을지날때받는힘 F 는 F = mg- k( x 0 +x) =mg- kx 0 - kx =-kx (1-55) 가됩니다. 따라서추는평형점으로부터변위에비례하고, 변위와반대방향의복원력을받는다는것을알수있습니다. 따라서추는단진동을한다는것이확인되었네요. 용수철진자의추의가속도 a 는운동방정식 F = ma =-kx 에서 a =- k m x 가된다. 식 (1-50) 과 (1-54) 에서 ω 2 = k/m 가되고, 단진동의주기 T 는 2π/ω 이므로, 용수철진자의 주기 T 는 m T =2π k 이됩니다. 이것은앞에서구한단진동의주기와동일한형태이네요. (1-56) (6) 단진자앞에서용수철진자는탄성력에의해주기운동을한다는것을알았지요? 그러면중력에의해서일어나는주기운동에대해서알아봅시다. 그림 1-39와같이추를실에매단다음옆으로당겼다가가만히놓으면중력의영향으로추가좌우로왕복운동을계속한다. 즉, 단진동운동을한다. 이와같이단진동하는추를단진자라고한다. 질량 m 인추가길이 l 의실에매달려단진동을한다면추에는식의장력 T 와중력 mg 만작용하게되며, 추는부채꼴의호를따라움직이게됩니다. 따라서물체의속도벡터는항상장력과수직이됩니다. 추가평형위치 O에있을때에는추에작용하는중력 mg 와실의장력 T 는크기가같고방향이반대이어서서로평형을이룹니다. 그러나실이연직선과 θ 의각을이루면이들두힘은평형을이루지않습니다. 이때그림과같이중력은장력과평행한성분 mg cos θ 와수직인성분 mg sin θ 로분해할수있그림 1-38 단진자

35 있습니다. 그러면장력과나란한성분 mgcos θ 는장력 T 와평형을이루어실을팽팽하게하 고, 장력과수직인성분 mg sin θ 만남게되며이성분이추를단진동시키는힘이됩니다. θ 가 매우작으면 sin θ x l 로근사시킬수있으므로단진자에작용하는힘 F 는 F =-mg sin θ =- mg l x =-kx (1-57) 여기서 (-) 부호는 F 의방향이변위 x 의방향과반대라는것을나타내는것이며, 이힘은복원력의형태를나타낸다는것을확인할수있습니다. 따라서단진자의운동은단진동임이분명하네요. 그러면단진자의주기는어떻게되는지알아볼까요? F =- mg l =-kx 에서 k = mg l 의식 (1-56) 에대입하면단진자의주기 이므로 T 는 m k = l g 이됩니다. 따라서앞에서구했던주기 T =2π m k =2 π l g (1-58) 이됩니다. 이식에서단진자의주기는중력가속도가일정하면실의길이에만영향을받는다는 것을알수있어요. 즉, 실의길이가길어지면주기가길어집니다. 그리고실의길이가일정하면 중력가속도가클수록주기는짧아집니다. 이처럼단진자의주기는실의길이와중력가속도에만 관계되며, 실에매달린추의질량이나진폭등과는관계가없습니다. 이것을진자의 고합니다. 추시계는여름철에는약간느려지고, 겨울철에는약간빨라집니다. 그이유는무엇일까? 추시계를달로가져가면시간은어떻게될까? 등시성이라 [ 예제 ] 10. 길이 64 cm 인단진자가 3 회진동하는사이에, 길이가 16 cm 인단진자는몇회진동하겠는 가? 풀이 길이 64 cm 인단진자의주기를 T 1, 진동수를 f 1 이라하고 길이 16 cm 인단진자의주기를 T 2, 진동수를 f 2 라하면 f 1 =8( 회 ) 이므로 T 1 =2π 64 g = 1 f 1, T 2 =2π 16 g = 1 f 2 따라서 T 1 = 64 T 2 16 = 8 4 = f 2 = f 2 f 1 3 f 2 =6( 회 )

36 4. 만유인력에의한운동 예로부터사람들은우주를매우신비로운대상으로여겨왔으며, 우주는많은사람들의연구대상이되어왔습니다. 그리고여러행성들의운동과별자리를관측하여농업과연관시키기도하였고, 여러종교의식들이생겨나기도하였습니다. 이제행성의운동에관한케플러의법칙과뉴턴의만유인력법칙에대해알아볼까요? (1) 케플러의법칙 1 천동설과 지동설 옛날부터태양이나달그리고행성의운동은많은사람들의관심의대상이되어왔으며, 일기변화에관심을가지게되면서천체관측과점성술이발달하게되면서천문학이발전하였어요. 그리고밤하늘의별자리가시간에따라이동한다는사실도알게되었으며계절의변화가별의운행과일치한다는사실도알게되었습니다. 그러나이들은밤하늘의수많은별들이지구를중심으로돌고있다고생각하였답니다. 그러나천체관측에관한여러가지자료를분석하여별들이지구를중심으로회전한다는오랜믿음은깨어지고과학자들사이에논쟁이벌어지게되었어요. 그논쟁이바로천동설과지동설입니다. 천동설 : AD 150년경그리스의수학자이자천문학자인프톨레스마이오스 (Ptolemaeos, K) 는그림 1-39와같이사람이살고있는지구를중심에놓고, 태양을비롯한모든행성들은지구를중심으로회전하고있으며, 별들은하루에한바퀴씩회전하는천구상에붙어있다고주장하였습니다. 그리고지구가우주의중심인까닭은만물은인간을위해만든신의피조물이며, 그피조물의중심은인간이기때문이라고하였습니다. 이와같은지구중심적우주관을천동설이라고합니다. 천동설은 16세기중엽까지사람들에게절대적인우주관으로자리를잡고있었습니다. 그림 1-39 프톨레마이오스의행성체계 ( 천동설 )

37 그림 1-40 코페르니쿠스의행성체계 ( 지동설 ) 지동설 : 이처럼천동설이확고하게자리잡고있던 1543년폴란드의천문학자코페르니쿠스 (Copernicus, Nicolaus) 는지구중심적우주체계가너무복잡하고설명이잘안되는현상들이관측되는등많은문제점이있음을발견하고지구중심적우주관인천동설을부인하였습니다. 그러면서그는그림 1-40과같은지구를비롯한모든행성들이태양을중심으로회전하고있다는태양중심적우주관을주장하였습니다. 이를지동설이라고합니다. 특히갈릴레이 (Galileo Galilei) 는자신이만든망원경을사용하여금성과목성을관측하고지동설의필연성을주장하기도하였습니다. 종교적인영향이절대적이었던당시에는지구가우주의중심이아니라태양이우주의중심이라는지동설은너무도급작스러운도전이었기때문에상당한논란을불러일으켰습니다. 2 케플러의법칙천동설과지동설의논쟁속에서덴마크의천문학자티코브라헤 (Tycho Brahe) 는약 30여년동안행성의움직임을정밀하게관측하였습니다. 독일의천문학자인케플러 (Kepler, Johannes) 는그의스승인티고브라헤로부터넘겨받은천체관측자료를정리분석하여행성운행표를만들고행성의궤도를계산하였습니다. 그당시사람들은행성들은원운동을한다고생각하였습니다. 케플러역시처음에는행성들이원운동을할것이라고생각하고우선화성의운동궤도를계산하였는데, 자신의계산값이티코브라헤의측정자료와약간다르다는것을발견하였습니다. 티코브라헤의측정자료가매우정밀하다고믿은케플러는화성이원운동을한다는가정에의심을갖고다시여러가정을세워계산한결과화성의공전궤도가그림 1-41과같이태양을하나의초점으로하는거의원에가까운타원궤도라는것을알아내게되었습니다. 이를바탕으로다른행성들도역시태양을하나의초점으로하는타원궤도임을밝혀내게되었던것입니다

38 C B A D 그림 1-41 케플러의제 1 법칙과제 2 법칙그후케플러는화성의공전속도를하고화성의공전궤도가타원이라서궤도의위치에따라속도가달라진다는것을발견하게됩니다. 케플러는 40여년간의긴연구노력끝에마침내행성운동에대한세가지법칙을발표하였습니다. 제 1 법칙 : 모든행성은태양을하나의초점으로하는타원운동을한다. ( 타원궤도의법칙 ) 제 2 법칙 : 행성이궤도운동을할때같은시간동안행성과태양을잇는선분이휩쓰는면적은같다.( 면적속도일정의법칙 ) 제3법칙 : 행성의공전주기 T 의제곱은타원궤도의긴반지름 r 의세제곱에비례한다.( 조화의법칙 ) T 2 r 3 = k( 일정 ) 이들세법칙에대해좀더자세히살펴볼까요? 제1법칙은앞에서언급한것처럼행성들이태양을중심으로원운동을하는것이아니라태양을하나의초점으로하는타원운동을한다는것입니다. 제2법칙은그림 1-41에서보는바와같이행성이태양으로부터먼곳을지날때에는느리게움직이고, 가까운곳을지날때에는빠르게움직인다는것입니다. 즉행성이 A에서 B까지이동했을때걸리는시간과 C에서 D까지이동했을때걸리는시간이같아서태양과행성을잇는선분이같은시간동안휩쓸고지나가는면적 S 1 과 S 2 가같게됩니다. 이들면적은대략부채꼴모양이므로부채꼴의반지름과호의길이의곱으로면적을나타낼수있을겁니다. 그리고같은시간동안휩쓸고지나간면적이같으므로호의길이대신행성의속도로대신해도될것입니다. 따라서 S 1 과 S 2 에서반지름은각각 R 과 r, 행성의공전속도는각각 V 과 v 이므로다음과같은관계식이성립하게됩니다. RV = rv = 일정 (1-59)

39 이식은행성의공전속도에관하여설명하는것으로, 태양과행성간의거리가멀면행성의공 전속도는느려지고, 가까우면공전속도가빨라진다는사실을의미합니다. 제 3 법칙은행성의주기를 T, 타원궤도의긴반지름을 r 이라고할때, 각행성의주기의제 곱 T 2 과긴반지름의세제곱 r 3 의비는모두일정하다는것입니다. 즉 T 2 r 3 = k (1-60) 이법칙은행성의공전반지름이커지면공전주기또한증가한다는것을의미합니다. 따라서 태양으로부터멀리떨어진행성일수록공전주기가길다는것을알수있겠지요? 표 1-2 는태양계에속한여러행성들의궤도반지름과주기를나타낸것입니다. 태양으로부터 의거리가먼행성일수록공전주기가길지만, 주기의제곱 T 2 과긴반지름의세제곱 r 3 의비 는일정합니다. 케플러의제 3 법칙은후에뉴턴이만유인력의법칙을발견하는데큰도움을주 게됩니다. 표 1-2 행성들의여러상수 행성 평균궤도반지름 r ( 10 8 km) 주기 T ( 10 2 d) r 3 ( km 3 ) T 2 ( 10 4 d 2 ) T 2 r 3 = k ( d 2 /km 3 ) 수성 금성 지구 화성 목성 토성 천왕성 혜왕성 명왕성 케플러가행성의운동에관한세법칙을발견함으로써지구가우주의중심이아니라태양계의행성들중의하나에불과하다는것이확실히밝혀지고, 이에따라우주에대한인간의생각을바로잡는계기가되었어요. 그런데케플러는행성의운동을그가발견한법칙으로잘설명하였지만, 행성의운동의원인에대해서는설명하지못하였습니다

40 (2) 만유인력의법칙 만유인력법칙은뉴턴이사과나무에서사과가떨어지는것을보 고발견했다는이야기가전해내려오고있어요. 그러나그것은뉴 턴이가설을세우는과정에서얻은영감중의하나이지실제로사 과나무에서사과가떨어지는것을보고직접만유인력법칙을발 견한것은아니라고합니다. 갈릴레이의법칙에의하면물체에힘이작용하지않으면물체는등속운동을해야하는데, 지 면으로떨어지는사과는가속도운동을하므로사과에는어떤힘이작용하고있을것이라고생 각한뉴턴은이생각을더욱넓혀서만유인력의법칙을발견하였습니다. 뉴턴은지구상에서물 체의운동에적용되는운동의법칙이행성이나다른천체의운동에서도성립될것이라고생각하 였습니다. 뉴턴은달의운동에관해관심을가지고연구를시작하였습니다. 그는만일달에작용하는힘 이없다면달은정지해있거나등속운동을해야하는데, 달이원운동을하는것은달에구심력 이작용하고있어야한다고생각하였습니다. 뉴턴은지구가사과를끌어당기기때문에사과가지 면으로떨어지는것처럼지구가달을끌어당기기때문에달이원운동을하는것이아닐까하는 생각을하였던것입니다. 여기서그유명한사과의일화가나오게된것이지요. 그림 1-42 와같이지구둘레를도는달의질량을 m, 달의궤도반지름을 r 이라고하면달이받는구 심력은 F = m v 2 r 이됩니다. 이때달의공전주기 를 T 라고하면 v = 2 πr T 이므로구심력 F 는다음과같습니다. F = 4 π 2 mr T 2 (1-61) 여기에서케플러의제 3 법칙인 T 2 = kr 3 을 (4-16) 식에대입하면달이받는구심력 F 는 F = 4 π 2 k m r 2 (1-62) 그림 1-42 달의원운동 이됩니다. 즉, 달에작용하는구심력은달의질량에비례하고지구에서달까지의거리의제곱에 반비례하며, 그방향은지구중심을향합니다. 뉴턴은이힘은지구가달을끌어당기기때문에생 기는것이라고생각하였습니다. 그리고작용과반작용에의하여지구가달을끌어당기면달도같 은힘으로지구를끌어당기고, 이힘은달의질량 m 에비례하는것처럼지구의질량 M 에도

41 비례한다고생각하였습니다. 따라서새로운비례상수 G 를택하여 4π 2 k = GM 라놓으면식 (1-62) 는다음과같이됩니다. F = G mm r 2 (1-63) 즉, 달과지구사이에작용하는힘은달과지구의질량의곱에비례하고그들사이의거리의 제곱에반비례합니다. 뉴턴은이러한힘은달과지구사이에서만작용하는것이아니라태양과 행성, 행성과행성그리고더나아가모든물체들사이에작용한다고생각하였습니다. 일반적으로그림 1-43 과같이질량이 m 1, m 2 인두 물체사이의거리가 r 이라면두물체사이에작용하는 힘 F 는식 (1-63) 에의하여다음과같이나타낼수있습니다. 즉 F = G m 1m 2 r 2 (1-64) 그림 1-43 만유인력의법칙 이힘을만유인력이라하며, 모든물체에대해서보펀적으로성립하는이법칙을만유인력 의법칙이라고하는것입니다. 그리고식 (1-64) 에서비례상수 G 를만유인력상수라고하며 현재공인된만유인력상수 G 의값은다음과같습니다. G = N m 2 /kg 2 지구의중력 : 지구가우리몸을끌어잡아당기고있기때문에무게를느끼게되는겁니다. 지구가물체에작용하는중력도만유인력중하나이지요. 지구와지구상에있는물체사이의인 력입니다. 그런데지구가너무커서지구상의물체들은일방적으로지구에끌리는것처럼느끼는 것이지요. 지구를밀도가균일한구로가정하고지구의질량이중심에집중되어있다고생각하고, 지구의 질량을 M, 지구의반지름을 R 이라고하면지구표면에있는질량 m 인물체가받는만유인 력은물체가받는중력이므로다음과같이나타낼수있습니다. F = G mm R 2 = mg (1-65) 이식의양변에서물체의질량을소거하면중력가속도를구할수있습니다. g = GM R 2 (1-66) 즉, 지구표면에서의중력가속도는지구의질량과지구의반지름에만영향을받고, 물체의질 량에는무관함을알수있네요

42 5. 충돌 우리는물리 1에서운동량과충격량을이용하면물체의충돌현상을매우쉽게설명할수있음을알았을것입니다. 그러면충돌의종류를어떻게구분하며충돌할때에너지의변화는어떻게되는지알아볼까요? (1) 반발계수충돌에는탁구공이나테니스공처럼잘튀는것도있고, 찰흙처럼바닥에던지면전혀튀지않고그냥붙어버리는것도있는것처럼충돌할때튕겨나가는모습이물체마다제각각입니다. 물체가충돌할때튕겨지는정도는물체의탄성에따라다른값을갖습니다. 일반적으로충돌후물체의속도는그물체가튕겨지는정도에따라달라집니다. 그러므로충돌전과충돌후의물체들이가지는상대속도의비를이용하여충돌하는물체들의성질을나타낼수있습니다. 그림 1-44와같이테니스공을속도 v 로벽을향해정면으로던졌더니벽과충돌한후속도 v' 로튕겨나왔다면, 충돌전후속도의크기의비는다음과같이나타낼수있습니다. e =- v' v (1-67) 그림 1-44 벽과충돌하는공의속도 반발계수는충돌전후속도의비이므로물체의질 량에는관계가없으며, 탄성과관련된값입니다. 그리고그림 1-45 와같이일직선상에서운동하는두구가충돌할때. 충돌전의속도 v 1, v 2 가충돌후에그속도가각각 v 1 ', v 2 ' 로되었다면반발계수는충돌전후의상대속도의비로 나타냅니다. 즉, 반발계수는충돌후두구의상대속도 ( v 1 ' - v 2 ') 를충돌전두구의상대 속도 ( v 1 -v 2 ) 로나눈값이됩니다. 이관계를식으로나타내면다음과같습니다. e =- v 1' - v 2 ' v 1 - v 2 (1-68) 반발계수는충돌하는두물체의재질에따라 결정되며그값의범위는 0 e 1 입니다. 반발계수의값에따라충돌의종류를다음과같이나눌수있습니다. 반발계수가 e =1인경우를완전탄성충돌또는탄성충돌이라고합니다. 이경우에는충돌 그림 1-45 직선상의충돌에서속도의변화

43 그림 1-46 당구공의완전탄성충돌 ; 충돌전후의상대속도가변하지않는다 전의속도의크기와충돌후의속도의크기가같아집니다. 특히두물체의질량이같다면두물체의속도는서로교환됩니다. 이러한탄성충돌의예로는매우근사적이기는하지만당구공의충돌이나기체분자의충돌, 원자핵반응등을들수있습니다. 탄성충돌에서는그림 1-46과같이충돌전후의상대속도가변하지않습니다. 그리고 0<e <1인충돌을비탄성충돌이라고하며, 실제대부분의충돌이이경우에해당됩니다. 특히 e =0인경우에는충돌후두물체가한데붙어서운동하므로상대속도가 0이됩니다. 이러한충돌을완전비탄성충돌이라고합니다. (2) 충돌에서운동에너지의변화우리는물리 1에서물체가충돌할때충돌전후의운동량은언제나일정하게보존된다는 운동량보존법칙 을공부하였습니다. 그러나운동에너지는반발계수가어떤값을가지느냐에따라충돌을전후하여보존될수도있고, 보존되지않을수도있습니다. 탄성충돌에서는충돌전후의속도의크기가같으므로운동량뿐만아니라운동에너지도보존됩니다. 즉, 충돌후두물체의운동에너지의합은충돌전의운동에너지의합과같습니다. 이관계를식으로나타내면다음과같습니다. 1 2 m 1 v m 2 v 2 2 = 1 2 m 1 v 1 ' m 2 v 2 ' 2 (1-69) 충돌전의운동에너지충돌후의운동에너지이에비해비탄성충돌에서는운동에너지가보존되지않습니다. 그이유는충돌과정에서충돌전운동에너지의일부가다른형태의에너지 ( 열에너지나소리에너지등 ) 로전환되기때문에충돌후의총운동에너지는충돌전의총운동에너지보다작아집니다. 또충돌후두물체가서로달라붙어한덩어리가되어운동하는완전비탄성충돌에서는운동에너지의손실이최대가됩니다. 그림 1-47은충돌의종류에따른운동에너지의변화를나타낸것입니다. ( 가 ) 완전탄성충돌 ( 나 ) 비탄성충돌 ( 다 ) 완전비탄성충돌 그림 1-47 충돌에서운동에너지의변화

44 (3) 평면상에서의충돌당구장경기에서는여러가지충돌현상들을볼수있어요. 앞에서는일직선상에서의충돌현상을살펴보았는데, 이번에는평면상에서일어나는충돌현상에대해알아볼까요? 평면상에서의충돌에서는운동량의벡터적성질을이용하는것이중요합니다. 평면상에서두개의당구공이정면으로충돌하지않고비스듬히충돌하는경우를살펴봅시다. 그림 1-48의 ( 가 ) 는평면상에서두개의공이충돌할때찍은다중섬광사진입니다. 이사진을보면질량 m 1 인공 A가 v 1 의속도로정지하고있는질량 m 2 인공 B와충돌한다음속도가각각 v 1 ' 와 v 2 ' 로된것을알수있어요. 이때충돌전공 A 의운동량은 p 1 = m 1 v 1 이고, 공 B 는정지하고있었으므로운동량은 0 입 니다. 그림 ( 가 ) 에서와같이충돌후두공 A 와 B 의운동량 m 1 v 1 ' 와 m 2 v 2 ' 의벡터합을구하 여충돌전공 A 의운동량 로나타내면 m 1 v 1 과비교해보면서로같다는것을알수있습니다. 이것을식으 m 1 v 1 = m 1 v 1 ' + m 2 v 2 ' (1-70) ( 가 ) 다중섬광사진 ( 나 ) 운동량의성분별분해 그림 1-48 평면상에서두공의빗면충돌 이됩니다. 따라서두물체가한평면상에서비스듬히충돌할때에도운동량이보존된다는사실 을확인할수있습니다. 운동량의벡터합은그림 ( 가 ) 에서와같이평행사변형법으로구해도되지 만, 그림 ( 나 ) 와같이성분별로분해하여구할수도있습니다. 그러면지금부터그림 1-48의 ( 나 ) 를보면서운동량을 x 성분과 y 성분으로분해하고각성분 끼리합하여충돌전후의운동량을비교해볼까요?

45 두공의충돌에서운동량은보존되므로충돌전후에운동량의 x 성분과 y 성분도변하지않아 야합니다. 충돌전공 A는 x 방향으로운동하였으므로운동량의 y 성분은 0이고 x 성분뿐입니 다. 따라서충돌전의운동량은 x 성분은 m 1 v 1x 뿐이고, 충돌후의운동량의 x 성분은 m 1 v 1x ' 과 m 2 v 2x ' 이므로충돌전후의운동량의 x 성분의합은다음과같이나타낼수있습니다. x 성분의합 : m 1 v 1x +0=m 1 v 1x ' + m 2 v 2x ' (1-71) 그리고충돌후의운동량의 y 성분은 m 1 v 1y ' 와 m 2 v 2y ' 이므로충돌전후의운동량의 y 성분 의합은 y 성분의합 : 0+0=m 1 v 1y ' + m 2 v 2y ' (1-72) 또위의두식을다음과같이간단히나타낼수도있습니다. x 성분 : y 성분 : p 1x +0=p 1x ' + p 2x ' 0+0=p 1y ' + p 2y ' 충동전충동후 그러면두공의질량이같은경우의충돌에대해살펴볼까요? 그림 1-49는질량이모두 m 인당구공 A 가당구공 B에빗면충돌하는경우를나타낸것입니다. 우선충돌전당구공 A의속도를 v 1, 충돌후당구공 A, B의속도를 v 1 ', v 2 ' 라고하면운동량보존법칙에의해다 음식이성립됩니다. 즉, 그림 1-49 평면상에서의탄성충돌 mv 1 = mv 1 ' + mv 2 ' v 1 = v 1 ' + v 2 ' (1-73) 한편, 두당구공의충돌은탄성충돌이므로운동에너지또한보존될것입니다. 따라서 1 2 mv 2 1 = 1 2 mv 1' mv 2 2 v 2 1 = v 1 ' 2 + v 2 ' 2 (1-74) 식 (1-74) 는피다고라스의정리에해당하므로세속도벡터 v 1, v 1 ', v 2 ' 는직각삼각형의세변 을이룬다는것을알수있습니다. 그리고 v 1 은그삼각형의빗변이되고, v 1 ' 와 v 2 ' 는서로 수직이되어야합니다. 따라서당구공의마찰과회전을무시한다면충돌후두개의당구공이진 행하는경로가이루는각도가직각이되어야합니다

46 6. 열현상과기체분자의운동 인류문명은불을발견하면서급격히발전하기시작하였으며, 불을생활에이용하면서한곳에정착할수있게되었습니다. 오늘날우리는열을생활에어떻게이용하고있는지생각해볼까요? 우리생활과밀접한관계가있는에너지의일종인열과분자운동사이의관계에대해알아보고기체의온도와압력및부피사이의관계에대해알아봅시다. (1) 열현상 1 온도와 열 같은장소에있으면서어떤사람은덥다고하고, 또어떤사람은선선하다고하는것을본적 이있을겁니다. 이것은사람에따라서차고더운정도를느끼는감각이다르기때문입니다. 이처 럼감각은주관적이기때문에이를정확하게나타낼수가없기때문에객관적으로정확히나타 낼필요성이절실히요구됩니다. 온도 : 물체의차고더운정도를수량으로나타낸것을온도라고합니다. 온도를측정하는기 구로는대개수은이나알코올등의액체의부피팽창을이용한온도계가널리사용되고있습니 다. 모든물체는분자들로이루어져있으며, 이들분자들 은물체의내부에서제멋대로운동하고있습니다. 그리 고물체의온도는그물체를구성하는분자들이얼마나 격렬하게운동하고있는지를나타내는값이며, 물체의 온도가높으면분자의평균운동에너지가크다고말할 수있어요. 그러면물체의차고더운정도를나타내는척도에는 어떤것들이있을까요? 먼저일상생활에서널리사용되는온도의척도로는 섭씨온도를들수있습니다. 섭씨 온도는그림 1-50 과 같이 1 기압에서순수한물의어는점을 0 으로하고, 끓는 점을 100 으로정하여그사이를 100 등분하고한구간을 1 로정한온도입니다. 물론섭씨온도의단위는 입 니다. 물체의온도가낮을수록분자운동에너지가작아지는데, 온도를계속낮춰갈때분자운동에너지가 0 이되는온도는 그림 1-50 섭씨온도와절대온도의비교

47 이론적으로 -273 라고합니다. 이것이온도의한계라고할수있어요. 절대운도는분자의운동에너지가 0이되는 -273 를 0으로잡고눈금간격은섭씨온도와동일하게만든온도체계를말합니다. 다시말하면 1-50 에서와같이 1기압에서순수한물의어는점을 273으로하고, 끓는점을 373으로정하여그사이를 100 등분하여한구간을 1K로정한온도입니다. 국제단위계에서는절대온도를사용하며단위는 K( 캘빈 ) 을사용합니다. 섭씨온도 t ( ) 와절대온도 T (K) 사이에는다음과같은관계가성립합니다. 즉, T ( K) = t ( ) (1-75) 의관계식이성립합니다. 그리고섭씨온도의눈금간격 1 와절대온도의눈금간격 1K는동일합니다. 열 : 온도를말할때에는 열 이금방연상되지요? 그러면과연열이란무엇일까요? 온도가서로다른두물체를접촉시키면온도가높은물체의온도는낮아지고, 온도가낮은물체의온도는높아지는데이것은온도가높은물체에서낮은물체로에너지가이동하기때문인데, 이처럼온도가높은물체에서낮은물체로이동하는에너지를열이라고합니다. 그리고이런방법으로이동하는열의양을열량이라고합니다. 열량의단위로는줄 (J) 을사용하며일상생활에서는 cal 또는 kcal를많이사용하고있어요. 1kcal 는순수한물 1kg을온도를 1K 높이는데필요한열량입니다. 그리고온도가다른두물체를접촉시켰을때열의이동이끝나면두물체의온도가같지는데이런상태를열평형이라고합니다. 두물체가열평형상태에도달할때까지고온의물체가잃은열량은저온의물체가얻은열량과같으며, 이것을열량보존의법칙이라고합니다. 손을비비면열이발생하는것을잘알고있지요? 망치로못을박을때못을만져보면못이뜨거워진것을알수있습니다. 이것은망치로못을박을때열이발생했기때문인데이때발생한열의양은망치가못에해준일의양에비례합니다. 영국의과학자줄 (J. Joule) 은그림 1-51과같은장치를고안하여일과열사이의수량적관계를조사하여열도에너지의한형태임을밝혀내었습니다. 이장치는추가중력에의해낙하하면서열량계속의날개를회전시키면날개와물의마찰에의해열이발생하여물의온도가올라가게되도록고안되었습니다. 이때추가낙하하면서한일은손실되지않고모두날개를회전시키는데사용된다고가정하였지요. 이실험에서열량계속의물이얻은열량은추가낙하하면서날개에해준일의양에비례한다는사실이확인되었그림 1-51 줄의실험장치

48 습니다. 즉, 추가날개에해준일의양 W (J) 와물이얻은열량 은관계가성립합니다. Q (kcal) 사이에는다음과같 W = J Q (1-76) 이식에서비례상수 J 는열량과에너지사이의환산관계를나타내는계수이며, 열의일당량이라고합니다. 현재알려진 J 의값은다음과같습니다. J = J/kcal 이것은열이역학적에너지와같은에너지의한형태이며, 에너지는보존된다는것을나타내는것입니다. 2 열용량과 비열 뜨거운커피를마시기적당한온도로만들려면찬우유를넣으면됩니다. 우리는마시기에적당한온도가얼마인지정확히판단하지않고대충어림하여우유를넣습니다. 뜨거운커피와찬우유를섞을때최종온도는어떻게구할수있을까요? 열량을정확히알기위해서는먼저열용량과비열에대해알아보아야합니다. 열용량 : 1kg의물과 10kg의물의온도를똑같이 1K(=1 ) 올리려면어떤쪽의물에더많은열량이필요할까요? 우리는당연히 1kg의물보다 10kg의물의온도를높이는데더많은열량이필요하다는것을알고있습니다. 이처럼물체를가열하는데필요한열량을비교할때에는같은온도로올리는데필요한열량을비교하는것이편리합니다. 물체의온도를 1K 올리는데필요한열량을그물체의열용량이라고합니다. 따라서질량이클수록열용량이커진다는것을알수있겠지요? 어떤물체에 Q (kcal) 의열량을가했을때온도가 Δt( ) 만큼상승했다면, 그물체의열용량 C 는 C = Q Δt (1-77) 이며, 열용량의단위는 J/K 또는 kcal/k를사용합니다. 비열 : 같은양의물과올리브유를똑같이 1K씩올리려면어느쪽에더많은열을가해야할까요? 너무쉬운질문인가요? 그러나여기서열에관한중요한개념을하나알게됩니다. 질량이같은물질을가열할때어떤물질은열을조금만가해도온도가쉽게올라가지만어떤물질은잘올라가지않는것을알고있지요? 이것은질량이같아도물질에따라단위온도 (1K) 를변화시키는데필요한열량이다르기때문이랍니다

49 어떤물질 1kg의온도를 1K 올리는데필요한열량을그물질의비열이라고하며, 단위로는 J/kg K 또는 kcal/kg K를사용합니다. 따라서질량이같은경우에는비열이큰물질일수록같은열량에의한온도변화가작다는것을알수있습니다. 표 1-3은여러가지물질의비열을나타낸것입니다. 비열은물질의종류에따라다르기때문에물질의특성을나타냅니다. 일반적으로액체의비열이금속의비열보다크고, 특히물의비열은다른물질에비해훨씬크다는것을알수있습니다. 그리고물과얼음의비열이다른것처럼같은물질이라도물질의상태에따라서비열이달라집니다. 표 1-3 물질의비열 물질온도비열 ( ) (kcal/kg K) 알루미늄 철 은 구리 금 물 바닷물 에탄올 얼음 수은 따라서질량이 m 이고, 비열이 c 인물질의열용량은 C =mc 이며, 이물질의온도를 Δt 만 큼올리는데필요한열량 Q 는 Q = mcδt (1-78) 이됩니다. 이것은물질의온도가 Δt 만큼내려갈때물질이잃은열량과도같습니다. 그리고열용량과비열을종합해보면, 같은종류의물질인경우에열용량은질량에비례하지만, 만일물질의종류가다른경우에는질량이같더라도열용량은달라진다는것을알수있습니다. 한편그림 1-52 와같이질량 m 1, 비열 c 1, 온도가 t 1 인액체 A와질량 m 2, 비열 c 2, 온도가 t 2 ( t 1 >t 2 ) 인액체 B를섞을때온도 t 에서열평형을이루었다면열량보존법칙에의하여 m 1 c 1 (t 1 - t )=m 2 c 2 (t-t 2 ) (1-79) 의관계가성립합니다. 이식을이용하면물질의비열을구할수있습니다. 그림 1-52 두액체를섞을때열의이동과열평형

50 3 열의 이동 온도가다른두물체를접촉시켰을때열은고온의물체에서저온의물체로흐른다는사실을잘알고있겠지요? 이때열은절대로저온의물체에서고온의물체로흐르지않습니다. 반드시고온에서저온으로이동합니다. 그러면열이어떤방법으로한곳에서다른곳으로이동하는지알아볼까요? 전도 : 뜨거운국그릇에숟가락을한동안담가놓으면숟가락손잡이까지뜨거워집니다. 이것은뜨거운국물의열이숟가락에전달되었기때문입니다. 그림 1-53 과같이금속막대의한쪽끝을가열하면금속을구성하는분자들의열운동이활발해집니다. 그러면이들분자들은아주짧은거리이지만이동하면서이웃분자들과충돌하면서자신의운동에너지를전달하게됩니다. 이렇게하여열이전달되는것입니다. 이와같이물체내에서분자의운동에너지전달에의해서열이고온부에서저온부로이동하는현상을전도 (conduction) 이라고합니다. 그림 1-53 금속에서의열의이동그림 1-54 열전도 그림 1-54 와같이단면적이 A 이고길이가 l 인금속막대양끝의온도가각각 T 1, T 2 ( T 1 >T 2 ) 일때, t 동안전도에의해이동하는열량 Q 는다음식으로구하면됩니다. 여기서비례상수 Q = ka ( T 1 - T 2 l ) t (1-80) k 를열전도율이라고하며, 이값은물질의종류에따라정해지는상수로서 그단위는 J/m s K입니다. 우리는열전도율이큰물질을열의양도체라하고, 열전도율이작은물체를열의부도체라고합니다. 그러면열의양도체가열을잘전도한다는것을알수있겠 지요? 가정에서사용하는냄비나주전자등은양도체인금속으로되어있고, 손잡이는부도체인 나무나플라스틱등을이용합니다. 식 (1-80) 을보면, 열이전도될때에는열이이동하는단면적이클수록, 길이가짧을수록, 그리 고양쪽의온도차가클수록전도되는열량이많다는것을알수있습니다. 대류 : 앞에서공부한열전도는대부분고체에서열이이동하는방법입니다. 액체나기체의 경우에는다른방법으로열을이동시킵니다. 그림 1-55 와같이주전자에물을넣고가열하면서 톱밥을넣어보면톱밥이아래로부터화살표방향으로위로솟구쳤다가다시아래로내려가는순

51 환을계속하는것을볼수있어요. 이러한흐름은밀도의차이때문에나타나는현상입니다. 열을받은아래부분에있는물은부피가늘어나서밀도가작아지므로가벼워져서위로올라가게됩니다. 그리고위로올라간물은식으면서상대적으로밀도가커지게되고무거워져서아래로내려가게되는것입니다. 대류는이런과정을반복하면서뜨거운물과찬물이위아래로섞이게되어열이전달되는현상입니다. 이와같이물질을구성하는분자들이밀도차에의해서순환하면서열을이동시키는것을대류라고합니다. 대류에의한열의이동속도는전도보다빠르며, 열전도율이작은액체나기체는주로대류에의해온도가균일해집니다. 그림 1-56 과같이방안을환기시킬때문을위아래로열어놓으면대류가활발히일어납니다. 그리고지구에서대규모적으로일어나는해류나대기의순환운동은대류현상의좋은보기입니다. 그림 1-55 액체의대류그림 1-56 공기의대류 ( 실내의환기 ) 복사 : 겨울날전기난로앞에있으면전기난로에서나오는열기를직접느낄수있습니다그러나난로앞을다른사람이막아서면열기를느낄수없어요. 이것은열이전도나대류와같이물질을통해서이동하는것이아니라열이어떤중간매질을거치지않고공간을통해직접이동되기때문입니다. 이와같이열이중간매질없이공간을통해직접이동하는현상을복사라고합니다. 그리고복사에의해전달되는열에너지를복사에너지라고합니다. 복사에너지는물질에따라흡수되고방출되는정도가다릅니다. 예를들면흰색의옷은빛을잘반사하여열을덜받기때문에여름에는흰색계통의옷을많이입어요, 그리고검은색옷은빛을잘받아들여열을많이받기때문에겨울에는검은색계통의옷을많이입는것입니다. 이처럼복사는물체표면의성질과온도에따라다른데, 특히복사하는에너지를모두흡수하거나방출하는이상적인물체를흑체라고합니다. 흑체의경우, 표면의단면적에서단위시간에방출하는복사에너지 E 는절대온도 T 의 4제곱에비례합니다. 이것을스테판 -볼츠만법칙이라고하며, 이관계를식으로나타내면다음과같습니다. E = σt 4 (1-81) 이식에서비례상수 σ를스테판 -볼츠만상수라고합니다

52 4 열팽창기차레일이나긴다리는일정한간격으로중간의이음새를약간씩떼어놓은것을보았을겁니다. 이것은레일이나다리의상판이열을받아길이가팽창하여휘어지는것을방지하기위한것입니다. 또온도계의아랫부분을두손으로감싸주면온도계의알코올이나수은이위로올라가는것을볼수있는데, 이와같은현상을열팽창이라고합니다. 모든물체가열을받으면온도가올라가고, 정도의차이는있지만그길이나부피가팽창합니다. 이것은열을받은물체의분자운동이활발해지고그결과분자사이의간격이넓어지기때문입니다. 선팽창 : 선팽창은열을받은물체의길이가늘어나는것을말합니다. 그림 1-57과같이온도가 t 0 일때길이가 l 0 인금속막대를가열하여온도를 t 로높였을때그길이가 l 로되었다고합시다. 이때늘어난길이 Δl 은처음길이 l 0 와온도 변화 Δt (=t- t o ) 에비례합니다. 즉, Δl = αl 0 Δt (1-82) 그림 1-57 고체의선팽창 의관계식이성립합니다. 여기서비례상수 α 는선팽창계수라고합니다. 그리고식 (1-82) 를통해서늘어난후의전체길이 l 을다음과같이구할수있습니다. l = l 0 + Δl = l 0 (1+αΔt) (1-83) 그러면선팽창계수가서로다른두금속을붙여놓고온도변화를주면어떻게될까요? 그림 1-58 과같이실온에서온도변화가없다면두금속을붙여놓은막대의길이도변화가없을겁니다. 그러나열을가하던지얼음을올려놓든지하여온도변화를주면선팽창계수가큰금속이더많이늘어나거나줄어들게되므로어느한쪽으로휘게됩니다. 이것을바이메탈이라고합니다. 바이메탈은자동온도조절기, 온도계등에널리이용됩니다. 표 1-3 여러 가지물질의선팽창 계수 물질 온도 ( ) 선팽창계수 α( 10 5 /K) 구리 0~ 납 0~ 아연 0~ 알루미늄 0~ 유리 0~ 철 니켈 그림 1-58 바이메탈의원리

53 부피팽창 : 고체는각방향으로선팽창을하므로그부피가팽창하게되는게당연하겠지요? 부피팽창은선팽창으로부터유도해낼수있습니다. 그림 1-59 와같이세변의길이가각각 l 1, l 2, l 3 인직육면체에열을가하여매우적은온도변화 Δt 를주었더니그길이가각각 l 1 ', l 2 ', l 3 ' 로되었다면각길이는선팽창에의해다음과같이될것입니다. 즉, l 1 ' = l 1 (1+αΔt ), l 2 ' = l 2 (1+αΔt ), l 3 ' = l 3 (1+αΔt ) 그림 1-59 직육면체의부피팽창 직육면체가팽창하기전의부피를 V 0 ( = l 1 l 2 l 3 ) 라하고온도가 Δt 만큼했을때의부피를 V ( = l 1 'l 2 'l 3 ') 라고하면 V = l 1 'l 2 'l 3 '= l 1 l 2 l 3 (1+αΔt) 3 = V 0 (1+3αΔt +3α 2 Δt 2 + α 3 Δt 3 ) 그런데온도변화 Δt 가매우작다고가정하였고, 선팽창계수는매우작은값이므로 2 차항이 상인 3α 2 Δt 2 과 α 3 Δt 3 은무시해도될것입니다. 그러면위의식은다음과같이간단히정리됩 니다. V =V 0 (1+3αΔt ) 여기서 3α를 β 로놓으면 (β=3α) 선팽창과유사한형태의식으로나타낼수있습니다. 즉, V =V 0 (1+βΔt ) (1-84) 이때비례상수 β를부패팽창계수라하며, 부피팽창계수는선팽창계수의 3배라는것을 알수있습니다. 그리고온도변화 Δt 에의해서증가한부피는식 (1-84) 의 V 에서 V 0 를뺀값이므로다음과 같이나타낼수있으며이것은식 (1-82) 와유사한식임을알수있습니다. ΔV = βv 0 Δt (1-85)

54 5 물질의상태변화더운여름날마당에물을뿌리면시원해집니다. 이것은물이수증기로변하면서주위의열을빼앗아가기때문입니다. 그리고수영장에서물기를말리지않고밖으로나오면시원함을느끼게됩니다. 바람이라도불면춥기까지합니다. 이것은액체인물이기체인수증기로변하면서몸의열을빼앗아가기때문입니다. 이와같이물질의성질은변하지않고그상태만변하는것을물질의상태변화라고합니다. 그러면물질의상태에는어떤것들이있을까요? 모든물질은압력과온도에따라고체, 액체, 기체등세가지상태로존재합니다. 고체상태의분자들은분자사이에작용하는힘이크므로그림 1-60 의 ( 가 ) 와같이서로일정한거리를유지하면서고정된위치에서진동합니다. 액체상태의분자들은분자운동이활발하여그림 ( 나 ) 와같이분자사이의거리가고체상태보다멀어집니다따라서분자력은감소하지만부피를유지할정도의분자력은여전히작용하고있습니다. 그리고기체상태의분자들은운동이더욱활발하여분자사이의거리가그림 ( 다 ) 와같이분자력이작용할수없을정도로멀어지게됩니다. 고체가열을흡수하여액체로변하는현상을융해라고하며, 이때흡수하는열을융해열이라고합니다. 또액체가열을흡수하여기체로되는현상을기화라고하며, 이때흡수하는열을기화열이라고합니다. 한편반대로기체가열을방출하여액체로되는현상을액화라고하며, 이때방출하는열을액화열이라고합니다. 또액체가열을방출하여고체로되는현상을응고라고하며, 이때방출하는열을응고열이라고합니다. 물질의응고열은융해열과같고, 액화열은기화열과같다는것을알겠지요? ( 가 ) ( 나 ) ( 다 ) 그림 1-60 물질의세가지상태 한편드라이아이스 ( 고체 CO 2 ) 나나프탈렌과같이고체가액체상태를거치지않고직접기체상태로되거나대기중의수증기가냉각되어서리가되는것과같이기체가액체상태를거치지않고직접고체로되는경우도있는데이러한현상을승화라고합니다. 그러면물질의상태변화를고체인얼음이액체인물로, 그리고기체인수증기로변하는과정을자세히알아봅니다

55 그림 1-61 물의상태변화그림 1-61은 1기압하에서 -20 의얼음 1kg을가열하여 120 의수증기가될때까지의상태변화를나타낸것입니다. 그림의 A 영역에서는얼음과물이공존하며, C영역에서는물과수증기가공존합니다. 고체인얼음에열을가하면얼음의온도가올라갑니다. 그러다가녹는점에다다르면온도변화는없고가해주는열에너지는고체상태의얼음에서액체상태인물로변화는데만사용됩니다. 이과정이지나게되면고체상태의얼음이액체상태인물이되고, 가해지는열에너지는물의온도를높여주는데사용됩니다. 물의온도가끓는점에다다르면물의온도는더이상올라가지않고가해주는열에너지는액체상태의물에서기체상태인수증기로변하는데만사용됩니다. 그리고이후에계속열을가하면수증기의온도가상승하게됩니다. 상태의변화과정은반대인경우에도마찬가지입니다. 기체인수증기가열을방출하여끓는점에도달하고, 계속열을방출하여도온도는변하지않고액체인물로변합니다. 이렇게상태가변하고나서계속열을방출하면물의온도가낮아지게되고어는점에도달하면역시온도는변하지않으면서고체인얼음으로상태가변합니다. 이와같이물질을가열하면특정한온도에서물질의상태가변하며, 상태가변화되는동안에는열을계속가해도온도변화가생기지않습니다. 그림 1-61을보면열을계속가해도온도가변화하지않고일정한상태를유지하는구간이있는것을알수있습니다. 바로이구간이상태변화가일어나는구간입니다. 이와같이온도변화가없이상태가변화되는동안에공급되는열을숨은열이라고합니다. 그림 1-61 을보고다음물음에답하라. (1) 얼음과물이공존하는온도는몇 인가? 이때물의융해열은얼마인가? (2) 또물과수증기가공존하는온도는몇 인가? 이때물의기화열은얼마인가?

56 (2) 기체분자의운동하늘을나는기구를알고있겠지요? 이기구에더운공기를불어넣으면기구가공중으로떠올라가게됩니다. 여름철에는자전거바퀴가팽팽해지기때문에바람을적당히빼주어야하고겨울철에는약간더넣어주어야합니다. 이런사실을통해기체의압력, 부피그리고온도사이에어떤관계가있다는것을짐작할수있겠지요? 1 기체의압력과부피기체는분자로구성되어있으므로기체의성질은이들분자의운동과밀접한관계가있습니다. 기체분자의열운동에의해서그기체의압력, 부피등이변하게됩니다. 압력 : 손바닥을볼펜끝으로누르면매우아프지요? 그런데같은힘으로손가락으로누르면별로아프질않아요. 그것은힘이가해지는면적과관련이있습니다. 손가락으로누르는경우에는손가락의넓이만큼힘이분산되지만, 볼펜의경우에는볼펜끝으로모든힘이집중되기때문에볼펜끝으로누르는것이더아픈것입니다. 다시말하면볼펜끝으로누르는경우가손가락으로누를때보다압력이크기때문입니다. 압력이란단위면적을수직으로누르는힘입니다. 어떤면을누르는힘을 F, 힘을받는면적을 A라고하면압력 P 는 P = F A (1-86) 으로나타낼수있습니다. 압력의단위로는 N/m 2 또는 Pa( 파스칼 ) 을사용하며, 1Pa =1N/m 2 입니다. 특히기체분자들은무질서한열운동을하여기체를담고있는그릇의벽과충돌하게 됩니다. 분자들이벽면과충돌할때벽면의단위면적에수직하게작용하는힘의크기 가기체의압력이라고합니다. 대기압 : 지구를둘러싸고있는공기는질량을가지고있기때문에공기의무게가지상의모 든물체에힘을작용하고있습니다. 물론사람에게도힘을가 하겠지요. 이것이공기에의한압력, 즉대기압입니다. 대기압 은어느방향으로나같은크기로작용합니다. 1643년 이탈리아의 물리학자 토리첼리 (Torricelli) 는 그림 1-62 와같은실험으로대기압을측정하는데성공하였습니다. 그림과같이한쪽끈이막힌길이 1m 정도의유리관에수은을가득채운다음그관을수은이담긴그릇에거꾸로세웠습니다. 그랬더니유리관을수직으로세우거나기울여서세우거나관계없이유리관의윗부분에진공이생기고일정한높이의 그림 1-62 토리첼리의실험

57 수은기둥이생기는것을알아내었습니다. 그리고수은기둥의높이가 76cm 이라는것을확인하 였습니다. 이때유리관위쪽진공부분에는공기가없으므로압력은 0 이됩니다. 따라서 76cm 의 수은기둥이누르는힘은대기압이그릇의수은표면을누르는힘과같고이것을 1 기압 (atmosphere, atm) 으로정하였습니다. 0 에서 1 기압은다음과같습니다. 1 기압 (atm) = 76 cmhg = 760 mmhg = N/m 2 = Pa = 1,013 hpa 보일의법칙 : 기체는고체나액체와는달리온도와압력에따라부피가쉽게변합니다. 그 이유는기체분자사이의거리가분자의크기에비하여멀고, 분자사이에작용하는힘이거의 없어서자유롭게움직일수있기때문입니다 년보일 (Robert Boyle) 은온도를일정하게유지하고그림 1-63 과같이기체의압력을 2 배, 3배, 로증가시키면기체의부피는 1 2 배, 1 3 를그래프로나타내면그림 1-64와같습니다. 배, 로줄어드는것을알아내었습니다. 이관계 일반적으로온도가일정할때기체의압력을 P, 부피를 V 라고하면 PV = 일정 (1-87) 인관계가성립하는데, 이것을보일의법칙이라고합니다. 보일의법칙은여러가지기체에대하여일반적으로성립하는법칙입니다. T = 일정 그림 1-63 보일의실험그림 1-64 기체의압력과부피의관계 2 기체의온도과부피 기체의온도를높여주면기체분자의운동이활발해지고분자사이의거리가멀어지면서기 체의부피가팽창하게됩니다

58 샤를의법칙 : 찌그러진탁구공을더운물에넣어서다시펴본경험이있을겁니다. 이것은 탁구공속의공기가더운물에의해열을받아그부피가팽창하기때문에가능한것입니다. 그 러면기체의온도와부피사이에는어떤관계가있을까요? 1787 년샤를 (Charles J. A.) 은압력이일정하게유지하고그림 1-65 와같이온도를높여가면서 증가하는기체의부피를측정하고기체의온도가올라갈수록부피가일정한비율로증가하는것 을알아내었습니다. 그리고그림과같은그래프를얻었습니다. 즉, 기체의부피는온도가 1 상 승할때마다 0 때의부피의약 씩증가한다는것을발견한것입니다. 일반적으로일정량의기체가일정한압력하에있을때 0 때의부피를 V 0, t 때의부피를 V 라고하면 V = V 0 ( t ) (1-88) 가됩니다. 이것을샤를의법칙이라고합니다. 이식에서 은기체의 부피팽창계수 β 이며, 이값은기체의종류에관계없이항상일정합니다. 그림 1-65의그래프를 0 이하로연장시키면온도축과 -273 에서만나게되는데, 이온도에서기체의부피는 0이됩니다. 그러나실제로기체는이온도에이르기전에기체의성질을잃고액체또는고체로변합니다. 이온도는이론적으로생각할수있는최저온도이며, 절대 0도 (0K) 라고합니다. 그러면식 (1-88) 을절대온도에관한식으로바꿔볼까요? 우리는그런데섭씨온도 t 와절대온도 T 사이에는 T =273+t 의관계가있음을알고있습니다. 따라서식 (1-88) 은다음과같이바꾸어쓸수있습니다. P P P = 일정 그림 1-65 샤를의법칙기체의온도와부피의관계

59 V = V 0 [ t ] = V 0 [ 273+ t 273 ] 그런데섭씨온도 0 는절대온도 273K 이므로 273 = T 0 로놓으면위식은 V = V 0 T T 0 또는 V 0 T 0 = V T = 일정 (1-89) 나타낼수있습니다. 이식을통해서샤를의법칙은 압력이일정할때일정량의기체의부피는 절대온도에비례한다. 고말할수있습니다. 3 기체의 상태 방정식 앞에서기체의온도를일정하게하든지, 아니면온도를일정하게하는제한조건하에서기체의 부피가어떻게변하는지알아보았어요. 그러면기체의압력과온도가모두변하는경우에는기체 의부피는어떻게표현할수있을까요? 보일 -샤를의법칙 : 일반적으로일정량의기체의부피는압력에반비례하고절대온도에비 례합니다. 그림 1-66 과같이온도가 T 0 로일정히유지하면서압력을 P 0 에서 P 로변화시켰을 때기체의부피가 V 0 에서 V' 로되었다면 (A B 과정, 등온변화 ) 보일의법칙에서다음과같 은관계가성립합니다. P 0 V 0 = PV ' 다음에압력을 P 로일정하게유지하면서온도를 T 0 에서 T 로변화시켰을때부피가 V' 에 서 V 로되었다면 (B C 과정, 등압변화 ) 샤를의법칙에서 V' T 0 = V T 가됩니다. 위의두식에서 V' 를소거하면다음식을얻을수있습니다. P 0 V 0 T 0 = PV T = 일정 (1-90) A B 과정등온변화 (P 0 V 0 = PV ') B C 과정등압변화 ( V' = V T 0 T ) 그림 1-66 온도압력의변화과정그림 1-67 보일 - 샤를의법칙

60 즉, 기체의부피는절대온도에비례하고압력에반비례합니다. 이것을보일 -샤를의법칙이라합니다. 보일-샤를의법칙은압력과온도가모두변하는경우에대해서보일의법칙과샤를의법칙을하나로묶은법칙입니다. 이상기체의상태방정식 : 샤를의법칙그래프에서직선을 0 이하로연장시키면온도축과 -273 에서만나게되는데, 이온도에서기체의부피는 0이됩니다. 그러나실제기체의경우온도가한없이내려간다고해서완전히없어지지는않습니다. 기체의부피가 0이되기전에상태의변화가일어나서액체나고체가될것입니다. 다시말하면극저온의경우보일-샤를의법칙이엄밀히성립하지않습니다. 그래서이론적으로보일-샤를의법칙이정확히성립하는기체를생각하게됩니다. 이러한기체를이상기체라고합니다. 이상기체는분자의크기와분자들사이의상호작용을무시할수있으며, 기체분자사이의위치에너지는 0이고, 분자들은완전탄성충돌을합니다. 또한이상기체는냉각시키거나압축시켜도액화나응고가일어나지않습니다. 이상기체는결코가상적인것이아닙니다. 보통기체의경우에도압력이낮거나온도가높은경우에는이상기체와동일한성질을가진다는것이확인되었습니다. 이상기체도보일-샤를의법칙에의하여일정량의기체는온도와압력의변화에관 계없이 PV T 의값이항상일정합니다. 그러면그값이얼마인지구해볼까요? 정밀한실험에의하면온도가 273K, 압력이 1 기압 ( N/m 2 ) 인상태에서기체 1 몰 (mol) 이차지하는부피는기체의종류에관계없이 22.4 L( m 3 ) 입니다. 그러면 PV T 에 T =273 K, P = N/m 2, V = m 3 을대입하면다음값을얻습 니다. PV T = N/m m 3 273K = 8.31 J/mol K 이값은기체의종류에상관없이이상기체에서는항상일정합니다. 이것을기체 상수라고하 며 R 로표시합니다. 그러므로 1 몰의기체에대해서는 R = PV T 가됩니다. 따라서 n 몰의기체 에대하서는 nr = PV T 이될것입니다. 이식은다시다음과같이쓸수있습니다. PV = nrt (1-91) 이것을이상기체의상태방정식이라고합니다. 3 기체분자의운동과압력공기분자는우리눈에보이지않지만하루에평균 번가량 1609km/h 의평균속력으로우리와부딪치고있다고합니다. 이런기체분자들은앞에서알아본바와같이압력과온도에영

61 향을받습니다. 그러면분자의수준에서기체분자의운동이압력과온도에의해어떻게되는지자세히살펴볼까요? 열운동 : 앞에서기체는액체나고체에비해서분자사이의거리가멀기때문에분사사이에작용하는힘은거의무시할수있다고하였습니다. 따라서기체분자들은임의의방향으로제멋대로무질서한운동을합니다. 이러한분자의운동은온도가올라가면더운활발해지는데, 이를분자의열운동이라고합니다. 그러면열운동을하는기체분자들은어떻게움직이고있을까요? 열운동은그림 1-68의 ( 가 ) 와같은연기상자속에연기를넣고현미경으로관찰해보면알수있습니다. 이때연기입자는그림 ( 나 ) 에서보는바와같이매우복잡하고불규칙한운동을하는것을알수있습니다. 이러한운동을브라운운동이라고합니다. 연기입자의브라운운동은기체분자들이연기입자와충돌하기때문에나타나는것이므로기체분자들이불규칙한운동을한다는것을알수있습니다. 그런데수많은분자들의무질서한운동을분자하나하나의운동으로다루는것은거의불가능하므로통계적인방법을통해서분자의운동을기술합니다. ( 가 ) 브라운운동관찰장치 ( 나 ) 연기입자의무질서한운동모습 그림 1-67 브라운운동 기체분자의운동과압력 : 밀폐된용기에들어있는기체의분자들은그림 1-68 에서보는바와같이열운동을하면서용기의벽에부딪쳐벽면에힘을작용하게됩니다. 이렇게수많은분자들이벽에부딪치는힘이기체의압력으로나타나는것이지요. 그러면기체분자들이용기의벽에충돌하여벽에미치는압력을구해볼까요? 그림 1-69 와같이각변의길이가 L 인정육면체의상자안에 그림 1-68 기체분자의운동

62 ( 가 ) 운동량의변화 ( 나 ) 분자의속도성분 그림 1-69 기체분자의운동과속도성분 질량 m 인분자 N 개가평균속도 v 로자유롭게운동하고있다고생각합시다. 이기체분자들은열운동을하면서상자의벽에부딪혀벽면에힘을작용합니다. 이힘이곧기체의압력이되는것입니다. 이힘을구하기위해먼저여러개의분자중에서분자 1개를택하여관찰하고그결과를전체분자로확대하여생각해보도록합시다. 그림 1-69 의 ( 가 ) 에서와같이질량 m 인기체분자 1개가 + x 방향으로속력 v x 로운동하여벽면 A와탄성충돌을한다면, 벽면과충돌하기전의분자의운동량은 mv x 이고충돌후의운동량은 -mv x 입니다. 따라서충돌전후의운동량의변화 Δ( mv x ) 는다음과같습니다. Δ( mv x )=-mv x - mv x =-2mv x 그리고기체분자가 x 축을따라벽면을 1 회왕복하는데걸리는시간 Δt 는 분자한개가시간 Δt 동안에벽에미치는평균힘 f x 는 2L v x 이므로이 f x = Δ mv x Δt =2mv x v x 2L = mv2 x L 이됩니다. 이때상자내의분자는무질서한운동을하므로위의식은 v x 2 대신평균값 v 2 x 을 쓰는것이타당합니다. 상자속의총분자수를 N 이라고하면이들총분자가시간 Δt 동안상 자의벽에작용하는힘 F 는 F =N m v 2 x (1-92) L 이됩니다. 실제로기체분자는상자의벽면에비스듬히충돌하는경우가대부분이므로기체분 자의속도 v 와이속도의세방향성분 v x, v y, v z 사이에는 v 2 = v 2 x + v 2 y + v 2 z 의관계가 있습니다. 상자내부에서는많은기체분자들이무질서하게운동하고있으므로분자운동의상태

63 는어떤방향으로나동등하게나타난다고생각할수있습니다. 그러면 v 2 x = v 2 y = v 2 z = 1 3 v 2 이 되겠지요? 따라서기체가작용하는압력 P 는상자의벽 A 에단위면적당작용하는힘이므로 P = F L 3 = Nmv 2 3L 3 이됩니다. 그런데상자의부피가 V =L 3 이므로윗식은 P = 1 N 3 V mv2 (1-93) 으로나타낼수있습니다. 그러면식 (1-93) 에서기체의압력은기체분자수가많을수록, 질량이 큰분자일수록, 평균속도가빠를수록, 부피가작을수록커진다는것을알수있습니다. 다음에는기체분자의평균운동에너지는기체의온도와어떤관계가있는지알아봅시다. 식 (1-93) 은다음과같이다시쓸수있습니다. PV = 1 3 Nmv 2 = 2 3 N ( 1 2 mv2 ) (1-94) 이식에서 1 2 mv2 은기체분자한개의평균운동에너지 E k 를의미하므로식 (1-94) 는다음과같이나타낼수있겠네요. PV = 2 3 NE k (1-95) 한편, 이상기체의상태방정식은 PV = nrt 이므로식 (1-94) 와 (1-95) 에서기체분자한개 의평균운동에너지 E k 는 E k = 1 2 mv2 = 3 nrt (1-96) 2 N 가됩니다. 여기서아보가드로수를 N 0 라고하면 n몰의기체의분자수 N 은 N = nn 0 이므로 식 (1-96) 에서상수 표시합니다. nr N 은 R N 0 이됩니다. 이값은다음과같으며볼츠만상수라하고, k 로 k = R N 0 = 8.31 J/mol K /mol = J/K 따라서기체분자한개의평균운동에너지는다음과같이나타낼수있습니다. E k = 3 2 kt (1-97) 이식은기체분자의평균운동에너지는기체의종류, 압력등에무관하고오직온도에만관 련이있다는것을알려줍니다. 그리고기체가열을받아온도가높아지면분자들의열운동이활 발해져서평균운동에너지가커지게되며열이에너지의한형태임을확인해줍니다

64 7. 열역학의법칙 열역학은열과일사이의관계를연구하는물리학의한분야입니다. 열이에너지전달의한형태라는인식과열에관한에너지보존법칙의적용은열역학의기본적인개념입니다. 그러나열역학의관심사는단순히열의측정보다는더폭넓고중요한것에있습니다. 열역학은산업혁명에큰역할을한증기기관의발명과깊은관련이있습니다. 증기기관의출현으로사람이하는노동을열기관이대신하게되었으며, 열기관의효율을높이려는연구가계속되고있습니다. 열을포함한에너지의보존과열이이동하는방향에관한규칙성그리고열기관의특성에대해알아봅시다. (1) 열역학제 1 법칙 1 내부 에너지 물체가정지하고있더라도그물체를구성하고있는분자들은물체내부에서끊임없이운동하고있기때문에운동에너지를가지고있답니다. 뿐만아니라분자들상호간에작용하는힘에의한위치에너지고가지고있고요. 이와같이물체내의분자들이가지고있는운동에너지와위치에너지의합을그물체의내부에너지라고합니다. 즉, 내부에너지 = 운동에너지 + 위치에너지내부에너지는물질의상태에따라운동에너지와위치에너지의비율이약간다릅니다. 우선고체나액체의경우는분자사이의인력이매우중요하기때문에내부에너지에서위치에너지가차지하는비율이높습니다. 그러나기체의경우에는분자사이의거리가매우멀기때문에위치에너지보다운동에너지의비중이더큽니다. 특히이상기체의경우는분자들이충돌할때를제외하고는서로힘을미치지않기때문에분자사이의힘을 0으로생각하면됩니다. 따라서이상기체의분자는위치에너지는없고운동에너지만가지고있으므로이상기체의내부에너지는분자의평균운동에너지만으로나타낼수있습니다. 온도가 T 인기체분자한개의평균운동에너지는식 (1-97) 에서 E k = 3 2 kt 이므로헬륨 (He) 이나네온 (Ne) 과같은단원자분자이상기체 1 몰의내부에너지 U 는 3 U = N 0 E k = N 0 2 kt = 3 2 RT (1-98) 가됩니다. 따라서 n 몰의이상기체의내부에너지는다음과같습니다. U = 3 2 nrt (1-99) 따라서기체의내부에너지는기체의분자수와절대온도에의해서결정된다는것을알수있

65 습니다. 수소 (H 2 ) 나산소 (O 2 ) 와같이 2 개의원자로구성된이상기체분자의경우에는단원자분자로 된이상기체분자에비해회전운동에의한에너지를 kt 만큼더가지고있습니다. 따라서이 회전운동을위한운동에너지가더필요하게되므로이원자분자의내부에너지는 5 2 nrt 가됩니다. 2 기체가하는일 앞에서는기체분자가가지는에너지에대해알아보았어요. 여기서는기체가팽창할때밖으로 얼마의일을하는지알아보려고합니다. 열을일로바꾸려면열기관이필요합니다. 대부분의열기 관은기체의팽창을이용하여일을하게됩니다. 기체가하는일에대해알아봅시다. 그림 1-70 과같이실린더내부에들어있는기체에열을 가하면기체의부피가팽창하면서피스톤을밖으로밀어냅니 다. 이때기체의압력을 P, 피스톤의단면적을 A 라고하 면피스톤에작용하는힘은 F =PA 가됩니다. 이힘에의해피스톤이 Δx만큼밀려나는동안기체의부피가 ΔV 만 큼변한다면기체가한일 W 는다음과같습니다. W = F Δx = PA Δx = PΔV (1-100) 즉, 기체가하는일은기체의압력과부피의변화에의해 결정됩니다. 그러면기체가하는일이기체의부피와압력의 변화에어떤관계가있는지알아볼까요? 기체가팽창하는경우에는부피의변화는 ΔV >0 이므로기체는피스톤을밖으로밀어낸것이 므로기체가밖으로일을한것이됩니다. 반대로기체가압축되는경우에는 ΔV< 0 이되며, 피 스톤이기체를안쪽으로밀어넣는것이므로기체는외부로부터일을받은것이됩니다. 또한, 기체의부피가변하는동안압력이일정한지, 변하는지에따라기체가하는일의양이달 라집니다. 이런경우에일은어떻게구하는지알아볼까요? 압력이일정한상태에서기체의부피가 V 1 에서 V 2 로변한경우에는기체가한일의양은 그림 1-71 의 ( 가 ) 와같이압력과부피의관계그래프의아랫부분의면적이됩니다. 따라서기체 가한일은다음과같이나타낼수있습니다. W = P ΔV = P ( V 2 - V 1 ) 그림 1-70 기체의열팽창 그러나실제로기체가팽창할때에는압력을일정하게유지시키기가어렵습니다. 실제로부피 가팽창하면압력이감소하는경우가대부분이지요. 이때에도기체가한일은그래프아래의면

66 ( 가 ) 압력이일정할때 ( 정압변화 ) ( 나 ) 압력이변할때 그림 1-71 기체가하는일 적이됩니다. 그러나이경우에는압력이일정할때처럼일의양을간단히구하기가어렵습니다. 이때는그림 1-71 의 ( 나 ) 와같이부피가 V 1 에서 V 2 로변하는구간을아주작은구간으로나 누어보면, 아주작은부피변화 ΔV 에대해서압력은거의일정하다고생각할수있습니다. 따 라서부피가변하는동안기체가한전체의일은각구간에해당하는일 P 1 ΔV 1, P 2 ΔV 2, 의합으로구할수있습니다. 3 열역학 제 1법칙 물체를가열하거나외부에서물체에일을해주면물체의내부에너지가증가합니다. 그러나 물체에서열을빼앗거나물체가외부에일을하면물체의내부에너지는감소합니다. 일반적으로외부에서기체에가한열량을 Q, 기체가외부에한일을 W, 기체의내부에너지의증가량을 ΔU 라고하면다음과같은관계식이성립합니다. Q = ΔU + W (1-101) 이것을열역학제 1법칙이라고합니다. 열역학제 1 법칙은열에너지를포함한에너지보존법칙으로, 에너지는한형태에서다른형태 로전환될수있지만, 에너지의총량은항상일정하게보존된다는것을말합니다. 식 (1-101) 에서기체가외부로부터열을받으면 Q >0 이고, 열을잃으면 Q < 0 입니다. 그리고 기체의부피가팽창하여외부에일을하면 W >0 이고, 외부에서일을받아부피가압축되면

67 W < 0입니다. 그림 1-72 와같이실린더에들어있는기체에열을가할때기체의내부에너지는어떻게되는지살펴볼까요? 그림 ( 가 ) 와같이피스톤을고정시켜서기체의부피를일정하게유지하고열을가하면분자운동이활발해지면서기체의 ( 가 ) Q = ΔU ( 나 ) Q = ΔU+P ΔV 그림 1-72 기체의내부에너지의변화 내부에너지가증가합니다. 이때기체에가해준열량 Q 는모두내부에너지의증가 ΔU 에사용되므로 Q = ΔU 가됩니다. 그러나그림 ( 나 ) 와같이피스톤을자유롭게움직이게하고기체에열량 Q 를가하면기체의부피가 ΔV 만큼팽창하면서외부에 P ΔV 만큼일을하고, 나머지는기체의내부에너지로 ΔU 만큼가지고있게되므로열역학제 1법칙은다음과나타낼수있습니다. Q = ΔU + P ΔV (1-102) 여기서도역학적에너지와열에너지의합은항상일정하게보존된다는것을보여주고있습니다. 기체의변화과정 : 앞에서살펴본바와같이기체에열을가하면기체는내부에너지를증가시키거나외부에일을하는등여러가지변화가일어납니다. 이와같이열역학계 ( 계 : 하나의범주안에들어가있는모든것을가리키는의미 ) 가외부와열이나일을주고받으면서변하는것을열역학과정이라고합니다. 열역학과정에는정적과정, 정압과정, 등온과정, 단열과정등이있는데각각의과정에서열역학제 1법칙이어떻게응용되는지알아봅시다. 그림 1-73 과같이실린더내의피스톤을고정시켜서기체의부피 V 를일정하게유지하면서외부에서열을공급할때기체의온도와압력이변하는과정을정적과정또는정적변화라고합니다. 정적과정에서는부피의변화가없으므로 P ΔV 가 0이되어열역학제 1법칙에서 Q = ΔU 이됩니다. 따라서기체가흡수한열은모두내부에너지의증가로나타나는것을알수있습니다. 그림 1-74 와같이실린더내의피스톤을자유롭게움직이게하여기체의압력 P 를일정하게유지시키면서외부에서열을공급할때기체의부피와온도가변하는과정을정압과정또는정압변화이라고합니다. 정압과정에서기체에공급된열 Q 는기체의부피를팽창시켜외부에 P ΔV 의일그림 1-73 정적과정

68 그림 1-74 정압과정그림 1-75 등온과정 을하고, 나머지는내부에너지 U 를증가시킵니다. 따라서열역학제 1법칙에서 Q = ΔU + P ΔV이됩니다. 그림 1-75 에서와같이실린더내의기체의온도를일정하게유지하면서부피나압력을변화시키는과정을등온과정또는등온변화이라고합니다. 등온과정은기체의내부에너지가일정한상태에서압력과부피가변하므로 ΔU =0이고, 기체에공급된열은모두외부에하는일 W 로나타납니다. 따라서열역학제 1법칙에서 Q = W 가됩니다. 등온과정에서기체가팽창할때는외부로부터받은열은모두일로바뀌지만, 반대로압축될때에는기체가외부로부터받은일은그림 1-76 단열과정모두열로방출됩니다. 그리고그림 1-76에서와같이외부로부터의열의출입을차단하고기체의부피를변화시키는 ( 가 ) 단열팽창 ( 나 ) 단열압축 그림 1-77 단열압축과단열팽창

69 과정을단열과정또는단열변화라고합니다. 단열과정에서는외부와의열출입이없어서 Q =0 입니다. 따라서열역학제 1 법칙에서 ΔU =-P ΔV 가됩니다. 그림 1-77 의 ( 가 ) 와같이피스톤을당겨서기체를팽창시키면부피가증가하여 ΔV >0 이되 어외부에일을합니다. 기체가외부에일을한만큼내부에너지가작아지면서기체의온도가 내려갑니다. 이과정을단열팽창이라고하며, 이때압력과부피사이의관계는그림 1-76 의그 래프와같습니다. 한편, 그림 1-77 의 ( 나 ) 와같이외부와열의출입이없이피스톤을눌러서기체 를압축하면부피가줄어들므로 ΔV< 0 이되에외부에서일을받습니다. 이때는기체의내부 에너지가증가하여분자운동이활발해지면서기체의온도가올라갑니다. 이과정을단열압축이 라고합니다. 제 1 종영구기관 : 외부에서의에너지공급이없이도멈추지않고계속해서일을할수있 는기관을제 1 종연구기관이라고합니다. 이런기관이존재할수있을까요? 만일그런기관이 있을수만있다면인류의생존을위협하는에너지부족문제를쉽게해결할수있겠네요. 에너지는무에서생겨나는것도아니고, 있던에너지가없어지 는것도아닙니다. 우리는필요한에너지를얻기위해서다른에 너지를사용하거나일을해야한다는것을알고있습니다. 그러 나옛날부터많은사람들은에너지를사용하지않고도일을할 수있는장치를만들기위하여많은노력을해왔습니다. 그림 1-78 은속이빈둥근통여러개를하나의줄에매달고 그절반인오른쪽통은물속에담가놓은것입니다. 그러면물속 에잠겨있는통은부력을받아가벼워지지만물밖에있는왼쪽 통들은부력을받지못하기때문에오른쪽통들보다무거워서 통전체가반시계방향으로계속회전할것이라는생각을했습니 다. 그러나이장치는생각과같이그렇게작동되지않습니다. 이 장치를처음에왼쪽으로잡아끈다고해도계속돌지못합니다. 그러면이장치는보편적인법칙인열역학제 1 법칙을만족할 까요? 먼저이장치에에너지를계속공급해주지않는다면 Q =0이라할수있어요. 그럼에도불구하고이장치는계속회전해야하므로 W = 가될것입니다. 이것을열역학제 1법칙의식에대입하면좌변은 0인데우변은무한대가되어성립하지 않게됩니다. 즉, 열역학제 1 법칙에위배됩니다. 따라서제 1 종 연구기관은당연히존재할수없는것입니다. 그림 1-78 제 1 종영구기관의예

70 (2) 열역학제 2법칙높은곳에서시원스럽게내려오는폭포를보면서 물은어째서높은곳에서낮은곳으로만흐를까 하고생각해본적이있는지요? 계곡을따라흘러내리는물은위에서아래로만흐를뿐이지, 언제어디서도물이스스로아래에서위로결코흐르지않습니다. 이와같이우리주변에서일어나는자연현상들을보면일정한방향성을가지고있음을알수있습니다. 1 가역과정과비가역과정그림 1-79의 ( 가 ) 와같이단진자의추를 A점까지끌어당겼다가놓으면 ) 점을지나 B점까지갔다가다시 A점으로되돌아옵니다. 단진자의운동은추의운동에너지와위치에너지의전환에의해서일어나게되는것입니다. 단진자는역학적에너지가보존되므로공기의저항과마찰이없다면단진동운동을계속할것입니다. 단진자처럼물체가외부로부터에너지를받거나잃어버리지않고스스로원래의상태로되돌아가는현상을가역과정이라고합니다. 따라서역학적에너지보존법칙으로설명될수있는물체의운동은가역변화라고할수있습니다. 그러나그림 1-79 의 ( 나 ) 와같이공기의저항이나마찰에의해서진자의진폭이점차작아지다가결국 에는정지하고맙니다. 이처럼외부로부터아무런작용을받지않고는원래의상태로되돌아갈수없는현상을비가역과정이라고합니다. B A ( 가 ) 가역현상 ( 나 ) 비가역현상그림 1-79 가역현상과비가역현상 비가역과정의예를몇가지만살펴볼까요? 고온의물체와저온의물체를접촉시키면열은고온의물체에서저온의물체로이동하여얼마후에는두물체가열평형을이룹니다. 그런데고온의물체에서저온의물체로이동한열은스스로다시고온의물체로되돌아갈수없습니다. 그리고콩과팥을섞어놓았을때콩과팥이스스로나누어지지않습니다. 또향수병의마개를열어놓으면향수분자가방안에가득퍼져서향기가진동합니다. 그러나이들향수분자가한데모여서향수병을채울수는없습니다. 또한그림 1-80과같이물이들어있는컵에잉크를한방울떨어뜨리면처음에는잉크와물이층을이루다가얼마후에는잉크의분자가확산되어물에고르게퍼지게됩니다. 이렇게물에퍼진잉크의분자가스스로한곳으로모여다시물과그림 1-80 잉크의확산

71 층을이루는현상은결코일어나지않습니다. 우리주변에서비가역과정의보기를몇가지만들어보아라. 2 열역학제 2법칙열이한물체에서다른물체로이동하거나다른형태의에너지로전환되더라도전체에너지의양은일정하게보존된다는것이열역학제 1법칙입니다. 열역학제 1법칙은에너지가보존된다는것을설명할뿐이며열의이동방향에대해서는아무런언급도없어요. 앞에서살펴본바와같이열은고온물체에서저온물체로이동하며, 그반대현상은결코일어나지않습니다. 그런데열역학제 1법칙은열이저온물체에서고온물체로이동할수없다는것을설명하지못합니다. 또한, 손바닥을맞대고비비면열이발생하여손이따뜻해지지요? 이와같이물체의역학적에너지가열에너지로전환되기는쉽습니다. 그러나열에너지가역학적에너지로모두전환될수는없답니다. 이와같이열현상에수반되는에너지는그전환에방향성을가진다는것을알수있습니다. 따라서열현상에서에너지보존을나타내는법칙뿐만아니라에너지의이동방향을결정하는법칙이필요합니다. 앞에서살펴본바와같이자연현상의대부분은비가역현상입니다. 특히열현상은비가역성이현저합니다. 여러가지비가역현상을종합해보면, 대부분의자연현상은비가역적으로한쪽방향으로진행할뿐이고, 그역 으로는진행하지않는다는것을알수있습니다. 이와같은자연현상의 비가역성을열역학제 2 법칙이라고합니다. 여러과학자들이비가역성이뚜렷한열역학적현상에서에너지이동방향을결정하는법칙인열역학제 2법칙을여러가지로표현하였으나그내용은궁극적으로동일합니다. 열은고온물체에서저온물체로자연적으로흐른다. 이표현은열은자발적으로저온물체에서고온물체로흐르지않는다는의미로 Clausius 가열역학제 1법칙을표현한것입니다. 그리고 주어진열을모두일로바꾸어주는것외에어떠한흔적도남기지않는열기관은존재할수없다. 는표현은 Kelvin과 Planck가열역학제 1법칙을표현한내용입니다

72 (2) 열기관우리는일상생활에서열에너지를직접사용하기도하고, 열을역학적에너지로바꾸어서사용하기도합니다. 열에너지는물질을태워서쉽게얻을수있지만열에너지를역학적에너지로바꾸려면어떤장치가합니다. 열에너지를역학적에너지, 즉일로바꾸는장치를열기관이라고합니다. 내부에너지 (internal energy) 연소 열 (heat) 역학적에너지 (mechanical energy) 열기관 열기관에는내연기관과외연기관이있습니다. 외연기관은연료를연소시켜서고온의수증기를만들어이수증기가팽창할때의역학적에너지를이용하는장치이며, 외연기관에는증기기관과증기터빈등이있습니다. 그리고내연기관은연료를기관안에서연소시켜서연소한기체가팽창할때의역학적에너지를이용하는장치이며, 가솔린기관, 디젤기관제트기관등이있습니다. 모든열기관에는수증기나연소기체와같이일을하는물질인작동유체가있어요. 작동유체는고온의열원으로부터열을받아일을하고남은열은저온의열원으로보냅니다. 열기관은이러한과정을순환적으로반복하면서일을합니다. 열기관은그림 1-81에서와같이온도가 T 1 인고온의열원에서열량 Q 1 을흡수하여팽창하면서일을합니다. 그리고온도 T 2 인저온의열원으로열량 Q 2 를내보내면서압축되어원래의상태로되돌아오는순환과정 ( 그림 1-82 참조 ) 을밟습니다. 고온부 T 1 Q 1 열기관 일 W = Q 1 -Q 2 Q 2 저온부 T 2 그림 1-81 열기관의에너지전환그림 1-82 열기관의순환과정