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1 함수그래프지도에대한사례연구 - 그래프구성과해석과제중심으로 西江大學校 敎育大學院 數學敎育專功 현아영

2 함수그래프지도에대한사례연구 - 그래프구성과해석과제중심으로 - 指導敎授 홍성사 이論文을敎育學碩士學位論文으로提出함 2006 년 8 월 西江大學校 敎育大學院 數學敎育專功 현아영

3 논문인준서 현아영의교육학석사 ( 수학교육전공 ) 학위논문을 인준함 년 06 월 12 일 주심박성호 ( 인 ) 부심홍성사 ( 인 ) 부심이재성 ( 인 )

4 감사의 글 이논문이완성되기까지많은관심과격려로늘따뜻하게지도해주신홍성사교수님께진심으로감사드립니다. 저의논문을자상하게심사해주시고좋은말씀해주신박성호교수님과이재성교수님께진심으로감사드립니다. 논문자료로부탁드린교사용지도서를어렵게구해주신정순영교수님께깊은감사의말씀을드립니다. 학창시절수학의즐거움을알게해주시고저의논문완성을위해각별한애정으로많은조언과지도해주신신은주교수님께진심으로감사드립니다. 대학원생활을즐겁게함께했던 24기동기분들, 그리고 25기 26기선생님들께감사드리고늘곁에서격려해준연주, 민정, 나영, 채민, 지현, 승연, 은혜, 헤영, 성혜, 효진이에게고마움을전합니다. 끝으로항상아낌없는사랑과믿음으로저를지켜봐주신부모님과주영언니, 근재형부그리고사랑스런조카지수, 진아언니에게진심으로감사드리고고마움과사랑의마음을전합니다 년 6 월 현아영드림 i

5 국문초록 함수그래프지도에대한사례연구 - 그래프구성과해석과제중심으로 - 서강대학교교육대학원 수학교육전공 현아영 본논문에서는학교수학에서의함수그래프지도에대하여그래프구성과제와해석과제를중심으로연구한다. 실제적인변화상황에서의함수그래프를이해하는과정에대한질적사례연구를한후에이를분석한결과를제시한다. 함수의도입과그응용에서함수그래프가가장중요한역할을하는데, 이를지도할때는다양한실세계의문제에서그래프를구성하고해석하는교육이강조되어야함을제안한다. ii

6 목 차 Ⅰ. 서론 1 A. 연구의필요성및목적 1 B. 연구문제 5 C. 연구의제한점 5 D. 용어의정의 6 Ⅱ. 이론적배경 9 A. 함수개념 9 1. 함수개념의여러측면 9 2. 그래프의정의 11 B. 수학교육에서의그래프 수학교육에서그래프의중요성및의의 학교수학에서그래프교육위상에대한고찰 17 C. 그래프의교수학습 그래프과제에대한고찰 그래프지도방향에대한고찰 27 Ⅲ. 연구방법및절차 30 A. 연구방법 30 B. 연구대상및연구절차 31 iii

7 C. 자료수집및분석 31 Ⅳ. 연구결과분석 33 A. 사례연구분석 33 B. 연구문제분석 그래프구성과정 : 연구문제 그래프해석과정 : 연구문제 2 49 Ⅴ. 결론및제언 51 참고문헌 55 부록 59 ABSTRACT 66 iv

8 그림목차 [ 그림 Ⅳ-1] 학생A의그래프 36 [ 그림 Ⅳ-2] 학생A의시간과거리그래프 36 [ 그림 Ⅳ-3] 학생B의그래프 37 [ 그림 Ⅳ-4] 학생B의시간과거리그래프 37 [ 그림 Ⅳ-5] 학생 B의그래프 39 [ 그림 Ⅳ-6] 학생A의그래프 41 [ 그림 Ⅳ-7] 학생B의그래프 41 [ 그림 Ⅳ-8] 시간과속도그래프 45 [ 그림 Ⅳ-9] 시간과속력그래프 45 [ 그림Ⅳ-10] 학생A의 1번그래프 45 [ 그림Ⅳ-11] 학생A의 2번그래프 45 [ 그림Ⅳ-12] 학생A의 3번그래프 45 [ 그림Ⅳ-13] 학생A의 4번그래프 45 [ 그림Ⅳ-12] 학생A의 5번그래프 45 [ 그림Ⅳ-12] 학생A의 6번그래프 45 [ 그림Ⅳ-12] 학생A의자동차움직임설명 46 [ 그림Ⅳ-13] 학생B의자동차움직임설명 46 v

9 Ⅰ. 서론 A. 연구의필요성및목적 지식과정보화를기반으로하는현대사회에서학교교육은자기주도적으로지적가치를창조할수있는자율적이고창의적인인간을육성하는데중점을두고있다. 이를위해학교수학에서는수학의기본적인개념, 원리, 법칙을토대로탐구하고예측하며논리적으로추론하는능력, 수학을사용하여정보를처리하고교환하는능력, 실생활이나다른교과영역에서수학적지식을사용하여문제를구성하고해결하는문제해결력, 창의력, 수학적으로사고하는성향, 사고의유연성, 자신감등의수학적힘을기르게하는것을목표로하고있다 ( 교육부,2002). 이와같이수학적힘의신장을목표로하는학교수학의여러영역들중에서함수영역은우리의생활주변에서일어나는현상을관찰하여그속에내재된수학적법칙이나형식을발견하고이를구조화시킴으로써변화하는현상을정리하기위해필수적으로요구되는지식이다. 이러한함수의개념은수학에서아주중요한통합적아이디어의하나이다. 함수는산술, 대수에서기하, 확률에이르기까지교육과정전체의공통된주제일뿐만아니라, 실생활이나자연현상에서찾아볼수있는많은투입 (input) 과산출 (output) 상황의수학적표상이기도하다. 함수적사고는미래사회의일원으로서살아가는데그소양으로필요한경우가많다. 따라서함수에관한학습은큰의의를가질뿐만아니라수학의여러가지분야에서중요한역할을하게된다 ( 교육부,2002). 함수개념이학교수학에도입된것은 20 세기초 Klein 이함수개념이수학적사고의핵심이라주장한이후이다. 그는함수적사고의중요성은 - 1 -

10 응용을포함한수학전체를포괄하는데있다고생각했다. 그리고함수개념은대응이란추상적인정의가아니라종속성이라고하는 Euler 식의관점에따라학교수학에효소처럼스며들어야하며, 기본적인예들을통해학생들에게살아있는자산으로전달되어야할것으로보았다 (Klein,1953). 이러한수학교육의개혁이후학교수학에서의함수개념이중심적인위치로자리잡고, 산술과기하의통합을위한노력으로관련된함수그래프표현이대수적인내용에대한직관과명료함을위해삽입되었다. 그런데구조주의에입각한학문중심교육과정의사조에따라학교수학의현대수학화를지향하는 1960 년대의 새수학 이후함수개념에대한현대적인관점이도입되었다. 오늘날까지일반적인경향으로함수개념을 임의의집합사이의임의적인일가적대응관계 곧적집합의부분집합인순서쌍의집합이란 Bourbaki 식의관계적정의에의해도입하고있다. 이러한추상적인현대적인함수개념은오랜역사발생적과정을거쳐수학화되어오는동안에원래의함수적사고에서중요시되었던여러가지측면이사라져버린형식이므로학생들에게는사실상중요한함수개념의도구적의미가감추어진피상적인의미로제시되기쉽기때문에함수개념지도에많은문제점이제기되고있다. 함수는종속변수, 그래프, 대응, 적집합의부분집합곧관계, 수학적대상등다양한측면을갖고있는복합적인개념이다. 학교수학에서이러한포괄적인함수개념의여러측면중에어느한측면만을강조하는것은바람직하지않다. 이는학생들이진정한함수적안목과함수적사고의발달을어렵게하는장애요인이되는것이다. 따라서함수교육은역사발생적순서에따라함수의여러가지측면이개념으로구성될수있도록폭넓은경험을시키면서수준상승을위한교수학적인시도가요구된다. 현실적인변화상황을기술하고해석하고예측 - 2 -

11 하기위한도구로서함수를도입하거나다양한함수적상황을통해함수개념의여러측면들의통합을시도하거나언어적표현, 대응도, 대응표, 그래프, 대수식등다양한표현간의번역을통해함수적관계의다양성과임의성을인식시키고수학화과정을경험시키는것이중요하다. 특히, 여러가지변화하는현실상황과관련된변인사이의종속관계를조직하는활동을통해그러한함수의특성이심상으로형성될수있도록하는교수학적배려가필요하다 ( 우정호,1998). 이러한활동과정에서의언어적표현, 대응도, 대응표, 그래프, 대수식등은함수를기술하는수단이다. 그중에서그래프는우리가사는세계에서다양하고수많은정보와상황을한눈에알아보기쉽게나타낼수있는중요한표현도구중하나이다. 그래프는학교수학에서대수, 기하, 통계등수학의여러영역에서수학적개념의이해를좀더깊고풍부하게강화시키고, 그내용을더높은수준으로전이시키는데핵심적인표현수단일뿐아니라, 각영역을연결하고전체의흐름을통합하는데중요한역할을담당한다. 특히함수그래프는역사적으로미적분학을포함하여수학에서다른중요한발견을하도록촉진하는데핵심적인역할을해왔다. 그래프는변화현상을해석하며구체적인수학적지식과추상적인수학적지식을연결시키는데효과적이다. 따라서학교수학에서함수그래프학습은그의의가크다고할수있다. 그러나학교수학에서함수개념의운동학적기학학적측면은약화되고대수적측면과형식적측면이중심을이루게되면서교과서구성에이러한경향이반영되었다. 그리고현행함수그래프교수 학습방법은함수적경험을통해함수적사고를신장시키기보다는, 이미생성된산물로써의지식형태로함수개념을지도하고있다 ( 송순희 오정현,1997). 그리고함수적관계인식을위해다중표현체계를활용하기보다는특정표현체계 - 3 -

12 를중심으로함수개념을교수하였다 ( 정영옥,1997). 이러한함수그래프교수 학습방법상의문제는함수개념에대한학생들의이해에영향을주면서수학적오류를형성하게하였다. 흔히학생들은함수의본질은기호적표현양식인대수식이며그래프는그것을시각화한보조수단에불과하다고생각한다. 그결과로학생들은함수그래프에나타나는독립변수와종속변수의대응관계를명확히이해하지못하는경우가많으며, 그래프를통해서문제를해결하려고하기보다계산을통해해결하려는경향이강하다. 국내외의선행연구에서도, 대부분의학생들이그래프과제에서좌표값을찾거나그래프에서단순히자료를읽는문제에서는별어려움을겪지않았으나, 기울기또는기울기에서의변화량에대한정보분석, 전체적인그래프의질적해석, 그래프를실세계의상황과연결시켜야하는문제등에서는많은어려움을호소하는것으로밝혀졌다 ( 김태선,1998). 이들연구에서는, 그래프에서학생들이범하는오류나어려움, 학생들의그래프능력의변화과정을밝히고있으나, 이를그래프의전반적인내용에초점을맞추기보다는주로함수에초점을두었다. 최근들어테크놀러지의발달로시각화의중요성과함께그래프학습이부각되고있기는하나, 이는단지그래프학습을돕기위한여러소프트웨어들의소개나조작방법, 그리고그것들의발달에대한규준과이론적인고려들이대부분일뿐, 수학교육에서그래프내용의학습에대한연구는아직부족한상태이다. 따라서본연구는학교수학에서다루어지는그래프에대한전반적인이론적고찰과함께실제적인변화현상을통한함수그래프의이해에대한질적연구를분석하여바람직한함수그래프학습에관한방향을구축하고그시사점을제시하는데그목적이있다. 이에따라본연구는수학교육에서그래프교육의의미와그것이갖는 - 4 -

13 의의와중요성을조명하여보고, 학교수학에서그래프내용이차지하는위치를수학본질의측면과학생들의인지적측면, 그리고교수학적인측면에서고찰하여보았다. 그리고연구대상학생들에게직관적으로이해할수있는실제상황을제시하여그변화하는상황에관련된변인사이의종속관계를조직하는활동을통해함수그래프에대한질적접근이이루어지도록한후에, 학생들이다양한운동상황의그래프를구성하고해석하는과정에대해질적사례연구를하고수집한자료를분석하고자한다. B. 연구문제 학생들이실제적인변화현상에서종속관계를그래프로정리하고표현하는경험을한다음에함수그래프학습에대한이해와과제해결과정을분석하기위해다음과같은연구문제를설정하였다. 첫째, 연구대상자들은물리적인운동상황에서함수그래프를구성하는학습을한후에, 실세계의변화상황을묘사한문장에서어떻게그래프를구성하는가? 둘째, 주어진그래프를보고실세계의변화상황을어떻게해석하는가? C. 연구의제한점 본연구에서는함수그래프학습에대한이해와과제해결과정을분석하기위해 2명의학생들에게함수그래프과제검사지로실험을하였다. 이때검사지는 10 개의실험문항으로구성되었는데 10 개의실험문항으로함수그래프학습의이해와과제해결을살펴보기에는한계가있을수있다. 또한소수의실험문항은검사지의문항들에대한신뢰도측정에영향 - 5 -

14 을줄수있다. 그리고질적사례연구를하는데있어서학생들의이해과 정을관찰하고해석하는데연구자의개인적편견이개입될가능성이있을 수있다. D. 용어의정의 본연구에서사용되는주요용어는다음과같이정의한다. 1. 그래프해석 (interpretation) 과제 그래프에서해석과제란주어진그래프또는그래프의일부로부터의미를이해하거나의미를얻을수있는활동으로, 변수에대응하는값찾기, 변수사이의관계를진술하기, 종속변수간관련짓기, 특정한사건이일어나거나어떤상태가충족되는곳결정하기, 그래프의내삽법 (interpolation) 과외삽법 (extrapolation) 과같은것을의미한다. 2. 그래프구성 (construction) 과제 그래프구성과제란새로운무언가를이끌어내는것으로, 주어진자료 나방정식으로부터그래프를그리는것을의미한다. 3. 예측 (prediction) 과제 예측과제는분명하게주어지지않았거나또는분명하게그려지지않은 그래프를보고그래프의다른점들이어디에위치하는지또는그래프의다 - 6 -

15 른부분이어떻게될지추론하도록요구하는과제를의미한다. 4. 번역 (translation) 과제 번역과제란한표현에서또다른표현으로바꾸는과제로서, 대수식이 나또는순서쌍의집합에서그래프를그리거나실수에서실수로가는함수 의그래프로부터대수적표현을구성하는것등을포함한다. 5. 축적 (scaling) 과제 축적과제란축, 축의크기, 축에표시될눈금의단위와관련된과제를의미하는것으로즉, 함수의정의역과치역의구조에대한표현과그래프의관계와관련된과제를말한다. 이과제는주어진함수그래프를그릴적절한축의크기나눈금의크기를결정하는것과같은구성과, 다른크기의축에서그려진여러개의함수그래프가같은함수임을확인하는것과같은해석활동모두를포함한다. 6. 국소적인 (local) 접근 이논문에서국소적인접근이란그래프를해석할때오직한점만을보 는점별접근을포함하여한점근방에서그래프의변화를보는것을의미 한다

16 7. 광의적인 (global) 접근 국소적인특징을구하고비교하는것을의미하는것으로, 국소적인접근이한점근처에서그래프의움직임을보는것이라면, 광의적인접근은어떤구간을기준으로해석하거나전체적인모양으로접근하는것을말한다. 8. 양적 (quantitative) 접근 양적접근이란그래프에서수치적인값에초점을맞추는것으로주로 축에정해진양을기반으로하여해석이나구성을하는것을의미한다. 9. 질적 (qualitative) 접근 질적접근이란그래프를보고두변수사이의관계나의미를구하는것 으로, 축에있는수치값을바탕으로정확한양에기초한다기보다는그래프 의대략적인경향을스케치하거나해석하는접근을말한다

17 Ⅱ. 이론적배경 A. 함수개념 1. 함수개념의여러측면 수학교과에서함수개념은변화하는현상들을모델링하고그속에내재된관계성을유도하며현상을추측하기위해사용되는핵심적아이디어로서, 다양한하위개념들과영역들을포함하며여러가지표현체계로정리될수있다. 이러한표현들간의연결은학생들로하여금자신들의수학적사고능력을반성하고구체화하게함으로써, 함수라는복잡한개념을여러측면에서인식할수있게한다 (Dreyfus& Eisenberg,1982;NCTM, 2000). 이를통해학생들은함수학습을위한토의를풍부하게할수있을뿐만아니라, 특정아이디어를강조하거나덜강조함으로써다양한추론활동을수행할수있다. 또한 Harvey(1991) 의연구결과에서알수있듯이, 학생들은여러가지표현사이를신속하고유연하게번역함으로써여러가지표현속에제시된다양한정보들을서로중재하고그표현속에공통적으로내재되어있는추상성을인식할수있다. 이상에서알수있듯이, 함수는순서쌍의집합으로, 대응으로, 그래프로, 종속변수로이와같은다양한측면에서인식될수있다 년에처음으로함수를형식적인순서쌍으로정의한것을보통 Bourbaki 식접근방법이라고부른다. 수학교육에서많은연구자들이이접근을과도하게추상적이라고느꼈고특히대학입학전의학생들에게이정의를처음도입하면상당히추상적일수있음이지적되었다. 그럼에도불구하고이에대한언급이몇가지있는데우리가물리적인응용을넘어 - 9 -

18 서고등수학이나컴퓨터과학에실수를연결시키는상황에서는 Bourbaki 식정의수준에서의추상이그래프이론, 관계데이터베이스, 자동장치등의다양한영역에서요구되어진다는것이다. 함수는또한두집합사이의대응으로다루어질수도있다. 이것을실수로한정한것이 1879 년 Dirichlet 가제시한함수정의이다. 이정의는일대일함수, 위로의함수의개념과함께정의역과치역의개념도입을촉진한다. 그래프는특히실수에서실수로가는함수들을표현하는데널리사용되는방법이다. 이것은증가, 감소, 극대, 최대, 최소, 변곡점들을설명할수있는유용한이미지를제공할수있다. 함수의개념을나타내기위해종속변수개념이종종사용된다. 이는주로수의맥락에서다루어지고독립변수를포함한대수식으로제시된다. 그러나학생들은종종위의다양한관점들중의몇가지만을불완전하게포착하고한관점에서다른관점으로전이하는데상당한어려움을겪는다. 따라서함수의여러측면에대한이해는응용수학에서만필요한것이아니라, 현대수학의이해에도절실하게필요한것이다. 그러므로함수개념을지도할때문맥에따라역동적인변화현상가운데의종속관계를기술하고해석하고예언하기위한수단으로서의변수측면과그규칙성을나타내는식표현과그래프표현그리고다양한대응관계적측면이포괄되어야한다. 그때, 함수개념은수학내적외적인전반적인현상을이해하고조직할수있는수단으로작용할때에만그진정한개념적인힘을발휘할수있는것이다. 특히, 위와같은다중표현들중에서가장널리사용되는시각적표현이바로그래프표현이다. NCTM(2000) 에서강조된바와같이그래프표현은수치적인체계와기하학적인체계를통합한형태로써변화하는현상에대한예측과분석에효과적으로사용될수있다는점에서함수학습에중요하다. 이에다음장에

19 서는그래프에대한정의에대해고찰해보고자한다. 2. 그래프의정의 정보화시대에살아가면서수많은정보속에서데이터들을요약하고해석하는방법을익히는것이기본적으로필요하다. 정보를표현하는방법은여러가지가있지만, 이중에서도그래프는복잡한개념과사고를한눈에알아보기쉽게정리할수있고, 데이터들의특징들을발견하고그것들의모양과관계들을탐구하는데있어서편리하다는장점때문에널리사용되어왔다. 보통그래프는기호나문자로의미를전달하는것을제외한모든것을가르킨다.Fry(1984) 는그래프를이차원공간에서점, 선, 면적의위치에의해서전달되는정보로정의하였다. 그는그래프를 1차원그래프,2차원그래프,3 차원그래프로구분하여각각세부적으로범주화하였다. 그래프를회로도나계층도, 사진, 지도, 전개도등일반적인그림전체로분류한 Fry 와는달리,Wainer 와 Grilan 과 Lewis 는그래프의영역을좀더좁혀서정의하였다.Wainer 에따르면, 그래프란다양한영역에서정보를전달하기위해사용되는통계적그래프를포함하기는하지만초기작업에서의수많은시각화는제외시키는방법으로그래프를특징화하였고,Grilan 과 Lewis 는공간적관계를나타내기위해모양이나거리와같은공간적특성들을사용하는설계도, 지도 (maps), 지리학적그림과달리, 그래프는양을나타내기위해높이나길이와같은공간적특성들을사용하는제시방법으로정의하였다 (Friel,Curcio,Bright,2001). 수학교육에서다루어지는그래프는후자의정의에더가깝다. 즉 Fry 의그래프분류에서면적 ( 지도 ) 을제외한 2차원그래프와,3 차원그래프에서

20 차원데이터제시와같은것들이주로다루어지고있으며, 이러한것들이보통학교수학에서그래프라고일컬어지는것들이다. 이런그래프가수학에서이용되기시작한것은데카르트이후라고할수있다. 데카르트가좌표체계를발명한이후그래프는대수학과기하학을연결한해석기하학발달에서핵심적인역할을하였다. 점을좌표로나타내는방법은그리스시대부터쓰고있었지만, 그리스인들은음수에대한개념이없었기때문에그들이좌표평면위에나타낸것은양수뿐이었다. 실제로음수에대한생각을처음가진것은인도인이었지만, 이음수의개념이유럽에전달된뒤에도음수는한동안수로인정받지못했다. 하지만데카르트가좌표 라는개념을도입하여직선에의한양수와음수를표현함으로써대수학과기하학이라는이질적인것을하나로통합하는계기가되었고, 함수의개념을명확히곡선의방정식으로나타내는획기적인 표현법을마련하였으며, 대수적방정식을그래프로 나타내어직관적으로 파악하는것이가능하게되었다. 문제를시각화하기위해상황의그래프를그리기시작한것은 1360 년 Oresme 에의해서이다. 그는선의길이나직사각형의면적과같은기하학적요소를변수의값으로표현하여이런요소들을시간과속력으로놓고등가속도운동을나타내는그래프를그림으로써그당시변화율이문제가되었던운동역학문제를해결할수있었다. 이런그래프는후에도형식적인수학적추론을위한모델로중요한역할을하였고, 미적분학발달에지대한영향을미쳤다. 또한현재널리쓰이고있는그림그래프, 선그림 (line plot), 막대그래프, 원그래프, 히스토그램과같은대부분통계그래프는 1700 년 Playfair 에의해발명되었다. 이상의고찰에서알수있듯이, 그래프의종류는매우다양하고수학뿐아니라, 사회학, 지리학, 전자공학, 디자인, 물리학등여러학문에서쓰이며, 우리의일상생활과도매우밀접하게관련되어있음을알수있다. 수학

21 에서말하는그래프는이것의일부분으로, 수학의역사에비하면그래프의역사는짧다고말할수있다. 하지만수학에서이런그래프의도입은수학사에서영원히남을만한획기적인도약점이되었으며, 이로인해지금과같이여러가지추상적개념들이발달될수있었다. 이렇듯그래프는수학에서아주중요한위상을차지하고있다. 다음장에서는이런그래프가수학교육에서갖는의의와중요성, 학교수학에서그래프의위치에대해논의하도록하겠다. B. 수학교육에서그래프 Kaput(1987) 은수학교육에서표현들의중요성을언급하면서, 학생들은주어진관계를표현하는방법을익혀야할필요성이있다고주장하였다. 즉해석기술과함께, 문제에적절한표현을선택하고, 그것들을묘사하는능력이계산기술보다훨씬더비중있게다루어져야한다는것이다. 학습자는여러표현들을익혀주어진수학적문제상황에가장효과적인표현을스스로선택할수있어야하며, 그러는동안그가왜이런선택을했는지에대한이유를알아야한다. 또한같은개념에대한여러가지표현들을익힐필요성이있는데, 이는학습자로하여금공통된성질은포착하게하여그개념을구성하고강화시키는데도움이될수있기때문이다. 같은문제상황또는같은수학적개념에대해서서로다른표상사이를번역할수있는학생은다양한관점에서그문제에접근하게되고, 따라서문제를해결하기위한강력하고유연한도구를가지게된다. 이는수학을전체로보게하여수학적개념의기억및전이를위한잠재력을증가시키게한다. 하지만수학교육에서함수를지도할때주로대수식을포함한언어적인

22 표현에의존해왔다. 많은수학자들이다양한표현을바탕으로여러수학적인개념들을발달시켜왔음에도불구하고, 실제로학교에서가르쳐지는수학은다양한표현체계로교수되지못했다. 특히, 함수의그래프표현이그대표적인예라할수있다. 이절에서는수학교육에서그래프가갖는교육적인가치와그의의를고찰하여그래프학습의중요성을논의하고, 학교수학에서이런그래프가어떤위치를차지하고있는지철학적측면과심리학적측면, 그리고교수학적측면등세가지측면에서살펴보도록하겠다. 1. 수학교육에서그래프의중요성및의의 이절에서는수학교육에서그래프의중요성및의의를세가지측면에서논의하고자한다. 첫째, 다양한표현들중그래프는수치적인체계와기하학적인체계를통합한형태로서, 대수 통계 기하각영역뿐만아니라여러수학영역들을연결시킬수있다는점에서수학교육에서큰의의를갖는다. 뿐만아니라여러정보들을전달하는매개체로서수학적의사소통면에있어서도중요한역할을한다. 또한어떤자료들을이해하려고할때, 분석단계에서여러특징들을탐구할발견도구로서작용하며데이터의시각적인나열은우리가볼수있도록기대하지않은것들까지도인식하도록한다. 시각적인것에서관찰된수학적현상과사실로추측된수학적현상은기호적표현내에서유리하게탐구되어질수있고이는개념화에지대한영향을미치기도한다. 또한그래프는지식의과정적측면과대상적측면을모두포함하고있어서그교육적가치는크다고말할수있다. 이에여러학자들 (Frieletal.,2001;Kieran,1993;Tal,1991;Yerushalmy,Schwartz,1993) 은그래프자체를조작될수있는수학적대상으로볼것을강조하였다

23 특히 Tal(1991) 은그래프가미분에대한직관적인느낌을발달시키는데도움이됨을강조하면서고등수학에서시각적인사고의중요성을주장하였다. 그는시각화를이용하면수학개념의전체적인형태를제시하고그개념의강점, 약점, 성질등을보여줄수있다는장점을들면서그래프가중심이된 GraphicCalculus" 을제시하기도하였다. 둘째, 그래프표현은그것만이가지고있는특징으로인해수학교육에서중요한위치를차지한다고할수있다. 그래프는분포나함수, 변화상태, 주기성, 패턴의성질에대한전체적인경향을한눈에시각적으로알아볼수있다는특성을가지고있다. 비록그래프가물리적인제약으로인해, 예를들면, 그래프를표현하는선의두께와같은것들로인해그정확성에있어서는대수식이나표에뒤떨어진다고는하나 (Freudenthal,1983), 그래프는정보들을통합적이고동시적으로표현할수있고많은데이터집합들을표현하는것이가능하며, 문제상황의전반적인구조를시각적으로표현할수있다. 이런시각적인표현으로경향이나추세를관찰할수있으며앞으로의경향도예측할수있고, 방정식 부등식의해표현, 함수와관계표현, 기하학적인표현등을통해다양한상황을모델화시킬수도있다. 셋째, 그래프는함수학습시에그의의가크다고볼수있다. 함수개념의발생맥락에서보면함수는물리적, 사회적, 정신적세계의변수사이의종속성을발견해서관계를조직하기위한도구라할수있다. 이런함수에서는역동적인측면이중요하고이런변화의측면을강조하기위해서는여러변화현상을다루어보는중에종속관계를파악하고, 기하학적사상과같은특성을가진여러현상들을다루어봄으로써점진적인수학화에의해이런현상들을통합해서일반적인함수개념을형식화할수있어야만한다 ( 정영옥,1997). 따라서함수그래프를그리는것과그것을해석하는것은함수에대한

24 기본이해가시작되는것이며, 함수의여러가지특징은대수식이나표보다는그래프에서더쉽게인식될수있다고할수있다. 그래프는여러가지변화현상을함수의역동적측면을전달하는데적절하며, 그리고어린학생들이친숙한물리적현상을, 특히대수식으로쉽게묘사되지않는현상을함수적관계그래프를사용한경험은후에변수사이의함수적관계를묘사하는그래프에대해학생들이갖는개념화에질적인기초를주게될잠재성때문에그의의가크다고볼수있다 (Dugdale,1993). Freudenthal 도 Dugdale 과마찬가지로변화와종속관계개념에기초한함수의교육학적접근을강조하면서초등학교아이들에게함수를도입할때그래프로제시할것을주장하였다 (Kieran,1993). 또한 Sfard(1991) 는함수를실체나대상으로인식하는것이중요하다고제시하면서이를위해서는많은함수의요소들이부드러운선으로통합된전체로서동시에포착할수있는그래프표현을장려해야한다고주장하였다. 이상에서논의한바와같이, 그래프는여러영역의수학을통합하고자료를분석하는데있어서중요한발견도구가되며, 정보를전달하는역할을하고현상이나개념을하나의실체나대상으로보게함으로써전체적인경향이나변화를파악하기쉽게한다는것을알수있다. 또한함수개념형성시그래프는함수의역동적인측면을부각시킨다는점에서아주중요한역할을한다는사실도알수있다. 이와같은그래프의특성들은수학적개념들의심층이해를돕고의사소통과개념화라는점에서완벽한역할을한다. 가설화와실험 추론 탐구의과정을통해활동적으로수학에참가하게하여지나치게알고리즘화되고형식화된수학에서벗어나게함과동시에, 학습시동기유발을일으킬뿐아니라, 학습자로하여금수학의유용성및심미성을가지게할수도있다. 따라서수학교육에서그래프는다른표현들과더불어강조되어야만하며충분히학습되어질수있도록그

25 에맞는노력이뒤따라야할것이다. 다음절에서는그래프가학교수학에 서갖는위치를철학적인측면과심리학적측면, 그리고교수학적인측면 에서고찰할것이다. 2. 학교수학에서그래프교육위상에대한고찰 수학에서는그래프를포함한시각적인기호와대수식을포함한언어적기호가함께쓰인다. 앞절에서논의한바와같이그래프표현과언어적인표현은각각수행하는기능이서로다르며, 또한서로상보적인기능을갖는다. 하지만지금까지학교수학에서그래프는그교육적의의와중요성이큼에도불구하고그리중요하게취급되지못하였다. 시각적인표현은매우유용할뿐아니라, 같은아이디어를나타내더라도언어적-대수적표현보다훨씬더이해하기쉬움에도불구하고그래프자체내용에초점이맞추어지기보다는단지대수로가기위한하나의수단으로만사용되었다. 그래프가제시되었더라도문제해결방법에있어서는주로대수식위주로되어왔으며, 그래프자체를해석하여그래프에초점을둔해결방법을강조하지못했다. 이절에서는이상과같은문제의식에서출발하여학교수학에서그래프교육이자치하는위치를시각화와연결시켜수학의본질적인면을다루는철학적인측면과학생들의인지적측면을다루는심리적인측면, 그리고교수학적인측면등세가지측면에서논의하고자한다. 가. 철학적관점 19C 말 Cantor 에의해수학에집합의개념이도입되었고극한, 연속, 함수등이집합을바탕으로새로운의미를갖도록정리되고 20C 중엽

26 Bourbaki 라는이름의학파를중심으로공리중심의구조주의수학이형성되었다. 이학파에의하면수학이란엄밀한형식을갖추어야만하고산술화되어야만하며, 그렇지않으면존재하지않는다는믿음이대부분이었다. Bourbaki 학파의형식 논리주의의영향으로현대수학에서직관은배제되어왔고, 시각적인것은수학의본질이아니며, 수학을왜곡하는것으로인식되어왔다. 아이디어의기초에시각적표현이있든없든상관없이수학은비시각적인것이라는것이그동안의많은학생, 수학자, 교사의신념이었다. 이러한수학의본질에대한신념이너무뿌리깊게내재되어있어서단어없는증명은증명이아닌것으로되었고, 시각적인방법은수학에서기껏해야기억력을증진시키는부차적인것으로만인식되어왔다 (Dreyfus,Eisenberg,1991). 그뿐아니라장혜원 (1997) 이지적했듯이, 시각적표현의구체성은그물리적제약성으로인해추상적개념을온전히표현하지못하고그에대응한시각적표상은수학적추론에있어서오류를야기시킬위험성이크기때문에불완전한것으로인식되어왔다. 학교수학에서도이런상황이그대로반영되어주로대수적측면과형식적측면이중심을이루게되었다. 따라서학생들도수학에서시각적인방법을사용하는것은수학적인능력이부족한사람들이사용하는하등한방법으로인식되어졌고대수화, 기호화, 산술화를통해분석적인방법을사용하는것은수학에서고등적인방법으로생각되어졌다. 이렇듯시각적인것은수학이아니라는신념때문에시각화를통한접근법은기피되었고따라서그래프표현에의한학습도그자체내용에초점이맞추어지기보다는대수로가기위한부수적인것으로여겨졌다

27 나. 심리적관점 도식화는매우복잡한정보를간단하게압축하여표현할수있는방법으로, 그림에포함된전체정보를문자형태로표현한다면부가설명이너무많아져훨씬많은공간을차지하게되거나그의미가오히려더흐려질가능성이있다 (Skemp,1983). 이것은그림에좀더많은정보가있기때문이아니라그림이중요한정보조각과그것들사이의중요한개념적연결을명확히보여주기때문이다. 하지만언어적-대수적체계에비해시각적인표현은의사소통이어렵고사회화되기어렵기때문에, 도식적표현은그것에익숙한사람들만이이해하기쉬울뿐미경험자에게는직접적으로이해하기어려운점이있다. 또한일반적으로선형적계열 (linearsequentialmanner) 로이미계열화된지식을제시하는것은상대적으로쉽지만다양한정보들과다중적연결을가진정보와다양한방향에서함의를가진정보의 2차원적배열을제시하는것은훨씬더어렵다 (Dreyfus,& Eisenberg,1991). 도식적표현은후자에해당하는것으로이런표현을이해하기위해서는동시에여러가지요소를파악할수있어야만하는데이것은인지적으로매우어려운일이다. 즉, 이러한표현을이해하기위해서는거기에따른인지과정이필요하게된다. 예를들면시각적으로보이는그래프를이해하기위해서는그래프의규약을알아야만한다. 학생들은축의성질, 축에서의눈금, 좌표평면위의점과순서쌍의관계, 의점집합으로서의그래프, 그래프의연속성, 그래프상에서이웃하는점에서함수값의증감관계등을이해할수있어야하며그래프의공간배열은실제의공간배열과차이가있음을알아야만한다. 또한그래프는두개나그이상의변수사이의관계의특징들을나타내고두개의다른대상을언급하기때문에, 그

28 래프의다중-참조양상은학생들을혼란에빠지게한다. 이상에서살펴본바와같이, 그래프는다른표현과는달리그것만의구문을익혀규약을알아야만하고동시에여러가지요소를고려해야하며, 그중재적개념구조를이해해야하기때문에학생들이그래프를이해하는데에는많은어려움이따른다. 따라서적절히지도받지못한학생들이그림을그리거나그래프를그리는것을거부하고, 주어진그래프를이용하는방법을잘알지못하며스스로그래프를그리는방법을모르는것은당연하다. 이로인해학생들은시각적인그래프표현에서인지적으로어려움을겪게된다. 다. 교수학적관점 학교에서가르치려는지식은수학의학문적지식을참조로하기는하지만이둘사이에는적법성을문제삼을만큼커다란간격이존재한다. 따라서학자들의학문적지식이학교에서가르치는교육적지식으로변환될때그지식은불가피하게변하게되는데 Chevalard 는이를교수학적변환이라하였다. 한마디로표현하자면 지식이가르쳐지기위해겪어야하는일련의변형 을교수학적변환이라한다 ( 장혜원,2000). 수학자들은다방면의수학적지식들을연결하여새로운학문적지식을만들어낸다. 이런학문적지식은매우복잡하고많은연계성과연결성을포함하므로그제시방법이깔끔하게순차적으로제시될수는없다. 수학교육자들은이런복잡한수학적주제를학생들에게가르치기위해지식을좀더작은덩어리로잘라서그것이수학적관점으로부터논리적인순서로순서화될수있도록단순화시키려노력한다. 따라서학문적지식들이학교에서가르쳐지기위해서는순차적으로분류되고순서화되어교과서에서

29 처음과끝이있는고립된형태로구조화되어선형적으로나타나게된다 (Dreyfus,Eisenberg,1991). 이렇게학교에서의지식은교수학적변환으로인해수학자들의지식과는달리개념과절차사이에연결이제거되고지식들이서로연결되지못한채학생들에게전달될수있다. 더욱이암묵적인많은개념적연결을요구하는도식적표현보다는주로순차적이고명백하게공식화된언어나기호형태의표현이학교수학에서제시하기더적절하기때문에교사들이학생들에게제시할때가장효율적인방법으로생각하고선호한다는것이다. 따라서학생들도도식적표현보다는언어형태의표현을더선호하게되고, 그만큼그래프에대한학습을그리강조하지못했다고볼수있다. 위에서고찰한바와같이시각적추론은수학교육에서기피되어왔고따라서그래프표현도수학교육에서그리중요하게여겨지지않았다. 비록언어적표현이주가되는대수화 산술화가엄밀한수학적사고를가능하게하고교수학적변환이쉽다하더라도그림을그려서생각하는것은매우중요한수학적사고전략이며, 시각화기능없이수학은의미있게전개되기어렵다 ( 우정호,2000). 최근컴퓨터, 비디오,TV 등의영상매체의발달로인해시각적특성을선호하는학생들을고려하고, 학습이란개인에의해의미를갖게되는관계적이해라는관점을고려할때수학교육을위한이미지의활용은강조되어야만할것이다. C. 그래프의교수 학습 지금까지수학교육에서그래프에관한논의를하였다. 앞에서논의한 것과같이그래프가수학교육에있어서중요한의의와위상을가짐에도불 구하고실제로학교수학에서그래프의위치는그리강조되지못했다. 또

30 한다른수학영역에비해그래프과제와그에대한교수 학습에관한연구도거의이루어지지않은상태이다. 수학교육에서그래프에대한이슈가강조되어온것은다만최근들어테크놀러지가발달되면서부터라고할수있다. 이장에서는학교수학에서다뤄지는그래프과제에대해고찰해나갈것이다. 먼저그래프과제내용자체에대한분석을한후에, 바람직한그래프교수에대해논의해나갈것이다. 1. 그래프과제에대한고찰 가. 그래프에대한접근법 그래프에대한접근법은크게두가지로구별할수있다. 첫째, 그래프를읽을때나그릴때공간적으로초점을어디에두었냐에따라국소적 (local) 접근, 광의적 (global) 접근으로나눌수있다. 둘째, 양적인값에초점을두었는지또는그렇지않은지에따라양적접근과질적접근으로구분할수있다.Freudenthal(1983) 에의하면, 점별접근이란그래프를해석할때오직한점만을보는것으로, 주어진독립변수값에대해종속변수의값을읽거나또는반대로주어진종속변수의값에대해독립변수의값을읽는것을의미한다. 이것은보통그래프의축에서수직적-수평적, 수평적-수직적으로훑어보는것에의해행해지는것이라고할수있다. 국소적접근이란점별접근을포함하여한점근방에서그래프움직임을상대적으로보는것으로양과음, 증가감소와그정도, 연속, 최대최소, 불연속으로건너뛰는지점, 직선인지곡선인지, 오목한지, 볼록한지, 또는최대값이나최소값에서날카롭게구부러졌는지약하게구부러졌는지를보는것

31 을말한다. 국소적인접근이한점근처에서그래프의움직임을보는것이라면광의적인접근은어떤구간을기준으로해석하는것을말한다. 즉, 그래프를광의적으로읽는것은양의구간, 음의구간, 증가감소연속인구간, 단조성, 진동성, 다양한종류의점근선움직임, 주기성, 선형성이나이차곡선또는다른대수적특징, 지수함수적특징, 삼각함수적특성과같은것들을알아보는것을의미한다. 양적접근이란그래프에서수치적인값에초점을맞추는것으로주로축에정해진양을기반으로하여해석이나구성을하는것을의미한다. 반면에질적접근이란그래프를보고두변수사이의관계나의미를구하는것으로, 정확한양에기초한다기보다는그래프의대략적인경향을스케치하거나해석하는접근을말한다. 즉, 질적으로해석하거나구성하는것은축의특정한값에초점을두는것이아니라그래프그자체에초점을두는것으로이런질적접근은주로광의적인접근과연결되고, 반대로양적접근은국소적인접근과연결된다. 나. 그래프이해과정 그래프를이해하기위해서는시각적으로보이는것이상을보아야하고여러가지측면을동시에인식하여해석하여야만하기때문에이를해석하고이해하는데에는많은어려움이따른다. 그래프는실세계상황이나그림과는달리시각적으로즉각적인해석이불가능하며, 어떤경우에는실제의공간배열과차이가있기때문에그래프규약에대한인식없이는제대로이해하기힘들게된다. 그래프구조는크게구문론적인요소와의미론적인요소들로나뉜다. 구문론적요소란그래프의표면적인특징으로그래프를표시하는막대나

32 점또선, 축위의명칭, 제목, 음영이나색, 눈금들을의미한다. 의미론적요소에는 축과 축에의해주어지는함수나개개인이그래프를그릴때부여하는의미, 그래프가나타내는전체적인모양등이포함된다. Simonsen 과 Teppo(1999) 는구문론적인요소들을이해함으로써의미론적구조들을이해할수있음을밝히고있는데, 각각의축이무엇을의미하고거기에서자료들이어떻게표현되는지를알아야의미론적구조들을이해할수있다는것이다. 그래프과제를인식하는과정은크게 3가지로나뉜다 (Friel,Curcio, Bright,2001). 그래프를인식하는첫번째단계는시각적으로그래프요소를인식하여읽는단계라고할수있다. 인지과정의초기과정에서는그래프에주목하여지각에의한이미지를만들기때문에시각적으로그래프요소를읽는단계는중요하다고할수있다. 두번째단계는그래프에서데이터들을통합하거나분명치않은특성들에대해추론을가능하게할표현들을조작하는정신과제로그래프의구문론적특성을포함한조작이라고할수있다. 그래프를이해하기위해서는단지시각적인해석만으로는이루어질수없으며, 그래프의구문을조작하여분석하는것이필요하다. 즉점을읽고축에서값을확인하거나, 그러한값에대한산술적연산을통해정보를얻어내거나그래프의점들사이에서공간적인비교를하거나, 또는좀더많은값들을통합하여양적또는질적으로비교하거나경향을확인하여비교하는것등이이단계에해당된다. 세번째인식단계는과제에적합한대답을일반화하기위해정신적표현과함께문맥에관한이해를통합하는과정으로그래프의상황론적내용을이해하는과정이다. 문맥에의해부과된것들을이해하는것은그래프의분별력있는해석을하기위해서는중요한요소가된다

33 위와같이그래프의시각적인해독이그래프의이해와해석에필수적인요소이기는하나그것만으로는충분치않다는것을알수있다. 그래프를이해하기위해서는그래프규약, 즉그래프의구문론적인요소와의미론적인요소를익혀야하고게다가그래프에담긴상황이나문맥까지이해하여야만하며, 그래프에대한선험지식이필요하다. 이렇듯그래프를이해하는것은복잡한인지과정이요구되므로그래프를이해하고해석하는것을제대로지도하지않았을때학생들은계속적으로그래프과제에서오류를범하게될것이다. 다. 그래프그리기와그래프과제에대한고찰 Leinhardt,Zaslavsky,Stein(1990) 는함수그래프와관련된과제를그래프로그리는활동과그래프과제로나누었는데그래프그리는활동은해석하기와구성하기로, 그래프과제는예측, 분류, 번역, 축척 4가지로범주화하였다. 우선그래프를그리는활동에서해석이란주어진그래프또는그래프의일부로부터의미를이해하거나의미를얻을수있는활동을의미한다. 이에관련된활동의예는변수에대응하는값찾기, 변수사이의관계를진술하기, 종속변수간의관련짓기, 그래프의내삽법 (interpolation) 과외삽법 (extrapolation), 특정한사건이일어나거나어떤상태가충족되는곳결정하기등을들수있다. 이러한해석과제는국소적이거나광의적인방식으로이루어질수있고양적이거나질적인방식으로도이루질수있다. 구성이란새로운무언가를이끌어내는활동으로, 주어진자료나대수식으로부터그래프를그리는활동을말한다. 해석이주어진그래프나대수식등에의존하여반응하는것이라면구성은주어지지않은새로운부분을형

34 성하는것을말한다. 하지만구성은해석과마찬가지로국소적이거나광의적인방식, 그리고양적이거나질적인방식으로이루어질수있다. 또한그활동이그래프, 대수, 상황의영역중어느한쪽에서만일어날수도있고한영역에서다른영역으로이동할수도있다는공통점을가지기도한다. 그래프과제는 예측, 분류, 번역, 축척 으로범주화된다. 예측 은분명하게주어지지않았거나또는분명하게그려지지않은그래프를보고그래프의다른점들이어디에위치하는지또는그래프의다른부분이어떻게될지추론하도록요구하는과제를의미한다. 이는주어진그래프를해석하는활동이라기보다는그래프에서나오지않은부분을구성하는활동을주로포함하는특성을갖는다. 분류 란어떤특별한관계가함수인지를결정하거나, 다른관계들속에서함수임을확인하는것또는다른함수들사이에서특별한종류의함수를확인하는것을말한다. 다시말해, 그래프나대수식, 화살표다이어그램과같이주어진관계가함수인지결정하거나, 다양한함수사이에서일대일대응이나연속과같은특별한종류의함수인지를확인하는것, 또는주어진그래프중에서함수의그래프를찾거나특별한종류의함수그래프를찾는것을의미한다. 이는그래프에서함수의형식적인정의그리고특별한종류의함수의형식적정의와관련있는해석활동을주로포함한다. 번역 이란실제상황에서의자료, 그래프, 순서쌍의도표와같이다양한표현에서같은함수임을인식하는과제또는한함수에서다양한표현으로구성하는과제를의미하는것으로이과제는해석과구성활동을모두포함한다. 특히 Janvier(1987) 는그래프과제에있어서번역과정을그래프스케치, 점찍기, 해석하기, 읽어내기, 곡선 fiting 으로분류하기도하였다. 마지막으로 축척 은축, 축의크기, 축에표시될눈금의단위와관련된과제를말한다. 이과제는주어진함수그래프를그릴적절한축의크기나

35 눈금의크기를결정하는것과같은구성활동과다른크기의축에서그려진여러개의그래프가같은함수임을확인하는것과같은해석활동모두를포함한다. 이상을바탕으로그래프과제의세가지단계를고찰해보면, 기본단계는주로주어진그래프에서국소적인것에초점을맞추어양적으로점의위치를파악하여번역하는것이주가됨을알수있다. 중간단계는기본단계보다좀더초점의범위를넓혀데이터들을범주별로통합하고정리하여구간별로데이터들로파악하는것임을알수있다. 진보된단계는주로그래프의광의적인측면과질적측면에초점을두어일반화하거나예측또는전체적인경향을파악하는것을포함하고있음을알수있다. 이는앞의두단계처럼단지그래프에서표현된사실을기반으로한다기보다는, 표현된데이터들을통합하여비교 대조등의분석을통해전체적인데이터에대한평가를내리는등비율적사고, 추론적사고와논리적사고같은좀더고등적인수학적능력을요구한다는것을알수있다. 2. 그래프지도방향에대한고찰 학교수학에서가르치고있는그래프를보면다양한 값에대한 의값을구하여표를만들고정해진축에표에서제시된점을찍고그점을연결하여그래프를그리는것과, 그래프의한두개의점에초점을맞추어그값을읽는문제가대부분이었다. 이런점별해석을과도하게강조하는것은그래프의개념화를대상이나또는개념적인실재보다는고립된점들의모임으로이끄는결과를초래할수있다 (Leinhardtetal.,1990). 학생들이그래프를이해하는능력을향상시키기위해서는단지한두개의점을찍고읽는것을넘어서그래프가기초한상황에서의관계와그래

36 프의전체적인경향을해석하도록하는것이중요하다. 즉점별접근에서벗어나그래프로부터변화상황을추측해보거나, 개략적인형태로변화하는양들사이의관계를그려보는것이우선시되어야만한다. Janvier(1987) 는실수에서실수로가는함수그래프를학습할때, 축적이이미정해진카테시안좌표체계를읽고각각의점을그리도록요구하는과제로시작하기보다는우선구체적인상황의질적그래프에서시작하여전체적으로그래프들이보여져야한다고주장하였다. 다시말해, 학생들은동시에변화하는두개의변수사이에서관계를나타내는그래프에서시작하도록장려되어야하고, 수보다는말로그관계를표현하도록장려되어야만한다는것이다. Dugdale(1993) 의연구에서밝혀진바와같이그래프를보는데있어서수치값을읽거나이러한값들이그래프위에자세하게어디에위치하고있는지를알게하는것으로는충분치않다. 따라서그는진정한그래프해석이란그래프를해석하여이에해당하는이야기를만들어보는것이라고주장하였다.Karplus 또한주어진상황을지배하는함수적관계에서실제적으로중요한것은단위가표시되지않은좌표축에서의그래프로인해결정될수있다고강조하였다. 그는시간, 거리, 온도와같은연속적인변수가서로의존하는함수관계에대한중등학교학생들의개념화를연구한결과, 학생들이연속적인함수관계를설명하는자료가주어질때물리적맥락에대한추론없이기계적인방법으로데이터를처리하는경향이있음을알게되었다. 그는학생들이자료의수치적값에집중했고산술적인알고리즘이나그래프알고리즘을적용했다는점을밝혔다. 이런어려움을피하기위해서는변수사이의수치적관계로부터전체적인관계로초점을전이해서그래프에의한함수의광범위한질적표현을포함해야한다고제시했다. 이러한단계들을거쳐각자그린그래프를비교하게하고토론하게함

37 으로써좌표평면에기준이부여되어야한다는사실을인식시키고, 보다엄밀한그래프활동으로진행되어야한다. 표를이용해서그래프를추측하는활동도이루어져야만하며이런과정을거친이후에측정을통해서수량화하는단계로이어져야할것이다. 이상의논의에서알수있듯이, 그래프를지도할때는처음에는질적접근을통해서그림을그려보는것으로시작하여점차적으로형식적인틀에맞추어그래프를그려보도록해야한다. 그래프를해석하는방법에있어서도처음에는전체적으로, 그다음에는국소적으로, 그리고점별접근을시도하고어느경우에는이세가지가모두통합되도록지도해야만한다 ( 정영옥,1997). 구체적으로설명하면, 함수그래프지도시에그래프표현을일상경험과관련시켜물리적모델을조작해그래프에서나온결과를보게하거나, 그래프에서나온사건들에대해이야기해보거나, 자신이만든이야기를그래프로대응시키는이와같은활동을통해그래프에대한이해를향상시킬필요가있다

38 Ⅲ. 연구방법및절차 이장에서는이론적배경의장에서살펴본바를바탕으로하여연구문 제를분석하기위한연구방법과절차를제시한다. A. 연구방법 연구자가활동지에기반을두고연구대상학생들과반구조화된면담을하는방법으로질적사례연구를하고수집한자료를분석한다. 본사례연구에서학생들이함수그래프도입단계에있어서다양한물리적인상황가운데종속관계를해석하여그규칙성을그래프로구성하는과정과그래프에서물리적인운동상황을해석하는과정을분석하고자한다. 사례연구에활용한검사지는 E대학교수학교육과 S강사가개발한자료를이용하였으며이를부록에참조하였다. 본연구자는먼저, 두명의중학교 3학년학생이등가속도운동상황을탐구하고학습하는활동을심도있게관찰하였다. 그후, 이학생들이학습을마친후에활동지를제시하여이에기반을두고과제기반심층면담을하게된다. 이를통해서연구목적에부합되는자료를수집하고, 그자료를근거로하여연구문제를분석하고기술하고자한다. 사례연구는맥락속에서풍부한여러가지정보원들을포함하는하나의 경계지어진체계 (bounded system)' 나하나의사례, 또는여러사례들을심층적으로분석하는것이다. 면접, 문서기록, 관찰, 물리적인공물, 문서등자료수집원이다양하고사례들과맥락에대한기술을하면서이슈를개발하고, 개발한이슈를상세하게기술하게된다 (Creswel,1998). 사례안에서표본을선택하는방법으로는연구자가발견과이해와통찰을얻기원

39 한다는가정을기초로하여표집하는의도적표집 (purposefulsampling) 방법을사용하였다. B. 연구대상및연구절차 연구대상은서울시소재의한중학교 3학년남학생두명으로서성적은상위권에속하고과학반에서활동을하고있는학생이다. 연구를시작하기전에연구참여에대한동의를구두로받았으며모두적극적으로참여하였다. 이학생들은과학시간에등속도운동을학습한상태이고등가속도운동은아직배우지않았으며수학시간에일차함수와이차함수를학습한상태이다. 그리고본연구에앞서빗면을내려가는수레의등가속도운동을탐구하는물리적실험과정을통해순간속도가시간과이동거리의이차함수그래프위의한점에서접선의기울기를의미한다는점과시간과속도의관계그래프아래의넓이의변화가이동거리의변화를의미한다는점을학습한상태이다. 학생 A와 B 모두자신의생각을주저없이표현하고대화에적극적으로참여하였다. 본사례연구는 2005 년 10 월말 1차시에걸쳐서행해졌으며두시간정도가소요되었다. 연구자는참여관찰을하면서안내자, 조언자역할을하였고연구자의편협한관점이나감정을자제하고객관성과중립성을유지하려고노력하였다. 상황에따라서는학생들의설명이나비형식적인개념이형식적인개념으로발달할수있도록보다능동적으로활동에개입하여학생들을안내하였다. C. 자료수집및분석 사례에대한철저한묘사를시도하기위하여광범위한자료수집방법

40 을사용하였다. 자료수집은관찰, 과제에기반을둔반구조화된심층면담, 학생들의노트를이용하였다. 주의를흐트러뜨리지않는조용한장소를면접장소로정하고나서연구에활용할실험도구, 정보의정확한기록을위해필수적인녹음기를설치하였다. 참여관찰과과제에기반을둔반구조화된심층면담에서얻어지는데이터를수집하기위하여현장노트와녹음기를적절하게사용하였다. 현장노트에는연구대상의비언어적행동이나의사소통그리고연구자의경험과느낌을반영하는기록을포함시켰다. 관찰과면담결과에서얻은자료를분석하는방법으로는먼저, 연구자가기록한대로사례에대한사실들은진술하는내러티브기술 (narrative description) 을사용한후, 단일사례내에서주제를확인하는사례내분석을하였다 (Creswel,1998). 이두가지방법을적용하여다음과같이자료를분석하였다. 먼저, 사례별로오디오녹취물자체를순서와내용에집중하여기술한파일을만든후에현장노트와오디오녹취물에서얻은데이터, 학생들의노트를함께비교하면서파일을재조직하였다. 다음에는전체텍스트를읽으면서연구문제를분석하였다

41 Ⅳ. 연구결과분석 이장에서는사례연구결과를기술하고연구결과를기반으로하여연구문제를분석한다. 연구대상자들이실세계의변화상황을묘사한문장에서그래프를구성하는과정과주어진그래프를보고실세계의변화상황을해석하는과정을분석하고자한다. A. 사례연구분석 이절에서는활동지를기반으로한사례연구를분석한결과를기술한 다. 학생들의활동을연구자와학생들의대화가활발히이루어진문항만 선택하여문항순서대로다음과같이분석하였다. 다음은부록에참조된활동지의문항 3 에대한분석으로, 주어진문장 의상황에알맞은그래프를고르는그래프해석과구성능력이함께요구 되는문제를해결하는과정에서나눈대화이다. 연구자 : 성진이가가만히서서롤러코스터를보고있으면성진이와롤러코스터사이의거리가어떨까요? 학생A: 롤러코스터는움직이는거죠? 연구자 : 아니요. 안움직여요. 롤러코스터도정지해있어요. 성진이가롤러코스터를보면서탈까말까망설이면서가만히서있는경우라고하면, 성진이와롤러코스터와의거리가어때요? 학생들 : 일정해요. 연구자 : 그렇죠. 아무리시간이지나도성진이가롤러코스터를타러가는게아니라가만히있기때문에그거리가항상어떻죠?

42 학생B: 같아요. 연구자 : 그러면이문제에서 (a),(b),(c) 중어느그래프가될까요? 학생A: (b) 를택한다.) 연구자 : 왜이거라고생각했어요? 학생A: 시간에따라거리가일정하니까. 아.(c) 그래프요. 학생들은먼저주어진문장과선택지의그래프들을살펴본후에, 문장에알맞은시간과거리의그래프를고르는문제임을인식하였다. 이에연구자는학생들이주어진성진이와롤러코스터의운동상황에서우선그둘사이의거리에대해생각해보도록유도하였고그결과, 학생들은그거리가일정하다는사실을알게되었다. 그다음에학생들은시간이지나도성진이와롤러코스터사이의거리가항상같다는것을알고시간변화에거리가일정하다는사실을이해하였다. 그후, 시간과거리에대한그래프를구성하는과정에서학생B는직관적으로 (c) 그래프를선택한다음, 활동지위의그래프선을연필로따라그려보면서시간의함수로서의경과거리를확인한후에답을표시했다. 이는학생B가그래프의대략적인경향을해석하는질적접근으로 (c) 그래프를해석했음을보여주는것이다. 그러나학생 A는문제의상황을이해는했지만이를선택지에있는그래프로고르는과정에서가로축과세로축이나타내는변수에대한그래프해석의오류로인해 (b) 그래프를선택했다. 하지만연구자가질문한 (b) 그래프를선택한이유에대해생각해보고이를연구자에게설명하는과정에서자신의해석오류를스스로발견함으로써, 문제상황에알맞은 (c) 그래프를고를수있었다. 다음은각각주어진상황에맞는시간과거리의그래프를직접그려보 는그래프구성에대한문항으로부록에참조된활동지의문항 4 의 (a) 를

43 해결하는과정에서이루어진대화이다. 연구자 : 이상황은교실문이여기있고 ( 한손으로교실문의위치를지정한다.) 성진이는가만히서있다가교실문입구로일정한속도로걸어가요.( 다른손으로성진이의움직임을표현한다.) 그럼성진이와교실문사이의거리가어떨까요? 학생B: 증가하고. 연구자 : 거리가? 학생A: 거리가짧아져요. 연구자 : 그래. 점점줄어들지요.( 학생B는그래프를그리기시작한다.) 그러다가성진이가교실문입구에멈췄어요. 그러면? 학생A: 거리는 0이요. 연구자 : 그렇죠. 그리고성진이는교실문을통과해서교실을나와요. 전에는일정한속도로교실문으로걸어갔었는데나온후에는교실문으로갈때보다느리게일정한속도로걸어가요. 그럼그래프가어떻게바뀔까요? 먼저성진이가교실문에다가가는순간까지그래프를그려보면? 학생A:( 그래프 [ 그림 Ⅳ-1] 를그린다.) 연구자 : 네. 거리가감소해서 0이되었지요. 그럼그다음에교실문을통과한후전보다는느린일정한속도로걸어가요. 교실문으로부터거리가어떻게될까요? 학생A: 점점멀어져요. 연구자 : 그럼그래프는어떻게그려질까요? 학생A: 교실문입구에서멀어지니까 ( 그래프 [ 그림Ⅳ-2] 를완성하면서 ),y 값은점점늘어나요. 연구자 :( 학생들이그린그래프 [ 그림Ⅳ-2] 의꺾인점을가리키며 ) 그럼이점의의미가뭘까요? 이가운데점. 학생B: 빨리걷다가천천히걷게되는때요. 연구자 : 응. 그렇게바뀌는점? 그러면성진이가어떤지점에와서그렇게바뀐거예요? 학생B: 교실문의입구에도착한다음에요. 연구자 : 그러면그점에서성진이와교실문입구까지의거리는뭐가되어야할까요? 학생B: 아.0 이요. 그리고통과해나오면서점점거리가멀어져요. 연구자 : 네. 이런문맥의운동상황을자신이직접움직이는경우를가지고생각하면더

44 쉽겠죠? 빨리걸어보고천천히도걸어보면서거리변화를생각해보면상황을이 해하기더쉬울거예요. [ 그림 Ⅳ-1] 학생 A 의그래프 [ 그림 Ⅳ-2] 학생 A 의시간과거리그래프 문제상황의이해를돕기위해먼저, 연구자는두손으로교실문과성진이를표현하여문맥에맞는운동을모델로제시하였다. 학생B는실세계에서의운동상황을본후, 자신의손을이용해운동상황을재연해보며그래프를그리기시작했다. 또연구자가질문을통해서학생A에게성진이가교실문입구에도착하기전상황과교실문입구에도착한순간의상황, 교실문입구를지난상황을나누어거리변화를생각해보도록유도하였고, 각상황에서의시간에따른거리변화에대한그래프를그려보도록하였다. 그결과, 학생A,B 모두성진이가교실문입구에도착했을때성진이와교실문입구사이의거리가 0이라는사실을인식한후에그래프를좀더쉽게그리는것을관찰할수있었다. 두학생모두성진이가교실문입구에일정한속도로다가올때보다교실문입구를지나일정한속도로빠져나올때의속도가느리다는사실을염두에두고 [ 그림 Ⅳ-2] 에서보는바와같이, 교실문입구에도착한후운동상황에대한시간과거리그래프의기울기를도착전그래프의기울기보다더완만하게그렸다. 이는학생들이시간과거리의그래프에서기울기가속도라는사실을이해하고있음을보여주는것이다. 그리고이문항을통해서학생들은문맥의해석을위해주어진운동상황을자신이움직이는상황을가지고생각하면이해에

45 도움이된다는사실을알게되었다. 다음은문항 4의 (b) 로역시그래프구성에대한문제를해결하는과정에서이루어진대화이다. 연구자 : 기다리는줄이가만히서있다가일정한속도로회전열차를향해이동해가고있어요.( 두손을이용하여줄과회전열차의상황을보여준다.) 학생들 : 네. 일정한속도로. 연구자 : 처음에줄이가만히서있는상태의그래프가어떻게될까요? 학생들 :( 그래프 [ 그림 Ⅳ-3] 를그린다.) 연구자 : 지금그린그그래프는전에문제3번에서고른그래프와어때요? 그러면상황은? 학생A: 같아요. 상황도비슷해요. 연구자 : 그래요. 이제줄이일정한속도로회전열차를향해서움직여요. 그러면줄에서회전열차까지의거리가어떻게되죠? 학생B: 감소해요.( 그래프 [ 그림 Ⅳ-4] 를완성한다.) 연구자 : 그렇죠. 거리가점점감소하니까그런그래프가되는거죠. 수학시간에일차함수, 이차함수등을식만주어진상태에서그래프를그렸지요? 이런운동상황을주고그래프그리는거해봤나요? 학생들 : 아니오. 학생A: 방금한것처럼그운동상황을이해하면서하면될것같아요. [ 그림 Ⅳ-3] 학생 B 의그래프 [ 그림 Ⅳ-4] 학생 B 의시간과거리그래프 연구자는상황을설명하고주어진문장의상황을두가지문맥으로나 누어생각할수있도록하기위해우선첫번째상황으로써, 줄이가만히

46 서있는상태에대한시간과거리의그래프를학생들에게그려보도록요구했다. 그러자학생들은주어진문맥을활용하여시간과거리그래프를 [ 그림 Ⅳ-3] 과같이어렵지않게그렸다. 이는문항 3의상황과비슷한상황이기때문에학생들모두쉽게시간에따른거리의변화를이해하고그래프를구성한것임을알수있다. 연구자가학생들에게앞문항3의상황과비교해보도록발문한것과같이학교수학에서그래프를지도할때, 주어진상황의문맥을해석하면서이전의비슷한상황에대한그래프를구성해보았음을상기시켜그래프연결이가능하다는것을인식하게해주어야한다. 그다음에학생들은두번째상황으로써, 줄이일정한속도로회전열차에가까워진다는운동상황을이해한후에, 시간이지남에따라거리가감소한다는사실을알고남은그래프를완성하였다. 이렇듯두가지이상의운동상황이결합된문맥의그래프를구성할때에는이러한운동상황의경우를시간의구간으로나누어전체적인그래프를그려보게하는광의적접근이이루어져야한다. 다음은그래프구성에대한문항 5 로각기다른세사람의운동상황을 표현하는시간과속력의그래프와시간과이동거리의그래프를그리는과 정에서이루어진대화이다. 연구자 : 앞의문항에서는성진이가회전열차에가까이가는상황이었죠. 지금이상황은세사람이공원에있는데공원부터시작해서집으로가는거예요. 학생B: 예. 연구자 : 기욱이가똑같은속도로집으로걸어가요. 그러면기욱이의운동상황을시간과속력의그래프로그려보면어떻게될까요? 학생들 :( 각자그래프를그린다.) 연구자 : 네. 그러면한주는빨리집에가고싶어서속력을냈어요

47 학생들 :( 각자그래프를그린다.) 연구자 : 혁이는? 학생들 :( 각자그래프를그린다.) 연구자 : 그럼이제시간과거리에대한그래프로표현해봐요. 아까수레운동에서시간 -속도그래프를그렸고시간-거리그래프도그렸잖아요? 그걸잘생각하면서시간-거리그래프를그려봐요. 기욱이부터그려보면시간에따라거리가어떻게될까요? 학생들 :( 각자그래프를그린다.) 연구자 : 응. 한주는점점속력을빨리하는거죠? 그러면아까우리가한수레운동을잘생각해서해보세요. 점점속력이빨라지니까한주의거리는? 학생들 :( 각자그래프를그린다.) 연구자 : 그렇죠. 그러면혁이도? 혁이는속력을어떻게내고있어요? 학생A: 속력을점점줄이고있어요.( 그래프를그린다.) 연구자 : 거리가줄수는없지? 학생A: 아. 이건시간당거리가점점줄어드는거니까.( 그래프를수정한다.) [ 그림 Ⅳ-5] 학생 B 의그래프 앞에서언급한바와같이학생들은본연구에앞서서수레의등가속도 운동상황을모델화한시간과이동거리의그래프를그릴수있었고이를

48 바탕으로, 단위시간당이동거리의변화를고려하여시간과속도의그래프를그릴수있었다. 이그래프에서변화를해석하여시간과속도의일차함수그래프에서기울기의의미를가속도와연결하여가속도의일정성을이해하게되었다. 따라서연구자는앞에서탐구했던수레의운동과그에관한시간과속도그래프, 시간과거리그래프를그려본활동에대해언급하여학생들이비슷한문맥에서연관지어생각할수있도록유도하였다. 학생B는빠른시간안에모든그래프를완성하였고, 학생A 역시대부분의그래프를잘구성하였으나속력을점차줄이는운동에서의시간과거리그래프를그릴때속력을줄이는것을거리가줄어드는것으로그래프축이의미하는바를착각하는오류를발견할수있었다. 연구자가학생A가그린시간과거리의그래프에대한해석을해줌으로써주어진상황에서시간에따라거리가줄수없다는사실을인식시켜주자학생스스로그래프의오류를발견하여자신의그래프가어떠한의미를가지고있는지말로해석하면서주어진상황과다르게그렸음을알고올바른그래프로수정하였다. 다음은시간과속력에대한각각의여러상황을종합적인하나의상황 으로연결시켜하나의그래프로구성해보도록하는문항 6 을해결하는과 정에서나눈대화내용이다. 학생들 :( 문항을읽고각자그래프를그린다.) 연구자 :( 학생A의그래프를보며 ) 이그래프의의미는? 처음에속력이? 학생A: 평지를가니까속력이일정하다가언덕이니까속력이좀줄다가내리막길에서는속력이다시올라가요. 또경사가높은언덕이니까속력이더줄었다가경사가급한내리막길이니까좀더빨리가요. 학생B:( 학생A의상황설명을듣고그래프를수정한다.) 연구자 :( 학생B의그래프를가리키며 ) 그래프에서왜이렇게직선에서곡선으로바꾼거

49 예요? 학생B: 언덕을올라가면서속력이일정하게줄어드는게아니라빨리줄어들고언덕을내려올때는속력이점점더빨리지니까. 연구자 : 네. 그러면 ( 학생A의그래프에서두속력이감소하는두선을가르키며 ) 여기서의기울기와저기서의기울기가어떨까요? 학생들 : 달라요. 연구자 : 어떻게다를까? 학생B: 경사가높은곳에올라갈때속력이더빨리줄어드니까기울기가더많이줄어요. [ 그림 Ⅳ-6] 학생 A 의그래프 [ 그림 Ⅳ-7] 학생 B 의그래프 학생들은주어진문항을읽고잠시생각한후에그상황에서의시간에따른운동변화를석이가평지를갈때와경사가완만한낮은언덕을오르고내릴때, 경사가급한더높은언덕을오르고내릴때와같이, 세구간을나누어그래프를그렸다. 처음엔두학생모두언덕을오르고내리는상황의그래프를속력이일정하게감소하고일정하게증가하는의미로서의직선으로그렸다. 이에연구자가학생A에게학생자신이그린그래프가의미하는상황에대해질문하자학생A는그그래프를보면서시간에따른속력의변화를문맥에맞게잘해석하였다. 학생A의설명을듣던학생B는잠시생각을한후, 자신이그린그래프를다음 [ 그림 Ⅳ-7] 과같이수정하였다. 연구자가학생B에게그래프를수정한이유를묻자학생B는언덕을

50 올라갈때에는속력이일정한비율로감소하는것이아니라시간에따라점차빨리감소하고내려올때에는시간에따라점차빨리증가하기때문에곡선으로수정하였음을설명하였다. 여기서이학생이실세계의운동상황에서가속도의개념을이해하고문제해결에적용하고있음을알수있다. 중학교 3학년의학생들은과학수업시간에이미가속도의개념을배운상태이고특히, 학생B는시간과속도그래프에서기울기가가속도를의미한다는것을알고있었다. 또한두학생모두경사가다른두언덕을오르고내리는시간과속력그래프의기울기를서로다르게그린사실을통해서, 학생들이언덕의경사가다르면그에따라속력의변화도차이가있다는것을이해하고있음을알수있다. 이를확인하기위해연구자가그래프에서두개의언덕을오를때의상황을그린선을보며기울기를비교하도록질문하자, 학생들은언덕의경사가다르면그에따라속력변화도차이가있기때문에두상황에서의기울기가다르다고하였다. 지금까지학생들은앞의문항들에서여러상황에따른각각의시간과속력그래프를그려보는것을통해이렇게여러상황이연결된하나의종합적인상황을여러구간으로나누어생각하고각구간에서의속력을다른구간에서의속력과비교하여기울기의차이로나타내어그래프를구성할수있었다. 다음은문항 8 인여섯개의시간과속도의그래프를보고각그래프가 의미하는운동상황을해석하고시간과이동거리의그래프를그리는과정 에서이루어진대화이다. 연구자 : 속도하고속력의차이가뭘까요? 학생들 : 잘모르겠는데요

51 연구자 : 속력은방향을생각안했을때, 학교에서배운대로시간변화분의거리의변화이고속도는한번생각해봐요. 조금전 7번문제의운동에서차가앞으로가다가다시뒤로올수있었지요. 그러면속도는방향을고려해주는거니까속도에서 + 와 -를주는의미를이렇게말할수있겠죠? 앞으로갈때는 +, 뒤로갈때는 -. 그럼결국속도와속력은방향유무의차이지요. 학생들 : 아.( 고개를끄덕인다.) 연구자 : 자,1 번은차가어떻게움직이고있나요? 학생A: 앞으로가고있어요. 연구자 : 어떻게가고있어요? 학생A: 조금씩속력을내면서앞으로가요.(1 번의시간과이동거리그래프를그린다.) 연구자 :(3 번을보며 ) 속도가 + 지요. 그러면일정한속력으로어느방향으로가요? 학생B: 앞으로가요.(3 번의시간과이동거리그래프를그린다.) 그럼 2번그래프가요. 속도를줄인거아니에요? 연구자 : 맞아요. 그런데속도의부호는어때요? 학생A:+ 요.- 는아직안됐어요. 학생B: 그럼 (2 번그래프를보며 ) 이직선이말하는것이자동차가뒤로올때는기울기가 -로줄어든다고해야하는건가요? 연구자 : 자동차가뒤로오는상황을방향만생각해보면, 속도가 -인거지요? 학생B: 네. 아. 그럼기울기가아니네. 연구자 : 속도의부호는운동방향을결정하고부호를제외한속도의값의변화로속력의변화를말할수있는거죠. 학생B: 네. 연구자 : 만약자동차가뒤로오는상황을그래프로그려보면속도가 -에서시작하는그래프가되어야하지요? 그러면뒤로오는상황은몇번그래프가가능성이있을까요? 학생A:4 번,5 번과 6번그래프요. 연구자 : 그러니까이거 (2 번을가리키며 ) 는앞으로가는상황이지요. 왜그럴까요? 학생A: 속도가계속 + 라서요. 그럼앞쪽에서뒤로오면요. 속도가준다고봐야해요? 연구자 : 앞에서뒤로오면속도가 + 에서 -가되지요. 그렇지만속도라는건앞에서뒤로온다고줄어드는게아니라, 자동차가천천히가야줄어드는거지요. 앞에서

52 뒤로온다는의미는방향의의미에서만속도의부호가 + 에서 -가된다는의미지요. 학생B: 네. 연구자 : 그러면 2번그래프는앞으로가긴가는데어떻게가는거지요? 학생A: 조금씩속도를줄여서가는거요.(2 번의시간과이동거리의그래프를그린다.) 만약에요. 차의속도가계속 - 방향으로내려오면.( 그래프 [ 그림 Ⅳ-8] 를그린다.) 연구자 : 그럼이지점 ([ 그림 Ⅳ-8] 에서그래프와가로축의만나는점을가리키며 ) 에서차는어떻게움직일까요? 학생A: 속도가 0이되요. 연구자 : 이점까지차는앞으로가요, 뒤로가요? 학생B: 속도를줄이면서앞으로요. 연구자 : 그래요. 앞으로갔지요. 그다음에그점을지나는순간차는어떻게갔을까요? 학생A: 뒤로요. 아. 그러면그래프가아래로쭉가도되겠네. 연구자 : 그렇죠. 그런그래프를학생이잘생각한거예요. 학생A: 예. 그럼 ([ 그림 Ⅳ-8] 의그래프를보면서 ) 이 -부분에서, 그러니까뒤쪽으로올때는속력을점점늘이면서가는건가요? 연구자 : 네. 속력에대해서도잘생각했어요. 속력이라는것은음수가아니라항상양수지요? 이것은시간과속도의그래프인데이것을가지고시간과속력의그래프를그리면어떻게될까요?([ 그림 Ⅳ-8] 의그래프에서속도가양수인부분을가리키며 ) 이상황은어때요? 학생A: 속력이점점줄어들어요. 연구자 :([ 그림 Ⅳ-8] 의그래프에서속도가음수인부분을가리키며 ) 그럼이상황은? 학생B: 속력이다시증가해요. 그럼이제자동차가앞으로갔다가뒤로가는거죠? 연구자 : 그래요. 이것 ([ 그림 Ⅳ-8] 에서그래프와가로축의만나는점을가리키며 ) 은어떤지점이예요? 학생A: 방향이바뀔때.([ 그림 Ⅳ-9] 을그린다.) 연구자 : 그다음에 5번은속도가음수니까상황이? 학생B: 뒤쪽으로가요. 연구자 : 뒤쪽으로어떻게?

53 학생 B: 속력을줄이면서가요.(5 번의시간과이동거리의그래프를그린다.) ( 그리고 4,6 번의상황을적고시간과이동거리의그래프를그린다.) [ 그림 Ⅳ-8] 시간과속도그래프 [ 그림 Ⅳ-9] 시간과속력그래프 [ 그림 Ⅳ-10] 학생 A 의 1 번그래프 [ 그림 Ⅳ-11] 학생 A 의 2 번그래프 [ 그림 Ⅳ-12] 학생 A 의 3 번그래프 [ 그림 Ⅳ-13] 학생 A 의 4 번그래프 [ 그림 Ⅳ-12] 학생 A 의 5 번그래프 [ 그림 Ⅳ-12] 학생 A 의 6 번그래프

54 [ 그림 Ⅳ-12] 학생 A 의자동차움직임설명 [ 그림 Ⅳ-13] 학생 B 의자동차움직임설명 먼저, 연구자는학생들이문제상황을이해할수있도록속도와속력의차이와속도에서의부호의의미를운동상황과연관지어말해주었다. 이에학생들은속도가증가하거나일정한 1,3 번의그래프를해석하여시간에따른속도의운동상황을이해하고시간과이동거리의그래프로다시구성하였다. 그러나속도가줄어들거나속도가음수인경우의나머지그래프에서는학생들이그래프해석을어려워하는것을관찰할수있었다. 학생B는처음에그래프의기울기가음수이기때문에자동차가뒤로오는것으로상황을해석하려고하였다. 그러나나머지그래프들과의비교를통해서차이를이해함으로써학생들은그래프의기울기가운동방향을결정하는것이아니라세로축의값즉, 속도의부호가운동방향을결정한다는것을알게되었다. 학생A 역시속도의부호가양에서음으로변하는그래프에서자동차가앞에서뒤로오는상황인것은알고있었지만, 자동차의방향이앞에서뒤로바뀌었을때속도의값이양수에서음수으로변하기때문에속도가줄어드는것으로잘못해석하고있었다. 다시말해서학생A는그래프에서속도의증가와감소를부호를포함한속도값의변화로판단하고있었다. 이에연구자가다시속도의부호와부호를제외한속도값의의미에대해말해준다음 2번의운동상황에서속도의변화를질문하였다. 그결과학생A는 2번그래프의운동상황을잘해석하였고그과정에서 2번그

55 래프의운동을계속연장할경우를생각하여예측한그래프 (< 그림 3>) 를연구자에게제시하였다. 이새로운그래프의운동상황을해석하는것을돕기위해연구자는시간과속도의그래프와가로축이만나는점전후로상황을나누어생각해보도록유도했다. 이렇게그래프를해석하는과정에서학생A가상황에서의속도와속력을구분하여운동상황을잘설명하였다. 이에연구자는학생들에게 < 그림 3> 의시간과속도의그래프를시간과속력의그래프로구성해보도록요구했다. 역시 < 그림3> 의그래프에서속도가양수일때와음수일때의구간으로나누어시간에따른속력의변화를이해한후에학생들은 < 그림 4> 의그래프를구성하였다. 그후학생들은연구자의도움없이 4,5,6 번의그래프를해석하고이를바탕으로하여시간과이동거리의그래프로쉽게구성하였다. 여기서알수있듯이, 학생들이비슷한상황에대한여러가지그래프를해석하고구성하는과정을통해서속도와속력의차이를비교하고그의미를확실히이해하게된것임을알수있다. B. 연구문제분석 이절에서는 A절의사례분석결과에기반을두고, 연구대상자가실세계의변화상황을묘사한문장에서어떻게그래프를구성하고또주어진그래프를보고실세계의변화상황을어떻게해석하는지를분석함으로써그래프학습에서의구성과해석과정을밝힌다. 1. 그래프구성과정 : 연구문제 1 A 절에서사례분석결과를기술한것에기반을두고그래프학습에서의

56 구성과정을다음과같이밝힌다. 첫단계, 실세계에서변화하는현상을이해한다. 예를들어, 문제상황의이해를돕기위해연구자는두손으로교실문과성진이를표현하여문맥에맞는운동을모델로제시하였다., 학생B는자신의손을이용해운동상황을재연해보며변화하는현상을이해했다., 학생A,B 모두성진이가교실문입구에도착했을때성진이와교실문입구사이의거리가 0이라는사실을인식하였다., 줄이일정한속도로회전열차에가까워진다는운동상황을이해한후에, 앞에서탐구했던수레의운동과언급하여학생들이비슷한문맥에서연관지어생각할수있도록유도했다., 연구자는학생들이문제상황을이해할수있도록속도와속력의차이와속도에서의부호의의미를운동상황과연관지어말해주었다. 등의분석에서알수있듯이그래프를구성하는과정에서의처음단계는실세계에서변화하는현상을이해하는것이다. 두번째단계, 독립변수의변화에따른종속변수의관계를이해한다. 예를들어, 시간의함수로서의경과거리를확인한후에, 이는학생들이시간과거리의그래프에서기울기가속도라는사실을이해하고있음을보여주는것이다., 시간이지남에따라거리가감소한다는사실을알고, 학생들은언덕의경사가다르면그에따라속력변화도차이가있기때문에두상황에서의기울기가다르다고하였다., 시간에따른속도의운동상황을이해하고, 시간에따른속력의변화를이해한후에 등의결과를통해서그래프를구성하는두번째단계가독립변수의변화에따른종속변수의관계를이해하는것임을알수있다

57 세번째단계, 그래프를구성한다. 이때, 정의역의구간을나누어서각구간에서의기울기를비교하여차이가있도록그렸다. 예를들어, 교실문입구에도착한후운동상황에대한시간과거리그래프의기울기를도착전그래프의기울기보다더완만하게그렸다., 빠른시간안에모든그래프를완성하였고, 석이가평지를갈때와경사가완만한낮은언덕을오르고내릴때, 경사가급한더높은언덕을오르고내릴때와같이, 세구간을나누어그래프를그렸다., 속력이일정하게감소하고일정하게증가하는의미로서의직선으로그렸다. 두학생모두경사가다른두언덕을오르고내리는시간과속력그래프의기울기를서로다르게그린사실, 하나의종합적인상황을여러구간으로나누어생각하고각구간에서의속력을다른구간에서의속력과비교하여기울기의차이로나타내어그래프를구성할수있었다., 시간과이동거리의그래프로다시구성하였다. 등의기술한문장들에의해서그래프구성과정의세번째단계는그래프를그리는것이다. 2. 그래프해석과정 : 연구문제 2 A 절에서사례분석결과를기술한것에기반을두고그래프학습에서의 해석과정을다음과같이밝힌다. 첫단계, 그래프에서독립변수와종속변수를찾는다. 예를들어, 시간과거리의그래프를고르는문제임을인식하였다., 우선그둘사이의거리에대해생각해보도록유도하였고, 가로축과세로축이나타내는변수에대한그래프해석의오류로인해, 속도가증가하거나일정한그래프, 상황에서의속도와속력을구분하여 등의분석에서보는

58 바와같이그래프를해석하는과정의처음단계는그래프에서의독립변수 와종속변수를찾는것이다. 두번째단계, 그래프의기울기를보면서두변수의종속관계를실세계변화현상과연결하여설명한다. 예를들어, 학생들은시간이지나도성진이와롤러코스터사이의거리가항상같다는것을알고, 언덕을올라갈때에는속력이일정한비율로감소하는것이아니라시간에따라점차빨리감소하고내려올때에는시간에따라점차빨리증가하기때문에, 학생B는처음에그래프의기울기가음수이기때문에자동차가뒤로오는것으로상황을해석하려고하였다. 속도의부호가양에서음으로변하는그래프에서자동차가앞에서뒤로오는상황인것은알고있었지만 등의분석을통해그래프해석의두번째단계는그래프의기울기를보면서두변수의종속관계를실세계의운동상황과연결하여설명하는것임을알수있다. 세번째단계 : 독립변수의변화에따른종속변수의변화를이해한다. 예를들어, 시간변화에거리가일정하다는사실을이해하였다., 그래프에대한해석을해줌으로써주어진상황에서시간에따라거리가줄수없다는사실을인식시켜주자, 시간에따른속력의변화를문맥에맞게잘해석, 가속도의개념을이해하고, 학생들이언덕의경사가다르면그에따라속력의변화도차이가있다는것을이해하고있음 등의결과기술에서알수있듯이그래프해석과정의세번째단계는그래프를보고독립변수의변화에따른종속변수의변화를이해한다는것이다

59 Ⅴ. 결론및제언 본연구에서는학교수학에서다루어지는그래프에대한이론적인고찰을해보고실제적인변화상황에서의함수그래프를이해하는과정에대한질적사례연구를한후에이를분석한결과를제시하였다. 이는연구대상자들이다양한운동상황의그래프를구성하고해석하는과정을분석하여이를기반으로보다바람직한함수그래프학습에관한방향을구축하고그시사점을얻는데그목적이있다. 연구를통해서다음과같은결과를얻을수있었다. 첫째, 연구대상자들이물리적인운동상황에서함수그래프를구성하는학습을한후에, 실세계의변화상황을묘사한문장에서그래프를구성하는과정은다음과같다. 첫단계, 실세계에서변화하는현상을이해한다. 두번째단계, 독립변수의변화에따른종속변수의관계를이해한다. 세번째단계, 그래프를구성한다. 이때, 정의역의구간을나누어서각구간에서의기울기를비교하여차이가있도록그렸다. 특히, 빗면을내려가는수레의등가속도운동에서함수그래프를구성하는학습을한연구대상학생들이실세계의변화상황을묘사한문장을그래프로구성하는문항들가운데등가속도운동에대한그래프를좀더빠르고정확하게그리는것을관찰할수있었다. 둘째, 문항에주어진그래프를보고실세계의변화상황을어떻게해석 하는가에대한결과는다음과같다. 첫단계, 그래프에서독립변수와종속변수를찾는다

60 두번째단계, 그래프의기울기를보면서두변수의종속관계를실세계 변화현상과연결하여설명한다. 세번째단계 : 독립변수의변화에따른종속변수의변화를이해한다. 이상의연구결과에근간하여본연구자는실생활과연관되어있는운동상황을탐구하면서변화를그래프로모델화하고변화를해석하는학습이함수의단원에함께제시되어야한다고제안한다. 함수는다양한맥락에서자유로운표현을통해창조적으로응용할수있도록교수될필요가있으며, 그래프와대수식, 표와같은함수의표현들을나타내는것과이러한표현들사이를자유롭게번역하는능력은함수학습에서매우중요한요소이다. 선행연구들에서도강조하듯이, 함수개념은학습자에게생활주변에서일어나는현상을관찰하여그속에내재된수학적법칙이나형식을발견하고이를구조화시키는중요한개념이다. 함수개념을이미생성된산물로서의지식으로가르치기때문에, 많은학생들이함수개념의학습을더욱어려워한다. 따라서연구자들은대수적조작위주의현재함수교육에대한하나의대안으로질적접근을제안한다. 이는학생들이대응이라는수학적으로엄밀한관점으로함수를파악하게하는동시에공변 (covariation) 이라는보다직관적인관점즉, 정의역과치역의구조를비교함으로써함수본연의성질을파악하게하고이를시각적이며활동적으로학생들에게도입하는종합적인방식을말한다. 함수에대한질적접근을시도한연구들은시간과속도그래프와시간과거리그래프라는두가지표현을행동과연결시키고, 이를통하여함수와변화율에대한질적접근을다루고있다. 이들연구들의공통적인특징은시각적그래프와활동이강조되고있으며대수식을사용하지않고실수

61 에서실수로의함수와변화율에대한개념을학습할수있는교수방법에대한연구가이루어지고있다는점이다. 본연구에서는개발된자료를기반으로실세계의다양한운동상황에서의그래프를구성하고해석하는학습과정의분석을통해함수에서그래프의질적접근에대한교육을강조하고자한다. 본연구는다음과같은제한점을가진다. 첫째, 본연구에서는학생들이수행한 10 개의실험문항으로구성된검사지를통해서얻어진결과를토대로분석하였는데이는소수의실험문항이검사지의문항들에대한신뢰도측정에영향을줄수있다는점에서다소제한적이다. 둘째, 질적사례연구를통해학생들의이해과정을관찰하고해석하는데있어서연구자의개인적편견이개입될가능성이있다는점이제한적이다. 다음과같이후속연구에대한제안을한다. 본사례연구과정과같이교실에서수업을한실험집단과전통적으로수업을받은통제집단의그래프구성능력, 해석능력을비교분석하는양적연구를제안한다. 이양적연구를통하여본연구가그래프학습에효과가있는지를밝힐수있을것이다. 학생들의그래프에대한이해를향상시키려는노력은단순히점을찍고읽는것이아니라, 그래프표현을일상경험과관련시키고물리적모델을조작해서나온그래프결과를보게하거나, 그래프로부터만들수있는어떤사건에대한이야기해보게하거나, 자신이만든이야기를그래프로대응시키는활동들을통해이루어져야한다. 복잡하고다양한변화상황이있는실세계현상과함수그래프개념을연결할때실세계관계에대한비형식적지식과형식적인수학적아이디어를독립된것으로서가아니라, 연

62 계된것으로보게되어자연현상을이해하고과학적탐구를하며수학의 다른주제에대한이해를강화시키는데함수가가지는교육적가치를발 휘할수있게될것이다

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66 Romberg, E. Fennema, T. P. Carpenter(Eds), Integrating Researching on the Graphical Representation of Function. Hilsdale,NJ:LawrenceErlbaum Associates

67 부록 탐구활동 : 다양한운동상황의그래프를그리고해석하기 1. 다음그래프에서 y 축은놀이공원으로부터성진이가있는곳까지의거리를 의미한다. 다음문장에알맞은그래프를고르시오. 그리고각그래프에해당되 는시간과속력의그래프를그리시오. 성진이는놀이공원을향하여일정하게같은속력으로걸었다. 거리 거리 시 (a) 간 (b) 간 시 거리 거리 시 시 (c) 간 (d) 간 2. 문제 1 의답에서선택하지않은그래프들각각에일치할수있는거리와시 간을포함하는상황을서술하시오

68 3. 다음그래프에서거리는롤러코스터입구에서성진이가있는곳까지의거리 이다. 다음문장에알맞은그래프를고르시오. 성진이는가만히서서롤러코스터를보고있었다. 거리 거리 시 (a) 간 (b) 간 시 거리 (c) 간 시 4. 다음상황각각에일치하는시간과거리의그래프를그리시오. 그래프 (a) 에서 y축은교실문입구로부터의거리를표현한다. 그래프 (b) 에서 y축은성진이가있는곳으로부터회전열차까지의거리를표현한다. (a) 성진이는교실문입구를향해빠르게걷다가교실문입구부터천천히빠져나왔다. (b) 잠시동안가만히서있다가기다리는줄이일정한속도로회전열차를향해이동하였다

69 5. 다음세사람이공원에서부터멀어지면서이동한상황을표현하는시간과속력의그래프를그리시오. 기욱이는일정한속력으로이동하였고, 한주는속력을내었고, 혁이는점점속력을줄였다. 각각의사람의운동상황에일치하는시간과속력의그래프와시간과이동거리의그래프를그리시오. 6. 석이는집에서학교까지자전거를타고다닙니다. 집에서부터학교까지는처음에는평지이지만중간에 2개의언덕이있습니다. 경사가완만한단계의낮은언덕과경사가급한더높은언덕이있습니다. 학교까지가는데일어나는변화현상을생각해보세요. 석이가자전거를타고학교에갈때에자전거의속력은어떻게변화할까요? 시간과속력의그래프를그리시오

70 7. 다음은길을달리는자동차의시간과이동거리의그래프이다. 다음그래프 를보고다음물음에가장적절한답을고르시오. 거 리 A B C D E F 시간 (1) 출발점으로부터자동차가가장가까이있는지점은어디인가? 이지점을 구한방법을설명하시오. (2) 자동차의속도가똑같은두시각은언제인가? (3) 자동차가어떻게움직이고있는지를설명하시오

71 8. 아래의그래프는자동차의시간과속도의그래프이다. 각그래프에서자동 차가어떻게움직이고있는지를설명하고시간과이동거리의그래프를그리시 오 속 0 도 시간 속 0 도 시간 속 0 도 시간 속 0 도 시간 속 0 도 시간 속 0 도 시간

72 9. 다음은동일한길을달리는두자동차의시간과이동거리의그래프이다. 가 로축은시간이고단위는초이다. 세로축은이동거리이고단위는미터이다. (1) 출발하기시작하여 6 초동안두자동차가이동한거리를구하시오. (2)2 초일때두자동차의속력을비교하시오. (3)6 초일때두자동차의이동거리관계를설명하시오

73 10. 다음은두자동차의시간과속력의그래프이다. 가로축은시간으로단위는 초이고세로축은속력으로단위는미터 / 초이다. (1)5 초때두자동차의속력은얼마인가? (2)10 초때두자동차의상대적인위치관계를설명하시오. (3) 두차가어떻게움직이고있는지를설명하시오

74 ABSTRACT A Case Study on Graph Instruction of Functions -with focus on Graph Construction and Interpretation- Hyun, Ah Young Major In Mathematics Education The Graduate School of Education Sogang University In this study, the graph instruction of functions in mathematics education is treated with focusing on graph construction and interpretation. A qualitative case study on students' understanding of graphs in given familiar physical situations was analyzed. This study suggests that the graph construction and interpretation of functions playing an important role in understanding concepts of functions has to be taught with emphasis on the various contexts