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병길 임
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란다우의페르미액체이론으로기술되지않는새로운금속상태로서 DOI: 10.3938/PhiT.27.

though welldefined quasiparticle excitations are present.

1 란다우의페르미액체이론으로기술되지않는새로운금속상태로서 DOI: /PhiT 김기석 Weyl Metal as a Novel Metallic State Beyond Landau s Fermi-Liquid Theory Ki Seok KIM A Weyl metal is a novel metallic state, which cannot be described by Landau s Fermi-liquid theory even though welldefined quasiparticle excitations are present. In particular, topological-in-origin information, such as the Berry curvature and the chiral anomaly, should be introduced into Landau s Fermi-liquid theory. While Haldane called such a theory the topological Fermi-liquid theory, it still has not been fully constructed. In this conceptual overview, we review a theoretical framework to describe the novel physics of a Weyl metal phase. In particular, we discuss how the conventional theoretical framework for Landau s Fermi-liquid theory, given by the Boltzmann equation coupled with the Maxwell equation, should be modified to take into account both the Berry curvature and the chiral anomaly. 론에도입되어기존의란다우페르미액체이론이확장된형태인위상적으로특별한 (topological) 페르미액체이론이만들어져야한다고주장하였다. [2] 할데인교수의주장이후 15년정도가지난지금에서도위상적으로특별한페르미액체이론의구체적인형태가분명하게정의되어있지않지만한가지확실한사실은내의전자준입자들은기존의맥스웰방정식의틀안에서기술되지않고위상적으로특별한성질을기술하는항이추가된새로운전자기법칙인액시온 (axion) 전자기학을따른다는것이다. [3] 본리뷰에서는이러한액시온전자기학을포함하여의전자들의운동을기술하기위해기존의이론적프레임 (theoretical framework) 을어떻게확장시켜야하는가에대해논의한다. 은운동량 (momentum) 공간에 4가지상태가축퇴된 (degenerate) 디랙 (Dirac) 포인트들을갖는디랙밴드 (band) 구조에시간역전 (time reversal) 대칭성을깨거나물질의구조가공간인버전 (space inversion) 대칭성을깨는성질을가지게되면각각의디랙포인트가카이럴러티 (chirality) 양자수에따라운동량공간에서갈라져 2가지상태가축퇴된한쌍의바일밴드구조를갖는다. [4] 여기에서 4가지상태는전자의두 바일 (Weyl) 금속은금속내전자준입자들 (electron quasiparticles) 의운동을기술하는표준이론인란다우의페르미액체 (Landau s Fermi liquid) 이론으로 [1] 기술되지않는새로운금속의상태이다. 2016년노벨물리학상수상자인프린스턴대학교할데인 (Haldane) 교수는 2004년그의논문에서베리자기장 (Berry magnetic field) 과카이럴변칙 (chiral anomaly) 효과와같은위상적으로특별한성질이란다우페르미액체이 저자약력 김기석교수는 POSTECH 물리학과이학박사 (2004) 로서고등과학원물리학과 Postdoctor(-2007), CEA Saclay(France) Postdoctor(-2008), APCTP Junior Research Group, Research Professor(-2011) 를거쳐현재 POSTECH 물리학과부교수로재직중이다.(tkfkd@postech.ac.kr) [1] For brief introduction to Landau's Fermi liquid theory, I would like to recommend data/webzine/webzine/ pdf 양자임계점근처에서나타나는새로운금속의상태 : 극저온상태에서우리는전자를볼수없었다. DOI: /PhiT [2] F. D. M. Haldane, Phys. Rev. Lett. 93, (2004). [3] F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 58, 1799 (1987). [4] For brief introduction to Weyl metals, I would like to suggest / pdf 3 차원의물리적성질과연구의전망, DOI: /PhiT For more advanced introduction to Weyl metals, I recommend K.-S. Kim, H.-J. Kim, M. Sasaki, J.-F. Wang and L. Li, Anomalous transport phenomena in Weyl metal beyond the Drude model for Landau s Fermi liquids, Sci. Tech. Adv. Mater. 15, (2014). 16 물리학과첨단기술 JUNE 2018

2 가지스핀 (spin) 상태와두가지오비탈 (orbital) 상태로특징지어질수도있지만격자구조의대칭성과관련하여스핀과유사한 (pseudospin) 양자수의축퇴된상태일수도있다. 밴드구조자체는 2차원그래핀물질의밴드구조가 3차원으로확장된형태이다. 본논의에서는그래핀과같이스핀과유사한양자수가밴드터칭 (touching) 포인트에서역할을하는것이아니라스핀-오빗상호작용 (spin-orbit interaction) 에의한스핀양자수자체가중요한역할을하는경우를생각한다. 이유는외부에서자기장을걸어주어시간역전대칭성을깨는경우를생각할때외부자기장과스핀양자수와의지만 (Zeeman) 커플링효과로서고려하면한개의디랙포인트가한쌍의바일포인트로운동량공간에서갈라지는효과를쉽게조절할수있기때문이다. [4] 먼저시간대칭성이깨어진상황을고려하자. 스핀-오빗상호작용에의한디랙물질에외부에서자기장을걸어주면지만커플링효과에의해걸어준자기장의방향으로 카이럴러티와 카이럴러티를갖는하나의바일쌍으로갈라지게되고각각은서로의시간역전파트너이다. 운동량공간에서떨어져있는거리는지만에너지를구성하는걸어준외부자기장의크기와지만효과를위한란데 (Lande) g 상수의두배이다. 바일전자들의운동은바일밴드구조를기술하는바일방정식에의해주어지며이를풀면바일전자들을기술하는고유 (eigen) 양자상태를얻을수있다. 이로부터바일포인트에의한베리자기장을계산할수있는데고유양자상태로부터계산된베리자기장은 ( ) 카이럴러티를갖는바일포인트가마치 ( ) 자기홀극 (magnetic monopole) 을기술하는방정식과정확하게동일하게되어각각의바일포인트를운동량공간에서자기홀극으로생각할수있다. [2] 일반적인상황으로서전자들의케미컬포텐셜 (chemical potential) 이바일포인트에있지않고거기에서조금떨어져있는상태를생각하자. 각각의 & 카이럴전하를감싸는두개의페르미면이나타나는데이를카이럴페르미면 (chiral Fermi surface) 이라부르고각각의카이럴페르미면에존재하는카이럴전자들은카이럴전하에의한베리자기장효과를느낀다. 운동량공간에서나타나는베리자기장은카이럴전자들의운동에있어크게두가지효과로서나타난다. 먼저, 카이럴페르미면의전자들이베리자기장에의한오비탈자기모멘트를가지게되어페르미면전자들의에너지 -운동량분산관계식이외부에서걸어준자기장과베리자기장에의존하여그룹속도가변화한다. [5,6] 카이럴전하주변의전자들은그룹속도가느려지고 카이럴전하주변의전자들은그룹속도가빨라진다. 수학적으로로런츠불변적인방정식을페르미면으로사영시켰을때일반적으로나타날수밖에없는오비탈모멘트에대 한파울리항과같은효과이다. 다른하나는이상 (anomalous) 속도이다. [7,8] 실공간에서 (real space) 운동량의시간에대한변화는외부자기장에의한로런츠힘으로나타나는데위상 (phase) 공간에서표현되는전자의속도와걸어준자기장의벡터곱표현식으로나타난다. 이와유사하게위상공간에서정의되는전자들의유효 (effective) 속도는운동량의시간변화에베리자기장의벡터곱으로서나타난다. 위의두가지효과를도입하여카이럴페르미면카이럴전자들의운동을기술하는위상공간상의해밀턴 (Hamilton) 방정식을세울수있고이것은위상적으로특별한성질이포함되어보다일반화된드루드 (Drude) 모델로서이해할수있다. 3차원에서베리자기장에의해일반화된드루드모델을풀면위상공간상에서의속도가앞에서논의한에너지-운동량분산관계식에의해주어지는그룹속도항뿐만아니라, 비정상홀효과 (anomalous Hall effect) 와관련된항과외부에서걸어준자기장에비례하여나타나는항이추가로등장한다. [4] 반면에운동량의시간변화에대한식을 3차원에서풀면기존의로런츠힘을기술하는두항이외에전기장과자기장의스칼라 (scalar) 곱표현식으로나타나는항이존재한다. [4] 베리자기장효과를포함하는보다일반화된드루드모델을 2차원에서풀었을경우, 위상공간상에서의속도항에있어비정상홀효과항만이추가될뿐 3차원에서다른두개의항들은나타나지않는다. 그래핀밴드구조에갭을열어줄경우를생각해보자. 전자들의케미컬포텐셜이그갭보다위에있을때페르미면 ( 정확하게말하면페르미선 ) 이형성되고그페르미면의전자들역시베리자기장에의한효과를느낀다. 하지만, 2차원전자들이느끼는베리자기장에대한효과는비정상홀효과만있을뿐 3차원카이럴페르미면카이럴전자들이느끼는베리자기장효과와는많은차이를보인다. 위상공간상에서자기장에비례하는속도항과전기장과자기장의스칼라곱표현식으로나타나는운동량의시간변화는카이럴전자들의가장큰특성이다. 시간역전대칭성이깨어진상태에서나타나는카이럴페르미면카이럴전자들의운동을기술하는위상적으로특별한효과를도입한보다일반화된드루드모델을볼츠만방정식과결합하면전자기적열적모든수송현상을비롯한 [5] J.-Y. Chen, D. T. Son, M. A. Stephanov, H.-U. Yee and Y. Yin, Phys. Rev. Lett. 113, (2014). [6] Shudan Zhong, Joel E. Moore and Ivo Souza, Phys. Rev. Lett. 116, (2016). [7] D. Xiao, M.-C. Chang and Q. Niu, Rev. Mod. Phys. 82, 1959 (2010). [8] N. Nagaosa, J. Sinova, S. Onoda, A. H. MacDonald and N. P. Ong, Rev. Mod. Phys. 82, 1539 (2010). 물리학과첨단기술 JUNE

3 물리를이해할수있는완벽한이론적프레임을갖게된다. [9] 앞에서언급한란다우의페르미액체이론은베리자기장효과가도입되지않은기존의드루드모델에전자들의전방산란효과에의한게이지대칭성을보존하는백플로우 (back flow) 효과를포함하여드루드방정식을일반화시킨후이를볼츠만방정식과결합한이론적프레임이다. [10] 전자들의다양한산란채널중에서전방산란효과만고려하는이유는다른산란채널들은저에너지로갈수록중요하지않고오직전방산란효과만중요해지기때문이다. [11] 여기에전자-포논산란효과를생각하면초전도와관련된산란채널이중요하지만란다우의페르미액체상태만을생각할경우전방산란채널만고려하면충분하다. 기존트렌드는볼츠만방정식을사용하는대신전방산란효과만을포함하는페르미액체유효액션 (effective action) 의경로적분 (path integral) 표현을바탕으로파인만 (Feynman) 그림으로나타나는양자요동효과중가장기여가큰부분을보존법칙과일치하도록합하는섭동적인양자장론방식이다. 하지만볼츠만방정식을바탕으로이론적프레임을구성하면게이지대칭성문제가자연스럽게해결되고특히, 위상적으로특별한효과인 3차원에서베리자기장에의한영향을자연스럽게고려할수있다. 카이럴전자들의전방산란효과를고려한베리자기장영향을포함하는일반화된볼츠만방정식을위상적으로특별한페르미액체이론으로부를수있을것같다. [10,12] 볼츠만방정식이구성되고난후자연스러운다음단계는보존되는물리량들에대한방정식을유도하는일이다. 하이드로다이나믹 (hydrodynamic) 방정식이라불리는데전자들만의전하보존법칙, 전자들만의운동량보존법칙, 그리고전자들만의에너지보존법칙세개의결합된형태의방정식으로이루어진다. [13] 하이드로다이나믹방정식은준입자가존재하지않을지라도성립하는방정식으로전자들의상호작용이강한영역까지적용이가능하다. 다만, 운동량보존법칙이나에너지보존법칙은전자와불순물, 그리고전자와포논과의상호작용효과로전자들만의보존법칙이깨어져전자들사이의상호작용이아주강한영역이아니고서는보통하이드로다이나믹영역은구현되지않는다. 하지만전하보존법칙은언제나성립한다. 전하보존법칙에있어서특별한점은 + 카이럴전하의카이럴페르미면전자의운동과 - 카이럴페르미면전자의운동이서로결합되어있다는것이다. 다시말해, + 카이럴페르미면전자의케미컬포텐셜이내려가면 - 카이럴페르미면전자의케미컬포텐셜은반드시올라가서두카이럴쌍의페르미면전자들의개수는보존되지만각각의카이럴페르미면전자들의개수는보존되지않는다. 보존되지않는정도가걸어준전기장과자기장의스칼라곱표현식에비례하고볼츠만 방정식으로부터쉽게유도가될수있다. [4] 카이럴변칙에대한준고전적인 (semiclassical) 볼츠만방정식기술방식에서양자역학적인효과는바일포인트의존재그자체이다. 카이럴변칙 (chiral anomaly) 이라불리는이현상은의가장큰특성으로 1차원전자밴드구조가 3차원으로일반화된형태로생각할수있다. 1차원전자들의낮은온도에서운동을이해하기위해페르미점근처에서에너지를운동량에대해테일러전개한분산관계식을사용한다. 유효액션레벨에서보았을때, 오른쪽으로움직이는전자들의운동은왼쪽으로움직이는전자들의운동과완전히분리된것처럼보인다. 하지만양자역학적으로그둘의운동은서로연결되어있는데전체밴드구조를보면서로연결되어있어이는명확하다. 따라서오른쪽으로움직이는전자의케미컬포텐셜이줄면그만큼왼쪽으로움직이는전자의케미컬포텐셜이증가하여전체전자의개수는변화하지않고각페르미점전자의개수만변화할수있다. 은이러한 1차원전자들의운동이 3차원으로나타난현상이다. 의카이럴페르미면카이럴전자들의카이럴변칙특성은유효액션레벨에서도이해할수있다. 게이지대칭성과카이럴대칭성은유효액션레벨에서보존되지만양자역학적으로보았을경우두가지대칭성을모두보존할수는없다. 후지카와 (Fujikawa) 방법으로카이럴변칙을이해할경우경로적분표현식에서적분메져 (integral measure) 에대한야코비언 (Jacobian) 팩터를계산해야하는데이때양자역학적으로허용하는모든경로를생각하기때문에중간계산과정에서야코비언팩터가발산하는현상이나타난다. 이를치유하는과정을레귤러리제이션 (UV regularization) 이라부르는데이과정에서게이지대칭성을보존하는레귤러리제이션방법을사용하면반드시카이럴대칭성은깨어질수밖에없다. 결과로서유효액션으로전기장과자기장의스칼라곱표현식을얻고앞의계수로서쎄타 (theta) 각도라불리는 상수 와함께나타난다. 위상절연체밴드구조에서출발하면쎄타각도가 로나타나지만밴드구조에서유도하면바일쌍의운동량거리와시공간위치의스칼라곱표현식으로나타난다. [14] 여기에서바일 [9] D. T. Son and B. Z. Spivak, Phys. Rev. B 88, (2013). [10] Yong-Soo Jho, Jae-Ho Han and Ki-Seok Kim, Phys. Rev. B 95, (2017). [11] R. Shankar, Rev. Mod. Phys. 66, 129 (1994). [12] J.-Y. Chen and D. T. Son, Annals Phys. 377, 345 (2017). [13] P. Nozieres and D. Pines, The Theory of Quantum Liquids (Perseus Books, Cambridge, 1999). [14] A. A. Zyuzin and A. A. Burkov, Phys. Rev. B 86, (2012). 18 물리학과첨단기술 JUNE 2018

4 쌍의운동량공간에서의거리는외부자기장으로주어진다. 입자물리학에서각도상수의요동을액시온이라부르는데서위상학적인이유에서나타나는이새로운항을액시온항이라고부른다. 바일밴드구조로부터액시온항을유도하였는데역으로액시온항으로부터카이럴변칙을기술하는방정식을사용하여의밴드구조를얻을수있다. 디랙감마 (gamma) 행렬표현식에서각도상수의그래디언트 (gradient) 와카이럴감마행렬의곱으로서바일전자와미니멀 (minimal) 커플링을하는형태로나타나고이는지만효과에의한항을디랙감마행렬형식으로쓴것과정확하게일치한다. [4] 카이럴페르미면카이럴전자들의운동을기술하는볼츠만방정식방법은카이럴변칙에대한양자장론적인방법에서얻어진액시온항의효과를게이지대칭성과로런츠불변성과서로모순없이카이럴페르미면에도입한이론적체계이다. 에있어가장큰특징중의하나는위상적으로보호되는갭리스 (gapless) 표면상태 (surface state) 가존재한다는것이다. 운동량공간에서한쌍의바일포인트를연결하는선을표면의운동량공간에그대로사영시키면페르미아크 (Fermi arc) 라불리는갭리스표면상태가나타나고이는위상절연체에서나타나는디랙밴드구조형태의표면상태에대응한다. + & - 카이럴러티의바일포인트를연결하는페르미아크표면상태의존재는바일전자들의벌크 (bulk) 상태의위상적인특성을바탕으로이해될수있다. 벌크-에지커리스판던스 (bulk-edge correspondence) 라부르는위상학적특성을먼저시간역전대칭성이깨어진에대해논의해보자. 페르미아크표면상태를기술하기위해바일밴드구조를주는지만효과가한쪽벌크에만존재하고다른한쪽에는평범한진공상태이기에없다고생각한다. 디랙감마행렬표현방식에서지만효과는카이럴행렬이곱해진카이럴게이지장으로서표현된다. 다시말해서카이럴게이지장에대한도메인월 (domain wall) 형태의포텐셜을생각하고도메인월표면에서바일방정식을풀면의표면을기술하는카이럴게이지장의도메인월에국소화된상태로정확하게페르미아크에대응하는제로에너지고유상태와고유에너지분산관계식을얻는다. [15] 여기에서재미있는점은페르미아크표면상태의전자들의개수가보존되지않는다는것이다. 이를이해하기위해앞에서구한페르미아크표면전자들을기술하는유효액션에 U(1) 게이지장을미니멀커플링형태로도입하면액션레벨이아닌양자역학적요동효과에의해페르미아크표면전자들의전류가보존되지않는다는것을계산할수있다. 게이지어노멀리 (gauge anomaly) 로서불리는이현상은페르미아크표면상태는그자체로존재할수없음을암시한다. 놀랍게도앞에서구한액시온벌크항으로부터 전류를구하면표면쪽으로흘러가는전류가있음을확인할수있고이는정확하게페르미아크표면전류의양과일치한다. 다만, 칼란-하비 (Callan-Harvey) 메커니즘이라불리는이과정은그렇게직접적이지는 (straightforward) 않고약간의주의가필요하기에관심있는사람들은원논문을참조하기바란다. [16] 벌크의위상적특별한특성으로부터표면쪽으로흘러들어가는전류를어노멀리인플로우 (anomaly inflow) 라고부르며벌크쪽의전류와표면쪽의전류의합이제로가되어전하보존법칙이벌크와표면전체에서는여전히성립하는것을어노멀리캔슬레이션 (anomaly cancelation) 이라고부른다. 어노멀리인플로우와어노멀리캔슬레이션은벌크-에지커리스판던스에대한양자장론적인정확한기술이다. 지금까지의수학적인과정을물리적으로풀어보면다음과같다. 벌크한쌍의바일포인트를연결하는직선을노멀 (normal) 벡터 (vector) 로갖는이차원평면을생각한다. 시간역전대칭성이깨어진상황에서운동량공간에서정의된한쌍의바일포인트를연결하는벡터는외부에서걸어준자기장의방향과평행이다. 앞에서구한액시온항을지금도입한평면에사영하면천-사이먼 (Chern-Simons) 항을얻는다. 따라서도입된이차원평면은정수양자홀효과를보여주는평면이고이를두바일포인트를연결하는방향으로쌓으면액시온항을다시얻을수있다. 정수양자홀효과를기술하는천-사이몬벌크이론과카이럴에지상태가앞에서논의한에서의벌크 -에지커리스판던스의이차원버전이며따라서정수양자홀효과를서로연결된바일포인트쌍방향으로쌓으면카이럴에지상태가연결된페르미아크표면상태가나타난다 ( 그림 1 참조 ). 이와같은벌크 -에지커리스판던스가앞에서논의한볼츠만방정식을바탕으로아직까지논의된바가없다. 현재로서볼츠만방정식에기초한기술방법은주로벌크의카이럴전자들의운동을이해하는데사용되어왔다. 볼츠만방정식에기초하여벌크카이럴전자들의운동과페르미아크표면전자들의운동을명확하게분리해서기술할수있다면에서의수송현상들에대한이해에있어보다깊이있는이해가가능할것으로생각한다. 지금까지시간역전대칭성이깨어진의밴드구조와그로부터나타나는베리자기장및카이럴변칙효과, 이를기술할수있는보다일반화된드루드모델과볼츠만방정식계산방법, 그리고페르미아크표면상태의존재를이해하기 [15] P. Goswami and S. Tewari, Phys. Rev. B 88, (2013). [16] C. G. Callan and J. A. Harvey, Nucl. Phys. B 250, 427 (1985). 물리학과첨단기술 JUNE

Fig. 1. Integer quantum Hall effects in two dimensions are realized as time reversal symmetry broken Weyl metals in three dimensions. 위한 벌크-에지 커리스판던스 등에 대해 논의하였다. 이제 시간 Fig. 2.

symmetry broken (ISB) Weyl metals in three dimensions. 역전 대칭성은 보존되고 대신 공간 인버전 대칭성이 깨어진 바 일 금속 상태를 생각하자. 시간 역전 대칭성이 깨어진 바일 금 연결하는 벡터를 노멀 벡터로 갖는 이차원 평면을 생각한다.

시간 역전 대칭성이 있고 공간 러티 한 쌍의 바일 포인트로 운동량 공간에서 갈라진 밴드구조 인버전 대칭성이 깨어진 경우 정수 양자홀 효과 대신 정수 양 이고 각각의 바일 포인트는 시간 역전 변환의 파트너이다. 공 자 스핀홀 효과를 생각하는 것이 자연스럽다.

5 Fig. 1. Integer quantum Hall effects in two dimensions are realized as time reversal symmetry broken Weyl metals in three dimensions. 위한 벌크-에지 커리스판던스 등에 대해 논의하였다. 이제 시간 Fig. 2. As integer quantum Hall effects are realized to be time reversal symmetry broken (TRSB) Weyl metals in three dimensions, spin quantum Hall effects in two dimensions are generalized into inversion symmetry broken (ISB) Weyl metals in three dimensions. 역전 대칭성은 보존되고 대신 공간 인버전 대칭성이 깨어진 바 일 금속 상태를 생각하자. 시간 역전 대칭성이 깨어진 바일 금 연결하는 벡터를 노멀 벡터로 갖는 이차원 평면을 생각한다. 속의 경우 미니멀 모델은 시간 역전 변환에 대해 불변적인 운 시간 역전 대칭성이 깨어진 경우에서는 그 이차원 평면이 정 동량 포인트에 존재하는 한 개의 디랙 포인트가 + & - 카이럴 수 양자홀 효과를 기술하였다. 시간 역전 대칭성이 있고 공간 러티 한 쌍의 바일 포인트로 운동량 공간에서 갈라진 밴드구조 인버전 대칭성이 깨어진 경우 정수 양자홀 효과 대신 정수 양 이고 각각의 바일 포인트는 시간 역전 변환의 파트너이다. 공 자 스핀홀 효과를 생각하는 것이 자연스럽다.[17] 이 경우 스핀 간 인버전 대칭성이 깨어진 바일 금속의 경우 미니멀 모델은 업(up) 카이럴 에지 전자와 스핀 다운(down) 카이럴 에지 전 시간 역전 변환에 대한 파트너로서 운동량 공간에서 두 개의 자의 운동이 시간 역전 대칭성에 의해 서로 반대로 존재하게 디랙 포인트에서 시작하여 공간 인버전 대칭성을 깨어주면 각 되어 헬리컬(helical) 에지 상태가 나타난다. 각각의 스핀 전류 각의 디랙 포인트들이 각 쌍의 바일 포인트로 갈라지는 밴드구 들의 카이럴 에지 상태를 기술하는 천-사이몬 이론을 생각하면 조이고 각 쌍의 바일 포인트는 공간 인버전 변환의 파트너로서 스핀 업 전자와 미니멀 커플하는 스핀 업 U(1) 게이지 장에 행동한다. 마치 이차원 그래핀 밴드구조에 운동량 공간 K & K 대한 천-사이몬 이론과 스핀 다운 전자와 미니멀 커플하는 스 포인트에 두 가지 상태가 각각 축퇴가 된 것이 아니라 네 가지 핀 다운 U(1) 게이지 장에 대한 천-사이몬 이론 두 종류의 천- 상태가 각각 축퇴된 상황에서 시작하여 인버전 대칭성을 깨어 사이몬 이론으로 정수 양자 스핀홀 평면이 기술된다. 다만, 스 줄 경우 축퇴된 네 가지 상태가 각각의 카이럴러티 양자수에 핀 업 U(1) 게이지 장의 천-사이몬 항의 계수인 홀 컨덕턴스 따라 공간 인버전 변환의 파트너로서 두 쌍의 축퇴된 두 상태 (Hall conductance)와 스핀 다운 U(1) 게이지 장의 천-사이몬 로 각각 갈라지는 경우에 해당한다. 여기에서는 물론 3차원에 항의 계수인 홀 컨덕턴스의 사인은 반대이고 크기는 같다. 이 서 일어나는 현상이다. 이 경우 시간 역전 대칭성이 깨어진 바 제 스핀 업 게이지 장과 스핀 다운 게이지 장을 합한 U(1) 게 일 금속의 밴드 구조에 비해 한 쌍의 바일 포인트가 더 늘어나 이지 장을 전하와 미니멀 커플하는 보통의 전자기 벡터 포텐셜 복잡성을 가중시키는 것 이외에 별로 특별한 점이 없어 보인 로 정의하고 스핀 업 게이지 장과 스핀 다운 게이지 장의 차 다. 하지만 분명한 점은 앞의 시간 역전 대칭성이 깨어진 경우 이를 스핀 전류에만 미니멀 커플하는 U(1) 게이지 장으로 정의 에 반드시 존재할 수밖에 없었던 위상적으로 특별한 항인 액시 한다. 앞에서 얻은 두 종류의 천-사이몬 항을 스핀 U(1) 게이 온 항은 시간 역전 대칭성은 존재하고 공간 인버전 대칭성이 지 장과 보통의 전자기 벡터 포텐셜에 대해 다시 쓰면 서로 깨어진 경우에서는 절대 나타날 수 없다는 것이다. 결국 우리 다른 종류의 U(1) 게이지 장으로 구성된 천-사이몬 이론을 얻 의 질문은 시간 역전 대칭성이 깨어졌을 때 나타났던 액시온 는다.[18] 시간 대칭성이 깨어진 경우 나타났던 천-사이몬 이론 항에 대응하는 위상적으로 특별한 항의 형태가 공간 인버전 대 칭성이 깨어졌을 경우 어떻게 나타날 것인가이다. 수학적인 논의를 피하기 위해 시간 역전 대칭성이 깨어진 바일 금속에서 다루어졌던 벌크-에지 커리스판던스 부분을 다 시 한 번 살펴보자. & 카이럴러티 바일 쌍이 두 개가 있지만 공간 인버전 변환의 파트너인 하나를 고르고 그 둘을 20 물리학과 첨단기술 JUNE [17] C. L. Kane and E. J. Mele, Phys. Rev. Lett. 95, (2005). [18] B. Andrei Bernevig and Shou-Cheng Zhang, Phys. Rev. Lett. 96, (2006).

6 Fig. 3. A double pair of chiral Weyl points or a pair of helical Weyl points in the momentum space of inversion symmetry broken Weyl metals. (a) Red (blue) points in the first (second) and third (fourth) faces represent + ( ) chiral charge. Here, only two types of Fermi arc states are allowed. (b) When the spin quantum number is preserved, the pattern of helical Fermi arcs is realized to connect a pair of Weyl points with the same spin quantum number. (c) When the valley quantum number is preserved, the configuration of helical Fermi arcs appears to connect a pair of Weyl points with the same valley quantum number. However, the principle of quantum mechanics does not allow the case that both spin and valley quantum numbers are preserved. This figure comes from the author s recent study [19]. 을 AF 이론이라부른다면공간인버전대칭성이깨어졌을경우나타나는천사이몬이론은 BF 이론이라부르고여기에서 F 는 A로구성된전기장또는자기장이다. 이제시간역전대칭성이깨어진경우에서했던것처럼정수양자스핀홀효과를주는평면을공간인버전변환파트너인바일쌍의방향으로쌓으면시간대칭성이깨어졌을때와는다른액시온항을얻는데, 스핀 U(1) 게이지장으로부터오는전기장과전하 U(1) 게이지장으로부터오는자기장의스칼라곱표현식으로나타나고그앞의계수로서쎄타각도는두바일포인트의연결하는운동량공간에서의벡터와실공간에서의위치와의스칼라곱표현식으로주어진다. [19] ( 그림 2 참조 ) 공간인버전대칭성이깨어진의경우미니멀모델은두쌍의바일포인트로기술된다는사실은앞에서논의하였다. 시간역전대칭성과공간인버전대칭성을고려할경우, 두쌍의바일포인트를연결하는방법은오직두가지뿐이다. 따라서페르미아크표면상태역시두가지연결상태로서주어진다. 한연결상태는앞에서논의한바와같이정수양자스핀홀효과에대응한다고생각하면다른연결상태는정수양자밸리홀효과에대응한다고볼수있다. 여기에서밸리홀효과는스핀홀과다른페르미아크연결상태를정의하는좋은양자수이다. 유효액션레벨에서는이두종류페르미아크표면상태를모두생각할수있지만양자역학적인측면에서는어느하나만선택된다. 다시말해, 벌크액션을레귤러리제이션을할때어느한쪽대칭성을보존하면다른쪽대칭성은반드시깨어져야한다. 공간인버전대칭성을깨는의미니멀모델에전하와미니멀커플하는 U(1) 전자기벡터포텐셜, 스 핀과미니멀커플하는 U(1) 스핀게이지장, 그리고밸리와미니멀커플하는 U(1) 밸리게이지장을도입하고후지카와방법을바탕으로야코비언팩터를계산하면스핀게이지장과전하게이지장의액시온항또는밸리게이지장과전하게이지장의액시온항, 이둘중의하나만나타나고그에대응하여어노멀리인플로우와어노멀리캔슬레이션에의해페르미아크표면상태가정확하게결정된다. [19] ( 그림 3 참조 ) 다음질문은공간인버전대칭성이깨어진에서전자들의수송현상을이해하기위해시간역전대칭성이깨어진상황에서의의경우에서와같이베리자기장효과와카이럴변칙효과를포함하는보다일반화된드루드모델을어떻게세울것인가이다. 놀랍게도필자가알고있는범위안에서이질문이분명하게답이주어졌다고생각하지않는다. 전하와미니멀커플하는보통의 U(1) 벡터포텐셜뿐만아니라, 스핀 U(1) 게이지장, 그리고밸리 U(1) 게이지장모두를도입하여드루드모델을일반화시켜야하고물론, 물리적인양에대한수송계수를계산할경우전하와미니멀커플하는일반적인전자기장의함수로만결과가나와야할것이다. 생각보다쉽게일반화된드루드모델을얻을수도있지만필자가아는한분명하지않은점이분명히있어보인다. 시간대칭성이깨어진에서의여러가지수송현상과공간인버전대칭성이깨어진에서의수송현상에있어차이를분명히하는것은정수양자홀효과와정수스핀홀 [19] Iksu Jang and Ki-Seok Kim, Phys. Rev. B 97, (2018). 물리학과첨단기술 JUNE

Fig. 4. Oscillation and propagation of light as a function of external magnetic fields in time reversal symmetry broken Weyl metals. This figure comes from the author's recent study [20].

7 Fig. 4. Oscillation and propagation of light as a function of external magnetic fields in time reversal symmetry broken Weyl metals. This figure comes from the author's recent study [20]. 효과의 차이를 구별하는 것과 비슷한 일이라고 생각한다.[17] 형태로 적힐 수 없기 때문에 시간 역전 대칭성이 깨어졌을 때 지금까지 카이럴 페르미면 카이럴 전자들의 운동을 기술하는 나타나는 액시온-맥스웰 운동과는 차이가 있을 것으로 기대된 볼츠만 수송 이론 방식에 대해 논의하였다. 마지막으로 빛이 다. 놀랍게도 아직까지 필자가 아는 범위 내에서 이러한 보정 바일 금속에서 어떻게 전파되는가를 이해하기 위한 이론적 틀 항의 역할이 연구되어 있지 않다. 에 대해 논의해 보자. 맥스웰 방정식을 경계 조건에 따라 풀어 이제 서로 상호작용하는 카이럴 전자들의 운동을 기술할 수 야 함은 자명하다. 다만, 바일 금속의 위상적인 특별한 구조에 있는 방정식이 완성되었다. 자연스럽게도 베리 자기장과 카이럴 의해 액시온 항이 빛의 운동을 기술하는 액션 레벨에서 추가 변칙 효과가 포함된 일반화된 볼츠만 방정식과 액시온 항에 의 되고 결과로서 기존의 맥스웰 방정식이 보정 항을 얻는다. 먼 해 보정된 액시온-맥스웰 방정식의 결합된 형태로서 주어진다. 저, 전하가 전기장을 발생시키는 원천이 됨을 기술하는 가우스 최근 입자 물리학 분야 연구자들을 중심으로 이 두 가지 방정 법칙에서 액시온 항에 의해 전기장뿐만 아니라 자기장까지 발 식의 결합 효과에 대해 연구를 많이 하고 있다. 란다우 페르미 생시키게 되고 그 자기장의 크기는 카이럴 쌍의 운동량 공간 액체 이론에서의 모드들과 어떻게 차이가 있으며 어떠한 불안 에서의 거리에 일차적으로 관여되어 나타난다. 또한, 전하의 정성이 나타나는지 연구가 활발하게 이루어지고 있다. 또한, 베 흐름인 전류는 자기장을 컬(curl) 형태로 발생시킨다는 암페어 리 자기장 효과뿐만 아니라 베리 전기장에 대한 논의도 시작되 법칙에서 액시온 항에 의해 자기장뿐만 아니라 전기장 역시 었다. 카이럴 바일 쌍이 운동량 공간에서 시간에 대해 움직일 발생하게 되고 그 전기장의 크기는 쎄타 각도에 일차적으로 수 있다면 운동량 공간에서의 베리 전기장의 고려는 자연스럽 관여되어 나타난다. 새롭게 추가된 액시온 항들의 결과로서 운 다. 이로 인해 나타날 수 있는 새로운 홀 효과가 예측되었다.[21] 동량 공간에서 카이럴 바일 쌍이 y축 방향으로 있을 때, 다시 여러 차례 강조된 바 있지만 시간 역전 대칭성이 깨어진 경우 말해 외부 자기장을 y축 방향으로 걸어 주고, x축으로 진행하 우리가 분명한 이론적 도구를 가지고 있는 반면 공간 인버전 는 빛의 자기장의(전기장의) 진동 방향 역시 y축에(z축에) 있을 대칭성이 깨어진 경우 볼츠만 방정식과 액시온-맥스웰 방정식의 경우 전기장이 빛이 진행하는 x축 방향으로 진동하는 론지튜 구조가 불분명한 점이 있어 보다 분명하게 만들 필요가 있다. [20] 디널 모드(longitudinal mode)가 나타난다. 이것은 마치 빛 이 초전도체를 통과할 때 나타나는 현상과 유사한 점이 있다. (그림 4 참조) 한 가지 지적하고 싶은 점은 위의 논의는 시간 [20] Jinho Yang, Jeehoon Kim and Ki-Seok Kim, Phys. Rev. B 역전 대칭성이 깨어진 바일 금속에서만 적용될 수 있다. 앞에 서 논의한 바와 같이 공간 인버전 대칭성이 깨어진 바일 금속 상태에서는 액시온 항이 전기장과 자기장의 스칼라 곱 표현식 22 물리학과 첨단기술 JUNE , (2018). [21] Iksu Jang, Jae-Ho Han and Ki-Seok Kim, Phys. Rev. B 95, (2017).

7.3 Ampee 의주회법칙 Mwell 방정식 Ampee 의주회법칙 Ampee 의주회법칙은폐경로의주변을따른 의접선성분에대한선적분은폐경로에의해둘러싸이는순전류 enc 와같다. 즉 의회전은 enc 와같다. dl enc Ampee 의법칙의적분형 Ampee 의주회법칙유도 enc

Electomgnetics 전자기학 제 7 장 : 정자기장 Po. Young Chul ee 초고주파시스템집적연구실 Advnced F stem ntegtion A http://cms.mmu.c.k/wiuniv/use/f/ Advnced F stem ntegtion A. Young Chul ee 7.3 Ampee 의주회법칙 Mwell 방정식 Ampee 의주회법칙