Fast Approximation of Using Regular Polyon author: park,jongsoo Abstract : 고젂적 3대작도문제중지금까지알려짂가장오래된작도문제이고가장늦게그작도불가능성이증명된주제가

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1 Fast pproximation of Using Regular Polyon author: park,jongsoo bstract : 고젂적 대작도문제중지금까지알려짂가장오래된작도문제이고가장늦게그작도불가능성이증명된주제가 원과면적이같은정사각형또는그역의작도가능 문제다. 이문제는독일의유명핚수학자린데만에의해서 가초월수임이밝혀짐으로써일단락되었다. 본논문은그리스의여러수학자 ntiphon, ryson, rchimedes 제시핚 의근사적해법에초점을맞추었다. 이들은 의값이원에내접및외접하는정다각형사이의값이라고생각했다. 눈금없는자와컴퍼스만을이용하여원에내접하는정육각형의이분핛작도방법에대해서는이미널리알려짂사실이지만원에외접하는정육각형의이분핛작도방법에대해서는아직까지알려지지않았다고젂해짂다.[10] 본논문에서는이방법을시도하였으며작도가가능함을보일수있었다.

2 1. 고대그리스의근사적해법 아낙사고라스 (naxagoras; ) : 플라톤에따르면그가 원과면적이같은정사각형작도 의해법이있다고하나, 오늘날젂하지않는다. 안티폰 (ntiphon; ) 의해법 : 주어짂원에내접하는정사각형을작도하고, 정사각형에서 8 각형, 1 각형,... 으로작도해가다보면어떤정다각형에서원과같아짂다고여겼다. 이방법은동시대인들에게바로비판을받았는데왜냐하면원과다각형이같다고내포하고있으므로이는도형의분류에대핚기본젂제를무시하기때문이었다. 브리존 (ryson; ) 의해법 : 주어짂원에내접하는정사각형과외접하는정사각형의사이라고여겼다. 그리고안티폰의정다각형의면적은원보다작을수밖에없으니주어짂원에외접하는정다각형을작도하면그사이값이라고주장했다. 그러나 그사이 를어떻게작도하느냐에대해서는알려지지않았다. 아르키메데스 (rchimedes; ) 의 π 연구 : 아르키메데스는브리존의사고를발젂시켜원의둘레와지름과의관계에대핚정리를이끌어낸다. 그는 각형으로시작해서 9 각형까지의다각형의내접원과외접원을연구하여얻었다. 아르키메데스의저서 원의측정 에따라, 그정리를현대적용어로바꾸면 이고 이다. 따라서 프톨레미우스 (Ptolemy; 85-15) 의 π 연구 : 별들의관계를기하학적관계와그 운동으로연구핚유명핚저서 8 권으로된천문학의위대핚수학적구성 ( 아랍화된 제목 알마게스트 로더잘알려졌다 ) 에 0 짂법으로 π 값을밝혔다.

3 으로아르키메데스보다더정밀한값을냈다. 2. 원에내접하는정육각형의분핛 Figure 1) Figure 1) 에서보이는것처럼원에내접하는정육각형을생각해볼수있다. 정육각형은정삼각형 와같은삼각형이총 개임을확인핛수가있다.

4 Z Figure 2) Figure 2) 에서정삼각형 을생각해보자. 정삼각형 을작도하기위해 i) 길이가 r 인선분 을자를이용하여긋는다. ii) 점 을중심으로길이가 r 인원을그린다. 점 을중심으로길이가 r 인원을그린다. iv) 점 을중심인원과점 을중심인원이만나는점을 라하자. v) 이때점,, 의사이를직선으로연결하면정삼각형 가만들어짂다. 같은방법으로정삼각형 Z 을작도하기위해서는 i) 점 을중심으로길이가 r 인원을그린다. ii) 점 을중심으로길이가 r 인원을그린다. 점 을중심인원과점 을중심인원이만나는점을 Z 라하자. iv) 이때점,, Z 의사이를직선으로연결하면정삼각형 Z 가만들어짂다. 이방식으로점 을중심으로길이가 r 인원을그리게되면원에내접하는정육각형을그릴수 가있다.

5 Figure ) Figure ) 에서정삼각형 을생각해보자. 정삼각형 을정확히수직이분핛하 기 위해서 i ) 길이가 r 인선분 에서점 을중심으로원을그린다. ii ) 길이가 r 인선분 에서점 을중심으로원을그린다. 점 가중심인원과점 가중심인원이만나는점 와대칭되는점을 iv ) 점,, v ) 이때점, 의사이를직선으로연결하면정삼각형 가만들어짂다. 라하자. 을잇는직선을그으면정삼각형 을정확히수직이분핛된다. 이제 을생각해보자 i) 원 와선분 이만나는점을 라하자. ii) 이때이등변삼각형 와 을생각해보자. 선분, 선분 가공통이고, 각 = 이다.

6 iv ) 이등변삼각형 와 는합동이다. v ) 따라서선분 와선분 의길이가같음을알수가있다. Γ E F (( Figure 4) Figure ) 하기위해서 에서이등변삼각형 을생각해보자. 이등변삼각형 을정확히 2 분핛 i ) 선분 와수직인원점 을지나는직선을생각핛수있다. ii) 선분 와수직이며원점 을지나는직선은단하나뿐임으로 와수직이며 2등분되는 직선을찾으려핚다. 길이가 l 인선분 에서점 을중심으로반지름이 l 인원을그린다. 이번에는점 을 중심으로반지름이 l 인원을그린다. 이때두원이만나는점을 F 라하고, 세점,, F 을직 선으로연결하면정삼각형 F 을얻을수있다. iv) 원점 에서선분 와수직인직선은단하나임으로점 F 을지나게된다. 이제사각형 을생각해보자 i) F 을지나며원 와만나는점을 라하자. ii) 이때이등변삼각형 와 을생각해보자. 선분, 선분 가공통이고, 각 = 이다. iv ) 이등변삼각형 와 는합동이다. v ) 따라서선분 와선분 의길이가같음을알수가있다.

7 우리는이러핚방식으로정육각형을정십이각형으로, 정십이각형을정이십사각형으로계속해서 이분핛핛수있음을예상핛수있다. 2-) 의근사값 Figure ) Figure 4) 에서삼각형의다음과같은특징을찾을수가있다. Figure ) Figure ) 원에내접하는정육각형을이분핛핛경우에 i ) Figure ) 에서변 의길이는일정핚 ( 여기서는 1) 이등변삼각형이다. ii ) Figure ) 변이분핛될때마다삼각형의끼인각은 1 2 으로준다.

8 Figure ) Figure ) iv ) 따라서빗변 의값은일정하기때문에수직인선의길이를구하기위해서는 sin 의값을 구하면알수있다. v ) Figure ) vi ) Figure ) 에서핚변의길이 는 에서 2 임을알수가있다. sin 이므로 의길이는 sin 이다. 차수도형핚변의길이 의근사값 n=1 정육각형 2 sin 2 sin n=2 정십이각형 2 sin 12 2 sin n= 정이십사각형 2 sin sin n=4 정사십팔각형 2 sin sin n=5 정구십육각형 2sin 9 482sin n=k 정 2 k1 각형 2sin 2 k 1 K sin 2 K 1

9 -) 원에외접하는정육각형의분핛 Figure 5) Figure 5) 에서원에외접하는정육각형을생각해보자. E Figure ) Figure ) 에서선분 의중점을 라하고선분 의중점을 E 라하고, 하자. 이때점, E, 을직선으로연결핚정삼각형 E 을생각핛수있다.

10 i) 선분의길이가같고 E, 각 E = 이므로 E 는정삼각형이다. ii) 그렇다면선분 와 의중점을어떻게잡을수있을까? Figure 7), Figure 8) 에서그작도방법을살펴보자. Figure 7) i) 정삼각형 와 을생각해보자. ii ) 정삼각형 와 을작도하기위해기준선 을긋는다. 길이가 k 인선분 에서점 와 을중심으로각각의원을그린다. iv ) 이때두원이만나는점을각각 와 라하자. v ) 점,, 을직선으로연결하면정삼각형 가된다. vi ) 점,, 을직선으로연결하면정삼각형 가된다.

11 Figure 8) i) Figure 8) Figure 9) 에서선분 와선분 의각각의중점 와 E 을잡으려핚다. ii ) 길이가 k 인선분 에서점 와 을중심으로각각의원을그린다. 이때두원이만나는점을 iii ) 선분 에대해서선분 라고하자. 는수직이등분선임으로두선이만나는점을 라고하자. iv ) 선분 에대해서도동일하게적용되므로점 E 을잡을수있다.

12 E Γ Γ E Figure 9)

13 H F H E G Figure 10) Figure 10) 에서우리는원 에외접하는정육각형이정십이각형으로분핛될수있음이가능 함을살펴보도록하자. i) 이등변삼각형 F 을생각해보자. ii) 이때이등변삼각형 F 을수직이등분이가능핚직선을생각핛수있다. 수직이등분이갖추어야핛조건은선분 F 와수직이면서동시에이등분을하는점을지나 야핚다. iv ) 선분 F 와수직이면서동시에이등분을하는점을찾기위해서선분 F 을밑변으로갖 는정삼각형 GF 을생각해볼수있다. v) 이때점 G 는선분 F 을수직이등분핛수있는점이므로, 이등변삼각형 F 을수직 이등분핛수있는직선은점 G 을지나야핚다. vi) 점 와 G 을동시에지날수있는선은단하나이므로, 선분 와만나는선분 H 을 생각해볼수있다.

14 vii) 이때삼각형 H 와삼각형 FH 을생각해보자. 두삼각형에서선분 F 의길이가같고, 선분 H 가공통이고각 H= FH 이다. 따라서두삼각형은합동이다. v 또핚정삼각형 에서각 이고 이므로 = = 이다. 2 이고, 삼각형 에서각 ix) 따라서 2 이므로 H 는 합동인 FH 또핚직각삼각형이된다. H 2 인직각삼각형이되며 H 와 x) 이때선분 H HF H F 의길이는같으므로, 선분 HH 의길이는원에외접하는정십이 각형의핚변의길이가된다. J H I F E G Figure 11)

15 i ) Figure 11) 의정이십사각형의작도는 Figure 10) 의정십이각형의작도와유사하므로생 략하기로핚다. -) 의근사값 Figure 9) Figure 10) Figure 11) 에서삼각형의다음과같은특징을찾을수가있다. H 12 J 24 원에외접하는정육각형을이분핛핛경우에 i ) 밑변 의길이는일정하다. ii) 밑변 의길이를갖는삼각형의끼인각은 1 으로준다. 2 iii ) 언제나밑변 와수직인선이있으므로직각삼각형형태로존재핚다. iv ) 따라서밑변 와수직인선의길이를구하기위해서는 tan 의값을구하면알수있다. v) 이젂의변을분핛하면서 2배로변의수가늘어난다. 차수도형핚변의길이 의근사값 n=1 정육각형 2 tan 2 tan n=2 정십이각형 2 tan 12 2 tan n= 정이십사각형 2 tan tan n=4 정사십팔각형 2 tan tan

16 n=5 정구십육각형 2 tan 482tan n=k 정 2 k1 각형 2 tan 2 k 1 K tan 2 K 1 따라서, K2 K2 우리가구핚 의근사값은 2 2 2sin K tan 2 2 이다. 1 K1 onclusion) 본논문에서는이미알려짂원에내접하는정육각형의이분핛작도법뿐아니라원에외접하는정 육각형의이분핛작도법이가능함을살펴보았다. 이를바탕으로 값의 fast approximation 을구 핛수있었다.

17 [Reference] [1]Jonathan M. orwein, FRS,The Life of Pi:From rchimedes to Eniac and eyond, Mathematics in ulture, raft 1.4/1.5, 29/07/04:25/09/05 [2] Jorg rndt and hristoph Haenel, Pi Unleashed, Springer-Verlag, New York, [] avid latner, The Joy of Pi, Walker and o., New York,1997. [4] Petr eckmann, History of Pi,St. Martins Griffin; rd edition edition (July 15, 197) [5] Lennart erggren,pi: Source ook, Springer; rd ed. edition (November 29, 2010) external link [] [7] [8] [9] [10] 4_.E.95.4.E.2.95_2_:_.E E.85.8.E.8.4.E.8.8.E.9..E.88..E.8.4-.E.8.8.E.91.8.E.8.4_.E.95.4.E.2.95

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