h 를대류열전달계수, 열전달계수, 혹은막컨덕턴스라고함 열전도계수와마찬가지로물체에따라다르지만열전도계수와다르게주변환경에따라급격히변하므로정확한측정이어렵다. 다시말해서, h 가알려져있는경우뉴턴의냉각법칙을통해서열손실을계산할수있다. 하지만, 열전달계수는여러인자, 즉유체의형태, 흐

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Chapter 5: Principles of Convection 서론현재까지학습한대류의개념은전도에있어서경계조건으로만사용되었다. 지금부터학습할내용은대류자체에초점을맞춰대류열전달을계산하는방법과대류열전달계수 h 를어떻게결정하는가에대한내용이다.

1 Chapter 5: Principles of Convection 서론현재까지학습한대류의개념은전도에있어서경계조건으로만사용되었다. 지금부터학습할내용은대류자체에초점을맞춰대류열전달을계산하는방법과대류열전달계수 h 를어떻게결정하는가에대한내용이다. 대류열전달은유체의유동 / 흐름과매우밀접한관련이있으므로, ( 교과서에나와있는것처럼 ) 대류열전의 기초적인이해를위해서 유체역학 유체의흐름이유체내의온도구배에미치는영향 온도분포로인한 유체에서의열전달결정 의순서로수업을진행하도록한다. 대류 : 높은온도를전달받은유체내의분자들의이동에의해열이전달되는형태의열전달 전도는푸리에의법칙 열전달은전달방향으로의온도구배와단면적에비례한다 대류는뉴턴의냉각법칙을이용하여효과적으로나타낼수있다 열손실률은주변과물체사이의 온도차에비례한다. q = ha(t T ): 식을보면열이온도차에비례함을알수있으며, 이식을통해서외부표면에 유체가흐를때대류에의한열손실을계산할수있다. Figure 1. Newton s law of cooling 면적이식에포함되어있음을유의하고이경우의면적은경우유체와닿는부분은면적이다. ( 예시 ) 만약평판위에뜨거운바람이수평으로분다면, 뜨거운바람과맞닿는부분의면적

2 h 를대류열전달계수, 열전달계수, 혹은막컨덕턴스라고함 열전도계수와마찬가지로물체에따라다르지만열전도계수와다르게주변환경에따라급격히변하므로정확한측정이어렵다. 다시말해서, h 가알려져있는경우뉴턴의냉각법칙을통해서열손실을계산할수있다. 하지만, 열전달계수는여러인자, 즉유체의형태, 흐름조건 ( 층류혹은난류 ), 유속그리고표면의기하학적구조등의함수라서정확한측정이어렵다 ( 오차가 25% 까지발생 ). 강제대류와자연대류 자연대류 : 외부의기구 ( 펌프혹은팬 ) 없이온도차에의해발생한밀도차에의해서생기는대류 강제대류 : 외부기구에의해발생하는대류 일반적으로강제대류는자연대류에비해더높은열전달계수를나타낸다. 강제대류와자연대류의예시 1. 자연대류 : 1 맨틀의대류 : 아래쪽의맨틀이위쪽보다더뜨겁고더밀도가낮다. 대류가발생하여맨틀이움직인다. 2 바람 ( 해풍과육풍 ): 바다와육지의비열의차이로인해대류가발생하여, 따뜻한공기가위로올라가고찬공기가아래로내려오면서해풍과육풍이발생. 육지의비열이낮아서빨리데워져서따뜻한공기가상승하고, 바다의차가운공기가육지쪽으로불어오면서해풍이발생. 반대로밤에는바다가천천히식어서따뜻한공기가상승하고, 빨리식은육지의찬공기가바다쪽으로불면서육풍이발생 2. 강제대류 : 난방시스템, 에어컨등외부기구에의해발생하는모든대류형태 1 ( 재미 ) 적벽대전에서제갈량의동남풍에의한화공은강제대류인가자연대류인가?

점성흐름 점성 : 흐름에대한유체저항의척도 ( 유체의중요한물성 ) ( 예시 ) 물의점도에비해침의점도는크다 ( 참고 ) 모든유체는점도를갖고있으며, 기체의점도는액체보다매우낮다 ( 점도가매우낮은것이지점도가없는것이아님 ). 점도의수학적설명은그림과같이평행한표면위를흐르는유체를고려해봄으로써얻을수있다.

3 점성흐름 점성 : 흐름에대한유체저항의척도 ( 유체의중요한물성 ) ( 예시 ) 물의점도에비해침의점도는크다 ( 참고 ) 모든유체는점도를갖고있으며, 기체의점도는액체보다매우낮다 ( 점도가매우낮은것이지점도가없는것이아님 ). 점도의수학적설명은그림과같이평행한표면위를흐르는유체를고려해봄으로써얻을수있다. 바닥판과접촉하고있는유체는판에고정되어있다고할수있으므로, 표면에대한상대속도가 0 이고, 표면에서멀어질수록속도가증가한다. 이속도의차이가모멘텀 ( 속도의기울기 ) 이생기고 ( 분자간의운동에너지차이가생겨서에너지를전달하게된다 ), 이모멘텀의전달로인해유체의흐름방향과평행하게작용하는전단응력 (shear stress) 이나타가게된다 ( 전단응력 : 비행기날개, 선체또는터빈의날개와같은표면에서마찰항력을유발 ) Figure 2. Concept of viscous flow 유체내의전단응력 τ 는속도구배 ( 수직방향의속도의기울기 ) 에직접적으로비례한다고하면점성의방정식은 속도구배와점성계수 ( 혹은동력학점도 ) 를이용하여나타낼수있다.

4 ( 참고 ) 점성계수는온도의함수이다. 액체에있어서온도의상승은점성계수의감소를유발하고 기체에서는점성계수가증가한다. 다시그림으로돌아가서, 앞서말했듯이표면에접해있는유체입자는표면에붙어있어서표면에대한 상대속도는 0 이고, 표면에서멀어질수록인접해있는유체입자가흐름을방해하는힘이점점상실되어결국 유속은일정한값에도달하게된다 이를자유흐름속도라한다 (U ). 점성의영향으로인하여평판의선단에서시작하여형성되는흐름의영역을경계층이라고한다. 경계층의두께는 ( 경계층이끝나는지점 ) 평판으로부터속도가자유흐름속도의 99% 가되는곳까지의 거리이다. 그림에서보듯이, 경계층의두께는흐름방향으로의거리에따라변한다. 경계층의두께는원점 ( 선단 ) 에서 0 이며 x가증가함에따라점차증가한다. 선단에서가까운쪽은유체는부드럽고순차적으로미끌어져간다. 이러한흐름형태를층류라한다. 층류영역에서는속도프로파일이명확한형태를갖으면경계층두께도예측가능한비율로증가한다. 표면을따라어떤거리에도달하면유체내에서층류를파괴하는작은불안정이시작되어전이흐름의형태가 된다. 전이흐름영역은작고층류에덧붙여진작고불규칙한유속의변동으로특징지을수있다. 표면을따라흘럼감에따라불규칙한속도의변동이커져서난류가시작된다. 난류상대적으로큰불규칙한 유속의변동으로특징지을수있다. ( 예시 ) 담배연기 레이놀즈수 1) 평판에서의레이놀즈수 평판에서흐르는유체의거동은레이놀즈수 ( 무차원 ) 를이용해적절히나타낼수있으며, 레이놀즈의수는 자유흐름속도와선단으로부터의거리그리고동점성계수 ( 점성계수를밀도로나눈것 ) 를통해서정의된다. ( 물리적의미 ) 점성력에대한관성력의비 레이놀즈수가크다 : 관성력이지배적 레이놀즈수가작다 : 점성력이우세

5 Figure 3. Reynolds number on flat-plate flow 2) 관내에서의레이놀즈수관내의흐름을보면, 경계층이입구에서형성되어결국경계층은관전체를메우게되고이때흐름은완전히발달되었다고한다 ( 층류의경우포물선형태의속도분포 ). 이흐름이점차난류가되면속도분포가포물선의형태가아닌무뎌진형태가된다. 관내의흐름에서도층류와난류를결정하는기준으로레이놀즈수를사용한다. 관내에서는평균속도와관의지름을사용한다. Figure 4.. Reynolds number on tube (Holman 10th edition, 2011)

3) 연속방정식 : 관내에서의 1 차원흐름에대한연속방정식 m = ρu m A 단위시간당흐르는질량 ( 질량유량 ) 은밀도곱하기유체의평균속도곱하기단면적이다. 질량속도 G 를 단위면적당질량유량 = 밀도와평균속도의곱이되고, 레이놀즈의수는질량속도와관의지름그리고 점성계수를이용해서정의된다.

6 3) 연속방정식 : 관내에서의 1 차원흐름에대한연속방정식 m = ρu m A 단위시간당흐르는질량 ( 질량유량 ) 은밀도곱하기유체의평균속도곱하기단면적이다. 질량속도 G 를 단위면적당질량유량 = 밀도와평균속도의곱이되고, 레이놀즈의수는질량속도와관의지름그리고 점성계수를이용해서정의된다. Re d = Gd μ G = m A = ρu m Figure 5. Continuity equation in 1D tube (Holman 10th edition, 2011) 비점성흐름 실제로는비점성유체가존재하지않지만, 유체를비점성적이라고가정하여취급할수있는경우가많기 때문에이때적용할수있는방정식에대해배운다. 예를들면, 판으로부터수직방향으로충분히먼곳에서의

Bernoulli s equation p ρ + 1 = constant 2 g c V 2 dp ρ + VdV g c = 0

7 흐름은비점성흐름과같이취급할수있다 ( 충분히먼곳에서는수직방향으로의속도기울기가매우작아서 점성응력도작기때문 ). Figure 6. Inviscid flow 베르누이방정식 Figure 7. Bernoulli s equation p ρ + 1 = constant 2 g c V 2 dp ρ + VdV g c = 0 베르누이방정식 (Bernoulli's equation) 은이상유체 (ideal fluid) 에대하여, 유체에가해지는일이없는 경우에대해, 유체의속도와압력, 위치에너지사이의관계를나타낸식이다.

8 베르누이방정식을적용하기위해서는다음과같은가정이만족되어야한다. 유체는비압축성이어야한다. 압력이변하는경우에도밀도는변하지않아야한다. 유선이경계층 (boundary layer) 를통과하여서는안된다. 점성력 (viscous force) 이존재하지않아야한다. 시간에대한변화가없어야한다 ( 정상상태, steady state) 베르누이방정식은일종의에너지방정식이다 압력을포함한위치에너지와속도를포함한운동에너지의 항이존재하고두항의합은항상일정하다는것을보여준다 ( 고전역학에서위치에너지 + 운동에너지 = 일정 ) 1) 비압축성유체 : 압력이나온도의변화에관계없이밀도가일정 ( 혹은밀도의변화가무시할수있을정도로 작다 ) 2) 압축성유체 : 유체의밀도가압력혹은온도의변화에따라변한다 계의내부열에너지에대응하는 온도변화를고려하여야한다. 1 차원에서의베르누이방정식은어떤검사체적에관한정상흐름의에너지방정식이다. i V 1 + Q = i 2 g c 2 V 2 2 g c + W k 1 과 2 를각각입구조건과출구조건을뜻하고, i 는엔탈피를의미함 ( 엔탈피 = 내부에너지 + 압력 비체적 (i = e + pv) 원래엔탈피는 h 로표기하나대류열전달계수와혼동하지않도록 i 로표기 ) 검사체적에서의열역학제 1 법칙은다음과같다. 입구의엔탈피 + 운동에너지 + 열량 = 출구에서의엔탈피 + 운동에너지 + 일 다시말해, 열과일의차이는엔탈피와운동에너지의차이와같다 압축성유체의흐름에서응력강하를계산하려면유체의상태방정식을알아야한다. 즉, 이상기체에대해서는 다으모가같은관계식이성립한다. p = ρrt, e = c v T, i = c p T

9 기체상수는일반기체상수를분자량으로나누어서구할수있다. R = N M = J/kg mol K 그러므로, 공기의물성은다음과같다. R air = 287 J/kg K c p,air = kj/kg c v,air = kj/kg 특정한문제를풀기위해서는과정을정해야한다. ( 예시 ) 노즐을통과하는가역단열흐름 흐름의어떤점에서의상태를마하수및속도가 0 이되는 정체점 ( 유체의속도가 0 인지점 ) 에서의상태와관련시켜주는다음과같은관계식이성립한다. p 0 p T 0 T = 1 + γ 1 2 M2 = (1 + γ 1 2 M2 ) γ/(γ 1) ρ 0 ρ 1/(γ 1) γ 1 = (1 + 2 M2 ) M = V a, a = γg c RT 이상기체 a = T 공기 ( 이상기체로가정했을시 ) 예제 1 ( 교과서예제 5.1) 300 도 0.7MPa 의공기가탱크로부터등엔트로피과정으로팽창하여속도가 300m/s 로되었다. 이때 공기의온도, 압력및마하수를구하여라. 단, 공기에대해서감마 =1.4 이다. 1) 과정을정해야함 열역학제 1법칙식을이용 조건에따라필요없는항을지움 2) 열역학제1법칙식을주어진조건에맞게변형 이문제의경우온도를포함한식으로바꾼다 ( 엔탈피의변화는정압비열과온도변화의곱 을이용한다.) 온도를구한다. 3) 등엔트로피과정식을이용한다 온도에관한식과압력에관한식을연립하면, 압력과온도의관계를통해속도가높을때의압력를구할수있다. 4) 마하수는속도를 a로나누어주면되고, a는공기를이상기체로가정했을시구할수있으므로, 마하수를구할수있다.

10 평판위의층류경계층 그림에서보여지는검사체적을생각할때, 힘과운동량의평형조건을사용하여경계층의운동방정식을 유도한다. 해석의편의를위해다음과같은가정을한다. 1) 유체는비압축성이고흐름은정상이다. 2) 평판에수직한방향으로는압력변화가없다. 3) 점성은일정하다 4) y방향으로의점성전단력은무시할수있다. 층류경계층? 경계층의두께 ( 경계층이끝나는지점 ) 는평판으로부터속도가자유흐름속도의 99% 가 되는곳까지의거리이다 유체의점성의영향이미치는경계로서, 경계층이후부터는관성력이 지배한다고할수있다. Figure 8. Force balance in laminar boundary 힘과운동량, 질량의평형조건을통해서식을유도하면 ( 책에나와있으므로생략 ) 다음과같은두개의식을 얻을수있다.

11 1) 경계층에대한연속방정식 2) 층류경계층의운동량방정식 u x + v y = 0 ρ (u u v + v x y ) = μ 2 u y 2 p x ( 참고 ) 연속방정식 : 물리학에서연속방정식 (continuity equation) 은어떤물리량이보존되는상태로 이송되는것을기술하는방정식이다. 질량, 운동량, 에너지등이보존되는양이기때문에수많은물리적 현상들이연속방정식에의해기술될수있다. 두식을적절하게풀면다음과같은식을얻을수있다 ( 이식을이용하면층류경계층의두께를알때 u 값을 구할수있다 ( 에제 5-3) u = 3 y u 2 δ (y δ ) 궁극적으로는 x 지점에서의층류경계측의두께를계산할수있는식을얻게된다. δ x = 5.0 Re x 예제 27 도 1 기압상태의공기가평평한표면위를 1.2m/s 의유속으로흐르고있다. 선단으로부터 30cm 거리에서레이놀즈수, 경계층두께, 경계층두께의절반인높이에서유속 u 를구하여라. Re = u x ν = = < 이므로층류라판단할수있다 δ x = 5.0 Re x δ = 5x = = m = 9.7mm x가증가할수록두께가두꺼워질것이다 Re x u = 3 y u 2 δ (y δ ) = 3 δ 2 2 δ 1 δ 2 ( 2 δ ) = (1 2 ) = u = = 0.825m/s

12 경계층의에너지방정식 층류경계층에대한유체역학적면을고려하였으니, 이제는층류경계층에대한에너지방정식을고려해보자. 대류에의한열전달을구하기위해서는표면에서의온도구배를결정해야만한다 - 층류경게층에서의온도분포를결정하는방정식은에너지보존 ( 열역학제 1 법칙 ) 을이용하여구할 수있다. 해석의편의를위해서가정은다음과같다. 1) 비압축성정상흐름 2) 점성, 열전도계수, 비열이일정 3) 유체가흐르는 x방향을열전도는무시될수있다. 그림에서보이는검사체적에에너지보존의법칙을적용하면다음과같이에너지평형을쓸수있다. 왼쪽면에서의에너지대류전달 + 밑면에서의에너지대류전달 + 밑면에서의전도 + 점성에의한일 = 오른쪽면으로나가는대류전달 + 윗면에서의대류전달 + 윗면에서의전도 위의에너지보존을이용하면다음과같은층류경계층에서의에너지방정식을세울수있다. u T T + v x y = α 2 T y 2 + μ ( u 2 ρc p y ) 위의식에서왼쪽은검사체적으로들어간총에너지이고, 오른쪽은전도를통한에너지유출 + 점성에의한 일을뜻한다. 점성에의한일은속도가클때만중요하다 ( 전단응력은속도구배에비례하므로, 속도가크다는 것은점성에의한응력이크다 결국일이크다 ). 층류경계층에대해고려하고있으므로, 속도는자유흐름의속도, 높이 ( 두께 ) 는층류경계층의두께가된다. 즉, u ~ u, y ~ δ 이므로, 왼쪽은두항은다음과같이간단히표현할수있다. α 2 T y 2 ~α T δ 2, μ ( u 2 ρc p y ) ~ μ 2 u ρc p δ 2 그러므로, 이둘의비 ( 점성에의한일 / 전도 ) 가작으면, 즉, 다음과같으면점성에의한일은전도에비해 매우작다.

13 2 μ u ρc p α T 1 여기서, 무차원 number 인프란틀숫자가나온다. 프란틀숫자는동점성계수를열확산계수로나누어준 것이고, 정압비열과점성계수의곱을열전도계수로나누어준것과같다. Pr = ν α = c pμ k 프란틀수를이용하면, 앞선점성에대한전도의비는다음과같이쓸수있다 ( 프란틀수의물리적의미는 조금있다가살펴보기로한다 ). Pr u 2 c p T 1 결과적으로에너지방정식은다음과같이간단히할수있다. u T T + v x y = α 2 T y 2

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<4D F736F F F696E74202D20B0FCBCF6B7CEC0C720C1A4BBF3B7F9205BC8A3C8AF20B8F0B5E55D> log L 관수로흐름 층류 (Laminar) 와난류 (Turbulent) 난류 C 난류 난류 난류 층류 A 층류 B O 층류 층류천이영역난류 log A B : 상한계유속 ( 층류 난류) : 하한계유속 ( 난류 층류) A점에서의 Re 한계 Reynolds 수 Reynolds 수로분류 Re ν ρ [ 무차원] μ 관수로흐름 예제 ) cm ν 0.0 cm /sec