5. 보와골조 : 전단력과휨모멘트 (Beams and Frames: Shear forces and bending moments) 수업목적 : 평면상에서하중을받는보와골조에발생하는내력과모 멘트계산에필요한해석기법을이해하고습득. 수업내용 : 전단력도와모멘트도 하중, 전단력, 휨모멘트사이의관계 정성적처짐형상 평면골조의정적정정, 부정정, 불안정 평면골조의해석 Lecture 5-1
5.1 축력, 전단력, 휨모멘트 (1) 부재에발생하는내력 트러스 : 축력만발생 보와골조 : 축력뿐만아니라전단력과휨모멘트발생 (2) 내력을표현하기위한자유물체도 (3) 부호규약 Lecture 5-2
(4) 보의특정부위에발생하는내력계산절차 ( 예시 ) 단순보의점 B 에서의축력, 전단력, 휨모멘트를계산 A B P C a) 지점조건을제거한보전체의자유물체도에서평형방정식을이용하여반력계산. A C A x F x A y P F 0 M 0 0 y z C y b) 내력을구하고자하는지점 (B) 을기준으로구조물을두부분으로나눔. 이때다음그림과같이나뉘진지점에서크기는같고부호는반대인내력을도시. M B V B V B Q B Q B MB Q = 축력 ; V = 전단력 ; M = 휨모멘트 Lecture 5-3
c) 지점반력과 B 지점의내력을포함하는자유물체도 (AB 부분 BC 부분중한쪽선택 ) 에서평형방정식을이용하여내력계산. A x A A y B M B B C Q B V B F x Q B M B V B F 0 M 0 0 y z P C y (5) 예제 1 B 점에서의축력, 전단력, 휨모멘트를구하라. a) 지점조건을제거한보전체의자유물체도에서평형방정식을이용하여반력계산. Lecture 5-4
b) 내력을구하고자하는지점 (B) 을기준으로구조물을두부분으로나눔. 이때다음그림과같이나뉘진지점에서크기는같고부호는반대인내력을도시. M B V B V B Q B Q B MB c) 지점반력과 B 지점의내력을포함하는자유물체도 (AB 부분 BC 부분중한쪽선택 ) 에서평형방정식을이용하여내력계산. M B V B Q B F x = 0 Q B 20 0 Q B = -20 = 20 k ( ) F y = 0 V B 25 30 0 V B = -5 = 5k ( ) M B = 0 M B 30(6) (25)(18) 0 M B = 270 k-ft ( ) Lecture 5-5
(6) 예제 2 B 점에서의전단력, 휨모멘트를구하라. (Note) 이문제의경우는반력을구할필요없이 BC 부분의자유물체도를이용해서내력을직접계산할수있다. c) 지점반력과 B 지점의내력을포함하는자유물체도 (AB 부분 BC 부분중한쪽선택 ) 에서평형방정식을이용하여내력계산. V B M B F x = 0 x 방향외력이없기때문에생략, 이다음문제들도마찬가지. F y = 0 V B 4 20 0 V B = 80kN ( ) M B = 0 M B 4 20 2 500 0 M B = 340kN ( ) Lecture 5-6
5.2 전단력도와모멘트도 (1) 정의 부재의길이방향을따라변화하는전단력과모멘트를도시한그림. (2) 해석절차 a) 지점에발생하는반력을계산. b) 구조물의지점과외력의위치에따라내력을계산하기위한단면구간의설정. c) b) 에서나눠진각각의단면구간을대표할수있는단면을설정. 기준점으로부터각단면구간의단면위치를 x 로표시하고각단면에해당하는자유물체도구성한뒤내력에대한평형방정식을계산. d) c) 에서구한각단면구간에서의전단력과모멘트를전체구간에대해 x 에대한그래프로도시. (3) 예제 다음보의전단력도와모멘트도를도시하라. Lecture 5-7
a) 지점에발생하는반력을계산. b) 구조물의내부지점과외력의위치에따라내력을계산하기위한단면구간의설정. 이문제의경우위의그림과같이 AB, BC, ED, DC 네개의구간으로나눌수있음. c) b) 에서나눠진각각의단면구간을대표할수있는단면을설정 ( 이문제의경우위의그림처럼 aa, bb, cc, dd 단면으로구성 ). 기준점으로부터각단면구간의단면위치를 x 로표시하고각단면에해당하는자유물체도구성한뒤내력에대한평형방정식을계산. AB 구간 (0 x 10) 의자유물체도와평형방정식 M AB V AB F y = 0 V AB 46 0 V AB = 46k M z = 0 M AB 46x 0 M AB = 46x k-ft Lecture 5-8
BC 구간 (10 x 20) 의자유물체도와평형방정식 M BC V BC F y = 0 V 46 60 0 V BC = -14 k BC M Z = 0 M AB 46x 60( x 10) 0 M BC = -14x + 600 k-ft ED 구간 (0 x 1 10) 의자유물체도와평형방정식 M ED V ED F y = 0 2x 1 0 V ED = 2x 1 k V ED x1 M Z = 0 M ED 2x1 ( ) 0 2 2 M ED = x 1 k-ft Lecture 5-9
DC 구간 (10 x 1 20) 의자유물체도와평형방정식 M DC V DC F y = 0 2x 1 54 0 V DC V DC = 2x 1 54 k x1 M Z = 0 M DC 2x1( ) 54( x1 10) 0 2 2 M DC = x 1 54x 1 540 k-ft d) c) 에서구한각단면구간에서의전단력과모멘트를전체구간에대해 x 에대한그래프로도시. Lecture 5-10
5.3 하중, 전단력, 휨모멘트사이의관계 (1) 구조물에발생하는전단력과, 휨모멘트, 하중사이에존재하는미분관계를이용하면전단력도와모멘트도를쉽게구할수있음. (2) 전단력, 모멘트, 하중의관계 a) 분포하중 q 를받는미소요소의전단력, 모멘트, 하중관계 q V V+dV + F y = 0 V qdx ( V dv ) 0. dv q dx 전단력도의기울기 = 분포하중크기 dx M Z = 0 M Vdx ( qdx)( ) ( M dm ) 0 2 dm V 모멘트의극값은전단력이 0 일때발생 dx Lecture 5-11
2 dv d dm d M ( ) q 2 분포하중과모멘트의관계 dx dx dx dx b) 집중하중 P 를받는미소요소에서전단력, 모멘트, 하중관계 V V+dV F y = 0 V P ( V dv ) 0 dv P 집중하중지점에서전단력불연속발생 dx M Z = 0 M Vdx P( ) ( M dm ) 0 2 dx dm Vdx P( ) 0 2 집중하중지점에서모멘트변화무시 dm dm V ( 집중하중왼쪽 ), V dv V P dx dx 중오른쪽 ) 집중하중의좌우에서모멘트기울기의불연속발생 ( 집중하 c) 집중모멘트 M 을받는미소요소에서전단력, 모멘트, 하중관계 V F y = 0 V ( V dv ) 0 V+dV Lecture 5-12
dv 0 집중모멘트지점에서전단력변화없음 M Z = 0 M Vdx M ( M dm ) 0 dm Vdx M M 집중모멘트지점에서모멘트불연속발생 5.4 정성적인처짐형상 (1) 정의 주어진하중조건하에서변형된구조물의중립표면이갖게되는개략적이고다소과장된형태를도시한것. (2) 고려사항 경계조건 ( 지점조건 ) 모멘트도의변곡점 ( 모멘트가 0 이되는위치 ) 모멘트도에서모멘트의부호 모멘트의상대적인크기 (3) 예제 다음과같이하중을받는내민보의정성적인처짐형상을도시하라. A 20 kn/m B 6 m 4 m C 500 kn m Lecture 5-13
200 kn + 전단력도 -500 kn m 5 2 m + 500 kn m 모멘트도 변곡점 수직처짐, 처짐각 = 0 정성적처짐형상 Lecture 5-14
5.5 평면골조의정적정정, 부정정, 불안정 (1) 골조의자유물체도와내력 골조가평형상태에있기위해서는각부재뿐만아니라접합부에서도평형상태가이루어져야한다. Lecture 5-15
(2) 해석에서구해야하는총미지수의개수 지점반력 [r] + 단부부재력 ( 축력, 전단력, 휨모멘트 ) [6 m] (3) 해석에서사용할수있는총조건식의개수 각접합부자유물체도 [3 j] + 각부재자유물체도 [3 m] + 추가조건식 ( 힌지등 ) [e c ] (4) 부정정차수 (i e ) i e = (6m +r)-(3j+3m+e c )=(3m+r)-(3j+e c ) 3m + r < 3 j+ e c : 정적불안정골조 3m + r = 3 j+ e c : 정적정정골조 3m + r > 3 j+ e c : 정적부정정골조 m: 부재의개수, r: 반력의개수, j: 절점의개수, 추 e c : 추가조건식 (5) 골조의추가조건 ( 힌지 ) 에서유의할점 (Q) 여러개의부재가하나의힌지접합부에연결되어있는경우접합부에대한조건식개수는몇개가늘어나는가? Lecture 5-16
(6) 다차부정정골조에서부정정차수계산 (Q) 부재의개수와접합부의개수를이용하지않고복잡한다차부정정골조의차수를계산하려면어떻게해야하는가? Lecture 5-17
(7) 예제 Lecture 5-18
5.6 평면골조의해석 (1) 해석절차 (2) 예제 a) 골조의지점반력계산. b) 적절한자유물체도를이용해서각부재의단부력계산. c) 각부재단부력, 지점반력그리고외력을고려하여축력도, 전단력도, 휨모멘트도도시. 다음골조를해석하고축력도, 전단력도, 휨모멘트도를도시하라. a) 골조의지점반력계산 Lecture 5-19
b) 적절한자유물체도를이용해서각부재의단부력계산. c) 각부재단부력, 지점반력그리고외력을고려하여축력도, 전단력도, 휨모멘트도도시 Lecture 5-20
Lecture 5-21