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Signal Processing & Systems ( 신호및시스템 ) 연속시스템 ( 최재영교수 )

학습목표 연속시스템정의, 다양한분류학습 연속선형시불변시스템의특징, 시스템해석법학습 컨벌루션적분에대한연산방법연습 연속선형시불변시스템의기본적인특징이외에추가되는특징학습 미분방정식을이용하여연속선형시불변시스템의해석학습

목차 1. 연속시스템과분류 2. 연속선형시불변시스템 3. 연속선형시불변시스템의특성 4. 미분방정식으로표현되는연속선형시불변시스템

Section 01 시스템이란?

Section 01 연속시스템과분류 연속시스템 입력되는연속신호를원하는형태로처리해서출력되는신호도연속신호를만족하는시스템 x(t) 는입력연속시간신호 y(t) 는출력연속시간신호 는연속시스템 S y( t) S x t

1.1 연속시스템의구성 연속시스템의구성요소 연속시스템을구성하는대표적인요소로는적분기, 가산기, 감산기, 스칼라승산기등이있다. 적분기 integrator 입력되는연속시간신호 x (t) 를적분해서출력신호 y(t) 를얻음. 입출력관계식 t y( t) y( t ) x( ) d, t t 0 0 0 t 입력되는신호가연속시간정현파신호일때의동작예

1.1 연속시스템의구성 가산기 두입력연속시간신호를합쳐서출력하는것을가산기라고한다. 감산기 y( t) x ( t) x ( t) 1 2 두입력신호의차를출력하는것을감산기라고한다. y( t) x ( t) x ( 2 1 t )

1.1 연속시스템의구성 스칼라승산기 입력신호에주어진크기의정수를곱하는동작을수행 y( t) Kx( t)

1.2 연속시스템의분류 선형과비선형시스템 linear system 선형시스템은임의의연속시간신호 x 1 (t) 와 x 2 (t) 에대하여중첩의원리 superposition property 를만족해야한다. S a x t) a x ( t) a Sx ( t) a Sx ( ) ( t 1 1 2 2 1 1 2 2 비선형시스템은중첩의원리를만족하지않는다.

1.2 연속시스템의분류

1.2 연속시스템의분류 시변과시불변시스템 시불변시스템 time-invariant 입력신호가여러다른시간에시스템에입력될지라도항상동일한결과를출력하는시스템 시불변시스템은시간에따라변하지않는특성을갖는다. 시변시스템 time-variant 입력신호가다른여러시간에시스템에입력되면그출력이다르게출력된다.

1.2 연속시스템의분류 시변과시불변시스템 임의의시스템입출력식 y( t) S x( t) 시불변시스템이라면, 다음을만족 연속신호시불변시스템의입출력관계 S x t t ) y( t ) ( 0 t0

1.2 연속시스템의분류

1.2 연속시스템의분류 기억시스템과무기억시스템 무기억 memoryless 시스템 현재시간 t에서출력 y(t) 가현재시간 t에서의입력 x(t) 에의해서만그값이결정 과거시간의입력 x(t-t 0 ) 이나미래시간입력 x(t+t 0 ) 을별도로기억하지않는다. 기억 memory 시스템 현재시간 t 에서의입력 x(t) 뿐만아니라과거시간의입력 x(t-t 0 ) 나미래시간의입력 x(t+t 0 ) 가사용되어과거나미래의입력을기억하고있는시스템

1.2 연속시스템의분류

1.2 연속시스템의분류 인과시스템과비인과시스템 인과적 causal 시스템 시간적선후관계에서입력이먼저이고출력이동일하거나그다음이라는것을의미한다. S x( t) y( t) y( t 1) y( t T) 출력을기준으로시간 t 에서시스템의출력이발생할때, 입력신호들이이전의입력이면인과시스템이된다. S x( t), x( t 1), x( t 2), x( t T) y( t) 비인과시스템noncausal system t 에서시스템에신호가입력되어도시스템출력은 t 이전에발생하는비현실적인시스템으로구현이불가능 출력을기준으로시간 t 에서의시스템출력은 t 이후에입력된입력신호들에의해서생성 S S x( t) y( t T) y( t 1) y( t) x( t), x( t 1), x( t 2), x( t T) y( t)

1.2 연속시스템의분류 인과시스템과비인과시스템의입출력관계

1.2 연속시스템의분류

1.2 연속시스템의분류 안정시스템과불안정시스템 안정시스템 시스템으로의입력은유한값을가질때, 시스템에서출력또한유한값을갖는다. 유한입력유한출력 (BIBO) bounded input bounded output 시스템 불안정시스템 : BIBO 조건을만족하지못하는시스템 자동제어안정도시스템유형그래프

1.2 연속시스템의분류 안정시스템과불안정시스템

Section 02 연속선형시불변시스템 시스템해석system analysis 입력에대한출력신호를구하는것 선형시스템의해석 입력신호의변화에따라출력신호도비례적으로입력변화정도를반영하는시스템이다. 입력신호에대한출력신호를용이하게구할수있다. 시불변시스템 입력신호가입력되는시간과관계없이동일한출력을출력 출력신호를예측하는데용이 시불변시스템 (LTI system) linear time-invariant system 이라고한다. 선형성과시불변성을동시에만족하는시스템 시스템을해석하는데가장용이한시스템

2.1 컨벌루션적분 컨벌루션적분의정의 주어진입력신호가연속의선형시불변시스템에입력되고, 이에대한출력신호를얻기위한시스템해석법을컨벌루션적분 convolution integral 이라고한다. 단위임펄스함수의체질성질sifting property 신호 x(t) 는가중값 x(τ) 가곱해진단위임펄스들이모여서이루어진다. 시스템의임펄스응답impulse response 입력 δ(t) 에대한시스템의출력을 h(t) 라고하면관계식은 h(t) 를시스템의임펄스응답이라고하며, 시스템의특성을수식으로표현한것

2.1 컨벌루션적분 컨벌루션적분의증명 시스템 h(t) 가선형시불변이라면입력신호 x(t) 와함께컨벌루션적분을통해서출력신호 y(t) 를얻는다. 입력신호 x(t) 가체질성질로표현된형태로선형시불변시스템에입력 시스템이선형성을만족하므로중첩의원리에의해 시불변성을만족하므로컨벌루션적분은 컨벌루션의표기와정의식을함께나타내면 d t x S t x S t y ) ( ) ( ) ( ) ( d t S x t y ) ( ) ( ) ( d t h x t y ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t h t x d t h x t y ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 2 2 1 1 t x S a t x a S t x a t a x S

2.1 컨벌루션적분

2.2 컨벌루션적분의성질 교환법칙 : x( t)* h( t) h( t)* x( t) 결합법칙 : x t)* h ( t) * h ( t) x( t)* h ( t)* h ( ) ( 1 2 1 2 t 배분법칙 : h ( t) h ( t) x( t)* h ( t) x( t)* h ( ) x( t)* 2 1 2 1 t

2.3 컨벌루션적분의수식적해석

2.4 컨벌루션적분의그래프적해석 1단계 : 시간변수로 t로표현된입력신호를 τ변수로치환하고, τ축에근거한그래프를그린다 x ( t) h( t) x( ) h( t ) d 2 단계 : 임펄스응답도 τ 축에근거한그래프를그린다. h( t ) h( ( t)) 임펄스응답이시간반전과 t 만큼의시간전이연산이순차적으로진행되는것을나타낸다. 그래프로표현할때는입력신호와임펄스응답이중첩되지않도록 t 값을설정하여표현한다. 3 단계 : t 값을증가시키면서임펄스응답을이동시켜, 입력신호와중첩되는부분에대한면적을구한다. 중첩되는면적의조합이출력신호가된다. 교환법칙이적용된정의식에서는임펄스응답과입력신호가반대로적용된다. h ( t) x( t) x( t ) h( ) d

2.4 컨벌루션적분의그래프적해석

Section 03 연속선형시불변시스템의특징 3.1 인과선형시불변시스템 인과의특성과선형특성그리고시불변의특성을동시에만족 인과선형시불변시스템의컨벌루션적분식의표현 출력 y(t) 는입력 x(τ) 보다시간적으로같거나늦어야한다. τ t 조건에서만출력을얻을수있고, τ>t 조건에서는출력이나오지않아야한다. τ>t 구간에서는시스템의임펄스응답은 h(t-τ)=0 이되어야한다. t y( t) x( ) h( t ) d h( ) x( t ) d 시스템뿐만아니라신호도인과성을적용할수있다. 임의의신호 x(t) 가다음을만족하면인과신호가된다. 0 x( t) 0, t 0

Section 03 연속선형시불변시스템의특징 3.2 무기억선형시불변시스템 선형시불변시스템에무기억의조건이추가되면, 컨벌루션에서적분계산을할필요가없어져해당시간에서만의출력을구한다. 무기억선형시불변시스템의입출력관계식 y( t) Kx( t) 무기억시스템의임펄스응답은 3.3 안정선형시불변시스템 시스템이 BIBO 안정하다는것은시스템에유한크기입력이입력되었을때시스템의출력도유한크기의출력 안정선형시불변시스템의조건 h( t) K ( t) h ( ) d

Section 03 연속선형시불변시스템의특징

Section 04 미분방정식으로표현되는연속선형시불변시스템 실제시스템에서입력신호의상태에따라응답하는출력에대한해석이필요 입력이없는초기상태에서의출력 정상적인입력이되기까지의과도상태에서의출력 정상적인상태에서의출력 단위계단함수의상태별표현

Section 04 미분방정식으로표현되는연속선형시불변시스템 미분방정식의표현 선형시불변시스템의입출력관계식을일반화된미분방정식으로표현 N d y dt i ( t) N 1 d y( t) M a N i i i0 k 0 dt b k k d x( t) k dt 여기서 N 개의계수 a i 와 (M+1) 개의계수 b k 는해당시스템의특성에따라서결정되는매개변수들이다. 미분방정식의해를구하기위해서는 N 개의초기조건요소가필요 ( N1) y( t0), y'( t0),, y ( t0) 여기서초기시간 t 0 는입력 x(t) 가시스템에인가되는바로그순간의시각을나타내며, 출력 y(t) 의 N 차도함수는 y (N) (t) 로표현

4.1 전자, 전기회로의미분방정식표현 1 차미분방정식으로표현되는 RC 회로 RC 회로를전류 i(t) 에관한식으로정리하면 C dv( t) dt v( t) R 0 dv( t) dt 1 RC v( t) 0 입력이없는상태에서의미분방정식을 균일형 homogeneous form 이라고한다. I 0 전류원이입력되는미분방정식 C dv( t) dt v( t) R I dv( t) dt 1 v( t RC 0 ) I 0 C 특수형 particular form 이라고한다.

4.1 전자, 전기회로의미분방정식표현 1 차미분방정식으로표현되는 RL 회로 입력이없는균일형미분방정식 L di( t) dt Ri( t) 0 di( t) dt R L i( t) 0 V 0 가회로에입력되는특수형미분방정식 L di( t) dt Ri( t) di( t) R V0 i( t) dt L V 0 L

4.1 전자, 전기회로의미분방정식표현 2 차미분방정식을형성하는 RLC 회로 RLC 회로의입출력관계식의표현 1 t Ri( t) i( ) d v ( t0 ) L C t 0 di( t) dt c v g 양변에미분을취하고 L 로나누면 2 차미분방정식을얻는다. d 2 dt i( t) 2 R L di( t) dt 1 LC i( t) 1 L dv dt g

4.2 미분방정식의해 미분방정식의완전해는균일해와특수해의합으로얻어진다. RC 회로에서균일해 균일형에서변수를분리, 전압은균일해이므로 v h (t) 로표현 양변에적분을취하면, dvh( t) 1 dvh( t) 1 vh( t) 0 dt dt RC vh( t) RC dvh ( t) 1 dt vh t v t RC ln( ( )) ( ) h t RC k 자연로그부분을정리하면출력전압을얻는다. 여기서 k 는임의의상수이고, 초기값은 전압 v h ( t) exp t RC k exp v h ( t) V v h 0 e k exp t RC 0 0 Ke K V0 t / RC Ke t RC 전류 vh ( t) i( t) R V 0 R e t / RC

4.2 미분방정식의해 RC 회로에서균일해는다음의유사형태를갖는다. v h ( t) Ke st 이것을시험해 trial solution 라고하며, K 와 s 를구하면균일해를얻을수있다. 시험해를이용한 RC 회로의균일해 결과값이 0 이기위해서는 s 는 균일해는 v h dvh ( t) 1 v dt RC st K Kse RC ( t) Ke st h st Ke 1 st Ke d ( t) 0 dt RC st 1 0 st e s Ke RC Ke 1 s RC t / RC 0 s 0 0 1 RC K 를동일한방법으로구한최종균일해 v h ( t) V 0 e t / RC

4.2 미분방정식의해