숭실대학교일반물리강의자료최신대학물리학 5 판, Serway & Jewett 북스힐 14 장. 중첩과정상파 14.1 분석모형 : 파동의간섭 14.2 정상파 14.3 분석모형 : 경계조건하의파동 14.4 공기관에서의정상파 14.5 맥놀이 : 시간적간섭
14.1 분석모형 : 파동의간섭 Analysis Model: Interference of Waves 중첩의원리 한매질속을둘이상의진행파가움직이고있으면, 임의의점에서의합성파는각위치에서의각파동의크기의대수적인합과같다. 중첩의원리를따르는파동을선형파동이라한다. 일반적으로, 선형파동은파장보다는훨씬작은진폭을갖는다. 간섭 (interference) : 두파가결합되어합성파를만드는것. Main Topics 같은방향으로진행하는파의간섭 반대방향에서마주보고진행하는파의간섭
보강 _ 간섭 두펄스가반대방향에서마주보고진행하는경우 y 1: 오른쪽으로진행하는파동함수 y 2 : 왼쪽으로진행하는파동함수 (a) 두파는속력이같지만모양이다르다. 각요소의변위는모두양 (+) 이다. (b)(c) 두파가중첩될때중첩된파동함수는각파의파동함수의합이다. (d) 두파가분리되면, 각각의파들은원래의진행방향을계속나아간다. 그러나, 파의모양은변치않는다.
상쇄간섭 두파가서로마주보고진행하고있다. 각파의변위는서로반대방향 ( 하나는위로다른하나는아래로 ) 이다. 겹쳐지면, 변위가부분적으로상쇄된다.
같은방향으로진행하는파의간섭 사인형파동의중첩 Superposition of Sinusoidal Waves 같은진동수, 파장, 진폭의두파 y 1 =Asin(kx-ωt), y 2 =Asin(kx-ωt+φ ) 합성파는 y=y 1 + y 2 = A [sin(kx ωt) + sin(kx ωt +φ)] 합성파의식 : 삼각공식을사용 : 같은진동수, 파장, 속도를갖는같은 sine wave 진폭 : 2A cos( φ/2), 위상 : φ/2
φ = π 이면, cos (φ /2) =0 Π 의짝수배에대해서도마찬가지 합성파의진폭은 0 이된다. 한파의마루가다른파의골과만난다. 서로상쇄간섭을일으킨다.
φ 가 0 이아니거나 π 의짝수배가아니면, 합성파의진폭은 0 와 2A 사이의값을가진다. 파동함수들은여전히더해지지만그결과는도아니고상쇄간섭도아닌중간이다. 보강 _ 간섭
같은방향으로진행하는파의간섭을정리하면, 보강 _ 간섭의조건 : φ=2nπ, 즉, π의짝수배 합성파의진폭은 2A 상쇄간섭의조건 : φ=(2n+1)π, 즉, π 의홀수배 합성파의진폭은 0 그외의일반적인간섭 : 진폭 : 0< A 합성파 <2A
음파의간섭 Interference of Sound Waves S 에서나온소리가다른두경로를거쳐 R 에도달 r = r 2 r 1 =nλ 의경우 보강 _ 간섭 r = r 2 r 1 =(n/2)λ 의경우 상쇄간섭
예제 14.1 같은음원으로두스피커를구동하기 같은음원으로구동되는한쌍의스피거가서로 3.00 m 떨어져있다. 청취자는처음에두스피커를잇는선분의중심으로부터 8.00 m 떨어진점 O 에있다. 청취자가점 O 로부터수직방향으로 0.350 m 인점 P 에도달했을때음파세기의일차극소를들었다면, 음원의진동수는얼마인가? 풀이 음원에서두스피커까지의각각의경로를구한다 : 경로차는 0.13m 이고이에해당하는 1 차극소의파장 λ 는 0.26m 이다. 따라서음원의진동수는 :
14.2 정상파 Standing Waves 반대방향에서마주보고진행하는파의간섭 진폭, 진동수, 파장이같은두파가매질속에서마주보고진행하는경우 : 그두파는중첩의원리에따라간섭한다. 그결과합성파는 : 이것이정상파 (standing wave) 의파동함수이다. 이식속에 kx-ωt 의항이없기때문에이식은진행파식이아니다. 정상파를관찰해보면, 파가진행하지않고정지해있는모습으로보인다. 정지파라고도한다.
진폭이영인점이마디 (node) 이다 : 마디의위치 : 배 (antinode) 의위치 : 변위가최대인점, 즉 2A 가장가까운배사이의거리는 λ/2: 가장가까운마디사이의거리는 λ/2: 가장가까운배와마디사이의거리는 λ/4:
마주보고진행하는진폭이같은두파에의해여러시각에서서로다른모양의정상파가생긴다 :
예제 14.2 정상파의형성 서로반대방향으로진행하는두파동이정상파를만든다. 각각의파동함수는 y 1 = ( 4.0cm)sin(3.0x 2.0t) y2 = (4.0cm)sin(3.0x + 2.0t) (A) 줄의한쪽끝이 x=0일때, 마디와배의위치를구하라. (B) x =2.3cm에위치한매질요소의단조화운동의진폭을구하라. 풀이 (A) y = ( 2Asin kx)cosωt = [(8.0cm)sin 3.0x]cos 2. 0t y max = = ( 8.0cm)sin 3.0x x 2. 3 = (8.0cm)sin(6.9rad) = 4.6cm k 2 π 2 (B) = = 3.0rad / cm λ = π cm λ 3.0 λ π x = n = n cm n = 0,1, 2, 3, 2 3 배 : 마디 : x λ π = n = n cm n = 1, 3, 5, 7, 4 6
14.3 분석모형 : 경계조건하의파동 Analysis Model : Waves Under Boundary Condition 길이가 L 이고양단이고정된줄 양단에입사하고반사하는파의연속적인중첩에의해정상파가생긴다. 그런파에는경계조건이있게된다. 줄의양끝은진동의마디가되어야만한다. 마디에선변위가영. 줄은정규모드 (normal mode) 라불리는고유의진동모양을가진다. 각각의모드는특성진동수를갖는다. 정규모드로진동하는줄은양끝이마디여야하고마디와배사이의간격이 λ/4 가된다는것이다.
첫번째정규모드 양끝이마디이고, 가운데중간부분이배이다. 이경우가파장이가장긴모드이다. 그다음부터계속되는모드배가하나씩증가, 두번째모드의파장은 λ=l 세번째모드의파장은 λ=2l / 3
일반적으로, n 번째모드의파장은 고유진동수는 다시쓰면 n=1 인가장낮은진동수를기본진동수 (fundamental frequency) 라한다.
그이상의정규진동의진동수는기본진동수의정수배이다. 정수배관계를갖는정규모드의진동수는조화열 (harmonic series) 을이룬다. 이러한정규모드를조화모드 (harmonics) 라한다. 기본진동수 f 1 은첫번째배진동의진동수이고, 진동수 f 2 = 2f 1 은두번째배진동의진동수이며, 진동수 f n =nf 1 은 n 번째배진동의진동수이다.
예제 14.3 C 음을쳐보라! 피아노에서중간 C 줄의기본진동수는 262Hz 이며, 중간 C 위의첫번째 A 줄의기본진동수는 440Hz 이다. (A) C 줄의다음두조화모드의진동수를계산하라. 풀이 기본진동수는 f 1 =262Hz 로알려져있으므로정수를곱해다음조화모드의진동수들을구한다. (B) 만약 A줄과 C줄이같은길이 L과선질량밀도 µ 갖는다면, 두줄의장력비는얼마인가? 1 TA 1 TC 기본진동수에대한식을쓴다 : f1a = 및 f1 C = 2L µ 2L µ 풀이 처음식을두번째식으로나누어서그비를구한다 :
14.4 공기관에서의정상파 Standing Waves in Air Columns 공기관속을서로마주보고진행하는종음파의간섭으로정상파가생길수있다. 입사파와반사파간의위상관계는관의끝이막힌경우와열린경우에따라다르다. 관이막힌끝은정상파의변위마디 (displacement node) 이다. 막힌부분에서공기중의종방향운동이불가능하다. 반사파는입사파와 180 위상차가있다. 막힌끝은압력배 (pressure antinode) 에해당한다. 그곳은압력변화가최대인곳이다.
관이열린끝은정상파의변위배 (displacement antinode) 이다. 파의압축영역이관의열린곳을빠져나감에따라, 관의구속조건은없어지고, 압축된공기는대기중으로자유로이팽창할수있다. 막힌부분에서공기중의종방향운동이불가능하다. 막힌끝은압력마디 (pressure node) 에해당한다. 그곳은압력변화가없는곳 양단이열리관의경우 양단은변위배 고유진동수 :
한쪽끝만열린경우 닫힌끝은변위마디 열린끝은변위배 고유진동수 :
예제 14.4 큰하수관에부는바람 길이 1.23 m 인배수거구획에서바람이열린끝부분을가로질러불때엄청난소음이난다. (A) 그하수관은원통형이며양쪽이열려있는경우, 하수관의처음세개의조화모드의진동수를구하라. 공기중의음속은 v = 343m/s 이다. 풀이 양쪽끝이열린공기관으로모형화한다음하수관의기본진동의진동수를구한다. 정수들을곱해서다음조화모드의진동수를구한다.
(B) 한쪽이막혀있는경우하수관의처음세개의자연진동수를구하라. 풀이 한쪽끝이닫힌공기관으로모형화한다음하수관의기본진동의진동수를구한다. 홀수의정수들을곱해서다음의두조화모드를구한다.
예제 14.5 소리굽쇄의진동수측정 공기관에서의공명을설명하는간단한장치가그림에나타나있다. 양쪽끝이열린수직관이물에일부잠겨있고, 미지의진동수로진동하는소리굽쇠가관의위쪽끝근처에있다. 공기기둥의길이 L 은관속의물을연직으로이동시켜조절할수있다. 소리굽쇠에의해만들어진음파는 L 이관의공명진동수중하나에해당할때강해진다. 어떤관에서공명이일어나는최소길이 L 은 9.00 cm 이다. (A) 소리굽쇠의진동수를구하라. 풀이 소리굽쇠의기본진동수는 : (B) 위의공명진동수다음의두공명조건에대한공기관의길이 L 을구하라. 풀이 음파의파장을구한다 : 2 차공명이일어날공기관의길이 : 3 차공명이일어날공기관의길이 :
14.5 맥놀이 : 시간적간섭 Beats: Interference in Time 진동수가약간다른파동이간섭할때 맥놀이 (beats): 진동수가약간다른두파가중첩될때두어진위치에서합성파의진폭이주기적으로변하는것 맥놀이진동수 (beat frequency): 매초당듣는진폭의극대값의수 : 사람의귀는약 20beats/s 의맥놀이진동수를들을수있다.
진폭은같으며진동수가조금다른두파가같은매질속을진행하는경우 x=0 에서의위치 ; 합성파의위치 : 삼각공식을사용하여정리 :
라두면, 진폭은 : 일때최대진폭이된다. 따라서맥놀이진동수는 :