Fifth SI Edition CHATER MECHANICS OF MATERIAS Ferdinand. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf David F. Mazurek ecture Notes: J. Walt Oler Teas Tech niversity 에너지방법 Energy Methods 9 The McGraw-Hill Copanies, Inc. All rights reserved.
목차 (Contents) 변형률에너지 (Strain Energy) 변형률에너지밀도 (Strain Energy Density) 수직응력에대한탄성변형률에너지 (Elastic Strain Energy for Noral Stresses) 전단응력에대한탄성률변형률에너지 (Strain Energy For Shearing Stresses) 견본문제. (Saple roble.) 일반응력상태의변형률에너지 (Strain Energy for a General State of Stress) 충격하중 (Ipact oading) 예제.6 (Eaple.6) 예제.7 (Eaple.7) 충격하중에대한설계 (Design for Ipact oads) 단일하중하에서일과에너지 (Work and Energy nder a Single oad) 단일하중하에서처짐 (Deflection nder a Single oad) 견본문제.4 (Saple roble.4) 여러하중하에서일과에너지 (Work and Energy nder Several oads) 카스틸리아노정리 (Castigliano s Theore) 카스틸리아노정리에의한처짐 (Deflections by Castigliano s Theore) 견본문제.5 (Saple roble.5) Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. 5-
변형률에너지 (Strain Energy) 균일한봉이서서히증가하는하중을받는경우 봉이미소량 d 만큼늘어날때하중 에의한기본일 (eleentary work) 은 d Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. d eleentary work 위의식은하중 - 변형선도에서폭 d 의면적과같다. 봉변형 발생시하중에의한총일 (total work ) 은, d total work strain energy 결과적으로봉의변형률에너지 (strain energy) 가증가된다. 선형탄성변형인경우에, kd k 5-3
변형률에너지밀도 (Strain Energy Density) 치수의영향을없애기위해단위체적당변형률에너지를고려하면, V u A d d strain energy density 변형으로일어나는전체변형률에너지밀도 (strain energy density) 는 에이르는곡선의면적과같다 재료에서하중을제거한다면응력은 으로되돌아가지만영구변형 (peranent deforation) 이남는다. 오로지삼각형면적으로표시된변형률에너지만회복된다. 재료변형에소모된에너지의나머지부분은열의형태로사라진다. Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. 5-4
변형률에너지밀도 (Strain-Energy Density) R 로놓아얻어지는변형률에너지밀도를인성계수 (odulus of toughness) 라한다. 재료의파단을일으키는데소요되는단위체적당에너지는극한강도뿐만아니라재료의연성에도관련된다. 응력이재료의비례한도이내일경우, u E Y 일경우, 변형률 - 에너지밀도를탄력계수 (odulus of resilience) u Y 라하며, u Y Y E d E odulus of E resilience Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. 5-5
수직응력에대한탄성변형률에너지 (Elastic Strain Energy for Noral Stresses) 비균일응력분포를갖는요소에서, u d li total strain energy u dv V dv V u < u Y 일경우, 즉비례한도내에서는, dv E 축하중을받을때, d AE 균일단면봉일경우, AE elastic strain energy A dv A d Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. 5-6
수직응력에대한탄성변형률에너지 (Elastic Strain Energy for Noral Stresses) M y I 굽힘하중을받는보에서, E dv M y EI dv=da d 이므로, A M EI M EI y d dad dv M EI 끝에서하중을받는외팔보에서, M EI d 3 6EI A y dad Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. 5-7
전단응력에대한변형률에너지 (Strain Energy For Shearing Stresses) 재료가평면전단응력을받을때, u y y d y y 가비례한도이내일경우, u G y y y 전체변형률에너지는, u dv y dv G y G Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. 5-8
전단응력에대한변형률에너지 (Strain Energy For Shearing Stresses) y T J 비틀림하중을받는축에대해서, y dv G dv=da d 이므로, A T GJ T GJ d T dad GJ 균일단면축일경우, T GJ dv T GJ A dad Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. 5-9
견본문제. (Saple roble.) a) 굽힘에의한수직응력영향만을고려하여그림과같이하중을받는보의변형률에너지를결정하라. b) 보가 W5ⅹ67, = 6 kn, = 3.6, a =.9, b =.7, 그리고 E = Ga 일경우, 변형률에너지를계산하여라. 풀이 : 보전체의자유물체도로부터 A 와 B 에서반력을계산한다. 굽힘모멘트분포선도를작성한다. 변형률에너지를구하기위해보의부피에대해적분한다. 특정한조건을적용하여변형률에너지를계산한다. Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. 5-
견본문제. (Saple roble.) 풀이 : 보전체의자유물체도로부터 A 와 B 에서반력을계산한다. R A b R B a 굽힘모멘트분포선도로부터, M b M a v Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. 5-
견본문제. (Saple roble.) Over the portion AD, M M b a Over the portion BD, 6 kn a.9 E Ga v 3.6 b.7 I 4 6 4 보의부피에대해적분하여변형률에너지를구한다. a EI EI M d EI a b b a b 6EI 6 b a 3 M EI 3 dv d a b 3 EI 3 b a a b 6EI 6 N.9.7 9-6 4 a4 3.6 d a b 336 N Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. 5-
Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. 5-3 일반응력상태의변형률에너지 (Strain Energy for a General State of Stress) 앞절에서는단축응력과평면전단응력상태에서변형률에너지를구하였다. 일반응력상태에서는, z z yz yz y y z z y y u 탄성, 등방성물체의주축에대해서, distortion due to due to volue change 6 a c c b b a d c b a v d v a c c b b a c b a G u E v u u u E u 최대비틀림에너지 (aiu distortion energy) 파손기준, specien tensile test for a 6 G u u Y Y d d
충격하중 (Ipact oading) 속도 v 로움직이는질량 인물체가봉의끝을때리는경우를고려 봉은충격을받고변형. 응력은최대값이된후사라진다. 최대응력 을결정하기위하여 - 운동에너지가전적으로구조물에전달된다고가정, v - 정적인시험으로부터얻어진응력 - 변형률선도가충격하중하에서도유효 변형률에너지최대값, E dv 균일단면봉의경우, E V v E V Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. 5-4
예제.6 (Eaple.6) 질량 인물체가속도 v 로움직이는비균일단면봉 BCD 의끝단을충격한다. BC 부분의지름이 CD 부분지름의 배일경우, 봉의최대수직응력을구하라. 풀이 : 지름이다르므로수직응력분포가균일하지않다. 충격하중과같은변형률에너지를발생시킬수있는등가의정하중 을구한다. 정하중 으로부터최대응력을계산한다. Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. 5-5
예제.6 (Eaple.6) 풀이 : 지름이다르므로수직응력분포가균일하지않다. v E dv V E 충격하중에서변형률에너지를발생시킬수있는등가의정하중 은, AE 6 5 AE 4AE 5 6 AE 정하중 으로부터최대응력은, A 6E 5 A 8 v E 5 A Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. 5-6
예제.7 (Eaple.7) 무게 W 인블록이높이 h 에서외팔보의자유단에떨어졌다. 이보에서최대응력값을구하여라. 풀이 : 수직응력은횡단면 (transverse section ) 에걸쳐보의길이에따라선형으로변화한다. 충격시동일한변형률에너지를발생시킬수있는등가의정하중 을구한다. 정하중 으로부터최대응력을계산한다. Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. 5-7
예제.7 (Eaple.7) 풀이 : 수직응력은횡단면에걸쳐보의길이에따라선형으로변화, Wh E dv V E 충격시동일한변형률에너지를발생시킬수있는정하중 에대해, 끝단에서하중을받는외팔보에서, 6 3 6EI 3 EI 정하중 으로부터최대응력을계산한다. M I 6 c c I E 6WhE I c I c Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. 5-8
충격하중에대한설계 (Design for Ipact oads) 최대응력감소는, 균일한응력분포 낮은탄성계수와높은항복응력을갖는재료 큰체적 균일한봉일경우, E V 비균일한봉일경우, V 4A 6E 5 A / A / 8 E V 외팔보의경우, 6 5A / I c 4 I / c c / c c 4 V E 4 E 4 4 V Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. 5-9
단일하중하에서일과에너지 (Work and Energy nder a Single oad) 앞절에서, 변형률에너지는부피에걸쳐에너지밀도를적분하여구하였다. 균일한봉에대해서는, u dv A E dv E Ad AE 변형률에너지는하나의하중 가한일로부터, d 탄성변형에대해서, d k d k 힘과변위사이의관계로부터, AE AE AE Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. 5-
단일하중하에서일과에너지 (Work and Energy nder a Single oad) 변형률에너지는단일집중하중을다른형태의일로부터구할수있다. 횡방향하중 y dy 3 3EI y 3 6EI 굽힘우력 M d M M EI M M EI 비틀림우력 T d T T JG T T JG Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. 5-
Saple roble.4 Mebers of the truss shown consist of sections of aluinu pipe with the cross-sectional areas indicated. sing E = 73 Ga, deterine the vertical deflection of the point E caused by the load. SOTION: Find the reactions at A and B fro a free-body diagra of the entire truss. Apply the ethod of joints to deterine the aial force in each eber. Evaluate the strain energy of the truss due to the load. Equate the strain energy to the work of and solve for the displaceent. Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. 5-
단일하중에서처짐 (Deflection nder a Single oad) 기하학적인관계로부터,.6l. BC BD 8 정역학으로부터 F.6 F. BC BD 8 l 단일집중하중으로인한구조물의변형률에너지를알수있다면, 에너지와하중의한일이같다고놓아처짐을구할수있다. 구조물의변형률에너지, F BC AE 3.6.8 l BC AE F BD AE BD 3 l.364 AE 일과변형률에너지가같다고놓으면, y B.78.364 AE l AE y B Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. 5-3
견본문제.4 (Saple roble.4) F F DE CE 7 8 5 8 F F AC CD 5 8 풀이 : 전체트러스의자유물체도로부터 A 와 B 의반력을구한다. A 8 A B 조인트법을적용하여각부재의축하중을결정한다. F F DE CE y 5 F AB 4 8 8 Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. 5-4
견본문제.4 (Saple roble.4) 하중 에의한변형률에너지를계산 E i F i A E i E 97 i F A i i 변형률에너지를 에의한일과같다고놓아변위에대해풀면, y y y E E E 97 E 3 3 9.7 4 73 9 y E 6.7 Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. 5-5
여러하중하에서일과에너지 (Work and Energy nder Several oads) 두집중하중을받는탄성보의처짐, 작용순서 (application sequence ) 를거꾸로하면, 위의변형률에너지식들은반드시등가이다. 즉 맥스웰상반정리 (Mawell s reciprocal theore) 에따른다. 이먼저서서히작용하고다음으로 의작용에의한일을구하여변형률을계산한다. Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. 5-6
카스틸리아노정리 (Castigliano s Theore) 두개의집중하중을받는탄성구조물의변형률에너지, 하중 과 에대해미분하면, 카스틸리아노정리 (Castigliano s theore): n 개의하중을받는탄성구조물에서 j 작용점의처짐 j 는, j j and j M j j T j Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. 5-7
카스틸리아노정리에의한처짐 (Deflections by Castigliano s Theore) 카스틸리아노정리에의한처짐계산은변형률에너지 를얻기위해하중 j 에대한미분이합산이나적분전에얻게되면단순해진다. 보의경우에, M EI d 트러스에대해, j j M EI n n Fi i j A i ie j i M d i j Fi i Fi A E j Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. 5-8
견본문제.5 (Saple roble.5) 트러스부재가그림에표시된단면적의알루미늄파이프로구성되어있다. E = 73 Ga 를사용하여, 하중 에의한수직처짐을결정여라. 풀이 : 카스틸리아노정리로부터절점 C 에가상 (duy) 수직하중 Q 를작용시킨다. 전체자유물체도로부터가상하중으로인한 A 와 B 의반력을구한다. 절점법을적용하여 Q 에의한각부재의내력을결정한다. 견본문제.4 의결과를조합하여하중 와 Q 로인한트러스변형률의 Q 에대한미분값을구한다. Q = 로놓아, C 의처짐과등가인미분값을계산한다. Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. 5-9
견본문제.5 (Saple roble.5) 풀이 : 전체자유물체도로부터 C 의가상하중 Q 가작용할경우, A 와 B 에서반력을구한다. A 3 Q Ay Q B 3 4 4 절점법을적용하여 Q 작용시각부재의내력을결정한다. F F F CE AC AB F DE ; F ; F CD BD Q 3 4 Q Q Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. 5-3
견본문제.5 (Saple roble.5) 견본문제.4 의결과를이용하여하중 와 Q 로인한트러스변형률의 Q 에대한미분값을구한다. F F y i i i C 436 463Q Ai E Q E Q = 로놓고, C 의처짐과등가인미분값을계산한다. y C 3 436 4 N 9 73 a y C.36 Copyright by Tae Hyun Baek, Kunsan National niversity. All rights reserved. 5-3