Microsoft Word - Solid_02_축하중을 받는 부재.doc

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1 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-1

2 .1 소개 제 장축하중을받는부재 - 인장과압축만을받는구조물의부품 : 축하중을받는부재 - 트러스, 엔진연결봉, 자전거스포크, 건물기둥, 항공기지주등등 - 길이변화의계산 - 부정정구조물 - 온도효과및열응력, 열변형률 - 경사면의응력 - 변형에너지의계산 - 충격하중 - 피로현상 - 응력집중 - 비선형거동 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-

3 . 축하중을받는부재의길이변화 - 코일스프링으로모델링 - 스프링의각각의코일은직접전단및비틀림상태 - 스프링전체의거동은축하중을받는부재와동일 스프링스프링의길이 L ; 고유길이, 이완길이, 자유길이늘어난길이 ; 신장량 - 선형탄성 : 하중과신장량은비례 1 P k P fp k k ; 강성도 (Stiffness); 힘 / 단위길이 f ; 유연도 (flexibility); 신장량 / 단위하중 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-3

4 강성도와유연도는서로역수의관계 k f P 1 ; 강성도혹은스프링상수 (Spring Constant) f 1 P k ; 유연도혹은컴플라이언스 (Compliance) Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-4

5 균일단면봉 균일단면봉 : 전체길이를통하여단면적이일정 단면의형상은다양할수있음 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-5

6 P A 단축하중의응력, 변형률 ;, L 재료가선형탄성이면 Hooke 의법칙을따름 P E E A L PL EA EA ; 봉의축강도 (axial rigidity) k f P EA L ; 강성도 L ; 유연도 P EA Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-6

7 케이블 (Cable) Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-7

8 - 큰인장력을전달 축하중을받는부재 - 압축력은전달하지못함 - 굽힘에대한저항이아주약함 - 특정한방식으로와이어를꼬아서제작됨 - 나선형으로꼬아진 6 개의가닥을중앙의가닥주위에다시꼬아서제작 와이어로프 - 케이블의단면적은각각의와이어들의전체단면적과동일 유효면적 or 금속면적 - 유효면적은케이블과같은지름을갖는원의면적보다작음 - 케이블신장량은같은크기의유효단면적의봉보다작음 케이블의탄성계수 ( 유효계수 ) < 재료의탄성계수 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-8

9 예제 -1 문제 AB 길이 b 10.5 in, BC 길이 c 6.4 in 스프링상수 k 4. lb/in 너트의피치 p 1/16 in 행어의무게 W lb 가점 A 의행어에작용할때 포인터 C 가포인터표지로돌아오기위한너트의회전수 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-9

10 풀이 그림 (b) 의자유물체도에서 점 B 에대한모멘트평형조건 Fc Wb F Wb c 이에상응하는스프링신장량 는 F Wb k ck 너트의회전수를 n 이라하면, np Wb ck 너트의회전수는 수치를대입하면 n Wb ckp Wb ( lb)(10.5 in) n 1.5 revolutions ckp (6.4 in)(4. lb / in)(1/16 in) Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-10

11 예제 - 문제 AB BD 450 mm, BC 5 mm 480 mm, CE 600 mm Area Area E BD 100 mm, CE 50 mm, 05 GPa 점 A 의변위가 1.0 mm 으로제한되기위한최대허용하중 P max 를구하라. Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-11

12 풀이 자유물체도 (b) 에서 M B 0 450P 5F CE FCE P F vert 0 P FBD FCE 0 F 3P BD 부재 BD 의변위 부재 CE 의변위 BD CE FBDLBD (3 P)(480 mm) P 10 mm ( 압축 ) EA (05 GPa)(100 mm ) BD FCELCE ( P)(600 mm) P 10 mm ( 인장 ) EA CE (05 GPa)(50 mm ) Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-1

13 그림 (c) 의변위도에서삼각형의닮음 ; AAC BBC AA AC BB BC A CE BD CE A 11.6P P P 제한값 1.0 mm 로하고 P 에대해풀면된다. P Pmax 3,00 N A Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-13

14 .3 비균일상태에서의길이변화 봉의중간에하중이작용할때 하중이변화하는경우의변형량계산 구간별로나누어계산후합성 AB 구간 N1 PB PC PD, 길이 L 1 BC 구간 N PC PD, 길이 L CD 구간 N3 PD, 길이 L 3 각각의구간의길이변화는, NL 1 1 NL NL 1 3 EA EA EA 전체길이변화는 3 i1 i Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-14

15 균일한단면부분으로구성된봉 - 단면적과길이가다른균일단면봉이조립된경우의일반식 : NL n i i i1 EA i i Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-15

16 연속적으로변하는하중또는치수를가진봉 그림 (c) 의미소요소 dx 의신장량 d N( x) dx EA( x) 전체봉의신장량은윗식을적분하여구함 0 0 L d L N ( x ) dx EA( x) 적분을해석적으로구할수없는경우수치해석방법을사용함. 제한선형탄성재료, 응력분포가전체단면적에대해균일한경우. ( 테이퍼봉에서오차가능성 ) Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-16

17 예제 -3 문제 L 0.0 in, A 0.5 in, L 34.8 in, A 0.15 in in, 5 in, psi a b E P1 100 lb, P 5600 lb 일때점 C 에서의수직변위 C 구하기. Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-17

18 풀이 그림 (b) 에서점 D 에대한모멘트평형조건에서 P 3 Pb a (5600 lb)(5.0 in) 8.0 in 5000 lb 그림 (c) 에서수직방향힘의평형조건에서 R P P 5000 lb 100 lb 900 lb N ( 압축, AB 구간에작용하는힘 ) A N P1 100 lb ( 인장, BC 구간에작용하는힘 ) 길이변화는 NL NL NL EA EA EA i i 1 1 i1 i i 1 ( 900 lb)(0.0 in) (100 lb)(34.8 in) 6 6 ( psi)(0.5 in ) ( psi)(0.15 in ) in in in Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-18

19 예제 -4 문제 원형단면적의길이가 L 인완만한테이퍼봉 AB 우측끝점 B 에서지지됨 자유단 A 에서인장하중 P 를받고있다. 양끝, A B 에서의지름은 d, d 이다. 하중 P 에의한봉의신장량구하기. A B Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-19

20 풀이 삼각형의닮음조건에서 L L A B d d A (a) B 원점에서 x 만큼떨어진점에서는 d( x) d A x L ( ) dax d x L A A Ax ( ) [ d( x)] d x 4 4L A A LB ( ) LB Pdx(4 L ) 4 LB A PLA dx 4PLA 1 4PL A 1 1 ( ) LA ( ) LA A A A L A A B N x dx EA x E d x Ed x Ed x Ed L L A 여기서 1 1 LB LA L L L L L L L A B A B A B 이므로 4PL L A 4PL Ed A LB, 여기에식 (a) 를대입하면 Ed Ad (Note-1) 중앙부분에서의단면적을갖는균일단면봉의신장량과는다름. B 4PL (Note-) 특수한경우 ( 균일단면봉 ), d A d B d 인경우 Ed PL EA Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-0

21 .4 부정정구조물 정정구조물 (statically determinate structure) - 반력과내부축력을자유물체도와평형방정식만으로결정가능 - 힘 ( 반력등 ) 은재료의성질을알지못해도구할수있음 - 미지반력의개수와활용가능한평형방정식의개수일치 부정정구조물 (statically indeterminate structure) - 반력과내부축력은평형방정식만으로는구할수없음 - 미지반력의개수가활용가능한평형방정식의개수보다많음 - 추가로구조물의변위에관계된추가적인식이필요함 - 정정봉부정정봉 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-1

22 A B (a) - 평형방정식 F vert 0 R P R 0 - 미지의반력이 개이므로추가의식이필요 봉전체의길이변화가없음 AB 0 (b) 적합방정식 (equation of compatibility) - (a),(b) 를풀기위해식 (b) 를 R, A R 로표현하여야함 B 이식을 ( 힘 - 변위관계식 ) 이라고도함 Ra A Rb B AB AC CB 0 (e) EA EA (a),(e) 를연립하여풀면, R A Pb RB L Pa L C Ra EA A AC Pab LEA Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-

23 일반적유의사항부정정시스템을풀기위해항상 3 가지조건이사용됨 (1) 평형방정식 : 정역학 / 동역학방정식 () 적합방정식 : 기하방정식 / 운동학방정식 / 변형방정식 (3) 힘-변위관계식 : 구성관계식 ( 재료의구성 / 물리적성질에관한조건 ) 부정정시스템을풀기위한 가지방법 (1) 유연도방법 ( 하중방법 ) () 강성도방법 ( 변위방법 ) Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-3

24 예제 -5 문제 길이 L 의원형강철실린더 S ( E, A ) 가속이빈원형구리관 C ( E, A ) 안에들어있다. S S C C (a) 강철 / 구리실린더각각에작용하는압축력 P, S P 구하기 C (b) 이에상응하는압축응력, S 구하기 C (c) 조립체의줄어든길이 구하기 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-4

25 풀이해석방법-1: 유연도법 ( 하중법 ) S C (f) (a) 평형방정식 F vert 0 P P P 0 적합방정식 S C (g) P L S 힘-변위관계식 S, P L C C (h,i) ESAS ECAC (h,i) 를 (g) 에대입 PSL E A P L E A C (j) 힘을미지수로유연도를계수로 S S C C (f),(j) 를연립하면 ESA S ECA C PS P PC P ESAS ECAC ESAS ECAC (-11a,b) (b) S P PE P PE A E A E A A E A E A S S C C C S S S C C C S S C C Note: 응력비 / E / E S C S C Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-5

26 (c) 조립체의줄어든길이는강철 / 구리동일하다. PL PL PL E A E A E A E A S C S S C C S S C C 해석방법-: 강성도법 ( 변위법 ) (h),(j) 를힘에대해풀어쓰면 P E A E A P (k,l) L L S S C C S S C C 이식을평형방정식 (f) 에대입하면 E A L E A L S S C C S C P (m) 변위를미지수로강성도를계수로함 적합방정식 (g) 와 (m) 을연립하여풀면, S C PL E A E A S S C C (n) Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-6

27 예제 -6 문제 (a) 와이어 CD, EF 의허용응력이, 각각 1 일때허용하중 P 에대한공식구하기 (b) 알루미뉸와이어 CD 는 E d 7 GPa, 00 MPa mm, L 0.40 m 1 1 마그네슘와이어 EF 는 E d 45 GPa, 175 MPa 3.0 mm, L 0.30 m 일때허용하중 P 구하기 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-7

28 풀이 자유물체도 (b) 에서미지수 4 개 1 ( T, T, R, R ), 평형방정식 3 개 부정정시스템 - 평형방정식 : M A 0 Tb 1 T ( b ) P (3 b ) 0 or T 1 T 3 P (o) Note: 수평 / 수직방향힘의평형식은 T 1, T 계산에사용되지않음. - 적합방정식 : 변위도 (c) 에서 1 (p) - 힘 - 변위관계식 TL TL ft ft (s,t) EA 1 1 EA H V 여기서유연도 f L L f 를사용함 (q,r) 1 1 EA 1 1 EA (s,t) 를 (p) 에대입하면 ft ft (u) 1 1 평형방정식 (o) 와 (u) 는힘을미지수로함 ( 유연도법 ). 이식들을연립하면, Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-8

29 T 3fP 6fP T 1 1 4f1 f 4f1 f (v,w) 이식들을 (s,t) 에대입하면신장량을구할수있음. (a) CD 의응력 EF 의응력 1 T 3P f 1A1(4 f1 f) P1 3 f 1 A1 A1 4 f1 f T 6P f A(4 f1 f) P 6 f 1 A A 4 f1 f (-14a) (-14b) (b) A d / 4 (4.0 mm ) / mm A d / 4 (3.0 mm ) / mm 1 1 f L 0.40 m (7 GPa)(1.57 mm ) 1 1 EA 1 1 f EA m / N L 0.30 m (45 GPa)(7.069 mm ) m / N (-14) 식에서 1 00 MPa, 175 MPa 이므로 P 1.41 kn P 1.6 kn 이중에작은값은 P allow 1.6 kn Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-9

30 .5 열효과, 어긋남, 사전변형 하중의종류 : 외부하중 / 온도변화로인한열효과 / 불완전성에의한어긋남 / 초기변형 보통부정정구조물의설계에서중요 열효과온도변화 열응력 (thermal stress / 열변형률 (thermal strain) 을발생시킴열을가하면모든방향으로열변형률이발생함 T ( T ) T : 열변형률 ( 팽창은양, 수축은음 ) : 열팽창계수 (coeff. Of thermal expansion) o o 단위는온도의역수 (1/K, 1/ C, 1/ F) E ( T) ; 온도변화에대한응력의상응하는값 ( 열하중 ) Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-30

31 L T T ( T ) L ( 온도-변위관계식 ) (-16) 구조물은균일하게가열되며자유롭게수축 / 팽창함 정정구조물 : 각각의부재가수축 / 팽창한후 새로운조인트의위치가결정됨 열응력이발생하지않음 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-31

32 부정정구조물 : - 구조물의특성과온도변화의성질에따름 - 일반적으로균일한온도변화에대해서도열응력발생함 - 해석을수행할때, 평형방정식, 적합방정식, 힘-변위관계식에추가하여온도-변위관계식이사용됨. Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-3

33 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-33

34 예제 -7 문제 봉의온도가 T 만큼증가할때열응력 T 구하기 풀이 개의하중으로분리하여생각함 1) 온도증가에따른팽창 ( 그림 (b)) ) 반력에의한압축 ( 그림 (c)) 평형방정식 F vert 0 R R B A 0 ( 부정정 ) (a) 적합방정식 AB T R 0 (b,c) Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-34

35 변위관계식 T ( T) L (d) RL EA A R (e) 방정식의해 : (d),(e) 를 (c) 에대입하여구함 RL A T R ( T) L 0 (f) EA (f),(a) 를연립하여풀면 R R EA ( T) (-17) 봉의길이에무관 A B T RA RB E( T) (-18) 봉의길이와단면적에무관 A B Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-35

36 예제 -8 문제 슬리브 ( S) 와 볼트 ( B) 의조립체를고려함 (a) 온도가 T 만큼증가할때 열응력, S 구하기 B (b) 슬리브와볼트의늘어난길이 구하기 를가정함 ) ( S B Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-36

37 풀이그림 (b) 에서와같이볼트머리부를제거하여자유팽창이된경우슬리브 / 볼트의신장량은각각, ( T) L ( T) L (g,h) 1 S B 그림 (c) 에서슬리브는압축력 볼트는인장축력 P S 에의해서 3 만큼인장발생 3 P B 에의해서 4 만큼인장발생 4 P L S (i) ESAS P L B (j) EB AB 적합조건 : 볼트머리의조립에의해볼트와슬리브의신장량은같다 (k) PL S PB L (g,h,i,j) 를 (k) 에대입 S( T) L B( T) L (l) E A E A S S B B PL S PL B 식을정리하면 S( T) LB( T) L (m) E A E A S S B B P P 그림 (c) 에서평형방정식은 S B (n) Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-37

38 (m),(n) 을연립하여풀면 P S P B ( )( T) E A E A E A E A S B S S B B S S B B (-19) (a) 슬리브 / 볼트의응력은 S B P ( )( T) E E A A E A E A S S B S B B S S S B B PB ( )( T) E A E A E A E A S B S S B B S S B B (-0a,b) (b) 슬리브 / 볼트의늘어난길이 ; 식 (l) 로부터구함 ( SESAS BEBAB)( T) L E A E A S S B B (-1) Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-38

39 확인 : (1) 볼트가강체이며온도의영향을받지않는경우 ( 0, E ) 슬리브가강체의지점사이에고정된조립체에대한조건식 (-19,0,1) 로부터 P P ( )( T) E A E ( T) 0 S B S S S S S S B B () 슬리브와볼트가같은재료로되었다고가정 (, E E ) B S B S 두개부분은자유롭게팽창, 같은길이만큼팽창, 힘 / 응력발생하지않음식 (-19,0,1) 로부터 P P 0 0 ( T) L S B S B Note: 열팽창계수만같으면탄성계수는서로달라도무방함. Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-39

40 어긋남과사전변형구조물의길이가정확하게제작되지않았을경우 어긋남 (misfit) 이유발됨사전변형률 (prestrain) 사전응력 (prestress) 의도적으로사용되기도함 - 자전거바퀴의스포크 - 테니스라켓의줄 - Shrink Fit - PC (Prestressed Concrete) 정정구조물 - 자동적으로어긋남이조정되어이론적인형상과다르게조립됨 - 개별적인봉에변형률이나응력을발생하지않음. Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-40

41 부정정구조물 - 어긋남에대해자유롭게조정이불가능 - 변형률이나응력이발생함 예 ) CD 의길이가이론치보다크게제작되면 CD 는압축이되고 EF 는인장이되어야 조립이가능해짐. 어긋남과사전변형률의해석 - 온도변화에대한해석방법과유사함 - 그결과도상응하는상태를대응시킬수있음 - 평형방정식, 적합방정식, 힘-변위관계식, 온도-변위관계식을이용하여해석을수행함 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-41

42 볼트와조임나사 길이의조정 : 볼트 / 조임나사의사용 np ( p 는나사의피치, n 은회전수 ) 이중작용조임나사 : 한쪽끝은오른나사, 또다른끝은왼나사 ( 케이블의연결시에많이사용 ) np Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-4

43 예제 -9 문제 (a) 조임나사를 n 회전시킬때, 관과케이블내의힘구하기 (b) 관의줄어든길이를구하기 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-43

44 풀이 조임나사를회전시킨후그림 (b) 에서우측의 Rigid Plate 가제거되면 1 P L P L np (o) S C ( 케이블의인장량 ) 3 ( 구리관의압축량 ) (p,q) ESAS ECAC 적합조건 1 3 (r) (o,p,q) 를 (r) 에대입하면 PL S PL C or PL S PL C np np (s,t) E A E A E A E A S S C C S S C C P 평형방정식 S P (u) C (a) (t)(u) 를연립하면 P S npecace SAS 4npECACE SAS PC L( E A E A ) L( E A E A ) C C S S C C S S (-4a,b) (b) 관의줄어든길이 3 PCL 4npESAS E A E A E A C C C C S S Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-44

45 .6 경사면에서의응력 축하중을받는균일단면보단면 mn 에작용하는응력 그림 (c) 와같이 차원으로도시그림 (c) 의 C 부분을절단하여응력상태를도시함 응력요소 응력요소축응력을받는부재의응력요소 - x 면에 x 방향으로작용하는응력 - 통상그림 (b) 와같이 차원으로도시함 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-45

46 경사면에서의응력 - 경사면 pq 의응력에대한고찰힘의합력은좌 / 우평형에서 pq 면에서 x 방향의힘은 P 와같다. - 응력은면에대해수직 / 수평성분으로표현함 - 평형을고려하여각각의성분을계산함 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-46

47 단면의경사표시법 : x 축과 n 축간각도 예 ) 윗면 : 90 도, 좌측면 : 180 도 단면 pq 에작용하는힘 P 를분해하면, N Pcos V Psin (-6a,b) 그림 (c,d) 의수직응력 / 전단응력은 N V (-7a,b) A A 1 1 A 여기서경사면면적 1 A cos (-8) Notation: 기울어진단면의응력을, 로정의한다. Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-47

48 0 일경우의응력은 x 축방향의단면에작용하는응력이며 P / A 이다. x 방향의면의응력은 N P V P A A A A cos sin cos 1 1 삼각함수관계식 1 1 cos (1cos ) sin cos (sin ) 을이용하면 x x cos (1 cos ) (-9a) x x sin cos (sin ) (-9b) 회전된경사면에작용하는수직응력 / 전단응력구하는공식 Note: 정역학으로부터유도됨 재료와무관 ( 선형 / 비선형 / 탄성 / 비탄성모두성립함 ) Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-48

49 최대수직응력및전단응력 수직응력 이면 x o 이면 0 - 최대수직응력은 0 일때 max x - 45 o 전단응력 일때수직응력은최대수직응력의절반 - 0, 90 o 이면 0-45 o 이면 는양의최대값, 45 o 이면 는음의최대값 최대전단응력의크기는 max x Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-49

50 요소 A ; 0 인요소 - 최대수직응력이발생 ( 유일한응력 ) 요소 B ; 45 o 인요소 우측상단면 : 45 o - x, x 우측하단면 : 45 o - x, x Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-50

51 축하중을받는부재의최대전단응력 : 최대축응력의절반 재료가인장에비하여전단에훨신취약한경우 전단응력에의하여파괴됨. 예 ) 압축을받는목재 : 45 o 방향으로전단에의해파괴됨. 예 ) 인장을받는연마시편 : 45 o 방향으로줄무늬관찰 단축응력 앞의예제 : 봉이한방향으로단축인장 / 압축을받음 단축응력 (uniaxial stress) 중요방향 : 0 ( 최대수직응력의방향 ) 45 o ( 최대전단응력의방향 ) Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-51

52 예제 -10 문제 축하중을받는균일단면봉 : A 100 mm, P 90 kn (a) 각 5 o 로봉을절단한경사면 pq 에작용하는응력구하기 (b) 5 o 에대한완전한응력상태를구하고, 이응력을적절한방향의응력요소에표시하기 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-5

53 풀이 P 90 kn 75 MPa A 100 mm (a) 단면에작용하는수직응력 x 식 (-9a,b) 에 5 o 를대입하여수직응력 / 전단응력을구한다. ( 그림 (b) 에도시 ) o x cos ( 75 MPa)(cos 5 ) 61.6 MPa o o sin cos (75 MPa)(sin 5 )(cos 5 ) 8.7 MPa x (b) 면 ab 는그림 (b) 에도시하였음. o o o 면 bc 는 를대입하여구함 o o o 면 cd 는 를대입하여구함 o o o 면 ad 는 를대입하여구함 : 13.4 MPa, 8.7 MPa (Note) 수직응력은서로직각인 개의면에대한계산만하면됨. 전단응력은 1 개의면에대한계산만하면됨. Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-53

54 예제 -11 문제 하중 P 8000 lb 경사각 40 o 두개의플라스틱은 pq 에서접착됨. 봉의허용응력 압축 : allow 1100 psi 전단 : allow 600 psi 접착이음의허용응력 압축 : allow 750 psi 전단 : allow 500 psi 봉의최소폭 b 구하기 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-54

55 풀이 - 접착이음에대한기하학적인조건 : 그림 (b) 에서 50 o - 최소폭 b 를구하기위해단면적을구해야함 ; P A x - 4 가지허용응력에각각대응하는 x 를구해야함. 식 (9-a,b) 를 x 에대해풀면 x, x (-3a,b) cos sin cos (a) 접착이음의허용응력을근거로한계산 - 압축에대하여는 750 psi, 50 o 750 psi x o (cos 50 ) 1815 psi (b) - 전단에대하여는 500 psi 를대입하여 x 가음이되는값을선택함 ( 응력요소의관찰에의해 500 psi 임을확인할수도있음 ) 500 psi (sin50 )(cos50 ) x o o 1015 psi (c) Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-55

56 (b) 플라스틱의허용응력을근거로한계산 - 압축에대한허용응력을이용하여 x 1100 psi (d) - 최대전단응력은 45 o 인면에서발생하며, 수치적으로 / 와같다. x 전단에대한허용응력이 600 psi 이므로 100 psi (e) x Note: 식 (-3b) 에 o 600 psi, =45 를대입하여도같은값이구해짐. (c) 봉의최소폭 : (b,c,d,e) 중에서절대치가가장작은값을선택함 psi x 식 (a) 에대입하면 8000 lb A 7.88 in b 1015 psi b min A 7.88 in.81 in Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-56

57 .7 변형에너지 힘 P 가한일 : 하중 - 변위선도 (load-displacement diagram) 에서구함 W Pd ( 하중-변위곡선아랫부분의면적 ) 변형에너지 : 하중이작용하는작용중에봉에흡수된에너지 : 에저지보존에의해일과같은 U W Pd 단위 : SI: Nm J (Joule), USCS: ft-lb, ft-k, in-lb, in-k Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-57

58 탄성및비탄성변형에너지하중이제거될때 (1) 탄성한도이내 : 전체에너지가복원됨 () 탄성한도를넘어서는변형 - BDC: 탄성변형에너지는복구됨 - OABD: 비탄성변형에너지는영구변형에사용됨 선형탄성거동선형탄성재료 U P W, 이식에 PL EA 를이용하면 U P L EA U EA L 스프링의경우강성도는 k / EA L 이므로 U P k fp k U f Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-58

59 불균일봉여러개의부분으로이루어진봉 각부분의변형에너지의합 U N L n n i i Ui (-39,40) i1 i1 EA i 지속적으로변하는불균일단면봉 U L [ N ( x )] dx 0 (-41) EA( x) 유의사항 - 에너지는하중에대해선형함수가아님. - 여러개의하중이작용할때, 각각의하중에의한에너지의합으로전체에너지를구할수없음. - 동시에작용하는모든하중에대한변형에너지를구하여야함. - 변형에너지 : 위치에너지의한형태이며인장 / 압축시에동일한양이저장됨. Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-59

60 단일하중에의한변위 에너지보존법칙에의해변위를구할수있음 U P W U P 제한사항 : (1) 선형탄성재료 () 한개의하중만작용할때두개이상의하중의경우미지수가많아져서 ( 식은 1 개 ) 풀수없음 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-60

61 변형에너지밀도 U U 변형에너지밀도 ( u ) ; 단위체적에대한변형에너지 ( ) Volume AL P P E u u u AL EA L (-43a,b) 이식에서 P / A, / L이므로 u E u u E (-44a,b) 탄력 (resilience): 탄성범위내에서에너지를흡수하거나방출할수있는재료의능력 탄력계수 (modulus of resilience) pl u : 비례한도까지응력을가할때변형에너지밀도 ; r u r E 인성 (toughness): 파단되기전까지에너지를흡수할수있는재료의능력 인성계수 (modulus of toughness) u r : 재료의파괴점까지응력을가했을때변형에너지밀도 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-61

62 예제 -1 문제 선형탄성적으로거동할때각각의봉에저장된변형에너지의양들을비교하기. ( 응력집중 / 봉의무게는무시함 ) Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-6

63 풀이 (a) U 1 P L EA, 여기서 A d /4 (b) (c) U U N L P ( L/5) P (4 L/5) n i i U1 i1 EA i EA E(4 A) 5 N L P ( L/15) P (14 L/15) 3 n i i 3 U1 i1 EA i EA E(4 A) 10 Note: (0) 세개의봉모두같은최대응력 P / A 를가지며 세개의봉은같은하중-부하능력을가짐 (1) 더큰단면적을갖는봉의부분이증가함에따라 변형에너지감소 () 같은양의일이작용하면 세번째봉에최대응력발생 ( 최소의에너지흡수능력 ) (3) 지름 d 부분의길이가짧아질수록 에너지흡수능력감소 (4) 홈 (groove) 을가진봉 : 홈의깊이가좁을수록심각한상태가됨. Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-63

64 예제 -13 문제 (a) (b) 봉자체의무게만을고려한변형에너지구하기 봉자체의무게와하단에작용하는하중 P 를고려한변형에너지구하기 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-64

65 풀이 (a) 상단에서 x 만큼떨어진미소요소 dx 에작용하는축력 : 이요소밑부분의봉의무게 N( x) A( L x), 여기서 는재료의비중량 U [ N( x)] dx [ A( L x)] dx AL EA( x) EA 6E 3 L L 0 0 (-46) (b) 봉자체의무게및하중 P 로인한축력은 N( x) A( Lx) P U 3 L[ N( x)] dx L[ A( L x) P] dx AL PL P L 0 EA( x) 0 EA 6E E EA (-47) Self Weight Only Additional P Only Term Note: 여러하중이작용하는경우개별적인하중에의한에너지의합과다른결과!!! Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-65

66 예제 -14 문제 조인트 B 점에하중 P 가작용할때 B 점의수직변위구하기 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-66

67 풀이 하중이한개이므로, 에너지 일간의등가관계로구할수있다. 평형조건식에서 F P cos L 봉의길이는각각 1 H cos 변형에너지는 U F L1 PH () 4 cos 3 EA EA 하중 P 가한일은 W P B U W 에서 PH B 3 4EAcos P PH B 3 EAcos Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-67

68 예제 -15 문제 (a) 원래볼트 : d 0.5 in, d in, g 1.5 in, t 0.5 in r Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-68

69 개선안 (a): 볼트의생크의지름을줄여 d r 로변경함 개선안 (b): 각쌍의볼트를한개의긴볼트 ( L 13.5 in) 로대체함. 문제 : 원래볼트 / 개선안 (a) / 개선안 (b) 의에저지흡수능력비교하기 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-69

70 풀이 (1) 원래의볼트한개당 : 길이 g t, 지름 d 인생크부분 + 길이 t, 지름 d r 인나사부분 U N L P ( g t) P t P ( g t) P t P ( g t) P t n i i 1 i1 EiA EAs EAr E( d /4) E( dr ) Ed Edr () 감소된생크의지름을갖는볼트한개당 : 길이 g, 지름 d r 인 1 개의봉 U P g EAr U gd (1.5 in)(0.5 in) 1.40 U ( g t) d td (1.5 in 0.5 in)(0.406 in) (0.5 in)(0.5 in) 1 r (3) 긴볼트 ( 원래볼트 개의역할 ): 원래볼트에비해그립 g 가그립 L 로변함. U P ( L t) P t 3 Ed Edr U 3 ( Lt) d td (13.5 in 0.5 in)(0.406 in) (0.5 in)(0.5 in) U ( g t) d td (1.5 in 0.5 in)(0.406 in) (0.5 in)(0.5 in) 1 r r 4.18 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-70

71 *.8 충격하중 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-71

72 거동의이상화를위한가정 - Collar 와플랜지는충돌후달라붙어같이밑으로움직인다. (Collar 의질량이큰경우타당한가정 ) - 모든에너지손실은무시 ; 낙하질량의운동에너지 전부봉의변형에너지로변환 - 봉자체의위치에너지변화는무시함, 자체무게에의한변형에너지도무시 - 봉의응력은선형탄성영역으로가정 - 응력이봉의체적전체에걸쳐균일하다고가정 ( 실제는길이방향응력파가존재하여봉의길이방향으로이동함 ) Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-7

73 봉의최대신장량 에너지보존의법칙 : max max (-49) W( h ) EA L max 에대한 차식을풀면 ; WL WL WL h EA EA EA max 1/ (-50) 여기서 WL EA MgL EA st ; Collar 의무게가정하중으로봉에작용할때의신장량 1/ h max st ( st hst ) st 11 st 예 ) h 40 st 이면 max 10 st 1/ (-5,53) h st 이면우변의 1 은무시할수있으므로 max Mv L hst ; 여기서 / EA M W g 이고 mgh 1 Mv, st WL 을이용함. EA Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-73

74 봉의최대응력 최대신장량으로부터응력을구하면 E L max max (-55) max 여기서 W W WhE A A AL W Mg E A A L 1/ st st ; Collar 의무게가정하중으로봉에작용할때의정적응력 1/ 1/ he he max st st st st 11 L L st h st 이면우변의 1 은무시할수있으므로 (-58,59) he L st Mv E max (-60) AL Note: 최대신장량에도달하면진동을시작함. Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-74

75 충격계수 구조물의동적반응의정적반응에대한비 충격계수 (impact factor) 신장량에대한충격계수 : impact factor max st 봉의응력에대한충격계수 : impact factor max st 갑자기가해진하중 하중이초기속도없이갑자기가해지는경우 : 식 (-53) 에서 h 0 으로하여구해짐 max ; 충격계수 = st 제한 거동의이상화를위한가정의범위내에서만성립함 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-75

76 예제 -16 문제 강철봉의 E 10 GPa 일경우 (a) 충격에의한봉의최대신장량과충격계수구하기 (b) 최대인장응력을구하고이에상응하는충격계수구하기 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-76

77 풀이 (a) 봉의정적신장량 : MgL (0.0 kg)(9.81 m / s )(.0 m) st mm EA (10 GPa)( / 4)(15 mm) max 1/ 1/ h (150 mm) st 1 1 ( mm) mm st mm 낙하높이가정적신장량에비해매우크기때문에근사식을사용할수있다. max h (150 mm)( mm) 1.78 mm st 충격계수는 1.79 mm impact factor mm (b) 식 (-55) 에서 E L (10 GPa)(1.79 mm).0 m max max 188 MPa 정적응력은 충격계수는 W Mg (0 kg)(9.81 m / s ) st 1.11 MPa A A ( /4)(15 mm) 188 MPa impact factor 169 ( 신장량에대한충격계수와동일 ) 1.11 Mpa Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-77

78 예제 -17 문제 (a) 충격에의한봉의최대수축량 max 과이에대응하는충격계수 (b) 봉의최대압축응력 max 과이에대응하는충격계수구하기 봉의축강도는 EA 임. Note: 질량은충돌후봉과함께움직인다고가정함 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-78

79 풀이 질량의운동에너지가봉의변형에너지로모두변환된는것으로가정함. (a) Mv EA L max Mv L max (-63,64) EA 봉의정적변위는 WL st EA MgL EA 충격계수는 impact factor EAv max st Mg L (-65) (b) 봉의최대압축응력은 (a) 의결과를이용해구할수있다. E max E Mv L Mv E max (-66) L L EA AL 봉의정적응력은 W st A Mg A 충격계수는 impact factor EAv max st Mg L (-65) 와동일 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-79

80 *.9 반복하중과피로 반복하중 (1) 하중작용 / 제거반복 () 인장 / 압축이반복 (3) 평균값을기준으로변하는하중 많은사이클동안하중반복 낮은응력에서파괴 피로 (fatigue) 또는점진적파단 (Progressive fracture) - Paper Clip 의파단예에서확인가능 - 미세한균열이고응력점에생성 - 반복되는사이클로인해균열이점진적으로확산 - 정적하중의크기보다작은응력에서도발생 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-80

81 특정응력에서파단될때까지의사이클수그래프 내구곡선 (endurance curve) 또는 S-N 선도 ( 수평축은보통 Log-Scale 을사용함 ) 수평점근선 : 피로한도 (fatigue limit), 내구한도 (endurance limit) - 피로한도는보통정하중에대한극한인장응력의 50% 정도 - 피로파괴는표면조건이아주중요함 ( 초기균열의발생에영향 ) 부식이중요한인자. Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-81

82 *.10 응력집중 봉의구멍 / 홈 / 노치 / 키홈 / 숄더 / 나사등기하학적불균일 응력집중 (stress concentration) 을발생시킴 생베낭 (Saint-Venant) 의원리 - 하중바로밑의단면 : 하중점주변에집중이발생함 - 집중은하중점에서멀어질수록완화됨 정적등가하중이작용하는시스템에서 영역의최대치수 ( 봉의폭 / 지름등등 ) 이상떨어진점의 응력상태는동일함. Saint-Vennant 의원리 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-8

83 응력집중계수 구멍가장자리에서 max 발생 공칭응력 ( 평균응력 ) nom P ct 응력집중계수 (stress concentration factor) K max K nom 구멍이아주작으면 K 3 이며 구멍이커지면집중효과는완화됨. Saint-Vennant 원리에의해구멍에서봉의폭 b 이상떨어진점에서는응력집중이없음. Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-83

84 원형구멍을가진납작한봉의응력집중계수 K Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-84

85 숄더필릿을갖는납작한봉의응력집중계수 K Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-85

86 숄더필릿을갖는원형봉의응력집중계수 K Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-86

87 응력집중에대한설계 - 피로파괴의가능성때문에, 반복하중을받는경우응력집중이중요해짐 - 많은경우이론적인응력집중계수의값은지나침 - 반복하중을받는구조용강재의경우감축된응력집중계수를사용함 - 충격하중의경우에도응력집중효과를고려해야함 - 저온상태의재료의경우취성이높아져서특별한주의를요함 - 연성재료 : 소성흐름으로인하여응력집중효과를완화시킴 - 취성재료 : 완전응력집중계수를고려하여야함 - 구조용부내내의응력분포를완만하게하는기법을사용함 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-87

88 *.11 비선형거동 비선형응력 - 변형률곡선 (a) 선형탄성 + 비선형 (b) 비선형관계 (Ramberg-Osgood 등 ) (c) 탄소성 (Elastoplastic) 탄소성해석 (d) 복선형 (Bilinear) Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-88

89 봉의길이변화 응력 - 변형률관계가선형이아니면, 봉의응력이균일하지않은경우, 미소요소 dx 의변형량을구한후적분하여구하여야한다. 0 L dx 축응력이일정하여변형률이봉전체에대해균일한경우는 L Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-89

90 Ramberg-Osgood 의응력 - 변형률법칙 m 0 E E 0 m or (-70) (-71) 여기서 E 0 / 0 ( 초기부분탄성계수 ) - 그림의예제에서는 ,000 or SI 단위계에서는 1 70, 부정정구조물힘-변위관계가비선형인부정정구조물 : 보통해석적인풀이불가능 수치해 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-90

91 예제 -18 문제 L A P P. m, 480 mm, kn, 7 kn 변형률 - 응력관계식 1 70, ; Ramberg-Osgood 관계식 (a) P 1 만작용할때 (b) P 만작용할때 P P (c) 1 가동시에작용할때 B 각각구하기 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-91

92 풀이 P / A 5 MPa Ramberg-Osgood 에대입 (a) 1 B L ( )(. m) 7.90 mm P / A 56.5 MPa Ramberg-Osgood 에대입 (b) B L ( )(1.1 m) mm (c) 봉의아래쪽절반 P / A 5 MPa Ramberg-Osgood 에대입 L / ( )(1.1 m) 3.95 mm B 봉의위쪽절반 ( P P ) / A 81.5 MPa Ramberg-Osgood 에대입 L / ( )(1.1 m) 8.6 mm B mm 8.6 mm 1. mm (a),(b) 의합과같지않음 B B B Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-9

93 *.1 탄소성해석 응력 - 변형률선도 E 초기거동 : 기울기 / Y Y 인선형탄성거동 항복점 : 항복응력 Y, 항복변형률 Y 항복점이후 : 응력은 Y 로고정, 변형률은계속증가 하중 - 변위선도 초기거동 : 기울기 EA / L 인선형탄성거동 항복점 : 항복하중 P Y, 항복변위 Y P Y A Y P L/ EA L/ E Y Y Y Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-93

94 정정구조물 - 압축의경우에도동일하게적용 - 구조물중하나가항복응력에도달할때까지선형탄성적그다음, 그부재는축하중의증가없이계속늘어남. 부정정구조물 평형방정식 : F1F P (a) 적합방정식 : 1 (b) 하중 P 가작을때 FL 1 1 FL 1 (c) EA EA FL FL (c) 을 (b) 에대입 1 1 (d) (a)(d) 을연립 F PL F PL 1 1 L1L L1L (-74a,b) Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-94

95 - 축력에대응하는응력은 F PL F PL ( ) ( ) A AL1 L A AL1 L - 봉중에하나가항복응력에도달할때까지증가 L F L 를가정하면 1 안쪽봉이먼저항복 1 A 을만족하게됨. Y 항복응력이봉들중하나에먼저도달할때의하중 항복하중 P Y 이라함. ( 그림의 A 점 ) 이경우는 P Y YA1 L L 1 (-76) P P - 하중이 Y 이면선형탄성영역 (OA 구간 ) 에속하게되어축력은 (-74a,b) 에서구해짐 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-95

96 - 항복하중에서변위 : 항복변위 FL L L EA E E Y Y (-77) - 하중이더욱증가하여도 F Y A로일정하게유지되며 F 1 의값만계속증가함 - 하중은계속증가되어 1 Y F A 에도달하면구조물을더이상의하중을지지할수없음 소성하중 P ( 그림의 B 점 ) - 소성하중이상의구간 ( 그림의 BC 구간 ) 에서는하중의증가없이지속적으로소성변형발생 구조물의붕괴가발생함 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-96

97 - 소성하중의계산 F A F A (f) 1 Y Y (a)(f) 를연립하면 ( 정정시스템임 ) 3 (-78) P P - 소성하중에서의변위 : 소성변위 바깥봉의응력이항복응력에도달하는순간의신장량 Y A FL L L P EA E E Y 1 - P L1 (-80) L Y - P 3L1 P L L Y 1 (-81) L P 1.5L 이면 1.5, Ex) 1 Y P P 7 Y - 일반적으로 P P P 이며 P AB 구간의기울기는 OA 구간의기울기보다작다. Y Y Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-97

98 일반적인유의사항 - 초기 OA 구간에서는선형탄성거동을나타냄 - AB 구간에서안쪽봉은추가의저항력이없으므로바깥쪽봉에서만추가된하중을흡수하여야하므로기울기가완화됨. - P 의계산은정정시스템에의해가능함 ( 축력을알고있으므로평형식만사용 ) - 그러나 P Y 의계산은부정정해석을필요로함 ( 평형식, 적합식, 힘-변위식 ) - OA 구간에서하중이제거되면원래의위치로복원됨. - AB 구간에서하중이제거되면, 안쪽봉이원래의위치로복원되지않으므로 잔류응력 (residual stress) 이발생함 - 이상태에서다시하중을가하면구조물은다른형태로거동함 ( 매우복잡한계산을필요로함 ) Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-98

99 예제 -19 문제 (a) 항복하중 P Y 와봉의끝단 ( 점 B ) 에서의이에대응되는항복변위 Y 구하기. (b) 소성하중 P 와이에대응되는점 B 에서의소성변위 P 구하기. (c) 하중 P 와점 B 에서의변위 B 의관계를나타내는하중-변위선도그리기. Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-99

100 풀이평형방정식 : M A 0 F 1( b ) F ( b ) P (3 b ) 0 F 1 F 3 P (g) 적합방정식 : 기하학적고찰에의해변위간의상관관계를구함 1 (h) (a) 선형탄성영역에서의힘 - 변위관계식은 FL 1 FL 1 (i,j) EA EA FL EA FL EA (i,j) 를 (h) 에대입하면 1 or F F 1, 이식을 (g) 에대입하면 F 3P 6P F (l,m) 더큰축력을가진봉 는항복응력에먼저도달함. Y F A 을 (m) 에대입하면 P Y 5 Y A 6 (-8) 식 (j) 에서 L Y E 이므로점 B 의항복변위 3 3 L E Y Y (-83) Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-100

101 (b) 소성하중및소성변위 소성하중 P 에도달하면 1 Y F F A이며이를 (g) 에대입하면 ( 정정시스템 ) P P A (-84) Y 이하중에서왼쪽봉 ( 봉 1) 이항복응력에도달했으므로 식 (i) 에서 1 L Y 3 Y L 이므로점 B 의소성변위 P 31 E E Note: P P P Y 6 P 5 Y (c) 그림에도시하였음 OA 구간 : 선형탄성구간 AB 구간 : 부분소성구간 BC 구간 : 완전소성구간 Mechanics of Materials, 7 th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 0-101